apuntes de ecuaciones diferenciales - badajoz

Apuntes de Ecuaciones diferenciales

Badajoz, 7 de junio de 2012

Dpto. de Matematicas. Univ. de Extremadura

D = x1

Indice general

I Ecuaciones diferenciales ordinarias XVII

1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial 11.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El haz de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . 121.4. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.2. Campo tangente a soporte. . . . . . . . . . . . . . 221.4.3. Campo a soporte universal. . . . . . . . . . . . . . 24

1.5. Espacio cotangente. La diferencial . . . . . . . . . . . . . 251.5.1. Interpretacion geometrica de la diferencial. . . . . 261.5.2. Fibrado cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6. Uno formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.1. Campos gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8.1. Cambio de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . 371.8.2. Ecuaciones diferenciales no autonomas. . . . . . . 381.8.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. . . . . 39

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 401.9.1. Problemas Geometricos . . . . . . . . . . . . . . . 401.9.2. Problemas Qumicos. Desintegracion. . . . . . . . . 411.9.3. Problemas Biologicos. . . . . . . . . . . . . . . . . 441.9.4. Problemas Fsicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.9.5. Problemas Arquitectonicos. La catenaria. . . . . . 54

1.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.11. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

i

ii INDICE GENERAL

2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales 712.1. Grupo uniparametrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2. Existencia de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3. Aplicaciones Lipchicianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4. Unicidad de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.5. Grupo Uniparametrico de un campo . . . . . . . . . . . . 842.6. Grupo Unip. de campos subidos . . . . . . . . . . . . . . . 892.7. Diferenciabilidad del grupo unip. . . . . . . . . . . . . . . 92

2.7.1. Clasificacion local de campos no singulares. . . . . 962.8. Campos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.9. Corchete de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 1032.10. Derivada de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 1042.11. Metodo de Lie para resolver ED . . . . . . . . . . . . . . . 1092.12. Apendice. La tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.14. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3. Campos tensoriales en un espacio vectorial 1433.1. Tensores en un modulo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.2. Campos tensoriales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.3. Derivada de Lie de un campo tensorial . . . . . . . . . . . 1483.4. Campos tensoriales Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . 1523.5. La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.6. El Lema de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.7. Aplicacion. Factores de integracion . . . . . . . . . . . . . 1663.8. Ejemplos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.8.1. Tensor metrico del espacio eucldeo. . . . . . . . . 1703.8.2. Divergencia, rotacional y gradiente. . . . . . . . . . 1723.8.3. Interpretacion geometrica del rotacional. . . . . . . 1743.8.4. Tensores de torsion y de curvatura. . . . . . . . . . 1763.8.5. Tensores de una variedad Riemanniana. . . . . . . 1773.8.6. El tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.8.7. Movimiento de un solido rgido. . . . . . . . . . . . 1823.8.8. La fuerza de coriolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1873.8.9. El tensor de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.8.10. El tensor de deformacion. . . . . . . . . . . . . . . 189


INDICE GENERAL iii

4. Campos tangentes lineales 2034.1. Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . 2034.2. Existencia y unicidad de solucion . . . . . . . . . . . . . . 2074.3. Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.3.1. El sistema homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.3.2. El sistema no homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . 217

4.4. Reduccion de una EDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.5. Exponencial de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2204.6. EDL con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 2234.7. Clasificacion de campos lineales . . . . . . . . . . . . . . . 2274.8. EDL con coeficientes periodicos . . . . . . . . . . . . . . . 2294.9. EDL de orden n con coeficientes constantes . . . . . . . . 231

4.9.1. Caso homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.9.2. Caso no homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

4.10. EDL de orden n. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . 2354.10.1. Ecuacion de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.11. EDL de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.11.1. Ecuacion de Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

4.12. Otros metodos para resolver EDL . . . . . . . . . . . . . . 2434.12.1. Metodo de las potencias. . . . . . . . . . . . . . . . 2434.12.2. Metodo de Frobenius de las potencias. . . . . . . . 2444.12.3. Metodo de la transformada de Laplace. . . . . . . 245

4.13. La Ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.14. Algunas EDL de la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

4.14.1. Problemas de mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . 2514.14.2. Problemas de muelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 2514.14.3. Problemas de circuitos electricos. . . . . . . . . . . 2604.14.4. Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 263


5. Estabilidad 2755.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2755.2. Linealizacion en un punto singular . . . . . . . . . . . . . 2765.3. Estabilidad de puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . 2785.4. Funciones de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2865.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

5.5.1. Sistemas tipo depredadorpresa. . . . . . . . . . 2895.5.2. Especies en competencia. . . . . . . . . . . . . . . 2925.5.3. Aplicacion en Mecanica clasica. . . . . . . . . . . . 292

iv INDICE GENERAL

5.6. Clasificacion topol. de las ED lineales . . . . . . . . . . . 2955.7. Teorema de resonancia de Poincare . . . . . . . . . . . . . 3015.8. Cuenca de un sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3065.9. La aplicacion de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3095.10. Estabilidad de orbitas cclicas . . . . . . . . . . . . . . . . 3145.11. El Teorema de PoincareBendixson . . . . . . . . . . . . . 3185.12. Estabilidad de orbitas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 3225.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3255.14. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

II Ecuaciones en derivadas parciales 333

6. Sistemas de Pfaff 3356.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3356.2. Sistemas de Pfaff y Distribuciones . . . . . . . . . . . . . 339

6.2.1. Sistemas de Pfaff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3396.2.2. Distribuciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

6.3. El sistema caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3436.4. El Teorema de la Proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . 347

6.4.1. Campos tangentes verticales . . . . . . . . . . . . . 3476.4.2. Proyecciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 347

6.5. El Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3556.5.1. Metodo de Natani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3646.5.2. 1formas homogeneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 365

6.6. Aplicacion: Tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 3676.6.1. Funciones especiales del fibrado tangente. . . . . . 3676.6.2. Variedad con conexion. Distribucion asociada. . . . 368

6.7. Aplicacion: Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3726.8. Aplicacion: Clasificacion de formas . . . . . . . . . . . . . 380

6.8.1. Clasificacion de 1formas . . . . . . . . . . . . . . 3806.8.2. Clasificacion de 2formas. . . . . . . . . . . . . . . 387

6.9. Variedades simpleticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3886.9.1. Campos Hamiltonianos. . . . . . . . . . . . . . . . 3886.9.2. El Fibrado Cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . 3926.9.3. Fibrado de Jets de funciones de orden 1 . . . . . . 3936.9.4. Fibrado tangente de una var.Riemanniana. . . . . 3946.9.5. Mecanica Hamiltoniana. . . . . . . . . . . . . . . . 397

6.10. Apendice: Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . 4116.10.1. Inmersiones locales, subvariedades . . . . . . . . . 413

INDICE GENERAL v

6.10.2. Variedades integrales maximas . . . . . . . . . . . 4146.10.3. Otra demostracion del Teorema de Frobenius . . . 418


7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 4317.1. Definicion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4317.2. El cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4337.3. EDP cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

7.3.1. Ejemplo: Trafico en una autopista. . . . . . . . . . 4387.3.2. Ejemplo: Central telefonica. . . . . . . . . . . . . . 4397.3.3. Ejemplo: El Proceso de Poisson. . . . . . . . . . . 4417.3.4. Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte. . . . . 442

7.4. Sistema de Pfaff asociado a una EDP . . . . . . . . . . . . 4457.4.1. Campo caracterstico. . . . . . . . . . . . . . . . . 445

7.5. Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . 4487.5.1. Dimension de una subvariedad solucion. . . . . . . 4497.5.2. Existencia de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.5.3. El problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 453

7.6. Metodos para resolver una EDP . . . . . . . . . . . . . . 4567.6.1. Metodo de las caractersticas de Cauchy . . . . . . 4567.6.2. Metodo de la Proyeccion. Integral completa . . . . 4587.6.3. Metodo de LagrangeCharpit. . . . . . . . . . . . . 461

7.7. Metodo de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4627.7.1. Envolvente de una familia de superficies. . . . . . . 4627.7.2. Envolvente de una familia de hipersuperficies. . . . 4667.7.3. Metodo de la envolvente. . . . . . . . . . . . . . . 4687.7.4. Solucion singular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

7.8. Definicion intrnseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4737.9. Teora de HamiltonJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

7.9.1. Metodo de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4767.9.2. Ecuacion de HamiltonJacobi. . . . . . . . . . . . 4797.9.3. Geodesicas de una variedad Riemanniana. . . . . . 482

7.10. Introduccion al calculo de variaciones . . . . . . . . . . . . 4927.10.1. Ecuaciones de EulerLagrange. . . . . . . . . . . . 4937.10.2. Ecuaciones de EulerLagrange y Hamilton. . . . . 5047.10.3. Apendice. La ecuacion de Schrodinger . . . . . . . 508

7.11. Lagrangianas. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . 5097.11.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 5097.11.2. Ejemplo. Lagrangiana de la longitud . . . . . . . . 515

vi INDICE GENERAL

7.11.3. Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . 5187.11.4. Curvas de mnima accion y geodesicas . . . . . . . 5197.11.5. El Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . 521

7.12. Calculo de variaciones en Jets . . . . . . . . . . . . . . . . 5287.12.1. Jets de aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . 5287.12.2. Distribucion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . 529

7.13. Apendice. El Campo geodesico . . . . . . . . . . . . . . . 5377.13.1. Subidas canonicas de un campo tangente. . . . . . 5377.13.2. Variedad con conexion. Campo geodesico. . . . . . 5407.13.3. Campo geodesico en una variedad Riemanniana. . 5427.13.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

7.14. Apendice. Teora de HamiltonJacobi . . . . . . . . . . . 5477.15. Apendice. Optica geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 549

7.15.1. Ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5497.15.2. Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 5497.15.3. Ovalo de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5507.15.4. Conicas confocales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5527.15.5. Propiedades de reflexion . . . . . . . . . . . . . . . 5547.15.6. Trayectoria en un medio de ndice variable . . . . . 554

7.16. Apendice. Envolventes y causticas . . . . . . . . . . . . . 5567.17. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5617.18. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

8. EDP de orden superior. Clasificacion 5938.1. Definicion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5938.2. Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . 597

