catedra metodos numericos 2015 - unsch (01) [modo … · las principales Áreas en matemÁticas •...

METODOS NUMERICOS

Ingeniería Civil

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

CATEDRA 01

Métodos�NuméricosMétodos�Numéricos

Sesiones TeóricasSesiones Teóricas


Laboratorio de Computación Numérica


Sesiones Prácticas

Capitulo I

Introducción


LAS PRINCIPALES ÁREAS EN MATEMÁTICAS

• Álgebra (teoría de números, álgebra lineal, geometría algebraica, criptografía, ...)

• Análisis Matemático (teoría de funciones, ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos, caos, fractales, ...)

• Geometría y Topología (geometría diferencial, física matemática, geometría computacional, topología, ...)

• Estadística e Investigación operativa (probabilidad, inferencia estadística, diseños experimentales, teoría de juegos, ...)


• Métodos numéricos (resolución numérica de ecuaciones, integración numérica, computación, ...)


MÉTODOS NUMÉRICOS

Mapa conceptual

ECUACIONESDIFERENCIALES

PARCIALES

ECUACIONESDIFERENCIALES

ORDINARIAS

INTERPOLACIÓNDERIVACIÓN EINTEGRACIÓN

SISTEMAS DEECUACIONES

LINEALES

RAÍCES DEECUACIONES

MÉTODOSNUMÉRICOS

APROXIMACIÓNNUMÉRICAY ERRORES

MODELOS MATEMÁTICOS

modelos matemáticos – ecuaciones

Métodos Numéricos

Métodos Numéricos• Técnicas mediante las cuales los modelos matemáticos son resueltos

usando solamente operaciones aritméticas, evitando tediosos cálculos.• Las computadoras son máquinas que sólo hace lo que se le ordena; los

tediosos cálculos numéricos los hacen muy rápido y muy bien, sinfastidiarse.

• Por eso, para el ingeniero moderno, los métodos numéricos implican:• El uso de calculadoras graficadoras;• El manejo de hojas de cálculo en PC;• La programación en lenguaje “C”, “VB” o “Fortran”• La utilización de software matemático especializado:

• “Maple”,• “MatLab”,• “MathCad”,• “Mathematica”.

Métodos numéricos son técnicas para resolverproblemas matemáticos utilizando operacionesaritméticas.

La solución de problemas generalmenteenvuelve la repetición de operaciones por loque las computadoras son de mucha utilidaden este tema.

Antes de las computadoras, las soluciones se encontraban de alguna de estas 3 formas:Derivadas de métodos analíticosSoluciones gráficasUsando calculadoras o reglas de cálculo

Métodos Numéricos

Fundamentos• Herramienta extremadamente poderosa• Software comercial que usa métodos numéricos• Posibilidad de desarrollar sus propios programas• Buena forma de aprender a usar computadoras y

programar• Se pueden reforzar conocimientos de matemáticas

Métodos Numéricos

La utilidad de los métodos numéricos• Es importante distinguir la diferencia entre estudiar

matemáticas abstractas, lo que seguramente debetener su encanto, para los científicos puros, yestudiar matemáticas para resolver problemasreales, que es el cometido de los ingenieros.

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la soluciónde problemas.

Capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería

Aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas

Porqué?Problemas reales

Modelos matemáticos

Resoluciones eficientes(con computadores…)

Aplicaciones en áreas como:•Ciencias Sociales•Economia•Ingeniería•Medicina ...

Análisis Numérico

Computación Numérica: Como?

Pasos para la resolución de problemas

PROBLEMA

MODELAMIENTO

REFINAMIENTOCIENCIAS AFINES

RESULTADO DECIENCIAS AFINES

MEDICIÓN

SELECCIÓNDE MÉTODOS

DE PARÁMETROSSELECCIÓN

DE PARÁMETROSDE ITERACIONESTRUNCAMIENTODE ITERACIONES

RESULTADONUMÉRICO

Introducción a los Métodos Numéricos


Flujograma – Solución Numérica

PROBLEMAMODELO

MATEMÁTICO SOLUCIÓN

modelamiento resolución

PROBLEMA

ESCOGER MÉTODO

NUMÉRICO

IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL

CONSTRUCCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

LEVANTAMIENTO DE DADOS

ANÁLISIS DE RESULTADOS

VERIFICACIÓN

SistemaSistemaReal MODELO

ImplementaciónImplementaciónResultados DecisiónDecisiónfinal

Decisiónóptima

Comparación(+) o ( -)

Ajustes

Panorama

EMPRESAS

ENTIDADES

PROBLEMAS REALES

(tecnología, ingeniería, industria, etc )

Ingeniería matemáticaContextualización, Adaptación demodelos físicos,implemetación numérica

MATEMÁTICAS

FÍSICA

Análisis

Contextualización


• Herramientas de Cálculo Numérico:

• Mathematica ©• Axiom ©• Mapple © • Gauss ©• MatLab ©

• Bibliotecas de Funciones

• NAG ©• LAPACK ©• LINPACK ©


¿Qué es Matlab?, MATrix LABoratory

• Es un lenguaje de programación (inicialmente escrito en C)para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices.Como caso particular puede también trabajar con númerosescalares, tanto reales como complejos.

