apunte uchile - cálculo en varias (felmer)
TRANSCRIPT
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 1/164
½
Ô Ù Ò Ø Ð Ù Ð Ó Ò Î Ö × Î Ö Ð ×
È Ø Ö Ó Ð Ñ Ö Ý Ð Ò Ö Ó Â Ó Ö
Ó Ò Ð Ó Ð Ó Ö Ó Ò
È Ù Ð Ó × ¸ Å Ø × Ù Ð Ò × ¸ Ö Ø Ù Ö Ó È Ö Ø ¸ Ä Ù × Ê Ñ Ö Ý Â Ó × Ñ Ó Ö
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 2/164
¾
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 3/164
Ô Ø Ù Ð Ó ½
Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð
½ º ½ × Ð Ö Ý Ó Ñ Ø Ö Á Ê
Ò
× Ø Ô Ö Ñ Ö Ô Ø Ù Ð Ó Ø Ò Ó Ñ Ó Ó Ø Ú Ó Ð × Ø Ù Ó Ð × Ù Ò Ó Ò × Ú Ö ×
Ú Ö Ð × º × Ø × Ú Ö Ð × × Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ó × Á Ê ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ð Ó Ò Ø Ù Ö Ð ×
Ø Ö Ö Ò Á Ê
Ò
¸ Ó Ò Ò ¾ Á Æ
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ Ó Ø Ñ Ó × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Á Ê
Ò
Ù Ò × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × Ô Ó Ú ¹
Ø Ó Ö Ð Ñ Ò Ø Ð × × Ù Ò Ø × Ó Ô Ö Ó Ò × Ô Ö Ü ́ Ü
½
Ü
¾
¡ ¡ ¡ Ü
Ò
µ ¾ Á Ê
Ò
̧
Ý ́ Ý
½
Ý
¾
¡ ¡ ¡ Ý
Ò
µ ¾ Á Ê
Ò
Ý ¾ Á Ê ¬ Ò Ñ Ó ×
Ë Ù Ñ Ü · Ý ́ Ü
½
· Ý
½
¡ ¡ ¡ Ü
Ò
· Ý
Ò
µ
È Ö Ó Ù Ø Ó Ô Ó Ö × Ð Ö Ü ́ Ü
½
¡ ¡ ¡ Ü
Ò
µ
Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Á Ê
Ò
Ø Ò Ñ Ò × Ó Ò Ò º Ò Ø Ö Ð × Ñ Ù × Ô Ó × Ð ×
× × Á Ê
Ò
Ò Ó × Ò Ø Ö × Ö Ó Ò × Ö Ö ¸ Ô Ó Ö × Ù × Ñ Ô Ð ¸ Ð Ð Ð Ñ ×
Ò Ó Ò
Ò
½
¸ Ó Ò
´ ¼ ½ ¼ µ Ó Ò Ð Ù Ò Ó Ò Ð Ô Ó × Ó Ò º ×
Ø Ó Ó Ü ́ Ü
½
¡ ¡ ¡ Ü
Ò
µ ¾ Á Ê
Ò
× Ô Ù Ö Ô Ö × Ò Ø Ö Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð ×
Ò Ó Ò Ó Ñ Ó
Ü
Ò
½
Ü
À Ò Ó Ý ¬ Ò Ó Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Á Ê
Ò
Ú Ñ Ó × Ò Ø Ö Ó Ù Ö
Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ñ Ø Ö Á Ê
Ò
Ø Ö Ú × Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó ´ Ó Ô Ö Ó Ù Ø Ó
Ô Ù Ò Ø Ó µ
¿
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 4/164
È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
¬ Ò Ó Ò ½ º ¾ Ó × Ü Ý ¾ Á Ê
Ò
¸ × ¬ Ò Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó
Ü Ý Ó Ñ Ó
Ü ¡ Ý Ü Ý
Ò
½
Ü
Ý
Ä × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò Ö × Ù Ñ Ð × Ô Ö Ó Ô × × × Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó º
Ë Ù Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ñ Ù Ý × Ñ Ô Ð º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º ½ ´ È Ö Ó Ô × Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó µ
È ½ µ È Ö Ø Ó Ó Ü
¾ Á Ê
Ò
× Ø Ò
Ü Ü
¼ Ý
Ü Ü
¼ × Ý × Ó Ð Ó × Ü
¼ º ´ È Ó × Ø Ú µ
È ¾ µ È Ö Ø Ó Ó Ü Ý Þ ¾ Á Ê
Ò
Ý ¾ Á Ê Ü · Ý Þ Ü Þ · Ý Þ º ´ Ä Ò Ð µ
È ¿ µ È Ö Ø Ó Ó Ü Ý ¾ Á Ê
Ò
Ü Ý Ý Ü ´ Ë Ñ Ø Ö µ º
Ä Ò Ó Ó Ò Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ù Ñ Ò Ö Ò Ø Ù Ö Ð Ð Ò Ó Ó Ò Ò Ó Ö Ñ
Ó Ð Ó Ò Ø Ù Ù Ò Ú Ø Ó Ö º
¬ Ò Ó Ò ½ º ¿ Ë ¬ Ò Ð Ò Ó Ö Ñ Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ü ¾ Á Ê
Ò
Ó Ñ Ó
Ü
Ô
Ü ¡ Ü
Ä × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × Ø Ð Ù Ò × Ù Ð Ò Ø Ö Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ý
Ò Ó Ö Ñ Ú Ø Ó Ö × Á Ê
Ò
º Ð Ð Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø ¬ Ò Ö Ð Ò Ó Ó Ò Ò Ù Ð Ó Ò Ø Ö
Ú Ø Ó Ö × Á Ê
Ò
¸ Ò Ó Ò Ú Ò Õ Ù Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ø Ö Ñ Ò Ð
Ó Ñ Ø Ö Á Ê
Ò
º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º ¾ ´ × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ µ
Ü ¡ Ý Ü Ý Ü Ý ¾ Á Ê
Ò
Ë Ø Ò Ð Ù Ð × Ý × Ó Ð Ó × Ü × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó × Ð Ö Ý Ó Ù Ò Ó Ð Ð Ó × ×
¼ º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Ò Ü Ý ¾ Á Ê
Ò
Ý × Ø ¾ Á Ê º Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ö Ð × Ô Ö Ó Ô ×
Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
¼ Ü · Ø Ý Ü · Ø Ý Ü Ü · ¾ Ø Ü Ý · Ø
¾
Ý Ý
Ë Ý ¼ Ò Ø Ó Ò × Ð × Ù Ð Ò Ø Ù Ö Ð Ñ Ò Ø Ú Ð º Ë Ý ¼ Ò Ø Ó Ò ×
Ò Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ð Ü Ô Ö × Ó Ò Ö Ö Ø Ö Ñ Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ö Ø Õ Ù ×
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 5/164
½ º ½ º Ë Ä Ê Á Ç Å
Ì Ê Á Á Ê
Æ
Ò Ù Ð Ð Ó Ñ × Ù Ò Ú Þ Ò Ø ¾ Á Ê º × Ø Ó Ñ Ô Ð Õ Ù Ð × Ö Ñ Ò Ò Ø × Ö
Ò Ø Ú Ó Ó Ò Ù Ð Ó ¸ × Ö ¸
Ü Ý
¾
Ü Ü
¾
Ý Ý
¾
¼
Ó Ò × Ó Ø Ò Ð × Ù Ð × º Ù Ò Ó Ü × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ý Ò ¹
Ø Ó Ò × Ð Ö Ñ Ò Ø × Ø Ò Ð Ù Ð º É Ù Ö Ó Ô Ö Ó Ö Ð Ö Ô Ö Ó º
£
Ä × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø ¬ Ò Ö Ð Ò Ó Ó Ò Ò Ù Ð Ó
Ò Ø Ö Ú Ø Ó Ö × º
¬ Ò Ó Ò ½ º Ó × Ü Ý ¾ Á Ê
Ò
Ð Ð Ñ Ö Ñ Ó × Ò Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ü Ý
Ö Ó ×
Ü ¡ Ý
Ü Ý
Ò Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù ¾ ¼ º
Ó Ò × Ø ¬ Ò Ó Ò Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö Ú Ø Ó Ö × Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð × Ù Ò Ó Ð Ò Ù Ð Ó
Ò Ø Ö Ð Ð Ó × × ¼
Ó
¸ × Ö ¸ Ù Ò Ó Ü Ý ¼ º
Ì Ñ Ò Ú Ñ Ó × Ð Ú Ð Þ Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ó × Ò Ó
Ü Ý
¾
Ü
¾
· Ý
¾
¾ Ü Ý Ü
¾
· Ý
¾
¾ Ü Ý Ó ×
Ù Ò Ó Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × × Ó Ò Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð × Ø Ò Ñ Ó × Ð Ì Ó Ö Ñ È Ø Ó Ö × º
Ó Ñ Ó Ý Ñ Ó × ¸ Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ù Ð Ò Ó Ó Ò Ò Ó Ö Ñ ¸ Ð Õ Ù
Ð Á Ê
Ò
× Ù Ö Ø Ö Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ó ¸ Ó Ñ Ó Ý Ú Ö Ñ Ó × º È Ó Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ú Ñ Ó ×
Ð × Ô Ö Ó Ô × × × Ð Ò Ó Ö Ñ º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º ¿ ´ È Ö Ó Ô × Ð Ò Ó Ö Ñ µ
Æ ½ µ È Ö Ø Ó Ó Ü ¾ Á Ê
Ò
Ü ¼ Ý Ü ¼ × Ý × Ó Ð Ó × Ü ¼ º ´ È Ó × Ø Ú µ
Æ ¾ µ È Ö Ø Ó Ó Ü ¾ Á Ê
Ò
¾ Á Ê Ü Ü ´ À Ó Ñ Ó Ò µ
Æ ¿ µ È Ö Ø Ó Ó Ü Ý ¾ Á Ê
Ò
Ü · Ý Ü · Ý ´ × Ù Ð Ì Ö Ò Ù Ð Ö µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Æ ½ µ Ý Æ ¾ µ × Ó Ò Ö Ø × Ð Ð × Ô Ö Ó Ô × Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó
Ò Ø Ö Ò Ó Ý Ð ¬ Ò Ó Ò Ò Ó Ö Ñ º
Ä × Ù Ð Ì Ö Ò Ù Ð Ö × Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ð × Ù Ð
Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ º È Ö Ü Ý ¾ Á Ê
Ò
Ø Ò Ñ Ó ×
Ü · Ý Ü · Ý
Ü · Ý
¾
Ü
¾
· ¾
Ü Ý
·
Ý
¾
Ü
¾
· ¾
Ü
Ý
·
Ý
¾
Ó Ò × Ó Ø Ò
Ü · Ý
¾
́ Ü · Ý µ
¾
£
Æ Ó Ø Ó Ò Ó Ö Ò Ð Ò Ø Ô Ö Ö Ñ Ó × Ò Ó Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ö
Ú Ø Ó Ö × Ü Ý Ó Ñ Ó Ü ¡ Ý º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 6/164
È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
½ º ¾ Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Î Ð Ó Ö × Ò Á Ê
Ñ
¬ Ò Ó Ò ½ º Ä Ð Ñ Ö Ñ Ó × Ù Ò Ó Ò Ú Ð Ó Ö × Ò Á Ê
Ñ
× Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
º
Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó × Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ü ́ Ü
½
Ü
Ò
µ ¾ Á Ê
Ò
Ý Õ Ù
Ð Ñ Ò Ü × Ù Ò Ú Ø Ó Ö Á Ê
Ñ
º × ́ Ü µ ́
½
́ Ü µ ¡ ¡ ¡
Ñ
́ Ü µ µ Ó Ò Ð ×
Ù Ò Ó Ò ×
Á Ê Á Ê Ô Ö º Ä × Ù Ò Ó Ò ×
× Ó Ò Ó Ò Ó Ñ Ó
Ù Ò Ó Ò × Ó Ó Ö Ò × º
È Ö Ð × Ø Ù Ó Ð × Ù Ò Ó Ò × Á Ê
Ò
Ú Ð Ó Ö × Ò Á Ê
Ñ
Ú Ñ Ó × × Ö Ö Ó Ð Ð Ö
Ð × Ö Ö Ñ Ò Ø × Ð Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ð Ô Ó × Ð
Ù Ö Ò Ð × Ó Ñ Ò × Ó Ò × Ô Õ Ù Ò × ¸ × × Ñ Ô Ö Ð Ó Ñ Ù Ý Ù Ø Ð º Å ×
Ù Ò Ó Ö Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Ô Ö Ó Ö Ñ × Ó Ñ Ô Ù Ø Ó Ò Ð × Ñ Ù Ý ¬ Ò Ø × Ô Ö × Ø
Ø Ö º Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Ó Ð Ó º
¬ Ò Ó Ò ½ º Ä Ð Ñ Ö Ñ Ó × Ö Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ð
Ó Ò Ù Ò Ø Ó
́ µ ́ Ü ́ Ü µ µ Ü ¾
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù ́ µ Á Ê
Ò · Ñ
º × Ø × Ô Ó Ö Ù Ö Ù Ò Ó Ñ ½ Ý Ò ½ Ó
Ò ¾ º Ò Ð Ô Ö Ñ Ö × Ó Ð Ö Ó × Ù Ò Ù Ö Ú Ý Ò Ð × Ù Ò Ó Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ º
Ö Ó ½ º ½ Ù Ð Ö Ó Ð Ù Ò Ó Ò Ó × Ú Ö Ð × ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ Ü
¾
Ý
¾
º
¬ Ò Ó Ò ½ º Ù Ò Ó Ñ ½ Ý Ó ¾ Á Ê × ¬ Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Æ Ú Ð
Ð Ù Ò Ó Ò Ó Ñ Ó
Æ
́ µ Ü ¾ ́ Ü µ
Ò Ð × Ó Ò Õ Ù Ò ¾ Ý Ò ¿ Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ú Ð Æ
́ µ × Ô Ù Ù Ö º
Ë Ð Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ù Ö Ú Ò Ú Ð Ù Ò Ó Ò ¾ Ý × Ù Ô Ö ¬ Ò Ú Ð × Ò ¿ º
Ö Ó ½ º ¾ Ù Ð × × Ù Ô Ö ¬ × Ò Ú Ð Ô Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ø Ö × Ú Ö Ð ×
¬ Ò Ô Ó Ö ́ Ü Ý Þ µ Ü
¾
· Ý
¾
Þ
¾
º
Ö Ó ½ º ¿ ½ µ Ù Ð × Ù Ö Ú × Ò Ú Ð Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü Ý µ Ü
¾
Ý
¾
º
× Ø Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó × Ð Ð ´ × Ð Ð Ñ Ó Ò Ø Ö µ º
¾ µ Ù Ð × Ù Ö Ú × Ò Ú Ð Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü Ý µ Ü
¿
¿ Ü Ý
¾
º × Ø
Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ë Ð Ð Ð Å Ó Ò Ó º È Ó Ö Ö Ô Ó Ö Õ Ù
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 7/164
½ º ¿ º Ä
Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á
½ º ¿ Ä Ñ Ø × Ý Ó Ò Ø Ò Ù
Ä Ò Ó Ó Ò Ð Ñ Ø Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ó Ò × Á Ê
Ò
Ò Á Ê
Ñ
Ò Ú Ó Ð Ù Ö Ð
Ö Ø Ö Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ó × Ø Ó × × Ô Ó × ¸ Ò Ù Ó Ô Ó Ö Ð Ò Ó Ö Ñ º
Ò Ð × Ø Ù Ó Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Á Ê
Ò
¸ Ù Ò Ö Ó Ð Ù Ò Ñ Ò Ø Ð × Ù Ó Ô Ó Ö
Ð × Ó Ð × Ö Ø × º
¬ Ò Ó Ò ½ º Ó × Ü
¼
¾ Á Ê
Ò
̧ Ö ¾ Á Ê
·
¸ Ð Ð Ñ Ö Ñ Ó × Ó Ð Ö Ø Ò Ø Ö Ó
Ò Ü
¼
Ý Ö Ó Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
́ Ü
¼
Ö µ
Ü
¾ Á Ê
Ò
Ü
Ü
¼
Ö
Ä Ð Ñ Ö Ñ Ó × Ó Ð Ö Ö Ò Ø Ö Ó Ò Ü
¼
Ý Ö Ó Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
́ Ü
¼
Ö µ Ü ¾ Á Ê
Ò
Ü Ü
¼
Ö
¬ Ò Ó Ò ½ º Ö Ñ Ó × Õ Ù Á Ê
Ò
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ×
́ Ü
¼
¾ µ ́ Ö ¼ µ ́ Ü
¼
Ö µ
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ Á Ê
Ò
Ý Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ú Ó ¸ × Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × º Ù Ò Ù Ò Ó
Á Ê
Ò
× Ó Ú Ñ Ò Ø Ö Ø Ó ¸ Ð × Ó Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ú Ó Ö Õ Ù Ö Ù Ò Ö - Ü Ó Ò º
Ë Ò Ó × Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ü
¼
¾ Ô Ö Ð Ù Ð ́ Ü
¼
Ö µ Á Ê
Ò
¸ Ô Ö
Ö ¼ º × Ø Ó × × Ù Ö Ó Ô Ù × Ò Ó Ý Ð Ñ Ò Ø Ó × Ò º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ́ Ü Ý µ Ü ½ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º Ò
Ø Ó ¸ × ́ Ü Ý µ ¾ Ò Ø Ó Ò × ´ ́ Ü Ý µ
Ü ½
¾
µ º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¿ Ë Ü
¼
¾ Á Ê Ý Ö ¼ Ò Ø Ó Ò × ́ Ü
¼
Ö µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º
Ò Ø Ó ¸ × Ü ¾ ́ Ü
¼
Ö µ Ò Ø Ó Ò × ́ Ü ́ Ö Ü Ü
¼
µ ¾ µ ́ Ü
¼
Ö µ º Í × Ò Ó
Ð × Ù Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ñ Ù × Ø Ö Ð Ú Ö × Ø Ù Ð Ø Ñ ¬ Ö Ñ Ó Ò Ý
Ù Ò Ù Ó º
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ ¼ Ö Ñ Ó × Õ Ù Á Ê
Ò
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó ×
×
Ö Ø Ó º
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º ½ Æ Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Á Ê
Ò
Ý × Ó Ò Ö Ø Ó × Ý Ö Ö Ó × º
Ì Ñ Ò Ò Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ý Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Õ Ù Ò Ó × Ó Ò Ö Ø Ó × Ò Ö Ö Ó × º Î Ö
Ñ Ô Ð Ó Ó º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 8/164
È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ñ Ô Ð Ó ½ º Ë Ò
½
Ò
Ò ¾ Á Æ Ý ¼ º Ò Ø Ó Ò ×
µ Ò Ó × Ö Ö Ó º Ò Ø Ó
Ò Ó × Ö Ø Ó ¸ Ô Ù × ¼ ¾
Ý ́ Ö
¼ µ ´ ¼ Ö µ
Ä Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ô Ù × Ù Ð Õ Ù Ö × Ö ¼ × Ø Ò Õ Ù
́ Ò ¾ Á Æ µ Ø Ð Õ Ù
½
Ò
Ö
× Ö ¸
½
Ò
¾ ´ ¼ Ö µ º
µ Ò Ó × Ö Ø Ó Ô Ù × ½ ¾ ¸ Ô Ö Ó ́ Ö ¼ µ ́ Ü
¼
Ö µ º
µ × Ö Ö Ó Ý Ò Ó × Ö Ø Ó º
Ó Ñ Ó Ò Ð × Ó Á Ê Ù Ò Ó Ô Ù ¬ Ò Ö × Ù × Ó Ò × Ú Ø Ó Ö × Ò Á Ê
Ò
º
Ë Ø Ö Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò × Á Æ Á Ê
Ò
Ø Ð × Õ Ù Ü
º Í × Ù Ð Ñ Ò Ø ×
Ó Ò × Ö Ð Ò Ó Ø Ó Ò Ü
¾ Á Æ
º
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ ½ Í Ò × Ù × Ó Ò Ü
¾ Á Æ
Ò Á Ê
Ò
× Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ü ¾
Á Ê
Ò
×
́
¼ µ ́
¼
¾ Á Æ µ
Ü
Ü
́
¼
µ
Ò Ð × Ó Õ Ù Ü ¾ Á Ê
Ò
Ó Ò Ú Ö Ü Ò Ó Ø Ñ Ó × Ü
Ü Ó Ð Ñ
½
Ü
Ü º
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ò Ó Ò Ü
Ü × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ü
¾ ́ Ü µ
× Ò Ø Ö × Ò Ø Õ Ù Ù Ò Ó Ô Ù Ö Ø Ö Þ Ö Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ö Ó Ñ Ò Ø
Ð Ù × Ó × Ù × Ó Ò × º Ò Ö Ð Ù Ò Ó Ô Ó Ö × Ö Ö Ó Ñ Ô Ð Ø Ñ Ò Ø Ð
Ø Ó Ô Ó Ð Ó Á Ê
Ò
Ù × Ò Ó × Ù × Ó Ò × ¸ Ô Ö Ó Ò Ó Ð Ó Ö Ñ Ó × º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º
Á Ê
Ò
× Ö Ö Ó × Ý × Ó Ð Ó ×
È Ö Ø Ó × Ù × Ó Ò Ü
¾ Á Æ
´ ́ Ü
Ü µ µ Ü ¾ µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ́ µ µ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ö Ö Ó º Ë Ü
¾ Á Æ
Ù Ò × Ù × Ó Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ø Ð Õ Ù Ð Ñ
Ü
Ü
Ü
Ü º É Ù Ö Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù
Ü ¾ º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ò Ó ¸ × Ö ¸ Õ Ù Ü ¾
º Ó Ñ Ó × Ö Ö Ó ¸ Ü × Ø
¼ Ø Ð Õ Ù ́ Ü µ
º È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ Ð ¬ Ò Ó Ò Ð Ñ Ø ¸ Ü × Ø
¼
¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù Ü
¾ ́ Ü µ Ô Ö Ø Ó Ó
¼
¸ Ð Ó Õ Ù × Ñ Ô Ó × Ð Ô Ù ×
Ü
¾ º
́
́ µ È Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ö Ô Ö Ó Ô Ö Ó Ñ Ó × Ð Ó Ò Ø Ö Ö Ö Ô Ö Ó º × Ö ¸
× Ò Ó × Ö Ö Ó Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò × Ù × Ó Ò Ü
¾ Á Æ
Õ Ù Ó Ò Ú Ö
Ü Ý Ü ¾ º
Ó Ñ Ó Ò Ó × Ö Ö Ó ¸
Ò Ó × Ö Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ü ¾
Ø Ð Õ Ù
È Ö Ø Ó Ó ¼ × Ø Ò ́ Ü µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 9/164
½ º ¿ º Ä
Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á
× Ø Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ö Ù Ò × Ù × Ó Ò Ü
Ð × Ù Ò Ø
Ñ Ò Ö Ô Ö ¾ Á Æ Ø Ó Ñ Ñ Ó ×
½
Ò Ø Ó Ò × ¸ Ó Ñ Ó ́ Ü ½ µ ̧
Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö Ü
¾ ́ Ü
½
µ Ý Ü
¾ º È Ó Ö ¬ Ò Ó Ò × Ø × Ù × Ó Ò Ó Ò Ú Ö
Ü ¸ Ó Ò Ð Ù Ý Ò Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ô Ù × Ü
¾ º £
Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ó Ò Ò Ù × Ø Ö × Ù × Ó Ò × Ó Ö Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Á Ê
Ò
Ñ Ó ×
Ð Ù Ò × Ò Ù Ú × ¬ Ò Ó Ò × º
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ ¾ Ë Á Ê
Ò
º Ò Ø Ó Ò ×
Ü ¾ × Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö × ́ ¼ µ ́ Ü µ
Ü ¾ Á Ê
Ò
× Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ò Ø × ́ ¼ µ ́ Ü µ
Ü ¾ Á Ê
Ò
× Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò × ́ ¼ µ ´ ́ Ü µ Ò Ü µ
Ü ¾ Á Ê
Ò
× Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò Ø Ö × ́ ¼ µ ́ Ü µ
́ Ü µ
Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ó Ò × Ø × Ø Ö Ò ¸ × Ñ × Ñ Ó
Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò Ý Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ò × Ø Ò × Ø Ö Ò º
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ ¿ Ó
Á Ê
Ò
× ¬ Ò Ò Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
Á Ò Ø Ö Ó Ö Ò Ø ́ µ Ü ¾ Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö
Ö Ò ́ µ Ü ¾ Á Ê
Ò
Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ò Ø
Ö Ú Ó Ö ́ µ Ü ¾ Á Ê
Ò
Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò
Ö Ó Ò Ø Ö Ö ́ µ Ü ¾ Á Ê
Ò
Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò Ø Ö
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º ¾ Ò Ø ́ µ Ý ́ µ º
Ñ Ô Ð Ó ½ º Ò Á Ê × ½ ¾ µ ¿ º Ò Ø Ó Ò × Ö ́ µ ½ ¾ ̧
Ò Ø ́ µ ´ ½ ¾ µ ̧ ́ µ ½ ¾ ¿ Ý ½ ¾ ¿
Ö Ó ½ º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Á Ê
Ò
Ò Ò Ø ́ µ ́ Á Ê
Ò
Ò µ º
Ö Ó ½ º Ò Ð Ð Ò Ø Ö Ó Ö ¸ Ð Ö Ò ¸ Ð Ö Ú Ó Ý Ð Ö Ó Ò Ø Ö
½
¾
´ ́
¿
¾
· ½
¼ µ
½
¾
· ½
µ
´ ́
¿
¼ µ
½
µ
Ë Ó Ø Ò Ð × ¬ Ò Ó Ò × Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º × Ö Ø Ó × Ý × Ó Ð Ó × Ò Ø ́ µ Ý × Ö Ö Ó × Ý
× Ó Ð Ó × ́ µ º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 10/164
½ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ö Ó ½ º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ü ¾ ́ µ × Ý × Ó Ð Ó × Ü × Ø Ù Ò × Ù × Ó Ò
Ü
Ø Ð Õ Ù Ð Ñ
½
Ü
Ü º
Ó Ò × Ø Ö Ó Ø Ö Ñ Ò Ñ Ó × × Ø Ö Ú Ò Ø Ö Ó Ù Ó Ò Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Á Ê
Ò
Ý
× Ø Ñ Ó × Ò Ó Ò Ó Ò × Ô Ö × Ò Ø Ö Ð Ò Ó Ó Ò Ð Ñ Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò º
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ Ë
Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ý Ü
¼
¾ Ö ́ µ º Ò Ø Ó Ò × Ñ Ó ×
Õ Ù Ð × Ð Ð Ñ Ø Ù Ò Ó Ü Ú Ü
¼
Ý × Ö Ñ Ó × Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ð ×
́ ¼ µ ́ ¼ µ ´ ¼ Ü Ü
¼
µ ́ Ü ¾ µ µ ́ Ü µ Ð
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º ¿ Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ö ¬ Ò Ó Ò Ô Ñ Ó × Õ Ù Ü
¼
¾ Ö ́ µ Ô Ö
Õ Ù × Ñ Ô Ö Ý Ô Ù Ò Ø Ó × Ö Ü
¼
º
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò × Ö Ö Ó Ð Ð Ö Ñ Ó × Ó × Ñ Ô Ð Ó × Ò Ð Ó × Ù Ð × Ñ Ó × Ø Ú ¹
Ñ Ò Ø Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ú Ð Ó Ö Ù Ò Ö Ø Ó Ð Ñ Ø º È Ö Ð Ð Ó × Ò × Ö Ó Ö Ù Ò
Ö Ø Ó Ó Ö Ñ Ù Ð Õ Ù Ô Ö Ñ Ø Ø Ö Ñ Ò Ö Ó º
Ñ Ô Ð Ó ½ º Ñ Ù × Ø Ö Ù × Ò Ó Ð ¬ Ò Ó Ò Õ Ù
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ½ ½ µ
́ Ü
¾
½ µ ¼
Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ø Ö
́ Ü Ý µ ´ ½ ½ µ
× Ô Ù Ù Ö Ö Ø Ñ Ò Ø Õ Ù
Ü ½ Ý Ý ½ Ý Ò Ø Ó Ò × Ü ½ Ý Ü · ½ ́ £ µ
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó
́ Ü µ
Ð
Ü
¾
½
Ü
½
Ü · ½
́
£ £ µ
× ¸ Ó ¼ Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö ¼ Ñ Ó Ó Õ Ù
́ · ½ µ
Ò Ø Ó Ò × ¸ × ́ Ü Ý µ ´ ½ ½ µ ¸ Ø Ò Ñ Ó × ´ ¶ µ ¸ Ý Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Ñ Ó × ´ ¶ ¶ µ
Õ Ù
́ Ü µ Ð ́ · ½ µ £
Ð Ñ Ô Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × × Ø Ò Ø × Ñ Ô Ð º Ä ¬ Ù Ð Ø Ô Ù Ù Ñ Ò Ø Ö
Ù Ò Ó Ð Ù Ò Ó Ò × Ñ × Ó Ñ Ô Ð ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó × × Ù Ò Ù Ó Ò Ø º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 11/164
½ º ¿ º Ä
Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á ½ ½
Ñ Ô Ð Ó ½ º Ñ Ù × Ø Ö Ù × Ò Ó Ð ¬ Ò Ó Ò Õ Ù
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¾ ½ µ
Ü
¾
Ü Ý
È Ö Ø Ñ Ó × Ó Ñ Ó Ò Ð Ñ Ô Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ú Ò Ó Õ Ù ×
́ Ü Ý µ ´ ½ ½ µ
Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Ö Ø Ñ Ò Ø Õ Ù
Ü ¾ Ý Ý ½ ́ £ µ
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ù Ò × Ö Ö Ó Ð Ð Ó Ð Ö Ó × Ñ Ô Ð Ò Ó × Ð Ð Ú Ð Ó × Ù Ò Ø
́ Ü µ Ð
Ü
¾
Ü Ý
Ü
¾
Ü Ý
Ü Ý
́ Ü ¾ µ
¾
́ Ý ½ µ
Ü Ý
́ £ £ µ
Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ó × Ó × Ö Ð Ú Ò Ø × º È Ö Ñ Ö Ó ¸ Ò Ð Ò Ù Ñ Ö Ó Ö Ø Ò Ñ Ó ×
Ù Ò Ü Ô Ö × Ó Ò Õ Ù Ô Ò × Ò Ð Ñ Ò Ø Ü ¾ Ý Ý ½ ¸ Ò Ø ×
Ó Ò Ø Ö Ó Ð × Ô Ó Ö ¸ × Ù Ò ´ ¶ µ º Ë Ù Ò Ó ¸ Ò Ð Ò Ó Ñ Ò Ó Ö Ø Ò Ñ Ó × Ü Ý ̧
Õ Ù × Ù Ò Ò Ø Õ Ù Ô Ó Ö Ò Ù Ð Ö × × Ù Ò Ó Ò Ó × Ù Ó × Ó º
È Ö Ø Ö Ø Ö × Ø Ù Ð Ø Ñ Ó Ø Ö Ñ Ò Ó Ô Ö Ó Ñ Ó × Ò Ù Ò Ô Ö Ñ Ö Ø Ô Ò ¹
Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ù Ò Ú Ð Ó Ö
½
Ò Ø Ö Ñ Ó ¸ Õ Ù × Ò Ò Ó Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø Ö Ô Ó Ö
Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ö Ü Ý º Ð Ò Ó Ñ Ò Ó Ö Ò Ó × Ò Ù Ð Ò ´ ¾ ½ µ ¸
Õ Ù Ú Ñ Ó × Õ Ù × Ð Ñ Ó ×
½
½ ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × ´ ¶ µ Ô Ó Ñ Ó ×
Ó Ò Ð Ù Ö Õ Ù
Ü Ý
½
¾
́ £ £ £ µ
Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Ò Ø Ó Ò × Õ Ù ´ ¶ ¶ ¶ µ × Ø Ò ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × ´ ¶ µ Ý ´ ¶ ¶ µ Õ Ù
́ Ü µ Ð
́ Ü ¾ µ
¾
́ Ý ½ µ
Ü Ý
¾ ́ Ü ¾ µ
¾
́ Ý ½ µ
Õ Ù ¸ Ù × Ò Ó Ò Ù Ú Ñ Ò Ø ´ ¶ µ Ô Ó Ñ Ó × Ó Ø Ö Ñ Ó Ö
́ Ü µ Ð
½
¾
Ü ¾ · Ý ½ ́ Ü ¾ · Ý ½ µ
Ò Ø Ó Ò × ¸ Ó ¼ ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö
¾
½
È Ö Ó Ñ Ó × × Ù Ö Ö Ò Ó × Õ Ù
Ð Ó × Ö Ù Ñ Ò Ø Ó × Ò Ø Ö Ó Ö × × Ò × Ñ Ô Ö Ú Ð Ó × Ý × Ó Ð Ó Ð Ó Ö Ñ Ó × × Ð Ñ Ó ×
Å Ò
½
¾
½
Ý × Ø Ò Ö Õ Ù
́ Ü Ý µ ´ ¾ ½ µ µ
Ü
¾
Ü Ý
£
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 12/164
½ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ñ Ô Ð Ó ½ º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
× Ò ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
Ü
¾
· Ý
¾
½
Ð Ù Ö × Ó Ð Ù Ð Ó × Ñ Ó × Õ Ù
Ð Ñ
« ¼
× Ò «
«
½
Ò Ø Ó Ò × ¸ Ó ¼ Ü × Ø
½
¼ Ø Ð Õ Ù
«
½
µ
× Ò «
«
½
Ð Ñ Ó × Ó Ö
Ô
½
º Ò Ø Ó Ò × ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ Ñ Ô Ð Õ Ù Ü
¾
· Ý
¾
½
Ý Ò Ø Ó Ò ×
× Ò ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
Ü
¾
· Ý
¾
½ £
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ñ Ò Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø × Ö Ö Ð Ò Ó ¹
Ó Ò Ð Ñ Ø × Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ø Ó Ó Ð Ö Ø ́ Ð µ Ü × Ø Ù Ò Ó Ð
Ö Ø ́ Ü
¼
µ Ø Ð Õ Ù
Ü ¾ ́ ́ Ü
¼
µ Ò Ü
¼
µ µ ́ Ü µ ¾ ́ Ð µ
Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø
´ ́ ́ Ü
¼
µ Ò Ü
¼
µ µ ́ Ð µ
Ó Ö Ú Ñ Ó × × Ö Ö Ó Ð Ð Ö Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ð Ñ Ø × Ø Ù Ò Ó × Ù × Ô Ö Ò Ô Ð ×
Ô Ö Ó Ô × º Ò Ø Ó × Ø × Ó Ò Ñ Ó × Ò Ó Ø Ö Ð Ò Ð Ó Õ Ù × Ø Ò
Ó Ò Ð Ù Ö × Ó Ð Ù Ð Ó ¸ Ó Ò × × Ø Ù Ó Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ð Ñ Ø Ý Ó Ò Ø Ò Ù
Ô Ö Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ú Ö Ð Ö Ð º × × Ó Ö Ô Ö Ò Ò Ø Õ Ù Ð Ñ Ý Ó Ö Ð ×
Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × Õ Ù Ú Ö Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ø Ò Ò Ù Ò Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Õ Ù ×
Ó Ø Ò Ð Ò Ð Ó Ð Ù Ð Ó Ö Ñ Ô Ð Þ Ò Ó ¡ Ô Ó Ö ¡ º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º ´ Í Ò Ð Ä Ñ Ø µ Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ý Ü
¼
¾
Ö ́ µ º Ë
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ð
½
Ý Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ð
¾
Ò Ø Ó Ò × Ð
½
Ð
¾
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 13/164
½ º ¿ º Ä
Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á ½ ¿
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò È Ó Ö Ô Ó Ø × × ¸ Ó ¼ Ü × Ø Ò Ò Ù Ñ Ö Ó ×
½
¼ Ý
¾
¼
Ø Ð × Õ Ù
¼ Ü Ü
¼
½
Ü ¾ µ ́ Ü µ Ð
½
¼ Ü Ü
¼
¾
Ü ¾ µ ́ Ü µ Ð
¾
Ò Ø Ó Ò × ¸ × Ü Ü
¼
Å Ò
½
¾
× Ø Ò Ö Õ Ù
Ð
½
Ð
¾
́ ́ Ü µ Ð
½
µ ́ ́ Ü µ Ð
¾
µ ́ Ü µ Ð
½
· ́ Ü µ Ð
¾
¾
Ó Ñ Ó Ô Ù × Ö Ö Ø Ö Ö Ñ Ò Ø Ô Õ Ù Ò Ó ¸ Ñ Ó × Ø Ò Ö Õ Ù Ð
½
Ð
¾
£
Ä × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × Ñ Ù Ý Ù Ø Ð Ô Ö × Ø Ù Ö Ð Ü × Ø Ò Ù Ò ¹
Ø Ö Ñ Ò Ó Ð Ñ Ø º Ë Ù × Ô Ö Ò Ô Ð Ñ Ò Ø Ô Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ù Ò Ö Ø Ù Ò Ó Ò
Ò Ó Ø Ò Ð Ñ Ø
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º Ë Á Ê
Ò
Á Ê Ý Ü
¼
¾ Ö ́ µ Ø Ð Õ Ù
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ð
Ò Ø Ó Ò × Ô Ö Ø Ó Ó Ø Ð Õ Ù Ü
¼
¾ Ö ́ µ × Ø Ò Õ Ù
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ð
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ö Ó º £
Ä Ó Ò Ø Ö Ö Ö Ô Ö Ó Ò Ó × Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ð Ö Ó
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ½ º ½ Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
̧ Ü
¼
¾ Ö ́ µ Ý
½
¾
Ñ Ò Ö Õ Ù Ü
¼
¾ Ö ́
½
µ Ö ́
¾
µ º Ë Ù Ò Ó Ð Ó × Ð Ñ Ø ×
Ð Ñ
Ü Ü
¼
½
́ Ü µ Ó Ð Ñ
Ü Ü
¼
¾
́ Ü µ
Ò Ó Ü × Ø Ó ×
Ð Ñ
Ü Ü
¼
½
́ Ü µ Ð Ñ
Ü Ü
¼
¾
́ Ü µ
Ò Ø Ó Ò × Ð Ð Ñ Ø
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ð
Ò Ó Ü × Ø º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 14/164
½ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ñ Ô Ð Ó ½ º Ë Ø Ö Ø × Ø Ù Ö Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ Ø
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ü
Ü · Ý
Æ Ó Ø Ñ Ó × Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö Õ Ù ´ ¼ ¼ µ Ò Ó × Ø ¬ Ò ¸ × Ò Ñ Ö Ó × Ø Ó Ò Ó
Ø Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ð Ù Ò º Ä Ó Õ Ù × Ñ Ô Ó Ö Ø × Õ Ù ´ ¼ ¼ µ ¾ Ö ́ Á Ê
¾
Ò ´ ¼ ¼ µ µ º
Ë Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × ´ ¼ Ý µ Ý ¼ Ý ́ Ü ¼ µ Ü ¼
Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
́ Ü Ý µ ¼ Ý Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
́ Ü Ý µ ½
Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × Õ Ù Ð Ð Ñ Ø Ó × Ø Ù Ó Ò Ó Ü × Ø ¸ Ò Ú Ö Ø Ù Ð
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º £
Ö Ó ½ º × Ø Ù Ö Ð Ü × Ø Ò Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ Ø
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ü Ý
¾
Ü
¾
· Ý
¾
Ö Ó ½ º × Ø Ù Ö Ð Ü × Ø Ò Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ Ø Ù Ò Ó ́ Ü Ý µ
Ø Ò ´ ¼ ¼ µ Ý Ó Ò × Ø ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ
́
Ü
Ý
¾
Ü Ô
Ü
Ý
¾
× Ý ¼
¼ × Ý ¼
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º Ò Ð Ó × Ñ Ô Ð Ó × Ò Ø Ö Ó Ö × Ñ Ó × Ó Ò × Ö Ó × Ó Ð Ñ Ò Ø
Ù Ò Ó Ò × Ú Ð Ó Ö × Ö Ð × ¸ × Ö ¸ Ó Ò × Ô Ó Ð Ð Á Ê º × Ø Ó Õ Ù
Ù × Ø ¬ Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
º Ò Ø Ó Ò ×
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ð × Ý × Ó Ð Ó × ́ ½ ¡ ¡ ¡ Ñ µ Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ð
Õ Ù
× Ð ¹ × Ñ Ù Ò Ó Ò Ó Ó Ö Ò Ý Ð
× Ð ¹ × Ñ Ó Ó Ö Ò Ð º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ́ ́ µ Ó ¼ ¸ Ô Ó Ö Ô Ó Ø × × Ü × Ø
¼ Ø Ð Õ Ù ¼
Ü Ü
¼
Ý Ü ¾ Ñ Ô Ð Õ Ù
́ Ü µ Ð
Ô
Ñ ¸ Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 15/164
½ º ¿ º Ä
Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á ½
½ ¾ Ñ º Ò Ø Ó Ò × ¸ × Ð Ñ Ó × Ñ Ò
½
Ñ
º Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù ×
¼ Ü Ü
¼
Ý Ü ¾ Ñ Ô Ð
Ñ
½
́
́ Ü µ Ð
µ
¾
Ñ ¡
¾
Ñ
¾
Ó Ò ́ Ü µ Ð £
Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ Ö × Ù Ñ Ú Ö × Ô Ö Ó Ô × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø × Ð Ó × Ð Ñ Ø × º
Ì Ó Ö Ñ ½ º ½ Ë Ò Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
̧ Ü
¼
¾ Ö ́ µ ̧ ¾ Á Ê
Ñ
Ý ¾ Á Ê º
Ò Ø Ó Ò ×
½ µ Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ñ Ô Ð Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ
¾ µ Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ý Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ñ Ô Ð
µ Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ ́ Ü µ · ́ Ü µ µ ·
µ Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ
¡ ́ Ü µ
¡ º
¿ µ Ñ ½ Ý Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ ¼ ¸ Ñ Ô Ð
Ð Ñ
Ü Ü
¼
½
́ Ü µ
½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò À Ö Ñ Ó × Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ¾ µ µ º Ä Ô Ö Ó Ô ¿ µ Õ Ù
Ö Ó º
Í × Ò Ó Ð × Ù Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ý Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ó Ø Ò Ñ Ó × ¹
Ö Ø Ñ Ò Ø
́ Ü µ ¡ ́ Ü µ ¡ ́ Ü µ ¡ ́ ́ Ü µ µ · ¡ ́ ́ Ü µ µ
́ Ü µ ́ Ü µ · ́ Ü µ
Í × Ò Ó Ð Ô Ó Ø × × ¸ Ó ¼ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù Ü ¾ Ý
¼ Ü Ü
¼
Ñ Ô Ð Õ Ù
́ Ü µ Ý ́ Ü µ
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Õ Ù × Ù Õ Ù ́ Ü µ · È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ Ü µ ¡ ́ Ü µ ¡ ́ · · µ
Ó Ñ Ô Ð Ø Ò Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º £
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 16/164
½ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º Ò Ö Ó Ö ¸ Ò Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ø Ù Ò Ô × Ó ¸ Ð
Ù Ð × Ô Ù × Ñ Ô Ö Ó Ñ Ø Ö Ù Ò Ó Ý Ü Ô Ö Ò
Ó ¼ Ð Ñ Ó × ¼ Ø Ð Õ Ù ́ · · µ Ó Ò × Ø Ú Ð Ó Ö
¼ Ò Ú Ó Ñ Ó × Ð Ô Ó Ø × × Ô Ö Ð Ö ¼ Ñ Ó Ó Õ Ù Ü
¾ Ý
¼
Ü
Ü
¼
Ñ Ô Ð Õ Ù
́ Ü µ Ý ́ Ü µ
Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ó Ò × Á Ê
Ò
Ò Á Ê
Ñ
Ó Ö Õ Ù Ñ Ó × × Ø Ù Ó Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ð Ñ Ø × Ø Ñ Ó × Ô Ö Ô Ö Ó ×
Ô Ö Ò Ø Ö Ó Ù Ö Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ù Ò Ó Ò º
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ Ë
Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ý × Ü
¼
¾ º Ñ Ó × Õ Ù ×
Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
×
́ ¼ µ ́ ¼ µ Ü ¾ Ü Ü
¼
µ ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø
́
¼ µ ́
¼ µ ́ ́ Ü
¼
µ
µ
́ ́ Ü
¼
µ µ
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º Ë Ü
¼
¾ × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ð Ó ¸ × Ö ¸ Ü
¼
¾ Ò
Ö ́ µ Ò Ø Ó Ò × × Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
º
Ë Ü
¼
¾ Ö ́ µ Ò Ø Ó Ò × × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
× Ý × Ó Ð Ó ×
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
Ó Ñ Ó Ó Ò × Ù Ò Ð Ó × Ö Ú Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ý Ð È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º ×
Ø Ò Õ Ù Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
¾ × Ý × Ó Ð Ó ×
× Ó Ò Ø Ò Ù
Ò Ü
¼
Ô Ö Ø Ó Ó ½ ¡ ¡ ¡ Ñ
Ó Ñ Ó Ó Ò × Ù Ò Ð Ì Ó Ö Ñ ½ º ½ Ø Ò Ñ Ó × Ø Ñ Ò Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð ¹
Ø Ó × Ó Ö Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º
Ì Ó Ö Ñ ½ º ¾ Ë Ò Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
̧ Ü
¼
¾ Ý ¾ Á Ê º Ò Ø Ó Ò ×
½ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
Ñ Ô Ð × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
º
¾ µ Ý × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ü
¼
Ñ Ô Ð
µ · × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
̧
µ
¡ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
̧
¿ µ Ñ ½ ̧ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
Ý ́ Ü
¼
µ ¼ Ñ Ô Ð
½
́ Ü µ
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ü
¼
º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 17/164
½ º ¿ º Ä
Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á ½
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ ¼ Ä Ù Ò Ó Ò ́ Ü Ý µ ́
Ü
¾
½ · Ý
¾
Ü · Ý Ý × Ò Ü µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ó
Ô Ù Ò Ø Ó Á Ê
¾
º
Ò Ø Ó ¸ × Ù × Ø Ö × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ø Ó Ó Á Ê
¾
½
́ Ü Ý µ
Ü
¾
½ · Ý
¾
Ð Ó × Ô Ù × ́ Ü µ Ü
¾
Ð Ó × ¸ Ð Ù Ð Õ Ù ́ Ý µ ½ · Ý
¾
Ð Ù Ð
Ñ × Ò Ó × Ò Ù Ð º Ò Ø Ó Ò × ¸ Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö
½
́ Ý µ
½
½ · Ý
¾
Ø Ñ Ò
× Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ý Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö Ü
¾
½
½ · Ý
¾
× Ó Ò Ø Ò Ù º
¾
́ Ü Ý µ Ü · Ý × Ú Ò Ø Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ô Ù × ́ Ü µ Ü ́ Ý µ Ý × Ó Ò
Ó Ò Ø Ò Ù × Ý Ð × Ù Ñ Ó Ò Ø Ò Ù × × Ó Ò Ø Ò Ù Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö º
¿
́ Ü µ × Ò Ü × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ ́ Ý µ Ý Ø Ñ Ò Ð Ó × ¸ Ð Ù Ó Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ
Ò Ø Ö Ó Ö Ý × Ò Ü × Ó Ò Ø Ò Ù º
Ä × Õ Ù Ó Ò Ð Ý Ù Ð Ì Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö Ô Ó Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ò Ö
Ô Ó Ö Ò × Ô Ó Ò Ù Ò Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ô Ó Ö × Ö Ù Ò Ó Ñ Ò Ó Ò
Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ó Ò Ó × º £
Ò Ð Ð Ò Ð Ì Ó Ö Ñ ½ º ¾ ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò
Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º
Ì Ó Ö Ñ ½ º ¿ Ë Ò Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ý Á Ê
Ñ
Á Ê
Ô
Ø Ð × Õ Ù
́ µ º Ë × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
¾ Ý × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ́ Ü
¼
µ ¾
Ò Ø Ó Ò × Æ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë ¼ Ó Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ́ Ü
¼
µ Ü × Ø ¼ Ø Ð
Õ Ù
Ý ¾ Ý ́ Ü
¼
µ µ ́ Ý µ ́ ́ Ü
¼
µ µ
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
× Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø
¼
¼ Ø Ð
Õ Ù
Ü ¾ Ü Ü
¼
¼
µ ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
Â Ù Ò Ø Ò Ó × Ø × Ó × Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × Ý Ø Ó Ñ Ò Ó Ý ́ Ü µ × Ø Ò Õ Ù Ü × Ø
¼
¼ Ø Ð Õ Ù
Ü ¾ Ü Ü