8.2.1. Corchete de Lie de operadores lineales. . . . . . . . 5978.2.2. Restriccion de un ODL. . . . . . . . . . . . . . . . 5998.2.3. Expresion en coordenadas de un ODL. . . . . . . . 6008.2.4. Caracterizacion del Operador de LaPlace . . . . . 6058.2.5. Derivada de Lie de un ODL . . . . . . . . . . . . . 607

8.3. El smbolo de un ODL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6088.4. ODL de orden 2 en R2. Clasificacion . . . . . . . . . . . . 611

8.4.1. Operadores diferenciales lineales hiperbolicos. . . . 6128.4.2. Operadores diferenciales lineales parabolicos. . . . 6138.4.3. Campos y 1formas complejas. . . . . . . . . . . . 6158.4.4. Operadores diferenciales lineales elpticos. . . . . . 618

8.5. ODL de orden 2 en Rn. Clasificacion . . . . . . . . . . . . 6238.6. EDP de orden 2 en R2. Clasificacion . . . . . . . . . . . . 626

8.6.1. ODL asociado a una solucion de una EDP. . . . . 626

INDICE GENERAL vii

8.6.2. Reduccion a forma canonica. Caso hiperbolico deuna EDP cuasilineal. . . . . . . . . . . . . . . . . 629

8.6.3. Reduccion a forma canonica. Caso hiperbolico deuna EDP de tipo general. . . . . . . . . . . . . . . 634

8.6.4. Reduccion a forma canonica. Caso elptico. . . . . 6408.7. Clasificacion de sistemas de EDP . . . . . . . . . . . . . . 644

8.7.1. Reduccion a forma diagonal de sistemas linealeshiperbolicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

8.7.2. Reduccion a forma diagonal de sistemas cuasilineales hiperbolicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

8.8. Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6498.8.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 649


9. El problema de Cauchy 6639.1. Sistemas de EDP de primer orden . . . . . . . . . . . . . 6639.2. Curvas caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

9.2.1. Propagacion de singularidades. . . . . . . . . . . . 6699.3. Funciones analticas reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

9.3.1. Series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6729.3.2. Series multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6739.3.3. Series multiples de funciones. . . . . . . . . . . . . 674

9.4. Funciones analticas complejas . . . . . . . . . . . . . . . 6829.4.1. Las ecuaciones de CauchyRiemann. . . . . . . . . 6829.4.2. Formula integral de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . 6859.4.3. Funciones analticas ndimensionales. . . . . . . . 688

9.5. El Teorema de CauchyKowalewski . . . . . . . . . . . . . 6889.6. EDP de tipo hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6939.7. Metodo de las aprox. sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . 697

9.7.1. Existencia de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 6989.7.2. Unicidad de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 7029.7.3. Dependencia de las condiciones iniciales. . . . . . . 7049.7.4. El problema de Goursat. . . . . . . . . . . . . . . . 7079.7.5. El problema de valor inicial caracterstico. . . . . . 708

9.8. Sistemas hiperbolicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7099.9. La funcion de RiemannGreen . . . . . . . . . . . . . . . 716

9.9.1. Operador diferencial lineal adjunto. . . . . . . . . 7169.9.2. ODL adjuntos en el plano. . . . . . . . . . . . . . . 7199.9.3. El metodo de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . 720

viii INDICE GENERAL


10.La Ecuacion de Laplace 73710.1. Funciones armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73710.2. Funciones armonicas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 739

10.2.1. Funciones armonicas en variables separadas. . . . . 73910.2.2. Funciones armonicas y funciones analticas. . . . . 74110.2.3. Transformaciones conformes. . . . . . . . . . . . . 743

10.3. Transformaciones en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74710.3.1. Traslaciones, giros y homotecias. . . . . . . . . . . 74710.3.2. Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . 74810.3.3. Inversiones respecto de esferas. . . . . . . . . . . . 74910.3.4. Transformaciones en general. . . . . . . . . . . . . 753

10.4. Potenciales gravitatorio y electrico. . . . . . . . . . . . . . 75610.4.1. Potencial Newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . 75710.4.2. Potencial electrostatico. . . . . . . . . . . . . . . . 75810.4.3. Ecuacion de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . 767

10.5. Los 3 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77210.5.1. Principio del maximo. Unicidad. . . . . . . . . . . 773

10.6. Problema de Dirichlet en el plano . . . . . . . . . . . . . . 77610.6.1. Problema Dirichlet en un rectangulo . . . . . . . . 77610.6.2. Problema de Dirichlet en un disco . . . . . . . . . 77810.6.3. Formula integral de Poisson. . . . . . . . . . . . . 78010.6.4. Polinomios de Tchebycheff. . . . . . . . . . . . . . 78410.6.5. Problema de Dirichlet en la esfera . . . . . . . . . 78610.6.6. La Ecuacion de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . 787

10.7. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79210.7.1. Identidades de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . 79210.7.2. Unicidad de solucion en PVF . . . . . . . . . . . . 79310.7.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79510.7.4. Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . 79610.7.5. Recproco del Teorema del valor medio . . . . . . . 79810.7.6. Regularidad de las funciones armonicas . . . . . . 80110.7.7. Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803

10.8. Armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80510.9. Principio de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80710.10.Introduccion a las distribuciones . . . . . . . . . . . . . . 809

10.10.1.Metodo de la funcion de Green . . . . . . . . . . . 81110.11.El metodo de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824

INDICE GENERAL ix

10.11.1.Funciones subarmonicas . . . . . . . . . . . . . . . 82410.11.2.Sucesiones de funciones armonicas . . . . . . . . . 82910.11.3.Problema Dirichlet. Existencia de solucion . . . . . 83110.11.4.Funciones barrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832

10.12.Teorema de la aplicacion de Riemann . . . . . . . . . . . 83610.13.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84210.14.Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848

11.La Ecuacion de ondas 85111.1. La Ecuacion de ondas unidimensional . . . . . . . . . . . 851

11.1.1. Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85311.1.2. Solucion de DAlembert. . . . . . . . . . . . . . . . 85611.1.3. Energa de la cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86011.1.4. Unicidad de solucion de la ecuacion de ondas. . . . 86211.1.5. Aplicaciones a la musica. . . . . . . . . . . . . . . 862

11.2. La Ecuacion de ondas bidimensional. . . . . . . . . . . . . 86411.2.1. Solucion de la ecuacion de ondas. . . . . . . . . . . 867

11.3. La Ecuacion de ondas ndimensional. . . . . . . . . . . . 87011.3.1. La desigualdad del dominio de dependencia. . . . . 87011.3.2. Unicidad de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 87411.3.3. Ecuacion de ondas en regiones con frontera. . . . . 87611.3.4. El metodo de separacion de variables. . . . . . . . 877

11.4. El metodo del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88011.4.1. La Formula de Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . 88011.4.2. El metodo del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . 88411.4.3. El principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . . 887

11.5. La Ecuacion de Schrodinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . 888

12.Ecuacion de ondas. Electromagnetismo 89312.1. Espacio Euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89312.2. Espacio de Minkowski. Relatividad especial . . . . . . . . 89512.3. DAlembertiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897

12.3.1. Gradiente y divergencia . . . . . . . . . . . . . . . 89712.3.2. DAlembertiano y codiferencial . . . . . . . . . . . 898

12.4. Campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90112.4.1. Vector impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90312.4.2. Forma de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90512.4.3. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 906

12.5. Ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91012.5.1. Energa de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 910

x INDICE GENERAL


13.La Ecuacion del calor 91713.1. La Ecuacion del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . 917

13.1.1. El principio del maximo. . . . . . . . . . . . . . . . 92013.1.2. Solucion general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92213.1.3. Soluciones con condiciones inicial y frontera dadas. 92313.1.4. El problema de valor inicial. . . . . . . . . . . . . . 936

13.2. La Ecuacion del calor ndimensional. . . . . . . . . . . . . 94213.2.1. Caso bidimensional. Planteamiento. . . . . . . . . 94213.2.2. El metodo de separacion de variables. . . . . . . . 94313.2.3. Caso bidimensional. Algunas soluciones. . . . . . . 94413.2.4. Caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946


14.Integracion en variedades 95114.1. Orientacion sobre una variedad . . . . . . . . . . . . . . . 95114.2. Integracion en una variedad orientada . . . . . . . . . . . 95414.3. Variedades con borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95814.4. El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96214.5. Integracion en var. Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . 96614.6. Aplicaciones a la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96914.7. La definicion de Gauss de la curvatura . . . . . . . . . . . 97214.8. El operador de LaplaceBeltrami . . . . . . . . . . . . . . 973

14.8.1. El operador de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . 97314.8.2. El operador de LaplaceBeltrami . . . . . . . . . . 977

15.Variedades complejas 98715.1. Estructuras casicomplejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 987

15.1.1. Campos y 1formas complejas . . . . . . . . . . . 99115.1.2. Integrabilidad de una estructura casicompleja . . 994

Indice de figuras

1.1. Grafica de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Campo de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. F lleva el campo D al campo E . . . . . . . . . . . . . . . 211.5. Graficas de f y dxf en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6. Graficas de f y dxf en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7. Plano tangente a una superficie . . . . . . . . . . . . . . . 271.8. Gradiente de x2 + y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.9. Parciales de las coordenadas cartesianas y polares. . . . . 341.10. Curva integral de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.12. Desintegracion del C14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.14. Pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.15. Curvas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.16. Catenaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.17. Fuerzas horizontal y vertical en la catenaria. . . . . . . . . 541.18. Arco de catenaria dado la vuelta. . . . . . . . . . . . . . . 571.19. Fuerzas que actuan en el arco AB . . . . . . . . . . . . . 571.20. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.22. Columpio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.1. Teorema del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2. Orbitas de D y de fD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.3. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.4. La tractriz y la exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.5. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.6. Campo para = 1 y . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

xi

xii INDICE DE FIGURAS

2.7. Campos D y curva senx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.8. Grafica de f y plano z = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.9. El campo apunta hacia el interior de la region. . . . . . . 1222.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.11. Curvas para = 01, 1, 2 y 10000 . . . . . . . . . . . . 1232.12. Cisterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.13. Caso n = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342.14. Caso cte = = 1, por tanto = pi/4. . . . . . . . . . . . . 1362.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.1. ds en el plano (ver la Fig.1.9, pag.34). . . . . . . . . . . . 1713.2. Incrementos de x, y, , y s en una curva. . . . . . . . . . 1723.3. Traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.4. Giro G y dilatacion de ejes ui, Lui = iui. . . . . . . . . 1763.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843.6. Recta de velocidad mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.9. a12 = a21, a31 = a13 y a23 = a32 . . . . . . . . . . . . . . . 1893.10. Curvas para las que OA = OB . . . . . . . . . . . . . . . 1943.11. Parabola y elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.1. Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2514.2. Pulsacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2564.3. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2574.4. Circuito electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2614.5. Partcula en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2634.6. Segunda Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2644.7. 1 aLey de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