• Cuenta con paquetes de funciones especializadas

• Los Métodos Numéricos corresponden a un conjunto deherramientas o métodos usados para obtener unasolución de problemas matemáticos de formaaproximada.

• Los Métodos Numéricos se aplican principalmente aproblemas que no presentan una solución exacta, por lotanto precisan ser resueltos numericamente.

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Ejemplo:

Circuito eléctrico compuesto de una fuente de tensión y un resistor.

0 iRVRVi Solución exacta

Introducción de un diodo en el circuito:

1ln

sIi

qkTiv 01ln

sIi

qkTiRV

Solución utilizando métodos numéricos

V R

i

V RDi


Función de Cálculo Numérico en Ingeniería

“Buscar solucionar problemas técnicos a través de métodos numéricos

modelo matemático”


Modelado y tipos de modelos

¿QUÉ ES EL MODELADO?

• Los procesos y sistemas en ingeniería son generalmentecomplicados y deben ser simplificados por idealizacionesy aproximaciones para resolver el problema planteado.

• El proceso de simplificación del problema, para quepueda ser representado en términos de un sistema deecuaciones (para el análisis, diseño y optimización) o através de un arreglo físico (para experimentación), es loque se conoce como modelado

¿Qué es un modelo?

Modelo matemático

Modelo de moda

X

X X

CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

Criterio Tipo de modeloFenomenológico

1. Principio de formulación Balance de PoblaciónModelos empíricos

2. Naturaleza del sistema DeterminísticoProbabilístico

3. Estructura del sistema LinealesNo-lineales

4. Variación temporal DinámicosEstáticos

5. Variación espacial Parámetros distribuidosParámetros concentrados

Modelo matemáticoM

OD

ELO

•Simbólico•Icónico•Analítico/Matemático•Simulación

Representación de la realidad

Modelos matemáticos• Si los métodos numéricos sirven para resolver

problemas de ingeniería civil, se debe crear unmodelo matemático que represente al sistema real.

• Los modelos matemáticos generalmente serepresentan con funciones donde una variabledepende de parámetros y otras variablesindependientes.

• Si el modelo matemático es adecuado, podemospredecir el comportamiento del sistema real.

• Por naturaleza, los métodos numéricos producensoluciones aproximadas a los problemas matemáti-cos pero pueden ser muy útiles para caracterizarun sistema real.



¿QUÉ ES EL MODELADO?

• Los procesos y sistemas en ingeniería son generalmentecomplicados y deben ser simplificados mediante idealizaciones y aproximaciones para poder resolver el problemaplanteado

• El proceso de simplificación del problema, para quepueda ser representado en términos de un sistema deecuaciones (para el análisis, diseño y optimización) o através de un arreglo físico (para experimentación), es loque se conoce como modelado

¿Qué es un modelo? • Una representación abstracta de…• …ciertos aspectos de la realidad

• No todos los elementos de ella (¡esto no es posible!)• Estructura basada en elementos seleccionados de la realidad

• Elementos elegidos para un propósito particular• Para dar respuesta a un interrogativo en particular

• Relaciones entre los elementos

• Un modelo es un arreglo físico o un conjunto de ecuacionesque sirven para representar algún sistema o proceso

• Clasificación general de los modelos:• Modelos descriptivos• Modelos predictivos

Críticas de modelos• “No cuentan con todos los factores relevantes”

• Un diseño inteligente lo puede resolver• Los modelos no pueden, ni deberían, incluir “todo”• “Todos los modelos son imprecisos, algunos son útiles”

• “Con frecuencia los datos para modelos cuantitativos soninadecuados”• Imprecisión en los datos →resultados menos confiables• Especificar suposiciones inteligentes cuando hacen falta observa

ciones• Utilizar “análisis de sensitividad” para evaluar importancia• Utilizar el modelo para identificar los datos prioritarios

Modelaje en perspectiva…• En muchas situaciones, se debe tomar una

decisión importante con información incompleta.• Dos elecciones:

• Tomar la decisión con base solamente en intuición, o “modelos mentales”

• Tomar la decisión con base en múltiples fuentes deinformación, inclusive modelos cuantitativos

• La segunda elección conduce a mejoresresultados

Llegadas SalidasSistema


Modelos Análogos

• Los modelos análogos son basados en las analogías osimilitudes entre los diferentes fenómenos físicosexistentes; estos permiten el uso de la solución yresultados de un problema familiar, para obtener loscorrespondientes resultados de algunos problemas noresueltos