¼
¼
µ ́ Ü µ ¾ ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
µ ́ ́ Ü µ µ ́ ́ Ü
¼
µ µ
× Ö
Ü
Ü
¼
¼
µ
Æ ́ Ü µ
Æ ́ Ü
¼
µ
£
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ ½ ́ Ü Ý Þ Ø µ × Ò ́ Ø ́ Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
µ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó
Á Ê
º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 18/164
½ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ Ö Ñ Ó × Õ Ù Á Ê
Ò
× Ù Ò Ú Ò Ü
¼
¾ Á Ê
Ò
×
Ü
¼
¾ Ý × Ö Ø Ó º
Ä × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò Ù Ò Ö Ø Ö Þ Ó Ò Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Ó ×
Ú Ò × º Æ Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ó Ð Ö Ø ́ Ü Ö µ × Ù Ò Ú Ò Ü º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
¾ Á Ê
Ò
× Ý × Ó Ð Ó ×
Ô Ö Ø Ó Ú Ò Í Á Ê
Ò
́ Ü
¼
µ Ü × Ø Ù Ò Ú Ò Î Á Ê
Ò
µ Ü
¼
Ø Ð
Õ Ù ́ Î µ Í
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ́ µ µ Ë Í Ù Ò Ú Ò ́ Ü
¼
µ º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø ¼
Ø Ð Õ Ù ́ ́ Ü
¼
µ µ Í º Í × Ò Ó Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
¸ Ô Ö × Ø
¼ Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù
Ü Ü
¼
Ý Ü ¾ µ ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
× Ö
Ü ¾ ́ Ü
¼
µ Ý Ü ¾ µ ́ Ü µ ¾ ́ ́ Ü
¼
µ µ
Ë ¬ Ò Ñ Ó × Î ́ Ü
¼
µ ¸ Õ Ù × Ù Ò Ú Ò Ü
¼
¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
Õ Ù
́ ́ Ü
¼
µ µ ́ Î µ Í
́ ́ µ × Ø Ñ Ô Ð Ó Ò Õ Ù Ö Ó º £
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
× Ó Ò Ø Ò Ù
Ò × × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó º
Ö Ó ½ º Ñ Ù × Ø Ö Ð × Ù Ò Ø Ö Ø Ö Þ Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ×
Ò
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò × Ý × Ó Ð Ó × Ð Ô Ö Ñ Ò Ø Ó Ó Ö Ø Ó Á Ê
Ñ
× Ð
Ò Ø Ö × Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ö Ø Ó Á Ê
Ò
º
½ º Ö Ò Ð Ù Ò Ó Ò × Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
º
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Á Ê
Ò
Á Ê Ý Ü ́ Ü
½
¡ ¡ ¡ Ü
¡ ¡ ¡ Ü
Ò
µ ¾ ¸ Ó Ò Ð
Ó Ò Ù Ò Ø Ó × × Ù Ô Ó Ò Ö Ø Ó º È Ö ½ Ò ¬ Ó ¸ ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò
Á Ê Ò Á Ê
́ Ü ·
µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 19/164
½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë Á Ê
Æ
Á Ê
Å
º ½
Ó Ò
× Ð Ð Ñ Ò Ø Ó ¹ × Ñ Ó Ð × Ò Ó Ò º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ü ·
́ Ü
½
¡ ¡ ¡ Ü
½
· Ü
Ü
· ½
¡ ¡ ¡ Ü
Ò
µ × Ø Ù Ò Ó Ò ¸ × Ò Ó Á Ê Ò Á Ê ¸ Ð
Ô Ó Ñ Ó × Ô Ð Ö Ð Ø Ó Ö Ö Ò Ð × Ö Ö Ó Ð Ð Ò Ð Ù Ö × Ó
Ð Ù Ð Ó º
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ Ä Ð Ñ Ö Ñ Ó × Ö Ú Ô Ö Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ü
Ò
Ü ¾ Á Ê
Ò
Ü
́ Ü µ Ð Ñ
¼
́ Ü ·
µ ́ Ü µ
× Ó Ð Ñ Ø Ü × Ø º Ù Ò Ó Ð Ö Ú Ô Ö Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ü
Ü × Ø Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ð ¬ Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Ü
Á Ê
Ò
Á Ê
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù ¸ Ó Ñ Ó Ù Ò Ö Ú Ô Ö Ð × Ù Ò Ö Ú
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê Ò Á Ê ¸ Ù Ò Ó Ô Ù Ù × Ö Ø Ó × Ð × Ö Ð × Ö Ú Ó Ò
× Ø Ù × Ò Ð Ù Ð Ó º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ ¾ Ð Ù Ð Ö Ð Ö Ú Ô Ö Ð Ð Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ö × Ô Ø Ó
Ü Ô Ö ́ Ü Ý µ Ü
Ý · × Ò ́ Ü Ý µ º À Ò Ó Ù × Ó Ð Ó × Ö Ú Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö
Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù
Ü
́ Ü µ Ü
¿
Ý · Ó × ́ Ü Ý µ Ý
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ ¿ Ð Ù Ð Ö Ð Ö Ú Ô Ö Ð Ð Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ü
Ô Ö ́ Ü Ý µ
Ü Ý
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
º È Ö × Ø Ó Ò Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù × ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ Ò Ø Ó Ò ×
Ü
́ Ü µ
Ý
¿
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Ë ¬ Ò Ñ Ó × ´ ¼ ¼ µ ¼ Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ø Ñ Ò Ð Ö Ú Ô Ö ¹
Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ü Ò ´ ¼ ¼ µ º Õ Ù Ù × Ñ Ó × Ð ¬ Ò Ó Ò
Ü
´ ¼ ¼ µ Ð Ñ
¼
́ ¼ µ ´ ¼ ¼ µ
Ð Ñ
¼
¼
¼
Ò Ð Ò Ó Ó Ò Ö Ò Ð Ý Ó × × Ô Ø Ó × Ó Ò × Ö Ö Ð × Ô ¹
Ø Ó Ò Ð Ø Ó Ý Ð × Ô Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ó º È Ö Ø Ò Ø Ó Ö ¬ Ò Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò Õ Ù Ô Ó × Ø Ó × × Ù × Ö Ú ×
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 20/164
¾ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ô Ö Ð × Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó º Ë Ò Ñ Ö Ó × Ø Ó Ò Ó Ò Ò Ó × × Ù ¬ Ò Ø Ô Ö
Ô Ö Ó Ù Ö Ù Ò Ù Ò ¬ Ò Ó Ò ¸ Ô Ù × Ò Ó × Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ñ Ò Ó × × Ù Ñ Ô Ð Ò
Ð × × Ù Ò Ø × Ô Ö Ó Ô ×
½ µ Ë × Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò × × Ô Ó × Ð ¬ Ò Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó
Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó º × Ø × Ð Ö Ø Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ó º
¾ µ Ä Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × × Ö Ò Ð º × Ø × Ö
Ù Ò Ö Ø Ö Ó Ò Ð Ø Ó º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ Ð × Ù Ò Ø Ñ Ô Ó Ð Ù × Ø Ö Ð × × Ò Ø Ö Ó Ö × º Ó Ò × Ö ¹
Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö ́ Ü Ý µ Ü
½
¿
Ý
½
¿
º Ð Ù Ð Ò Ó Ð × Ö Ú × Ô Ö ¹
Ð × Ô Ó Ö ¬ Ò Ó Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ø × Ü × Ø Ò Ý × Ó Ò
Ü
´ ¼ ¼ µ
Ý
´ ¼ ¼ µ ¼
Í Ò Ó × Ô Ö Ö Õ Ù Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ¼ ¼ ¼ µ × ¹
Ø Ù Ú Ö Ó Ô Ó Ö Ð Ù Ó Ò Þ ¼ ¸ Ô Ö × Ö Ó Ò × Ù Ò Ø × Ó Ò Ð Ú Ð Ó Ö Ð ×
Ö Ú × Ô Ö Ð × Ò Ð ´ ¼ ¼ µ º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ × Ø Ô Ð Ò Ó Ò Ó Ô Ù × Ö
Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó Ð Ù Ò Ó Ò Ò ´ ¼ ¼ µ ¸ Ô Ù × × Ó Ö Ð Ö Ø Ý Ü Ð Ö Ó
Ø Ò Ô Ò Ò Ø Ò ¬ Ò Ø Ò Ð Ó Ö Ò º
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Á Ê Á Ê
¾
¬ Ò Ô Ó Ö ́ Ü µ ́ Ü Ü µ × Ö Ò Ð Ò
Ö Ó Ó Ò
¼
½
´ ¼ µ
¼
¾
´ ¼ µ ½ ¸ Ô Ö Ó Æ ́ Ü µ Ü
¾
¿
Ò Ó × Ö Ò Ð Ò ¼ º
Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × × Ø Ñ Ô Ð Ó Õ Ù Ð Ò Ó Ó Ò Ö Ò Ð Ò Ú Ó Ð Ù Ö Ö
Ð Ó Ñ × Õ Ù Ð × Ó Ð Ü × Ø Ò Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó º
Î Ñ Ó × Ó Ö Ð × Ô Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ó Ò Á Ê
¾
Ô Ö Ñ Ó Ø Ú Ö Ð ¬ Ò Ó Ò
Ò Ò Ö Ð º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Õ Ù Ö Ñ Ó × Ù × Ø Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó
Á Ê
¾
Á Ê Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ Ü
¼
Ý
¼
́ Ü
¼
Ý
¼
µ µ ¾ ́ µ º × Ö Õ Ù Ö Ñ Ó ×
Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ò Á Ê
¿
Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ý Õ Ù Ø Ò Ð Ñ × Ñ
Ò Ð Ò Ó Ò Õ Ù Ð Ö Ó Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó º È Ö × Ø Ó Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ô Ð Ò Ó
Ò Ö Ó Þ · Ü · Ý Ý Ù Þ Ñ Ó × Ð × Ó Ò Ó Ò × Õ Ù Ñ Ò Ó Ò Ñ Ó ×
Ò Ø × Ð Ú Ð Ó Ö Ð × Ó Ò × Ø Ò Ø × Ý º Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö Õ Ù Ö Ñ Ó × Õ Ù
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ô Ö Ø Ò Þ Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø ¸ Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü
¼
Ý
¼
µ Þ
¼
· Ü
¼
· Ý
¼
Ò Ó Ð Ú Ö Ð Ü
¼
× Ö Ø Ò Ö Õ Ù Ð × Ö Ø Þ · Ü
¼
· Ý
× Ö Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó Þ ́ Ü
¼
Ý µ Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ý
¼
º × Ø Ó Ñ Ô Ð Õ Ù
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 21/164
½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë Á Ê
Æ
Á Ê
Å
º ¾ ½
Ñ Ò Ö Ò Ð Ó
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
× Ö ¸ Ð Ô Ð Ò Ó Ù × Ó ×
Þ ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ·
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ ·
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ ́ Ý Ý
¼
µ
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ Ë Á Ê
¾
Á Ê ̧ Ö Ø Ó Ý ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ¾ º Ñ Ó ×
Õ Ù × Ö Ò Ð Ò ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ×
½ µ Ü × Ø Ò Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ Ý
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ ¸ Ý
¾ µ Ð Ñ
́ Ü Ý µ ́ Ü
¼
Ý
¼
µ
́ Ü Ý µ ́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ ́ Ý Ý
¼
µ
́ Ü Ý µ ́ Ü
¼
Ý
¼
µ
¼
Á Ò Ø Ù Ø Ú Ñ Ò Ø × Ø Ñ Ó × Ô Ò Ó ¸ Ô Ö Õ Ù × Ö Ò Ð ¸ Õ Ù × Ù Ö Ó
Ý Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó × Ø Ò Ñ Ù Ý Ö ¸ Ø Ò Ö Õ Ù Ò Ð Ù × Ó
Ð Ú Ö × Ù × Ø Ò Ô Ó Ö ́ Ü Ý µ ́ Ü
¼
Ý
¼
µ Ð Ö Ó Ò Ø Ó Ú × Ô Õ Ù Ò º
Î Ñ Ó × Ó Ö Ð × Ó Ò Ö Ð
¬ Ò Ó Ò ½ º ¾ ¼ Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
̧ Ö Ø Ó Ý Ü
¼
¾ º Ò Ø Ó Ò × ¸
× Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ø Ó × Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ó Ö Ò × Ü × Ø Ò Ò
Ü
¼
¸ Ô Ó Ñ Ó × ¬ Ò Ö Ù Ò Ñ Ø Ö Þ ́ Ü
¼
µ ¾ Å
Ñ ¢ Ò
́ Á Ê µ Ó Ñ Ó
́ ́ Ü
¼
µ µ
Ü
́ Ü
¼
µ
× Ø Ñ Ø Ö Þ × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ñ Ø Ö Þ Â Ó Ò Ó Ö Ò Ð Ò Ü
¼
º
Ö Ó ½ º ½ ¼ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ñ Ø Ö Þ Â Ó Ò Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ ́ Ü
Ý
Ü
¾
· Ý Ó × ´ Ü · Ý µ Ø Ò ´ Ü Ý µ µ º
¬ Ò Ó Ò ½ º ¾ ½ Ë
Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
̧ Ö Ø Ó Ý Ü
¼
¾ º Ñ Ó × Õ Ù
× Ö Ò Ð Ò Ü
¼
×
½ µ È Ö Ø Ó Ó ½ ¡ ¡ ¡ Ñ Ý Ô Ö Ø Ó Ó ½ ¡ ¡ ¡ Ò
Ü
́ Ü
¼
µ Ü × Ø Ý
¾ µ Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ
́ Ü
¼
µ
́ Ü
¼
µ ́ Ü
Ü
¼
µ
Ü Ü
¼
¼
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 22/164
¾ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º Í × Ù Ð Ñ Ò Ø Ð Ó Ò Ó Ò ¾ µ × × Ö Ñ Ò Ö Õ Ù Ú ¹
Ð Ò Ø Ó Ñ Ó
Ð Ñ
¼
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
¼
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º ½ ¼ Ò Ú × Ø Ð È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
× Ö Ò Ð Ò Ü
¼
¾ × Ý × Ó Ð Ó × Ù Ò Ð ×
Ù Ò Ó Ò × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×
Á Ê
Ò
Á Ê × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
¾ º
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º ½ ½ Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö Ò Ð Ø Ò Õ Ù Ú Ö Ó Ò Ð
Ô Ó × Ð Ô Ö Ó Ü Ñ Ö Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü µ Ô Ó Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð Ò Ð Ò Ä ́ Ü µ
́ Ü
¼
µ · ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ Ö Ü
¼
º Ò Ó × Ó Ò × Ä × Ð Ð Ñ Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò
Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò Ò Ü
¼
º Ó Ñ Ó Ý Ú Ñ Ó × Ò Ð × Ó Ò ¾ Ý Ñ ½ ̧
Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ó Ñ Ø Ö Ñ Ò Ø Ó Ñ Ó Ð Ô Ó × Ð Ù × Ø Ö Ð
Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó Ò Ü
¼
º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó ́ Ü Ý µ Ü
¾
· Ý
¾
Ò
Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ½ ½ µ º Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ò ´ ½ ½ µ
Ü
´ ½ ½ µ ¾ Ü
´ ½ ½ µ
¾ Ý
Ý
´ ½ ½ µ ¾ Ý
´ ½ ½ µ
¾
Ò Ø Ó Ò × Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ø Ò Ô Ó Ö Ù Ó Ò
Þ ¾ · ¾ ´ Ü ½ µ · ¾ ´ Ý ½ µ
× Ö
Þ ¾ · ¾ Ü · ¾ Ý
Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò
Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
× Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð Ò Ü
¼
¾ º Ò Ø Ó Ò ×
Ð Ù Ò Ó Ò Ð Ò Ð Ò
Ä ́ µ ́ Ü
¼
µ · ́ Ü
¼
µ
× Ù Ò Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü
¼
· µ Ö ¼ º Æ Ó × Ó Ð Ó ́ Ü
¼
· µ
Ý Ä ́ µ ́ Ü
¼
µ · ́ Ü
¼
µ × Ó Ò Ñ Ù Ý Ô Ö × ¸ × Ò Ó Õ Ù Ñ ×
́ Ü
¼
· µ Ä ́ µ
× Ø Ñ Ò Ñ Ù Ý Ô Õ Ù Ò Ó Ô Ö Ô Õ Ù Ò Ó ¸ Ò Ð × Ó Ñ ½ Ý Ò ¾ Ø Ò Ñ Ó ×
Õ Ù
Ä ́ µ Ä ́
½
¾
µ ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ·
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
½
·
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
¾
Ô Ö Ó Ü Ñ Ð Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò Ö ´ Ü
¼
Ý
¼
µ º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 23/164
½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë Á Ê
Æ
Á Ê
Å
º ¾ ¿
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò Ô Ö Ð Ù Ò Ó Ò
Á Ê
¾
Á Ê ¬ Ò Ô Ó Ö ́ Ü Ý µ Ü Ó × ´ Ý µ ·
Ü Ý
¸ Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó ́ Ü
¼
Ý
¼
µ
´ ½ µ º
Ì Ò Ñ Ó × ´ ½ µ
½ ·
Ý
Ü
´ ½ µ ½ ·
Ý
Ý
´ ½ µ
× Ð Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ö ×
´ ½ · · µ ½ ·
· ́ ½ ·
µ ·
£
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º ½ ¾ Ò Ò Ö Ð ¸ Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Á Ê
Ò
Ö Ò Ó Ò × Ö Ö ×
Ó Ñ Ó Ú Ø Ó Ö × Ó Ð Ù Ñ Ò º × Ø Ñ Ò Ö Ð Ñ Ø Ö Ü Â Ó Ò Ý Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó
́ Ü
¼
µ ̧ ¾ Á Ê
Ò
Ø Ò × Ò Ø Ó º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ù Ò Ó × Ø Ó Ò Ó Ð Ð Ú Ó Ò ¹
Ù × Ó Ò ¸ Ñ Ù × Ú × × Ö Ö Ñ Ó × Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Á Ê
Ò
Ó Ñ Ó Ú Ø Ó Ö × ¬ Ð × ¸ Ô Ó Ö
Ó Ò Ó Ñ Ò Ó Ø Ó Ò Ð º
Ö Ò Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò º
Ä Ñ Ø Ö Þ Â Ó Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê
Ò
Ò Á Ê × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ ½ ¢ Ò
́ Ü
¼
µ
Ü
½
́ Ü
¼
µ
Ü
¾
́ Ü
¼
µ
Ü
Ò
́ Ü
¼
µ
× Ó × Ø Ù Ñ Ö Ò Ø ¬ Ö × Ø Ñ Ø Ö Þ Ó Ò Ù Ò Ú Ø Ó Ö Á Ê
Ò
Ð Ð Ñ Ó Ö Ò Ø
Ò Ü
¼
º ×
Ö ́ Ü
¼
µ ́
Ü
½
́ Ü
¼
µ ¡ ¡ ¡
Ü
Ò
́ Ü
¼
µ µ
Ø
Ó Ò × Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò Ð Ò Ð Ø Ò Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ
Ä ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ · Ö ́ Ü
¼
µ ¡ ́ Ü Ü
¼
µ
Ê Ð Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ö Ò Ð
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ó Ö Ñ Ó × Ð Ö Ð Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ö Ò Ð ¹
º Ð Ù Ð Õ Ù Ò Ð × Ó Ð × Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ú Ö Ð ¸ Ð Ö Ò ¹
Ð × Ù Ò Ó Ò Ô Ø Ó Ñ × Ù Ö Ø Õ Ù Ð Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ò Ð × Ò Ø Ó Õ Ù ¸
Ø Ó Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ø Ñ Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó º
È Ö Ó Ð Ö Ð Ó Ò Ò Ó Ø Ö Ñ Ò Ð Ð º Ë Ò Ð Ñ Ö Ü × Ø Ò Ð × Ö Ú ×
Ô Ö Ð × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ò Ø Þ × Ù Ö Ò Ð ¸ Ò Ð
× Ó Õ Ù × × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ü × Ø Ò Ý × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ù Ò Ú Ò
Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò × × Ý Ö Ò Ð Ð Ù Ò Ó Ò º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 24/164
¾ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ó Ñ Ò Ñ Ó × Ü Ø Ò Ò Ó Ð × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó
Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ô Ó Ö Ù Ò Ú Ø Ó Ö º Ë Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ò Å
Ñ ¢ Ò
́ Á Ê µ Ý Ü ¾ Á Ê
Ò
º
Ò Ø Ó Ò × ¸ Ù × Ò Ó Ð × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Ü
¾
Ñ
½
́
Ò
½
Ü
µ
¾
Ñ
½
́
Ò
½
¾
Ò
½
Ü
¾
µ ́
Ñ
½
Ò
½
¾
µ
Ü
¾
× Ø × Ù Ð × Ù Ö ¬ Ò Ö Ð Ò Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ø Ö Þ ¾ Å
Ñ ¢ Ò
́ Á Ê µ Ó Ñ Ó
Ú
Ù
Ù
Ø
Ñ
½
Ò
½
¾
È Ó Ñ Ó × Ö × Ù Ñ Ö × Ø Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º ½ ¼ Ë ¾ Å
Ñ ¢ Ò
́ Á Ê µ Ý Ü ¾ Á Ê
Ò
Ò Ø Ó Ò ×
Ü Ü
Ö Ó ½ º ½ ½ Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
¬ Ò Ô Ó Ö ́ Ü µ · Ü ¸ Ó Ò
¾ Á Ê
Ò
Ý
¾ Å
Ñ ¢ Ò
́ Á Ê µ º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù
½ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Á Ê
Ò
º
¾ µ × Ö Ò Ð Ò Ø Ó Ó Ü Ý ́ Ü µ º
Ì Ó Ö Ñ ½ º Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ý Ü
¼
¾ º Ò Ø Ó Ò ×
× Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ñ Ô Ð × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ð Ñ Ø Ö Þ Â Ó ¹
Ò Ò Ü
¼
Ý
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ
Ü Ü
¼
¼
× Ó ¼ ¸ Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù × Ü Ü
¼
Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ Ü Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × ¸ Ù × Ò Ó Ð × Ù Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ý Ð È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º ½ ¼ ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ Ü Ü
¼
· ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ ́ · ́ Ü
¼
µ µ Ü Ü
¼
× Ø Ñ Ò Ö ¸ × Ð Ñ Ó ×
½
Ñ Ò ́ · ́ Ü
¼
µ µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Ü Ü
¼
½
µ ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
× Ö ¸ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
£
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 25/164
½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë Á Ê
Æ
Á Ê
Å
º ¾
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ½ º ¾ Ë × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò Ý Ã Ø Ð × Õ Ù
Ü
Ü
¼
¼ Ñ Ô Ð
́ Ü µ
́ Ü
¼
µ
Ã
Ü
Ü
¼
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ø Ø Ó Ñ Ö ½ Ý Ã ½ · ́ Ü
¼
µ Ò Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
Ð Ø Ó Ö Ñ º £
Ê Ø Ó Ñ Ö Ñ Ó × × Ø Ô Ö Ó Ô Ù Ò Ó Ú Ñ Ó × Ñ × Ð Ò Ø Ð Ì Ó Ö Ñ
Ð Î Ð Ó Ö Å Ó º
Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ó Ò Ð Ö Ð Ó Ò Ò Ø Ö Ö Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò × ¹
Ö Ñ Ó × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ý Ü
¼
¾ º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð ×
Ö Ú × Ô Ö Ð × Ü × Ø Ò Ò Ó × Ó Ð Ó Ò Ü
¼
× Ò Ó Õ Ù Ò Ù Ò Ú Ò
Î Ü
¼
º Ò Ø Ó Ò × × Ø × ¬ Ò Ò Ù Ò Ó Ò ×
Ü
Î Á Ê Ø Ð Õ Ù Ü
Ü
́ Ü µ
Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ Ò Ó × Ù Ò Ó Ò Ó Ò × Ù ¬ Ò Ø Ô Ö Õ Ù Ù Ò Ù Ò Ó Ò
× Ö Ò Ð Ò Ü
¼
º
Ì Ó Ö Ñ ½ º Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ø Ð Õ Ù × Ù × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ü × Ø Ò
Ò Ù Ò Ú Ò Ü
¼
Ý × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ü
¼
º Ò Ø Ó Ò × × Ö Ò Ð Ò
Ü
¼
º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ò Ú × Ø Ð Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º ½ ¼ ¸ × Ø Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ø Ó Ö Ñ
Ô Ö Ñ ½ º Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ò Ð × Ó Ò Ö Ð Ô Ö Ò × Ò Ð Ó Ð × Ó
Ò ¾ º Æ Ó × Ó Ø Ö Ó × Ö Ñ Ó × × Ó Ð Ó Ð × Ó Ò ¾ Ý Ñ Ó × Ð × Ó Ò Ö Ð Ð
Ð Ø Ó Ö º Æ Ù × Ø Ö Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × × Ò Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ô Ö
Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ú Ö Ð ¸ Ð Õ Ù Ö Ó Ö Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò
Ì Ó Ö Ñ ½ º ´ Ì Ó Ö Ñ Î Ð Ó Ö Å Ó Ò Á Ê µ Ë Á Ê Ù Ò
Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ý Ö Ú Ð Ò ́ µ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø ¾ ́ µ Ø Ð
Õ Ù
́ µ ́ µ
¼
́ µ ́ µ
Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
́ Ü
¼
· µ
́ Ü
¼
µ
́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
·
¾
µ ́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
µ · ́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
µ ́ Ü
¼ ½
Ü
¼ ¾
µ
Ñ Ó × Ü
¼ ½
·
½
Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù
¾
¼ º ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò ¼
¾
Á Ê Ó Ñ Ó ́ × µ ́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
· × µ º Ó Ñ Ó Ð Ö Ú Ô Ö Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 26/164
¾ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ý Ý Ü × Ø Ò Ù Ò Ú Ò Ü
¼
¸ × × Ô Õ Ù Ò Ó ¸ Ð Ù Ò Ó Ò × Ö Ú Ð
Ò ¼
¾
º Ò Ø Ó Ò × ¸ Ô Ð Ò Ó Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ü × Ø
¾
¾
Ü
¼ ¾
Ü
¼ ¾
·
¾
Ø Ð Õ Ù
́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
·
¾
µ ́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
µ
Ü
¾
́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
·
¾
µ
Ë
¾
¼ Ò Ø Ó Ò × × ¬ Ò Ò
¾
¼ Ý × Ô Ö Ó Ñ Ò Ö Ò Ð Ó º
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ò Ù Ð Õ Ù Ö × Ó
¾
¾
º
È Ó Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ö Ù Ñ Ò Ø Ó ¸ ¬ Ò Ó Ó Ö Ü
¼ ¾
× Ø Ò Ö Õ Ù Ü × Ø
½
Ø Ð Õ Ù
½
½
Ý
́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
µ
́ Ü
¼ ½
Ü
¼ ¾
µ
Ü
½
́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
µ
× ¸ × Ò Ó Ø Ñ Ó × Ü
½
́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
·
½
µ Ý Ü
¾
́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
µ Ø Ò Ñ Ó ×
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ
Ü
½
´ Ü
½
µ
½
·
Ü
¾
´ Ü
¾
µ
¾
Ý Õ Ù
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
Ü
½
´ Ü
½
µ
Ü
½
́ Ü
¼
µ
½
·
Ü
¾
´ Ü
¾
µ
Ü
¾
́ Ü
¼
µ
¾
́ £ µ
Í × Ñ Ó × Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ò Ü
¼
º Ó ¼
Ü × Ø
½
¼ Ø Ð Õ Ù
Ü Ü
¼
½
µ
Ü
½
́ Ü µ
Ü
½
́ Ü
¼
µ
Ô
¾
Ý Ü × Ø
¾
¼ Ø Ð Õ Ù
Ü Ü
¼
¾
µ
Ü
¾
́ Ü µ
Ü
¾
́ Ü
¼
µ
Ô
¾
Ð Ò Ó Ñ Ò
½
¾
¸ × Ò Ø Ó Ò × Ô Ö ½ ¾
Ü
Ü
¼
Ý ×
Ü
´ Ü
µ
Ü
́ Ü
¼
µ
Ô
¾
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 27/164
½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë Á Ê
Æ
Á Ê
Å
º ¾
Ê Ñ Ô Ð Þ Ò Ó × Ø Ù Ð Ø Ñ Ù Ð Ò Ð Ù Ó Ò ´ ¶ µ Ý Ù × Ò Ó Ð × Ù Ð ¹
Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ × Ó Ø Ò
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
×
Ü
½
´ Ü
½
µ
Ü
½
́ Ü
¼
µ
¾
·
Ü
¾
´ Ü
¾
µ
Ü
¾
́ Ü
¼
µ
¾
Ó Ò
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
Ö
¾
¾
·
¾
¾
£
¬ Ò Ó Ò ½ º ¾ ¾ Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
× Ð ×
½
Ò Ü
¼
¾ × ×
Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ý Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ü
¼
º
¬ Ò Ó Ò ½ º ¾ ¿
Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
× Ö Ò Ð Ò × ×
Ö Ò Ð Ò Ô Ù Ò Ø Ó º × Ð ×
½
Ò × Ý Ø Ó × × Ù ×
Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ ́ Ü Ý µ
Ó × ́ Ü µ ·
Ü Ý
Ü
¾
· Ý
¾
× Ö Ò Ð Ò Ô Ù Ò Ø Ó ́ Ü Ý µ
´ ¼ ¼ µ Ô Ù ×
Ü
Ý
Ý
Ü × Ø Ò Ý × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ô Ù Ò Ø Ó × Ø Ò Ø Ó Ð
´ ¼ ¼ µ º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ Ä × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü Ý µ Ü
½ ¿
Ý
½ ¿
× ¹
Ø Ù Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø Ò Ó × Ø Ò ¬ Ò × Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ó Ö Ò ¸ Ñ Ò Ó ×
Ô Ù Ò × Ö Ó Ò Ø Ò Ù × º
Ö Ó ½ º ½ ¾ Ó Ò × Ö Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ
́
Ü Ý
¾
Ü
¾
· Ý
¾
× ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ × ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
µ Å Ù × Ø Ö Õ Ù × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ´ ¼ ¼ µ º
µ Ð Ù Ð Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ü Ý Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ð
Ô Ð Ò Ó º
µ × Ö Ò Ð Ò ´ ¼ ¼ µ
Ú µ Ë Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ò ´ ¼ ¼ µ
Ú µ × Ö Ò Ð Ò ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 28/164
¾ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ö Ó ½ º ½ ¿ Ë Ù Ò Ð Ó × Ù Ð Ø Ñ Ó × Ø Ó Ö Ñ × Ú × Ø Ó × Ø Ò Ñ Ó × Ð × × Ù Ò Ø × Ñ ¹
Ô Ð Ó Ò ×
Ö Ú × Ô Ö Ð × Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ü
¼
µ Ö Ò Ð Ò Ü
¼
µ × Ó Ò Ø Ò Ù
Ò Ü
¼
º Ñ ×
Ö Ò Ð Ò Ü
¼
µ Ü × Ø Ò Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ò Ü
¼
º
Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ñ Ô Ð Ó × Ó Ò × Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð × Ö Ô Ö Ó × × Ø × Ñ Ô Ð ¹
Ó Ò × × Ó Ò Ð × × º
Î Ó Ð Ú Ñ Ó × Ó Ö Ð Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò Õ Ù Ð Ð Ú Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ö ¹
Ò Ð º Î Ñ Ó × Õ Ù × × Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × Ð
Ù Ò Ó Ò Ð Ò Ð Ò Ä ́ Ü
¼
µ · ́ Ü
¼
µ Ô Ö Ó Ü Ñ Ò Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò º
Æ Ó × Ò Ø Ö × Ó Ö Ð Ö Ô Ö Ó º
Ì Ó Ö Ñ ½ º Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
¾
Ý Ä Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð Ò Ð Ò ¸ Ä · Ó Ò ¾ Á Ê
Ñ
Ý ¾ Å
Ñ ¢ Ò
́ Á Ê µ º
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ð Ñ
¼
́ Ü
¼
· µ Ä
¼ ́ £ µ
Ò Ø Ó Ò × ́ Ü
¼
µ Ý ́ Ü
¼
µ Ý × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò È Ó Ö Ô Ó Ø × ×
Ð Ñ
¼
́ Ü
¼
· µ Ä
¼
Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Õ Ù
Ð Ñ
¼
́ Ü
¼
· µ ¼
Ó Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
¸ × Ø Ó Ñ Ô Ð Õ Ù ́ Ü
¼
µ º
È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ Ð Ò Ó ½ Ò ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð Ô Ó Ø × × Õ Ù
Ð Ñ
Ø ¼
́ Ü
¼
· Ø
µ ́ Ü
¼
µ Ø
Ø
¼
× Ö ¸
Ð Ñ
Ø ¼
́ Ü
¼
· Ø
µ ́ Ü
¼
µ
Ø
× ¸ Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ó Ö Ò × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ü
Ü × Ø Ò Ý × Ó Ò Ù Ð × Ð Ó Ð Ù Ñ Ò ¹ × Ñ º Õ Ù ́ Ü
¼
µ º Ò
Ú × Ø Ð Ô Ó Ø × × Ò Ù Ú Ñ Ò Ø ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
º £
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 29/164
½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë Á Ê
Æ
Á Ê
Å
º ¾
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º ½ ¿ × Ø Ø Ó Ö Ñ Õ Ù Ù Ò Ó Ü × Ø Ù Ò Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò
Ð Ò Ð Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò Ò Ø Ó Ò × Ý Ù Ò × Ó Ð º × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ Ù Ò º
È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ø Ó Ö Ñ × Ñ Ù Ý Ù Ø Ð Ô Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ö Ò Ð
Ù Ò Ö Ø Ù Ò Ó Ò º Ä × Õ Ù Ù Ò Ó Ø Ò Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Õ Ù × Ò Ø
× Ö Ð Ñ Ø Ö Ü Â Ó Ò º Ó Ò Ñ Ø Ö Þ Ù Ò Ó Ñ Ù × Ø Ö ´ ¶ µ º Ý
Ó Ò Ð Ù Ý Ð Ö Ò Ð º
Ð × Ù Ò Ø × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ Õ Ù Ô Ö Ñ Ø Ó Ñ Ò Ö Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º
Ì Ó Ö Ñ ½ º Ë Ò Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
̧ Ü
¼
¾ Ý ¾ Á Ê º
½ µ × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ñ Ô Ð × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ý
́ µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
¾ µ Ý × Ó Ò Ö Ò Ð × Ò Ü
¼
Ñ Ô Ð
µ · × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ý
́ · µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ · ́ Ü
¼
µ
µ ¡ × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ý
́ ¡ µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
Ø
́ Ü
¼
µ · ́ Ü
¼
µ
Ø
́ Ü
¼
µ
¿ µ Ñ ½ ̧ × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ý ́ Ü
¼
µ ¼ Ñ Ô Ð
½
́ Ü µ
× Ö Ò Ð
Ò Ü
¼
Ý
́
½
µ ́ Ü
¼
µ
́ Ü
¼
µ
́ Ü
¼
µ
¾
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Ó Ð Ó Ò Ö Ñ Ó × Ö Ú Ñ Ò Ø Ó Ñ Ó × Ñ Ù × Ø Ö ¾ µ µ ¸ Ð
Ö × Ø Ó Õ Ù Ö Ó º Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
¡ ́ Ü
¼
· µ ¡ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
Ø
́ Ü
¼
µ · ́ Ü
¼
µ
Ø
́ Ü
¼
µ
́ ́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ µ ¡ ́ Ü
¼
· µ
· ́ Ü
¼
µ ¡ ́ ́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ µ
· ́ Ü
¼
µ ¡ ́ ́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ µ
Í × Ò Ó Ð × × Ù Ð × Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ý Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
́ Ü
¼
· µ
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
· ́ Ü
¼
µ
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 30/164
¿ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
· ́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
Õ Ù × × Ù Ð Ö Ò Ð º Æ Ó Ø Ö Õ Ù × Ø Ñ Ó × Ù × Ò Ó Ð Ì Ó Ö Ñ
½ º º £
Ì Ó Ö Ñ ½ º ´ Ê Ð Ð Ò µ Ë Ò Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ý
Á Ê
Ñ
Á Ê
Ô
Ø Ð × Õ Ù × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
¾ Ý Ö Ò Ð Ò ́ Ü
¼
µ ¾
º Ò Ø Ó Ò × Æ Á Ê
Ò
Á Ê
Ô
× Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ý
́ Æ µ ́ Ü
¼
µ ́ ́ Ü
¼
µ µ ́ Ü
¼
µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë × Ö Ñ Ó ×
́ µ ́ ́ Ü
¼
· µ µ ́ ́ Ü
¼
µ µ ́ ́ Ü
¼
µ µ ́ Ü
¼
µ
Ò Ø Ó Ò × ¸ Ö × Ð Ì Ó Ö Ñ ½ º × Ø Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù
Ð Ñ
¼
́ µ
¼
Ð × Ù Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ý Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
́ µ ́ ́ Ü
¼
· µ µ ́ ́ Ü
¼
µ µ ́ ́ Ü
¼
µ µ ́ ́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ µ
· ́ ́ Ü
¼
µ µ ́ ́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ µ
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ó Ñ Ó × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
¸ Ó ¼ Ü × Ø
½
¼ Ø Ð Õ Ù
½
µ ́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
¾ ́ ́ Ü
¼
µ µ
Ý Õ Ù Ø Ñ Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø Ã ¼ Ø Ð Õ Ù
½
µ ́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ Ã
Í × Ò Ó Ð Ö Ò Ð Ò ́ Ü
¼
µ Ò Ó Ò Ø Ö Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø
¾
¼ Ø Ð
Õ Ù
Ð
¾
µ ́ ́ Ü
¼
µ · Ð µ ́ ́ Ü
¼
µ µ ́ ́ Ü
¼
µ µ Ð
¾ Ã
Ð
Ä Ù Ó ¸ × Ó Ò Ó Ñ Ò
½
¾
Ã
¸ × Ý Ó Ò × Ö Ò Ó Ð ́ Ü
¼
·
µ ́ Ü
¼
µ × Ø Ò Ö Ñ Ó ×
́ ́ Ü
¼
· µ µ ́ ́ Ü
¼
µ µ ́ ́ Ü
¼
µ µ ́ ́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 31/164
½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë Á Ê
Æ
Á Ê
Å
º ¿ ½
¾ Ã
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ
¾ Ã
Ã
¾
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
µ
́ µ
Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ö Õ Ù Ö Õ Ù ́ ́ Ü
¼
µ µ ¼ º Á Ò Ö Ó Ñ Ó Ö Ð Ó Ù Ò Ó
× Ö Ó º £
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ ´ × Ó È Ö Ø Ù Ð Ö µ Ë Ò Á Ê
¿
Á Ê Ý Á Ê
¿
Á Ê
¿
Ø Ð Õ Ù
́ Ü Ý Þ µ ́ Ù ́ Ü Ý Þ µ Ú ́ Ü Ý Þ µ Û ́ Ü Ý Þ µ µ
Ë ́ Ü Ý Þ µ Æ ́ Ü Ý Þ µ ́ Ù ́ Ü Ý Þ µ Ú ́ Ü Ý Þ µ Û ́ Ü Ý Þ µ µ Ð Ù Ð Ñ Ó ×
Ü
́ Ü Ý Þ µ º È Ö × Ø Ó Ù × Ñ Ó × Ð Ê Ð Ð Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ö ́ Ü Ý Þ µ
́ Ü Ý Þ µ ́ ́ Ü Ý Þ µ µ ́ Ü Ý Þ µ ́
Ù
Ú
Û
µ
¾
Ù
Ü
Ù
Ý
Ù
Þ
Ú
Ü
Ú
Ý
Ú
Þ
Û
Ü
Û
Ý
Û
Þ
¿
Ò Ø Ó Ò ×
Ü
Ù
Ù
Ü
·
Ú
Ú
Ü
·
Û
Û
Ü
£
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ ¼ ´ Ó Ó Ö Ò × × Ö × µ Ë Á Ê
¿
Á Ê Ý Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð
Ñ Ó Ú Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × × Ö ×
Ü Ö Ó × ́ µ × Ò ́ µ
Ý Ö × Ò ́ µ × Ò ́ µ
Þ Ö Ó × ́ µ
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ö µ ́ Ö Ó × × Ò Ö × Ò × Ò Ö Ó × µ É Ù Ö ¹
Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ö Ý º
Ë Ñ Ö Ñ Ó × Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × Ó Ñ Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê
¿
Á Ê
¿
¸ Ù × Ò Ó
Ð Ñ Ô Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ø Ò Ö
Ö
Ü
Ó × × Ò ·
Ý
× Ò × Ò ·
Þ
Ó ×
Ü
Ö Ó × Ó × ·
Ý
Ö × Ò Ó ×
Þ
Ö × Ò
Ü
Ö × Ò × Ò ·
Ý
Ö Ó × × Ò £
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 32/164
¿ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ ½ Ë ́ Ü Ý µ ́ Ù ́ Ü Ý µ Ú ́ Ü Ý µ µ Ó Ò Ð Ù Ò Ó Ò × Ø
¬ Ò Ô Ó Ö ́ Ù Ú µ
Ù
¾
· Ú
¾
Ù
¾
Ú
¾
¸ Ý Ð × Ù Ò Ó Ò × Ù Ý Ú Ô Ó Ö Ù ́ Ü Ý µ
Ü Ý
Ý
Ú ́ Ü Ý µ
Ü Ý
º Ð Ù Ð Ö
Ü
Ý
Í × Ò Ó Ð Ö Ð Ð Ò Ø Ò Ñ Ó ×
Ü
Ù
Ù
Ü
·
Ú
Ú
Ü
Ù Ú
¾
́ Ù
¾
Ú
¾
µ
¾
Ü Ý
·
Ú Ù
¾
́ Ù
¾
Ú
¾
µ
¾
Ý
Ü Ý
Ý
Ù
Ù
Ý
·
Ú
Ú
Ý
Ù Ú
¾
́ Ù
¾
Ú
¾
µ
¾
Ü Ý
·
Ú Ù
¾
́ Ù
¾
Ú
¾
µ
¾
Ü
Ü Ý
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ ¾ ´ Á Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø µ Ë Ò Á Ê
¿
Á Ê ̧ - Á Ê Á Ê
¿
Ý Á Ê Á Ê
Ñ Ò Ö Õ Ù ́ Ø µ Æ - ́ Ø µ º Ò Ø Ó Ò ×
Ø
Ü
-
½
·
Ý
-
¾
·
Þ
-
¿
Ö ́ - ́ Ø µ µ ¡
- ́ Ø µ
Ä Ù Ò Ó Ò - Ö Ô Ö × Ò Ø Ù Ò Ù Ö Ú Ò Ð × Ô Ó Ý - × Ù Ú Ø Ó Ö Ø Ò Ò Ø º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ ¿ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ó Ò ×
́ Ü Ý µ ́ Ü
¾
· ½ Ý
¾
µ
́ Ù Ú µ ́ Ù · Ú Ù Ú
¾
µ
Ð Ù Ð Ö ́