5.1. Casos a > 0 y b < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2825.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2935.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2985.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3105.5. Seccion local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3105.6. La orbita de p se aproxima a en x . . . . . . . . . . . . 3145.7. Aplicacion de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3165.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3195.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

INDICE DE FIGURAS xiii

6.1. Sistema de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3366.2. Distribucion < D1p, D2p >= {p = 0} . . . . . . . . . . . 3366.3. Superficie {z = f(x, y)} tangente a los planos. . . . . . . . 3376.4. Interpretacion geometrica de DL . . . . . . . . . . 3466.5. Interpretacion geometrica de D y DL . . . . . 3466.6. Sistema de Pfaff proyectable . . . . . . . . . . . . . . . . . 3496.7. < D >= Dpi [P] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3496.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3506.9. Distribuciones asociadas a P, P y P . . . . . . . . . . . 3516.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3646.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3646.12. Transformacion simpletica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3966.13. Plano del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4016.14. Haz de conicas con foco el origen: Izqda. = ex+p. Dcha.

= ex+ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4046.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4056.16. Vector de RungeLenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4076.17. Velocidades en trayectorias elptica, parabolica e hiperboli-

ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4096.18. Hodografas correspondientes a elipse, parabola e hiperbola.4096.19. Propiedad de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4106.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4116.21. Helicoide, z = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

7.1. Cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4347.2. Conos de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4357.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4367.4. Construccion de Sk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.5. Curva de datos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4557.6. Envolvente de las esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4637.7. trayectorias bala canon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4637.8. ruido de un avion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4647.9. Envolvente de las esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4657.10. Envolvente pasando por Sk . . . . . . . . . . . . . . . . . 4687.11. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4857.12. Curva de mnimo tiempo de A a B. . . . . . . . . . . . . . 4977.13. La braquistocrona (dcha.) es la cicloide invertida. . . . . . 5007.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5017.15. La evolvente de la cicloide es la cicloide . . . . . . . . . . 5027.16. Pendulo de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

xiv INDICE DE FIGURAS

7.17. Refraccion y reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5497.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5507.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5507.20. Ovalo de Descartes. Refraccion . . . . . . . . . . . . . . . 5517.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5527.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5537.23. Refraccion Elipsoide de revolucion . . . . . . . . . . . . . 5547.24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5547.25. Caustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5567.26. La caustica es la epicicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5567.27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5577.28. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5587.29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5587.30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5627.31. Catenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5827.32. Catenarias que pasan por (1, 0) . . . . . . . . . . . . . . . 5847.33. La catenoide de la derecha es la de mnima area . . . . . . 5847.34. La catenoide tiene curvatura media nula en todo punto . . 585

8.1. Transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

9.1. Dominio de dependencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6949.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6999.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7119.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7129.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724

10.1. log , 2, 2, cos(log ). . . . . . . . . . . . . . . 74010.2. , sen , e, e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74010.3. Fuerza gravitacional producida por una masa M . . . . . 75710.4. Fuerza electrostatica producida por una carga q . . . . . . 75910.5. Flujo a traves de una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76110.6. Flujo a traves de una superficie. . . . . . . . . . . . . . . . 76110.7. Angulos ab = cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84310.8. La proy. ester. conserva angulos. . . . . . . . . . . . . . . 84310.9. La proy. ester. lleva circunferencias pasando por P en rectas.84310.10.La proy. ester. lleva circunferencias en circunferencias. . . 84410.11.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84410.12.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844

INDICE DE FIGURAS xv

11.1. cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85211.2. Posicion inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85711.3. Ondas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85811.4. Fuerzas sobre una membrana . . . . . . . . . . . . . . . . 86411.5. Membrana vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86511.6. cono caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871

13.1. Flujo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91813.2. Calor que entra en I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91913.3. Dominio del problema (hacia el pasado) . . . . . . . . . . 92813.4. Difusion del calor en una placa . . . . . . . . . . . . . . . 942

14.1. flujo de D a traves de S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96914.2. Planmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982

xvi INDICE DE FIGURAS

Parte I

Ecuaciones diferencialesordinarias

xvii

Tema 1

La estructuradiferenciable de unespacio vectorial

1.1. Conceptos basicos

Por E entenderemos un Respacio vectorial de dimension finita n, do-tado de la estructura topologica usual. A veces tambien consideraremosen E una norma, siendo indiferente en la mayora de los resultados cuales la que elegimos, pues todas las normas son equivalentes en E . Por Rnentenderemos el espacio vectorial real R n R.

Dados dos espacios vectoriales E1 y E2 denotaremos con L(E1, E2) elespacio vectorial de las aplicaciones lineales de E1 en E2. Con E deno-taremos el espacio vectorial dual de E , es decir L(E ,R).

Con C(E) denotaremos la Ralgebra de las funciones continuas en Ey con C(U) las continuas en el abierto U de E . Con P(E) denotaremosla Ralgebra de los polinomios en E , es decir la subRalgebra de C(E)generada por E.

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2 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Elegir una base ei en E equivale a elegir una base xi E. En cuyocaso tenemos la identificacion

E Rn ,ni=1

aiei (a1, . . . , an),

y las xi forman un sistema de coordenadas lineales asociado a las ei dela forma

xi : E R , xi(

ajej)

= ai.

A menudo consideraremos sistemas de coordenadas lineales xi y so-brentenderemos su base dual ei correspondiente.

Diremos que el espacio vectorial E es euclideo si tiene definido unproducto interior < , >, en cuyo caso consideraremos la norma

x 2 =< x, x >,

y eligiendo una base ei ortonormal, es decir tal que < ei, ej >= ij ,y su sistema xi de coordenadas lineales asociado, tendremos que dadosa, b E tales que xi(a) = ai y xi(b) = bi

< a, b >= a1b1 + + anbn.

Definicion. Sean E1 y E2 espacios vectoriales reales, U un abierto de E1y V uno de E2. Diremos que F : U V es diferenciable en x U siexiste una aplicacion lineal F x L(E1, E2), tal que

lmh0

F (x+ h) F (x) F x(h) h = 0.

Diremos que F es diferenciable si lo es en todo punto; que F es declase 1 si es diferenciable y la aplicacion

F : U L(E1, E2) , x F x,

es continua ; y por induccion que es de clase k si F es de clase k 1.Diremos que es de clase infinita si es de clase k para toda k.

A partir de ahora siempre que hablemos de clase k, entenderemosque k es indistintamente, a menos que se especifique lo contrario, unnumero natural 0, 1, . . . o bien , donde para k = 0 entenderemos quelas aplicaciones son continuas.

1.1. Conceptos basicos 3

Definicion. Dada f : U R R diferenciable en x, llamamos deri-vada de f en x al numero real

f (x) = lmt0

f(x+ t) f(x)t

.

Observemos que este numero esta relacionado con la aplicacion linealf x L(R,R) por la igualdad

f x(h) = f(x) h.

Regla de la cadena 1.1 a) Sean

F : U E1 V E2 , G : V W E3,

diferenciables en x U y F (x) = y, respectivamente. Entonces H =G F es diferenciable en x y se tiene que

H x = Gy F x.

b) La composicion de aplicaciones de clase k es de clase k.

Definicion. Para cada abierto U del espacio vectorial E , denotaremos

Ck(U) = {f : U R,de clase k},

los cuales tienen una estructura natural de Ralgebra y como veremosen (1.11), tambien de espacio topologico.

Proposicion 1.2 Sea F : U E1 V E2 una aplicacion. Entoncesson equivalentes:

a) F es de clase k.b) Para un sistema de coordenadas lineales yi en E2, fi = yi F

Ck(U).c) Para cada f Ck(V ), f F Ck(U), es decir tenemos el morfismo

de R-algebras.

F : Ck(V ) Ck(U), F (f) = f F.


Definicion. Dada una funcion f C1(U), un v E y p U , llamaremosderivada direccional de f relativa a v en p al valor

vp(f) = lmt0

f(p+ tv) f(p)t

.

En particular si en E hemos elegido un sistema de coordenadas li-neales xi con base dual ei, llamaremos derivada parcial iesima de f , ala derivada direccional de f relativa a ei y escribiremos

f

xi(p) = lm

t0f(p+ tei) f(p)

t.

Si E es de dimension 1, y x es la coordenada lineal correspondiente alvector no nulo e E escribiremos

df

dx=f

x.

Proposicion 1.3 f Ck(U) si y solo si para algun sistema de coordena-das lineales xi y por tanto para cualquiera, existen y son continuasen todo U las funciones Daf , para a = (a1, . . . , an) Nn, y

Da =|a|

a1x1 anxn , |a| = a1 + + an k.

Nota 1.4 Si E1 es de dimension n y E2 de m y U y V son sendos abiertosde E1 y E2, entonces si F : U V es diferenciable, biyectiva y F1 esdiferenciable, tendremos que n = m.

Esto se sigue facilmente de la regla de la cadena, pues si A es la matrizjacobiana de F , en un punto x, y B la de F1, en el punto y = F (x),entonces AB es la identidad en Rm y BA la identidad en Rn, de dondese sigue que A y B son cuadradas e inversas, por tanto n = m.

Definicion. Diremos que F : U E1 V E2 es un difeomorfismo declase k , si F es biyectiva, de clase k y su inversa es de clase k. Diremosque n funciones ui : U R son un sistema de coordenadas de clase ken U si para

F = (ui) : U Rn,se tiene que F (U) = V es un abierto de Rn y F : U V es un difeo-morfismo de clase k. Por difeomorfismo a secas entenderemos de clase. Diremos que F : U E1 E2 es un difeomorfismo local de clase k

1.1. Conceptos basicos 5

en x U si existe un entorno abierto Ux de x en U tal que F (Ux) = Ves abierto y F : Ux V es un difeomorfismo de clase k. Diremos quen funciones ui : U R son un sistema de coordenadas locales de clasek en x U si F = (ui) : U Rn es un difeomorfismo local de clase ken x.