• Un ejemplo de modelos análogos es el análisis de latransferencia de calor a través de una pared de variosespesores y diferentes materiales estudiada mediantela Ley de Ohm’s


Modelos Físicos

• Un modelo físico es uno que representa un sistema, ygeneralmente es usado para obtener resultadosexperimentales sobre el comportamiento de un sistema

• Un ejemplo de ellos son los modelos a escala devehículos los cuales son colocados dentro de túneles deviento para estudiar las fuerzas de arrastre ysustentación generadas sobre la carrocería

Modelado y tipos de modelosModelos Matemáticos• Un modelo matemático es uno que representa el

desempeño y comportamiento de un sistema dado entérminos de ecuaciones matemáticas, ofreciendoresultados cuantitativos

• Los modelos matemáticos pueden estar basados en elentendimiento físico de un sistema ó por construcciónde modelos a partir de datos (e.g., ajuste de curvas adatos experimentales).

• Las ecuaciones que gobiernan el sistema pueden seralgebraicas, ecuaciones diferenciales ordinarias y/oparciales, ecuaciones integrales ó combinación devarias de ellas

Modelado y tipos de modelosModelos Numéricos• Los modelos numéricos son basados en los modelo

matemáticos y permiten obtener el comportamiento delsistema para diferentes condiciones de operación ydiferentes parámetros de diseño

• Un aspecto importante es que muy pocos problemaspueden ser resueltos por procedimientos analíticos,siendo necesario el empleo de métodos numéricos pararesolver las ecuaciones que gobiernan sistemas reales

• Los modelos numéricos están referidos a lareestructuración y discretización de las ecuaciones quegobiernan el sistema, para luego ser resueltasempleando el computador

Simulación de sistemas• Imitación del funcionamiento de un proceso real con el tiempo

• Se necesita un modelo del sistema real• Se genera una historia artificial de sucesos en el siste

ma y sus repercusiones

• Utilidades

• Contestar a preguntas tipo “what if” sobre el sistema real

• Estudio de sistemas en fase de diseño (no existe el real)

• Si el modelo es muy simple se puede resolver matemáticamente• Modelos realistas son demasiado complejos para una solución

analítica

Tipos de sistemas• Sistema discreto

• Las variables de estado cambian solo en un conjunto discreto de puntos en el tiempo

• Ejemplo: banco

• Sistema continuo• Las variables de estado cambian de forma continua con

el tiempo• Ejemplo: nivel de agua en un reservorio

• El modelo de un sistema considera solo los aspectos que afectan al problema en estudio

• Debe ser lo suficientemente detallado para poderse obtener conclusiones que apliquen al sistema real

• Tipos:• Discreto/Continuo• Estático/Dinámico• Determinista/Estocástico

MODELADO Y SIMULACIÓN DE SISTEMAS

Modelo y simulación

Utilidad

Modelo de Simulación

SISTEMA

MODELO

Modelo Analógico

Tipos de Modelos

Tipos de Simulación

Modelo Matemático

continuo

discreto

Modelo Físico

continuo

eventos

SISTEMAS

¿Qué es un sistema?

Es un conjunto de elementos interrelacionados.Se encuentra en un medio ambiente acotado por un límite.Este conjunto persigue un objetivo concreto.La visión que se tiene de él depende del observador.

Límite del sistema

Parte del sistema

Relación

Ejercicio • ¿Todos los sistemas son iguales?• ¿De qué depende su definición?

Definición de los sistemasEstructural• Se define el sistema identificando y describiendo cada

uno de sus componentes y sus interrelaciones.• Se considera que tras hacer esto se puede conocer el

sistema.

De comportamiento (Funcional)• Se define el sistema considerándolo como una caja

negra y describiendo sus respuestas ante los posiblesvalores en las entradas.

• Se conoce el sistema definiendo su dinámica.

Propiedades de los sistemasSinergia.

• Con los componentes y su interrelación se consiguemás que lo que en principio resultaría de la simplesuma de los componentes.

Entropía• Refleja el grado de desorden del sistema. Se puede

reducir la entropía ingresando información al sistema.

Equilibrio homeostático.• Equilibrio dinámico que mantiene los valores dentro

de un rango establecido.

¿Qué diagrama representa un sistema?

¿Dónde están los sistemas?

¿Sistema?

¿Dónde están los sistemas?Los sistemas se definen con construcciones mentales.

Su definición se corresponde con la representación o modelo mental de los objetos del mundo real.

Cada sistema depende del punto de vista del observador (modelador).

Diferentes Personas Diferentes Visiones Diferentes Sistemas

¿Cuál es el sistema?¿El plano de la casa, la casa, ambos o ninguno?

MODELOS

Modelo• Es una abstracción de la realidad.• Es una representación de la realidad que ayuda a

entender su composición y/o funcionamiento.• Es una construcción intelectual y descriptiva de una

entidad en la que un observador tiene interés.• Se construye para transmitirse.• Se emplean supuestos simples para restringirse a lo

que se considera relevante y evitar lo que no.