Æ µ ´ ½ ½ µ Í × Ñ Ó × Ð Ö Ð Ð Ò Ý Ð Ù Ð Ñ Ó ×
́ ´ ½ ½ µ µ ´ ½ ½ µ
́ Ü Ý µ
¾ Ü ¼
¼ ¾ Ý
Ý Ú Ð Ù Ò Ó ´ ½ ½ µ
¾ ¼
¼ ¾
Ú Ð Ù Ñ Ó × ´ ½ ½ µ ´ ¾ ½ µ Ý Ð Ù Ó Ð Ù Ð Ñ Ó ×
́ Ù Ú µ
¾
½ ½
½ ¼
¼ ¾ Ú
¿
Õ Ù Ð Ú Ð Ù Ö Ò Ó ×
́ ´ ½ ½ µ µ ´ ¾ ½ µ
¾
½ ½
½ ¼
¼ ¾
¿
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 33/164
½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë Á Ê
Æ
Á Ê
Å
º ¿ ¿
Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó ×
́ Æ µ ´ ½ ½ µ
¾
½ ½
½ ¼
¼ ¾
¿
¾ ¼
¼ ¾
¾
¾ ¾
¾ ¼
¼
¿
Í Ò Ó Ö Ñ Ð Ø Ö Ò Ø Ú ¸ Õ Ù Ò Ó × Ú Ò Ø Ñ Ò Ø Ð Ñ × Ñ Ó Ö × Ù Ð Ø Ó ¸ ×
× Ö Ö Ó Ð Ð Ö Ô Ö Ñ Ö Ó
́ Ü Ý µ Æ ́ Ü Ý µ ́ Ü
¾
· Ý
¾
· ½ Ü
¾
· ½ Ý
µ
Ý Ð Ù Ó Ö Ú Ö Ý Ú Ð Ù Ö
́ Ü Ý µ
¾
¾ Ü ¾ Ý
¾ Ü ¼
¼ Ý
¿
¿
Ò Ø Ó Ò × ´ ½ ½ µ
¾
¾ ¾
¾ ¼
¼
¿
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ ´ Ö Ú Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø µ Ë Ò Á Ê
¾
Á Ê Ý Á Ê Á Ê Ø Ð ×
Õ Ù
́ Ü Ý ́ Ü µ µ ¼ Ü ¾ Á Ê Ò Ø Ó Ò ×
Ü
·
Ý
Ý
Ü
¼
Ë
Ý
¼ Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ñ Ó × × Ô Ö Ð Ö Ú Ý Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ü
Ý
Ü
Ü
Ý
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º ½ Å × Ð Ò Ø Ú Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù Ó Ò
́ Ü Ý µ ¼
Ý Ó Ò Ó Ò × Õ Ù Ö Ò Ø Þ Ò Ð Ô Ó × Ð × Ô Ö Ý Ó Ñ Ó Ù Ò Ó Ò
Ü º × Ø Ö Ø Ö Ó Ð Ó Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø Ý Ó Ò × × Ø Ò
× Ù Ô Ó Ò Ö Õ Ù
Ü
× Ò Ó Ò Ù Ð º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ù × Ø Ñ Ò Ø × Ø Ø Ö Ñ Ò Ó Ô Ö
Ò Ð Ò Ó Ñ Ò Ó Ö Ð Ö Ú Ý º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ Î Ñ Ó × Ó Ö Ù Ò × Ó Ö Ú Ó Ò Ñ Ô Ð Ø Ó Ò Ñ × Ú Ö ¹
Ð × º Ë Ò
½
́ Ü Ý
½
́ Ü µ Ý
¾
́ Ü µ µ ¼
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 34/164
¿ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
¾
́ Ü Ý
½
́ Ü µ Ý
¾
́ Ü µ µ ¼
Ó Ò
½
¾
Á Ê
¿
Á Ê Ý Ý
½
Ý
¾
Á Ê Á Ê º Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ø Ó × Ð ×
Ù Ò Ó Ò × Ò Ú Ó Ð Ù Ö × × Ó Ò Ö Ò Ð × × × Ð Ù Ð Ö Ý
½
́ Ü µ Ý
¾
́ Ü µ º
½
Ü
·
½
Ý
½
Ý
½
·
½
Ý
¾
Ý
¾
¼
¾
Ü
·
¾
Ý
½
Ý
½
·
¾
Ý
¾
Ý
¾
¼
× Ø × Ù Ò × × Ø Ñ ¾
¢ ¾ Ð Ù Ð Ô Ó Ñ Ó × × Ô Ö Ð × Ö Ú × Ù × × ¸
Ó Ð Ô Ó Ø × × Ò Ú Ö Ø Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø
Ý
½
Ý
¾
½
½
Ý
½
¾
Ý
¾
¾
Ý
½
½
Ý
¾
¾
Ý
¾
½
Ý
½
¾
Ý
½
½
Ý
½
½
Ü
¾
Ü
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ Î Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ò × Ö Ý × Ù ¬ Ò Ø
Ô Ö Õ Ù
Ü
Ý
× Õ Ù Ü × Ø Ø Ð Õ Ù ́ Ü Ý µ ́ Ü · Ý µ º
Ä × Ù ¬ Ò Ó Ò Ó Ò × Ú Ò Ø º Ë Ó Ð Ó Ñ Ó × Õ Ù Ö
Õ Ù Ð Ó Ò Ó Ò Ø Ñ Ò × Ò × Ö º È Ö × Ø Ó Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø
Ñ Ó Ú Ö Ð ×
Ù Ü · Ý Ú Ü Ý ̧ Ü
Ù · Ú
¾
Ý
Ù Ú
¾
Ý ¬ Ò Ñ Ó ×
́ Ù Ú µ ́
Ù · Ú
¾
Ù Ú
¾
µ
Ì Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù
Ú
́ Ù Ú µ
Ü
½
¾
·
Ý
́
½
¾
µ ¼
× Ö Ò Ó Ô Ò Ú ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ Ü Ý µ ́ Ü · Ý µ £
Ð Ì Ó Ö Ñ Î Ð Ó Ö Å Ó Ó Ð Ó × Á Ò Ö Ñ Ò Ø Ó × Ò Ø Ó ×
Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ô Ö Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ò Á Ê
Ô Ù Ü Ø Ò Ö × Ú Ö × Ú Ö Ð × º × Ø Ó Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 35/164
½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë Á Ê
Æ
Á Ê
Å
º ¿
Ì Ó Ö Ñ ½ º ½ ¼ ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó µ Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ö Ò ¹
Ð Ò Ý ¸ Ó Ò Ø · ´ ½ Ø µ Ø ¾ ¼ ½ º Ò Ø Ó Ò ×
́ µ ́ µ × Ù Ô
Ü ¾
́ Ü µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ø Ø Ó Ö Ñ Ò Ð × Ó Ò Ö Ð × Ù Ò
Ô Ó Ó Ó Ñ Ô Ð º È Ó Ö × Ø Ö Þ Ó Ò × Ó Ð Ó Ð Ö Ñ Ó × Ò Ð × Ó Ñ ½ º ¬ Ò Ñ Ó ×
Ð Ù Ò Ó Ò ¼ ½ Á Ê Ô Ó Ö
́ Ø µ ́ Ø · ´ ½
Ø µ µ
× Ø Ù Ò Ó Ò × Ö Ú Ð Ý Ô Ó Ö Ð Ö Ð Ð Ò Ú Ñ Ó × Õ Ù
¼
́ Ø µ Ö ́ Ø · ´ ½ Ø µ µ ¡ ́ µ
Ó Ñ Ó Ð Ù Ò Ó Ò × Ø × Ð × Ô Ó Ø × × Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ô Ö
Ù Ò Ó Ò × Ö Ð × Ô Ó Ñ Ó × Ó Ò Ð Ù Ö Õ Ù Ü × Ø Ø
¼
¾ ´ ¼ ½ µ Ø Ð Õ Ù
´ ½ µ ´ ¼ µ
¼
́ Ø
¼
µ ´ ½ ¼ µ
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ µ ́ µ Ö ́ Ø
¼
· ´ ½ Ø
¼
µ µ ¡ ́ µ ́ £ µ
Ì Ó Ñ Ò Ó Ñ Ó Ù Ð Ó Ý Ù × Ò Ó Ð × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ
́ µ ́ µ Ö ́ Ø
¼
· ´ ½ Ø
¼
µ µ ´ × Ù Ô
Ü ¾
Ö ́ Ü µ µ £
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º ½ Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ñ Ò × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ì Ó Ö Ñ
Ð Ó × Á Ò Ö Ñ Ò Ø Ó × Ò Ø Ó × º È Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ú Ð Ó Ö × Ò Á Ê
Ñ
Ù Ò Ó Ò Ó Ó Ø Ò
Ò × Ö Ñ Ò Ø Ù Ò Ù Ð Ó Ñ Ó Ò Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð Ó Ó Ñ Ó Ò
´ ¶ µ º × Ø Ó Ò Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ô Ù × × Ù Ù Ø Ð Ö Ð Ñ Ò Ø Ú Ò Ð Ó Õ Ù Ð Ó ×
Ò Ö Ñ Ò Ø Ó × ³ × Ô Ù Ò Ó Ø Ö º
Ë Ù Ò Ó Ö Ð Ô Ó Ø × × Õ Ù × Ð ×
½
Ò Ø Ó Ò × ́ ¡ µ ×
Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ó Ñ Ó ¡ Ø Ñ Ò Ð Ó × ́ ¡ µ × Ö Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò Ù Ò Ó Ò ×
Ó Ò Ø Ò Ù × Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Á Ê Ò Á Ê Ý × Ð Ò Þ Ö × Ù Ñ Ü Ñ Ó
× Ó Ö Ù Ò Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ö Ö Ó º Ä Ù Ó
́ µ ́ µ Ñ Ü
Ü ¾
́ Ü µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 36/164
¿ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
½ º Ö Ò Ø Ý Ù Ò Ô Ó Õ Ù Ø Ó
Ó Ñ Ø Ö
Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö Ò Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê
Ò
Á Ê × ¬ Ò Ó Ñ Ó
Ö ́ Ü
¼
µ ́
Ü
½
́ Ü
¼
µ
Ü
Ò
́ Ü
¼
µ µ
Ð Ö Ò Ø × ¬ Ò Ò Ö Ð Ñ Ò Ø × Ó Ð Ó Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ó Ò × Ö Ò Ð ¸
Ù Ò Ù Ò Ó × Ø Õ Ù Ü × Ø Ò Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ô Ö Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ó º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ Ð Ù Ð Ö Ð Ö Ò Ø
́ Ü Ý Þ µ
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
Ö
Ü
½ ¡ ¾ Ü
¾
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
Ü
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
Ö ́ Ü Ý Þ µ
½
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
́ Ü Ý Þ µ
Ö
Ö
Ö
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ö Ó Ú ´ Ó Ò Ú ½ µ Ý Ñ Ö Ñ Ó ×
Ð Ù Ò Ó Ò
Ø ́ Ü
¼
· Ø Ú µ
× Ø × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ú Ö Ð Ý Ù Ò Ó Ô Ù Ô Ö Ù Ò Ø Ö × × Ó Ö × Ù Ö ¹
Ò Ð Ò Ø ¼ × Ö × Ó Ö Ð Ü × Ø Ò Ð Ð Ñ Ø
Ð Ñ
Ø ¼
́ Ü
¼
· Ø Ú µ
Ü
¼
µ
Ø
Ë × Ø Ð Ñ Ø Ü × Ø ¸ Ñ Ó × Õ Ù Ø Ò Ö Ú Ò Ü
¼
¸ Ò Ð Ö Ó Ò
Ú º × Ø Ð Ñ Ø × Ð Ó Ò Ó Ø Ù × Ù Ð Ñ Ò Ø Ó Ñ Ó ́ Ü
¼
Ú µ Ó
Ú
́ Ü
¼
µ Í Ò × Ó
Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ö Ú Ö Ó Ò Ð × Ó Ò Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × º
́ Ü
¼
Ú µ Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ð Ö Ú Ð Ö × Ø Ö Ó Ò Ð Ö Ø
Ä Ü Ü
¼
· Ø Ú
Ò Ð × Ó Ò Õ Ù × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × Ð Ö Ú Ö Ó Ò Ð
Ü × Ø Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ö Ó Ò Ý × Ô Ù Ð Ù Ð Ö Ó Ñ Ó
́ Ü
¼
Ú µ
Ö ́ Ü
¼
µ
¡ Ú
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ñ Ó × Ó Ò × Ö Ó Ú Ù Ò Ø Ö Ó º × Ø Ó × Ô Ö Ò Ó × Ø Ó Ö Ó Ò Ö
Ð × Ð × Ô Ð Ò Ø Ö ́ Ü
¼
µ Ý ́ Ü
¼
· Ø Ú µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 37/164
½ º º Ê Á Æ Ì Í Æ È Ç É Í Á Ì Ç Ç Å Ì Ê
Á ¿
Ö Ó ½ º ½ Ð Ù Ð Ö Ð Ö Þ Ó Ò Ñ Ó Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ö Ó Ò
Ú ´ ½
Ô
¿ ½
Ô
¿ ½
Ô
¿ µ Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ü
¼
´ ½ ¼ ¼ µ Ô Ö
́ Ü Ý Þ µ Ü
¾
Ý Þ
Ë Ô Ð Ù Ð Ö Ö Ö ´ ½ ¼ ¼ µ ¡ ´ ½
Ô
¿ ½
Ô
¿ ½
Ô
¿ µ È Ö Ð Ð Ó Ð Ù Ð Ñ Ó ×
Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×
Ü
¾ Ü
Ý Þ
Ý
Ü
¾
Þ
Ý Þ
Þ
Ü
¾
Ý
Ý Þ
Ú Ð Ù Ò Ó Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Ö ´ ½ ¼ ¼ µ ´ ¾ ¼ ¼ µ µ Ö ´ ¾ ¼ ¼ µ ´ ½
Ô
¿ ½
Ô
¿ ½
Ô
¿ µ
¾
Ô
¿
Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ Ò Ó × Ñ Ù × Ø Ö Ù Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø × Ô Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ó Ð Ö ¹
Ò Ø º
Ì Ó Ö Ñ ½ º ½ ½ Ë Ö ́ Ü
¼
µ ¼ Ò Ø Ó Ò × Ö ́ Ü
¼
µ Ô Ù Ò Ø Ò Ð Ö Ó Ò Ò
Ð Ù Ð Ö Ñ × Ö Ô Ñ Ò Ø º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Ú Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ö Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ö Þ Ó Ò Ñ Ó Ò
Ð Ö Ó Ò Ú ×
Ö ́ Ü
¼
µ ¡ Ú Ö ́ Ü
¼
µ Ú Ó ×
Ö ́ Ü
¼
µ Ó ×
Ó Ò × Ð Ò Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ú Ý Ö ́ Ü
¼
µ µ × Ø Ò Ù Ð Ó × Ñ Ü Ñ Ó Ù Ò Ó Ú Ý
Ö ́ Ü
¼
µ × Ó Ò Ô Ö Ð Ð Ó × º £
Ç Ø Ö Ó × Ô Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ó Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ð Ö Ò Ø Ú Ò Ò Ð × Ø Ù Ó
× Ù Ô Ö ¬ × º Ë Á Ê
Ò
Á Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð Ý Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ë Ü ¾ Á Ê
Ò
́ Ü µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 38/164
¿ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
× Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó × ¸ Ò Ò Ö Ð ¸ Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ × Ò ¿ Ý Ù Ò Ô Ö × Ù Ô Ö ¬ ×
Ò ¿ º
Ð Ú Ø Ó Ö Ö ́ Ü
¼
µ × Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ð × Ù Ô Ö ¬ Ò Ü
¼
Ä Ó Ñ Ø Ö × Ð × Ù Ò Ø Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Á Ê
Á Ê
Ò
×
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð ¸ × Ö × Ù Ò Ù Ö Ú × Ù Ú Ò Á Ê
Ò
º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó ×
Ñ × Õ Ù × Ø × Ó Ö Ë × Ö
́ ́ Ø µ µ Ø
Ë ́ Ø
¼
µ Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × Ö Ú Ò Ó Ý Ú Ð Ù Ò Ó Ò Ü
¼
Ö ́ Ü
¼
µ ¡
¼
́ Ø
¼
µ ¼
¼
́ Ø
¼
µ × Ù Ò Ö Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ð × Ù Ô Ö ¬ ¸ Ý Ó Ñ Ó × Ù Ò Ù Ö Ú Ù Ð Õ Ù Ö
Ö ́ Ü
¼
µ × Ö Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð × Ù Ô Ö ¬ º
¬ Ò Ó Ò ½ º ¾ Ë Á Ê
Ò
Á Ê Ö Ò Ð º Ë ́ Ü
¼
µ ¼ ̧
Ö ́ Ü
¼
µ
¼ ¸ × ¬ Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë
Ü
¾ ́ Ü µ
Ò
Ü
¼
Ó Ñ Ó
Ö ́ Ü
¼
µ ¡ ́ Ü Ü
¼
µ ¼
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º ½ Ö Ø Ñ Ò Ø ¸ × ́ ́ Ø µ µ ¼ Ý ´ ¼ µ Ü
¼
Ò Ø Ó Ò ×
¼
́ Ø
¼
µ ·
Ü
¼
× Ø Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø º
Ë Ô Ù Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù × Ù Ò Ö Ó Ò Ú × Ø Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ü × Ø Ø Ð Õ Ù Ü
¼
́ Ø
¼
µ · Ü
¼
× Ø Ô Ö Ó Ô Ó Ñ Ø Ö × Ñ Ù Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ý
× Ù Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð Ô Ó × Ø Ö Ö Ñ Ó × × Ø Õ Ù Ý Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ó Ð Ì Ó Ö Ñ
Ð Ù Ò Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø ¸ Ð ¬ Ò Ð Ð Ù Ö × Ó º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð × Ù Ô Ö ¬
Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
½ ¼ Ò ´ ½ ¼ ¼ µ
Ö ´ ½ ¼ ¼ µ ´ ¾ Ü ¾ Ý ¾ Þ µ
´ ½ ¼ ¼ µ
´ ¾ ¼ ¼ µ
Ò Ø Ó Ò × Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø ×
Ö ´ ½ ¼ ¼ µ
¡ ́ Ü
½ Ý
¼ Þ
¼ µ ¼
× Ö
Ü ½ £
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 39/164
½ º º Ê Á Æ Ì Í Æ È Ç É Í Á Ì Ç Ç Å Ì Ê
Á ¿
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ À Ð Ð Ö Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö ¬ ¬ Ò Ô Ó Ö
¾ Ü Ý
¿
Þ · Þ Ð Ò Ü · Ý × Ò Ý ¼
Ò ´ ½ ¾ ¼ µ º
Ö Ø Ñ Ò Ø Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ½ ¾ ¼ µ × Ø Ò Ð × Ù Ô Ö ¬ º È Ö Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò
Ú Ø Ó Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ö Ú Ñ Ó ×
Ö ́ Ü Ý Þ µ ´ ¾ Ý
¿
Þ ·
Þ
Ü
Ü Ý
¾
Þ · Ý Ó × Ý · × Ò Ý ¾ Ü Ý
¿
· Ð Ò Ü µ
Ý Ú Ð Ù Ñ Ó × Ò ´ ½ ¾ ¼ µ Ô Ö Ó Ø Ò Ö
Ö ´ ½ ¾ ¼ µ ´ ¼ ½ ¾ ´ ¾ µ
¿
µ
Ó Ñ Ó Ú Ñ Ó × ¸ Ð Ö Ò Ø Ö ´ ½ ¾ ¼ µ ´ ¼ ½ ¾ ´ ¾ µ
¿
µ × Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö ¹
¬ º
× Ó Ð Ö Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ð × Ó Õ Ù Á Ê
Ò
Á Ê Ù Ò
Ø Ñ Ô Ó Ø Ö × ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ö Ó Ó Ñ Ó
́ µ
́ Ü ́ Ü µ µ Ü
¾
́ Ü Þ µ Þ ́ Ü µ
Ë ¬ Ò Ñ Ó ×
́ Ü Þ µ Þ ́ Ü µ
Ò Ø Ó Ò × Ð × Ó × ¬ Ò Ó Ò × Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Õ Ù Ñ Ó × Ó × Ó Ò Ó Ö ¹
Ò Ø × º Ò Ø Ó
Ö ́ Ü Þ µ ́
Ü
½
Ü
Ò
½ µ
Ò Ø Ó Ò × Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Õ Ù Ø Ö Ñ Ò Ó Ô Ó Ö
Ö ́ Ü Þ
¼
µ ´ ́ Ü Þ µ ́ Ü
¼
Þ
¼
µ µ ¼
× Ö ¸
Ö ́ Ü
¼
µ ́ Ü
Ü
¼
µ · ́ Þ
Þ
¼
µ ¼
Ó × ¸ Þ Þ
¼
· Ö ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ Æ Ó Ø Ö Ò Õ Ù Ð Ú Ø Ó Ö ´ Ö ́ Ü
¼
µ ½ µ ×
Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ð Ö Ó Ò ́ Ü
¼
́ Ü
¼
µ µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 40/164
¼ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¿ ¼ Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó Ð Ù Ò Ó Ò
́ Ü Ý Þ Ø µ Ü
Ý Ø
· Ó × Þ Ø
Ò ´ ¿ ¼ ¼ ¿ µ
Ì Ò Ñ Ó × Õ Ù ´ ¿ ¼ ¼ ¿ µ ¿ · ½ Ñ × ¸ Ö Ú Ò Ó Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Ö ́ Ü Ý Þ Ø µ ́
Ý Ø
Ü Ø
Ý Ø
Ø × Ò Þ Ø Ü Ý
Ý Ø
Þ × Ò Þ Ø µ Ý Ú Ð Ù Ò Ó
Ö ´ ¿ ¼ ¼ ¿ µ ´ ½ ¼ ¼ µ º Ò Ó Ò × Ù Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø ×
Û ½ ¡ ́ Ü ¿ µ · ´ Ý ¼ µ · ¼ ´ Þ ¼ µ · ¼ ´ Ø ¿ µ
Ý × Ñ Ô Ð ¬ Ò Ó
Û Ü ¿ · Ý Ó Ý · Ü Û ½
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¿ ½ À Ð Ð Ö Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ö Ó ¸ Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö ¬ Ë Ô Ó Ö
Þ Ü
¾
Ý
¾
· Ý · ½
Ò ´ ¼ ¼ ½ µ
Þ Ü
¾
Ý
¾
Ý ½ ¼ Ý × Ù × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò
Ü
¾ Ü Ý
¾
Ý
¾ Ü
¾
Ý ½
Þ
½
Ú Ð Ù Ò Ó Ò ´ ¼ ¼ ½ µ Ó Ø Ò Ñ Ó × Ö ´ ¼ ¼ ½ µ ´ ¼ ½ ½ µ Ý Õ Ù Ú
½
Ô
¾
´ ¼ ½ ½ µ × Ò Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ø Ö Ó º
Â Ê Á Á Ç Ë
È ½ µ Ë Ò Ü
¼
Ü
½
Ü
Ò ½
Á Ê
Ò
Ø Ð × Õ Ù Ü
½
Ü
¼
Ü
Ò ½
Ü
¼
× Ó Ò Ð Ò Ð Ñ Ò Ø
Ò Ô Ò Ò Ø × º È Ö Ó Ö Õ Ù Ü × Ø Ü Ø Ñ Ò Ø Ù Ò Ô Ö Ô Ð Ò Ó Ó Ò Ø Ò Ò Ó
Ü
¼
Ü
½
Ü
Ò ½
º
È ¾ µ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù × Ü × Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ù Ð Õ Ù Ö Á Ê
Ò
Ý ×
× Ù Ò Ú Ø Ó Ö
Ù Ò Ø Ö Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü Ý · Þ ¸ Ó Ò Ý × Ù Ò Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó
Ý Þ × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö
º
µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Ý Ý Þ Ð Ô Ö Ø µ × Ø Ò Ø Ö Ñ Ò Ó ×
Ù Ò Ú Ó Ñ Ò Ø º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 41/164
½ º º Ê Á Æ Ì Í Æ È Ç É Í Á Ì Ç Ç Å Ì Ê
Á ½
È ¿ µ Ë ¾ Å
Ò ¢ Ò
́ Á Ê µ Ù Ò Ñ Ø Ö Þ × Ñ Ø Ö º µ È Ö Ù Õ Ù Ü × Ø Ò Ú Ø Ó Ö ×
½
¡ ¡ ¡
Ò
¾ Á Ê
Ò
½
¡ ¡ ¡
Ò
¾ Á Ê Ø Ð × Õ Ù
Ü
Ò
½
́ Ü ¡
µ
Ü ¾ Á Ê
Ò
Á Ò È Ò × Ò Ð Ó × Ú Ð Ó Ö × Ý Ú Ø Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × º
µ È Ö Ù Ù × Ò Ó Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö Õ Ù Ü Ü º
È µ Ë ¬ Ò Ô Ó Ö Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ Ù Ð
́ Ü
½
Ü
¾
µ
Ü
½
Ô
Ü
¾
½
Ü
¾
× ́ Ü
½
Ü
¾
µ ¼ Ý ´ ¼ ¼ µ ¼
µ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ò × Ô Ù ¬ Ò Ö ¸ × Ö Ó Ñ ¸ Ö ¬ Õ Ù º
µ Ø Ö Ñ Ò Ð × Ù Ö Ú × Ò Ú Ð º
µ Ø Ö Ñ Ò × × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ´ ¼ ¼ µ º È µ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ò Ú Ð
Ô Ö Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò × ´ Ô Ö Ð Ó × Ò Ú Ð × Õ Ù × Ò Ò µ º
µ ́ Ü Ý µ Ü · Ý Ô Ö ́ Ü Ý µ ½ º
µ ́ Ü Ý µ ́ Ü
¾
· Ý
¾
· ½ µ
¾
Ü
¾
Ô Ö ́ Ü Ý µ ¼ º
µ ́ Ü
½
Ü
¾
Ü
¿
µ ́ Ü
½
Ü
¾
Ü
¿
Ü
½
· Ü
¾
µ Ô Ö ́ Ü
½
Ü
¾
Ü
¿
µ ´ ¼ ½ µ º È µ Ø Ö Ñ Ò
× Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò × Ñ Ø Ò Ð Ñ Ø Ò Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Õ Ù × Ò Ò
µ ́ Ü Ý µ ¾ Ü Ý
Ü
¾
Ý
¾
Ü
¾
· Ý
¾
Ò Ü
¼
´ ¼ ¼ µ º
µ ́ Ü Ý µ
× Ò Ü × Ò Ý
Ü Ý
Ò Ü
¼
´ ¼ ¼ µ º
µ ́ Ü Ý µ
Ü Ý
¾
Ü
¾
· Ý
Ò Ü
¼
´ ¼ ¼ µ º
È µ Ë Ò Á Ê
¾
Á Ê Ø Ö × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º Ë ¬ Ò Ð Ù Ò Ó Ò
Á Ê
¾
Á Ê Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ ́ ́ Ü Ý µ ́ Ü Ý µ µ
Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù × Ó Ò Ø Ò Ù º
È µ × Ø Ù Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò × º
µ ́ Ü
½
Ü
¾
µ
́
Ü
½
Ü
½
· Ü
¾
× Ü
½
· Ü
¾
¼
½ × Ü
½
· Ü
¾
¼
µ ́ Ü
½
Ü
¾
Ü
¿
µ Ü
¿
½
Ò ́ Ü
¿
½
Ü
¾
· Ü
¿
µ · × Ò ́ Ü
¾
¿
· Ü
½
µ º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 42/164
¾ È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
È µ Ë Ä Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð Ò Ð
µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð × × Ù Ò Ø × Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × × Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø ×
½ µ Ä × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó Á Ê
Ò
¾ µ Ä × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ¼ º
¿ µ
Ä ́ Ü µ
× Ó Ø × Ü
¾
´ ¼ ½ µ ¸ Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ö º
µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ø Ó Ù Ò Ó Ò Ð Ò Ð Á Ê
Ò
Ò Á Ê
Ñ
× Ó Ò Ø Ò Ù º
È ½ ¼ µ µ Ë ¾ Á Ê
Ò
º È Ö Ù Õ Ù
µ ́ µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó º
µ Ò Ø ́ µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º Ò Ö Ð ́ µ × Ð Ö Ö Ó Ñ ×
Ô Õ Ù Ò Ó Õ Ù Ó Ò Ø Ò º × Ù Ú Þ Ò Ø ́ µ × Ð Ö Ø Ó Ñ × Ö Ò Ó Ò ¹
Ø Ò Ó Ò º
µ È Ö Ù Õ Ù Ò Ò Ö Ð Ò Ó × Ø Ò Õ Ù Ò Ø ́ ́ µ µ º È Ö × Ø Ó ×
Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ô × Ó ×
µ È Ö Ù Õ Ù ́ É Á µ Á Ê º
µ È Ö Ù Õ Ù Ò Ø ́ Á Ê µ Á Ê
µ Ó Ò Ð Ù Ý º
È ½ ½ µ Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ñ
º È Ö Ù Õ Ù Ð × × Ù Ò Ø × Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × × Ó Ò Õ Ù Ú ¹
Ð Ò Ø ×
µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó Á Ê
Ò
º
µ ́ Á Ê
Ñ
Ö Ø Ó µ
½
́ µ × Ö Ø Ó Ò Á Ê
Ò
µ ́ Á Ê
Ñ
Ö Ö Ó µ
½
́ µ × Ö Ö Ó Ò Á Ê
Ò
Á Ò È Ö Ð × Ù Ò Ô Ö Ù Ò Ø × Õ Ù
½
́
µ
½
́ µ
º
È ½ ¾ µ Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ô Ö Ð × Ù Ò Ó Ò × ́ Ü Ý µ
́
Ü
Ó × Ý
Ü
× Ò Ý µ Ý ́ Ü Ý µ Ð Ó
Ü
Ý
È ½ ¿ µ Ë Á Ê
¾
Á Ê Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ö Ò Ð º Ë
́ Ü ́ Ü µ µ Ü ¾
Ó Ñ Ð Ö Ó º Ë Á Ê
¿
Á Ê Ø Ð Õ Ù ́ Ü Ý Þ µ Þ ́ Ü Ý µ
µ Å Ù × Ø Ö Õ Ù
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ú Ð º
µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ö ́
Ü
Ý
½ µ º
µ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ú Ø Ó Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ý Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø
Ù Ò Ó ́ Ü Ý µ
Ü Ý · Ý
Ü
Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ½ ½ µ º
È ½ µ Ë ́ Ù Ú µ ́ Ù Ó × Ú Ù × Ò Ú µ Ó Ò ¾ Ú ¾ Ý ́ Ü Ý µ
́
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Ö Ø Ò ́ Ý Ü µ µ Ô Ö Ü ¼ º
µ Ò Ó Ò Ø Ö Ö ́ Æ µ ́ Ù Ú µ Ý ́ Æ µ ́ Ü Ý µ º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 43/164
½ º º Ê Á Æ Ì Í Æ È Ç É Í Á Ì Ç Ç Å Ì Ê
Á ¿
µ Ø Ö Ñ Ò Ö × Ó Ñ Ó Ñ ́ Æ µ Ý × Ó Ñ Ó Ñ ́ Æ µ º
È ½ µ Ë Ë Ü ¾ Á Ê
¾
Ü ½ º Ë Ë Á Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ð
Õ Ù
´ ½ ¼ µ ´ ¼ ½ µ ¼ Ý ́
Ü µ
́ Ü µ
Ü
¾ Á Ê
¾
Ë Á Ê
¾
Á Ê Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü µ
́
Ü ́
Ü
Ü
µ × Ü ¼
¼ × Ü ¼
µ Ó ¾ Á Ê
¾
Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ø µ ́ Ø µ Ø ¾ Á Ê × Ö Ò Ð º
µ × Ö Ò Ð Ò ´ ¼ ¼ µ
È ½ µ Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ö Ò Ø Ö Ò Ù Ò Ó Ð Ó × × Ù Ò Ø × × Ó × º
µ ́ Ü Ý µ Ü
¾
Ý
¾
× Ò Ý Ò ́ µ º
µ ́ Ü µ Ü
«
Ü ¾ Á Ê
Ò
« ¾ Á Ê º
È ½ µ µ Ë ́ Ü Ý µ
Ü · Ý
¼
´ ¼ µ ´ ½ ¾ µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö
¼
´ ¼ µ Ó Ò ́ Ø µ
́ ́ Ø µ µ ́ Á Ê Á Ê
¾
µ Ý ´ ¼ µ ´ ½ ½ µ º
µ Ë ́ Ü Ý Þ µ × Ò Ü ́ Ø µ ́ Ó × Ø × Ò Ø Ø µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö
¼
́ µ Ó Ò
́ Ø µ ́ ́ Ø µ µ º
È ½ µ Ë Á Ê
¾
Á Ê
¾
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð ×
½
́ Á Ê
¾
Á Ê
¾
µ ¸ Ø Ð Õ Ù × Ù × Ó Ñ ¹
Ô Ó Ò Ò Ø ×
½
¸ Ý
¾
Ú Ö ¬ Ò
¾
Ý
½
Ü
Ý
¾
Ü
½
Ý
Ë Á Ê
¾
Á Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð ×
½
́ Á Ê
¾
Á Ê µ º Ë ¬ Ò Ð Ù Ò Ó Ò
Á Ê
¾
Á Ê Ô Ó Ö Æ º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù
Ö ́ Ü Ý µ Ö
½
́ Ü Ý µ
Ù
́ ́ Ü Ý µ µ ¡ Ö
½
́ Ü Ý µ
¾
È ½ µ Ë Á Ê
¾
Á Ê Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ
́
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ × Ò
½
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
½ ¾
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 44/164
È
Á Ì Í Ä Ç ½ º
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
µ Ð Ù Ð Ö Ö ´ ¼ ¼ µ
µ È Ö Ó Ö Õ Ù × Ö Ò Ð Ò ´ ¼ ¼ µ º
µ È Ö Ó Ö Õ Ù
Ü
Ý
Ý
Ò Ó × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò ´ ¼ ¼ µ º
È ¾ ¼ µ µ À Ð Ð Ö Ð Ù Ó Ò Ô Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø × Ù Ô Ö ¬ Þ ́ Ü Ý µ
Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ó
µ Þ Ü
¿
· Ý
¿
Ü Ý ´ ½ ¾ ¿ µ º
µ Þ ́ Ó × Ü µ ́ × Ò Ý µ ´ ¼ ¾ ½ µ
µ Ð Ù Ð Ö Ô Ö Ð Ó × × Ù Ò Ø × × Ó × Ð Ö Ó Ò Ñ Ý Ó Ö Ö Ñ Ò Ø Ó Ò
´ ½ ½ ½ µ º
µ ́ Ü Ý Þ µ Ü Ý · Ý Þ · Ü Þ
µ ́ Ü Ý Þ µ
½
Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
È ¾ ½ µ Ë Ò Ý Ù Ò Ó Ò × Á Ê
¿
Á Ê º Ë Ù Ô Ó Ò Ö Õ Ù × Ö Ò Ð Ý
Ö ́ Ü µ ́ Ü µ ¡ Ü º Å Ó × Ø Ö Ö Õ Ù × Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ö Ð × × Ö × Ò Ø Ö × Ò
Ð Ó Ö Ò º
È ¾ ¾ µ Í Ò Ù Ò Ó Ò Ù ́ Ü Ý µ Ó Ò × Ù Ò × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ó Ò Ø Ò Ù ×
Õ Ù × Ø × Ð Ù Ó Ò Ä Ô Ð
¾
Ù
Ü
¾
·
¾
Ù
Ý
¾
¼
× Ð Ð Ñ Ù Ò Ó Ò Ö Ñ Ó Ò º Ø Ö Ñ Ò Ö Ù Ð × Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò × × Ó Ò
Ö Ñ Ó Ò × º
µ Ù ́ Ü Ý µ Ü
¿
¿ Ü Ý
¾
µ Ù ́ Ü Ý µ × Ò Ü Ó × Ý
µ Ù ́ Ü Ý µ
Ü
× Ò Ý º
È ¾ ¿ µ µ Ë ́ Ü Ý µ
Ü · Ý
¼
´ ¼ µ ´ ½ ¾ µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö
¼
´ ¼ µ Ó Ò ́ Ø µ
́ ́ Ø µ µ ́ Á Ê Á Ê
¾
µ Ý ´ ¼ µ ´ ½ ½ µ º
µ Ë ́ Ü Ý Þ µ × Ò Ü ́ Ø µ ́ Ó × Ø × Ò Ø Ø µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö
¼
́ µ Ó Ò ́ Ø µ
́ ́ Ø µ µ º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 45/164
Ô Ø Ù Ð Ó ¾
Ö Ú × Ó Ö Ò × Ù Ô Ö Ó Ö
¾ º ½ Ö Ú × Ë Ù Ô Ö Ó Ö × Ý Ì Ó Ö Ñ Ì Ý ¹
Ð Ó Ö
Ë Á Ê
Ò
Á Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð Ò ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ü
Á Ê
Ò
Á Ê
¬ Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò º Ó Ñ Ó Ø Ð × Ø Ù Ò Ó Ò Ô Ù Ø Ò Ö Ö Ú × Ô Ö Ð × Ý
Ø Ñ Ò × Ö Ö Ò Ð º Ù Ò Ó
Ü
Ø Ò Ö Ú Ô Ö Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó
Ü
Ò Ü
¼
¸ × Ø Ð Ò Ó Ø Ñ Ó × Ó Ñ Ó
Ü
́
Ü
µ
¾
Ü
Ü
Ñ Ô Ð Ó ¾ º ½ Ð Ù Ð Ö
¾
Ü Ý
Ý
¾
Ü
¾
×
́ Ü Ý µ Ð Ò ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
Ü
¾ Ü
Ü
¾
· Ý
¾
Ý
¾
Ý Ü
¾ Ü ´ ¾ Ý µ
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
¾
Ò Ø Ó Ò ×
¾
Ü
¾
¾ ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ ¾ Ü ´ ¾ Ü µ
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
¾
Ý
¾
Ü
¾
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
¾
¾
Ý Ü
¾ Ü ´ ¾ Ý µ
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
¾
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 46/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
È Ö Ó Ø Ñ Ò Ô Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö
¾
Ü Ý
¾ Ý ´ ¾ Ü µ
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
¾
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ò × Ø × Ó
¾
Ü Ý
¾
Ý Ü
º × Ø Ó Ò Ó × × Ó Ð Ó Ó Ò Ò Ó Ñ Ó
Ú Ö Ñ Ó × Ò Ñ × Ð Ò Ø º
Ì Ñ Ò Ô Ó Ñ Ó × Ó × Ö Ú Ö Õ Ù
¾
Ü
¾
·
¾
Ý
¾
¼
È Ó Ö × Ø Ö Þ Ó Ò Ð Ù Ò Ó Ò × Ö Ñ Ó Ò º Ä Ó Ñ Ò Ó Ò
¾
Ü
¾
·
¾
Ý
¾
× Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ä Ô Ð Ò Ó º £
Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù × Ð ×
½
Ò Ù Ò Ó Ñ Ó Ò Ó × × Ö Ò Ð
Ò Ý Ø Ó × × Ù × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò º
¬ Ò Ó Ò ¾ º ½ × Ö Ó × Ú × Ö Ò Ð × Ò Ü
¼
× × Ö Ò Ð
Ò Ù Ò Ú Ò Ü
¼
Ý Ø Ó × × Ù × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ö Ò Ð × Ò
Ü
¼
º × Ö Ð ×
¾
Ò × Ø Ó × × Ù × × Ù Ò × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò
Ó Ò Ø Ò Ù × Ò º
× Ð Ü Ø Ò Ö × Ø × ¬ Ò Ó Ò × Ó Ö Ò × × Ù Ô Ö Ó Ö × º
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ú Ö Ñ Ó × Ù Ò Ó Ð Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ñ × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø × × Ø
× Ó Ò Õ Ù Ö Ð Ó Ò Ó Ò Ð Ô Ó × Ð Ò Ø Ö Ñ Ö Ð Ó Ö Ò Ð ×
Ö Ú ×
Ì Ó Ö Ñ ¾ º ½ ´ Ì Ó Ö Ñ Ë Û Ö Þ µ Ë Á Ê
Ò
Á Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó ×
Ú × Ö Ò Ð Ò º Ë Ð × × Ù Ò × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù ×
Ò Ü
¼
¾ Ò Ø Ó Ò ×
¾
Ü
Ü
́ Ü
¼
µ
¾
Ü
Ü
́ Ü
¼
µ ½ ¡ ¡ ¡ Ò
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 47/164
¾ º ½ º Ê Á Î Ë Ë Í È Ê Á Ç Ê Ë Ì Ç Ê Å Ì Ä Ç Ê
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Í Ò Ô Õ Ù Ò Ö - Ü Ó Ò Ð Ð Ú Ó Ò Ð Ù Ö Õ Ù × Ø × Ø Ù Ö
Ð Ò ¾ º Ó Ü
¼
́ Ü
¼ ½
Ü
¼ ¾
µ ¾ Ý ́
½
¾
µ ¾ Á Ê
¾
̧ Ö ¸ ¬ Ò Ñ Ó ×
´ ¼ Ö µ Á Ê Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ
́
½
¾
µ
́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
·
¾
µ ́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
µ ́ Ü
¼ ½
Ü
¼ ¾
·
¾
µ ́ Ü
¼ ½
Ü
¼ ¾
µ
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Õ Ù Ò ¬ Ò Ô Ö Ö Ô Õ Ù Ò Ó º Ë ́ Ø µ ́ Ø Ü
¼ ¾
·
¾
µ ́ Ø Ü
¼ ¾
µ º Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ü × Ø
¼
½
Ø Ð Õ Ù
¼
½
Ý
́
½
¾
µ ́ Ü
¼ ½
·
½
µ ́ Ü
¼ ½
µ
¼
́ Ü
¼ ½
·
¼
½
µ
½
Ý Ò Ø Ó Ò ×
́
½
¾
µ
Ü
́ Ü
¼ ½
·
¼
½
Ü
¼ ¾
·
¾
µ
Ü
́ Ü
¼ ½
·
¼
½
Ü
¼ ¾
µ
½
Í × Ò Ó Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ò Ó Ò Ø Ö Ñ Ó ×
¼
¾
Ø Ð Õ Ù
¼
¾
¾
Ý Ò Ø Ó Ò ×
́
½
¾
µ
½
¾
¾
Ý Ü
́ Ü
¼ ½
·
¼
½
Ü
¼ ¾
·
¼
¾
µ
È Ö Ó Ù Ò Ó Ø Ñ Ò Ô Ù × Ö Ö Ð × Ù Ò Ø Ñ Ò Ö
́
½
¾
µ
́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
·
¾
µ ́ Ü
¼ ½
Ü
¼ ¾
·
¾
µ ́ Ü
¼ ½
·
½
Ü
¼ ¾
µ ́ Ü
¼ ½
Ü
¼ ¾
µ
Ý Ô Ó Ñ Ó × Ö Ô Ø Ö Ð Ñ × Ñ Ô Ð Ó Ò Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ô Ö
Ô Ö Ó Ö Õ Ù
́
½
¾
µ
½
¾
¾
Ü Ý
́ Ü
¼ ½
·
¼ ¼
½
Ü
¼ ¾
·
¼ ¼
¾
µ
Ó Ò
¼ ¼
½
½
Ý
¼ ¼
¾
¾
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
¾
Ý Ü
́ Ü
¼ ½
·
¼
½
Ü
¼ ¾
·
¼
¾
µ
¾
Ü Ý
́ Ü
¼ ½
·
¼ ¼
½
Ü
¼ ¾
·
¼ ¼
¾
µ
Ý ¬ Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×
¾
Ü Ý
́ Ü
¼
µ
¾
Ý Ü
́ Ü
¼
µ £
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 48/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
Ñ Ô Ð Ó ¾ º ¾ Ð × Ù Ò Ø Ñ Ô Ð Ó Ò Ó × Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð × Ö Ú × Ö Ù Þ ×
Ô Ù Ò × Ö × Ø Ò Ø × º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò
́ Ü Ý µ
́
Ü Ý ́ Ü
¾
Ý
¾
µ
Ü
¾
· Ý
¾
× ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ × ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ × Ø Ò
Ü
́ Ü Ý µ
Ý ́ Ü
· Ü
¾
Ý
¾
· Ý
µ
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
¾
Ý Ò ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ü
´ ¼ ¼ µ Ð Ñ
Ü ¼
́ Ü ¼ µ ´ ¼ ¼ µ
Ü
¼
Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ü
́
Ý ́ Ü
· Ý
¾
Ü
¾
· Ý
µ
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
¾
× ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ × ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ý Ò Ó Ò × Ù Ò
¾
Ý Ü
´ ¼ ¼ µ Ð Ñ
Ý ¼
Ü
´ ¼ Ý µ
Ü
´ ¼ ¼ µ
Ý
Ð Ñ
Ý ¼
Ý
Ý
Ý
½
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ý Ñ Ò Ö Ò Ð Ó ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ý
́
Ü ́ Ý
· Ý
Ü
Ü
µ
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
¾
× ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ × ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ý Õ Ù
¾
Ü Ý
´ ¼ ¼ µ ½
× Ö ¸
¾
Ü Ý
´ ¼ ¼ µ
¾
Ý Ü
´ ¼ ¼ µ
Ó Ñ Ó × Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ó Ð Ð Ù Þ Ð Ì Ó Ö Ñ × Ø Ù Ñ Ó × Ð Ó Ò Ø Ò Ù
Ð × Ö Ú × Ö Ù Þ ×
Ð Ñ
Ý ¼
¾
Ý Ü
´ ¼ Ý µ Ð Ñ
Ý ¼
Ý
́
Ü
´ ¼ Ý µ µ Ð Ñ
Ý ¼
Ý
́
Ý
Ý
µ Ð Ñ
Ü ¼
½ ½
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 49/164
¾ º ½ º Ê Á Î Ë Ë Í È Ê Á Ç Ê Ë Ì Ç Ê Å Ì Ä Ç Ê
Ý × Ò Ñ Ö Ó
Ð Ñ
Ü ¼
¾
Ý Ü
́ Ü ¼ µ Ð Ñ
Ü ¼
Ü
Ü
½
× Ö ¸ Ý × Ó Ò Ø Ò Ù Ò
¾
Ý Ü
º £
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ¾ º ½ Ë Á Ê
Ò
Á Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð ×
Ó Ò ¾ Á Æ º
Ò Ø Ó Ò ×
Ü
½
Ü
¾
¡ ¡ ¡ Ü
Ü
́
½
µ
Ü
́
¾
µ
¡ ¡ ¡ Ü
́
µ
Ó Ò
½
¾
¡ ¡ ¡
¾ ½ ¡ ¡ ¡ Ò Ý ½ ¡ ¡ ¡ Ò ½ ¡ ¡ ¡ Ò × Ù Ò Ô Ö ¹
Ñ Ù Ø Ó Ò Ù Ð Õ Ù Ö º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ø Ô Ð Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ñ Ó Ö Ú × Ö Ø ¹
Ö Ø Ú Ñ Ò Ø £ º
Ö Ó ¾ º ½ Ó Ò × Ö Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü Ý µ Ü
¿
Ý · × Ò ́ Ü
¾
Ý µ Ý Ú Ö ¬ Õ Ù Õ Ù
Ü
¾
Ý Ü
¾
Ý
¾
Ü
Ó Ö Õ Ù Ý Ó Ò Ó Ñ Ó × Ð × Ö Ú × Ñ Ý Ó Ö Ó Ö Ò Ý × Ù × Ô Ö Ò Ô Ð ×
Ô Ö Ó Ô × × Ø Ñ Ó × Ô Ö Ô Ö Ó × Ô Ö × Ø Ù Ö Ð Ó × × Ö Ö Ó Ð Ð Ó × Ì Ý Ð Ó Ö Ò
Ú Ö × Ú Ö Ð × º Ê Ó Ö Ñ Ó × Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð ¸ Ò Ð Ù Ð Ú Ñ Ó ×
× Ö Ò Ù × Ø Ö Ó Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ú Ö × Ú Ö Ð × º
Ù Ò Ó ́ µ Á Ê ̧ Ü
¼
¾ ́ µ Ý × Ö Ú Ð Ò Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò
Õ Ù
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ·
¼
́ Ü
¼
µ ́ Ü
Ü
¼
µ · Ê
½
́ Ü
¼
Ü
Ü
¼
µ
Ó Ò
Ð Ñ
Ü Ü
¼
Ê
½
́ Ü
¼
Ü Ü
¼
µ
Ü Ü
¼
¼
× Ø Ò Ó × Ñ × Õ Ù Ð ¬ Ò Ó Ò Ö Ú Ý Ð Ó Ö Ñ Ù Ð × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó
Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò Ð Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò º Ð Ø Ö Ñ Ò Ó Ê
½
́ Ü
¼
Ü Ü
¼
µ
× Ò Ó Ñ Ò Ö × Ø Ó º Ù Ò Ó × Ó × Ú × Ö Ú Ð Ù Ò Ó Ô Ù Ö Ù Ò
Ü Ô Ö × Ó Ò Ô Ö Ê
½
Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ù Ò Ò Ø Ö Ð º Ò Ø Ó ¸ Ð Ì Ó Ö Ñ
Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ù Ð Ó Ø Ò Ñ Ó ×
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ·
Ü
Ü
¼
¼
́ Ø µ Ø
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 50/164
¼ È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
Ò Ø Ö Ò Ó Ô Ó Ö Ô Ö Ø × ´ Ù
¼
́ Ø µ Ú Ø Ü µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ·
¼
́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ ·
Ü
Ü
¼
́ Ü Ø µ
¼ ¼
́ Ø µ Ø
× Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ð Ê × Ø Ó
Ê
½
́ Ü
¼
Ü µ
Ü
Ü
¼
́ Ü Ø µ
¼ ¼
́ Ø µ Ø
Ë Ù Ò Ó × Ù Ô Ó Ò Õ Ù × Ú × Ö Ú Ð Ò Ü
¼
¸ Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ·
¼
́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ · ¡ ¡ ¡ ·
½
́ µ
́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ
· Ê
́ Ü Ü
¼
µ
Ó Ò
Ð Ñ
Ü Ü
¼
Ê
́ Ü Ü
¼
µ
Ü Ü
¼
¼
Ù Ò Ó × × Ù Ô Ó Ò Ñ × Õ Ù × Ð ×
· ½
Ò Ù Ò Ú Ò Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × Ò Ø Ö Ò Ó Ô Ó Ö Ô Ö Ø × Ö Ø Ö Ñ Ò Ø × Ó Ø Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð
Ô Ö Ð Ö × Ø Ó Ó Ö Ò
Ê
́ Ü Ü
¼
µ
Ü
Ü
¼
́ Ü
Ø µ
́ · ½ µ
́ Ø µ Ø
Ë Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
Å Ñ Ü
Ø ¾ Ü
¼
Ü
¼
·
́ · ½ µ
́ Ø µ Ô Ö ¼ Ü
Ò Ø Ó Ò ×
Ê
́ Ü Ü
¼
µ
Å
Ü
Ü
¼
́ Ü Ø µ
Ø
Å
́ · ½ µ
Ü
Ü
¼
· ½
Ù Ò Ó Á Ê
Ò
Á Ê Ø Ñ Ò Ô Ó Ñ Ó × × Ø Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ö Ñ
Ì Ý Ð Ó Ö º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ò × Ó Õ Ù Ø Ó Ñ Ú Ð Ó Ö × Ò Á Ê
Ñ
Ð Ó Õ Ù Ö Ñ Ó × ×
Ô Ð Ó Ó Ö Ò º Ó Ñ Ò Þ Ñ Ó × Ó Ò Ù Ò ¬ Ò Ó Ò
¬ Ò Ó Ò ¾ º ¾ Ë Á Ê
Ò
Á Ê Ó × Ú × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
¾ º Ë
¬ Ò Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ Ø Ö Þ À × × Ò Ò Ü
¼
Ó Ñ Ó
À ́ Ü µ
¾
¾
Ü
¾
½
¾
Ü
Ò
Ü
½
º
º
º
º
º
º
º
º
º
¾
Ü
½
Ü
Ò
¾
Ü
¾
Ò
¿
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 51/164
¾ º ½ º Ê Á Î Ë Ë Í È Ê Á Ç Ê Ë Ì Ç Ê Å Ì Ä Ç Ê ½
Ç × Ö Ú Ó Ò ¾ º ½ Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù ¸ Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö ¸ × × Ð ×
¾
Ò Ù Ò Ú Ò Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ Ø Ö Þ À × × Ò Ò Ü
¼
× × Ñ Ø Ö º
Ì Ó Ö Ñ ¾ º ¾ ´ Ì Ó Ö Ñ Ì Ý Ð Ó Ö ¾ Ó Ö Ò µ Ë Á Ê
Ò
Á Ê Ù Ò
Ù Ò Ó Ò Ð ×
¿
º Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ · Ö ́ Ü
¼
µ ·
½
¾
Ø
À ́ Ü
¼
µ · Ê
¾
́ Ü
¼
µ
Ó Ò Ð Ö × Ø Ó Ê
¾
́ Ü
¼
µ Ø Ò Ù Ò Ü Ô Ö × Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ý Ê
¾
́ Ü
¼
µ Å
¿
º
× Õ Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö
Ð Ñ
¼
Ê
¾
́ Ü
¼
µ
¾
¼
Ç × Ö Ú Ó Ò ¾ º ¾ Ë Ô Ù Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù × × Ð ×
¾
Ò Ø Ó Ò × Ø Ñ ¹
Ò × Ø Ò Õ Ù
Ð Ñ
Ü ¼
Ê
¾
́ Ü
¼
µ
¾
¼
Ù Ò Õ Ù Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ð Ö × Ø Ó Ò Ó × Ø Ò º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Í Ø Ð Þ Ò Ó Ð Ö Ð Ð Ò Ø Ò Ñ Ó ×
Ø
́ Ü
¼
· Ø µ ́ Ü
¼
· Ø µ
Ò
½
Ü
́ Ü
¼
· Ø µ
Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ø Ö ¼ Ý ½
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ
Ò
½
½
¼
Ü
́ Ü
¼
· Ø µ
Ø
Í Ø Ð Þ Ò Ó Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ð Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Ô Ö Ù
Ü
́ Ü
¼
· Ø µ
Ù
Ø
Ò
½
¾
Ü
Ü
́ Ü
¼
· Ø µ
Á Ø Ö Ò Ó Ô Ó Ö Ô Ö Ø × ¸ Ó Ò × Ö Ò Ó Ù Ó Ñ Ó Ö Ö Ý Ú Ø ½
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ·
Ò
½
Ü
́ Ü
¼
µ
·
Ò
½
Ò
½
½
¼
´ ½ µ
¾
Ü
Ü
́ Ü
¼
· Ø µ
Ø
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 52/164
¾ È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
Õ Ù × Ù Ò Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ñ Ó Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ì Ý Ð Ó Ö
È Ö Ñ Ö Ó Ö Ò
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ·
Ò
½
Ü
́ Ü
¼
µ
· Ê
½
́ Ü
¼
µ
Á Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Ô Ö Ø × ¸ Ó Ò Ú ́ Ø ½ µ
¾
¾ Ý Ù
¾
Ü
Ü
́ Ü
¼
·
Ø µ
Ó Ò Ð Ó Ù Ð
Ù
Ø
Ò
½
¿
Ü
Ü
Ü
́ Ü
¼
· Ø µ
Ç Ø Ò Ñ Ó ×
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ·
Ò
½
Ü
́ Ü
¼
µ
·
Ò
½
Ò
½
½
¾
¾
Ü
Ü
́ Ü
¼
µ
· Ê
¾
́ Ü
¼
µ
Ó Ò Ð Ö × Ø Ó Ø Ò Ð Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ð
Ê
¾
́ Ü
¼
µ
Ò
½
Ò
½
Ò
½
½
¼
´ ½ Ø µ
¾
¾
¿
Ü
Ü
Ü
́ Ü
¼
· Ø µ
Ø
Ó Ñ Ó
¿
Ü
Ü
Ü
× Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ü
¼
¸ Ü × Ø ¼ Ý Å ¼ Ø Ð Õ Ù
µ
¿
Ü
Ü
Ü
́ Ü
¼
· Ø µ Å
Ä Ó Ò × Ø Ò Ø Å Ô Ù Ø Ó Ñ Ö × Ó Ñ Ó
Å Ñ Ü
Ü ¾ ́ Ü
¼
µ
¿
Ü
Ü
Ü
́ Ü µ
È Ó Ö Ð Ó Õ Ù ¸ Ô Ö Ø Ó Ó Ø ¾ ¼ ½ Ø Ò Ñ Ó ×
¿
Ü
Ü
Ü
́ Ü
¼
· Ø µ
Å
¬ Ò Ð Ñ Ò Ø
Ê
¾
́ Ü
¼
µ
Ò
½
Ò
½
Ò
½
½
¿
Å
¿
́
Ò
¿
¿
Å µ
¿
£
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 53/164
¾ º ½ º Ê Á Î Ë Ë Í È Ê Á Ç Ê Ë Ì Ç Ê Å Ì Ä Ç Ê ¿
Ö Ó ¾ º ¾ × Ö Ö Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ö Ð Ì Ý Ð Ó Ö Ó Ö Ò ¿ º
Ñ Ô Ð Ó ¾ º ¿ Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ì Ý Ð Ó Ö Ó Ö Ò ¾ Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ü
¼
´ ¼ ¼ µ Ô Ö
́ Ü Ý µ × Ò ´ Ü · ¾ Ý µ · Ü
¾
Ú Ð Ù Ñ Ó × ´ ¼ ¼ µ ¼ × Ô Ù × Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×
Ü
́ Ü Ý µ Ó × ´ Ü · ¾ Ý µ · ¾ Ü Ý
Ý
́ Ü Ý µ ¾ Ó × ´ Ü · ¾ Ý µ
Ý Ú Ð Ù Ñ Ó × Ö ´ ¼ ¼ µ ´ ½ ¾ µ Ó Ö Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð × Ö Ú × × Ù Ò Ó
Ó Ö Ò
¾
Ü
¾
× Ò ´ Ü · ¾ Ý µ · ¾
¾
Ý Ü
¾ × Ò ´ Ü · ¾ Ý µ Ý
¾
Ý
¾
× Ò ´ Ü · ¾ Ý µ
Ý Ú Ð Ù Ñ Ó ×
¾
Ý
¾
´ ¼ ¼ µ ¼
¾
Ü
¾
´ ¼ ¼ µ ¾ Ý
¾
Ý Ü
´ ¼ ¼ µ ¼
Ó Ò × Ö Ò Ó ́
½
¾
µ Ø Ò Ñ Ó × ¬ Ò Ð Ñ Ò Ø
́ Ü
¼
· µ ́
½
¾
µ ´ ¼ ¼ µ · ´ ½ ¾ µ ́
½
¾
µ ·
½
¾
́
½
¾
µ
¾ ¼
¼ ¼
½
¾
· Ê
¾
½
· ¾
¾
·
¾
½
· Ê
¾
´ ¼ µ £
Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ó Ò × Ø Ñ Ô Ð Ó ¸ × Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò È
¾
́
½
¾
µ
½
· ¾
¾
·
¾
½
Ô Ö Ó Ü Ñ ́
½
¾
µ Ð × Ù Ò Ó Ó Ö Ò ¸ Ò Ð × Ò Ø Ó Õ Ù
Ê
¾
´ ¼ µ
¾
¼ º È Ö Ó
Ù Ò Ó Ô Ó Ö Ö Ù Ò Ô Ö Ù Ò Ø Ñ × × Ô ¬
× ½ É Ù Ö Ö Ó Ö × Ó Ñ Ø Ô Ó Ö Ñ Ö Ý È
¾
Ì Ò Ñ Ó × Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ð Ö Ö Ó Ö
Ê
¾
́
½
¾
µ
¾
½
¾
½
¾
½
½
¼
´ ½ Ø µ
¾
¾
¿
Ü
Ü
Ü
́ Ü
¼
· Ø µ
Ø
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 54/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
Í × Ò Ó Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ò Ø Ö Ð Ú Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø Ò Ø
¾ ¼ ½
Ø Ð × Õ Ù
Ê
¾
́
½
¾
µ
½
¿
¾
½
¾
½
¾
½
¿
Ü
Ü
Ü
́ Ü
¼
· Ø
µ
Ó Ò Ô Ó Ñ Ó × Ö Ò Ù × Ø Ö × Ø Ñ Ó Ò º Ò Ò Ù × Ø Ö Ó × Ó Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð ×
Ø Ö Ö × Ö Ú ×
¿
Ü
¿
Ó × ´ Ü · ¾ Ý µ
¿
Ý Ü
¾
¾ Ó × ´ Ü · ¾ Ý µ
¿
Ý
¾
Ü
Ó × ´ Ü · ¾ Ý µ
¿
Ý
¿
Ó × ´ Ü · ¾ Ý µ
Ú Ð Ù Ò Ó Ð × Ö Ú × Ò Ü
¼
´ ¼ ¼ µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Ê
¾
́
½
¾
µ
½
¿
́
¿
½
· ¿ ¡ ¾
¾
½
¾
· ¿ ¡
½
¾
¾
·
¿
¾
µ
½
¿
´ ½ · · ½ ¾ · µ
¿
¾
¿
× ¸ × ½ Ò Ø Ó Ò × Ê
¾
́
½
¾
µ ´ ¾ ¡
¿
µ
Ö Ó ¾ º ¿ Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù × × Ð ×
¾
Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü
¼
µ · µ ́ Ü
¼
µ · Ö ́ Ü
¼
µ · ½ ¾ À ́ Ü
¼
µ
Ø
· Ê
¾
́ Ü
¼
µ
Ó Ò
Ð Ñ
¼
Ê
¾
́ Ü
¼
µ
¼
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 55/164
¾ º ½ º Ê Á Î Ë Ë Í È Ê Á Ç Ê Ë Ì Ç Ê Å Ì Ä Ç Ê
Â Ê Á Á Ç Ë
È ½ µ Í Ò Ù Ò Ó Ò Ù ́ Ü Ý µ Ó Ò × Ù Ò × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ó Ò Ø Ò Ù ×
Õ Ù × Ø × Ð Ù Ó Ò Ä Ô Ð
¾
Ù
Ü
¾
·
¾
Ù
Ý
¾
¼
× Ð Ð Ñ Ù Ò Ó Ò Ö Ñ Ó Ò º Ø Ö Ñ Ò Ö Ù Ð × Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò × × Ó Ò
Ö Ñ Ó Ò × º
µ Ù ́ Ü Ý µ Ü
¿
¿ Ü Ý
¾
µ Ù ́ Ü Ý µ × Ò Ü Ó × Ý
µ Ù ́ Ü Ý µ
Ü
× Ò Ý º
È ¾ µ Ë Á Ê
¾
Á Ê º È Ö Ü ¬ Ò
Ü
Á Ê Á Ê
Ü
́ Ý µ ́ Ü Ý µ º
Ë Ù Ô Ó Ò Õ Ù Ô Ö Ü Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ý Ø Ð Õ Ù
¼
Ü
́ Ý µ ¼ º Ë × Ò Ó Ø
Ô Ó Ö ́ Ü µ Ø Ð Ý Ý × × Ù Ô Ó Ò Õ Ù × Ö Ò Ð Ñ Ó × Ø Ö Ö
µ Ë
¾
Ý
¾
́ Ü Ý µ ¼ Ô Ö Ø Ó Ó ´ Ü Ý µ Ò Ø Ó Ò ×
¼
́ Ü µ
¾
Ý Ü
́ Ü ́ Ü µ µ
¾
Ý
¾
́ Ü ́ Ü µ µ
µ Ë
¼
́ Ü µ ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò Ý Ø Ð Õ Ù
¾
Ý Ü
́ Ü Ý µ ¼ Ý
Ý
́ Ü Ý µ ¼
È ¿ µ Ð Ù Ð Ö Ð Ü Ô Ò × Ó Ò Ì Ý Ð Ó Ö × Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ð × Ù Ò Ó Ò ×
× Ù Ò Ø × Ò Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × × Ò Ð Ó × ¸ Ý Ð Ù Ð Ù Ò Ú Ò Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó
Ø Ð Õ Ù Ð Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ö Ö Ó Ö Ð Ó Ñ × ½ ¼
¾
º
µ ́ Ü Ý Þ µ ́ Ü
¾
· ¾ Ü Ý · Ý
¾
µ
Þ
Ò Ü
Ó
´ ½ ¾ ¼ µ ´ ¿ ¾ µ º
µ ́ Ü Ý Þ µ ́ Ü
¿
· ¿ Ü
¾
Ý · Ý
¿
µ
Þ
¾
Ò Ü
Ó
´ ¼ ¼ ¼ µ ´ ¿ ¾ ¿ µ º
µ ́ Ü
½
Ü
¾
Ü
¿
Ü
µ Ð Ó ´ Ó × ´ Ü
½
· Ü
¾
Ü
¿
Ü
µ µ Ò Ü
Ó
¼ º
È µ Ë Á Ê
Ò
Á Ê Ð ×
½
º È Ö Ù Õ Ù Ò Ò Ö Ð Ò Ó × Ø Ò Õ Ù
Ð × Ö Ì Ý Ð Ó Ö Ó Ò Ú Ö º È Ö × Ø Ó Ó Ò × Ö Ó Ñ Ó Ó Ò Ø Ö Ñ Ô Ð Ó
Ð Ù Ò Ó Ò Á Ê Á Ê ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü µ
́
½
Ü
¾
× Ü ¼
¼ × Ü ¼
È Ö Ù Õ Ù ×
½
Ý × Ø Ù × Ù × Ö Ì Ý Ð Ó Ö Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ö Ó º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 56/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
¾ º ¾ Ü Ø Ö Ñ Ó × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ú Ð Ó Ö × Ö Ð ×
Ò Ø Ö Ó Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Õ Ù Ô Ö Ø Ò Ò Ð Ó Ñ Ò Ó Ð Ù Ò Ó Ò ¸ Õ Ù Ð Ð Ó × Ò
Ó Ò × Ø Ð Ò Þ Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ó Ù Ò Ñ Ü Ñ Ó Ö Ú × Ø Ò Ù Ò × Ô Ð Ò Ø Ö × Ô Ó Ö
× Ù Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ò Ñ Ù Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ø Ó × º
¬ Ò Ó Ò ½ Ë Í Ó Ò Í Ù Ò × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó
Ò
º Í Ò
Ô Ù Ò Ø Ó Ü
¼
¾ Í × Ö Ñ Ò Ñ Ó ´ Ñ Ü Ñ Ó µ Ð Ó Ð × Ü × Ø Ù Ò Ú Ò Î
Ü
¼
Ø Ð Õ Ù
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ Ü ¾ Î ́ ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ µ
Í Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ö Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ó Ð × × Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ó Ù Ò Ñ Ü Ñ Ó Ð Ó Ð º
Í Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ü
¼
× Ö Ö Ø Ó × ́ Ü
¼
µ ¼ º Í Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Õ Ù Ò Ó
× Ü Ø Ö Ñ Ó × Ö Ô Ù Ò Ø Ó × Ð Ð º
Ì Ó Ö Ñ ¾ Ë Í Ö Ò Ð ¸ Ó Ò Í Ù Ò × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó
Ò
Ý Ü
¼
¾ Í Ù Ò Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ó Ð ¸ Ò Ø Ó Ò × ́ Ü
¼
µ ¼
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × × ¬ Ò Ñ Ó × Ð
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ú Ö Ð
́ Ø µ ́ Ü
¼
· Ø µ
Ó Ò ¾
Ò
× Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ð Õ Ù Ö × Ø Ò Ö Õ Ù Ø Ò Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð
Ò Ø ¼ Ô Ù ×
́ Ø µ ́ Ü
¼
· Ø µ ́ Ü
¼
µ ´ ¼ µ
Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó
¼
´ ¼ µ ¼ Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
́ Ü
¼
µ ¼
Ý Ó Ñ Ó × Ø Ó × Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Õ Ù ́ Ü
¼
µ ¼
Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù ́ Ü
¼
µ ¼ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø
Ü
½
́ Ü
¼
µ ¼
Ü
¾
́ Ü
¼
µ ¼
Ü
Ò
́ Ü
¼
µ ¼
Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸ Ð Ó × Ñ Ü Ñ Ó × Ý Ñ Ò Ñ Ó × × Ó Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Õ Ù × Ø × Ò Ð × × Ø Ñ
Ù Ó Ò ×
́ Ü µ ¼
× Ø × Ù Ò × × Ø Ñ Ò Ù Ó Ò × Ó Ò Ò Ò Ó Ò Ø × º È Ö Ó Ò Ò Ö Ð Ò Ó
× Ù Ò × × Ø Ñ Ð Ò Ð º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 57/164
¾ º ¾ º Ì Ê Å Ç Ë Í Æ Á Ç Æ Ë Ç Æ Î Ä Ç Ê Ë Ê Ä Ë
Ñ Ô Ð Ó ¿ Ù × Õ Ù Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × Ð × Ù Ò Ø Ù Ò Ó Ò Ý Ð × Õ Ù Ð Ó ×
́ Ü Ý µ Ü
¾
Ý · Ý
¾
Ü
Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò × Õ Ù × Ó Ø Ò ×
Ü
¾ Ü Ý · Ý
¾
¼
Ý
¾ Ü Ý · Ü
¾
¼
Ó Ò × Ø Ò
Ý ´ ¾ Ü · Ý µ ¼ µ Ý ¼ Ó » Ý Ý ¾ Ü
Ü ´ ¾ Ý · Ü µ ¼ µ Ü ¼ Ó » Ý Ü ¾ Ý
Ð Ô Ö Ñ Ö Ö Ð Ó Ò Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó × Ô Ó × Ð × Ô Ù Ò Ø Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × × Ó Ò ´ ¼ ¼ µ Ý
́ ¾ µ ¾ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ó Ø Ö × Ø Ò Õ Ù × Ó Ò ´ ¼ ¼ µ Ý ́ ¾ µ ¾
¸ Ô Ö Ó Ó Ñ Ó × Ø Ò Ò Õ Ù Ù Ñ Ô Ð Ö Ñ × Ö Ð Ó Ñ Ò × Ð Ú Þ Ò Ø Ó Ò × Ð
Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó × Ð ´ ¼ ¼ µ º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ò Ó Ü Ý × Ø Ò Õ Ù
́ Ü Ü µ ¾ Ü
¿
Ð Ù Ð Ø Ó Ñ Ú Ð Ó Ö × Ô Ó × Ø Ú Ó × Ý Ò Ø Ú Ó × ¸ × Ö ´ ¼ ¼ µ Ò Ó ×
Ò Ñ Ü Ñ Ó Ò Ñ Ò Ñ Ó ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ð Ð º
Î Ñ Ó × Ó Ö Ó Ò Ó Ò × Ò × Ö × ¾
Ó
Ó Ö Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø × Ð × Ú × Ø ×
Ò Ð × Ó Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ú Ö Ð ¸ × Ö ¸
¼ ¼
́ Ü µ ¼ Ô Ö Ñ Ò Ñ Ó Ý
¼ ¼
́ Ü µ ¼ Ô Ö Ñ Ü Ñ Ó º
¬ Ò Ó Ò Ë Í Ó Ò Í Ù Ò × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó
Ò
Ó Ò
Ö Ú × ¾
Ó
Ó Ö Ò
¾
Ü
Ü
́ Ü
¼
µ
Ò Ü
¼
º Ð À × × Ò Ó Ò Ü
¼
× Ð Ù Ò Ó Ò Ù Ö Ø ¬ Ò Ô Ó Ö
À ́ Ü
¼
µ ́ µ
½
¾
Ò
½
¾
Ü
Ü
́ Ü
¼
µ
Ç Ø Ö Ó Ö Ñ × Ö Ö Ð Ü Ô Ö × Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö ×
À ́ Ü
¼
µ ́ µ
½
¾
Ì
À
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 58/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
Ó Ò
À
¾
¾
Ü
¾
½
¾
Ü
½
Ü
¾
¡ ¡ ¡
¾
Ü
½
Ü
Ò
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
¾
Ü
Ò
Ü
½
¾
Ü
Ò
Ü
¾
¡ ¡ ¡
¾
Ü
¾
Ò
¿
Ä Ñ Ø Ö Þ À × Ò Ó Ñ Ò Ñ Ø Ö Þ À × × Ò Ð Ù Ò Ó Ò º
Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù × Ø Ñ Ø Ö Þ × × Ñ Ø Ö Ý Õ Ù
¾
Ü
Ü
¾
Ü
Ü
Ò Ø × Ö Ð Ö Ø Ö Ó ¾
Ó
Ó Ö Ò ¸ Ö Ó Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó × Ð Ñ Ò Ø Ó ×
Ð Ö Ð Ò Ð º
Ë × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ × Ñ Ø Ö ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ó Ò Ð Þ Ð ¸ × Ö ¸ Ü × Ø
Ù Ò Ñ Ø Ö Þ È Ø Ð Õ Ù
È È
Ì
´ ¾ º ½ µ
Ó Ò È × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ò Ú Ö Ø Ð ´ Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð µ Ý × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ó Ò Ð ¸ ×
Ö
È
Ì
È Á
Ó Ò Á × Ð Ñ Ø Ö Þ Ò Ø Ý
¾
½
¼ ¡ ¡ ¡ ¼
¼
¾
¡ ¡ ¡ ¼
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
¼ ¼
¡ ¡ ¡
Ò
¿
´ ¾ º ½ µ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
È È
Ý Ô Ó Ö Ó Ð Ù Ñ Ò
Ô
Ô
Ó Ò Ô
Ö Ô Ö × Ò Ø Ð ¹ × Ñ Ó Ð Ù Ñ Ò È º Ä Ó ×
× Ó Ò Ð Ó × Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó ×
Ð Ñ Ø Ö Þ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ó × Ô
× Ó Ò Ú Ø Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø ×
Ó × Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 59/164
¾ º ¾ º Ì Ê Å Ç Ë Í Æ Á Ç Æ Ë Ç Æ Î Ä Ç Ê Ë Ê Ä Ë
Í Ò Ñ Ø Ö Þ × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú ×
Ü
Ì
Ü ¼ Ü ¼
Ë Ñ × × × Ñ Ø Ö ¸ Ù × Ò Ó Ð Ó Ò Ð Þ Ó Ò Ú × Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø ¸
Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ü
Ì
È È
Ì
Ü ¼ Ü ¼
Ó × ´ Ò Ó È
Ì
Ü Ý µ
Ý
Ì
Ý ¼ Ý ¼
µ
Ý
¾
¼ Ý ¼
Ý Õ Ù × Ó Ø Ò Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ º
Ì Ó Ö Ñ Í Ò Ñ Ø Ö Þ × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú × Ý × Ó Ð Ó × Ð Ó × Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó ×
× Ó Ò Ô Ó × Ø Ú Ó × º
Ó Ö Ó Ð Ö Ó Ë × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù
Ü
Ì
Ü Ü
¾
Ü ¾
Ò
Ò Ö Ð ¸ Ñ Ò
½ Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º
Ü
Ì
Ü
Ý
¾
Ñ Ò
½ Ò Ý
¾
-
-
È
Ì
Ü
-
-
¾
Ü
Ì
È È
Ì
Ü ¸ Ö Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù È È
Ì
È
Ì
È Á
Ü
¾
Ì Ñ Ò × Ð Ñ Ø Ö Þ × Ñ ¹ ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ù Ò Ó × × Ø ×
Ü
Ì
Ü
¼
Ü
¾
Ò
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 60/164
¼ È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
Ì Ó Ö Ñ Í Ò Ñ Ø Ö Þ × × Ñ ¹ ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú × Ý × Ó Ð Ó × Ð Ó × Ú Ð Ó Ö ×
Ô Ö Ó Ô Ó × × Ó Ò Ô Ó × Ø Ú Ó × Ó Ò Ù Ð Ó × º
Ç × Ö Ú Ó Ò Ð × ¬ Ò Ó Ò × Ú × Ø × × Ø Ó Ö Ñ Ø Ö × ¬ Ò ×
Ý × Ñ ¹ ¬ Ò × Ô Ó × Ø Ú × ¸ Ò Ó Ð Ó × Ñ Ó × × Ù Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò ¹
Ò Ø × ¸ × Ó Ø Ò Ò Ð × ¬ Ò Ó Ò × Ñ Ø Ö × ¬ Ò × Ý × Ñ ¹ ¬ Ò ×
Ò Ø Ú × º
Ç × Ö Ú Ó Ò Ü × Ø Ò Ñ Ù Ó × Ö Ø Ö Ó × Ô Ö Ø Ö Ñ Ò Ö × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ ×
¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ó Ò Ó ¸ Ù Ò Ó Ð Ó × Ù × Ó × Ô Ó Ö × Ù Ð Ó Ñ Ô Ö Ó Ó Ò × Ð
× Ù Ò Ø Í Ò Ñ Ø Ö Þ Ù Ö ́ Ò ¢ Ò µ × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú × Ý × Ó Ð Ó ×
Ø Ó × Ð × × Ù Ñ Ø Ö × Ù Ö × Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ó Ò Ð Ø Ò Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ø ×
Ô Ó × Ø Ú Ó × º È Ö Ð × Ó Ð × Ñ Ø Ö × ¬ Ò × Ò Ø Ú × Ð Ó × × Ò Ó × Ð Ó ×
Ø Ö Ñ Ò Ò Ø × Ò Ð Ø Ö Ò Ö × ¸ Ó Ñ Ò Þ Ò Ó Ó Ò Ò Ø Ú Ó º
Ì Ó Ö Ñ ½ ¼ ´ Ö Ø Ö Ó ¾
Ó
Ó Ö Ò µ Ë Í Ó Ò Í Ù Ò × Ù ¹
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó
Ò
Ý Ð ×
¾
º Ë Ü
¼
¾ Í Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó
º
Ë À ́ Ü
¼
µ × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ò Ø Ó Ò × Ü
¼
× Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ð º
Ë À ́ Ü
¼
µ × ¬ Ò Ò Ø Ú Ò Ø Ó Ò × Ü
¼
× Ù Ò Ñ Ü Ñ Ó Ð Ó Ð º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ó × × Ó Ð Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ñ Ö Ô Ö Ø ¸ Ð Ó Ø Ö ×
Ñ Ù × Ø Ö Ó Ö Ñ × Ñ Ð Ö º
Ë Ü
¼
× Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ù × Ò Ó Ð Ì Ó Ö Ñ Ì Ý Ð Ó Ö Ó Ö Ò ¾
× Ø Ò Õ Ù
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ À ́ Ü
¼
µ ́ µ · Ê
¾
́ Ü
¼
µ
Ó Ò Ê
¾
́ Ü
¼
µ ¼ Ù Ò Ó ¼ º
Ó Ñ Ó À ́ Ü
¼
µ × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù
À ́ Ü
¼
µ ́ µ
¾
¾
Ò
Ý Ó Ñ Ó Ê
¾
́ Ü
¼
µ
¼ Ù Ò Ó
¼ ¸ Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù × ¼
Ò Ø Ó Ò ×
Ê
¾
́ Ü
¼
µ
¾
Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ
¾
¾
¼
Ô Ö Ø Ó Ó ¼ ¸ Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù Ü
¼
× Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 61/164
¾ º ¿ º Ì Ê Å Ç Ë Ê Ë Ì Ê Á Æ Á Ç Ë º ½
Ñ Ô Ð Ó ½ ½ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × Ð × Ù Ò Ø Ù Ò Ó Ò Ý Ð × Õ Ù Ð Ó × º
́ Ü Ý µ Ð Ò ´ Ü
¾
· Ý
¾
· ½ µ
Ü
½
Ü
¾
· Ý
¾
· ½
¾ Ü ¼ µ Ü ¼
Ý
½
Ü
¾
· Ý
¾
· ½
¾ Ý ¼ µ Ý ¼
Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó × ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ º Î Ñ Ó × Ó Ö Ð À × × Ò
Ð Ù Ò Ó Ò Ú Ð Ù Ò × Ø Ô Ù Ò Ø Ó
¾
Ü
¾
¬
¬
¬
¬
´ ¼ ¼ µ
Ü
¾
· Ý
¾
· ¾
́ Ü
¾
· Ý
¾
· ½ µ
¾
¬
¬
¬
¬
´ ¼ ¼ µ
¾
¾
Ü Ý
¬
¬
¬
¬
´ ¼ ¼ µ
Ü Ý
́ Ü
¾
· Ý
¾
· ½ µ
¾
¬
¬
¬
¬
´ ¼ ¼ µ
¼
¾
Ý
¾
¬
¬
¬
¬
´ ¼ ¼ µ
Ü
¾
Ý
¾
· ¾
́ Ü
¾
· Ý
¾
· ½ µ
¾
¬
¬
¬
¬
´ ¼ ¼ µ
¾
× Ö ¸ Ð Ñ Ø Ö Þ À × × Ò Õ Ù
¾ ¼
¼ ¾
Ð Ù Ð Ø Ö Ú Ð Ñ Ò Ø × Ú Õ Ù × ¬ Ò Ô × Ø Ú Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ¼ ¼ µ
× Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð × Ø Ö Ø Ó º
¾ º ¿ Ü Ø Ö Ñ Ó × Ö × Ø Ö Ò Ó × º
Î Ñ Ó × Ó Ö Õ Ù × Ù Ù Ò Ó Õ Ù Ö Ñ Ó × Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ñ Ü Ñ Þ Ö Ù Ò Ù Ò ¹
Ó Ò × Ù Ø Ö Ø × Ö × Ø Ö Ó Ò × º
Ì Ó Ö Ñ ½ ¾ ´ Å Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × Ä Ö Ò µ Ë Ò Í
Ò
Ý
Í
Ò
Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º Ë Ü
¼
¾ Í Ý ́ Ü
¼
µ ¸ Ý × Ë
Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ú Ð Ô Ö Ó Ò Ú Ð Ó Ö ¸ × Ö
Ë Ü ¾ Í ́ Ü µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 62/164
¾ È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ö ́ Ü
¼
µ ¼ º Ë
Ë
́ Ö × Ø Ö Ò Ë µ Ø Ò Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó
Ó Ñ Ü Ñ Ó Ð Ó Ð Ò Ë Ò Ü
¼
¸ Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø ¸ × Ü
¼
× Ù Ò × Ó Ð Ù Ó Ò Ð
Ô Ö Ó Ð Ñ
Ñ Ò ́ Ü µ Ó Ñ Ü ́ Ü µ
́ Ü µ ́ Ü µ
Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ö Ð Ø Ð Õ Ù
Ö ́ Ü
¼
µ Ö ́ Ü
¼
µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü
¼
× × Ó Ð Ù Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ñ Ò ¹
Ñ Þ Ó Ò ´ Ð Ó Ø Ö Ó × Ó × × Ñ Ð Ö µ Ý ×
Ë Ü ¾ Í ́ Ü µ
Ó Ñ Ó Ö ́ Ü
¼
µ ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ø Ú Ø Ó Ö × Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö ¬ Ë ¸ Ô Ó Ö
Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ò Ü
¼
× Ö Ø Ö Þ Ó Ñ Ó
Ö ́ Ü
¼
µ
Ì
¡ ́ Ü Ü
¼
µ ¼
Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø
¼
´ ¼ µ Í ́ Ø µ ¾ Ë Ø ´ ¼ µ Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × ¸ × Ò Ó Ü
¼
Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó ¸ Ð Ù Ò Ó Ò Ø ́ ́ Ø µ µ Ø Ò Ù Ò
Ñ Ò Ñ Ó Ò ¼ Ô Ö ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó
Ö ́ Ü
¼
µ
Ì
¡
¼
´ ¼ µ ¼
× Ö ¸ Ö ́ Ü
¼
µ × Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ó Ð Ó Õ Ù × Ð Ó Ñ × Ñ Ó ¸ Ô Ö Ð Ð Ó
Ð Ú Ø Ó Ö Ö ́ Ü
¼
µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ü × Ø Ù Ò Ö Ð Ø Ð Õ Ù
Ö ́ Ü
¼
µ Ö ́ Ü
¼
µ
Ð Ò Ù Ñ Ö Ó × Ð Ð Ð Ñ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö Ä Ö Ò Ý Ð Ù Ò Ó Ò Ò · ½
Ú Ö Ð ×
Ä ́ Ü µ ́ Ü µ ́ Ü µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 63/164
¾ º ¿ º Ì Ê Å Ç Ë Ê Ë Ì Ê Á Æ Á Ç Ë º ¿
× Ð Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ä Ö Ò Ò Ó º Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ò Ó Ò ´ Ò × Ö µ Ð
Ì Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø
Ö ́ Ü
¼
µ Ö ́ Ü
¼
µ
́ Ü
½
Ü
Ò
µ
´ µ
Ü
½
́ Ü
½
Ü
Ò
µ
Ü
½
́ Ü
½
Ü
Ò
µ
º
º
º
Ü
Ò
́ Ü
½
Ü
Ò
µ
Ü
Ò
́ Ü
½
Ü
Ò
µ
́ Ü
½
Ü
Ò
µ
´ ¾ º ¾ µ
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ½ ¿ Ë Ð Ö × Ø Ö Ò Ö × Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ Ë ¸ Ø Ò Ù Ò Ñ Ü Ñ Ó Ó Ù Ò
Ñ Ò Ñ Ó Ò Ü
¼
¸ Ò Ø Ó Ò × Ö ́ Ü
¼
µ × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ë Ò Ü
¼
º
Ñ Ô Ð Ó ½ Ë Ë
¾
Ð Ö Ø Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó ́ ½ ¼ µ Ý Ø Ò Ù Ò
Ò Ð Ò Ó Ò
Æ
Ý ×
¾
Ø Ð Õ Ù ́ Ü Ý µ Ü
¾
· Ý
¾
º À Ð Ð Ö Ð Ó ×
Ü Ø Ö Ñ Ó × × Ó Ö Ð Ö Ø Ë º
Î Ñ Ó × Õ Ù Ë × Ô Ù × Ö Ö Ó Ñ Ó
Ë ́ Ü Ý µ Ý Ü ½ ¼
Ý Ò Ó Ø Ñ Ó × Ô Ó Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
µ Ð Ô Ó × Ð Ò Ø Ó × Ö Ü Ø Ö Ñ Ó Ý ́ Ü Ý µ Ý
Ü
½ ̧ ¼ º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ × Ø Ò
Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ´ ¾ Ü
¼
¾ Ý
¼
µ
Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ́ ½ ½ µ
Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ô Ð Ò Ó Ð × × Ø Ñ Ð Ö Ò Ò Ó ´ ¾ º ¾ µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
¾ Ü
¼
¾ Ý
¼
Ý
¼
Ü
¼
· ½
µ
Ü
¼
Ý
¼
Ý
¼
Ü
¼
· ½
µ
Ü
¼
½
¾
Ý
¼
½
¾
× Ö ¸ Ð Ü Ø Ö Ñ Ó × ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ́
½
¾
½
¾
µ Ý Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö
Ð Ö Ò × ½ º
Ñ Ô Ð Ó ½ Ê × Ù Ð Ú Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ð Ñ
Ñ Ò Ü
¾
Ý
¾
Ü
¾
· Ý
¾
½
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 64/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
Ò Ò Ö Ð ¸ Ô Ö Ô Ó Ö Ø Ö Ñ Ò Ö × Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × × Ó Ò Ñ Ò Ñ Ó ×
Ð Ó Ð × ¸ Ñ Ü Ñ Ó × Ó Ô Ù Ò Ø Ó × × Ð Ð × Ñ Ó × Ò Ð Þ Ö Ð Ó Ñ Ô Ó Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ð
¾
Ö Ú Ó Ñ Ó Ú Ö Ñ Ó × Ñ × Ð Ò Ø ¸ Ù Ó Ø Ö Ó × Ö Ù Ñ Ò Ø Ó × º
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ó Ö Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Ö × Ø Ö Ó Ò × Ù Ð ¸ × Ö
Ë Ü ¾
Ò
½
́ Ü
½
Ü
Ò
µ ¼
́ Ü
½
Ü
Ò
µ ¼
Ý Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ô Ø Ñ Þ Ó Ò ×
Ñ Ò ́ Ü µ Ó Ñ Ü ́ Ü µ
Ü ¾ Ë Ü ¾ Ë
´ ¾ º ¿ µ
Ó Ò
Ò
½ ¸ × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º
Ò Ø Ó Ò × Ð Ì Ó Ö Ñ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × Ä Ö Ò × Ü Ø Ò Ð
× Ù Ò Ø Ó Ö Ñ
Ì Ó Ö Ñ ½ Ë Ð Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ × ´ ¾ º ¿ µ Ø Ò Ò Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ó Ñ Ü Ñ Ó Ð Ó Ð Ü
¼
̧
× Ö ¸ Ü × Ø Ù Ò Ú Ò Î Ü
¼
Ø Ð Õ Ù
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ Ü ¾ Î Ë ́ Ó ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ µ
Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò Ù Ñ Ö Ó × Ö Ð × ´ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × µ
½
Ø Ð × Õ Ù
Ö ́ Ü
¼
µ
½
Ö
½
́ Ü
¼
µ · ·
Ö
́ Ü
¼
µ
× Ñ Ô Ö Õ Ù Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Ö
½
́ Ü
¼
µ Ö
́ Ü
¼
µ × Ò Ð Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ô Ò ¹
Ò Ø × º
Ñ Ô Ð Ó ½ Ê × Ù Ð Ú Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ð Ñ
Ñ Ò Ü · Ý · Þ
Ü
¾
· Ý
¾
¾
Ü · Þ ½
¾ º Ö Ø Ö Ó ¾
Ó
Ó Ö Ò Ô Ö Ü Ø Ö Ñ Ó × Ö ¹
× Ø Ö Ò Ó × º
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ð Ñ
Ñ Ò ´ Ñ Ü µ ́ Ü
½
Ü
Ò
µ ´ ¾ º µ
́ Ü
½
Ü
Ò
µ ¼ ½ Ô
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 65/164
¾ º º Ê Á Ì Ê Á Ç ¾
Ç
Ç Ê Æ È Ê Ì Ê Å Ç Ë Ê Ë Ì Ê Á Æ Á Ç Ë º
Ó Ò
¸ × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º
È Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö × Ñ Ó × Õ Ù × Ö
́ Ü
½
Ü
Ò
µ × Ó Ò Ð º º Ò Ø Ó Ò ×
Ü × Ø ¾
Ô
Ø Ð Õ Ù
Ö ́ Ü
½
Ü
Ò
µ
Ì
Ö ́ Ü
½
Ü
Ò
µ
Ó Ò ́ Ü
½
Ü
Ò
µ ́
½
́ Ü
½
Ü
Ò
µ
Ô
́ Ü
½
Ü
Ò
µ µ
Ì
¸ × Ö
Ö Ä ́ Ü
½
Ü
Ò
µ ¼
Ó Ò Ä Ö Ô Ö × Ò Ø Ð Ä Ö Ò Ò Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ ´ ¾ º µ º
Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × Ô Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ó ¸ Ñ × Ð × Ö × Ø Ö Ó Ò × ¸ Ó Ø Ò ¹
Ñ Ó × Ô Ó × Ð × Ò Ø Ó × Ñ Ò Ñ Ó × Ó Ñ Ü Ñ Ó × Ð Ó Ð ×
Ö Ä ́ Ü µ ¼
́ Ü µ ¼ ½ Ô
Ò Ð × Ó × Ò Ö × Ø Ö Ó Ò × ¸ Ð Ö Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ö Ñ Ò Ö Õ Ù Ø Ô Ó Ö Ò Ð Ó ×
Ô Ó × Ð × Ü Ø Ö Ñ Ó × Ö Ò Ð Þ Ò Ó Ð Ñ Ø Ö Þ À × × Ò Ð Ù Ò Ó Ò Ó Ø Ú Ó ¸
Ò Ô Ò Ò × × Ø Ö ¬ Ò Ò Ø Ú Ó Ô Ó × Ø Ú ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò
Ù Ò Ñ Ü Ñ Ó Ó Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø º
Í Ò Ö Ø Ö Ó × Ñ Ð Ö × Ø Ò Ô Ö Ð × Ó Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ò Ö × Ø Ö ¹
Ó Ò × ¸ × Ò Ñ Ö Ó Ò Ó × Ö Ò × Ö Ó Õ Ù Ð À × × Ò Ó ¸ Ò × Ø × Ó Ð Ð
Ä Ö Ò Ò Ó ¸ × ¬ Ò Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ó Ò Ø Ú Ó Ô Ö Ö Ó Ò ¸ Ò Ö Ð ¹
× Ø Ö Õ Ù Ð Ó × Ò Ù Ò Ö Ø Ó Ó Ò Ù Ò Ø Ó Õ Ù Ò Ó Ñ Ò Ö Ñ Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ö Ó Ò × Ö Ø × Ý Ð Ó ¬ Ò Ö Ñ Ó × Ó Ñ Ó
à ́ Ü µ
̈
¾
Ò
Ö
́ Ü µ
Ì
¼ ½ Ô Ö ́ Ü µ
Ì
¼
©
Ù Ò Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ñ Ò Ñ Þ Ó Ò Ý
à ́ Ü µ
̈
¾
Ò
Ö
́ Ü µ
Ì
¼ ½ Ô Ö ́ Ü µ
Ì
¼
©
Ù Ò Ó × Ñ Ü Ñ Þ Ó Ò º
Ì Ó Ö Ñ ½ Ë Ü
¼
¾ Ë Ü
́ Ü µ ¼ ¾ Á ½ Ô º Ë Ù Ô Ó Ò ¹
Ñ Ó × Õ Ù Ö
́ Ü
¼
µ
¾ Á
× Ó Ò Ð Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ô Ò Ò Ø × ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø ¾
Ô
Ø Ð Õ Ù
Ö Ä ́ Ü
¼
µ ¼
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 66/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
Ë Ñ × × Ø Ò Õ Ù
Ì
À
Ü
Ä ́ Ü
¼
µ ¼
¾ Ã ́ Ü µ
¼
Ò Ø Ó Ò × Ü
¼
× Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð ´ ¾ º µ º ´ Ñ Ü Ñ Ó Ð Ó Ð ´ ¾ º µ Ö × Ô Ø Ú ¹
Ñ Ò Ø µ º
Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ò Ð Ì Ó Ö Ñ Ð À × × Ò Ó Ð Ä Ö Ò Ò Ó × × Ó Ð Ó Ó Ò
Ö × Ô Ø Ó Ü ¸ × Ö
À
Ü
Ä ́ Ü
¼
µ
¾
¾
Ä
Ü
¾
½
́ Ü
¼
µ
¾
Ä
Ü
½
Ü
¾
́ Ü
¼
µ ¡ ¡ ¡
¾
Ä
Ü
½
Ü
Ò
́ Ü
¼
µ
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
¾
Ä
Ü
Ò
Ü
½
́ Ü
¼
µ
¾
Ä
Ü
Ò
Ü
¾
́ Ü
¼
µ ¡ ¡ ¡
¾
Ä
Ü
¾
Ò
́ Ü
¼
µ
¿
¾
Ä
Ü
Ü
́ Ü
¼
µ
Ò
½
Ñ Ô Ð Ó ½ Ò Ð Ñ Ô Ð Ó ´ ½ µ ¸ × Ð Ô Ù Ò Ø Ó ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ́
½
¾
½
¾
µ × Ù Ò
Ñ Ü Ñ Ó Ó Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó º
È Ö × Ø Ó ¸ Ó Ò × Ø Ö Ù Ý Ñ Ó × Ô Ö Ñ Ö Ñ Ò Ø Ð Ä Ö Ò Ò Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ
Ä ́ Ü Ý µ ́ Ü Ý µ ́ Ü Ý µ
Ü
¾
· Ý
¾
́ Ý Ü ½ µ
Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö Ð Ö Ò Ö ½ ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð
À × × Ò Ó Ð Ä Ö Ò Ò Ó Õ Ù
À
Ü
Ä ́ Ü
¼
Ý
¼
µ
¾ ¼
¼ ¾
Ð Ù Ð × ¬ Ò Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ô Ö Ø Ó Ó ¸ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ô Ö Ð × Ö Ó Ò × Ð
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò × Ö Ø × Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ́
½
¾
½
¾
µ × Ù Ò
Ñ Ò Ñ Ó º
Ñ Ô Ð Ó ¾ ¼ Ç Ô Ø Ñ Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü Ý µ Ü × Ó Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ô Ù Ò Ø Ó × ́ Ü Ý µ Ø Ð × Õ Ù Ü
¾
· ¾ Ý
¾
¿
Ð Ä Ö Ò Ò Ó Ô Ö × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Õ Ù Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ
Ä ́ Ü Ý µ Ü ́ Ü
¾
· ¾ Ý
¾
¿ µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 67/164
¾ º º Ê Á Ì Ê Á Ç ¾
Ç
Ç Ê Æ È Ê Ì Ê Å Ç Ë Ê Ë Ì Ê Á Æ Á Ç Ë º
Ó Ò × Ø Ò
Ä
Ü
¼ µ ½ ¾ Ü ¼
Ä
Ý
¼ µ Ý ¼
Ü
¾
· ¾ Ý
¾
¿
Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ó × Ô Ó × Ð × Ò Ø Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × ´ Ò Ó Ô Ù × Ö Ö Ó µ × Ó Ò
́ Ü
½
Ý
½
½
µ
Ô
¿ ¼
½
¾
Ô
¿
́ Ü
¾
Ý
¾
¾
µ
Ô
¿ ¼
½
¾
Ô
¿
Ô Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó × Ø Ò Õ Ù
À
Ü
Ä ́ Ü Ý µ
¾ ¼
¼
× Ö ¸ Ô Ö ́ Ü
½
Ý
½
½
µ
Ô
¿ ¼
½
¾
Ô
¿
À
Ü
Ä ́ Ü
½
Ý
½
½
µ × ¬ Ò Ò ¹
Ø Ú Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ́ Ü
½
Ý
½
µ ́
Ô
¿ ¼ µ × Ù Ò Ñ Ü Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ô Ö
́ Ü
¾
Ý
¾
¾
µ
Ô
¿ ¼
½
¾
Ô
¿
À
Ü
Ä ́ Ü
¾
Ý
¾
¾
µ × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ý Ô Ó Ö Ð Ó
Ø Ò Ø Ó ́ Ü
¾
Ý
¾
µ ́
Ô
¿ ¼ µ × Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð º
Î Ñ Ó × Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ñ Ô Ð Ó Ó Ò Ð Ñ Ø Ö Þ À × × Ò Ð Ä Ö Ò Ò Ó Ò Ó
× ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ò Ø Ó × Ð × Ö Ó Ò × Ô Ö Ó × Ð Ó × Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ö Ó Ò × Ö Ø × º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 68/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 69/164
Ô Ø Ù Ð Ó ¿
Á Ò Ø Ö Ó Ò
¿ º ½ Å Ó Ø Ú Ó Ò
Æ Ó × Ò Ø Ö × Ü Ø Ò Ö Ð Ò Ó Ó Ò Ö Ó Ù Ò Ù Ö Ú ¸ Ó Ö Ñ Ð Þ Ô Ó Ö
Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò Ò Ù Ò Ú Ö Ð ¸ Ð Ö Ó Ù Ò × Ù Ô Ö ¬
Ò Á Ê
Æ
º Ä Ù Ó × Ø Ù Ö Ñ Ó × Ð × Ô Ö Ó Ô × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð × Ð Ò Ø Ö Ð
Ê Ñ Ò Ò Ò Ú Ö × Ú Ö Ð × º Ò Ð Ñ Ò Ø Ú Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò × Ô Ð Ó Ò ×
Ô Ö Ó Ð Ñ × × Ó × º
¿ º ¾ Á Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò Ò Á Ê
¾
¿ º ¾ º ½ ¬ Ò Ó Ò ×
Ê Á Ê
¾
× Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Ý × Ó Ð Ó × Ê
½
½
¢
¾
¾
Ó Ò
½
½
¾
¾
¾ Á Ê º
Ð Ö Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ê
½
½
¢
¾
¾
×
Î ́ Ê µ ́
½
½
µ ́
¾
¾
µ
È Ö Ñ ¾ Á Æ ¸ Ð Ñ ¹ Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ó Ò ¾ Á Ê ×
̈
¼
½
½
¾
Ñ ½
Ñ
©
Ó Ò
·
Ñ
¼ Ñ º
È Ö Ñ ¾ Á Æ ¸ Ð Ñ ¹ Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ê
½
½
¢
¾
¾
× È Á
½
¢ Á
¾
Á
¾ È
½ ¾ Ó Ò È
Ñ ¹ Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó
½ ¾ º Ä Ò Ó Ø Ö Ñ Ó × È
Ñ
́ Ê µ º
Ó Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ê Á Ê
¾
Ý Ñ ¾ Á Æ ¸ Ñ Ó × Õ Ù ´
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ù Ò
× Ð Ó Ò ´ Ô Ö È
Ñ
́ Ê µ µ × ´ È ¾ È
Ñ
́ Ê µ µ
È
¾ È º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 70/164
¼ È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
Ê
¾
Ø
Ø
Ø
Ê
Ê
¿
Ê
Ê
¾
Ê
½
Ê
Ê
½
Ê
¿
Ø
Ù Ö ¿ º ½ ¾ ¹ Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò Ý × Ð Ó Ò
Æ Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ñ ¹ Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò × Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ý Õ Ù
Ù Ò Ñ ¹ Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò × ¬ Ò Ø ¸ Ð Ù Ó Ð × Ù Ò Ø ¬ Ò Ó Ò Ø Ò × Ò Ø Ó
¬ Ò Ó Ò ¿ º ½ Ë Ñ ¾ Á Æ ̧ Ê Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê Ý Ù Ò × Ð Ó Ò
́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
º Ë ¬ Ò Ð × Ù Ñ Ê Ñ Ò Ò × Ó Ý ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
Ó Ñ Ó
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
È
µ Î ́ È µ
¬ Ò Ó Ò ¿ º ¾ Ë Ê Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê º Ñ Ó × Õ Ù ×
Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ò Ê × Ý × Ó Ð Ó × ́ Ë ¾ Á Ê µ ́ ¯ ¼ µ ́ Ñ
¼
¾ Á Æ µ ́ Ñ Ñ
¼
µ
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë
¬
¬
¬
̄
Ô Ö Ø Ó Ð Ó Ò Ð Ó × ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
º
Ë × Ð Ð Ñ Ò Ø Ö Ð ´ Ê Ñ Ò Ò µ × Ó Ö Ê Ý × Ò Ó Ø
Ê
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 71/164
¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
¾
½
Ä Ò Ø Ö Ð Ø Ñ Ò × Ò Ó Ø
Ê
́ Ü µ Ü
Ù Ö ¿ º ¾ Ë Ù Ñ Ê Ñ Ò Ò Ô Ö Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü Ý µ × Ò
Ü Ý
½
Ô Ö È
´ ½
¾
µ
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ½ È Ö Ê ¼ ½
¾
¸ Ò Ó × Ò Ø Ö Ð Ò Ê Ð Ù Ò Ó Ò Ê Á Ê
Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ
́
½ ́ Ü Ý µ ¾ É Á ¢ É Á
¼ ́ Ü Ý µ ¾ É Á ¢ É Á
¿ º ¾ º ¾ È Ö Ó Ô × × ×
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ½ Ë Ê Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê º Ë × Ò Ø Ö Ð Ò
Ê Ò Ø Ó Ò × × Ó Ø Ò Ê º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 72/164
¾ È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º Ò Ø Ó ¸ × ̄ ½ ̧ Ñ Ñ
¼
Ò Ð ¬ Ò Ó Ò
Ò Ø Ö Ð º Ä Ù Ó
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë
¬
¬
¬
½
¬
¬
¬
¬
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
È
µ Î ́ È µ Ë
¬
¬
¬
¬
½
¬
¬
¬
¬
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
È
µ Î ́ È µ
¬
¬
¬
¬
½ · Ë
Ý Ô Ö Ù Ò Ö Ø Ó È
¼
¾ È
Ñ
́ Ê µ
¬
¬
́
È
¼
µ
¬
¬
Î ́ È
¼
µ ½ · Ë ·
¬
¬
¬
¬
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ Ò È
¼
́
È
µ Î ́ È µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
́
È
¼
µ
¬
¬
½
Î ́ È
¼
µ
½ · Ë ·
¬
¬
¬
¬
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ Ò È
¼
́
È
µ Î ́ È µ
¬
¬
¬
¬
Ò Ó Ð Ó ×
È
¸ Ô Ö È ¾ È
Ñ
́ Ê µ Ò È
¼
Ý Ò Ó Ø Ò Ó Õ Ù
È
¼
× Ö Ø Ö Ö Ó Ò È
¼
× Ó Ò Ð Ù Ý Õ Ù × Ó Ø Ò È
¼
º Ó Ñ Ó Ñ × È
¼
× Ö Ø Ö Ö Ó Ò È
Ñ
́ Ê µ
× Ó Ò Ð Ù Ý Õ Ù × Ó Ø Ò È ¾ È
Ñ
́ Ê µ ¸ Ð Ù Ó × Ó Ø Ò Ê º
¤
Ä × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô × Ò Ð Ó Ð Ó Ò Ó Ò Ù Ý Ô Ö Ù Ò