Nota 1.5 Observemos que si u1, . . . , un Ck(U) son un sistema de coor-denadas, entonces para F = (ui) : U Rn y F (U) = V abierto de Rntenemos que, para cada g Ck(V ),

g F = g(u1, . . . , un) = f Ck(U),y recprocamente toda funcion f Ck(U) es de esta forma.

Si E es de dimension 1, x es la coordenada lineal correspondienteal vector e E y escribimos f en terminos de la coordenada lineal x,f = g(x), entonces

df

dx(p) = lm

t0f(p+ te) f(p)

t= lmt0

g[x(p) + t] g[x(p)]t

= g[x(p)],

es decir que si f = g(x) entonces df/dx = g(x).

El siguiente resultado fundamental caracteriza los difeomorfismos lo-cales en terminos del Jacobiano.

Teorema de la funcion inversa 1.6 Sea F : U E1 E2 de clase ken U . Entonces F es un difeomorfismo local de clase k en x U si ysolo si existen sistemas de coordenadas lineales xi en E1 e yi en E2, talesque para Fi = yi F

det[Fixj

(x)]6= 0.

Y este otro, tambien fundamental, nos da una condicion para la queen un sistema de ecuaciones

f1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = a1

fn(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = an

podamos despejar las xi en funcion de las yj , la cual viene a decir en elcaso mas sencillo en el que las fi son lineales, fi(x, y) =

aijxj+

bikyk

y por tanto F = (fi) = A x+B y, que si detA 6= 0, podemos despejarx como funcion de y, siendo x = A1[aB y], para a = (ai).


Teorema de la funcion implcita 1.7 Sean F : U E1 E2 E1 declase k, (x0, y0) U tal que F (x0, y0) = 0 y para un sistema de coorde-nadas lineales xi en E1, el determinante de orden n

det[Fixj

(x0, y0)]6= 0,

entonces existe un entorno V de y0 en E2 y una unica aplicacion x : V E1 de clase k, tal que x(y0) = x0 y para todo y V

F [x(y), y] = 0.

1.2. El haz de funciones diferenciables

Hemos dicho que los Ck(U) tiene una estructura natural de R-alge-bra, es decir tienen suma, producto, y contienen a R en la forma delas funciones constantes. Pero ademas, si consideramos la familia de to-dos los Ck(U) cuando U recorre todos los abiertos de E , se tiene que laaplicacion

U (abierto) Ck(U) (R algebra),

es un haz de Ralgebras, es decir satisface las propiedades:a) Si U V son abiertos de E , entonces

f Ck(V ) f(= f|U ) Ck(U).

b) Dado un abierto U de E y un recubrimiento suyo por abiertos Ui,se tiene que si f : U R es tal que f Ck(Ui) para cada i, entoncesf Ck(U).

Otra importante propiedad, que veremos en esta leccion, nos dice quecada funcion de Ck(U) coincide, en un entorno de cada uno de los puntosde U , con una funcion de clase k en todo E , que ademas se anula fuerade U si queremos. De esto se sigue que para conocer las funciones declase k en un abierto de E , nos basta con conocer las funciones de clasek en E . Esto podra parecer obvio en una ingenua primera observacion,

1.2. El haz de funciones diferenciables 7

pues cabra pensar que las funciones de clase k en un abierto U sonsimplemente las restricciones a ese abierto de las de clase k en E . Peroesto no es cierto considerese la funcion 1/x en el abierto (0,) R.Por tanto hay mas funciones de clase k en ese abierto U que las obtenidaspor restriccion, y hay un medio muy simple de obtenerlas todas. Veremosque son los cocientes de funciones de clase k de E , cuyos denominadoresno se anulen en U . Observemos que el ejemplo anterior es de esta forma.Veamos antes la existencia de funciones baden en Rn.

Proposicion 1.8 Sean C un cerrado y K un compacto de E disjuntos.Entonces existe h C(E) tal que Im(h) = [0, 1], h(K) = 1 y h(C) = 0.

Demostracion. Eligiendo un sistema de coordenadas xi en E , bastahacer la demostracion en Rn, donde consideraremos la norma inducidapor el producto escalar < a, b >=

aibi, para a = (ai) y b = (bi).

Figura 1.1. Grafica de e

Consideremos la funcion de C(R)

e(t) =

{e1/t si t 0,0 si t < 0.

Veremos en primer lugar que da-do r > 0 y a Rn se puede cons-truir una g C(Rn), positiva enB(a, r) = {x : x a < r}, quevalga 1 en B[a, r/2] = {x : xa r/2}, y 0 fuera de B(a, r). Sea

g(x) =e(r2 x a 2)

e(r2 x a 2) + e( x a 2 (r/2)2) ,y tomemos

r = d(C,K) = nf{ x y : x C, y K},entonces existen, por la compacidad de K, a1, . . . , ak K tales que

B(ai, r) Rn C , K ki=1

B(ai, r/2).

Ahora para cada ai, construimos las funciones gi del principio, ydefinimos

h(x) = 1ki=1

[1 gi(x)],

tal funcion es la buscada.


Corolario 1.9 Sea f Ck(U), con U abierto de E y sea a U . Entoncesexiste un abierto V , con a V U y F Ck(E), tales que F = f en Vy

sop(F ) = {F 6= 0} U.

Demostracion. Elijamos V y W abiertos tales que

a V Adh(V ) W Adh(W ) U,

con Adh(V ) = K compacto. Apliquemos ahora (1.8) a K y C = E Wy definamos F = fh.

Es facil ver que todo abierto U de E es union expansiva numerable decompactos con interiores no vacos (Kn U), pues eligiendo una normacualquiera podemos considerar la sucesion expansiva de compactos (puesson cerrados y acotados)

Cn = {x E : x n, d(x, U c) 1/n},

y a partir de un n sus interiores son no vacos, ya que dado x U , por serabierto existe una bola abierta B(x, 2r) U , por lo que d(B(x, r), U c) r y B(x, r) Cn, para n x+ r, n 1/r.

En estos terminos damos las siguientes definiciones.

Definicion. Para cada m N definimos la seminorma pm en C(U) dela forma,

pm(f) = sup{| Daf(x) |: x Km, | a | m},

y en Cr(U), para r 0,

pm(f) = sup{| Daf(x) |: x Km, | a | r}.

Decimos que una sucesion fn Ck(U), donde k = 0, 1, . . . ,, es deCauchy respecto de pm si para cada > 0 existe N N tal que

pm(fN+n fN ) < ,

para todo n N.


Decimos que una sucesion fn Ck(U) tiene lmite si existe f Ck(U)tal que para toda m N

lmn pm(fn f) = 0.

Obviamente si el lmite existe es unico, pues para m = 0 vemos quetiene que ser el lmite puntual de las fn.

Observemos que las pm estan ordenadas,

pm pm+1,y que podemos definir el sistema fundamental de entornos convexos del0 Ck(U)

Bm = {f Ck(U) : pm(f) 1/m}y que estos definen una topologa en Ck(U) independiente de los Knelegidos!.

Teorema 1.10 Si la sucesion fn Ck(U) es de Cauchy para toda pm,entonces tiene lmite, f = lm fn Ck(U), que para cualquier base {ei}de E y cada a Nn, con | a | k, verifica

Da(lm fn) = lm(Dafn).

Ademas dada f Ck(U) existe una sucesion de polinomios gn de Etales que restringidos a U, lm gn = f .

Demostracion. Veremos el caso k = para E = Rn, los demas sesiguen haciendo las oportunas modificaciones.

En primer lugar veamos que para todo a Nn, existe el lmite puntualga(x) = lm(Dafk(x)),

y que ga es una funcion continua en Rn.Sea m |a|, entonces en el compacto Km se tiene

(1.1) | DafN+k DafN | pm[fN+k fN ]de donde se sigue que Dafk converge uniformemente en cada compactoKm, para m |a|, a una funcion continua ga. En particular para a =(0, . . . , 0), tendremos que

f(x) = lm fk(x),

es una funcion continua.


Veamos por induccion en |a|, que Daf = ga.Para |a| = 0 es obvio. Supongamos entonces que |a| 1 y que a1 1,

donde a = (a1, . . . , an). Entonces, por la hipotesis de induccion, tendre-mos que Dbf = gb para b = (a1 1, a2, . . . , an). Y como

Da =

x1Db,

bastara demostrar quegbx1

= ga.

Sean (t1, . . . , tn) U , t R y m N, tal que para [0, 1] se tenga(t1 + (1 )t, t2, . . . , tn) Km,

entonces tt1

Dafk(x, t2, . . . , tn)dx tt1

ga(x, t2, . . . , tn)dx.

Ahora bien tt1

Dafk(x, t2, . . . , tn)dx = Dbfk(t, t2, . . . , tn)Dbfk(t1, . . . , tn),

por tanto haciendo k , tendremos que tt1

ga(x, t2, . . . , tn)dx = gb(t, t2, . . . , tn) gb(t1, . . . , tn),

lo cual implica que gb/x1 = ga.Tenemos entonces que para cada a Nn,

Dafk Daf,uniformemente en cada compacto Km, para m | a |. De aqu se sigueque

pm(fk f) 0,y f = lm fk. Pero ademas pm(Dafk Daf) 0 por tanto

Daf = lm(Dafk).

Veamos ahora que los polinomios son densos.


Dada f C(U) y N N tendremos, por el Teorema de Weierstrass,que para a = (N, . . . , N) Nn existe una sucesion de polinomios queconvergen uniformemente a Daf en KN . Integrando y aplicando denuevo Weierstrass para elegir convenientemente la primitiva tendremosque existe una sucesion de polinomios rN,n tales que para toda b = (bi) Nn, con bi N , las sucesiones DbrN,n convergen uniformemente en KNa Dbf . Ahora elegimos gN como cualquier polinomio rN,n, tal que paratoda b, con bi N

| DbrN,n Dbf | 1N,

en KN . Esta sucesion de polinomios gN satisface lm gN = f , pues paraj N , Kj KN y como bi bi =| b |, se tiene

pj(gN f) sup{| DbgN Dbf |: x Kj , | b | j}(1.2) sup{| DbgN Dbf |: x KN , bi N} 1

N.