Un modelo es un sistema desarrollado para entender la realidad y, enconsecuencia, para modificarla.No es posible modificar la realidad, en cierta dirección, si no se dispone deun modelo que la interprete.

Modelos

Modelo

SistemaRealObservador

¿Para qué sirve un modelo?

Ayuda para el pensamiento

Ayuda para la comunicación

Para entrenamientoe instrucción

Ayuda para la experimentación

Herramienta de predicción

Modelos Mentales y Formales• Modelos Mentales.Depende de nuestro punto de

vista, suele ser incompletos yno tener un enunciado preciso, no son fácilmente transmisibles

Ideas, conceptualizaciones

• Modelos Formales.Están basados en reglas, son

transmisibles.Planos, diagramas, maquetas,

ecuaciones, descripciones en HDL, programas. . .

Niveles de abstracción

Nivel detransacciones

Modelos Icónicos y Abstractos

Exactitud Abstracción

1. Planta piloto2. Modelo de un átomo, globo terráqueo, maqueta3. Reloj, medidores de voltaje, gráfica de volumen/costo4. Modelos de colas, modelos de robots5. Velocidad, ecuaciones diferenciales.

Modelo analógico. Son aquellos en los que una propiedad del objeto real está representada por una propiedad que la sustituye, pero con comportamiento similar.

Modelos físicos

Modelos a escala

Modelos analógicos

Sim

ulación por ordenador

Modelos m

atemáticos

TIPOS DE MODELOS

Tipos de modelos de simulación

• Estocástico. Contienen uno o más parámetros (variables endógenas) aleatorios. Lasmismas entradas pueden ocasionar salidas diferentes.

• Determinístico. Ante entradas fijas se producen las mismas salidas.• Estático. No se contempla el tiempo como determinante para la evolución del sistema• Dinámico. El tiempo interviene en la variación de las variables del sistema.• Tiempo-continuo. El modelo permite que los estados del sistema cambien en

cualquier momento.• Tiempo-discreto. Los cambios de estado del sistema se dan en momentos discretos

del tiempo.

estocástico

determinístico

estático dinámico

tiempo-continuo

tiempo-discreto

DeterminísticoSi el estado de la variable en el siguiente instante de tiempo se puede determinar con los datos del estado actual

Método numérico: algún método de resolución analítica

Estocástico - DeterminísticoEstocástico (*)Si el estado de la variable en el siguiente instante de tiempo no se puede determinar con los datos del momento actual

Método analítico: usa probabilidades para deter-minar la curva de distribución de frecuencias

yj = fm(xi, lk)(Existenvariables internas–como lk–aleatorias)

xi yjyj = fm(xi)xi yj

Discreto (*)El estado del sistema cambia en tiempos discretos del tiempo

e = f(nT)

Método numérico: utiliza procedimientos computacionales para resolver el modelo matemático.

Continuo - DiscretoContinuoEl estado de las variables cambia de forma continua a lo largo del tiempo

e = f (t)

Método analítico: emplea razonamiento de matemáticas deductivas para definir y resolver el sistema

Dinámico (*)Si el estado de las variables puede cambiar mientras se realiza algún cálculo

f [ nT ] ≠ f [ n(T+1) ]

Método numérico: usa procedimientos computacionales para resolver el modelo matemático.

Estático - DinámicoEstático

Entre las variables no se encuentra la variable tiempo.

Método analítico: algún método de resolución analítica.

SIMULACION

Simulación• Es la construcción de modelos informáticos que

describen la parte que se considera esencial delcomportamiento de un sistema de interés, así comodiseñar y realizar experimentos con este modelo yextraer conclusiones de sus resultados para apoyar latoma de decisiones.

• Se usa como un paradigma para analizar sistemascomplejos. La idea es obtener una representaciónsimplificada de algún aspecto de interés de la realidad

• Permite experimentar con sistemas (reales o propuestos)en casos en los que de otra manera esto no seríapráctico o bien demasiado costoso o incluso imposible

Simulación

• La simulación del sistema imita la operación del sistema actualsobre el tiempo.

• La historia artificial del sistema puede generarse, observarse yanalizarse.

• La escala de tiempo puede alterarse según la necesidad.• Las conclusiones acerca de las características del sistema actual

se pueden inferir.

Sistema Actual

Simulación del Sistema

parámetros

entrada(t)

salida(t)

=??

salida(t)

Estructura de un modelo de simulación

si = f(ci, ni)

ci: variable exógena controlableni: variable exógena no controlableei: variable endógena (estado del sistema)si: variable endógena (salida del sistema)

ci

ni

ni

si

si

ei

ei

ei

Simulación probabilística*• En ocasiones se necesitan variables aleatorias

en procesos de simulación:– Algoritmos de placement & routing, de mapping. . .