× Ù × Ó Ò ¸ Ð Ù Ó × Ù Ø Ð Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó Ô Ö × Ø Ù Ö Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ò
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ó Ò Ó × Ó Ò Ó Ð Ú Ð Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ð º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ¾ Ë Ê Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê º Ë Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø ×
¯ ¯ ¼ Ñ
¼
¾ Á Æ Ñ Ñ
¼
́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
× Ð Ó Ò ̧ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò
¬
¬
¬
Ë ́ ́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
¬
¬
¬
¯
̄ × Ò Ø Ö Ð Ò Ê º
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º ´ µ µ Ñ Ó × Ö Ø × × Ð Ó Ò × ´
Ñ
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
¸ Ô Ö
Ñ
¾ Á Æ º Ä Ù Ó ¸ Ô Ó Ö Ð Ô Ó Ø × × ¸ Ð × Ù × Ó Ò
Ë ́ ́
Ñ
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
¡
Ñ ¾ Á Æ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 73/164
¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
¾
¿
Ö × Ù Ð Ø × Ö Ù Ý Ý Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ö Ø Ó Ë ¾ Á Ê º Ë ¯ ¼ º Ë Ñ
½
Ñ
¼
Ø Ð Õ Ù ´ Ñ Ñ
¼
µ
¬
¬
¬
Ë ́ ́
Ñ
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë
¬
¬
¬
¯
Ë Ñ Ñ
¼
Ý Ù Ò × Ð Ó Ò ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
Ö Ø Ö Ö º × ¸ Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ó Ò Ð
Ô Ó Ø × × ¸ Ö × Ù Ð Ø Õ Ù
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë
¬
¬
¬
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
Ñ
½
È
µ
È ¾ È
Ñ
½
µ
¬
¬
¬
·
¬
¬
¬
Ë ́ ́
Ñ
½
È
µ
È ¾ È
Ñ
½
µ
Ë
¬
¬
¬
¾ ¯
́ ́ µ Ë ¯ ¼ ¸ × Ñ
¼
¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù ´ Ñ Ñ
¼
µ
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë
¬
¬
¬
̄
Ô Ö Ø Ó Ð Ó Ò Ð Ó × ´
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
º Ë Ò Ñ Ñ
¼
Ö Ø Ö Ö Ó × ¸ × Ò
́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
¸ ́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
× Ð Ó Ò × Ö Ø Ö Ö × º Ä Ù Ó
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë
¬
¬
¬
·
¬
¬
¬
Ë Ë ́ ́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
µ
¬
¬
¬
¾ ¯
¤
Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ × Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ð Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ¾ Ý Ò Ó × Ù Ò
Ó Ò Ó Ò Ò × Ö Ý × Ù ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ð Ñ × Ð Ú Ö ¬ Ö Ò
Ú Ö × Ð × Ô Ö Ó Ô × Õ Ù × Ù Ò º Ä Ô Ö Ò Ô Ð Ö Ò Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ô Ó × ¹
Ó Ò ¿ º ¾ × Õ Ù Ò Ú Þ Ó Ñ Ô Ö Ö Ø Ó Ó × Ð Ó × Ô Ö × Ô Ö Ø Ó Ò × ¸ Ó Ñ Ô Ö
Ô Ö × Ô Ö Ø Ó Ò × Õ Ù × Ó Ò Ù Ò Ù Ò Ö ¬ Ò Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ø Ö º
Ä Ñ ¿ º ½ Ë Ê Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê º Ë Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø ×
̄ ́ ¯ ¼ µ ́ Ñ
¼
¾ Á Æ µ ́ ¾ Á Æ µ ́ Ñ Ñ
¼
µ ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
¼
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ ¯
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 74/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
̄ × Ò Ø Ö Ð Ò Ê º
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º Í × Ö Ñ Ó × Ð Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ¾ Ô Ö × Ù × Ø Ø Ù Ö Ð Ó Ò Ó Ò
Ò Ø Ö Ð Ò Ê º
́ µ µ Ë ¯ ¼ º È Ó Ö Ô Ó Ø × × ´ Ñ
¼
¾ Á Æ µ ́ ¾ Á Æ µ ́ Ñ Ñ
¼
µ ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò µ ´ ́
¼
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ ¯
Ë Ò Ñ Ñ
¼
¸ × Ò ´
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
¸ ́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
× Ð Ó Ò × º Ë ´
¼ ¼
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò º Ä Ù Ó
¬
¬
¬
Ë ́ ́
¼ ¼
É
µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
¼ ¼
É
µ Î ́ É µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
È
µ Î ́ È µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
́
¼ ¼
É
µ Î ́ É µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
È
µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
Î ́ É µ
¬
¬
¬
¬
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼ ¼
É
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ
¯
Ý Ò Ð Ó Ñ Ò Ø
¬
¬
¬
Ë ́ ́
¼ ¼
É
µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
µ
¬
¬
¬
¯
×
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
¼ ¼
É
µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
¬
¬
¬
·
¬
¬
¬
Ë ́ ́
¼ ¼
É
µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
µ
¬
¬
¬
¾ ¯
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 75/164
¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
¾
́ ́ µ Ë ¯ ¼ º È Ó Ö Ô Ó Ø × × ¸ ´ Ñ
¼
¾ Á Æ µ ́ Ñ Ñ
¼
µ ́ ́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
× Ð Ó Ò µ ´ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò µ
¬
¬
¬
Ë ́ ́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
¬
¬
¬
¯
Ë Ò ¾ Á Æ ̧ Ñ Ñ
¼
¸ × Ò ´
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
¼
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò × º È Ö
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ ¬ Ò Ñ Ó ×
·
È
Ö Ñ Ü ́
¼
É
µ É ¾ È
Ñ
́ Ê µ É È ́
È
µ ̧
È
Ö Ñ Ò ́
¼
É
µ É ¾ È
Ñ
́ Ê µ É È ́
È
µ º Ä Ù Ó
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
́
·
È
µ ́
È
µ
¡
Î ́ É µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
·
È
µ ́
È
µ
¡
Î ́ È µ
Ë ́ ́
·
É
µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
¯
¤
È Ó × Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø ´ Ø Ó Ö Ñ º ½ ½ µ Ô Ö Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ø Ó Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ó ¹
Ö Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ð º Ò Ö Ð Ð Ó Ô Ö Ó Ö ¹
Ñ Ó × Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ñ Ù Ó Ñ × Ò Ö Ð × Õ Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó × ¸ Ð Ð Ñ Ó × Ó Ñ ¹
Ô Ø Ó × º × Ø Ô Ö Ó Ô × Ù Ø Ð Þ Ò Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó × ¹
Ó Ò º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ¿ Ë Ê Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê º Ë × Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ê Ò Ø Ó Ò × × Ò Ø Ö Ð Ò Ê º
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º Ó Ñ Ó Ê × Ó Ñ Ô Ø Ó Ý × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê × Ø Ò
Õ Ù × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê º Ä Ù Ó ¸ Ô Ö ¯ ¼ Ö Ø Ö Ö Ó ¸ ´
¼ µ ́
Ü Ý
¾ Ê µ
Ü Ý µ
¬
¬
́ Ü µ ́ Ý µ
¬
¬
¯
Ê Ù Ö Ö Ö Ñ Ó × Ð Ð Ñ ¿ º ½ º Ë Ñ
¼
¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù ´ È ¾ È
Ñ
¼
µ ́ Ü Ý ¾ È µ Ü
Ý º Ë Ñ Ñ
¼
̧ ¾ Á Æ º Ë Ò ´
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
¸ ́
¼
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò × º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 76/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
È Ó Ö Ð Ù Ò Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ò Õ Ù
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ
́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ
¯ Î ́ Ê µ
¤
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º Ë Ê Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ò Ø ¹
Ö Ð × ¸ ¾ Á Ê º Ò Ø Ó Ò ×
½ º ´ Ð Ò Ð µ · × Ò Ø Ö Ð Ò Ê Ý
Ê
·
Ê
·
Ê
¾ º ´ Ñ Ó Ò Ó Ø Ó Ò µ × ́ Ü ¾ Ê µ ́ Ü µ ́ Ü µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ê
Ê
¿ º × Ò Ø Ö Ð Ò Ê Ý
¬
¬
¬
¬
Ê
¬
¬
¬
¬
Ê
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º
½ º Ë ¯ ¼ Ö Ø Ö Ö Ó º Ë Ñ
¼
¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù ´ Ñ Ñ
¼
µ ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò µ
¬
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
Ê
¬
¬
¬
¬
̄
Ý
¬
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
Ê
¬
¬
¬
¬
¯
È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ × Ø Ò
Ë ́ · ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ · Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 77/164
¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
¾
× ¸
¬
¬
¬
¬
Ë ́ · ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ ́
Ê
·
Ê
µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
Ê
¬
¬
¬
¬
·
¬
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
Ê
¬
¬
¬
¬
½ ·
¡
¯
Ä Ù Ó ¸ Ô Ó Ö ¬ Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò ¸ × Ó Ò Ð Ù Ý º
¾ º × Ö Ø Ó Ó Ò × Ö Ö Õ Ù Ò × Ø × Ó × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
Ñ
¾ Á Æ ̧
́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
Ý Ô Ð Ö Ð ¬ Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò º
¿ º Î Ñ Ó × Õ Ù × Ò Ø Ö Ð Ò Ê Ô Ó Ö Ñ Ó Ð Ð Ñ ¿ º ½ º
Ò Ø Ó ¸ × ¯ ¼ º Ó Ñ Ó × Ò Ø Ö Ð ¸ Ô Ó Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ð Ñ ´ Ñ
¼
¾
Á Æ µ ́ ¾ Á Æ µ ́ Ñ Ñ
¼
µ ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
¼
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ ¯
Ä Ù Ó ¸ × Ò ¾ Á Æ ̧ Ñ Ñ
¼
º Ë × Õ Ù ´ Ü Ý ¾ Á Ê µ
¬
¬
Ü Ý
¬
¬
Ü Ý
×
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ
¯
Ò Ó Ò Ð Ù × Ó Ò ̧ × Ò Ø Ö Ð Ò Ê º Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ × Ø Ò
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 78/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
Õ Ù ¸ Ó Ò Ð Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ó Ö ¸ Ñ Ô Ð Õ Ù
Ê
Ê
Ê
× Ö
¬
¬
¬
¬
Ê
¬
¬
¬
¬
Ê
¤
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º Ë Ê
Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê
Á Ê º Ë × Ò Ø Ö Ð Ò
Ê Ò Ø Ó Ò ×
Î ́ Ê µ Ò
Ü ¾ Ê
́ Ü µ
Ê
Î ́ Ê µ × Ù Ô
Ü ¾ Ê
́ Ü µ
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º × Ø Ò Ó Ø Ö Õ Ù Ñ ¾ Á Æ ̧ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò
Î ́ Ê µ Ò
Ü ¾ Ê
́ Ü µ Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Î ́ Ê µ × Ù Ô
Ü ¾ Ê
́ Ü µ
¤
¿ º ¾ º ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò × Ù × Ó Ò × Ù Ò Ó Ò ×
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º Ë Ê Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ ́
µ
¾ Á Æ
× Ù × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × ¸
Ê Á Ê ¸ Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ò Ê Ê Á Ê º Ò Ø Ó Ò ×
× Ò Ø Ö Ð Ò Ê Ý
Ê
Ð Ñ
½
Ê
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º Î Ñ Ó × Õ Ù × Ò Ø Ö Ð Ò Ê Ô Ó Ö Ñ Ó Ð Ð Ñ
¿ º ½ º Ë ¯ ¼ º Ë
¼
¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù
× Ù Ô
Ü ¾ Ê
¬
¬
́ Ü µ
¼
́ Ü µ
¬
¬
¯ ´ ¿ º ½ µ
Ù Ö Ó Ð Ð Ñ ¿ º ½ ¸ × Ñ
¼
¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù ´ ¾ Á Æ µ ́ Ñ Ñ
¼
µ ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
¼
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
¼
́
¼
É
µ
¼
́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ ¯ ´ ¿ º ¾ µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 79/164
¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
¾
Ù Ö ¿ º ¿ Ñ Ô Ð Ó Õ Ù Î ́ Ê µ Ò
Ü ¾ Ê
́ Ü µ
Ê
Ê
Ä Ù Ó ¸ × Ò ¾ Á Æ ̧ Ñ Ñ
¼
º È Ó Ö Ð × Ù Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ö × Ø Ò Õ Ù
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ
¼
́
¼
É
µ
¬
¬
Î ́ É µ
·
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
¼
́
¼
É
µ
¼
́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ
·
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
¼
́
È
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ
Ý Ô Ð Ò Ó ¿ º ½ Ý ¿ º ¾ × Ó Ø Ò
̄
¾ Î ́ Ê µ · ½
¡
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 80/164
¼ È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
Ò Ó Ò Ð Ù × Ó Ò ̧ × Ò Ø Ö Ð Ò Ê º È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ Ô Ó Ö Ð Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º
¬
¬
¬
¬
Ê
Ê
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
Ê
́
µ
¬
¬
¬
¬
Ê
Î ́ Ê µ × Ù Ô
Ü ¾ Ê
́ Ü µ ́ Ü µ
Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð Õ Ù
Ê
Ð Ñ
½
Ê
¤
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ¾ Í Ò × Ù × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö Ð × Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ô Ù Ò Ø Ù Ð ¹
Ñ Ò Ø Ù Ò Ð Ñ Ø Õ Ù Ò Ó Ð Ó × º Ë Ð Ò Ù Ñ Ö Ó Ò Õ
¼
Õ
½
¼ ½ É Á ̧
× Á ¼ ½ Ý Ð × Ù Ò Ó Ò ×
Ò
Á Á Ê × Ô Ó Ö
Ò
́ Ü µ
́
½ ́ Ü Ý µ ¾ Õ
½
Õ
Ò
¼ ́ Ü Ý µ ¾ Õ
½
Õ
Ò
́ Ü µ
́
½ ́ Ü Ý µ ¾ ¼ ½ É Á
¼ ́ Ü Ý µ ¾ ¼ ½ É Á
Ò Á ¸ × Ø Ò Õ Ù
Ò
Ó Ò Ú Ö Ô Ù Ò Ø Ù Ð Ñ Ò Ø ´ Ô Ö Ó Ò Ó Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø µ Ý
Ò
× Ò Ø Ö Ð ¸ Ô Ö Ó Ò Ó × Ò Ø Ö Ð º
¿ º ¾ º Ü Ø Ò × Ó Ò Ð Ð × Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö Ð ×
Ù Ò Ù Ò Ó Ð Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × × Ñ Ù Ý Ñ Ô Ð ¸ Ø Ó Ú Ò Ó ×
× Ù ¬ Ò Ø Ô Ö Ñ Ù × Ô Ð Ó Ò × º × ¸ Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ú Ö Ñ Ó × Ù Ò Ó Ò ¹
Ó Ò × Ù ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ð Ù Ò Ô Ó Ó Ñ × Ð Õ Ù Ð Ó Ò Ø Ò Ù ¸ × Ø Ó
× ¸ Õ Ù Ù Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ð Ú Ó × Ó Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ö Ó × Ù Ò Ó Ò ×
Ó Ò Ø Ò Ù × º
Ê Ó Ö Ö Õ Ù Ð Ö Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê ×
Ö Ó ´ µ
̈
́ Ü ́ Ü µ µ ¾ Á Ê
¾
Ü ¾
©
Á Ò Ø Ù Ø Ú Ñ Ò Ø ¸ Ð Ð Ñ × Ù Ò Ø Ò Ó × Õ Ù Ð Ö Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ö Ó º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 81/164
¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
¾
½
Ä Ñ ¿ º ¾ Ë Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ó Ø Ñ Ó × Ê ¢ º
Ò Ø Ó Ò ×
Ð Ñ
Ñ ½
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
È Ö Ó ´ µ
Î ́ È µ ¼
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º Ë ¯ ¼ º Ó Ñ Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ ×
Ø Ò Õ Ù × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò ´ Ø Ó Ö Ñ º ½ ½ µ º Ä Ù Ó ´
¼ µ ́ Ü Ý ¾ µ
Ü Ý µ
¬
¬
́ Ü µ ́ Ý µ
¬
¬
¯
× ¸ × Ó Ñ Ó × Ñ
¼
¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù ´ µ ́ µ Ñ
¼
̄ Ý
́ µ Ñ
¼
´ ¿ º ¿ µ
Ò Ø Ó Ò × ¸ × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù ´ Ñ Ñ
¼
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
È Ö Ó ´ µ
Î ́ È µ
́ µ ́ µ
Ñ
¾
¬
¬
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ È Ö Ó ´ µ
¬
¬
Ö × Ð Ù Ò Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ò Ù Ý ¿ º ¿
¬
¬
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ È Ö Ó ´ µ
¬
¬
Ñ ́
̄
́ µ Ñ
· ½ µ
× ¸ Ñ Ñ
¼
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
È Ö Ó ´ µ
Î ́ È µ
́ µ ́ µ
Ñ
¾
Ñ ́
̄
́
µ Ñ
· ½ µ
̄ ́ µ ·
́ µ ́ µ
Ñ
̄ ́ · ½ µ
¤
È Ö Á Ê
Æ
Ó Ø Ó ¸ × ¬ Ò Ð Ñ Ø Ö Ó Ó Ñ Ó
Ñ ´ µ × Ù Ô
Ü Ý ¾
Ü Ý
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 82/164
¾ È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
́
̈
̈
̈
̈
̈
̈
̈
̈
Ñ ´ µ Ü Ý Ý Ü
Ù Ö ¿ º Ñ Ø Ö Ó Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Á Ê
¾
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º Ë Ê ¢ Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê
Ó Ø Ò Ê Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê Ò Ö Ó ´ µ ¸ Ó Ò × Ù Ò
Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ø Ó Ò × × Ò Ø Ö Ð Ò Ê º
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º Ë Ã ¾ Á Ê Ø Ð Õ Ù ´ Ü ¾ Ê µ
¬
¬
́ Ü µ
¬
¬
à ´ ¿ º µ
Ê Ù Ö Ö Ö Ñ Ó × Ð Ð Ñ ¿ º ½ º Ë ¯ ¼ Ö Ø Ö Ö Ó º Ù Ö Ó Ð Ð Ñ ¿ º ¾ ¸ ×
Ñ
¼
¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù ´ Ñ Ñ
¼
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
È Ö Ó ´ µ
Î ́ È µ ¯ ´ ¿ º µ
Ò Ó Ø Ñ Ó × È
£
Ñ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ È Ö Ó ´ µ ̧ Ê
£
Ñ
Ë
È ¾ È
£
Ñ
È º Ó Ñ Ó
Ê
£
Ñ
¼
× Ó Ñ Ô Ø Ó Ý × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê
£
Ñ
¼
× Ø Ò Õ Ù × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø
Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê
£
Ñ
¼
º Ä Ù Ó ´ ¼ µ ́ Ü Ý ¾ Ê
£
Ñ
¼
µ
Ü Ý µ ́ Ü µ ́ Ý µ ¯ ´ ¿ º µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 83/164
¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
¾
¿
Ë Ñ
½
Ñ
¼
Ø Ð Õ Ù ´ È ¾ È
Ñ
½
́ Ê µ µ Ñ ´ È µ º Ë Ñ Ñ
½
̧ ¾ Á Æ º
Ë Ò ´
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
¸ ́
¼
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò × º ×
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
È Ê
£
Ñ
¼
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ
·
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
È ¶ Ê
£
Ñ
¼
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
É È
¬
¬
́
¼
É
µ ́
È
µ
¬
¬
Î ́ É µ
Õ Ù ¸ Ó Ò ¿ º Ý ¿ º ¸ Ñ Ô Ð Õ Ù
¯ Î ́ Ê µ · ¾ Ã
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
È ¶ Ê
£
Ñ
¼
Î ́ È µ
Ý Ó Ò ¿ º Ö × Ù Ð Ø
¯ Î ́ Ê µ · ̄ ½ Ã
¤
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ¿ º ½ Ë Ê
¢
Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê
Á Ê Ó Ø
Ò Ê Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê
Ò
Ë
Ò
½
Ö Ó ´
µ ¸ Ó Ò
× Ó Ò Ø Ò Ù º
Ò Ø Ó Ò × × Ò Ø Ö Ð Ò Ê º
¿ º ¾ º Ì Ó Ö Ñ Ù Ò
Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ Ü Ô Ö × Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò ¾ Ú Ö Ð × Ó Ñ Ó
Ð Ô Ð Ó Ò Ø Ö ¾ Ò Ø Ö Ð × Ò Ù Ò Ú Ö Ð Ó Ô Ó Ø × × Ñ Ò Ñ × Ý
Ô Ö Ñ Ø × Ó Ö Ö Ø Ö Ö Ñ Ò Ø Ð Ó Ö Ò × Ø × Ò Ø Ö Ð × Ò Ù Ò Ú Ö Ð
Ù Ò Ó Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ö × Ó Ò Ø Ò Ù º
Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð Ö Ñ Ó × Ò Ð × Ó Ò ¿ º ¿ Ò Á Ê
Æ
º
Ì Ó Ö Ñ ¿ º ½ Ë Ê ¢ Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 84/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
½ º Ë Ò Ø Ö Ð Ò Ê Ý ́ Ü ¾ µ ́ Ü ¡ µ Ò Ø Ö Ð Ò ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ê
́ Ü Ý µ Ý
¡
Ü
¾ º Ë Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ê
́ Ü Ý µ Ý
¡
Ü
́ Ü Ý µ Ü
¡
Ý
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ¿ È Ö Ê ¼ ½
¢ ¼ ½ ¸ Ð Ù Ð Ö
Ê
Ü
¾
· Ý
Ë Ó Ð Ù
Ó Ò º È Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ù Ò ¸ × Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó ¸ × Ø Ò Õ Ù
Ê
Ü
¾
· Ý
½
¼
½
¼
Ü
¾
· Ý Ý
¡
Ü
½
¼
Ü
¾
Ý ·
Ý
¾
¾
¬
¬
¬
¬
½
Ý ¼
¡
Ü
½
¼
Ü
¾
·
½
¾
Ü
Ü
¿
¿
·
Ü
¾
¬
¬
¬
¬
½
¼
£
Ñ Ô Ð Ó ¿ º Î Ñ Ó × Ù Ò × Ó Ò Ð Õ Ù Ð × Ò Ø Ö Ð × Ø Ö × Ü × Ø Ò Ý × Ó Ò
Ù Ð × ¸ Ô Ö Ó Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ó × Ò Ø Ö Ð º
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ö Ó Ù Ò Ø Ö Ó Ê ¼ ½
¾
Á Ê
¾
Ý Ð × Ù × Ó Ò
Ù Ö Ó × ´ Ê
µ
¾ Á Æ
Ó Ò Ø Ò Ó × Ò Ð Ô Ó Ö Ð ¬ Ù Ö ¿ º ¾ º º Ú Ñ Ó ×
Ê
Ò Ù Ö Ó × Ù Ð × Ê
´ ½ µ
Ê
´ ¾ µ
Ê
´ ¿ µ
Ê
´ µ
º ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò
Ê Á Ê Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ
½
Î ́ Ê
µ
× ́ Ü Ý µ ¾ Ò Ø Ê
´ ½ µ
Ò Ø Ê
´ ¿ µ
½
Î ́ Ê
µ
× ́ Ü Ý µ ¾ Ò Ø Ê
´ ¾ µ
Ò Ø Ê
´ µ
¼ Ò Ó Ø Ö Ó × Ó
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 85/164
¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
¾
Ê
¿
¹
Ê
½
Ê
¾
Ê
Ê
´ µ
½
Ê
´ ½ µ
½
Ê
´ ¾ µ
½
Ê
´ ¿ µ
½
Ê
´ µ
¾
Ê
´ ½ µ
¾
Ê
´ ¾ µ
¾
Ê
´ ¿ µ
¾
Ù Ö ¿ º Ð Ó Ñ Ò Ó Ð Ñ Ô Ð Ó ¿ º
È Ö Ý ¾ ¼ ½ × Ð Ö Ó Õ Ù
½
¼
́ Ü Ý µ Ü ¼
Ý Ò Ð Ó Ñ Ò Ø Ô Ö Ü ¾ ¼ ½
½
¼
́ Ü Ý µ Ý ¼
Ä Ù Ó ¸ Ð × Ò Ø Ö Ð × Ø Ö × × Ó Ò Ñ × Ò Ù Ð × ¸ × Ø Ó ×
½
¼
½
¼
́ Ü Ý µ Ý Ü
½
¼
½
¼
́ Ü Ý µ Ü Ý ¼
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 86/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
Ù Ö ¿ º Ä Ù Ò Ó Ò Ð Ñ Ô Ð Ó ¿ º
È Ö Ó Ò Ú Ò Ö Ò Ó × Õ Ù Ò Ó × Ò Ø Ö Ð ¸ × × Ù ¬ Ò Ø Ú Ö Õ Ù Ò Ó ×
Ò Ø Ö Ð º Ò Ø Ó ¸ × Ø Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ
́
½
Î ́ Ê
µ
× ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¼ Ò Ó Ø Ö Ó × Ó
Ë Ù Ö Ò Ø Ö Ð ¸ Ó Ñ Ó Ð Ó × Ê
× Ó Ò × Ù Ò Ø Ó × ¸ × Ø Ò Ö Õ Ù
Ê
¾ Á Æ
Ê
Ô Ö Ó
Ê
½
Ó Ò Ð Ó Õ Ù Ò Ó Ô Ù × Ö Ò Ø Ö Ð Ò Ê º
¿ º ¾ º Á Ò Ø Ö Ð Ò Á Ê
¾
× Ó Ö Ó Ñ Ò Ó × Ò Ö Ð ×
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ü Ø Ò Ö Ñ Ó × Ð ¬ Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ò × Ö Ö Ð Ò ¹
Ø Ö Ó Ò Ù Ò Ó Ò × × Ó Ö Ð Ù Ò Ó × Ó Ñ Ò Ó × Ù Ò Ø Ò Ø Ó Ñ × Ò Ö Ð × Õ Ù
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 87/164
¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
¾
Ð Ó × Ö Ø Ò Ù Ð Ó × º
¬ Ò Ó Ò ¿ º ¿ Ë Ê Á Ê
¾
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê ̧ Á Ê º Ò Ó Ø Ñ Ó ×
¼
Ê Á Ê Ð Ù Ò Ó Ò Ô Ó Ö ¸ Ô Ö Ü ¾ Ê
¼
́ Ü µ
́
́ Ü µ Ü ¾
¼ Ü
¾
Ë
¼
× Ò Ø Ö Ð × Ó Ö Ê Ò Ø Ó Ò × × Õ Ù × Ò Ø Ö Ð × Ó Ö Ý
Ê
¼
¬ Ò Ó Ò ¿ º Ñ Ó × Õ Ù Á Ê
¾
×
̄ Ø Ô Ó ½ × Ý × Ó Ð Ó × ¾ Á Ê ̧
½
¾
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ×
Ø Ð × Õ Ù ́ Ü ¾ µ
½
́ Ü µ
¾
́ Ü µ Ý
́ Ü Ý µ ¾ Á Ê
¾
Ü
½
́ Ü µ Ý
¾
́ Ü µ
̄ Ø Ô Ó ¾ × Ý × Ó Ð Ó ×
¾ Á Ê ̧
½
¾
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ×
Ø Ð × Õ Ù ́ Ü ¾ µ
½
́ Ü µ
¾
́ Ü µ Ý
́ Ü Ý µ
¾ Á Ê
¾
Ý
½
́ Ý µ
Ü
¾
́ Ý µ
̄ Ø Ô Ó ¿ × Ý × Ó Ð Ó × × Ø Ô Ó ½ Ý ¾ ¸
̄ Ð Ñ Ò Ø Ð × Ý × Ó Ð Ó × × Ø Ô Ó ½ Ó ¾ º
Ë Ê Á Ê
¾
× Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ý Ê × Ù Ò Ö Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ò ×
¼
´ Ô Ó Ö Ð ¬ Ò Ó Ò ¿ º ¿ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê × Ð Ú Ó × Ó Ö Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ø
Ö Ó × Ù Ò Ó Ò × º Ä Ù Ó
Ê
Ü × Ø º
Ò Ò Ö Ð ¸ × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ê Á Ê Ó Ò Ê
Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ý Ó Ñ Ò Ó Ð Ø Ô Ó ½ ¸ Ñ Ó ×
́ Ü Ý µ ¾ Á Ê
¾
Ü
½
́ Ü µ Ý
¾
́ Ü µ
Ó Ò ¾ Á Ê ̧
½
¾
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º Ò Ø Ó Ò × ¸ Ö × Ð
Ø Ó Ö Ñ Ù Ò ´ Ø Ó Ö Ñ ¿ º ½ µ ¸ × Ø Ò Õ Ù
¾
́ Ü µ
½
́ Ü µ
́ Ü Ý µ Ý Ü
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 88/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
Ù Ö ¿ º Ó Ñ Ò Ó Ð Ø Ô Ó ½ Õ Ù Ò Ó × Ð Ø Ô Ó ¾ Ý Ó Ñ Ò Ó Ð Ø Ô Ó ¿
Ñ Ô Ð Ó ¿ º Ð Ù Ð Ö
Ì
́ Ü
¿
Ý · Ó × Ü µ Ý Ü
Ó Ò
Ì
́ Ü Ý µ
¾ Á Ê
¾
¼
Ü
¾ ¼
Ý
Ü
Ë Ó Ð Ù
Ó Ò º Æ Ó Ø Ö Õ Ù Ì × Ù Ò Ö Ó Ò Ð Ø Ô Ó ½ º È Ó Ö ¬ Ò Ó Ò × Ø Ò
Õ Ù
Ì
́ Ü
¿
Ý · Ó × Ü µ Ý Ü
¼ ¾
¾
½
Ì
́ Ü
¿
Ý · Ó × Ü µ Ý Ü
Ý ¸ Ò Ú Ö Ø Ù Ð Ø Ó Ö Ñ Ù Ò
¾
¼
¾
¼
½
Ì
́ Ü
¿
Ý · Ó × Ü µ Ý Ü
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 89/164
¿ º ¿ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
Æ
Å × Ù Ò ¸ Ó Ò Ð ¬ Ò Ó Ò Ì
¾
¼
Ü
¼
́ Ü
¿
Ý · Ó × Ü µ Ý Ü
¾
¼
́
Ü
¿
Ý
¾
¾
· Ý Ó × Ü µ
¬
¬
¬
¬
Ü
Ý ¼
Ü
¾
¼
Ü
¾
· Ü Ó × Ü Ü
́
Ü
½ ¾
· Ó × Ü · Ü × Ò Ü µ
¬
¬
¬
¬
¾
¼
·
¾
½
£
¿ º ¿ Á Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò Ò Á Ê
Æ
Ä × Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Õ Ù Ò Ó × Ò Ð Ù Ý Ò Ò × Ø × Ó Ò × Ó Ò Ò Ø × Ð ×
× Ò Ð × Ó Ò ¿ º ¾ ¸ Ö Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò Ò Á Ê
¾
º
¿ º ¿ º ½ ¬ Ò Ó Ò ×
Ê Á Ê
Æ
× Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Ý × Ó Ð Ó × Ê
½
½
¢ ¡ ¡ ¡ ¢
Ò
Ò
Ó Ò
¾ Á Ê º
È Ö Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ê
½
½
¢ ¡ ¡ ¡ ¢
Ò
Ò
× ¬ Ò × Ù Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ó Ñ Ó
Î ́ Ê µ
Ò
½
È Ö Ñ ¾ Á Æ ¸ Ð Ñ ¹ Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ê
½
½
¢ ¡ ¡ ¡ ¢
Ò
Ò
× Á
½
¢ ¡ ¡ ¡ ¢ Á
Ò
Á
¾ È
½ Ò Ó Ò È
Ñ ¹ Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó
½ Ò º Ä Ò Ó Ø Ö Ñ Ó × È
Ñ
́ Ê µ º
Ó Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ê Á Ê
Æ
Ý Ñ ¾ Á Æ ¸ Ñ Ó × Õ Ù ´
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ù Ò
× Ð Ó Ò ´ Ô Ö È
Ñ
́ Ê µ µ × ´ È ¾ È
Ñ
́ Ê µ µ
È
¾ È º
Æ Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ñ ¹ Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò × Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ý Õ Ù
Ù Ò Ñ ¹ Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò × ¬ Ò Ø ¸ Ð Ù Ó Ð × Ù Ò Ø ¬ Ò Ó Ò Ø Ò × Ò Ø Ó
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 90/164
¼ È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
¬ Ò Ó Ò ¿ º Ë Ñ ¾ Á Æ ̧ Ê Á Ê
Æ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê Ý Ù Ò × Ð ¹
Ó Ò ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
º Ë ¬ Ò Ð × Ù Ñ Ê Ñ Ò Ò × Ó Ý ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
Ó Ñ Ó
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
È
µ Î ́ È µ
¬ Ò Ó Ò ¿ º Ë Ê Á Ê
Æ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê º Ñ Ó × Õ Ù ×
Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ò Ê × Ý × Ó Ð Ó × ́ Ë ¾ Á Ê µ
¬
¬
¬
Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ Ë
¬
¬
¬
̄
Ô Ö Ø Ó Ð Ó Ò Ð Ó × ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
º
Ë × Ð Ð Ñ Ò Ø Ö Ð ´ Ê Ñ Ò Ò µ × Ó Ö Ê Ý × Ò Ó Ø
Ê
Ä Ò Ø Ö Ð Ø Ñ Ò × Ò Ó Ø
Ê
́ Ü µ Ü
¿ º ¿ º ¾ È Ö Ó Ô × × ×
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º Ë Ê Á Ê
Æ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê º Ë × Ò Ø Ö Ð
Ò Ê Ò Ø Ó Ò × × Ó Ø Ò Ê º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º Ë Ê Á Ê
Æ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê º Ë Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø ×
¯ ¯ ¼ Ñ
¼
¾ Á Æ Ñ Ñ
¼
́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
× Ð Ó Ò ̧ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
× Ð Ó Ò
¬
¬
¬
Ë ́ ́
¼
È
µ
È ¾ È
́ Ê µ
µ Ë ́ ́
È
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
µ
¬
¬
¬
¯
̄ × Ò Ø Ö Ð Ò Ê º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ½ ¼ Ë Ê Á Ê
Æ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê º Ë × Ó Ò Ø Ò Ù
Ò Ê Ò Ø Ó Ò × × Ò Ø Ö Ð Ò Ê
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 91/164
¿ º ¿ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
Æ
½
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ½ ½ Ë Ê Á Ê
Æ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ò Ø ¹
Ö Ð × ¸ ¾ Á Ê º Ò Ø Ó Ò ×
½ º ´ Ð Ò Ð µ · × Ò Ø Ö Ð Ý
Ê
·
Ê
·
¾ º ´ Ñ Ó Ò Ó Ø Ó Ò µ × ́ Ü ¾ Ê µ ́ Ü µ ́ Ü µ Ò Ø Ó Ò ×
Ê
Ê
¿ º × Ò Ø Ö Ð Ò Ê Ý
¬
¬
¬
¬
Ê
¬
¬
¬
¬
Ê
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ½ ¾ Ë Ê Á Ê
Æ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê º Ë × Ò Ø Ö Ð
Ò Ê Ò Ø Ó Ò ×
Î ́ Ê µ Ò
Ü ¾ Ê
́ Ü µ
Ê
Î ́ Ê µ × Ù Ô
Ü ¾ Ê
́ Ü µ
¿ º ¿ º ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò × Ù × Ó Ò × Ù Ò Ó Ò ×
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ½ ¿ Ë Ê Á Ê
Æ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ ́
µ
¾ Á Æ
× Ù × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × ¸
Ê Á Ê ¸ Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ò Ê Ê Á Ê º Ò Ø Ó Ò ×
× Ò Ø Ö Ð Ò Ê Ý
Ê
Ð Ñ
½
Ê
¿ º ¿ º Ü Ø Ò × Ó Ò Ð Ð × Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö Ð ×
Ê Ó Ö Ö Õ Ù Ð Ö Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê
Æ
Á Ê
Å
×
Ö Ó ´ µ ́ Ü ́ Ü µ µ ¾ Á Ê
Æ · Å
Ü ¾
Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ × Ò Ð Ó Ð Ð Ð Ñ ¿ º ¾ º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 92/164
¾ È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
Ä Ñ ¿ º ¿ Ë Ê
¼
Á Ê
Æ ½
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê
¼
Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ó Ø Ñ Ó ×
Ê Ê
¼
¢ º Ò Ø Ó Ò ×
Ð Ñ
Ñ ½
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
È Ö Ó ´ µ
Î ́ È µ ¼
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º Ë ¯ ¼ º Ó Ñ Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê
¼
Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ × Ø Ò
Õ Ù × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê
¼
º Ä Ù Ó ´ ¼ µ ́ Ü Ý ¾ Ê
¼
µ
Ü Ý µ
¬
¬
́ Ü µ ́ Ý µ
¬
¬
¯
× ¸ × Ó Ñ Ó × Ñ
¼
¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù Î ́ Ê µ Ñ
¼
̄ Ý Ñ ´ È µ ¸ Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö
È
¾ È
Ñ
́ Ê
¼
µ º Ò Ø Ó Ò × ¸ × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù ´
Ñ
Ñ
¼
µ
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ
È Ö Ó ´ µ
Î ́ È µ
Î ́ Ê µ
Ñ
Æ
¬
¬
È ¾ È
Ñ
́ Ê µ È Ö Ó ´ µ
¬
¬
Î ́ Ê µ
Ñ
Æ
Ñ
Æ ½
́
̄
́ µ Ñ
· ½ µ
¯ Î ́ Ê
¼
µ ·
Î ́ Ê µ
Ñ
̄ ́ Î ́ Ê
¼
µ · ½ µ
¤
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ½ Ë Ê
¼
Á Ê
Æ ½
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Ê
¼
¢
Á Ê
Æ
Ö ¹
Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê Ó Ø Ò Ê Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê Ò Ö Ó ´ µ ¸ Ó Ò Ê
¼
× Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ø Ó Ò × × Ò Ø Ö Ð Ò Ê º
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ¿ º ¾ Ë Ê
¼
Á Ê
Æ ½
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Ê
¼
¢ Á Ê
Æ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸
Ê Á Ê Ó Ø Ò Ê Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê Ò
Ë
Ò
½
Ö Ó ´
µ ¸ Ó Ò
Ê
¼
× Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ø Ó Ò × × Ò Ø Ö Ð Ò Ê º
¿ º ¿ º Ì Ó Ö Ñ Ù Ò
Ä Ñ ¿ º Ë Ê Á Ê
Æ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¸ Ê Á Ê ̧ Ñ
£
¾ Á Æ º Ë × Ò Ø Ö Ð
Ò Ê Ò Ø Ó Ò ×
Ë ¾ È
Ñ
£
́ Ê µ
Î ́ Ë µ Ò
Ü ¾ Ë
́ Ü µ
Ê
Ë ¾ È
Ñ
£
́ Ê µ
Î ́ Ë µ × Ù Ô
Ü ¾ Ë
́ Ü µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 93/164
¿ º ¿ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
Æ
¿
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º Ò Ø Ó ¸ × Ð Ö Ó Õ Ù Ü ¾ Ê
Ë ¾ È
Ñ
£
́ Ê µ
½
Ë
́ Ü µ Ò
Ü ¾ Ë
́ Ü µ ́ Ü µ
Ë ¾ È
Ñ
£
́ Ê µ
½
Ë
́ Ü µ × Ù Ô
Ü ¾ Ë
́ Ü µ
Á Ò Ø Ö Ò Ó × Ó Ò Ð Ù Ý Ð × Ù Ð Ù × ¸ Ò Ó Ø Ò Ó Õ Ù Ô Ö Ë ¾ È
Ñ
£
́ Ê µ
× Ø Ò
Ê
½
Ë
Ë
½ Î ́ Ë µ
¤
Ì Ó Ö Ñ ¿ º ¾ Ë Ò Æ Å ¾ Á Æ ̧ Á Ê
Æ
̧ Á Ê
Å
Ö Ø Ò Ù Ð Ó × ¸ Ò Ó Ø Ñ Ó ×
Ê ¢ Á Ê
Æ · Å
Ö Ø Ò Ù Ð Ó º Ë Ê Á Ê º
½ º Ë Ò Ø Ö Ð Ò Ê Ý ́ Ü ¾ µ ́ Ü ¡ µ Ò Ø Ö Ð Ò ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ê
́
́ Ü Ý µ Ý µ Ü
¾ º Ë Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ê
́
́ Ü Ý µ Ý µ Ü
́
́ Ü Ý µ Ü µ Ý
Ñ Ó × Ø Ö
Ó Ò º Ä × Ù Ò Ô Ö Ø × Ó Ò × Ù Ò Ö Ø Ð Ô Ö Ñ Ö ¸
Ò Ú Ö Ø Ù Ð Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ¿ º È Ö Ó Ñ Ó × Ð Ô Ö Ñ Ö Ô Ö Ø º
¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò Á Á Ê Ô Ó Ö Á ́ Ü µ
Ê
́ Ü Ý µ Ý º Ä Ù Ó
× Ø Ô Ö Ó Ö Õ Ù Á × Ò Ø Ö Ð Ò Ý
Á
Ê
Ò Ø Ó ¸ × ¯ ¼ Ö Ø Ö Ö Ó º È Ó Ö Ù Ò Ô Ö Ø ¸ Ô Ó Ö ¬ Ò Ó Ò Ò Ø Ö ¹
Ð ¸ ´ Ñ
¼
¾ Á Æ µ ́ Ñ Ñ
¼
µ
¬
¬
¬
¬
Ê
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
É
µ Î ́ É µ
¬
¬
¬
¬
̄ ´ ¿ º µ
Ô Ö Ø Ó Ð Ó Ò Ð Ó × ´
É
µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 94/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ × Ñ Ñ
¼
¸ ́
É
µ
É
¾ È
Ñ
́ µ
× Ð Ó Ò Ö Ø Ö Ö º Æ Ó Ø Ö
Õ Ù
È
Ñ
́ Ê µ
̈
É
¢ É
É
¾ È
Ñ
́ µ É
¾ È
Ñ
́ µ
©
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ð Ó Ò ́
£
É
µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
Ô Ó Ö ´ Ô Ö É
¾ È
Ñ
́ µ É
¾
È
Ñ
́ µ µ
£
É
¢ É
́
É
Ý
£
µ ¸ Ó Ò Ý
£
Ø Ð Õ Ù ́
£
É
¢ É
µ
× Ù Ô
Ý ¾ É
́
É
Ý µ
̄ º × ¸ Ò Ú Ö Ø Ù Ð Ð Ñ ¿ º × Ø Ò Õ Ù
É
¾ È
Ñ
́ µ
Á ́
É
µ Î ́ É
µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
́
£
É
µ Î ́ É µ
É
¾ È
Ñ
́ µ
É
¾ È
Ñ
́ µ
× Ù Ô
Ý ¾ É
́
É
Ý µ Î ́ É
µ Î ́ É
µ
É
¾ È
Ñ
́ µ
É
¾ È
Ñ
́ µ
́
£
É
¢ É
µ Î ́ É
µ Î ́ É
µ
É
¾ È
Ñ
́ µ
É
¾ È
Ñ
́ µ
× Ù Ô
Ý ¾ É
́
É
Ý µ ́
£
É
¢ É
µ
¡
Î ́ É
µ Î ́ É
µ
¯ Î ́ Ê µ
Ó Ñ Ò Ò Ó Ó Ò ¿ º × Ó Ø Ò
É
¾ È
Ñ
́ µ
Á ́
É
µ Î ́ É
µ
Ê
̄
Î ́ Ê µ · ½
¡
× Ó Ò Ó ´
£
É
µ
É ¾ È
Ñ
́ Ê µ
Ø Ð Õ Ù ́
£
É
¢ É
µ Ò
Ý ¾ É
́
É
Ý µ · ̄ ¸ Ù Ò Ð Ù Ð Ó
Ò Ð Ó Ó Ô Ö Ñ Ø Ó Ø Ò Ö
̄
Î ́ Ê µ · ½
¡
É
¾ È
Ñ
́ µ
Á ́
É
µ Î ́ É
µ
Ê
Ò Ó Ò Ð Ù × Ó Ò ̧
¬
¬
¬
¬
É
¾ È
Ñ
́ µ
Á ́
É
µ Î ́ É
µ
Ê
¬
¬
¬
¬
̄
Î ́ Ê µ · ½
¡
¤
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 95/164
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 96/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
ß ¾ Á Ê ̧
½
¾
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ -
½
-
¾
¼
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù
́ Ü Ý Þ µ ¾ Á Ê
¿
Ü
½
́ Ü µ Ý
¾
́ Ü µ
-
½
́ Ü Ý µ Þ -
¾
́ Ü Ý µ
Ó Ò
¼
́ Ü Ý µ ¾ Á Ê
¾
Ü
½
́ Ü µ Ý
¾
́ Ü µ ̧
ß ¾ Á Ê ̧
½
¾
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ -
½
-
¾
¼
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù
́ Ü Ý Þ µ ¾ Á Ê
¿
Ý
½
́ Ý µ Ü
¾
́ Ý µ
-
½
́ Ü Ý µ Þ -
¾
́ Ü Ý µ
Ó Ò
¼
́ Ü Ý µ ¾ Á Ê
¾
Ý
½
́ Ý µ Ü
¾
́ Ý µ ̧
̄ Ø Ô Ó ¾ × Ý × Ó Ð Ó × Ð Ù Ò Ð × × Ù Ò Ø × ¬ Ö Ñ Ó Ò × × Ö Ø
ß ¾ Á Ê ̧
½
¾
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ -
½
-
¾
¼
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù
́ Ü Ý Þ µ ¾ Á Ê
¿
Ü
½
́ Ü µ Þ
¾
́ Ü µ
-
½
́ Ü Þ µ Ý -
¾
́ Ü Þ µ
Ó Ò
¼
́ Ü Þ µ ¾ Á Ê
¾
Ü
½
́ Ü µ Þ
¾
́ Ü µ ̧
ß ¾ Á Ê ̧
½
¾
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ -
½
-
¾
¼
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù
́ Ü Ý Þ µ ¾ Á Ê
¿
Ý
½
́ Þ µ Ü
¾
́ Þ µ
-
½
́ Ü Þ µ
Ý
-
¾
́ Ü Þ µ
Ó Ò
¼
́ Ü Þ µ ¾ Á Ê
¾
Þ
½
́ Ý µ Ü
¾
́ Þ µ ̧
̄ Ø Ô Ó ¿ × Ý × Ó Ð Ó × Ð Ù Ò Ð × × Ù Ò Ø × ¬ Ö Ñ Ó Ò × × Ö Ø
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 97/164
¿ º ¿ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ Á Ê
Æ
ß ¾ Á Ê ̧
½
¾
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ -
½
-
¾
¼
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù
́ Ü Ý Þ µ ¾ Á Ê
¿
Ý
½
́ Ý µ Þ
¾
́ Ý µ
-
½
́ Ý Þ µ Ü -
¾
́ Ý Þ µ
Ó Ò
¼
́ Ý Þ µ
¾ Á Ê
¾
Ý
½
́ Ý µ
Þ
¾
́ Ý µ
̧
ß ¾ Á Ê ̧
½
¾
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ -
½
-
¾
¼
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù
́ Ü Ý Þ µ ¾ Á Ê
¿
Þ
½
́ Þ µ Ý
¾
́ Þ µ
-
½
́ Ý Þ µ Ü -
¾
́ Ý Þ µ
Ó Ò
¼
́ Ý Þ µ ¾ Á Ê
¾
Þ
½
́ Þ µ Ý
¾
́ Þ µ ̧
̄ Ø Ô Ó × Ý × Ó Ð Ó × × Ø Ô Ó ½ ¸ ¾ Ý ¿ ¸
̄ Ð Ñ Ò Ø Ð × Ý × Ó Ð Ó × × Ø Ô Ó ½ ¸ ¾ Ó ¿ º
Ë Ê Á Ê
Æ
× Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ý Ê × Ù Ò Ö Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ò ×
¼
´ Ô Ó Ö Ð ¬ Ò Ó Ò ¿ º µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê × Ð Ú Ó × Ó Ö Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ø
Ö Ó × Ù Ò Ó Ò × º Ä Ù Ó
Ê
Ü × Ø º
Ñ Ô Ð Ó ¿ º Ë Ï
Á Ê
¿
Ð Ö Ó Ò Ó Ñ Ô Ö Ò Ò Ø Ö Ð Ó × Ô Ð Ò Ó × Ü ¼ ̧
Ý ¼ ̧ Þ ¾ Ý Ð × Ù Ô Ö ¬ Þ Ü
¾
· Ý
¾
º Ð Ù Ð Ö
Ê
Ï
Ü º
Ë Ó Ð Ù
Ó Ò º Ó Ñ Ó × Ö Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ï È Ó Ñ Ó × × Ö Ö Ð Ó Ó Ñ Ó
Ù Ò Ó Ñ Ò Ó Ø Ô Ó ½ ¸ × Ö
Ï ́ Ü Ý Þ µ ¾ Á Ê
¿
¼ Ü
Ô
¾ ¼ Ý
Ô
¾ Ü
¾
Ü
¾
· Ý
¾
Þ ¾
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 98/164
È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
Ä Ù Ó ¸ Ö × Ð Ø Ó Ö Ñ Ù Ò ´ Ø Ó Ö Ñ ¿ º ¾ µ × Ø Ò
Ï
Ü
Ô
¾
¼
Ô
¾ Ü
¾
¼
¾
Ü
¾
· Ý
¾
Ü Þ Ý Ü
Ô
¾
¼
Ô
¾ Ü
¾
¼
¾ Ü Ü ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ý Ü
Ô
¾
¼
´ ¾ Ü Ý Ü
¿
Ý Ü
Ý
¿
¿
µ
¬
¬
¬
¬
Ô
¾ Ü
¾
Ý ¼
Ü
Ô
¾
¼
Ü ´ ¾
Ô
¾ Ü
¾
Ü
¾
Ô
¾ Ü
¾
½
¿
´ ¾ Ü
¾
µ
¿ ¾
µ Ü
Ô
¾
¼
Ü ́
¾
¿
´ ¾ Ü
¾
µ
¿ ¾
µ Ü
Ý ¸ Ò Ó Ð Ñ Ó Ú Ö Ð Ù ¾ Ü
¾
¾
¼
¾
¿
½
¾
Ù
¿ ¾
Ù
½
¿
¾
Ù
¾
¬
¬
¬
¬
¾
¼
¾
½
¾
¾
Ô
¾
½
£
Ö Ó ¿ º ½ À Ð Ð Ö Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ð Ö Ó Ò Ó Ø Ô Ó Ö Ð Ó × Ô Ö Ó Ð Ó ×
Þ Ü
¾
· Ý
¾
Ý Þ ½ ¼ Ü
¾
¾ Ý
¾
º
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð
Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ò Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð × Ø Ò Õ Ù ×
× Ý Ø Ú ´ Ñ × Ð Ù Ò × Ô Ó Ø × × Ó Ò Ð × µ Ò Ø Ó Ò ×
́ Ø µ Ø
½
́ µ
½
́ µ
́ ́ × µ µ
¼
́ × µ ×
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 99/164
¿ º º Ì Ç Ê Å Ä Å Á Ç Î Ê Á Ä
Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø Ô Ó Ñ Ó × × Ö Ö
´ µ
́ Ø µ Ø
́ ́ × µ µ
¼
́ × µ ×
Æ Ù × Ø Ö Ó Ô Ö Ó Ô Ó × Ø Ó × Ü Ø Ò Ö × Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ú Ö × Ú Ö Ð × º Î Ñ Ó ×
Ó Ñ Ò Þ Ö Ó Ò Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ñ × × Ñ Ô Ð ¸ Ð Ð Ò Ð º Ë Ì ¼ ½
¾
£
Ì ́ µ ̧ Ì ́ Ü Ý µ
Ü
Ý
¡
Ó Ò ¾ Å
¾ ¾
́ Á Ê µ
́ · · µ
¹
¹ £
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
£
½
½
£
́ µ
́ µ
¹
Ù Ö ¿ º Ñ Ó Ú Ö Ð ¸ × Ó Ù Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ò Ð
Ë Ø Ò Õ Ù Î ́ µ ½ Ý
Î ́
£
µ
¬
¬
¬
¬
́ µ ¡ ́ µ
Ô
¾
·
¾
Ô
¾
·
¾
¬
¬
¬
¬
Ø
×
Î ́
£
µ Î ́ µ Ø
× Ð Ú Ö Õ Ù Ù Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ð Ó × Ù Ñ Ô Ð Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ò
Á Ê
Æ
º Å × Ù Ò ¸ Ô Ö
£
Á Ê ¸ Ù Ö Ó Ð ¬ Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ð
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 100/164
½ ¼ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
Ê Ñ Ò Ò × Ö Þ Ó Ò Ð × Ö Ö Ð Ó × Ù Ò Ø
£
Ð Ñ
Ñ
È ¾ È
Ñ
́ µ
́ Ì ́
È
µ µ Î ́ Ì ́ È µ µ ́
È
¾ È µ
Ð Ñ
Ñ
È ¾ È
Ñ
́ µ
́ Ì ́
È
µ µ Î ́ È µ Ø
Æ Ì Ø
È Ö Ù Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ñ × Ò Ö Ð ´ Ò Ó Ð Ò Ð µ ¸ × Ô Ù Ô Ò × Ö Õ Ù Ð
Ö Ò Ð Ò Ó × Ù Ò Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò Ð Ò Ð Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ò Ó
Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó ¸ Ð Ù Ó × Ö Þ Ó Ò Ð Ô Ò × Ö Õ Ù Ð Ó Ò Ó Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò
× Ñ Ô Ò Ö Ð Ô Ô Ð Ð Ñ Ø Ö Þ Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ñ × Ò Ö Ð º Ò Ø Ó ¸
× Ø Ò Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ ´ Ô Ö Ð Ó × Ø Ð Ð × ¸ Ú × Ð × Ó Ò º µ
Ì Ó Ö Ñ ¿ º ¿ ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Î Ö Ð × µ
Ë ª Ú ¹ Ñ Ð Ý Í Î Ù Ò Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó ̧ ª Í º Ë ´ ª µ Á Ê
Ú ¹ Ò Ø Ö Ð º Ò Ø Ó Ò × Æ ª Á Ê × Ú ¹ Ò Ø Ö Ð Ý
´ ª µ
́ Ü µ Ü
ª
́ ́ Ý µ µ Ø ́ Ý µ Ý
Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × Ö Ô Ó × Ø Ö Ó Ö ¹
Ñ Ò Ø ´ Ø Ó Ö Ñ º µ º
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ´ Ò Ø Ö Ð Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × µ Ð Ù Ð Ö
Ð Ó ´ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý
Ó Ò
́ Ü Ý µ
¾
Ü
¾
· Ý
¾
¾
Ü
¼ Ý
¼
Ë Ó Ð Ù
Ó Ò º Î Ñ Ó × Ó Ò × Ö Ö Ð Ñ Ó Ú Ö Ð
Ü Ö Ó ×
Ý Ö × Ò
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 101/164
¿ º º È Ä Á Á Ç Æ Ë ½ ¼ ½
× Ö ¸ Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ì ́ Ö µ ́ Ö Ó × Ö × Ò µ º Æ Ó Ø Ö Õ Ù
Ì ́ Ö µ
Ó × Ö × Ò
× Ò Ö Ó ×
Ý ×
Ø Ì ́ Ö µ Ö
Ò Ó Ø Ñ Ó ×
Ì
½
́ µ
́ Ö µ ¾ Á Ê
¾
Ö ¼ ¾
¢ ¼ ¾
Ä Ù Ó ¸ Ò Ú Ö Ø Ù Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð
Ì ́ µ
Ð Ó ´ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý
Ð Ó ´ Ö
¾
µ Ö Ö
Ý ¸ Ó Ò Ù Ò
¾
¼
Ð Ó ´ Ö
¾
µ Ö Ö
¾
½
¾
¾
¾
Ð Ó × ×
́
¾
Ð Ó
¾
¾
¾
Ð Ó
¾
·
¾
µ
£
¿ º Ô Ð Ó Ò ×
¿ º º ½ Ò Ø Ö Ó Ñ ×
Ë Á Ê
¾
Ù Ò Ô Ð Ý Á Ê Ð Ò × ´ Ñ × µ º Ò Ø Ó Ò × Ð
Ñ × Ø Ó Ø Ð Ð Ô Ð × Ø Ô Ó Ö
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 102/164
½ ¼ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
Ý Ð × Ó Ó Ö Ò × ´ Ü Ý µ Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × Ð Ô Ð × Ø Ò × Ô Ó Ö
Ü
Ê Ê
Ü ́ Ü Ý µ Ý Ü
Å
Ý
Ê Ê
Ý ́ Ü Ý µ Ý Ü
Å
Ð × Ó Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ò Ð Ó Ó º
¿ º º ¾ Å Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö
Ë Ï Á Ê
¿
Ù Ò × Ó Ð Ó Ò × Ï Á Ê º Ò Ø Ó Ò × Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó ×
Ò Ö × Ø Ò Ó × Ô Ó Ö
Á
Ü
Ï
́ Ü Ý Þ µ ́ Ý
¾
· Þ
¾
µ Þ Ý Ü
Á
Ý
Ï
́ Ü Ý Þ µ ́ Ü
¾
· Þ
¾
µ Þ Ý Ü
Á
Þ
Ï
́ Ü Ý Þ µ ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Þ Ý Ü
Ñ Ô Ð Ó ¿ º À Ð Ð Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × Ð Ö Ó Ò Ï Ó Ñ Ô Ö Ò Ò Ø Ö Ð
Ô Ð Ò Ó Ü Ý Ý Ð × Ñ × Ö Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
½ ̧ Þ ¼ ¸ Ò × ́ Ü Ý µ ½ ̧
́ Ü Ý µ ¾ Ï º
Ë Ó Ð Ù
Ó Ò º Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö ¸ Ô Ó Ö × Ñ Ø Ö Ü Ý ¼ º
È Ö Ð Ù Ð Ö Þ ¸ Ú Ñ Ó × Ö Ù Ò Ñ Ó Ú Ö Ð Ó Ó Ö Ò ×
× Ö ×
Ü Ö × Ò Ó ×
Ý Ö × Ò × Ò
Þ Ö Ó ×
×
Ï
Þ
Ì
½
́ Ï µ
Ö Ó × Ø Ì
Ì ́ Ö µ
¾
× Ò Ó × Ö Ó × Ó × Ö × Ò × Ò
× Ò × Ò Ö Ó × × Ò Ö × Ò Ó ×
Ó × Ö × Ò ¼
¿
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 103/164
¿ º º Ç Å Æ Ì Ê Á Ç Ë Ê Ä È
Á Ì Í Ä Ç ½ ¼ ¿
Ø Ì ́ Ö µ ́ ½ µ
¿ · ½
́ Ö × Ò × Ò µ ́ Ö × Ò
¾
× Ò Ö Ó ×
¾
× Ò µ
· ́
½ µ
¿ · ¾
́ Ö × Ò Ó × µ ́
Ö × Ò
¾
Ó ×
Ö Ó ×
¾
Ó × µ
Ö
¾
× Ò × Ò
¾
· Ö
¾
× Ò Ó ×
¾
Ö
¾
× Ò
Ó Ñ Ò Ò Ó Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö
Ï
Þ
½
¼
¾
¼
¼
́ Ö Ó × µ Ö
¾
× Ò Ö
Ö
¬
¬
¬
¬
½
¼
¾
¼
× Ò Ó ×
¾
× Ò
¾
¾
¬
¬
¬
¬
¼
Ä Ù Ó
Þ
¿
¾
¿
½
£
¿ º Ó Ñ Ò Ø Ö Ó × Ö Ð Ô Ø Ù Ð Ó
¿ º º ½ Ü Ø Ò × Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò
Ð Ù Ò Ó × Ð Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ × Õ Ù Ô Ö × Ò Ø Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò × Ó Ò Õ Ù ¸ Ô Ö
Ö Ø × Ô Ð Ó Ò × ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ù Ò Ñ Ð × Ù ¬ Ò Ø Ñ Ò Ø Ñ Ô Ð Ù Ò ¹
Ó Ò × Ý Õ Ù Ð Ó × Ø Ó Ö Ñ × Ó Ò Ú Ö Ò Ô Ó × Ò Ô Ó Ø × × Ñ Ù Ý Ù Ö Ø × ´ Ó Ò ¹
Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ò Ð × Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ½ ¿ µ º Í Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ó Ò Ö ¹
Ò Ø ¸ × Ò Ð Ø Ó Ö Ð Ñ ¸ Ð Ó Ò × Ø Ø Ù Ý Ð Ò Ø Ö Ð Ä × Ù ¸
Õ Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ñ Ð Ñ Ù Ó Ñ × Ñ Ô Ð Ù Ò Ó Ò × Ý Ù Ò Ø Ó Ò Ù Ò
Ø Ó Ö Ñ Ó Ò Ú Ö Ò × Ó Ò Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ô Ù Ò Ø Ù Ð º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 104/164
½ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á
Ç Æ
¿ º Ö Ó ×
Ö Ó ¿ º ¾ Ë Ê Á Ê
Æ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ø Ð Õ Ù Î ́ Ê µ ¼ Ý × Ù Ô Ó Ò Õ Ù
Ê Á Ê × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê º Ë Ù Ô Ó Ò Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù
Ê Á Ê × Ø Ò
Ê
¼
È Ö Ù Õ Ù ¼ Ò Ê º
Ö Ó ¿ º ¿ Ð Ù Ð Ö Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ò Á Ê
́ Ü
½
Ü
¾
Ü
¿
Ü
Ü
µ Ü
¾
½
· Ü
¾
¾
· Ü
¾
¿
½ Ü
¾
· Ü
¾
½
Ö Ó ¿ º È Ö Ù Õ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Á Ê
Æ
×
Ù Ò º
Ö Ó ¿ º Ë Ù Ô Ó Ò Õ Ù Á Ê
Æ
Ô Ö Æ ¾ Ý Õ Ù Ê Á Ê ×
Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ò º Å Ù × Ø Ö Õ Ù Ô Ù × Ö Ò Ó Ó Ø Ò º
Ö Ó ¿ º Ë Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ê ¼ ½
¾
Á Ê
¾
Ý Ð Ù Ò Ó Ò Ê Á Ê
Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ
́
½ × Ü × Ö Ö Ó Ò Ð ¸
Ý
¿
× Ü × Ö Ó Ò Ð º
½ º Å Ù × Ø Ö Õ Ù
Ê
½
¼
Ê
½
¼
́ Ü Ý µ Ý Ü Ü × Ø Ý Ú Ð ½ º
¾ º Å Ù × Ø Ö Õ Ù
Ê
Ê
Ò Ó Ü × Ø º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 105/164
Ô Ø Ù Ð Ó
Ð Ñ Ò Ø Ó × × Ó × Ì Ó Ô Ó Ð Ó
º ½ Æ Ó Ö Ñ × ¸ × Ô Ó × Ò Ó Ö Ñ Ó ×
¬ Ò Ó Ò º ½ Ë Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð º Í Ò Ò Ó Ö Ñ Ò × Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Õ Ù × Ø × Ð × × Ù Ò Ø × Ô Ö Ó Ô ×
¡ Á Ê
·
¼
½ º Ü ¼ ̧ Ü ¼
¾ º Ü Ü ¾ Á Ê Ü ¾
¿ º Ü · Ý Ü · Ý Ü Ý ¾ ´ × Ù Ð Ì Ö Ò Ù Ð Ö µ
Ð Ô Ö Ó Ö Ò Ó ́ ¡ µ × Ð Ó Ó Ò Ó Ó Ñ Ó × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ó º
Ñ Ô Ð Ó º ½ Ò Á Ê
Ò
Ô Ó Ñ Ó × ¬ Ò Ö Ñ Ù × Ò Ó Ö Ñ ×
½ º Æ Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ü
¾
Ô
Ü
¾
½
· ¡ ¡ ¡ · Ü
¾
Ò
¾ º Æ Ó Ö Ñ ½ Ü
½
Ü
½
· ¡ ¡ ¡ · Ü
Ò
¿ º Æ Ó Ö Ñ Ò ¬ Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ó Ö Ñ Ü
½
Ñ Ü Ü
¾ ½ ¾ Ò
º Æ Ó Ö Ñ Ô
Ü
Ô
Ô
Ô
Ü
½
Ô
·
¡ ¡ ¡ ·
Ü
Ò
Ô
Ô Ö ½ Ô
½
Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù ¡
¾
¡
½
Ý ¡
½
× Ø × Ò Ø Ú Ñ Ò Ø Ð × Ô Ö Ó Ô ×
Ù Ò Ò Ó Ö Ñ × Ø Ö × Ò Ð Ð º Í Ò Ô Ó Ó Ñ × Ð × Ú Ö Õ Ù ¡
Ô
Ó Ò
½ Ô ½ × Ø Ñ Ò Ù Ò Ò Ó Ö Ñ º
½ ¼
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 106/164
½ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
Ñ Ô Ð Ó º ¾ Ë Á Ê × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ò ×
¬ Ò Ñ Ó ×
¡
½
Á Ê ¼
½
× Ù Ô
Ü ¾
́ Ü µ
Ñ Ô Ð Ó º ¿ Ò È Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó × Á Ê ¬ Ò Ñ Ó ×
Ô Ô ´ ½ µ · Ô ´ ¼ µ · Ô ́ ½ µ
Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ò Ó × Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ô Ù × Ò Ó × Ø × Ð Ó Ò Ó Ò ½ Ò Ó Ö Ñ º
Ò È
¾
Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó × Ö Ó ¾ × × Ò Ó Ö Ñ º
Ò Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ô Ó Ñ Ó × Ó Ò × Ö Ö Ö Ò Ø × Ò Ó Ö Ñ × º
¬ Ò Ó Ò º ¾ Æ Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø × º
Ó × Ò Ó Ö Ñ × ¡
½
Ý ¡
¾
Ò × Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø × × Ü × Ø Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ×
½
Ý
¾
Ô Ó × Ø Ú × Ø Ð × Õ Ù
½
Ü
½
Ü
¾
¾
Ü
½
Ç × Ö Ú Ó Ò º ½ Ä Ö Ð Ó Ò × Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø × Ù Ò Ö Ð Ó Ò Õ Ù Ú ¹
Ð Ò º
Ù Ò Ó Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð × Ð Ö Ù Ò Ò Ó Ö Ñ ¸ ×
Ð Ó Ø Ô Ö Ó Ô × Ø Ó Ô Ó Ð Ó × º Î Ö Ñ Ó × Ñ × Ð Ò Ø Õ Ù × ¡
½
Ý
¡
¾
× Ó Ò Ò Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø × Ò Ò Ø Ó Ò × ´ ¡
½
µ Ý ́ ¡
¾
µ Ø Ò Ò Ð ×
Ñ × Ñ × Ô Ö Ó Ô × Ø Ó Ô Ó Ð Ó × º
¬ Ò Ó Ò º ¿ Ó × Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ü Ý ¾ ¬ Ò Ñ Ó × Ð × Ø Ò Ò Ø Ö Ü
Ý Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ Ü Ý
Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ò Ó Ó Ò × Ø Ò Ò Ø Ö Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ô Ò Ð Ò Ó Ö Ñ
Ó Ò × Ö º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 107/164
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 108/164
½ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
Ç × Ö Ú Ó Ò º ¾ Ë × Ö Ø Ó ̧ × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ó Ð Ó
Ò Ö × Õ Ù × Ø × Ð × Ô Ö Ó Ô × ½ ¸ ¾ Ý ¿ Ð Ó × Ö Ø Ó × º
¬ Ò Ó Ò º Ë º Í Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ü ¾ × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò
×
¼ ́ ́ Ü µ Ò Ü µ
Ç × Ö Ú Ó Ò º ¿ È Ö × Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò Ò Ó × Ò × Ö Ó Ô Ö Ø Ò Ö
º È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ Ò Ó × × Ù ¬ Ò Ø × Ø Ö Ò Ô Ö × Ö Ù Ñ Ù Ð Ó Ò
Ñ Ô Ð Ó º
̄ Ë ´ ¼ ½ µ º Ò Ø Ó Ò × Ü ¼ × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò º
̄ Ë ´ ¼ ½ µ ¿ º Ä Ù Ó Ü ¿ ¾ ¸ Ô Ö Ó Ü Ò Ó × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù ¹
Ð Ó Ò º
¬ Ò Ó Ò º × Ö Ö Ó × Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ó × × Ù × Ô Ù Ò Ø Ó × Ù ¹
Ñ Ù Ð Ó Ò º
Ì Ó Ö Ñ º ½ × Ö Ö Ó ̧
× Ö Ø Ó º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ́ µ µ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ö Ö Ó º Ë Ü ¾
¸ Ò Ø Ó Ò × Ü
Ò Ó × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù
́ ́ Ü µ Ò Ü µ
Ô Ö Ó × Ø Ó × Õ Ù Ú Ð Ò Ø ́ Ü µ
Ò Ü
Ý Ó Ñ Ó Ñ × Ü
¾
¸ Ø Ò Ñ Ó ×
Õ Ù ́ Ü µ
¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
× Ö Ø Ó º
́ ́ µ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ó Ö Õ Ù
× Ö Ø Ó º Ë Ü ¾ Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò
º Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ü ¾ º È Ó Ö Ó Ò Ø Ö Ó Ò ¸ × Ü ¾
¸ Ó Ñ Ó ×
Ö Ø Ó ¸ ¼ Ø Ð Õ Ù
́ Ü µ µ ́ Ü µ µ ́ Ü µ Ò Ü µ ́
Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ó Ò ¸ Ô Ù × Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò º È Ó Ö Ð Ó
Ø Ò Ø Ó Ü ¾ º £
Ì Ó Ö Ñ º ¾ Ë Ò ¡
½
Ý ¡
¾
Ó × Ò Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø × Ò Ð × Ô Ó º
× Ö Ø Ó Ò ́ ¡
½
µ ̧ × Ö Ø Ó Ò ́ ¡
¾
µ º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 109/164
º ¾ º Ç Æ Â Í Æ Ì Ç Ë Á Ê Ì Ç Ë ¸ Ê Ê Ç Ë ½ ¼
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ×
½
¼
¾
¼ Ø Ð × Õ Ù
½
Ü
½
Ü
¾
¾
Ü
½
Ü ¾
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ö Ø Ó Ò ´ ¡
½
µ º Ë Ü ¾ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø
¼ Ø Ð Õ Ù
Ý ¾ Ü Ý
½
Ô Ö Ó Ò Ø Ó Ò ×
Ý ¾ Ü Ý
¾
½
Ý ¾ Ü Ý
½
Ó × ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ñ Ó ×
½
¼ Ø Ð Õ Ù
¡
¾
́ Ü
½
µ
× Õ Ù Ø Ó Ó × Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × × Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ò Ð Ò Ó Ö Ñ ¡
¾
µ ×
Ö Ø Ó Ò ´ ¡
¾
µ º ́ ́ µ Ö Ó º £
Ç × Ö Ú Ó Ò º Ì Ó × Ð × Ò Ó Ó Ò × Õ Ù × ¬ Ò Ò Ô Ö Ø Ö Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
Ö Ø Ó × ´
¡ µ Õ Ù Ò Ò Ð Ø Ö × Ù Ò Ó × Ñ
¡ Ô Ó Ö Ù Ò Ò Ó Ö Ñ
Õ Ù Ú Ð Ò Ø º
¬ Ò Ó Ò º Ë º ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
̄ Ö ´ µ Ü ¾ Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò
´ Ö Ú Ó µ
̄ ´ µ Ö ́ µ Ü ¾ Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò
´ Ö Ò Ó Ö Ö Ù Ö µ
̄ Ò Ø ´ µ Ü ¾ Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö
´ Ò Ø Ö Ó Ö µ
̄ Ö ́ µ ́ µ Ò Ò Ø ́ µ
´ Ö Ó Ò Ø Ö µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 110/164
½ ½ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
º ¿ Ë Ù × Ó Ò × º
Ò Ð × Ø Ù Ó Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ù Ò × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ó ¸ Ù Ò Ö Ó Ð Ñ Ù Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø
× Ù Ó Ô Ó Ö Ð × × Ù × Ó Ò × º
¬ Ò Ó Ò º Í Ò × Ù × Ó Ò Ò Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð × Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Á Æ
Ò Ü
Ò
Ý × Ò Ó Ø Ù × Ù Ð Ñ Ò Ø Ó Ñ Ó Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
º
Í Ò × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ó Ò Ú Ö Ü ×
¼ Æ ¾ Á Æ Ø Õ Ü
Ò
Ü Ò Æ
Ç × Ö Ú Ó Ò º Ð Ð Ñ Ø Ù Ò × Ù × Ó Ò ¸ Ù Ò Ó Ü × Ø ¸ × Ù Ò Ó º
¬ Ò Ó Ò º ½ ¼ ´ Ë Ù × Ó Ò Ù Ý µ
Í Ò × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
× Ù Ý × ¼ Ü × Ø Ò ¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù
Ü
Ò
Ü
Ñ
Ò Ñ Æ
Ç × Ö Ú Ó Ò º Ä × Ò Ó Ó Ò × × Ù × Ó Ò × Ó Ò Ú Ö Ò Ø × Ý × Ù × Ó Ò ×
Ù Ý Ò Ó Ñ Ò Ò Ø Ð Ñ Ó Ô Ó Ö Ò Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø × º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ¿ Ì Ó × Ù × Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø × × Ù × Ó Ò Ù Ý º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ö Ó º £
Æ Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ö Ô Ö Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ô Ù × Ö Ð × º
Ñ Ô Ð Ó º Ò É Á
¾
Ù × Ñ Ó × Ð Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Ò º Ä × Ù × Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö
Ü
´ ´ ½ ·
½
µ
½
µ
× Ù Ý Ô Ö Ó Ò Ó Ó Ò Ú Ö Ò É Á
¾
º
Ñ Ô Ð Ó º Ò ´ ½ ½ µ Ó Ø Ó Ð Ò Ó Ö Ñ
½
½
½
́ Ü µ
Ü
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 111/164
º ¿ º Ë Í Ë Á Ç Æ Ë º ½ ½ ½
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù × Ó Ò
Ò
́ Ü µ
½ ´ ½ Ü µ
Ò
Ü ¼
½ · ´ ½ · Ü µ
Ò
Ü ¼
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × × Ò Ô Ö Ò Ö Ð Õ Ù Ò Ñ
Ò
Ñ
½
½
¼
´ ½ Ü µ
Ò
´ ½ Ü µ
Ñ
Ü ·
¼
½
´ ½ · Ü µ
Ò
´ ½ · Ü µ
Ñ
Ü
½
¼
´ ½ Ü µ
Ñ
´ ½ Ü µ
Ò Ñ
½ Ü ·
¼
½
´ ½ · Ü µ
Ñ
´ ½ · Ü µ
Ò Ñ
½
½
¼
´ ½ · Ü µ
Ñ
Ü ·
¼
½
´ ½ · Ü µ
Ñ
Ü
¾
Ñ · ½
× Ö ¸
Ò
Ñ
½
¾
Ñ Ò Ò Ñ · ½
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ò
× Ù Ý º È Ö Ó
Ò
Ò Ó Ø Ò Ð Ñ Ø Ò ´ ½ ½ µ Ò
Ø Ó ¸ × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø Ð Ù Ò Ó Ò Ð Ñ Ø Õ Ù Ð Ð Ñ Ö Ñ Ó × º Ò Ø Ó Ò ×
Ò
½
Ò ½
¼
Ó Ñ Ó
½
Ò
Ü
½
½
Ò
Ü
Ò Ø Ó Ò ×
½
Ò
Ü
Ò ½
¼ ¾ ½ ½
Ø Ó Ñ Ñ Ó × ¾ ´ ¼ ½ º Ó Ñ Ó Ò ½
Ò
Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø ½ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
½
½ Ü ¼ µ ½ Ò ½ ¾ ´ ¼ ½
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Ü µ ½ Ü ¾ ´ ¼ ½ º Ò Ð Ó Ñ Ò Ø ́ Ü µ ½ ¾ ½ ¼ µ
Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × × Õ Ù Ò Ó Ô Ù × Ö Ó Ò Ø Ò Ù º
¬ Ò Ó Ò º ½ ½ ´ × Ô Ó Ò µ
Í Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ò Ó Ö Ñ Ó × × Ô Ó Ò × Ø Ó × Ù × Ó Ò
Ù Ý Ò Ó Ò Ú Ö Ò ¸ × Ö
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
× Ù Ý µ Ü
£
¾ Ø Õ Ü
Ò
Ò ½
Ü
£
Ò × Ø × Ó Ø Ñ Ò Ö Ð Ò Ó Ñ Ö × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ó Ñ Ô Ð Ø Ó
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 112/164
½ ½ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
Ñ Ô Ð Ó º ́ Á Ê ¡ µ º Ò Á Ê Ø Ó × Ù × Ó Ò Ù Ý × Ó Ò Ú Ö Ò Ø º × Ø Ó
× Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ð Ü Ó Ñ Ð × Ù Ô Ö Ñ Ó º
Ñ Ô Ð Ó º ́ Á Ê
Ò
¡
¾
µ × Ù Ò × Ô Ó Ò º Ò Ø Ó ¸ × Ü
¾ Á Æ
Á Ê
Ò
× Ù Ò × Ù × Ó Ò Ù Ý ¸ Ò Ø Ó Ò ×
¼ Æ ¾ Á Æ Ø Õ Ü
Ü
Ð
¾
Ð Æ
Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
Ü
Ü
Ð
Ð Æ ¾ ½ Ò
Ó Ò Ü
× Ð ¹ × Ñ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ü
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð × Ù × Ó Ò Ü
¾ Á Æ
× Ù Ý Ò Á Ê Ý Ò Ó Ò × Ù Ò Ó Ò Ú Ö º Ò Ó Ø Ñ Ó × Ô Ó Ö Ü
× Ù Ð Ñ Ø º
Ì Ò Ñ Ó × × Õ Ù Ó ¼ Ü × Ø Æ
Õ Ù × Ø ×
Ü
Ü
Ô
Ò
Æ
× Ó Ò Ó Æ Ñ Ü Æ
¾ ½ Ò Ý Ð Ð Ñ Ò Ó Ü Ð Ú Ø Ó Ö ´ Ü
½
Ü
Ò
µ
Ø Ò Ñ Ó × ¬ Ò Ð Ñ Ò Ø Õ Ù
Ü
Ü
¾
Ú
Ù
Ù
Ø
Ò
½
Ü
Ü
¾
Æ
× Ö Ð × Ù × Ó Ò Ü
Ó Ò Ú Ö Ü Ò Á Ê
Ò
Ç × Ö Ú Ó Ò º × Ð Ú Ö Õ Ù
Ü
Ü Ò ́ Á Ê
Ò
¡
¾
µ ̧ Ü
Ü
¾ ½ Ò
Ñ Ô Ð Ó º ½ ¼ ́ Å
Ò ¢ Ñ
́ Á Ê µ ¡
½
µ × Ó Ñ Ô Ð Ø Ó º Ë
¾ Á Æ
Ù Ò × Ù × Ó Ò
Ù Ý º Ò Ø Ó Ò × ¼ Æ ¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù
Ð
½
Ð Æ
× Ö ¸
Ñ Ü
½ Ò
½ Ñ
Ð
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 113/164
º ¿ º Ë Í Ë Á Ç Æ Ë º ½ ½ ¿
Ò Ó Ò × Ù Ò Ù Ò Ð × × Ù × Ó Ò ×
¾ Á Æ
× Ó Ò Ù Ý Ò Á Ê º
Ù Ò Ð Ð × Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ó Ò × Ù Ò Ð Ñ Ø Õ Ù Ò Ó Ø Ñ Ó ×
º × Ø
Ñ Ò Ö ¸ Ó ¼ Æ
¼ Ø Ð Õ Ù
Æ
× Ó Ò Ó Æ Ñ Ü Æ
¾ ½ Ò ¾ ½ Ñ ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Ñ Ü
½ Ò
½ Ñ
Æ
Ó × ¸ × ́
µ
½
Ò
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
º Ð × Ô Ó Ñ Ø Ö × Ñ Ò × Ó Ò Ò ¢ Ñ Ó Ò Ð
Ò Ó Ö Ñ ¡
½
× Ù Ò × Ô Ó Ò º
Ñ Ô Ð Ó º ½ ½ ́ ´ Á Ê µ ¡
½
µ × Ù Ò × Ô Ó Ò º Ë
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ù Ò × Ù × Ó Ò Ù Ý º Ó ¼ Æ ¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù
Ð
½
× Ù Ô
Ü ¾
́ Ü µ
Ð
́ Ü µ Ð Æ
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ü ¾ × Ø Ò Ö Õ Ù
́ Ü µ
Ð
́ Ü µ Ð Æ
× Ö ¸ Ü ¾ Ð × Ù × Ó Ò
Ò
́ Ü µ
Ò ¾ Á Æ
× Ù Ý Ò Á Ê ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ð Ñ Ø Õ Ù Ð Ð Ñ Ö Ñ Ó × ́ Ü µ
Ð Ñ
½
́ Ü µ ́ Ü µ
× Ø Ñ Ò Ö ¸ Ñ Ó × ¬ Ò Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê º È Ö Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù
× Ø Ù Ò Ó Ò × Ð Ð Ñ Ø Ð × Ù × Ó Ò
Ò
Ò ´ Á Ê µ º
Ì Ò Ñ Ó × Õ Ù Ó ¼ Æ ¼ Ø Ð Õ Ù
́ Ü µ
Ð
́ Ü µ Ð Æ Ü ¾
Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
́ Ü µ ́ Ü µ Æ Ü ¾
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 114/164
½ ½ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
Ý Ò Ø Ó Ò ×
½
Æ
Ó Ò × Ø Ó Ñ Ó × Ô Ö Ó Ó Õ Ù
Ò
¡
½
× Ö ¸ × Ð Ð Ñ Ø Ù Ò Ó Ö Ñ Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ×
Ò
º È Ö Ó Ò Ð Ù Ö
Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Õ Ù ´ ´ Á Ê µ ¡
½
µ × Ò Ñ Ó × Ô Ö Ó Ö Õ Ù
× Ó Ò Ø Ò Ù º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º Ð Ð Ñ Ø Ù Ò Ó Ö Ñ Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × × Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Ó Ò Ø Ò Ù º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ù Ò × Ù × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ò
Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò º Ë Ü
¼
¾ Ý ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ü × Ø Æ Ø Ð Õ Ù
½
¿
Æ
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù
Æ
́ Ü µ ́ Ü µ
¿
Ü ¾
Ô Ö Ó
Æ
× Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¼ Ø Ð Õ Ù × Ü Ü
¼
Ò Ø Ó Ò ×
Æ
́ Ü µ
Æ
́ Ü
¼
µ
¿
Ó Ò Ø Ó Ó × Ø Ó Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ü Ü
¼
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü µ
Æ
́ Ü µ ·
Æ
́ Ü µ
Æ
́ Ü
¼
µ ·
Æ
́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
¿
·
¿
·
¿
× Ö ¸ × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º £
Ó Ò × Ø Ó Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Õ Ù ´ ´ Á Ê µ ¡
½
µ × Ù Ò × Ô Ó Ò º
º Ó Ò Ø Ö Ó Ò × Ý Ì Ó Ö Ñ È Ù Ò Ø Ó Ó
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò × Ó Ð Ù Ó Ò
́
Ù
¼
́ Ü Ù µ
Ù ́ Ü
¼
µ Ù
¼
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 115/164
º º Ç Æ Ì Ê Á Ç Æ Ë Ì Ç Ê Å È Í Æ Ì Ç Á Â Ç ½ ½
× Ø Ô Ö Ó Ð Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø
Ù ́ Ü µ Ù
¼
·
Ü
Ü
¼
́ × Ù ́ × µ µ ×
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Á Ê ¢ Á Ê Á Ê × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ì ´ Ü
¼
Ü
¼
· Á Ê µ ´ Ü
¼
Ü
¼
· Á Ê µ
Ù Ù
¼
·
Ü
Ü
¼
́ × Ù ́ × µ µ ×
× Ø Ò ¬ Ò Ý Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ò Ð × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ø Ð Õ Ù
Ù Ì ́ Ù µ
Õ Ù Ö Ð Ò Ó Ñ Ö È Ö Ó Ð Ñ Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó
È Ö Ó Ð Ñ ¾ Ó Á Ê
Ò
Á Ê
Ò
Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ó Ð Ù Ó Ò
́ Ü µ ¼
× Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó ¸ Ô Ù × × Ô Ù × Ö Ö
Ü Ü · ́ Ü µ
Ì Á Ê
Ò
Á Ê
Ò
Ü Ü · ́ Ü µ
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ò Ð × Õ Ù Ú Ð Ò Ø
Ì ́ Ü µ Ü
Ò Ú Ö × × Ö × Ð Ò Ò Ö × Ó Ñ Ù Ò Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ × Ó Ò
× Õ Ù Ö Ö × Ó Ð Ú Ö
Ù Ì ́ Ù µ Ó Ò Ì
Ó Ò Ì Ã Ã Ò Õ Ù Ã × Ù Ò × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó Ý × Ù Ò
× Ô Ó Ò º
¬ Ò Ó Ò º ½ ¾ Ì Ã Ã × Ó Ò Ø Ö Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ̧
¼ ½ Ø Ð Õ Ù
Ì ́ Ù µ Ì ́ Ú µ Ù Ú Ù Ú ¾ Ã
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 116/164
½ ½ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
Ì Ó Ö Ñ º ¿ ´ Ì Ó Ö Ñ Ð È Ù Ò Ø Ó ¬ Ó µ
Ë × Ô Ó Ò ¸ Ã Ö Ö Ó º Ë Ì Ã Ã × Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ó Ò
Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò Ý × Ó Ð Ó Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ì Ò Ã
Ü ¾ Ã Ì ́ Ü µ Ü
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Î Ñ Ó × Ô Ö Ñ Ö Ó Ð Ü × Ø Ò º Ð Ñ Ø Ó Ó Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
× Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ó º
Ë Ü
¼
¾ Ã Ù Ð Õ Ù Ö º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
¬ Ò Ô Ó Ö Ð
Ö Ù Ö Ö Ò
Ü
· ½
Ì ́ Ü
µ ¾ Á Æ
Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ó × Õ Ù Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
× Ù Ý º
Ü
Ü
Ð
Ì ́ Ü
½
µ Ì ́ Ü
Ð ½
µ
Ü
½
Ü
Ð ½
Ì ́ Ü
¾
µ Ì ́ Ü
Ð ¾
µ
¾
Ü
¾
Ü
Ð ¾
× Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × ¸ × Ò Ô Ö Ò Ö Ð Õ Ù Ð º Ë Ö Ô Ø Ñ Ó × Ð Ô Ö Ó ¹
Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Ü
Ü
Ð
Ð
Ü
Ð
Ü
¼
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö
Ü
Ð · ½
Ü
Ð
Ð
Ü
½
Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ñ Ó × × Ö Ö
Ü
Ü
Ð
Ü
Ü
½
· Ü
½
Ü
¾
· ¡ ¡ ¡ · Ü
Ð · ½
Ü
Ð
́
½
·
¾
· ¡ ¡ ¡ ·
Ð
µ Ü
½
Ü
¼
× Ö ¸
Ü
Ü
Ð
½
Ð
Ü
½
Ü
¼
Ð
́
½
¼
µ Ü
½
Ü
¼
Ð
½
½
Ü
½
Ü
¼
Ð ½
¼
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 117/164
º º Ç Æ Ì Ê Á Ç Æ Ë Ì Ç Ê Å È Í Æ Ì Ç Á Â Ç ½ ½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
× Ù Ò × Ù × Ó Ò Ù Ý Ò ¸ Ð Ù Ó Ø Ò Ù Ò Ð Ñ Ø
Ü ¾ Ý Ó Ñ Ó Ã × Ö Ö Ó Ò Ø Ó Ò × Ü ¾ Ã º È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ × Ì ×
Ó Ò Ø Ö Ó Ò ¸ × Ó Ò Ø Ò Ù ´ Ö Ó µ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ø Ó Ñ Ò Ó Ð Ñ Ø Ò Ð Ù Ó Ò
Ü
· ½
Ì Ü
Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ü Ì Ü
× Ö ¸ Ü × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ì º
Î Ñ Ó × Õ Ù × Ù Ò Ó º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ì Ø Ò Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × ¬ Ó × ¸ Ü Ì Ü
Ý Ì Ý ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ü Ý Ì Ü Ì Ý Ü Ý
Ý Ó Ñ Ó ¼ ½ ¸ Ò Ó Õ Ù Ó Ø Ö Ô Ó × Ð Ñ × Õ Ù Ü Ý º £
Ñ Ô Ð Ó º ½ ¾ ´ Ì Ó Ö Ñ Ü × Ø Ò × Ó Ð Ù Ó Ò × Ô Ö Ç µ
Î Ó Ð Ú Ñ Ó × Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ò Ð º Ë Á Ê ¢ Á Ê Á Ê × Ó Ò Ø Ò Ù Ý × Ø ×
́ × Ù µ ́ × Ú µ Ã Ù Ú
Ò Ø Ó Ò × × Ü Ü
¼
Ì ́ Ù µ Ì ́ Ú µ
Ü
Ü
¼
́ × Ù ́ × µ µ ́ × Ú ́ × µ µ ×
Ü
Ü
¼
́ × Ù ́ × µ µ ́ × Ú ́ × µ µ ×
Ã
Ü
Ü
¼
Ù ́ × µ Ú ́ × µ ×
à ٠Ú
½
× Ü Ü
¼
× Ó Ø Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ö × Ù Ð Ø Ó ¸ Ð Ù Ó Ì ́ Ù µ Ì ́ Ú µ
½
à ٠Ú
½
Ô Ö Ø Ó Ù Ú ¾ ´ Ü
¼
Ü
¼
· µ º Ë Ã ½ Ò Ø Ó Ò × ¸ Ö × Ð Ø Ó Ö Ñ
Ð Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ò ¸ Ü × Ø Ù ¾ ´ Ü
¼
Ü
¼
· µ Ø Ð Õ Ù
Ù Ì ́ Ù µ
Ý × Ø Ù × Ù Ò Ó º
È Ö Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò × Ó Ð Ù Ó Ò × Ô Ù Ø Ö Ö ¸ Ö Ô Ö Ó Ù Ò Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
Ð Ø Ó Ö Ñ Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ò º
Ù
Ò · ½
Ì Ù
Ò
Ù
Ò · ½
́ Ü µ Ù
¼
·
Ü
Ü
¼
́ × Ù
Ò
́ × µ µ ×
× Ø Ñ Ø Ó Ó Ô Ö Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð × Ó Ð Ù Ó Ò Ö Ð Ò Ó Ñ Ö Å Ø Ó Ó È Ö º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 118/164
½ ½ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
Ñ Ô Ð Ó º ½ ¿ ´ Ü × Ø Ò × Ó Ð Ù Ó Ò × Ù Ò Ù Ó Ò µ
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò ×
Ü
½
¾
Ó × ´ Ü · Ý µ
Ý
½
¿
Ð Ò ´ ½ · Ü
¾
· Ý
¾
µ ·
× Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó ´ Ü Ý µ Ì ́ Ü Ý µ Ó Ò Ì Á Ê
¾
Á Ê ¬ Ò
Ô Ó Ö
Ì ́ Ü Ý µ ́
½
¾
Ó × ´ Ü · Ý µ
½
¿
Ð Ò ´ ½ · Ü
¾
· Ý
¾
µ · µ
Î Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ì × Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø º Ó Ñ Ó Ó Ò × Ù Ò ¸ Ö × Ð
Ø Ó Ö Ñ Ð Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ò ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò ×
Ø Ò Ù Ò Ý × Ó Ð Ó Ù Ò × Ó Ð Ù Ó Ò Ò Á Ê
¾
º È Ö Ð Ð Ó Ö Ó Ö Ñ Ó × Ð Ø Ó Ö Ñ Ð
Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ë Á Ê
Ò
Á Ê Ö Ò Ð ¸ Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü µ ́ Ý µ
½
¼
Ö ́ Ø Ü · ´ ½ Ø µ Ý µ ¡ ́ Ü Ý µ Ø
Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
́ Ü µ ́ Ý µ
½
¼
Ö ́ Ø Ü · ´ ½ Ø µ µ Ý Ü Ý Ø
Ñ Ü
¼ Ø ½
Ö ́ Ø Ü · ´ ½ Ø µ Ý µ Ü Ý
Ë Ù Ô Ó Ñ Ó × Õ Ù Ö ́ Þ µ Ã Ô Ö Ø Ó Ó Þ ¾ Á Ê
Ò
º Ò Ø Ó Ò × ́ Ü µ
́ Ý µ Ã Ü Ý º
Ô Ð Õ Ù Ñ Ó × × Ø Ó Ò Ù × Ø Ö Ó Ô Ö Ó Ð Ñ º Ë Ì
½
́ Ü Ý µ ´ ½ ¾ µ Ó × ´ Ü · Ý µ Ò Ø Ó Ò ×
Ö Ì
½
́ Ü Ý µ
́
½
¾
× Ò ´ Ü · Ý µ
½
¾
× Ò ´ Ü · Ý µ µ
½
Ô
¾
µ Ì
½
́ Ü Ý µ Ì
½
´ Ü Ý µ
½
Ô
¾
́ Ü Ý µ ´ Ü Ý µ
È Ö Ì
¾
́ Ü Ý µ ´ ½ ¿ µ Ð Ò ´ ½ · Ü
¾
· Ý
¾
µ · Ñ Ó × Ð Ó Ñ × Ñ Ó
Ö Ì
¾
́ Ü Ý µ
½
¿
́
¾ Ü
½ · Ü
¾
· Ý
¾
¾ Ý
½ · Ü
¾
· Ý
¾
µ
¾
¿
Ö
́
Ü
½ · Ü
¾
µ
¾
· ́
Ý
½ · Ý
¾
µ
¾
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 119/164
º º Æ Ç Á
Ç Æ Ç Å È Á ½ ½
Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ Þ ´ ½ · Þ
¾
µ Ð Ò Þ × Ù Ñ Ü Ñ Ó Ò Þ ½ ´ Ö Ó µ Ý × Ù
Ñ Ü Ñ Ó × ½ ¾ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ö Ì
¾
́ Ü Ý µ
Ô
¾ ¿ Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð
Ì
¾
́ Ü Ý µ Ì
¾
´ Ü Ý µ
Ô
¾
¿
́ Ü Ý µ ´ Ü Ý µ
Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × Õ Ù
Ì ́ Ü Ý µ Ì ´ Ü Ý µ
Ô
́ Ì
½
́ Ü Ý µ Ì
½
´ Ü Ý µ µ
¾
· ́ Ì
¾
́ Ü Ý µ Ì
¾
´ Ü Ý µ µ
¾
Ö
½ ¿
½
́ Ü Ý µ
´ Ü Ý µ
× Ö ¸ Ì × Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø Ô Ù ×
Ô
½ ¿ ½ ½ º
Ö Ó º ½ Ø Ö Ñ Ò Ö Ô Ö Õ Ù Ú Ð Ó Ö × Ý Ð Ù Ò Ó Ò
Ì ́ Ü Ý µ ́ Ó × ´ Ü · Ý µ Ð Ò ´ ½ · Ü
¾
· Ý
¾
µ µ
× Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ó Ò
Ö Ó º ¾ È Ö Ó Ö Ñ × Ù Ð Ù Ð Ó Ö Ô Ö Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð × Ó Ð Ù Ó Ò Ð × × ¹
Ø Ñ Ð Ñ Ô Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö º È Ö Ð Ð Ó ¬ Ò Ü
¼
¼ Ý
¼
¼ ¸ Ý Ò Ö Ù Ò
× Ù × Ó Ò Ô Ó Ö Ð × Ù Ò Ø Ö Ù Ö Ö Ò
Ü
Ò · ½
´ ½ ¾ µ Ó × ´ Ü
Ò
· Ý
Ò
µ
Ý
Ò · ½
´ ½ ¿ µ Ð Ò ´ ½ · Ü
¾
· Ý
¾
µ ·
º Æ Ó Ó Ò Ó Ñ Ô
Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö Ö Ó Ö Ñ Ó × Ð Ò Ó Ó Ò × Ù × Ù × Ó Ò º
¬ Ò Ó Ò º ½ ¿ Ë Ù × Ù Ó Ò
Ë Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ù Ò × Ù × Ó Ò Ò Ù Ò × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ó ́ ¡ µ º Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Æ Á Æ × Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ö Ò Ø ¸ × Ö ¸ Ò Ñ µ ́ Ò µ
́ Ñ µ º Ò Ø Ó Ò × ¸ Ð Ò Ù Ú × Ù × Ó Ò Ü
́ µ
¾ Á Æ
× Ð Ð Ñ × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Ñ Ò Ù Ó × Ò Ó Ø Ò
́ µ Ý × Ð × Ù × Ù × Ó Ò × Ò Ó Ø Ó Ñ Ó Ü