Ejercicio 1.2.1 Demostrar que con esta topologa la suma y el producto deCk(U) son operaciones continuas.

El teorema anterior se expresa diciendo:

Teorema 1.11 Las pm definen en Ck(U) una topologa localmente con-vexa, respecto de la que dicho espacio es completo y los polinomios sondensos.

Teorema 1.12 Para cada abierto U de E y para k = 0, 1, . . . ,, se tieneque

Ck(U) = {( gh

)|U

: g, h Ck(E), h 6= 0 en U}.

Demostracion. Sea {Bn : n N} un recubrimiento de U formadopor bolas abiertas cuyas adherencias esten en U . Y consideremos paracada n N una funcion gn C(E) como la definida en (1.8),positiva en Bn y nula en su complementario.

Sea f Ck(U), entonces fgn Ck(E) y

g =

2nfgn

1 + rn + sn Ck(E), h =

2n

gn1 + rn + sn

C(E),

donde rn = pn(fgn) y sn = pn(gn). Para verlo basta observar, por elteorema anterior, que ambas series son de Cauchy para toda pm. Por


ultimo es obvio que h 6= 0 en U y que para cada x U , g(x) = h(x)f(x),es decir que g = hf .

Nota 1.13 Observemos que en el resultado anterior h 6= 0 en U y h = 0en U c, por lo que todo cerrado de E es de la forma

{x E : h(x) = 0},

para una h C(E).

Definicion. Podemos decir en base a estos resultados que la estructuraCkdiferenciable de E , que esta definida por todas las Ralgebras Ck(U),cuando U recorre los abiertos de E , queda determinada exclusivamentepor Ck(E) y los abiertos de E . Y podemos entender la variedad Ckdiferenciable E , como el par formado por el espacio topologico E y porCk(E).

1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente

A lo largo de la leccion E o E1 seran espacios vectoriales reales dedimension n y E2 de dimension m.

En la leccion 1 hemos visto que cada vector v E define en cadapunto p E una derivada direccional vp de la forma siguiente

vp : C(E) R, vp(f) = lmt0

f(p+ tv) f(p)t

,

Es facil demostrar que vp es lineal, se anula en las constantes y satis-face la regla de Leibnitz del producto. Esto nos induce a dar la siguientedefinicion.

Definicion. Llamaremos vector tangente en un punto p E , a todaderivacion

Dp : C(E) R,es decir a toda funcion que verifique las siguientes propiedades:

1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente 13

a) Linealidad.- Dp(tf + sg) = tDpf + sDpg.b) Anulacion constantes.- Dpt = 0.c) Regla de Leibnitz en p.- Dp(fg) = f(p)Dpg + g(p)Dpf ,

para cualesquiera t, s R y f, g C(E).Este concepto nos permite definir, en cada punto p E , un espacio

vectorial real, utilizando para ello exclusivamente la estructura diferen-ciable de E .Definicion. Llamaremos espacio tangente a E en p, al espacio vectorialreal Tp(E) de las derivaciones en p, con las operaciones

(Dp + Ep)f = Dpf + Epf(tDp)f = t(Dpf),

para Dp, Ep Tp(E), f C(E) y t R.Definicion. Dado un sistema de coordenadas lineales xi, correspondientea una base {ei} en E , consideramos para cada p E e i = 1, . . . , n, loselementos de Tp(E)(

xi

)p

: C(E) R,(

xi

)p

f = lmt0

f(p+ tei) f(p)t

.

Si no hay confusion usaremos la notacion ip = (/xi)p.

Formula de Taylor 1.14 Sea U E un abierto convexo, a U y xi C(U) un sistema de coordenadas lineales. Entonces:

a) ma = {f C(U) : f(a) = 0} es un ideal maximal real generadopor x1 a1, . . . , xn an, donde ai = xi(a).

b) Dada f C(U), existen h1, . . . , hn C(U) tales que

f = f(a) +ni=1

hi(xi ai).

Demostracion. (a) Consideremos el morfismo de Ralgebras

H : C(U) R , H(f) = f(a),

para el que kerH = ma e ImH = R, por tanto C(U)/ma ' R.


Dadas f1, . . . , fn C(U) es obvio quefi(xiai) ma y tenemos

una inclusion, veamos la otra, que ma (x1 a1, . . . , xn an). Paraello sea f(x1, . . . , xn) ma, x U y definamos la funcion diferenciable

g : [0, 1] R , g(t) = f [tx+ (1 t)a].

Ahora por la regla de la cadena

f(x) = g(1) g(0) = 1

0

g(t)dt

= 1

0

[ni=1

(f

xi[tx+ (1 t)a]

)(xi ai)

]dt

=ni=1

hi(x)(xi ai),

donde

hi(x) = 1

0

(f

xi[tx+ (1 t)a]

)dt C(U).

Proposicion 1.15 Las derivaciones (/xi)a definidas anteriormente sonbase de Ta(E).

Demostracion. Que son independientes es una simple consecuenciade que xi/xj = ij . Veamos que son generadores, para ello sea Da Ta(E) y f C(E), entonces f f(a) ma y por (1.14)

f = f(a) +ni=1

hi(xi ai),

donde a = (ai). Se sigue que( xj

)af =

ni=1

hi(a)Xixj

(a) = hj(a),

Daf =ni=1

hi(a)Daxi =ni=1

[Daxi]iaf,

es decir Da =

[Daxi]ia.

1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente 15

Nota 1.16 Observemos que al ser E un espacio vectorial tenemos unaidentificacion canonica entre todos los espacios tangentes, pues todos sonisomorfos a E de la siguiente forma, para cada a E

E Ta(E) , v va,siendo vaf la derivada direccional de f relativa a v en a.

Ademas si elegimos un sistema de coordenadas lineales xi en E , co-rrespondientes a la base ei, tendremos que en terminos de las bases eiy ia la aplicacion anterior se representa por la matriz identidad, puespara cada i,

E Ta(E) , ei ia.

Nota 1.17 El espacio vectorial Ta(E) podamos haberlo definido comoel espacio vectorial de las derivaciones

(1.3) Da : C(U) R,con la regla de Leibnitz en a, siendo U un abierto entorno de a. Puesdada una derivacion del tipo (1.3), tendremos por restriccion a U unaderivacion de Ta(E). Y recprocamente dada una derivacion de Ta(E),como es de la forma

tiia fijado un sistema de coordenadas lineales

xi, define una unica derivacion del tipo (1.3).Es facil probar que ambas transformaciones son lineales e inversas,

es decir que es un isomorfismo. Para verlo basta usar (1.9) y que Dafno cambia si cambiamos F fuera de un entorno de a.

Por otra parte, para r 1, toda derivacion con la regla de Leibnitzen a

(1.4) Da : Cr(U) R,define una derivacion de Ta(E), pues C(U) Cr(U). Y recprocamente,toda derivacion (1.3) puede extenderse a una (1.4), y esto puede hacersepues segun vimos antes, toda derivacion (1.3) es de la forma

tiia que

esta definido en las funciones de clase 1.Sin embargo estas dos transformaciones no son inversas, pues en el

segundo caso no extendemos de modo unico. Es decir que las derivacionesde Cr(U) en el punto a forman un espacio vectorial con demasiados ele-mentos. Pero si solo consideramos las continuas respecto de la topologadefinida en (1.10), tendremos un espacio isomorfo a Ta(E).

Para r = tenemos la suerte de que toda derivacion es automati-camente continua respecto de la topologa de (1.10), pues es de la forma


tiia y estas se extienden a una derivacion Da en Cr(E) de forma

continua de un unico modo, a sabertiia, pues los polinomios son

densos y sobre ellos Da =tiia.

Finalicemos analizando si existiran derivaciones en a E sobre lasfunciones continuas

Da : C(E) R.La contestacion es que no, pues si f C(E) y f(a) = 0 en ca-

so contrario pondramos f f(a), tendremos que existen funcionescontinuas

g =

max(f, 0), h =

max(f, 0) C(E),tales que f = g2 h2 y g(a) = h(a) = 0. Por tanto

Daf = 2[g(a)Dag h(a)Dah] = 0.

Dx x

F(C )

F(C )

F(x) F (D )* x

Figura 1.2.

Definicion. Sean U E1, V E2abiertos y F : U V de clase 1.Llamaremos aplicacion lineal tangen-te de F en x U a la aplicacion

F : Tx(E1) TF (x)(E2),tal que para cada Dx Tx(E1),F(Dx) = Dx F , es decir que paracada f C(V ) se satisface

[FDx]f = Dx(f F ).Ejercicio 1.3.1 Demostrar las siguientes propiedades de la aplicacion linealtangente:

a) Si V = U y F = id, entonces para cada x E , F = id.b) Regla de la cadena.- Si F : U V yG : V W son diferenciables,

siendoU E1, V E2 y W E3 abiertos, entonces(G F ) = G F.

c) Elegir sistemas de coordenadas lineales en cada espacio vectorial Ei yescribir la igualdad anterior en la forma matricial asociada.

Teorema de la funcion inversa 1.18 Una aplicacion F : U E1 E2,de clase k es un difeomorfismo local de clase k en un punto x U si ysolo si F : Tx(E1) TF (x)(E2) es un isomorfismo en x.

1.4. Campos tangentes 17

Demostracion. Es consecuencia de (1.6) y de la expresion matricialde F.

Definicion. Llamaremos fibrado tangente del abierto U de E , a la unionT (U) de todos los espacios Ta(E), para a U , con la estructura topologi-ca y diferenciable definida por la siguiente biyeccion canonica

T (U) U E , va (a, v),

donde va Ta(E) es la derivada direccional en a relativa al vector v E .Llamaremos aplicacion proyeccion canonica en U a la aplicacion

pi : T (U) U , pi(vp) = p,

si vp Tp(E).

1.4. Campos tangentes

1.4.1. Campos tangentes

Definicion. Por un campo de vectores en un abierto U de un espaciovectorial E entenderemos una aplicacion

F : U E .

Diremos que el campo es de clase k si F es de clase k.