• Entre otras técnicas, en Electrónica las más empleadas son:– Simulación de Montecarlo– Simulated annealing– Algoritmos genéticos

PERTINENCIA

¿Cuando es apropiado simular?• No existe una completa formulación matemática del problema.

• Cuando el sistema aún no existe.

• Es necesario desarrollar experimentos, pero su ejecución en larealidad es difícil o imposible

• Se tiene interés en establecer un periodo de observación delexperimento distinto del que se podría establecer en la realidad.

• No se puede interrumpir la operación del sistema actual.

¿Cuándo no es aconsejable simular?• El desarrollo del modelo de simulación requiere mucho tiempo.• El desarrollo del modelo es costoso comparado con beneficios.• La simulación es imprecisa y no se puede medir su imprecisión.

– El análisis de sensibilidad puede ayudar en estos casos.

Maneras de estudiar un sistema• Según Law y Kelton

Sistema

Experimentarcon el

sistema

Experimentarcon un modelo

del sistema

Modelofísico

Modelomatemático

Soluciónanalítica SIMULACIÓN

Ejercicio Sistema real:Sección de caja de un supermercado.

Identificar:• Elementos o entidades.• Actividades por cada entidad.• Variables exógenas:

– Controlables.– No controlables.

• Variables endógenas:– De estado – De salida

Ejercicio • Sistema de colas con un solo canal, por ejemplo una

caja registradora.

• El tiempo de llegada entre clientes esta distribuidouniformemente entre 1 y 10 minutos.

• El tiempo de atención de clientes esta distribuidouniformemente entre 1 y 6 minutos.

• Calcular:– Tiempo promedio en que un cliente permanece dentro del

sistema.– Porcentaje de tiempo desocupado del cajero.

Ejercicio 10 0 6

Notiempo llegada

Hora llegada

Hora inicio

serviciotiempo servicio

Hora fin servicio

Tiempo espera

Tiempo cajero

inactivo01 9 9 9 3 12 3 92 2 11 12 2 14 3 03 6 17 17 4 21 4 34 8 25 25 6 31 6 45 6 31 31 4 35 4 06 9 40 40 4 44 4 57 4 44 44 3 47 3 08 3 47 47 3 50 3 09 5 52 52 4 56 4 2

10 5 57 57 4 61 4 111 5 62 62 6 68 6 112 10 72 72 3 75 3 413 2 74 75 1 76 2 014 2 76 76 4 80 4 015 4 80 80 3 83 3 016 8 88 88 2 90 2 517 8 96 96 2 98 2 618 3 99 99 3 102 3 119 6 105 105 5 110 5 320 3 108 110 2 112 4 0

68 72 445.4 3.4 3.6 2.2

La Ingeniería Avanzada …Aportaciones de la Modelación Computacional

• Ampliación de las reservas mundiales• Exploración a mayor profundidad y con mayor detalle• Mejor aprovechamiento de los yacimientos después de

su localización

La Ingeniería Avanzada …SISMOLOGÍA

• Instrumentación para detección de ondas sísmicas• Estudio del impacto de las ondas sísmicas en la sociedad

y sus construcciones• Sistema de alerta sísmica• Generación de mapas de riesgo sísmico• Reglamentación de construcción

La modelación …¿Qué Son los Modelos?

Sustituto del sistema cuyo comportamiento se deseapredecir

¿Qué Son los ModelosComputacionales?

Es el conocimiento científico ytecnológico que se integra enmodelos matemáticos que setransforman en programas decómputo

La modelación …Los Grandes Retos

• Los sistemas de la Ciencia y la ingeniería son diversos• Los sistemas de la Ciencia y la ingeniería son complejos• Los sistemas de la Ciencia y la ingeniería tienen un gran

número de grados de libertad

Características de los Modelos

• Generalidad• Sencillez• Capacidad de enfrentar los grandes retos

de la Ciencia y la Ingeniería

La modelación …Las Dos Físicas

• Física Macroscópica• Física Microscópica

Los Sistema de la Física Macroscópica

• La mayor parte de los sistemas de la ingeniería pertenecen a está categoría

• Los modelo que los incluye a todos ellos es el de los sistemas continuos

La modelación …Características del Modelo de los Sistemas Continuos

• Generalidad• Sencillez• Claridad

La Modelación Matemática de los Sistemas Continuos son Ecuaciones Diferenciales

(Parciales)

• Las soluciones de estas ecuaciones son las que permiten predecir el comportamiento

• Hoy en día el camino más eficaz para obtenerlas son los métodos numéricos, que se implementa por medio de las computadoras

• Los modelos de Ciencia y la Ingeniería son matemáticos-computacionales

La modelación …Problema

(Acuífero, Yacimiento Petrolero, etc)

Mecánica de Medios Continuos(Ecuación de balance + Leyes constitutivas)

Modelo Matemático(Sistema de ecuaciones diferenciales)

Métodos Numéricos(Discretización de la Ec. Dif. Parc.)