Ò
¾ Á Æ
º
Ñ Ô Ð Ó º ½ Ä × × Ù × Ó Ò × × Ù Ò Ø ×
́
½
¾
µ
¾ Ò
Ò ¾ Á Æ
́
½
¾
µ
¾ Ò · ½
Ò ¾ Á Æ
Ý ́
½
¾
µ
Ò ·
Ò ¾ Á Æ
× Ó Ò × Ù × Ù × Ó Ò × ́
½
¾
µ
Ò
Ò ¾ Á Æ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 120/164
½ ¾ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
Ñ Ô Ð Ó º ½ Ä × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Á Ê
¾
¬ Ò Ô Ó Ö
Ü
Ò
´ ́ ½ µ
Ò
´ ½ ·
½
Ò
µ
Ò
µ
Ò Ó Ó Ò Ú Ö º Ë Ò Ñ Ö Ó Ð × Ù × Ù × Ó Ò Ü
¾ Ò
Ò ¾ Á Æ
× Ó Ò Ú Ö Ý Ð Ó
´ ½ µ ¾ Á Ê
¾
º Ä × Ù × Ù × Ó Ò Ü
¾ Ò · ½
Ò ¾ Á Æ
Ø Ñ Ò Ó Ò Ú Ö ¸ Ô Ö Ó ´ ½ µ ¾
Á Ê
¾
º È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø Ð × Ù × Ù × Ó Ò Ü
¿ Ò
Ò ¾ Á Æ
Ò Ó Ó Ò Ú Ö º
Ñ Ô Ð Ó º ½ Ä × Ù × Ó Ò Ü
Ò
´ ¾
Ò
½
Ò
Ò
Ò · ½
µ ¾ Á Ê
¿
Ò Ó Ó Ò Ú Ö º Ò × Ø
× Ó Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ò Ó Ø Ò × Ù × Ù × Ó Ò × Ó Ò Ú Ö Ò Ø × º
Ì Ó Ö Ñ º Ë Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ù Ò × Ù × Ó Ò Ò Ù Ò × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ó º Ò Ø Ó Ò ×
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ó Ò Ú Ö Ü ̧ Ø Ó × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
¾ Á Æ
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ó Ò Ú Ö
Ü
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ́ ́ µ Ö Ø Ó Ô Ù × Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
× Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
º
́ µ µ Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ó Ò Ú Ö Ü ¸ Ò Ø Ó Ò × ¼ Æ ¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù
Ü
Ò
Ü Ò Æ
Ë Ü
Ò
¾ Á Æ
Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ò Ø Ó Ò × ¾ Á Æ Ø Ð Õ Ù Ò
½
Ò
¾
¡ ¡ ¡ Ò
Ò
· ½
Ò
· ¾
º Ò Ø Ó Ò ×
Ü
Ò
Ü Ã
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü
Ò
¾ Á Æ
Ó Ò Ú Ö Ü º £
Ð × Ù Ò Ø × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ò Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Á Ê
Ì Ó Ö Ñ º ´ Ì Ó Ö Ñ Ó Ð Þ Ò Ó ¹ Ï Ö × Ø Ö × × Ò Á Ê µ
Ë Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Á Ê Ù Ò × Ù × Ó Ò Ó Ø º Ò Ø Ó Ò × Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ø Ò Ð Ó Ñ Ò Ó ×
Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Á Ê Ó Ø Ñ Ô Ð Õ Ù Ü × Ø Ò Ò Ù Ñ Ö Ó ×
Ö Ð ×
¼
Ý
¼
¸ ́
¼
¼
µ Ø Ð × Õ Ù
Ü
Ò
¾
¼
¼
Á
¼
Ò ¾ Á Æ
¬ Ò Ñ Ó ×
Á
½
¼
¼
·
¼
¾
Á
·
½
¼
·
¼
¾
¼
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 121/164
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 122/164
½ ¾ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
À Ñ Ó × Ò Ö Ó × Ø Ó Ö Ñ Ù Ò × Ù × Ó Ò Ü
Ò
¾ Á Æ
¸ × Ù × × Ó Ò Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
º × Ø × Ù × Ó Ò × Ù Ý Ô Ù ×
Ü
Ò
Ü
Ò
½
¾
Ñ Ò
¼ Ù Ò Ó ½
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ö º £
Ò Ñ Ò × Ó Ò Æ Ø Ò Ñ Ó × Ð Ó × Ù Ò Ø
Ì Ó Ö Ñ º ´ Ì Ó Ö Ñ Ó Ð Þ Ò Ó Ï Ö × Ø Ö × × Ò Á Ê
Ò
µ
Ì Ó × Ù × Ó Ò Ó Ø Ò Á Ê
Ò
Ø Ò Ð Ó Ñ Ò Ó × Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ò Ð × Ó Æ ¾ Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Á Ê
¾
º Ò Ó Ø Ñ Ó × Ü
Ò
́ Ü
½
Ò
Ü
¾
Ò
µ º Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ó Ø Ñ Ô Ð Õ Ù Ü × Ø Ò Ò Ù Ñ Ö Ó × Ö Ð × Ý ¸ ́ µ
Ø Ð × Õ Ù
Ü
Ò
¾ ¢ Ò ¾ Á Æ
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü
½
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ý Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö ¸ × Ø × Ù × Ó Ò
Ö Ð × Ø Ò Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø Õ Ù Ð Ò Ó Ø Ö Ñ Ó × Ü
½
Ò
¾ Á Æ
Ý
Ü
½
Ò
Ü
½
¾ Á Ê º × Ø Ñ Ò Ö Ð × Ù × Ó Ò Ü
Ò
¾ Á Æ
Ø Ò × Ù Ô Ö Ñ Ö
Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ú Ö Ò Ø º Ä Ù Ó Ü
¾
Ò
¾ Á Æ
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø Ò Ù Ò
× Ù × Ù × Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ü
¾
Ò
Ñ Ó × Õ Ù Ü
¾
¾ Á Ê
Ü
Ò
Ü
¾
Ô Ö Ó Ø Ñ Ò × Ø Ò Õ Ù
Ü
½
Ò
Ü
½
Ô Ù × Ü
Ò
× × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Õ Ù Ý Ö Ó Ò Ú Ö Ò Ø º
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð × Ù × Ó Ò
Ü
Ò
¾ Á Æ
× Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ù Ý
Ô Ö Ñ Ö Ó Ó Ö Ò Ó Ò Ú Ö Ü
½
Ý × Ù × Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ó Ò Ú Ö Ü
¾
º
Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × × Ø Ó Õ Ù Ü
Ò
́ Ü
½
Ü
¾
µ º
È Ö Ð × Ó Æ Ò Ö Ð × Ô Ö Ó Ñ Ò Ö Ò Ð Ó ¸ Ð Ò Ó Ô Ö Ñ Ö Ó Ù Ò
× Ù × Ù × Ó Ò Ù Ý Ô Ö Ñ Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ú Ö ¸ Ð Ù Ó × Ø × Ù × Ù × Ó Ò ×
Ð Ü Ø Ö Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Õ Ù Ø Ò Ö × Ù × Ó × Ô Ö Ñ Ö × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ò Ú Ö ¹
Ò Ø × Ý × × Ù × Ú Ñ Ò Ø × × Ó Ò × Ù × Ù × Ó Ò × × Ù Ò Ð Ñ Ò Ø × Ø
Ó Ø Ò Ö Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ó Ò × Ù × Æ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ò Ú Ö Ò Ø × ´ Ð Ó Õ Ù × Ù Ö
Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ð × Ù × Ù × Ó Ò µ º £
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 123/164
º º Æ Ç Á
Ç Æ Ç Å È Á ½ ¾ ¿
¬ Ò Ó Ò º ½ Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó
Ë ́ ¡ µ Ù Ò × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ó º Í Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó ×
Ø Ó × Ù × Ù × Ó Ò Ò Ø Ò Ð Ó Ñ Ò Ó × Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ò ¸
× Ö
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ü
Ò
¾ Á Æ
Ø Ð Õ Ù Ü
Ò
Ü Ù Ò Ó ½ Ý Ñ × Ü ¾
Ì Ó Ö Ñ º
Ò ́ Á Ê
Ò
¡
¾
µ Ý Á Ê
Ò
× Ó Ñ Ô Ø Ó ̧ × Ö Ö Ó Ý Ó Ø Ó
Ç × Ö Ú Ó Ò º Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ö Ø Ö Þ Ó Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö ¹
Ö Ó × Õ Ù
Ö Ö Ó ¸ Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ý Ü
Ò
Ü Ò Ø Ó Ò × Ü ¾ º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ́ ́ µ Ë Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
º Ó Ñ Ó × Ó Ø Ó ¸ Ü × Ø Ù Ò
× Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ü Ý Ó Ñ Ó × Ö Ö Ó ¸ Ü ¾ º
́ µ µ Ë Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ù Ò × Ù × Ó Ò Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ü º Ó Ñ Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ô Ó × Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ò Ý Ó Ñ Ó Ý × Ñ Ó × Õ Ù
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ù Ò × Ó Ð Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò Õ Ù Ø Ò
Õ Ù × Ö Ü Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü ¾ º
Ë Õ Ù Ò Ó Ù × Ó Ø Ó ¸ × Ñ Ô Ö × Ö Ô Ó × Ð Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò × Ù × Ó Ò
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ø Ð Õ Ù Ü
Ò · ½
Ü
Ò
½ Ô Ö Ø Ó Ó Ò ¾ Á Æ º Ì Ð × Ù × Ó Ò Ò Ó Ô Ù
Ø Ò Ö × Ù × Ù × Ó Ò × Ó Ò Ú Ö Ò Ø × ¸ Ô Ù × Ò Ò Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò × Ù Ý º
Ç × Ö Ú Ó Ò º × Ø Ö Ø Ö Þ Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó × Ô Ù Ü ¹
Ø Ò Ö × Ø Ó Ó × Ô Ó Ñ Ò × Ó Ò ¬ Ò Ø ¸ Ô Ö Ó Ò Ñ Ò × Ó Ò Ò ¬ Ò Ø ×
Ð ×
Ñ Ô Ð Ó º ½ Ò Ð × Ô Ó Ò ´ ´ ¼ ½ Á Ê µ ¡
½
µ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð
× Ù Ò Ø × Ù × Ó Ò
Ò
́ Ü µ
¼ ¼
Ü
½
Ò · ½
½ · ́ Ò · ½ µ ´ Ò Ü ½ µ
½
Ò · ½
Ü
½
Ò
½ ́ Ò ½ µ ́ Ò Ü ½ µ
½
Ò
Ü
½
Ò ½
¼
½
Ò ½
Ü ½
È Ö × Ø × Ù × Ó Ò × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
¯
Ò
½
½ Ò ¾ Á Æ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 124/164
½ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
¯
Ò
Ò · ½
½
½ Ò ¾ Á Æ
¯
Ò
½
½ Ò
Ò Ø Ó Ò ×
Ò
Ò Ó Ó Ò Ú Ö Ý Ò Ò Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ô Ù Ö Ð Ó ¸ Ô Ù × Ò Ó × Ó Ò
Ù Ý º
× Ø Ó Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ò ´ ´ ¼ ½ Á Ê µ ¡
½
µ Ý × Ù × Ó Ò × Ó Ø × Õ Ù Ò Ó
Ø Ò Ò × Ù × Ù × Ó Ò × Ó Ò Ú Ö Ò Ø × º Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ó × Õ Ù ´ ¼ ½ µ ̧
Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ö Ö Ö ¸ Ò Ó × Ó Ñ Ô Ø º
º Ó Ò × Ù Ò × Ð Ó Ñ Ô
Ð Ô Ö Ñ Ö Ø Ó Ö Ñ Ø Ò Õ Ù Ú Ö Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ù Ò Ø ×
Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
Á Ê º × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ø Ò Ö Ó Ö Ñ Ò Ø
Ý × Ö Ð Ó ¸ Ü × Ø Ù Ò Ñ
Ò Ñ Ó Ô Ö ¸ × Ö ¸ Ü × Ø Ü
¾ Ø Ð Õ Ù ́ Ü µ
Ò
Ý ¾
́ Ý µ
Ä Ó × × Ù Ò Ø × Ø Ó Ö Ñ × Ò Ó × Ò Ù Ò Ö × Ô Ù × Ø
Ì Ó Ö Ñ º
Ë Ò Ý Ó × × Ô Ó × Ò º Ë
Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ó Ñ Ô Ø Ó º Ò Ø Ó Ò × ́ µ ́ Ü µ ¾ Ü ¾
× Ó Ñ Ô Ø Ó º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Ý
Ò
Ò ¾ Á Æ
́ µ Ù Ò × Ù × Ó Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ò ́ µ º
È Ó Ö Ð ¬ Ò Ó Ò ́ µ × Ø Ò Õ Ù Ò ¾ Á Æ Ü × Ø Ü
Ò
¾ Ø Ð Õ Ù ́ Ü
Ò
µ
Ý
Ò
º Ó Ñ Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ü × Ø Ü
Ò
¾ Á Æ
× Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
¸ Ø Ð Õ Ù
Ü
Ò
Ü ¾ º È Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ø Ñ Ò Õ Ù ́ Ü
Ò
µ
́ Ü µ
¾ ́ µ Ù Ò Ó
½ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ý
Ò
¾ Á Æ
× Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò
Ó Ò Ú Ö Ò Ø
Ý
Ò
Ý × Ù Ð Ñ Ø × ́ Ü µ
¾ ́ µ º Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × × Õ Ù ́ µ ×
Ó Ñ Ô Ø Ó º £
Ì Ó Ö Ñ º
Ë ́ ¡ µ Ù Ò × Ô Ó Ò Ý º
Ë Á Ê × Ó Ò Ø Ò Ù Ý × Ó Ñ Ô Ø Ó Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ü ¾ Ø Ð Õ Ù
´ Ü µ ́ Ü µ Ü ¾
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 125/164
º º Ç Æ Ë Í Æ Á Ë Ä Ç Å È Á ½ ¾
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ́ µ Á Ê × Ó Ñ Ô Ø Ó Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ó Ø ¹
Ó Ò Á Ê ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ù Ò ¬ Ñ Ó × ¬ Ò Ø Ó º Ë ¼ ¸ Ô Ó Ö ¬ Ò Ó Ò Ò ¬ Ñ Ó
Ü
¾ Ø Ð Õ Ù
Ò
Ý ¾
́ Ý µ
́ Ü
µ
Ò
Ý ¾
́ Ý µ ·
Ð Ò Ó
½
Ò
Ó Ò × Ø Ö Ù Ñ Ó × Ù Ò × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ø Ð Õ Ù
́ Ü
Ñ
µ Ò
Ý ¾
́ Ý µ
½
Ò
Ñ Ò
× Ö ¸ ́ Ü
Ò
µ
Ò
º Ó Ñ Ó
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ý × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ü × Ø
Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
¾ Á Æ
Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ü ¾ º Ó Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù ¸
́ Ü
Ò
µ ´ Ü µ ¸ Ý Ó Ñ Ó Ü
Ò
¾ Á Æ
× × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü
Ò
µ Ò
º Ö × Ð Ù Ò Ð Ó × Ð Ñ Ø × ¸ × Ó Ò Ð Ù Ý Õ Ù
´ Ü µ Ò
º £
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ½ Ë × Ó Ò Ø Ò Ù Ý × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ü Ø Ð Õ Ù
´ Ü µ ́ Ü µ Ü ¾
Ä Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ò Ø Ö Ó Ö × × Ô Ù Ò Ö × Ù Ñ Ö Ò Ð × Ù Ò Ø Ö × Ø Ó
Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ó Ö Ù Ò Ó Ñ Ô Ø Ó Ð Ò Þ × Ù Ñ Ü Ñ Ó Ý × Ù Ñ Ò Ñ Ó º
Ä × Ù Ò Ø Ó Ò × Ù Ò ¸ Ý Ù Ò Ù Ò
Ì Ó Ö Ñ º ½ ¼ Ò Á Ê
Ò
Ø Ó × Ð × Ò Ó Ö Ñ × × Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø × º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ø Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð
Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Ò º
Ë
¡ Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Õ Ù Ö Ò Á Ê
Ò
Ë Ü ¾ Á Ê
Ò
̧ Ü × × Ö Ó Ñ Ó Ü
È
Ò
½
Ü
¸ Ó Ò
Ò
½
× Ð × Ò Ó Ò
Á Ê
Ò
Ý Ü
Ò
½
Á Ê Ò Ø Ó Ò ×
Ü
Ò
½
Ü
Ò
½
Ü
Ü
¾
Ú
Ù
Ù
Ø
Ò
½
¾
Ä Ù Ð Ø Ñ × Ù Ð × Ó Ø Ò Ô Ð Ò Ó Ð × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Ø Þ
Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × ´ Ü
½
Ü
Ò
µ Ý ́
½
Ò
µ º
¬ Ò Ò Ó Ð Ó Ò × Ø Ò Ø
¾
́
È
Ò
½
¾
µ
½ ¾
Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ü
¾
Ü
¾
Ü ¾ Á Ê
Ò
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 126/164
½ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
Ä Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò ¡ ́ Á Ê
Ò
¡
¾
µ Á Ê × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ò
Ø Ó × Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ù Ò × Ù × Ó Ò Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ü Ò ́ Á Ê
Ò
¡
¾
µ ¸ × Ö ¸
Ü
Ò
Ü
¾
¼ Ù Ò Ó Ò ½ Ò Ø Ó Ò ×
Ü
Ò
Ü Ü
Ò
Ü
¾
Ü
Ò
Ü
¾
¼
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü
Ò
Ü Ù Ò Ó Ò ½ º
Ë Ë Ü ¾ Á Ê
Ò
Ü
¾
½ º × Ø × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó Ý Ó Ø Ó
Ò ́ Á Ê
Ò
¡
¾
µ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó º È Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö ¸ Ü × Ø
Ò Ø Ó Ò × Ü ¾ Ë Ø Ð Õ Ù
Ü Ü Ü ¾ Ë
Ë Ü ¼ ¾ Á Ê
Ò
¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ü
Ü
¾
¾ Ë
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ü
Ü
Ü
¾
µ Ü Ü
¾
Ü Ü ¾ Á Ê
Ò
¬ Ò Ò Ó
½
Ü Ó Ø Ò Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × Õ Ù
½
Ü
¾
Ü
¾
Ü
¾
Ü ¾ Á Ê
Ò
Ó Ò Ð Ù Ý Ò Ó × Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º £
¬ Ò Ó Ò º ½ Ë Ò ́ ¡
µ Ý ́ ¡
µ × Ô Ó × Ú Ø Ó Ö Ð × Ò Ó Ö Ñ Ó × º
Ë º × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò ×
¼
¼ Ø Õ
Ü
Ý
µ ́ Ü µ
́ Ý µ
Ç × Ö Ú Ó Ò º ½ ¼ Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò µ Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ò Ð Þ Ñ Ó × Ð Ô Ø Ù Ð Ó Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ
Ì Ó Ö Ñ º ½ ½ Ë Ò ́ ¡
µ Ý ́ ¡
µ × Ô Ó × Ú Ø Ó Ö Ð × Ò Ó Ö Ñ Ó × º
Ë Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ó Ñ Ô Ø Ó º Ò Ø Ó Ò × × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø
Ó Ò Ø Ò Ù Ò º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 127/164
º º Ç Æ Ë Í Æ Á Ë Ä Ç Å È Á ½ ¾
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ò Ó × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò º
Ò Ø Ó Ò ×
¼ ¼ Ü Ý ¾ Ø Õ Ü Ý
́ Ü µ ́ Ý µ
Ë Ò ¾ Á Æ ¸ Ø Ó Ñ Ñ Ó × ½ Ò ¼ Ý × Ó Ñ Ó × Ü
Ò
Ý
Ò
¾ Ø Ð × Õ Ù
Ü
Ò
Ý
Ò
½
Ò
́ Ü
Ò
µ ́ Ý
Ò
µ
Ó Ñ Ó Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ý × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ü × Ø Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
¾ Á Æ
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ü ¾ º × Ù Ú Þ Ð × Ù × Ó Ò Ý
Ò
¾ Á Æ
Ô Ó ×
Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ý
Ò
Ð
Ð ¾ Á Æ
Ó Ò Ú Ö Ò Ø ¸ Ý
Ò
Ð
Ý ¾ º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ü
Ò
Ð
× Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
Ø Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ò Ú Ö Ü º Ä Ó Ò Ø Ö Ó Ö
Ñ Ô Ð Õ Ù ´ Ü
Ò
Ð
Ý
Ò
Ð
µ ́ Ü Ý µ Ù Ò Ó Ð ½ ¸ Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø
Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ü
Ò
Ý
Ò
½
Ò
Ò ¾ Á Æ µ Ü
Ò
Ð
Ý
Ò
Ð
½
Ò
Ð
¼
× Ö ¸ ´ Ü
Ò
Ð
Ý
Ò
Ð
µ ¼ Ù Ò Ó Ð ½ Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù Ü Ý º
È Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð × × Ù × Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
́ Ü
Ò
Ð
µ ́ Ý
Ò
Ð
µ
Ð ¾ Á Æ
Ì Ó Ñ Ò Ó Ð Ñ Ø Ù Ò Ó Ð ½ Ý Ö × Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Õ Ù
́ Ü µ ́ Ý µ
¼
Ð Ó Õ Ù × Ñ Ô Ó × Ð Ô Ù × Ü Ý º £
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 128/164
½ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
º Ö Ó ×
½ º Ó × Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ò Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ò Ó Ö Ñ Ó ¸ ¹
Ñ Ù × Ø Ö
´ µ Ò Ø ´ µ Ò Ø ´ µ Ò Ø ´ µ
´ µ Ò Ø ´ µ Ò Ø ´ µ Ò Ø ´ µ ´ Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ó Ò Ò Ó Ý Ù Ð ¹
µ
´ µ ´ µ ´ µ ´ µ º
´ µ ´ µ µ ´ µ ´ µ ´ Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ó Ò Ò Ó Ý
Ù Ð µ º
´ µ ´ µ Ò Ø ´ µ Ö ́ µ º
´ µ µ Ò Ø ´ µ Ò Ø ´ µ Ý ´ µ ´ µ º
´ µ Ò Ø ´ µ
̧ Ò Ø ´ µ
´ µ º
´ µ ´ µ
Ý Ò Ø ´ µ µ Ò Ø ´ µ º
´ µ Ò Ø ´ ´
µ µ ´ ´ µ µ
º
´ µ ´
µ ´ Ò Ø ´ µ
µ º
¾ º Ë Ò Á Ê
Ò
º Ë ¬ Ò · Ü Ü ·
¾
¾ º
´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù · × Ö Ø Ó × × Ö Ø Ó
´ µ Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ò Á Ê Ó Ò Ý × Ò Ö Ö Ó × Ô Ö Ó · Ò Ó
× Ö Ö Ó º
¿ º Î Ö ¬ Ö Õ Ù Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
́ Ü Ý µ
¾ Á Ê
¾
Ü
¾
· Ü Ý Ü
× Ö Ø Ó Ò Á Ê
¾
º Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ò Á Ê
¾
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Õ Ù Ò Ó × Ö Ø Ó Ò Ö Ö Ó º
º Ó Ò × Ö Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð ´ ¼ ½ Á Ê µ Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ×
¼ ½ Á Ê º ¬ Ò Ñ Ó × Ð × Ù × Ó Ò
Ô Ó Ö
½ × Ü ¾ ¼ ½ ¾
¾
́ Ü ½ ¾ µ · ½ × Ü ¾ ½ ¾ ¾
· ½ ¾
¼ × Ü ¾ ¾
· ½ ¾ ½
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 129/164
º º Â Ê Á Á Ç Ë ½ ¾
´ µ Î Ö ¬ Ö Õ Ù
¾ ´ ¼ ½ Á Ê µ ¾ Á Æ º
´ µ Ë ¬ Ò Ð Ò Ó Ö Ñ ¡
½
Ò ´ ¼ ½ Á Ê µ ¸ Ó Ñ Ó
½
½
Ê
¼
́ Ü µ Ü º
Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ô Ö × Ø Ò Ó Ö Ñ
× Ù Ý Ý Ò Ó × Ó Ò ¹
Ú Ö Ò Ø º
´ µ Ë ´ ¼ ½ Á Ê µ Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ø ×
¼ ½ Ò Á Ê ¸ Ó Ø Ó Ð Ò Ó Ö Ñ
½
¸ ¬ Ò Ô Ó Ö
½
× Ù Ô
Ü ¾ ¼ ½
́ Ü µ ¸ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù
× Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ò × Ø × Ô Ó º
º Ë Ð × Ø Ò Ò Á Ê
Ò
¸ × Ó Ð Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ò Á Ê
Ò
́ ́ Ü Ý µ
Ü Ý µ º Ë Ò Á Ê
Ò
Ý Á Ê
Ò
Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ò Ó Ú Ó × ¸ Ñ Ù × Ø Ö
´ µ Ü ¾ Á Ê
Ò
́ Ü µ ́ Ü µ × Ö Ö Ó
´ µ Ü ¾ Á Ê
Ò
́ Ü µ ́ Ü µ × Ö Ø Ó Ó Ò ́ Ü µ
Ò ́ Ü Ý µ Ý ¾ º
´ µ Ë Ý × Ó Ò Ö Ö Ó × Ý × Ù Ò Ø Ó × Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò Ó × Ö Ø Ó ×
Ò Ó Ú Ó × Í Ý Î Ø Ð × Õ Ù Í Ý Î Ý Í Î º
º Ë Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ð Ó × Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó × Ù Ò Ú Ö Ð Ö Ð Ó Ò
Ó ¬ Ò Ø × Ö Ð × º ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò ¡ Á Ê Ô Ó Ö
Ô Ñ Ü
Ü ¾ ¼ ½
Ô ́ Ü µ Ô Ö Ø Ó Ó Ô ¾
´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù ¡ × Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ò Ð × Ô Ó º
À Ò Ø Í × Õ Ù Ù Ò Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó Ø Ò Ü Ø Ñ Ò Ø Ø Ò Ø Ó × Ö Ó × Ó Ñ Ó
Ð Ö Ó ¸ Ü Ô Ø Ó × × Ð Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó Ò Ù Ð Ó º
´ µ Ó Ò × Ö Ð Ù Ò Ó Ò
½
Á Ê ¬ Ò Ô Ó Ö
½
́ Ô µ Ô ´ ½ ¾ µ Ô Ö Ø Ó Ó Ô ¾
Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù
º Ð Ù Ò Ó Ò
½
× Ð Ò Ð Ý Ú Ö ¬ Ð × Ù Ð
à ¾ Á Ê Ø Ð Õ Ù
½
́ Ô µ Ã Ô Ô Ö Ø Ó Ó Ô ¾
º Ä Ù Ò Ó Ò
½
× Ó Ò Ø Ò Ù º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 130/164
½ ¿ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù × Ô
× Ù Ò × Ù × Ó Ò Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ù Ò
Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó Ô Ò Ø Ó Ò ×
Ô
́ Ü µ Ô ́ Ü µ Ü ¾ ¼ ½
´ µ Ó Ò × Ö Ð × Ù × Ó Ò Ô
Ò ¬ Ò Ô Ó Ö Ô
́ Ü µ Ü
Ý ¹
Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù
º Ô
½ Ô Ö Ø Ó Ó ¾ Á Æ º
º Ô
Ò Ó Ø Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò º
º ´ ¼ ½ µ Ò Ò Ó × Ó Ñ Ô Ø º
º Ë Ì Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ø Ð Õ Ù Ì
× Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ì Ø Ò
Ù Ò Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó º
º Ë
½
Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ò Ð º Ú º Ý
Ù Ò × Ù × Ó Ò Ù Ý Ö × Ô Ø Ó
Ò Ó Ö Ñ º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù ×
¾
× Ó Ø Ö Ò Ó Ö Ñ Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø
½
¸ Ò Ø Ó Ò ×
× × Ù × Ó Ò Ù Ý Ø Ñ Ò Ö × Ô Ø Ó Ð
¾
º
Ë × Ò Ö × Ô Ø Ó
½
× Ô Ù Ö Õ Ù × Ò Ó Ò
¾
½ ¼ º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ó × × Ù × Ó Ò × Ù Ý ´ Ü
µ Ý ́ Ý
µ Ò Á Ê
Ò
Ø Ò Ð
Ñ × Ñ Ó Ð Ñ Ø × × Ð Ñ
½
Ü
Ý
¼ º
½ ½ º Ë Ò Á Ê
º Ë ¬ Ò · Ü Ü · ¾ ¾ º
´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù · × Ó Ñ Ô Ø Ó × Ý × Ó Ò Ó Ñ Ô Ø Ó × º
´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù × Ý × Ö Ö Ó × Ý ́ Ó µ Ó Ø Ó Ò Ø Ó Ò ×
· × Ö Ö Ó º
½ ¾ º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù × × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó Ý
¸ Ò Ø Ó Ò ×
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó º
½ ¿ º µ Ë
¾ Á Æ
× Ù Ò Ñ Ð Ö Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó × ´ Ò Ó
Ú Ó × µ Ò Ù Ò º Ú º Ò ¸ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù
Ì
¾ Á Æ
º
µ µ Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ò Á Ê Ù Ò Ñ Ð Ö Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
Ó Ø Ó × ´ Ò Ó Ú Ó × µ Ù Ý Ò Ø Ö × Ó Ò × Ú º
µ Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ò Á Ê Ù Ò Ñ Ð Ö Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ö Ó ×
´ Ò Ó Ú Ó × µ Ù Ý Ò Ø Ö × Ó Ò × Ú º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 131/164
º º Â Ê Á Á Ç Ë ½ ¿ ½
½ º Ë Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ò Ó Ö Ñ Ó ¸ Ý × Ò Ö Ö Ó × Ý × Ò
Ó Ñ Ô Ø Ó × º È Ö Ó Ö Õ Ù
´ µ Ë ́ µ Ò
Ü ¾ Ý ¾
Ü Ý ¼ Ò Ø Ó Ò × º
´ µ Ë ́ µ Ò
Ü ¾ Ý ¾
Ü Ý ¼ Ò Ø Ó Ò × Ò Ó Ò × Ö Ñ Ò Ø
º
½ º Ë Ò ´ ¡
µ Ý ́ ¡
Ó × × Ô Ó × Ú Ø Ó Ö Ð × Ò Ó Ö Ñ Ó × º ¬ Ò Ñ Ó ×
́ ¢ ¡ µ Ó Ñ Ó Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ò Ó Ö Ñ Ó Ó Ò ´ Ü Ý µ ¾ ¢
´ µ Ü ¾ Ý ¾ Ý Ð Ò Ó Ö Ñ Ò ¢ × ¬ Ò Ó Ñ Ó ́ Ü Ý µ
Ü
· Ý
º Ë Ò Ý Ó Ñ Ô Ø Ó × º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù
Ò Ø Ó Ò × ¢ × Ó Ñ Ô Ø Ó Ò ¢ º
½ º Ë Í Á Ê
Á Æ
¸ × Ö ¸ Ð × Ô Ó Ð × × Ù × Ó Ò × º Ó Ò × Ö Ò Í Ð
Ò Ó Ö Ñ
Ü
× Ù Ô
Ü
¾ Á Æ
Á Ò Õ Ù Ù Ð ´ × µ Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × × Ó Ò Ó Ñ Ô Ø Ó × º
¼
́
¼ ½ µ
Ü ¾ Í Ü
½ ¾ Á Æ
½
́
¼ ½ µ Ü ¾ Í Ü
½
¾ Á Æ
¾
́
¼ ½ µ Ü ¾ Í Ü
½ ¾ Á Æ
½ º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ò Á Ê
Ò
̧ ¡
Ô
× Ø Ú Ñ Ò Ø Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ô Ö ½ Ô
½ º È Ö Ð Ð Ó Ð × Ö Ù Ø Ð Ñ Ó × Ø Ö Ö Ô Ö Ñ Ö Ó Ð × Ù Ò Ø × Ù Ð
Ò Ù Ñ Ö Ó × Ö Ð × ´ × Ù Ð Å Ò Ó Û × µ Ë Ò Ô Õ ¾ ´ ½ · ½ µ Ø Ð ×
Õ Ù
½
Ô
·
½
Õ
½ º ¼
½
Ô
Ô
·
½
Õ
Õ
È Ö Ô Ö Ó Ö × Ø Ó Ö Ù Ö Õ Ù Ð Ó × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ú Ò Ý Ø Ú º
½ º Ë Ù Ò º Ú º Ò º Í Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
×
¼ ¼ Ü Ü
¼
µ ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ̧
¼ ¼ ́ Ü
¼
µ
½
́ ́ ́ Ü
¼
µ µ µ
Ë Ä Á Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð Ò Ð º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð × × Ù Ò Ø ×
Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × × Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø × º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 132/164
½ ¿ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
´ µ Ä × Ó Ò Ø Ò Ù Ò º
´ µ Ä × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ¼ ¾ º
´ µ × Ù Ô
Ü ¾ Ü ¼
Ä Ü
Ü
× Ù Ô
Ü ½
Ä Ü · ½
Ë
¼
Ä Á Ê Ä × Ð Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ó
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð º È Ö Ù Õ Ù
¼
× Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð ¸ Ý Õ Ù
Ä
¼
× Ù Ô
Ü ¾ Ü ¼
Ä Ü
Ü
× Ù Ô
Ü ½
Ä Ü
¬ Ò Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ò
¼
º È Ö Ù Ø Ñ Ò Õ Ù
¼
× Ù Ò × Ô Ó
Ò º ´ Ù Ò Õ Ù Ò Ó Ð Ó × µ º
½ º Ñ Ù × Ø Ö Ð × Ù Ù Ò Ø Ö Ø Ö Þ Ó Ò × Ô Ó × Ò º Ë
Ù Ò º Ú º Ò º
× Ù Ò × Ô Ó Ò
× Ý × Ó Ð Ó ×
́ Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
½
½
Ü
½ µ
½
½
Ü
Ó Ò Ú Ö Ò µ
Á Ò Ó Ò È Ö Ð Ñ Ô Ð Ó Ò ́ ́ µ ¸ Ù Ò × Ù × Ó Ò Ù Ý
Ü
Ò
Ò ¾ Á Æ
Ò ¸ Ó Ò × Ø Ö Ù Ý Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
¾ Á Æ
Ø Ð Õ Ù
½
È
½
Ü
Ò
· ½
Ü
Ò
½ º Ä Ù Ó Ó Ò Ð Ù Ý º
¾ ¼ º Å Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ù Ó Ò Ò Ø Ö Ð
Ù ́ Ü µ
½
¾
½
¼
Ü Ý
Ó × ´ Ù ́ Ý µ µ Ý
Ø Ò Ù Ò Ý × Ó Ð Ó Ù Ò × Ó Ð Ù Ó Ò Ò Ð × Ô Ó ´ ¼ ½ Á Ê µ º È Ö Ð Ð Ó ¬ Ò
Ð Ó Ô Ö Ó Ö
́ Ù µ ́ Ü µ
½
¾
½
¼
Ü Ý
Ó × ´ Ù ́ Ý µ µ Ý
Ý Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù × Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø º Ò ´ ¼ ½ Á Ê µ Ù × Ð Ò Ó Ö Ñ Ð
× Ù Ô Ö Ñ Ó º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 133/164
º º Â Ê Á Á Ç Ë ½ ¿ ¿
¾ ½ º Ó Ò × Ö Ð Ù Ó Ò Ò Ø Ö Ð
Ù ́ Ü µ ·
Ü
¼
× Ò ´ Ù ́ × µ · Ü µ ×
Å Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ù Ó Ò Ô Ó × × Ù Ò Ý × Ó Ð Ó Ù Ò × Ó Ð Ù Ó Ò Ò ´ ¼ ½ ¾ Á Ê µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 134/164
½ ¿ È
Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç
Á
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 135/164
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 136/164
½ ¿ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ñ Ô Ð Ó º ½ Ë ́ Ü Ý µ ́ Ü
¾
· Ð Ò Ý Ý
¾
· Ü Ý
¿
µ ¸ Ò Ø Ó Ò × ´ ½ ½ µ ´ ½ ¾ µ
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ó Ò ́ Ü Ý µ ́
½
¾
µ
Ü
¾
· Ð Ò Ý
½
Ý
¾
· Ü Ý
¿
¾
Ó Ò ´
½
¾
µ Ö ´ ½ ¾ µ º
́ Ü Ý µ
¾ Ü ½ Ý
Ý
¿
¾ Ý · ¿ Ü Ý
¾
Ú Ð Ù Ò Ó Ð Â Ó Ò Ó Ò ´ Ü Ý µ ´ ½ ½ µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
´ ½ ½ µ
¾ ½
½
Õ Ù × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ò Ú Ö Ø Ð º
Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × ¸ Ö × Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ú Ö × Õ Ù Ð Ù Ó Ò
Ø Ò Ù Ò Ý × Ó Ð Ó Ù Ò × Ó Ð Ù Ó Ò ́ Ü ́
½
¾
µ Ý ́
½
¾
µ µ Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö ´
½
¾
µ Ö ¹
Ò Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ½ ¾ µ º Å × Ù Ò ́ Ü ́
½
¾
µ Ý ́
½
¾
µ µ × Ø Ö ´ ½ ½ µ Ý ¹
Ô Ò ´
½
¾
µ Ñ Ò Ö Ö Ò Ð º
Ñ Ô Ð Ó º ¾ Ñ Ó Ó Ó Ö Ò × × Ö ×
Ü Ö × Ò Ó ×
Ý Ö × Ò × Ò
Þ Ö Ó ×
Ä Ð Ñ Ö Ñ Ó × ¨ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × º Ð Â Ó Ò Ó Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ò
Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ö ½ ×
¨ ´ ½ µ
¼
½ ¾ ½ ¾ ½ ¾
½ ¾ ½ ¾ ½ ¾
Ô
¾ ¾ ¼
Ô
¾ ¾
½
× Ø Ñ Ø Ö Þ × Ò Ú Ö Ø Ð Ô Ù × × Ù Ø Ö Ñ Ò Ò Ø × Ù Ð
Ô
¾ ¾ º Ò Ò Ö Ð
× Ø Ò Õ Ù ¨ ́ Ö µ Ö
¾
× Ò Õ Ù × × Ø Ò Ø Ó Ö Ó Ü Ô Ø Ó × Ö ¼ Ó
× × Ò ¼ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ × Ð Ú Ó Ò Ð Þ Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò ¨ × Ð Ó Ð Ñ Ò Ø
Ý Ø Ú º
È Ö Ú Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ñ ¸ Ö Ó Ö Ñ Ó × Ø Ö × Ö × Ù Ð Ø Ó × Õ Ù
× Ö Ò Ù Ø Ð º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 137/164
º ½ º Ì Ç Ê Å Ä Í Æ Á
Ç Æ Á Æ Î Ê Ë ½ ¿
½ º Ò Å
Ò ¢ Ò
́ Á Ê µ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ò Ó Ö Ñ
Ú
Ù
Ù
Ø
Ò
½
Ò
½
¾
´ Æ Ó Ö Ñ Ö Ó Ò Ù × µ
Ò Ø Ó Ò × Ü
¾
Ü
¾
× Ü ¾ Á Ê
Ò
̧ ¾ Å
Ò ¢ Ò
º
Ñ ×
¸ × ¾ Å
Ò ¢ Ò
¾ º Ó Ö Ó Ð Ö Ó Ð Ø Ó Ö Ñ Ð È Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ë ´ ¡ µ × Ù Ò
× Ô Ó Ò ¸ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó Ý × Ù Ò
Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ü ¾ Ø Ð Õ Ù ́ Ü µ Ü º
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ð Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ë Í Á Ê
Ò
Ð ×
½
̧ Í Ù Ò Ó Ò ¹
Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ü Ó º Ë
́ Ü µ
Ü ¾ Í ¸ Ò Ø Ó Ò × ́ Ü µ ́ Ý µ
Ô
¾
½
· ·
¾
Ò
Ü Ý Ü Ý ¾ Í º
Ò Ö Ð × Ø Ò Õ Ù × ́ Ü µ Ü ¾ Í Ò Ø Ó Ò × ́ Ü µ
́ Ý µ
Ü
Ý
¸ Ô Ù ×
́ Ü µ ́ Ý µ
½
¼
́ Ø Ü · ´ ½ Ø µ Ý µ ¡ ́ Ü Ý µ Ø
½
¼
́ Ø Ü · ´ ½ Ø µ Ý µ ¡ ́ Ü Ý µ Ø
½
¼
́ Ø Ü · ´ ½ Ø µ Ý µ Ü Ý Ø
Ü Ý
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Á Ò Ú Ö × µ
Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù × × Ð ×
½
Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ò Ó Ò
ª Å
Ò ¢ Ò
Ü ́ Ü µ
× Ó Ò Ø Ò Ù Ô Ù ×
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
Ú
Ù
Ù
Ø
Ò
½
Ò
½
Ü
́ Ü µ
Ü
́ Ü
¼
µ
¾
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 138/164
½ ¿ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ý Ó Ñ Ó Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ Ó ¼ ¸ Ü × Ø Ò
¼ Ø Ð × Õ Ù Ü Ü
¼
µ
Ü
́ Ü µ
Ü
́ Ü
¼
µ
Ò
¸ Ò Ø Ó Ò × × Ó Ò Ó
Ñ Ò
¼ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü Ü
¼
µ ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
Ô
Ò
¾
́
Ò
µ
¾
º
É Ù Ö Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ü × Ø Ò Ö Ø Ó × Í Ý Î Ø Ð × Õ Ù Í Î ×
Ý Ø Ú ¸ Ð Ó Õ Ù × Ô Ù Ü Ô Ö × Ö Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × Ó Ñ Ó Ó Ý ¾ Î
Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ü ¾ Í Õ Ù × × Ó Ð Ù Ó Ò Ð Ù Ó Ò ́ Ü µ Ý º Ñ ×
́ Ü µ Ý ̧ Ý ́ Ü µ ¼
̧ ́ µ
½
́ Ý ́ Ü µ µ ¼ Ô Ù × ́ µ × Ò Ú Ö Ø Ð
̧ Ü · ́ µ
½
́ Ý ́ Ü µ µ Ü
Ò Ø Ó Ò × Ó Ý
¾ Î ¸ Ö × Ó Ð Ú Ö Ð Ù Ó Ò ́ Ü µ Ý × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ò Ó Ò ¹
Ø Ö Ö Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ð Ù Ò Ó Ò ³
Ý
́ Ü µ Ü · ́ µ
½
́ Ý ́ Ü µ µ Ó Ñ Ó ×
Ó Ò Ø Ò Ù Ò ¸ Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù
Ü ¾ ́ µ µ ́ Ü µ ́ µ
½
¾
Ô
Ò ́ µ
½
È Ö Ô Ö Ó Ö Õ Ù ́ µ Á Ê
Ò
× Ò Ý Ø Ú ¸ × Ø Ô Ö Ó Ö Õ Ù ³
Ý
×
Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø ¸ Ò Ø Ó ́ Ü
½
µ Ý ́ Ü
¾
µ Ý µ ³
Ý
́ Ü
½
µ Ü
½
³
Ý
́ Ü
¾
µ Ü
¾
Ý
× ³
Ý
× Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø Ò Ø Ó Ò × ³
Ý
́ Ü
½
µ ³
Ý
́ Ü
¾
µ Ü
½
Ü
¾
µ Ü
½
Ü
¾
Ü
½
Ü
¾
Ý Ó Ñ Ó ½ ̧ Ü
½
Ü
¾
º
Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù ³
Ý
× Ð ×
½
º È Ö Ô Ö Ó Ö Õ Ù × Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ñ Ó ×
Ð Ò Ó Ö Ñ × Ù Ö Ú
³
Ý
́ Ü µ Á ́ µ
½
́ Ü µ ́ µ
½
́ ́ µ ́ Ü µ µ
Ó Ò Á × Ð Ñ Ø Ö Þ Ò Ø Ò ¢ Ò º
³
Ý
́ Ü µ
́ µ
½
́ µ ́ Ü µ
½
¾
Ô
Ò
Ð Ù Ð Ø Ñ × Ù Ð × Ú Ð × Ü ¾ ́ µ º
Ò Ø Ó Ò × Ó Ñ Ó ́ µ × Ó Ò Ú Ü Ý ́ ³
Ý
µ
́ Ü µ
½
¾
Ô
Ò
Ô Ö ½ Ò ̧
Ó Ø Ò Ñ Ó ×
³
Ý
́ Ü µ ³
Ý
́ Þ µ Ü Þ
Ú
Ù
Ù
Ø
Ò
½
́
½
¾
Ô
Ò
µ
¾
½
¾
Ü Þ Ü Þ ¾ ́ µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 139/164
º ½ º Ì Ç Ê Å Ä Í Æ Á
Ç Æ Á Æ Î Ê Ë ½ ¿
Ë ¬ Ò Ñ Ó × Í ́ µ Ý Î ́ Í µ ¸ Ò Ø Ó Ò × Í Î × Ý Ø Ú º
Î Ñ Ó × Õ Ù Î × Ö Ø Ó º
Ë Ý ¾ Î Ý Ü ¾ ́ µ Ø Ð Õ Ù ´ Ü µ Ý º À Ý Õ Ù Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ü × Ø
¼ Ø Ð Õ Ù × Ý
¾ ´ Ý µ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ü
¾ Í Ø Ð Õ Ù ́ Ü µ Ý
̧ Ü
³
Ý
́ Ü µ ¸ × Ö ¸ ´ Ý µ
́ Í µ Î º
Ë Ö ¼ Ø Ð Õ Ù ´ Ü ¾ Ö µ Í ¸ Ý Ü ¾
´ Ü Ö µ
³
Ý
́ Ü µ Ü ³
Ý
́ Ü µ ´ Ü · ́ µ
½
µ Ý ´ Ü µ µ µ · ́ µ
½
́ Ý Ý µ
³
Ý
́ Ü µ ³
Ý
´ Ü µ · ́ µ
½
́ Ý Ý µ
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
³
Ý
́ Ü µ Ü ³
Ý
́ Ü µ ³
Ý
´ Ü µ · ́ µ
½
́ Ý Ý
½
¾
Ü Ü · ́ µ
½
Ý Ý
Ë × Ó Ñ Ó × Ö ´ ¾
́ µ
½
µ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù
Ý
¾ ´ Ý µ Ð Ù Ò Ó Ò
³
Ý
´ Ü Ö µ
´ Ü Ö µ
× Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ó Ò Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ü ¾
´ Ü Ö µ Í
Ø Ð Õ Ù
³
Ý
́ Ü µ Ü µ ́ Ü µ Ý
Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × × Õ Ù ´ Ý µ Î ¸ × Ö ¸ Î × Ö Ø Ó º
Ê × Ø × Ø Ù Ö Ð Ö Ò Ð Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ú Ö × º Ë Ò Ý Ý · ¾ Î
Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò Ù Ò Ó × Ü Ü · ¾ Í Ø Ð × Õ Ù Ý ́ Ü µ Ý Ý · ́ Ü · µ
Ò Ø Ó Ò ×
½
́ Ý · µ
½
́ Ý µ ́ Ü µ
½
́ Ü µ
½
́ Ü µ
½
́ ́ Ü · µ ́ Ü µ ́ Ü µ µ
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
½
́ Ý · µ
½
́ Ý µ ́ Ü µ
½
́ Ü µ
½
́ Ü · µ ́ Ü µ ́ Ü µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 140/164
½ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
È Ö Ó Ö Ñ Ó × Ó Ö Õ Ù ½ Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù ¼
Ù Ò Ó ¼ Ý Ó Ñ Ó × Ö Ò Ð Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ü ¸ Ð Ð Ó Ö Ó
Ð × Ù Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ò Ö Ó Ù Ò Ó ¼ ¸ Ó Ð Ò Ó × Õ Ù Ð
Ð Ó Þ Õ Ù Ö Ó Ø Ò Ö Ó Ø Ñ Ò ¸ Ð Ó Õ Ù Ô Ó Ö ¬ Ò Ó Ò × Ò ¬ Õ Ù
½
× Ö Ò Ð Ò Ý Ý
½
́ Ý µ ́ Ü µ
½
Ë × Õ Ù
́ µ
½
́ µ
½
́ ́ Ü · µ ́ Ü µ µ
· Ü
́ µ
½
́ ́ Ü · µ
Ý µ
Ü ·
́ µ
½
́ ́ Ü µ Ý µ
³
Ý
́ Ü · µ ³
Ý
́ Ü µ
½
¾
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ µ
½
́ µ
½
½ ¾
Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
½ ¾ ́ µ
½
́ µ
½
× Ö ¸
¾ ́ µ
½
½
Õ Ù × Ð Ó Õ Ù × Õ Ù Ö Ô Ö Ó Ö º
Ä Ó Ò Ø Ò Ù
½
́ Ý µ ́
½
́ Ý µ µ
½
× Ó Ø Ò Ð Ö Ð
Ö Ñ Ö Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ò Ú Ö × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ º È Ö Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ò Ú Ö Ø Ð
× Ø Ò Õ Ù
½
½
Ø ´ µ