Figura 1.3. Campo de vectores

La interpretacion de una aplica-cion F como un campo de vecto-res queda patente en la figura (1.3),donde hemos representado en cadapunto (x, y) del plano real el vectorF (x, y) = (cosxy, sen (x y)). Aun-que esta definicion es muy visual ysugerente, tiene el problema de noser muy manejable y la desventaja denecesitar la estructura vectorial de E


para que tenga sentido. Por ello recordando que un vector v = F (p) Een un punto p U define una derivacion vp Tp(E), damos la siguientedefinicion equivalente, aunque solo como justificacion para una posteriordefinicion mejor.

Definicion. Llamaremos campo de vectores tangentes, de clase k, en U ,a un conjunto de vectores

{Dp Tp(E) : p U},que satisfacen la siguiente condicion:

Para cada f C(U), la funcionp U Dpf R,

esta en Ck(U).Observemos que dar un campo de vectores tangentes {Dp}pU es

equivalente a dar una seccion de pi : T (U) U : U T (U), (p) = Dp.

Ejercicio 1.4.1 (a) Demostrar que existe una biyeccion entre campos de vec-tores F : U E de clase k y campos de vectores tangentes {Dp Tp(E) :p U} de clase k, que verifica:

(i) Si a F le corresponde {Dp} y a G {Ep}, entonces a F+G le corresponde{Dp + Ep}.

(ii) Si a F le corresponde {Dp} y f Ck(U), entonces a fF le corresponde{f(p)Dp}.

(b) Demostrar que {Dp Tp(E) : p U} es un campo de vectorestangentes de clase k si y solo si la aplicacion : U T (U), (p) = Dp esuna seccion de pi, de clase k.

Definicion. Llamaremos campo tangente de clase k en el abierto U deE a toda derivacion

D : C(U) Ck(U),es decir toda aplicacion que verifique las siguientes condiciones:

1.- D(tf + rg) = tDf + rDg,2.- Dt = 0,3.- Regla de Leibnitz: D(fg) = f(Dg) + g(Df),

para f, g C(U) y t, r R.


Definicion. Dado un campo tangente D de clase k, llamaremos integralprimera de D a toda funcion f Ck+1(U) tal que

Df = 0.

Nota 1.19 Denotaremos con Dk(U) el conjunto de los campos tangentesa U de clase k, y por comodidad para k = escribiremos D(U) =D(U). Observemos que tenemos las inclusiones

D(U) Dk(U) D0(U),por lo que a menudo hablaremos de los campos continuos, por ser los masgenerales. No obstante en el siguiente tema introduciremos los camposlocalmente lipchicianos, que denotaremos con DL(U) y que estan entrelos de clase 1 y los continuos y que seran los que consideremos paraestudiar el problema de unicidad de solucion de una ecuacion diferencial.

En Dk(U) definimos la suma de dos campos D,E Dk(U) y elproducto de una funcion g Ck(U) por un campo D, de la forma,

(D + E)f = Df + Ef,(gD)f = g(Df),

para toda f C(U). Tales operaciones dotan a Dk(U) de una estruc-tura de modulo sobre la Ralgebra Ck(U), pues se tienen las siguientespropiedades,

f(D + E) = fD + fE,(f + g)D = fD + gD,

(fg)D = f(gD),1D = D.

y para cada k, Dk(U) forman un haz de modulos.A continuacion veremos que dar un campo tangente de clase k en U

consiste en elegir de forma diferenciable (de clase k), un vector tangenteen cada punto de U .

Proposicion 1.20 Existe una biyeccion entre campos tangentes de clasek y campos de vectores tangentes de clase k, para la que se tiene:

a) Si D,E Dk(U) y p U , entonces (D + E)p = Dp + Ep.b) Si f Ck(U), entonces (fD)p = f(p)Dp.


Demostracion. Dada la D definimos los Dp de la forma.

Dpf = Df(p).

Recprocamente dado un vectorDp Tp(E), en cada p U , definimosel campo tangente D Dk(U) de la forma

Df(p) = Dpf.

Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E , es facil demostrarque los operadores diferenciales

xi: C(U) C(U),

f

xi(p) = lm

t0f(p+ tei) f(p)

t,

para cada p U y cada f C(U), son derivaciones /xi D(U).Si no hay confusion usaremos la notacion i = /xi.

A continuacion veremos que Dk(U) es un modulo libre sobre Ck(U)con base las i.

Teorema 1.21 Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E y D Dk(U), existen unicas funciones fi Ck(U) tales que

D =ni=1

fi

xi,

Demostracion.- Que la expresion es unica es inmediato aplicando-sela a las xi. Para ver que existe basta demostrar que D =

(Dxi)i,

pues Dxi Ck(U). Lo cual es una consecuencia inmediata de (1.15) y(1.20).

Definicion. Dados U W abiertos de E y D Dk(W ), definimos larestriccion del campoD a U , como el campo de D(U), correspondientepor (1.20) a

{Dp Tp(E) : p U},o equivalentemente por el ejercicio (1.2.1), a la restriccion a U de laaplicacion de clase k, F : W E , correspondiente a D.


Es facil demostrar que si xi es un sistema de coordenadas lineales enE , entonces la restriccion del campo

D =ni=1

Dxi

xi,

a U es la derivacionni=1

fi

xi,

para fi = Dxi|U , la restriccion a U de Dxi.

Nota 1.22 Observese que toda derivacion de Dk(U) es automaticamentecontinua, por (1.21), respecto de la topologa definida en (1.10).

Observese tambien que toda derivacion

D : Ck+1(U) Ck(U),define una derivacion de Dk(U), pues C(U) Ck+1(U), es decir deltipo

fii dado un sistema de coordenadas lineales xi, con las fi

de clase k. Recprocamente toda derivacionfii Dk(U), con las

fi C(U), se extiende no de un unico modo, a una derivaciondel tipo (1.22). Ahora bien si exigimos que la extension sea continua respecto de la topologa definida en (1.10), tendremos que s es unicay es

fii. Demuestrese eso como ejercicio.

Definicion. Dada F : V E2 U E1 de clase k + 1, y dos campostangentes D Dk(V ) y E Dk(U) diremos que F lleva D a E, si paracada x V

FDx = EF (x).

Figura 1.4. F lleva el campo D al campo E


Si E1 = E2, U V W abierto y D Dk(W ) diremos que F dejainvariante a D si F lleva D en D, es decir si para cada x V

FDx = DF (x).

Proposicion 1.23 Sea F : U E1 V E2, de clase k+ 1, D Dk(U)y E Dk(V ). Entonces son equivalentes:

i) F lleva D en E.ii) FD = F E.iii) D F = F E.Demostracion. Hagase como ejercicio.

1.4.2. Campo tangente a soporte.

Consideremos una aplicacion diferenciable (de clase )F : V E2 U E1.

Definicion. Llamaremos campo tangente a U con soporte en V relativoa F , de clase k, a las derivaciones

DF : C(U) Ck(V ),con la regla de Leibnitz

DF (fg) = DF f F g + F f DF g.Denotaremos con DFk (U) el Ck(V )modulo de estos campos con las

operaciones

(DF + EF )f = DF f + EF f, (g DF )f = g DF f.

Nota 1.24 Si F es de clase r, podemos definir los campos a soporte declase k r como las derivaciones

DF : C(U) Ck(V ).

Definicion. Dada la aplicacion F de clase , definimos los morfismosde modulos

F : D(V ) DF (U) , (FD)f = D(F f),F : D(U) DF (U) , (F D)f = F (Df),


Nota 1.25 Lo mismo si F es de clase k+1 considerando todos los camposde clase r k.

Ejercicio 1.4.2 Demostrar que entre los conjuntos de vectores

{DFp TF (p)(E1) : p V },

con la propiedad de que para cada f C(U), la funcion

p V DFp f R,

esta en C(V ) y el espacio DF (U), existe una biyeccion verificando las siguien-tes condiciones:

i) Si DF , EF DF (U), entonces para cada p V

(DF + EF )p = DFp + E

Fp .

ii) Si f C(V ), entonces para cada p V

(f DF )p = f(p) DFp .

Ejercicio 1.4.3 Sea F : V E2 U E1, diferenciable. Demostrar que(i) Para cada D D(V ) y p V

(FD)p = FDp.

(ii) Para cada campo D D(U) y p V

[F D]p = DF (p),

y que DF (U) es un modulo libre con base

F (

xi

),

para cada sistema de coordenadas lineales xi en U .

(iii) Que {DFp TF (p)(E1) : p V }, satisface las condiciones de (a) ypor tanto define un campo a soporte DF DF (U) si y solo si

: V T (U) , (p) = DFp ,

es una aplicacion de clase , tal que pi = F .


1.4.3. Campo a soporte universal.

Consideremos en E un sistema de coordenadas lineales xi y en U Elas coordenadas (xi, zi) naturales, es decir

xi(p, v) = xi(p) , zi(p, v) = xi(v),

ahora pasemoslas a T (U) por la biyeccion

T (U) U E ,vp (p, v),

xi(vp) = xi(p),zi(vp) = xi(v) = vpxi,

Es decir que vp T (U) tiene coordenadas (p1, . . . , pn, v1, . . . , vn) siy solo si p = pi(vp) tiene coordenadas (p1, . . . , pn) y

vp =ni=1

vi

(

xi

)p

Definicion. Llamaremos campo a soporte universal en U al campo tan-gente a U con soporte en T (U), E Dpi(U), que por el ejercicio (1.4.3)queda determinado por la aplicacion identidad

: T (U) T (U) , (Dp) = Dp,

es decir que para cada v T (U) verifica

Ev = v.

Ademas en las coordenadas (xi, zi) de T (U), vemos por el ejercicio(1.4.3), que

E =ni=1

zi pi xi

,

pues para cada Dp T (U)

Exi(Dp) = Dp(xi) = zi(Dp).

1.5. Espacio cotangente. La diferencial 25

1.5. Espacio cotangente. La diferencial

Definicion. Para cada x E denotaremos con T x (E) el espacio vectorialdual de Tx(E), es decir el espacio vectorial real de las formas Rlineales(o 1formas)

x : Tx(E) R,al que llamaremos espacio cotangente de E en x y vectores cotangentes asus elementos.

Definicion. Dada F : U E1 V E2 de clase 1 y dados x U ey = F (x), llamaremos aplicacion lineal cotangente de F en x a

F : Ty(E2) Tx(E1),

la aplicacion dual de F : Tx(E1) Ty(E2). Es decir tal que

F (y) = y F.