Interpretación de resultados

Modelo Computacional(Paquete o sistema de cómputo)

Implementación Computacional(Programación en un lenguaje comp.)

Modelo Numérico(Sistema de ecuaciones algebraicas.)

Modelo Matemático• Geometría del dominio• Sistema de ecuaciones diferenciales

La modelación …Métodos Numéricos

• Método de diferencias finitas• Métodos de elementos finitos• Métodos de volumen finito• Métodos de descomposición de dominio• Métodos híbridos

Modelo Numérico• Interpolación y aproximación• Integración y diferenciación numérica• Algebra numérica• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales

La modelación …Implementación Computacional

• Cómputo Secuencial• Programación estructurada• Programación orientada a objetos

• Cómputo Paralelo o Distribuido• Programación estructurada• Programación orientada a objetos

Modelo Computacional• Paquete o sistema de cómputo corriendo en

• Una computadora• Un cluster• Supercomputadora

• Posible uso de distintos sistemas operativos• Windows, Linux, Unix…

Cómputo de Alto Rendimiento¿Qué es el Cómputo de

Alto Rendimiento?

• Es un conjunto de computadorasde alto desempeño interactuandoentre si, como si fuesen un sóloequipo de cómputo (HPC), alconjuntar una gran cantidad dealmacenamiento llegando a sermuy rápida

• La potencia de cómputo de unasupercomputadora supera envarios ordenes de magnitud auna computadora de escritoriode la misma época

• Permite hacer cálculos complejosy puede ser usada en una granvariedad de problemas

¿Para que nos Interesa?

• Tamaño de almacenamiento. Muchosproblemas requieren hacer uso degran cantidad de almacenamiento(RAM o HD)

• Velocidad.- Muchos problemasrequieren resolverse en un tiempolímite

• En la gran mayoría de los problemasque a la Ciencia e Ingeniería leinteresan, requieren de un granconsumo de memoria como unacreciente rapidez de procesamientopara entregar el resultado aprox.

PROCEDIMIENTO GENERAL DE FORMULACIÓN DE UN MODELOMATEMÁTICO

1. Etapa previa: Definición del problemaNo se puede efectuar un planteamiento del problema a partir de unadefinición inexacta del mismo ni tampoco resolver un problemainadecuado. Por tanto, es necesario saber en qué consiste exactamente elproblema real; es decir, definir claramente las preguntas a las que espreciso encontrar respuesta. También se deben determinar las variablesdependientes e independientes del problema.

2. Bases de Formulación del modelo

Las bases para los modelos matemáticos son las leyes fundamentales dela física y de la química, tales como las leyes de conservación de masa,energía y momento, en su forma más general incluyen términosdependientes del tiempo. La ecuación general de conservación aplicadaa un sistema dinámico tiene la siguiente expresión:

Propiedad que entra al sistema

Propiedad que se genera en el sistema

+

Propiedad que sale del sistema

= +

Propiedad que se acumula en el sistema

1. Para establecer correctamente los términos correspondientes a lasentradas/salidas, es necesario definir en forma precisa el sistema en estudio.Este no necesariamente corresponde con el proceso físico en estudio, sino másbien con el objeto del estudio

Comentarios

2. El término de generación, por lo general implica la conversión de una especiequímica, vale decir un compuesto a otro mediante una reacción química. Parael caso de conservación de energía, este término involucra todos los posiblesfenómenos de conversión de un tipo de energía a otra.

3. El término de acumulación incluye las variaciones temporales de la propiedad.Esta variación puede expresarse usando derivadas ordinarias o parciales segúnel sistema (o modelo) sea a parámetros concentrados o distribuidos

4. Tan importante como formular las ecuaciones diferenciales o algebraicas, para el desarrollo de un modelo matemático es la selección de un conjunto adecuado de condiciones límite y/o condiciones iniciales.

3. Suposiciones Simplificantes

Existe un compromiso entre un descripción rigurosa y la viabilidad de una solución moderamente complicada

4. Consistencia Matemática del Modelo

Se debe determinar la consistencia matemática del modelo, usualmente expresada en términos de los grados de libertad del sistema, definidos como:

GL = Nº variables – Nº ecuaciones

GL

< 0 Sin solución (subespecificado)

= 0 Solución única

> 0 Múltiples soluciones (sobreespecificado)

5. Solución del modelo

Consiste en resolver las ecuaciones algebraicas, diferenciales- utilizandodiferentes métodos (analíticos, numéricos, gráficos) con el fin de obteneruna relación explícita entre las variables dependientes e independientes,que sea fácil de visualizar y manipular (con el fin de su utilizaciónrepetitiva y de control).

6. Verificación o validaciónConsiste simplemente en comparar los resultados del modelo con losobtenidos en la operación de la planta, con los esperados teóricamente, ocon los resultados de prueba piloto. Si la comparación no ofrece losresultados esperados, se debe ir hacia atrás revisando exhaustivamentecada etapa.

Si los resultados de la comparación son satisfactorios, entonces procede lasimulación del proceso; esto es, la manipulación del modelo mediantevariación de los parámetros y de las condiciones de operación con el fin dedeterminar su sensibilidad y robustez.

Finalmente una reflexión:

Hace 50 años, el científico francés, P.M. Dirac, expresó lo siguiente:Las leyes físicas fundamentales necesarias para la teoría de una gran parte de la física y casi toda la química son en la actualidad completamente conocidas, y la dificultad está solamente en que la exacta aplicación de estas leyes conduce a ecuaciones cuya solución es extraordinariamente complicada

¿SE SEGUIRÁ CUMPLIENDO ESTA AFIRMACIÓN?

Modelos matemáticos

• Un Modelo matemático es una formulación o una ecuación queexpresa las características esenciales de un sistema físico oproceso en términos matemáticos

fuerza defunciones

, parámetros ,ntesindependie

variablesedependient

Variable f

Variable dependiente: característica que refleja el comportamiento o estado de unsistema

Variables independientes: generalmente dimensiones tales como tiempo y espacio,a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema

Parámetros: son las propiedades o la composición del sistema Funciones de fuerza: influencias externas que actúan sobre el sistema

Un modelo matemático simple

• Segunda Ley de Newton

maF mFa

a: variable dependienteF: función de fuerzam: parámetro que representa una propiedad del sistema

Por su forma algebraica sencilla puede despejarse directamente

Un modelo matemático complicado

• Segunda Ley de Newton para determinar la velocidad terminal decaída libre de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra(paracaidista)

mF

dtdv

cvmgFFF UD

vmcg

dtdv

g: aceleración de la gravedadc: coef. de arrastre

Sustituyendo F

Es una ecuación diferencial

Solución analítica tmcec

gmtv /1

*Hay casos donde es imposible obtener una solución analítica


• Solución numérica• Se busca una aproximación a la razón de cambio de la velocidad

con respecto al tiempo con una diferencia finita dividida

ii

ii

tttvtv

tv

dtdv

1

1

iii

ii tvmcg

tttvtv

1

1

Sustituyendo

Solución numérica

*Es necesario el valor de la velocidad en un tiempo inicial ti

iiiii tttvmcgtvtv

11

0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

v, m/st,

s

Pendienteverdadera

Pendienteaproximada


• Solución analítica vs. Solución numérica

*mejor solución numérica implica mayor costo computacional

0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

v, m

/s

t, s

Solucion analiticaSolucion numerica

Aumenta la exactitud

Aum

enta

la p

recis

ión

Ejemplo de diferentes modelos

Sistema real

Conociendo el proceso …

• MODELACIÓN MATEMÁTICASuspensión de un automóvil

f(t)

z(t)

kb

m

Fuerza de entrada

Desplazamiento, salida del sistema

2

2 )()()()(dt

tzdmdt

tdzbtkztf

maF

Conociendo el proceso…

• MODELACIÓN MATEMÁTICANivel en un tanque

qo(t)Flujo de salida

R (resistencia

de la válvula)

h(t)

qi(t) Flujo de entrada

dttdhAth

Rtq

tqthR

dttdhAtqtq

i

o

oi

)()(1)(

)()(

)()()(

Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulamiento

A(área del tanque)

Modelación de Sistemas Dinámicos utilizandoEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Sistema

Físico

Sistema (Físico)

a modelarFunción forzante

y(t)u(t)

Respuesta del sistema

-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)

- Sistema Hidráulico (llenado de un tanque)

- Sistema térmico (temperatura en un horno)

-Sistema Eléctrico (velocidad de motores)

- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )

- Sistema Económico ( inflación)

- Sistema de producción (producción entre máquinas)

Relación causal

Sistemas físico: Temperatura en un horno

Horno

Flujo de

Combustible

qi(t)

Temperatura:

T(t)horno

Temperatura

Flujo de gas

Relación causal

Sistema Físico:Llenado de un tanque

qo(t): Caudal de salida

qi(t): Caudal de entrada

A:área del tanque

p(t): señal que regula el caudal hacia el tanque.

h(t): altura del tanque

Rh: resistencia Hidráulica

TanqueCaudal de entrada

qi(t)

Nivel: h(t);

Caudal de

Salida, qo(t)

Relación causal

Analogía de Sistemas de Primer OrdenR

Cvi(t): fuente de voltaje

i(t):vo(t)

vi(t): fuente de voltajevo(t): voltaje de salida

C: Capacitor

R: Resistencia



A:área del tanque




i

i

oo

oo

v (t)v (t) v (t)

v (

ddt

ddt

v (t) t) )t v (

R.C

dc(t) + c(t) = .dt

τ K u(t) K: Ganancia en estado estable

: Constante de tiempo

qi(t)

0(t)

dq0(t)

q

dt

d

dtqi(t)+ q0(t) =

R.A

t

+ q0(t) =

Modelación de una ecuación diferencial medianteDiagrama a bloques.