Definicion. Dado un punto x E , llamaremos diferencial en x, a laaplicacion

dx : C1(E) T x (E),tal que para cada f C1(E) y para cada Dx Tx(E)

dxf : Tx(E) R, dxf(Dx) = Dxf.

A la 1forma dxf la llamamos diferencial de f en x.

Ejercicio 1.5.1 Dada F : U E1 V E2, de clase 1, demostrar las siguien-tes propiedades de F :

(a) Si U = V y F = id, entonces F = id.(b) Si F : U V y G : V W , son de clase 1, con U E1, V E2 y

W E3 abiertos, entonces(G F ) = F G.

(c) Si F es un difeomorfismo, entonces F es un isomorfismo.(d) Para x U e y = F (x), F dy = dx F .

Ejercicio 1.5.2 Demostrar que dx es una derivacion en x.


Hemos visto en (1.15), que para cada sistema de coordenadas linealesxi de E , las derivaciones (ix) son base de Tx(E). Se sigue por tanto dela definicion de diferencial, que las dxx1, . . . , dxxn son la base dual enT x (E), puesto que

dxxi

( xj

)x

= ij ,

ademas el isomorfismo canonico E Tx(E), induce otro que es la res-triccion de dx a E

E T x (E) , xi dxxi.

1.5.1. Interpretacion geometrica de la diferencial.

Veamos ahora el significado geometrico de dxf , para cada x E ycada f C1(E). Se tiene que por el isomorfismo anterior

(1.5)ni=1

[f

xi(x)]xi dxf =

ni=1

[f

xi(x)]dxxi.

cuya grafica es el hiperplano tangente a la grafica de f en el punto x. Enparticular en R tenemos que para f : R R, dxf : Tx(R) R y en R2,f : R2 R, dxf : Tx(R2) R,

Figura 1.5. Graficas de f y dxf en R

Figura 1.6. Graficas de f y dxf en R2

1.5. Espacio cotangente. La diferencial 27

Ejercicio 1.5.3 Demostrar que para p U y dpf 6= 0, el hiperplano (verFig.1.7)

H = {Dp Tp(E) : dpf(Dp) = 0},es tangente a la hipersuperficie S = {x : f(x) = f(p)}, en el sentido de quecoincide con el conjunto de vectores Dp Tp(E), para los que existe una curvaX : I U tal que

X(0) = p, X(t) S, X(

t

)0

= Dp.

Ejercicio 1.5.4 Dar la ecuacion del plano tangente al elipsoide

4x2 + y2 + 5z2 = 10,

en el punto (1, 1, 1).

Figura 1.7. Plano tangente a una superficie

1.5.2. Fibrado cotangente.

Igual que todos los espacios tangentes eran canonicamente isomorfosal espacio vectorial inicial E , tambien todos los espacios cotangentes soncanonicamente isomorfos al dual E de E . Esto nos permite definir unabiyeccion canonica

T (U) U E, p (p, w),

donde T (U) es la union disjunta de los espacios cotangentes de puntosde U .

Definicion. Sea U un abierto de E . Llamaremos fibrado cotangente de U ,al conjunto T (U) union de todos los espacios cotangentes T x (E), parax U , dotado de la estructura diferenciable natural, correspondientepor la biyeccion anterior, a la de U E, que es un abierto del espaciovectorial de dimension 2n, E E.


Para cada T (U) existira un unico x U tal que T x (E),podemos as definir la aplicacion proyeccion

pi : T (U) U,tal que pi() = x. De tal modo que las fibras de cada x U son

pi1(x) = T x (E).

1.6. Uno formas

Definicion. Para cada abierto U E , denotaremos con (U) el dualde D(U) respecto de C(U), y en general con k(U) el dual del modu-lo de los campos tangentes Dk(U) respecto de Ck(U), es decir de lasaplicaciones Ck(U)lineales

: Dk(U) Ck(U),que llamaremos 1formas en U , dotadas de las operaciones de Ck(U)modulo,

(1 + 2)D = 1D + 2D, (f)D = f(D),

y para cada k, k(U) forman un haz de modulos.

Definicion. Llamaremos diferencial a la aplicacion

d : Ck+1(U) k(U) , df(D) = Df,para cada f Ck+1(U) y D Dk(U) (ver (1.22).)Definicion. Diremos que una 1forma k(U) es exacta si existef Ck+1(U) tal que

= df.

Nota 1.26 Observemos que si (U) es incidente con un campoD D(U), i.e. D = 0 y es exacta = df , entonces f es una integralprimera de D, pues

Df = df(D) = D = 0.

1.6. Uno formas 29

Ejercicio 1.6.1 Demostrar que la diferencial es una derivacion.

Ejercicio 1.6.2 Demostrar que k(U) es un Ck(U)modulo libre con base dxi,para cada sistema de coordenadas lineales xi, y que para toda f Ck+1(U)

df = f

xidxi.

Nota 1.27 Observemos que para una variable, la formula anterior dice

df =df

dxdx.

Esto permite entender el sentido que puede tener la cancelacion de dife-renciales.

Nota 1.28 Debemos observar que en Rn aunque la nocion de dx1 tienesentido, pues x1 es una funcion diferenciable, la de /x1 no lo tiene,pues para estar definida necesitamos dar a la vez todas las funcionescoordenadas x1, . . . , xn.

Para verlo consideremos en R2 las coordenadas (x, y) y otras coorde-nadas (x, x+y). En cada caso la /x tiene un significado distinto, puesmientras en el primero (x+ y)/x = 1, en el segundo (x+ y)/x = 0.

Definicion. Llamaremos campo de vectores cotangentes de clase k en Ua toda coleccion

{x T x (E) : x U},para la que, dado D Dk(U) y sus vectores correspondientes Dx, laaplicacion

x U xDx R,es de clase k.

Ejercicio 1.6.3 1.- Demostrar que en un espacio vectorial E , el concepto campode vectores cotangentes de clase k en el abierto U es equivalente al de aplicacionde clase k, F : U E.

2.- Demostrar que existe una biyeccion entre las 1formas k(U) y loscampos de vectores cotangentes en U de clase k, para la que se tiene:

(1 + 2)x = 1x + 2x,

(f)x = f(x)x,

(df)x = dxf

para , 1, 2 k(U), x U y f Ck(U).


Ejercicio 1.6.4 Demostrar que (U) si y solo si : p U p T (U)es una seccion de pi.

Teorema 1.29 El fibrado cotangente tiene una 1forma canonica lla-mada unoforma de Liouville.

Demostracion. Para cada p U y T p (E) definimos w = pi,es decir que para cada Dw Tw[T (U)],

wDw = [piDw].

Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E y sus duales zi en E,consideremos el sistema de coordenadas (xi, zi) en T (U) ' UE, paralas que, si p se corresponde con (p, ), entonces

xi(p) = xi(p), zi(p) = zi() = p(ip),

y en este sistema de coordenadas se tiene que

=ni=1

zidxi,

lo que prueba su diferenciabilidad.

Ahora veremos una propiedad caracterstica de las funciones y de las1formas, pero de la que los campos tangentes carecen.

Teorema 1.30 Sea F : U E1 V E2, de clase k+ 1. Entonces paracada k(V ) existe = F () k(U), definida en cada x U dela forma

x = F F (x).

Ademas F : k(V ) k(U) es un morfismo de modulos, que conservala diferencial. Es decir tiene las siguientes propiedades, para g Ck(V )y i k(V ):

F (1 + 2) = F 1 + F 2,F [g] = [F g][F ],F (dg) = d(F g).

1.6. Uno formas 31

Demostracion. Dado un sistema de coordenadas lineales yi en E2,existen gi Ck(V ) tales que

=

gjdyj ,

entonces si llamamos Fj = yj F , tendremos que para cada x U

x = F [F (x)] =

gj [F (x)]F (dF (x)yj)

=

gj [F (x)]dxFj ,

y si consideramos un campo de vectores tangentes Dx, correspondientesa un campo D D(U), la funcion que a cada x U le hace corresponder

xDx =

gj [F (x)]DFj(x),

es diferenciable. El resto lo dejamos como ejercicio para el lector.

1.6.1. Campos gradiente.

Figura 1.8. Gradiente de x2 + y2

Por ultimo si en un espacio vec-torial E tenemos un producto interior< , >, entonces E y E se identificancanonicamente por el isomorfismo

E E , v < v, > .y en todos los espacios tangentesTp(E) tenemos definido un produc-to interior, pues todos son canonica-mente isomorfos a E . Esto nos permi-te identificar Tp(E) y T p (E), para cada p E , mediante el isomorfismo(1.6) Tp(E) T p (E), Dp < Dp, >,y tambien nos permite definir para cada dos campos D,E Dk(U), lafuncion < D,E >= D E, que en cada x vale < Dx, Ex >= Dx Ex, lacual es de clase k, pues si en E elegimos una base ortonormal ei, entoncesla base dual xi tambien es ortonormal y por tanto tambien lo son lasbases (

xi

)x

Tx(E), dxxi T x (E)),


y se tiene que para D =fixi, E =

gixi,

< D,E >= D E =ni=1

figi.

Por tanto podemos definir el isomorfismo de modulos

: Dk(U) k(U),D D,

D(E) = D E.

Definicion. Dado en E un producto interior, llamaremos gradiente deuna funcion f Ck+1(U), al campo grad f = D Dk(U) tal que

D = df,

es decir el campo D que en cada punto p U define el vector Dp corres-pondiente por (1.6) a dpf .

Ejercicio 1.6.5 Consideremos un producto interior en E , una base orto-normal ei y el sistema de coordenadas lineales xi correspondientes a esta base.Demostrar que:

1.- Para toda f Ck+1(U)

grad f = f

xi

xi Dk(U).

2.- Demostrar que el campo D = grad f , es un campo perpendicular a lassuperficies de nivel de f . (Ver Fig.1.8)

3.- Demostrar que si U R2, entonces el campo grad f define en cadapunto x el vector Dx el cual indica la direccion y sentido de maxima pendientede la grafica de f en el punto (x, f(x)).

1.7. Sistemas de coordenadas

Proposicion 1.31 Las funciones v1, . . . , vn Ck(U) son un sistema decoordenadas locales de clase k en x U si y solo si las dxvi son base deT x (E).

1.7. Sistemas de coordenadas 33

Demostracion. Por el teorema de la funcion inversa sabemos que(vi) es un sistema de coordenadas locales en x U si y solo si, dado unsistema de coordenadas lineales xi, se tiene que

det( vixj

)6= 0,

y esto equivale a que los vectores cotangentes

dxvi =nj=1

( vixj

)(x)dxxj ,

sean base.

Nota 1.32 Observemos que de este resultado se sigue que si las diferen-ciales de un numero finito de funciones diferenciables, son independientesen un punto, tambien lo son en un entorno del punto, pues pueden ex-tenderse a una base.

Consideremos un difeomorfismo de clase k + 1

F = (v1, . . . , vn) : U E F (U) = V Rn,

entonces las 1formasdv1, . . . , dvn,

son base de k(U), pues dado un sistema de coordenadas lineales xi enE , tendremos que

dvi =nj=1

( vixj

)dxj .

Definicion. En los terminos anteriores denotaremos con

v1, . . . ,

vn Dk(U),

la base dual de las dvi.Si E es de dimension 1 y v es una coordenada de U E , escribiremos

df

dv=f

v.


Ejemplo 1.7.1 Coordenadas Polares. Consideremos el difeomorfismo

(, ) (0,) (0, 2pi) (x, y) R2\{(x, 0) : x 0},

para las funciones

x = cos , y = sen ,

=x2 + y2, =

arc cosx/

x2 + y2 (0, pi) si y > 0,

arc cosx/x2 + y2 (pi, 2pi) si y < 0,

arcsin y/x2 + y2 (pi/2, 3pi/2) si x < 0.

A las correspondientes funciones (, ) definidas en el abierto R2\{(x, 0) :x 0} las llamamos coordenadas polares, para las que se tiene

= (x)x + (y)y = cos x + sen y =x

x +

y

y,

= (x)x + (y)y = sen x + cos y = yx + xy.

0 x

y

y

Tp(R2)

p

dx=0 dx=1

dy=0

dy=1

x

1

1

q

0

(cos q,sen q)

r

q

Tp(R2)

pdr=1

r

dr=0

dq=0

dq=1

Figura 1.9. Parciales de las coordenadas cartesianas y polares.

Ejercicio 1.7.1 Demostrar que: 1) Para y1, . . . , yn las proyecciones de Rn, ypara cada p U , se tiene que

F

(

vi

)p

=

(

yi

)F (p)

.

2) Si f = g(v1, . . . , vn), entonces

f

vi=

g

yi(v1, . . . , vn).

1.7. Sistemas de coordenadas 35

3) Para cada f C1(U),

df =

ni=1

(f

vi

)dvi.

4) Para cada k(U),

=

ni=1

(

vi

)dvi.

5) Para cada campo D Dk(U)

D =

ni=1

Dvi

vi.

Ejercicio 1.7.2 Demostrar que si (u1, . . . , un) y (v1, . . . , vm) son sistemas decoordenadas de clase k en abiertos U E1 y V E2 respectivamente, entonces(w1, . . . , wn+m) tales que para (p, q) U V

wi(p, q) = ui(p) , para i = 1, . . . , n,

wn+j(p, q) = vj(q) , para j = 1, . . . ,m,

son un sistema de coordenadas de clase k en U V .

Ejercicio 1.7.3 Demostrar que las funciones y definidas en el ejemplo(1.7.1), forman un sistema de coordenadas de clase .

Ejercicio 1.7.4 i) En los terminos del ejercicio anterior calcular:

x2

,

x,

[log () y]

,xy

.

ii) Escribir en las coordenadas polares los campos

x

x+ y

y, y

x+ x

y,

y dar una integral primera de cada uno.iii) Escribir en coordenadas (x, y) los campos:

,

,

,

+

.

iv) Escribir en coordenadas polares las 1formas

dx, dy, xdx+ ydy,1

ydx x

y2dy.


v) Escribir en coordenadas (x, y) las 1formas

d, d, d+ d.

Ejercicio 1.7.5 Dados a, c R, encontrar la solucion de yzx = xzy que satis-face cz = (x y)2 cuando x+ y = a.

Ejercicio 1.7.6 a) Encontrar dos integrales primeras del campo de R3

D = y x

+ x

y+ (1 + z2)

z.

b) Encontrar una integral primera comun a los campos de R3

D = y x

+ x

y, E = 2xz

x+ 2yz

y+ (x2 + y2 1 z2)

z.

1.8. Ecuaciones diferenciales

Definicion. Llamaremos curva parametrizada en el abierto U de E atoda aplicacion de clase 1, definida en un intervalo real

X : I R U.

Figura 1.10. Curva integral de D

Definicion. Dado D Dk(U) y p U , diremos que una curva parametri-zada X : I U es una solucionde la ecuacion diferencial ordinaria(EDO) autonoma definida por D, ouna curva integral de D, si para cadat I

X( t

)t

= DX(t).

1.8. Ecuaciones diferenciales 37

Sea xi un sistema de coordenadas en E y D =fi(x1, . . . , xn)i. Si

denotamos conXi(t) = xi[X(t)],

para X una curva integral de D, tendremos que

X i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t)].

Ejercicio 1.8.1 Demostrar que toda integral primera f de un campo D esconstante en cada curva integral X de D, es decir que f X = cte.

Ejercicio 1.8.2 Encontrar la curva integral en forma implcita, del campode R3

D = y x

+ x

y+ (1 + z2)

z,

que pasa por (1, 0, 0).

1.8.1. Cambio de coordenadas.

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema de coor-denadas xi

X i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t)],

y dado otro sistema de coordenadas v1, . . . , vn, podemos escribir el sis-tema de ecuaciones en este sistema de coordenadas observando que si

D =ni=1

fi(x1, . . . , xn)

xi=

ni=1

(Dvi)

vi

=ni=1

nj=1

fj(x1, . . . , xn)(vixj

) vi

=ni=1

nj=1

hij(v1, . . . , vn)

vi

,

entonces las componentes de X en el sistema de coordenadas vi, Yi =vi X, satisfacen el sistema de ecuaciones

Y i (t) =nj=1

hij [Y1(t), . . . , Yn(t)].


Ejercicio 1.8.3 Obtener la expresion anterior aplicando la regla de la cadenaa Y i = (vi X).

Ejercicio 1.8.4 Escribir los sistemas de ecuaciones diferenciales

{x = yy = x

x =

x

y2

y =1

y

en el sistema de coordenadas polares.

1.8.2. Ecuaciones diferenciales no autonomas.

Si I es un intervalo abierto de R y U es un abierto de E , en I Utenemos una derivada parcial especial, aunque no hayamos elegido unsistema de coordenadas en E .Definicion. Llamaremos /t al campo tangente de D(I U) tal quepara cada f C(I U)

f

t(t, p) = lm

r0f(t+ r, p) f(t, p)

r,

el cual verifica t/t = 1 para la funcion de I U , t(r, p) = r.Definicion. Llamaremos solucion de una ecuacion diferencial ordinariano autonoma definida en I U por un campo D D(I U), tal queDt = 1, a la proyeccion en U de las curvas integrales X de D, tales quet X = id.

Si en U consideramos un sistema de coordenadas xi y en I U con-sideramos el sistema de coordenadas (t, x1, . . . , xn), entonces los camposD D(I U) tales que Dt = 1, son de la forma

D =

t+ f1(t, x1, . . . , xn)

x1+ + fn(t, x1, . . . , xn)

xn,

y si X es una curva integral suya y llamamos X0 = t X, Xi = xi X,tendremos que

X 0(r) = 1,

es decir que existe una constante k, tal que para todo r,

t[X(r)] = X0(r) = r + k,

1.8. Ecuaciones diferenciales 39

y nuestras soluciones (t X = id) son las que corresponden a k = 0. Portanto en coordenadas la solucion X1, . . . , Xn de una ecuacion diferencialordinaria no autonoma satisface el sistema de ecuaciones diferenciales

X 1(t) = f1[t,X1(t), . . . , Xn(t)]...

X n(t) = fn[t,X1(t), . . . , Xn(t)].

1.8.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Consideremos ahora la aplicacion proyeccion canonica

pi : T (U) U, pi(Dp) = p,

la cual es de clase .Definicion. Llamaremos ecuacion diferencial de segundo orden en unabierto U de E a todo campo tangente en el fibrado tangente de U , D D[T (U)], tal que su proyeccion por pi sea el campo a soporte universal,es decir

piD = E,

o lo que es lo mismo tal que para todo Tp T (U)

piDTp = Tp.

Veamos como es un campo de estos en las coordenadas (xi, zi) verleccion 4. Por el ejercicio (1.4.3) tenemos que

piD = E (piD)xi = Exi = zi,

por tanto son los campos de la forma

D =

zi

xi+

Dzi

zi,

y si X es una curva integral suya, tendremos que llamando

Dzi = fi(x1, . . . , xn, z1, . . . , zn),Xi(t) = xi[X(t)], Zi(t) = zi[X(t)],


entonces

X i(t) = Zi(t)Z i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t), Z1(t), . . . , Zn(t)],

o lo que es lo mismo

X i (t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t), X1(t), . . . , X

n(t)].

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

1.9.1. Problemas Geometricos

Vamos a estudiar las curvas del plano que en cada punto su tangentedetermina un segmento con los ejes coordenados, cuyo punto medio esel dado.

Figura 1.11.

Solucion. Sea y = y(x) una de esas curvas, entonces para cada x0, sutangente y = xy(x0) + b, en el punto (x0, y(x0)) verifica

y(x0) = x0y(x0) + b, 2y(x0) = b, 0 = 2x0y(x0) + b,

por tanto para cada x0, y(x0) = x0y(x0) + 2y(x0) y nuestra ecuacion esxy + y = 0, es decir

y

y+

1x

= 0 (log y + log x) = 0 xy = cte.

y las soluciones son las hiperbolas con asntotas los ejes.

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 41

Veamoslo de otro modo: Sea h = 0 una tal curva, entonces la rec-ta tangente en cada punto suyo p = (x0, y0), h(p) = 0 es de la for-ma hx(p)(x x0) + hy(p)(y y0) = 0, y pasa por (0, 2y0), por tantohx(p)(x0) + hy(p)(y0) = 0, en definitiva h es solucion de

xhx + yhy = 0 Dh = 0, D =

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