1As

o 0iH(s)(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i.Rh

1Rh

Caudal de salida

Caudal

Acumulado=

Qi(s) +

Qo(s)

H(s) Qo(s)Qi(s) – Qo(s)



A:área del tanque




Caudal de entrada

)1( ...... dt

dh(t)AAv(t) (t)(t)(t) qqq acum0i

(2) ..... Rhh(t)(t)q0

Simulación del sistema hidráulico utilizandola herramienta computacional Matlab-Simulink

Aplicación del sistema básico: masa-resorte-amortiguador

Sistema: Masa-Resorte-Amortiguadoren la suspensión de un auto

Masa: m

AmortiguadorResorte

z(t): desplazamiento

o respuesta del sistema

f(t)entrada: fuerza de entrada

td

d

tzmmafuerzas

i2

2

1

)(

Simulación mediante SIMULINK

td

dtzmmaFuerzas 2

2 )(

dtdz(t)B

)(

)(

)(

)()()(

tf

tftftff

oramortiguad

resorte

oramortiguadresortei

tzk

tfuerzas

Z(s)

k

B s

sm 21Fi(s)

F(s)resorte

F(s)amortiguador

Fi(s) - F(s)resorte – F(s)amortiguador = m s2 Z(s)

-

+

-

)(

)(

)()(

ssZB

sZk

sFsF

oramortiguad

resorte

fi(t)

z(t)

Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK

Paso por un bache sencillo

Masa-Resorte-Amortiguador en terrenos con superficie rugosa.

Hora 6 8 10 12 14 16 18 20Grados 7 9 12 18 21 19 15 10

Un problema de AproximaciónEvolución de la temperatura diurna

4

8

20

6 8 10 12 14 16 18 20 226

1012141618

22

Hora

Gra

dos

Ejemplo de diferentes modelos

Perfil para un diseño

Polinomio interpolador

MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA

CONSIDERACIONES GENERALESEl estudio de todo fenómeno físico puede realizarse planteando elproblema como un Problema de Valor de Contorno Inicial (PVCI), en el que se emplean las ecuaciones que caracterizan el estado ycomportamiento del fenómeno, que son unas ecuaciones en derivadas parciales, y unas condiciones iniciales y de contorno que caracterizan los límites del problema y su evolución temporal.

CONSIDERACIONES GENERALESEn la actualidad, los métodos más empleados para este fin son:

Método de las Diferencias Finitas (MDF). Método de los Elementos Finitos (MEF). Método de los Elementos de Contorno (MEC). Método de los Volúmenes Finitos (MVF).

La idea básica del método de los elementos finitos consiste en discretizar el dominio del problema en sub-regiones, en las cuales lasecuaciones en derivadas parciales siguen siendo totalmente válidas, y resolverlas empleando una aproximación polinomial.

A

A

A

B

B

A

B

C

A

C

AB

C

D

A

B

D

C

A

E

D

B

C

E

F

D

AB

E

C

F

D

E

C

G

D

F

E

G

CD

B

A

D

H

E

F

G

E

C

F

D

B

H

A

E

G

D

D

H

F

ED

C

G

CB

F

G

C

E

B

A

D

F

B

C

E

A

D

BC

E

A

D

A

B

C

BD

A

C

A

B

A

AB

CAB


Ejemplo: ANÁLISIS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES

En Resumen

DISEÑO ESTRUCTURAL I 114

Fuerzas Axiales

Ejemplo: ANÁLISIS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES

En ResumenFuerzas CortantesMomentos de FlexiónDeformaciones Análisis Estructural

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN INGENIERÍA


TIPOS DE PROBLEMAS CON ELEMENTOS FINITOSLa idea general del método de los elementos finitos es laconversión de un medio continuo (infinitos grados delibertad) en un medio discreto formado por un conjunto depequeños elementos interconectados por una serie depuntos llamados nodos (grados de libertad conocidos).

Se presentan dos problemas:

Problema discreto.- cuando el número de elementos usados es finito.

Problema continuo.- cuando la subdivisión es continua yel problema sólo se puede estudiar usando elementosinfinitesimales.


DEFINICIÓN DEL MODELO

• GeometríaCoordenadas de los nudosConectividad de los elementos

• MaterialesPropiedades de los materialesAsignación de los materiales

• Acciones y condiciones de bordeAcciones distribuidasCondiciones de borde esencialesCondiciones de borde naturales


Muchas Gracias

catedra metodos numericos 2015 - unsch (01) [modo … · las principales Áreas en matemÁticas •...

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