Ó Ø Ó Ö ×
Ø
Ý Ó Ò Ó Ø Ó Ö × × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ó Ö Ñ Ô Ó Ö Ð Ó × × Ø Ò Ø Ó × × Ù Ø Ö Ñ ¹
Ò Ò Ø × Õ Ù × Ó Ø Ò Ò Ð × Ö Ð Ù Ò ¬ Ð Ý Ù Ò Ó Ð Ù Ñ Ò º Ò Ø Ó Ò ×
Ó Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ñ Ò Ø Ö Ò Ð ¸ × Ù × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò ¹
Ù × ¸ Ý Ö × Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ö Ñ Ö Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×
½
× Ö Ò
Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ñ Ò Ô Ù × × Ó Ò Ô Ö Ó Ù Ø Ó × Ý × Ù Ñ × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×
Ý Ù Ó Ò Ø Ó Ò Ð Ø Ö Ñ Ò Ò Ø ́
½
́ Ý µ µ Õ Ù × × Ø Ò Ø Ó Ö Ó Ý
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ô Ó Ö Ð Ñ × Ñ Ö Þ Ó Ò º £
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 141/164
º ¾ º Ì Ç Ê Å Ä Í Æ Á
Ç Æ Á Å È Ä
Á Á Ì ½ ½
º ¾ Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ø Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò Á Ê
¾
Á Ê ¸ Ý Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò
Ù Ó Ò Ð Ó Ö Ñ
́ Ü Ý µ ¼
× Ò Ø Ó Ò × Ò Ø Ù Ö Ð Ö Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ù Ò Ø × Ô Ó × Ð × Ô Ö Ý Ò
Ù Ò Ó Ò Ü
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù × ¸ × Ö ¸ Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ý ́ Ü µ Õ Ù × Ø ×
́ Ü Ý ́ Ü µ µ ¼
× Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ñ × Õ Ù Ý ́ Ü µ × Ó Ò Ö Ò Ð × ¸ Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ñ Ó × Ö Ú Ö
Ð Ù Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ü
Ü
·
Ý
Ý
Ü
¼
Ó ×
Ý
Ü
Ü
Ý
Ö Ú Ó Ò Ñ Ô Ð Ø
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ô Ó Ö Ö Ð Þ Ö × Ø Ð Ù Ð Ó × Ò × Ö Ó Õ Ù Ý ×
× Ø Ò Ø Ó Ö Ó º º
Ñ Ô Ð Ó º ¿ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø Ù Ó Ò
Ü
¾
· Ý
¾
½
× Ô Ó × Ð × Ô Ö Ý Ò Ù Ò Ó Ò Ü Ú Ò Ø Ñ Ò Ø Ð Ö × Ô Ù × Ø × Ø
Ô Ö Ù Ò Ø × Õ Ù Ò Ó × Ô Ó × Ð × Ô Ö Ð Ó Ð Ñ Ò Ø Ù Ò Ú Ö Ð Ò Ù Ò Ó Ò
Ð Ó Ø Ö ¸ Ô Ö Ó × ´ Ü
¼
Ý
¼
µ × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Õ Ù × Ø × Ð Ù Ó Ò ¸ × Ö ¸
Ü
¾
¼
· Ý
¾
¼
¼ Ý Ñ × Ý
¼
¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ô Ó × Ð × Ô Ö Ð Ó Ð Ñ Ò Ø Ý Ò
Ù Ò Ó Ò Ü ´ × Ö ¸ Ò Ù Ò Ú Ò ´ Ü
¼
Ý
¼
µ µ º Ñ × Ö Ú Ò Ó Ð
Ù Ó Ò × Ø Ò Õ Ù
¾ Ü · ¾ Ý
Ý
Ü
¼ µ
Ý
Ü
Ü
Ý
Ë Ò Ñ Ö Ó × Ý
¼
¼ × Ñ Ô Ó × Ð × Ô Ö Ý Ò Ù Ò Ó Ò Ü Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ð
Ô Ù Ò Ø Ó ´ Ü
¼
Ý
¼
µ º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 142/164
½ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ñ Ô Ð Ó º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ó Ö Ù Ò × Ó Ñ × Ò Ö Ð Õ Ù Ð Ò Ø Ö Ó Ö º Ë Ù Ô Ó Ò ¹
Õ Ù × Ø Ò Ò Ð × Ú Ö Ð × Ü
½
Ü
Ñ
Ý
½
Ý
Ò
Ö Ð Ó Ò × Ô Ó Ö Ò Ù Ó Ò ×
´ × × Ø Ñ Ù Ó Ò × µ ¸
́ Ü
½
Ü
Ñ
Ý
½
Ý
Ò
µ ¼ ½ Ò º × Ø Ó × Ô Ù × Ö Ö Ó Ñ Ó
Á Ê
Ñ
¢ Á Ê
Ò
Á Ê
Ò
́ Ü
½
Ü
Ñ
Ý
½
Ý
Ò
µ ́ Ü Ý µ
¼
½
́ Ü
½
Ü
Ñ
Ý
½
Ý
Ò
µ
º
º
º
Ò
́ Ü
½
Ü
Ñ
Ý
½
Ý
Ò
µ
½
Ò Ø Ó Ò × ́ Ü
½
Ü
Ñ
Ý
½
Ý
Ò
µ ¼ º
× Ô Ó × Ð × Ô Ö Ð × Ú Ö Ð × Ý ¸ Ò Ù Ò Ó Ò Ð × Ú Ö Ð × Ü × Ö ¸
Ü × Ø Ò Ù Ò Ó Ò × Ý
́ Ü
½
Ü
Ñ
µ ½ Ò Ø Ð × Õ Ù
́ Ü
½
Ü
Ñ
Ý
½
́ Ü
½
Ü
Ü
µ Ý
Ò
́ Ü
½
Ü
Ñ
µ µ ¼
Î Ñ Ó × Ð × Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ù Ò × × Ø Ñ Ð Ò Ð º Ë Ä Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ä ¾
Å
Ò ¢ ́ Ò · Ñ µ
¸ Ý Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × × Ø Ñ
Ü · Ý
Ò × Ø × Ó × Ô Ó × Ð × Ô Ö Ý Ò Ù Ò Ó Ò Ü Ù Ò Ó × Ò Ú Ö Ø Ð
Ý ́ Ü µ
½
½
Ü
Ì Ó Ö Ñ º ¾ ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø µ
Ë ª Á Ê
Ñ · Ò
Á Ê
Ò
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð ×
½
¸ Ý × ́ µ ¾ Á Ê
Ñ
¢ Á Ê
Ò
Ù Ò
Ô Ù Ò Ø Ó Ø Ð Õ Ù ́ µ ¼ º × Ö Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × ́ µ
Ü
́ µ
Ý
́ µ
Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ý
́ µ × Ò Ú Ö Ø Ð º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö ¹
Ø Ó × Í Á Ê
Ñ · Ò
Ï Á Ê
Ñ
Ó Ò ́ µ ¾ Í Ý ¾ Ï Ø Ð × Õ Ù Ô Ö Ü ¾ Ï
Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ý Ø Ð Õ Ù ́ Ü Ý µ ¾ Í Ý
́ Ü Ý µ ¼
× Ø Ó ¬ Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ï Á Ê
Ò
Õ Ù × Ð ×
½
Ý Õ Ù × Ø ×
́ Ü ́ Ü µ µ ¼ Ü ¾ Ï
Ñ × ́ Ü µ
Ý
́ Ü ́ Ü µ µ
½
Ü
́ Ü ́ Ü µ µ Ô Ö Ø Ó Ó Ü ¾ Ï Ý Ú ¹
Ò Ø Ñ Ò Ø ́ µ º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 143/164
º ¾ º Ì Ç Ê Å Ä Í Æ Á
Ç Æ Á Å È Ä
Á Á Ì ½ ¿
Ð Ù Ð Õ Ù Ò Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ú Ö × Ú Ñ Ó × Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ò Ø ×
Ö Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ñ º
Ñ Ô Ð Ó º Ó Ò × Ö Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò ×
Ü
¾
· × Ò ´ Ý µ · Ó × ´ Ý Þ µ Û
¿
½ ¼
Ü
¿
· Ó × ´ Ý Ü µ · × Ò ´ Þ µ Û
¾
½ ¼
µ Å Ù × Ø Ö Õ Ù × Ô Ó × Ð × Ô Ö ´ Ý Þ µ Ò Ù Ò Ó Ò ´ Ü Û µ Ò Ù Ò Ú Ò
Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
Û
¼
µ ´ ¼ ¼ ¼ ¼ µ º Ð Ù Ð Ö
Ý
Ü
´ ¼ ¼ µ º
µ × Ô Ó × Ð × Ô Ö ´ Ü Ý µ Ò Ù Ò Ó Ò Ð × Ú Ö Ð × ´ Þ Û µ Ò Ù Ò Ú Ò
´ ¼ ¼ ¼ µ É Ù × Ô Ù Ö × Ô Ö ´ Ü Û µ Ò Ù Ò Ó Ò ´ Ý Þ µ
Ë Ó Ð Ù Ó Ò
µ È Ö × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ × Ø Ò Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò ×
́ Ü Ý Þ Û µ ́ Ü
¾
· × Ò ´ Ý µ · Ó × ´ Ý Þ µ Û
¿
½ Ü
¿
· Ó × ´ Ý Ü µ · × Ò ´ Þ µ Û
¾
½ µ º
Ò Ø Ó Ò × × Ð ×
½
Ý ´ ¼ ¼ ¼ ¼ µ ´ ¼ ¼ µ º Ñ ×
́ Ý Þ µ
́ Ü Ý Þ Û µ
½
Ý
½
Þ
¾
Ý
¾
Þ
Ó × Ý
× Ò ´ Ý Þ µ Þ
× Ò ´ Ý Þ µ Ý
× Ò ´ Ý Ü µ Ü Ó × ´ Þ µ
Ð Ù Ó
́ Ý Þ µ
´ ¼ ¼ ¼ ¼ µ
½ ¼
¼ ½
Õ Ù × Ò Ú Ö Ø Ð º Ä Ù Ó ¸ Ö × Ð Ø Ö Ó Ö Ñ ¸ × Ô Ó × Ð × Ô Ö ´ Ý Þ µ Ò
Ù Ò Ó Ò ´ Ü Û µ Ñ Ò Ö Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ¼ ¼ µ º
Ë Ö Ú Ñ Ó × Ð × Ù Ó Ò × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ü Ó Ø Ò Ñ Ó ×
¾ Ü · Ó × ´ Ý µ
Ý
Ü
Ó × ´ Ý Þ µ ́ Ý
Þ
Ü
· Þ
Ý
Ü
µ ¼
¿ Ü
¾
× Ò ´ Ý Ü µ ́
Ý
Ü
Ü · Ý µ · Ó × ´ Þ µ
Þ
Ü
¼
Ú Ð Ù Ò Ó Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ¼ ¼ ¼ ¼ µ × Ø Ò Õ Ù Ý Ü ´ ¼ ¼ µ ¼ º
µ Ò × Ø × Ó × Ø Ò Õ Ù ´ ¼ ¼ ¼ µ ´ ¼ ¼ µ Ý
́ Ü Ý µ
́ Ü Ý Û Þ µ
¾ Ü Ó × ´ Ý µ × Ò ´ Ý Þ µ Þ
¿ Ü
¾
× Ò ´ Ý Ü µ Ü
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 144/164
½ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ Ü Ý µ
´ ¼ ¼ ¼ µ
¼ ½
¼ ¼
× Ø Ù Ð Ø Ñ Ò Ó × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ò Ú Ö Ø Ð Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ó × Ô Ð Ð º
Ë × Õ Ù × Ö × Ô Ö ´ Ü Û µ Ò Ù Ò Ó Ò ´ Ý Þ µ Ñ Ó × Ó × Ö Ú Ö Ð Ñ Ø Ö Þ
́ Ü Û µ
́ Ü Ý Þ Û µ
¾ Ü ¿ Û
¾
¿ Ü
¾
¾ Û
Õ Ù Ø Ñ Ô Ó Ó × Ò Ú Ö Ø Ð Ò Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × ´ ¼ ¼ ¼ ¼ µ Ý ´ ¼ ¼ ¼ µ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ó × Ô Ð Ð º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø µ
¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò
ª Á Ê
Ò · Ñ
Á Ê
Ò · Ñ
́ Ü Ý µ ́ Ü Ý µ ́ Ü ́ Ü Ý µ µ
Õ Ù × Ú Ò Ø Ñ Ò Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð ×
½
Ö × Õ Ù Ð Ó × º Ë Ù
Â Ó Ò Ó Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ µ ×
́ µ
Á
Ñ ¢ Ñ
¼
Ü
́ µ
Ý
́ µ
Õ Ù × Ò Ú Ö Ø Ð Ý Õ Ù Ô Ó Ö Ô Ó Ø × ×
Ý
́ µ Ð Ó × º Ñ × ́ µ ́ ¼ µ º
È Ó Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × Ô Ð Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Á Ò Ú Ö × Ð Ù Ò Ó Ò º
Ü × Ø Ò Ö Ø Ó × Í Î Á Ê
Ò · Ñ
Ø Ð × Õ Ù ´ µ ¾ Í ¸ ́ ¼ µ ¾ Î Ý Í Î
× Ý Ø Ú Ó Ò Ò Ú Ö × Ð ×
½
º ¬ Ò Ñ Ó × Ó Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ï Þ ¾
Á Ê
Ñ
́ Þ ¼ µ ¾ Î ¸ Ò Ø Ó Ò × ¾ Ï Ý Ï × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Á Ê
Ñ
Ô Ù ×
Î × Ö Ø Ó ´ Ö Ó Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ï × Ö Ø Ó µ º Ä Ù Ó ¸ Ô Ö
Þ ¾ Ï Ð Ù Ó Ò ́ Ü Ý µ ́ Þ ¼ µ Ø Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ô Ö ´ Ü
Þ
Ý
Þ
µ Ó Ñ Ó × Ó Ð Ù Ó Ò ̧
× Ö ¸
́ Ü
Þ
́ Ü
Þ
Ý
Þ
µ µ ´ Þ ¼ µ
× Ø Ó Ù Ð Ø Ñ Ó Ñ Ô Ð Õ Ù Ü
Þ
Þ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Þ Ý µ ¼ º Ó Ñ Ó Ý
Þ
× Ù Ò Ó
Ó Þ ¸ × Ø Ó ¬ Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ Ý
Þ
º Ú Ò Ø Ñ Ò Ø ́ µ ¸ Ý
́ Þ Ý
Þ
µ
½
́ Þ ¼ µ ´ Þ ́ Þ µ µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 145/164
º ¿ º Ç Å Ì Ê
Á Å Í Ä Ì Á È Ä Á Ç Ê Ë Ä Ê Æ ½
× Ø Ó Ö Ñ ¸ × Ð Ù Ò Ó Ò Õ Ù × Ø Ñ Ó × Ù × Ò Ó Ý Ó Ñ Ó
½
× Ð ×
½
¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö Õ Ù × Ð ×
½
Ø Ñ Ò º Ë Ø Ò
Õ Ù × Ø × Ð Ù Ó Ò ́ Þ ́ Þ µ µ ¼ ¸ Ý Ó Ñ Ó Ý × Ó Ò Ð ×
½
Ô Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Â Ó Ò Ó Ù × Ò Ó × Ø Ù Ó Ò Ý Ð Ö Ð Ð
Ò
Ü
́ Þ ́ Þ µ µ Á
Ñ ¢ Ñ
·
Ý
́ Þ ́ Þ µ µ ́ Þ µ ¼
Ó Ò × Ó Ø Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó
́ Þ µ
Ý
́ Þ ́ Þ µ µ
½
Ü
́ Þ ́ Þ µ µ
Ô Ö Ø Ó Ó Þ ¾ Ï º £
º ¿ Ó Ñ Ø Ö Ý Å Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × Ä Ö Ò
Ä Ô Ö Ù Ò Ø × Õ Ù Õ Ù Ö Ñ Ó × Ö × Ô Ó Ò Ö Ò × Ø × Ó Ò ¸ × Ù Ò Ó Ù Ò
Ù Ó Ò Ó Ñ Ó ́ Ü Ý Þ µ ¼ ¬ Ò Ù Ò × Ù Ô Ö ¬
Ä Ó × Ó × Ñ Ô Ð Ó × × Ù Ò Ø × × Ó Ò Ñ Ù Ý Ð Ó Ù Ò Ø ×
½ º Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
½ ¼
¾ º Ü ́ Þ Ü
¾
· Ý
¾
µ ¼
½ º Ö Ø Ñ Ò Ø × Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ ´ × Ð × Ù Ô Ö Ð × Ö Ö Ó ½ Ý
Ò Ø Ö Ó Ò Ð Ó Ö Ò µ º Ë Ò Ñ Ö Ó ¾ º Ò Ó × Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ º
× Ø Ñ Ô Ð Ó Ò Ó × Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ö × Ô Ù × Ø × Ð Ó Ð º Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ò Ð
× Ù Ô Ö ¬ ¾ º Ó Ù Ö Ö Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ¼ ¼ ¼ µ Ó Ò Ö ´ ¼ ¼ ¼ µ ´ ¼ ¼ ¼ µ º
Ò Ò Ö Ð ¸ × Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ × Ø Ð Õ Ù ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¼ Ý
Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ
¼ Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ó Ò ́ Ü Ý Þ µ ¼ ¬ Ò Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ ¸ Ð Ñ Ò Ó × Ò Ù Ò
Ú Ò ´ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ò Ø Ó ¸ × Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ò
Ö Ú Ô Ö Ð × Ò Ó Ò Ù Ð ¸ × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × × Ò Ô Ö Ò Ö Ð Õ Ù
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¼
Ò Ø Ó Ò × ¸ Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ñ Ô Ð Ø ¸ × Ô Ó × Ð × Ô Ö Ý Ò
Ù Ò Ó Ò ´ Ü Þ µ ¸ × Ö ¸ Ô Ó Ñ Ó × × Ö Ö Ý Ý ́ Ü Þ µ ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ë ́ Ü Ý Þ µ ́ Ü Ý Þ µ ¼ × Ð Ó Ð Ñ Ò Ø Ð Ö Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò ̧
× Ö ¸ × Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 146/164
½ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
¬ Ò Ó Ò º ½ ´ × Ô Ó × Æ Ó Ö Ñ Ð Ý Ì Ò Ò Ø µ
Ë Á Ê
¿
Á Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð º Ë ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ø Ð Õ Ù ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ
¼ ¸ Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¼ º Ä Ð Ñ Ñ Ó × Ë Ð × Ù Ô Ö ¬ Õ Ù ¹
¬ Ò Ð Ù Ó Ò ́ Ü Ý Þ µ ¼ Ò Ø Ó Ö Ò Ó ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ º Ë ¬ Ò Ð × Ô Ó
Æ Ó Ö Ñ Ð Ë Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ó Ñ Ó Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ò Ö Ó Ô Ó Ö Ð
Ö Ò Ø Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ý × Ò Ó Ø Æ
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ º
Æ
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ
Ð × Ô Ó Ì Ò Ò Ø Ë Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ × Ò Ó Ø Ì
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ý ×
¬ Ò Ó Ñ Ó Ð Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ð × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ð
Ì
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Æ
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ
́ Ü Ý Þ µ ¾ Á Ê
¿
́ Ü Ý Þ µ ¡ Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¼
Ç × Ö Ú Ó Ò º ½ Ä Ó × × Ô Ó × Ø Ò Ò Ø Ý Ò Ó Ö Ñ Ð ¸ × Ó Ò × Ô Ó × Ú Ø Ó Ö Ð × ¸
Ý Ò Ó Ô × Ò Ò × Ö Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ º
Ó Ò Ð ¬ Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö ¸ × Á Á Ê Á Ê
¿
× Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ø Ð Õ Ù
́ Ø µ ¾ Ë Ø ¸ Ý ´ ¼ µ ´ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
¼
´ ¼ µ ¾ Ì
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ º
× Ô Ó × Ð Ð Ò Þ Ö Ú ¾ Ì
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ × Ø Ó Ö Ñ ¸ Ó Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Ù
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¼ º Ë Ú ¾ Ì
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ º Ð Ñ Ó × ¼
Ñ Ò Ö Ø Ð Õ Ù Ú Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ × Ñ Ô Ö Ü × Ø Ø Ð Ô Ù × Ð × Ô Ó
Ú Ø Ó Ö Ð Ú Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ø Ò Ñ Ò × Ó Ò ¾ º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × × Ø Ñ
Ù Ó Ò ×
́ Ü Ý Þ µ ¼
́ Ü Ü
¼
Ý Ý
¼
Þ Þ
¼
µ ¡ ¼
Ð Â Ó Ò Ó Ð × × Ø Ñ Ò Ø Ö Ó Ö Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ×
Ü ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ý ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Þ ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ
Ü
Ý
Þ
Ó Ñ Ó Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¸ Ð Ñ Ø Ö Þ Â Ó Ò Ø Ò Ö Ò Ó ¾ ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò ¹
Ø Ó × Ñ Ô Ö × Ô Ó × Ð × Ó Ö Ó × Ó Ð Ù Ñ Ò × Ø Ð × Õ Ù Ð Ñ Ø Ö Þ Ö × Ù Ð Ø Ò Ø
× Ò Ú Ö Ø Ð º Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ñ Ô Ð Ø Ò Ó × × Ù Ö Ò Ø Ó Ò × Õ Ù
Ô Ó Ö Ñ Ó × × Ñ Ô Ö × Ô Ö Ó × Ú Ö Ð × Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó ×
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 147/164
º ¿ º Ç Å Ì Ê
Á Å Í Ä Ì Á È Ä Á Ç Ê Ë Ä Ê Æ ½
× Ò Ô Ö Ò Ö Ð Õ Ù × Ô Ó × Ð × Ô Ö ´ Ý Þ µ Ò Ù Ò Ó Ò Ü ̧
Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü Ý ́ Ü µ Þ ́ Ü µ µ ¼
́ Ü Ü
¼
Ý ́ Ü µ Ý
¼
Þ ́ Ü µ Þ
¼
µ ¡ ¼
Ë × ¬ Ò ́ Ø µ ́ Ø · Ü
¼
Ý ́ Ø · Ü
¼
µ Þ ́ Ø · Þ
¼
µ µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
́ ́ Ø µ µ ¼ ́ ́ Ø µ ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ µ ¡ ¼
Ô Ö Ø Ó Ó Ø Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ö Ó º Ä Ù Ò Ó Ò ́ Ø µ × Ð ×
½
Ô Ù × Ð ×
Ù Ò Ó Ò × Ý ́ Ü µ Þ ́ Ü µ Ð Ó × Ó Ò ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ö Ú Ò Ó Ð × Ù Ó Ò × Ò Ø Ö Ó Ö ×
Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ø Ý Ú Ð Ù Ò Ó Ò Ø ¼ × Ó Ø Ò
Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¡
¼
´ ¼ µ ¼
¼
´ ¼ µ ¡ ¼
Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ó Ø Ö Ô Ó × Ð Ñ × Õ Ù
¼
´ ¼ µ Ú º Ë
× ¬ Ò ́ Ø µ ́ Ú Ø
¼
´ ¼ µ µ Ò Ø Ó Ò ×
¼
´ ¼ µ Ú Ý ´ ́ Ø µ µ ¼ Ô Ö Ø Ó Ó
Ø Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ö Ó º × Ø Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Õ Ù
Ì
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ
¼
´ ¼ µ ́ Ø µ ¾ Ë Ø ´ ¼ µ ´ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ
Ì Ó Ö Ñ º ¿ ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ó × Å Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × Ä Ö Ò ¸ × Ó Ô Ö Ø Ù ¹
Ð Ö µ
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ô Ø Ñ Þ Ó Ò
È µ Ñ Ò ́ Ü Ý Þ µ
× ́ Ü Ý Þ µ ¼
Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º Ë ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ × Ù Ò × Ó Ð Ù Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ñ
È ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø ¾ Á Ê Ø Ð Õ Ù
Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Á Á Ê Á Ê
¿
Ø Ð Õ Ù ́ ́ Ø µ µ ¼ Ý ´ ¼ µ
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¸ × Ö ¸ ́ Ø µ ¾ Ë Ô Ö Ø Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ó Ö Ò º Ó Ñ Ó
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ × Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð Ö × Ø Ö Ò Ó Ë ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ø
́ ́ Ø µ µ
Ø ¼
Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¡
¼
´ ¼ µ ¼
Ô Ó Ö Ð Ó Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø ¸ × Ø Ó Õ Ù Ú Ð Õ Ù Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¡ Ú ¼ Ú ¾
Ì
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ µ Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¾ Ì
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ
Æ
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ ¸ Ý Ò Ø Ó Ò ×
Ô Ó Ö ¬ Ò Ó Ò Æ
×
́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ü × Ø ¾ Á Ê Ø Ð Õ Ù
Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ Ö ́ Ü
¼
Ý
¼
Þ
¼
µ £
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 148/164
½ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ì Ó Ö Ñ º ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ó × Å Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × Ä Ö Ò ¸ × Ó Ò Ö Ð µ
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ô Ø Ñ Þ Ó Ò × Ù Ò Ø
È µ Ñ Ò ́ Ü µ
×
́ Ü µ ¼ ½
Ó Ò
Á Ê
Ò
Á Ê × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ò Þ
Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð Ò Ü
¼
¾ Ë ¸ Ó Ò Ë Ü ¾ Á Ê
Ò
́ Ü µ ¼ ¸ Ý Õ Ù ́ Ü
¼
µ ¾
Å
¢ Ò
Ø Ò Ö Ò Ó º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò
½
Ø Ð × Õ Ù
Ö ́ Ü
¼
µ
Ò
½
Ö
́ Ü
¼
µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò È Ó Ö Ò Ð Ó Ó Ò Ð × Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¬ Ò Ñ Ó × Ð × Ô Ó Æ Ó Ö ¹
Ñ Ð Ë Ò Ü
¼
Ó Ñ Ó
Æ
×
́ Ü
¼
µ Ö
½
́ Ü
¼
µ Ö
́ Ü
¼
µ
Ý Ð × Ô Ó Ì Ò Ò Ø Ë Ò Ü
¼
Ó Ñ Ó
Ì
×
́ Ü
¼
µ Æ
×
́ Ü
¼
µ
Þ ¾ Á Ê
Ò
Þ ¡ Ö
́ Ü
¼
µ ¼ ½
È Ù × Ø Ó Õ Ù ́ Ü
¼
µ × Ö Ò Ó ¸ Ð × Ô Ó Æ
×
́ Ü
¼
µ × Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð
Ó Ò Ñ Æ
×
́ Ü
¼
µ ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ñ Ì
×
́ Ü
¼
µ Ò
È Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ø Ó Ö Ñ ¸ Ö Ñ Ó × Ù × Ó Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ
Ä Ñ º ½ Ú ¾ Ì
×
́ Ü
¼
µ Ü × Ø Á Á Ê Á Ê
Ò
̧ ¼ ¾ Á Ó Ò ́ ́ Ø µ µ ¼ Ø ¾
Á ́ ́ Ø µ ¾ Ë Ø ¾ Á µ ´ ¼ µ Ü
¼
Ø Ð Õ Ù
¼
Ú º × Ö
Ì
×
́ Ü
¼
µ
¼
´ ¼ µ ́ Ø µ ¾ Ë Ø ´ ¼ µ Ü
¼
Ë Ð Ð Ñ Ù × Ö Ø Ó Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù Á Á Ê Á Ê
Ò
Ø Ð Õ Ù ́ ́ Ø µ µ
¼ ´ ¼ µ Ü
¼
Ø
́ ́ Ø µ µ
Ø ¼
Ö ́ Ü
¼
µ ¡
¼
´ ¼ µ ¼
Ô Ù × Ø Ó Õ Ù Ü
¼
× Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð Ö × Ø Ö Ò Ó Ë º Ä Ó Ò Ø Ö Ó Ö ×
Õ Ù Ú Ð Ò Ø ¸ Ö × Ð Ð Ñ ¸ Õ Ù Ö ́ Ü
¼
µ ¡ Ú ¼ Ú ¾ Ì
×
́ Ü
¼
µ ¸ Ó × ¸
Ö ́ Ü
¼
µ ¾ Æ
×
́ Ü
¼
µ Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
Ö ́ Ü
¼
µ
Ò
½
Ö
́ Ü
¼
µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 149/164
º ¿ º Ç Å Ì Ê
Á Å Í Ä Ì Á È Ä Á Ç Ê Ë Ä Ê Æ ½
Ô Ö Ö Ø Ó ×
½
Ò
¾ Á Ê ¸ Õ Ù × Ð Ó Õ Ù × Õ Ù Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö º £
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð Ä Ñ Ë Ú ¾ Ì
×
́ Ü
¼
µ º Ë
½
Ò ½
Ù Ò ×
Ó Ö Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ô Ó
Ú Ö
½
́ Ü
¼
µ Ö
́ Ü
¼
µ
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò × ´ Ò ½ Ù Ó Ò × µ
½
́ Ü µ ¼
º
º
º
́ Ü Ü
¼
µ ¡
½
¼
º
º
º
́ Ü Ü
¼
µ ¡
Ò ½
¼
Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ü
¼
× Ø × Ð × Ù Ó Ò × ¸ Ý Ð Ñ Ø Ö Þ Â Ó Ò Ð × × Ø Ñ ×
¼
Ö
½
́ Ü
¼
µ
º
º
º
Ö
́ Ü
¼
µ
½
º
º
º
Ò ½
½
Õ Ù × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ö Ò Ó Ò ½ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ô Ó Ñ Ó × × Ð Ó Ò Ö Ò ½
Ó Ð Ù Ñ Ò × Ø Ð × Õ Ù Ð Ñ Ø Ö Þ Ö × Ù Ð Ø Ò Ø × Ò Ú Ö Ø Ð ¸ Ý Ö × Ð Ø Ó Ö Ñ
Ð Ù Ò Ó Ò Ñ Ô Ð Ø Ô Ó Ñ Ó × × Ô Ö Ò ½ Ú Ö Ð × Ò Ù Ò Ó Ò Ð
Ö × Ø Ò Ø Ò Ù Ò Ú Ò Ü
¼
º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Á ́ µ Á Ê
Ò
¬ Ò Ó Ñ Ò Ö Ò Ð Ó Ð × Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ø Ð Õ Ù ́ ́ Ø µ µ ¼ Ø ¾ Á Ý
́ ́ Ø µ Ü
¼
µ ¡
¼ Ø ½ Ò ½
Ö Ú Ò Ó Ð × Ù Ó Ò × Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ø Ý Ú Ð Ù Ò Ó Ò Ø ¼ ×
Ó Ø Ò Õ Ù
Ö
́ Ü
¼
µ ¡
¼
´ ¼ µ ¼ ½
¼
´ ¼ µ ¡
¼ ½ Ò ½
Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
¼
´ ¼ µ Ú º ¬ Ò Ò Ó ́ Ø µ ́ Ú Ø
¼
´ ¼ µ µ Ø Ò Ñ Ó ×
Õ Ù
¼
´ ¼ µ Ú ¸ Ð Ó Õ Ù Ò Ó × Ð Ð Ñ ¸ Ô Ù × Ð Ó Ø Ö Ò Ð Ù × Ó Ò
¼
´ ¼ µ ́ Ø µ ¾
Ë Ø ´ ¼ µ Ü
¼
Ì
×
́ Ü
¼
µ × Ö Ø ´ Ò Ð Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ò Ð × Ó
Ô Ö Ø Ù Ð Ö µ £
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 150/164
½ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
º Ð Ù Ò × Ê Ð × Ö Ú Ó Ò Ó Ò Ð ×
Ì Ó Ö Ñ º ´ Ê Ð Ä Ò Þ Ö Ú Ó Ò µ
Ë Á Ê
¾
Á Ê Ð ×
½
º « ¬ Á Ê
Á Ê Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º
Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ò Ó Ò Á Ê
Á Ê ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü µ
¬ ́ Ü µ
« ́ Ü µ
́ Ü Ø µ Ø
× Ö Ò Ð Ý × Ù Ö Ú ×
Ü
¬ ́ Ü µ
« ́ Ü µ
́ Ü Ø µ Ø ́ Ü ¬ ́ Ü µ µ ¬
¼
́ Ü µ ́ Ü « ́ Ü µ µ «
¼
́ Ü µ ·
¬ ́ Ü µ
« ́ Ü µ
Ü
́ Ü Ø µ Ø
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò
́ Þ Ü µ
Þ
¼
́ Ü Ø µ Ø
Ô Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ù Ð Ó × Ñ Ó × Õ Ù
Þ
́ Þ Ü µ ́ Ü Þ µ
Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ó × Õ Ù
Ü
́ Þ Ü µ
Þ
¼
Ü
́ Ü Ø µ Ø
Ô Ö Ð Ð Ó Ò Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù
́ Þ Ü · µ ́ Þ Ü µ
Þ
¼
Ü
́ Ü Ø µ Ø
Þ
¼
́ Ü · Ø µ · ́ Ü Ø µ
Ü
́ Ü Ø µ Ø
Þ
¼
½
¼
́
Ü
́ Ü · Ý Ø µ
Ü
́ Ü Ø µ µ Ý Ø
Ä Ù Ò Ó Ò Ü ́ ¡ ¡ µ × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù
× Ó Ö Ü Ü · ¢ ¼ Þ ¸ × ¸ Ó ¼ ¸ Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù ×
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 151/164
º º Ä Í Æ Ë Ê Ä Ë Ê Á Î Á
Ç Æ Á Á Ç Æ Ä Ë ½ ½
́ Ü Ý µ ´ Ü Ý µ Ò Ø Ó Ò × Ü ́ Ü Ý µ Ü ´ Ü Ý µ Þ º Ò Ø Ó Ò ×
× × Ø Ò Õ Ù
Ü
́ Ü · Ý Ø µ
Ü
́ Ü Ø µ Ø ¾ ¼ Þ Ý ¾ ¼ ½
Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
́ Þ Ü · µ ́ Þ Ü µ
Þ
¼
Ü
́ Ü Ø µ Ø
× Ó Ò × × Ù Ð Ö × Ù Ð Ø Ó º Ä Ù Ó
¬ ́ Ü µ
« ́ Ü µ
́ Ü Ø µ Ø ́ ¬ ́ Ü µ Ü µ ́ « ́ Ü µ Ü µ
Ý Ô Ð Ò Ó Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ø Ò Õ Ù
Ü
¬ ́ Ü µ
« ́ Ü µ
́ Ü Ø µ Ø
Þ
́ ¬ ́ Ü µ Ü µ ¬
¼
́ Ü µ ·
Ü
́ ¬ ́ Ü µ Ü µ
Ü
Ü
Þ
́ « ́ Ü µ Ü µ «
¼
́ Ü µ
Ü
́ ¬ ́ Ü µ Ü µ
Ü
Ü
́ Ü ¬ ́ Ü µ µ ¬
¼
́ Ü µ ́ « ́ Ü µ Ü µ «
¼
́ Ü µ ·
¬ ́ Ü µ
¼
Ü
́ Ü Ø µ Ø
« ́ Ü µ
¼
Ü
́ Ü Ø µ Ø
́ Ü ¬ ́ Ü µ µ ¬
¼
́ Ü µ ́ Ü « ́ Ü µ µ «
¼
́ Ü µ ·
¬ ́ Ü µ
« ́ Ü µ
Ü
́ Ü Ø µ Ø
£
Ì Ó Ö Ñ º Ë Ò
Á Ê
Ò
Ý
Á Ê
Ñ
Ö Ø Ó × Ý
¢
Á Ê Ð ×
½
º Ë É
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ð Ñ Ò Ø Ð Ö Ö Ó º Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ò Ó Ò
́ Ü µ
É
́ Ü Ý µ Ý
× Ð ×
½
Ý
Ü
́ Ü µ
É
Ü
́ Ü Ý µ Ý
Ô Ö Ø Ó Ó ½ Ò
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 152/164
½ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Ü
¼
¾
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ
Ò
½
É
Ü
́ Ü
¼
Ý µ Ý
É
́ Ü
¼
· Ý µ ́ Ü
¼
Ý µ
Ò
½
Ü
́ Ü
¼
Ý µ Ý
É
́ ́ Ü
¼
· Ý µ ́ Ü
¼
Ý µ Ö
Ü
́ Ü
¼
Ý µ ¡ µ Ý
É
½
¼
́ Ö
Ü
́ Ü
¼
· Ø Ý µ Ö
Ü
́ Ü
¼
Ý µ µ ¡ Ø Ý
Ä Ù Ò Ó Ò
Ö
Ü
́
¡
¡ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò
́ Ü
¼
½ µ
¢ É Õ Ù × Ó Ñ Ô Ø Ó
µ ×
Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù º Ä Ù Ó Ó ¼ Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù × ́ Ü Ý µ
´ Ü Ý µ µ Ö
Ü
́ Ü Ý µ Ö
Ü
´ Ü Ý µ Ú Ó Ð ´ É µ º Ò Ø Ó Ò × × ×
Ø Ò Õ Ù
Ö
Ü
́ Ü
¼
· Ø Ý µ Ö
Ü
́ Ü
¼
Ý µ
Ú Ó Ð ´ É µ
Ø ¾ ¼ ½ Ý ¾ É
Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
́ Ü
¼
· µ
́ Ü
¼
µ
Ò
½
É
Ü
́ Ü
¼
Ý µ Ý
É
½
¼
Ö ́ Ü
¼
· Ø Ý µ Ö ́ Ü
¼
Ý µ Ø Ý
É
½
¼
Ú Ó Ð ´ É µ
× Ø Ñ Ó Ó ́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ
È
Ò
½
Ê
É
Ü
́ Ü
¼
Ý µ Ý × Ñ Ô Ö
Õ Ù ¸ × Ö ¸ × Ö Ò Ð × Ü
¼
Ý
Ü
́ Ü
¼
µ
É
Ü
́ Ü
¼
Ý µ Ý
Ô Ö Ø Ó Ó ½ Ò º Ä Ó Ò Ø Ò Ù Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Õ Ù
Ö Ó º £
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 153/164
º º Ä
Ç Ê Å Í Ä Å Á Ç Î Ê Á Ä Ë ½ ¿
º Ä Ó Ö Ñ Ù Ð Ñ Ó Î Ö Ð ×
Ê Ó Ö Ñ Ó × Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ñ Ó Ú Ö Ð ×
´ ª µ
́ Ü µ Ü
ª
́ ́ Ý µ µ Ø ́ Ý µ Ý
È Ö Ö × Ò Ø Ó Ð Ó Ö Ñ Ù Ð × Ö Õ Ù Ö
̄ Í Î Ý Ø Ú Ð ×
½
Ý Ó Ò Ò Ú Ö × Ð ×
½
º ´ × Ø Ð ×
Ù Ò Ó Ò × Ö Ð Ò Ó Ñ Ö Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó µ
̄ ª × Ù Ò Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ù Ý Ö Ó Ò Ø Ö × Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ø Ö Ó × Ù Ò Ó Ò ×
Ó Ò Ø Ò Ù ×
̄ ´ ª µ Á Ê × Ó Ò Ø Ò Ù º
Ò × Ø × Ö Ù Ò × Ø Ò × Ð × Ù Ò Ó Ò ×
£
́ Ü µ
¼ Ü ¾ ´ ª µ
́ Ü µ Ü ¾ ´ ª µ
Ý
́ Æ Ø µ
£
¼ Ý ¾ ª
́ ́ Ý µ µ Ø ́ Ý µ Ý ¾ ª
× Ó Ò Ò Ø Ö Ð × º
È Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ö Ù Ò
¬ Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ù Ò Ô Ó Ó Ñ × Ù Ö Ø º
¬ Ò Ó Ò º ¾ Á Ê
Ò
× Ú ¹ Ñ Ð × × Ó Ñ Ô Ø Ó Ý × Ù Ö Ó Ò Ø Ö
× Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ø Ö Ó × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º
Ñ Ô Ð Ó º
Ò
Ó Ò Ý ¬ Ò Ø Ó × × Ú ¹ Ñ Ð
Ñ Ô Ð Ó º Ë × Ú ¹ Ñ Ð ¸ Ý × Ù Ò Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × ́ µ Ò
Ú ¹ Ñ Ð
Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù × × Ú ¹ Ñ Ð ¸ Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ñ Ó × ¬ Ò Ö Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò
Ó Ñ Ó
Ú Ó Ð ´ µ
½
́ Ü µ Ü
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 154/164
½ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ó Ò
½
́ Ü µ
¼ Ü ¾
½ Ü ¾
¬ Ò Ó Ò º ¿ Ë Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ú ¹ Ñ Ð º Í Ò × Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò
× Ù Ò Ó Ð Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
½
Ø Ð × Õ Ù
̄
× Ú ¹ Ñ Ð ¸ ½
̄
½
̄ Ò Ø ́
µ ¸ ×
Ë ¬ Ò Ø Ñ Ò Ð Ñ Ø Ö Ó Ð × Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò Ó Ñ Ó
Ñ Ñ Ü
½
Ñ
Ó Ò Ð Ñ Ø Ö Ó Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ú ¹ Ñ Ð × Ù Ð Ñ × Ù Ô
Ü
Ý
Ü Ý
¾
Ð × Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ú Ø Ó Ö ́
½
µ Ø Ð
Õ Ù
¾
½
¬ Ò Ó Ò º Ë Á Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ø º ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ë Ù Ñ
Ê Ñ Ò Ò × Ó ́ µ Ó Ñ Ó
Ë ́ µ
½
́
µ Ú Ó Ð ´
µ
¬ Ò Ó Ò º Ñ Ó × Õ Ù × Ú ¹ Ò Ø Ö Ð × Ó Ö ¸ Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ú ¹ Ñ Ð ¸
× Ü × Ø Á ¾ Á Ê Ø Ð Õ Ù
¼ ¼ Ø Ð Õ Ù × º
´ Ñ × Ó Ó µ µ Ë ́ µ Á
Ë Ø Ð Á Ü × Ø ¸ × Ù Ò Ó ¸ ´ Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ó µ Ý Ò Ó Ø Ñ Ó × Á
Ê
́ Ü µ Ü
Ó Ò × Ø ¬ Ò Ó Ò Ô Ó Ñ Ó × × Ù Ö Ô × Ó Ô × Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ý
Ô Ö Ô Ö Ó Ö Ð Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × Ù Ò Ø
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 155/164
º º Ä
Ç Ê Å Í Ä Å Á Ç Î Ê Á Ä Ë ½
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ½ Á Ê Ó Ò Ø Ò Ù µ × Ú ¹ Ò Ø Ö Ð
Ì Ñ Ò × Ô Ù Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù × Á Ê × Ó Ø Ý Ó Ò Ø Ò Ù × Ð Ú Ó
× Ó Ö Ð Ö Ó Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó ¬ Ò Ø Ó Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ Ò Ø Ó Ò × ×
Ú ¹ Ò Ø Ö Ð º
Ì Ó Ö Ñ º ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Î Ö Ð × µ
Ë ª Ú ¹ Ñ Ð Ý Í Î Ù Ò Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó ̧ ª Í º Ë ´ ª µ Á Ê
Ú ¹ Ò Ø Ö Ð º Ò Ø Ó Ò × Æ ª Á Ê × Ú ¹ Ò Ø Ö Ð Ý
´ ª µ
́ Ü µ Ü
ª
́ ́ Ý µ µ Ø ́ Ý µ Ý
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ñ Ø Ò Ó × Ô Ö Ø × Ô Ö Ñ Ö Ó Ð
× Ó Ò Õ Ù × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð Ò Ð ¸ Ý Ð Ù Ó Ð × Ó Ò Ö Ð º
× Ó Ð Ò Ð Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ý Ù Ô Ö Á Ê
¿
¸ Ý × Ü Ø Ò
Ñ Ò Ö Ò Ð Ó Á Ê
Ò
¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù × Ù Ô Ó Ò Ö Ñ Ó × Ö Ø Ó Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ð × Ó
Ð Ò Ð º × Ø Ò Ñ Ó × ¸ × Ì × Ð Ò Ð Õ Ù
Ú Ó Ð ´ Ì ́ µ µ
Ì ́ µ
½
½ Ø Ì Ú Ó Ð ´ µ Ø Ì Ú ¹ Ñ Ð
× Ó Ò Ö Ð Æ × Ø Ö Ñ Ó × Ó × Ð Ñ × Ô Ö Ú Ó ×
Ä Ñ º ¾ Ë Í Ö Ø Ó ¸ Í Ó Ñ Ô Ø Ó Ý ³ Í ¢ Í Á Ê Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ð
Õ Ù ³ ́ Ü Ü µ ½
Ü
¾ Í º Ò Ø Ó Ò ×
¼
¼ Ø Ð Õ Ù
Ü Ý ¾ Ü Ý µ ³ ́ Ü Ý µ ½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò È Ù × Ø Ó Õ Ù × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × ¢ Í ¢ Í Ø Ñ Ò
× Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù ³ × Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù × Ó Ö ¢ º Ä Ù Ó ¸
Ó ¼ ¼ Ø Ð Õ Ù Ü Þ · Ý Û ́ Ü Ý µ ́ Þ Û µ µ ³ ́ Ü Ý µ
³ ́ Þ Û µ ¸ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ × Ü Ý Ò Ø Ó Ò × ́ Ü Ý µ ́ Ü Ü µ Ð Ó
Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù ³ ́ Ü Ý µ ³ ́ Ü Ü µ ³ ́ Ü Ý µ ½ £
Ä Ñ º ¿ Ë Ò Í Î Á Ê
Ò
Ö Ø Ó × Ý Í Î Ù Ò Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó Ð ×
½
º Ë Í Ù Ò Ó Ñ Ô Ø Ó Ú ¹ Ñ Ð Ý Å × Ù Ô ́ Ü µ Ü ¾ º ´ Ó Ò
¡ × Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ó Ö Ñ Ñ Ø Ö Ð ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó Ñ Ü
½ Ò
È
Ò
½
µ
Ò Ø Ó Ò ×
Ú Ó Ð ´ ́ µ µ Å
Ò
Ú Ó Ð ´ µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 156/164
½ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ó × Ô Ö Ñ Ö Ó Ð × Ó Ò Õ Ù × Ù Ò Ù Ó ¸ Ó Ò
Ò Ø Ö Ó Ô Ý Ð Ó ¾ ¸ × Ö ¸
Ô
½
Ô
½
· ¢ ¢ Ô
Ò
Ô
Ò
·
Ò
½
Ô
Ô
·
È Ó Ö Ð × Ù Ð Ð Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
́ Ü µ
́ Ô µ Å Ý Ô Ó Ö
Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ Ü µ ́ Ô µ
½
Å Ü ¾
× Ö ¸ ́ Ü µ × Ø × Ø Ò Ð Ó Ñ × Å ́ Ô µ Ô Ö Ø Ó Ó Ü
¾ ̧
Ò Ø Ó Ò ×
́ µ
½
́ Ô µ Å
½
́ Ô µ · Å ¢ ¢
Ò
́ Ô µ Å
Ò
́ Ô µ · Å
Ò
½
́ Ô µ Å
́ Ô µ · Å
Ó × Õ Ù Ú Ó Ð ´ ́ µ µ Ú Ó Ð ´
É
Ò
½
́ Ô µ Å
́ Ô µ · Å µ Å
Ò
´ ¾ µ
Ò
Å
Ò
Ú Ó Ð ´ µ
Ð × Ó Ò Ö Ð Ð Ó Ñ Ó × Ô Ó Ö Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò º Ë ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò
Ö Ø Ó Ø Ð Õ Ù Í Ý ́ Ü µ Å · Ô Ö Ø Ó Ó Ü ¾ ´ È Ó Ö Ð
Ó Ò Ø Ò Ù µ º
Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ô Ù Ù Ö Ö Ô Ó Ö Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó ¬ Ò Ø Ó Ù Ó × Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö ×
× Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ø Ò Ó × Ò
½
Ó Ò Ò Ø ́
µ Ò Ø ́
µ × º Ñ × Ð Ó × Ù Ó × × Ô Ù Ò × Ù Ô Ó Ò Ö Ø Ò
Ô Õ Ù Ò Ó × Õ Ù
½
Ú Ó Ð ´
µ Ú Ó Ð ´ µ ·
Ä Ù Ó
́ µ
½
́
µ µ Ú Ó Ð ´ ́ µ µ
½
Ú Ó Ð ´ ́
µ µ
½
Å
Ò
Ú Ó Ð ´
µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 157/164
º º Ä
Ç Ê Å Í Ä Å Á Ç Î Ê Á Ä Ë ½
Ó Ò Å
× Ù Ô ́ Ü µ Ü ¾
Å · Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ú Ó Ð ´ ́ µ µ
́ Å · µ
Ò
´ Ú Ó Ð ´ µ · µ º Ó Ñ Ó × Ø × Ù Ð × Ú Ð Ô Ö Ø Ó Ó ¼
Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Õ Ù
Ú Ó Ð ´ ́ µ µ
Å
Ò
Ú Ó Ð ´ µ
£
È Ö ¬ Ò Ð Þ Ö Ó Ò Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ò Ð × Ó Ò Ö Ð ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò ¹
× Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò
½
ª Ý Ô Ù Ò Ø Ó ×
¾
Ô Ö º Ò ¹
Ø Ó Ò × Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × ́
µ ¬ Ò Ò Ù Ò × Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò ´ ª µ Ý Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó ×
́
µ ¾ ́
µ º × Ø × Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò Ð Ò Ó Ø Ñ Ó × Ô Ó Ö º Í × Ò Ó Ð ¹
× Ù Ð Ð Ú Ð Ó Ö Ñ Ó × Ô Ù Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ü × Ø Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ×
½
¾
Ø Ð × Õ Ù
½
Ñ ´ µ Ñ ´ µ
¾
Ñ ´ µ
Ö × Õ Ù ª × Ó Ñ Ô Ø Ó º ¬ Ò Ñ Ó × Ì
¼
́
µ ¾ Å
Ò ¢ Ò
Ô Ö ½ ̧
Ý
Æ
× Ù Ô Ì
½
¼
́ Ü µ Ü ¾
Å
× Ù Ô Ì
́
½
µ
¼
́ Ý µ Ý ¾ ́
µ
Ó Ò ¡ Ð Ñ × Ñ Ð Ð Ñ Ò Ø Ö Ó Ö º Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Õ Ù
Ú Ó Ð ´ ́
µ µ Ú Ó Ð ´ Ì
Ì
½
́
µ µ
Ø ´ Ì
µ Ú Ó Ð ´ Ì
½
́
µ µ
Ø ´ Ì
µ Æ
Ò
Ú Ó Ð ´
µ
Ù Ð Ñ Ò Ö
Ú Ó Ð ´
µ Ø ´ Ì
½
µ Ú Ó Ð ´ ́
µ µ Å
Ò
Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ø Ò Õ Ù
Ú Ó Ð ´
µ Ø ´ Ì
µ Ú Ó Ð ´ ́
µ µ Ú Ó Ð ´ ́
µ µ ́ Å
Ò
½ µ
Ú Ó Ð ´
µ Ø ´ Ì
µ Ú Ó Ð ´ ́
µ µ Ú Ó Ð ´
µ Ø ´ Ì
µ ´ ½ Æ
Ò
µ
¬ Ò Ñ Ó × Ø Ñ Ò ³ ́ Ü Ý µ ́
¼
́ Ý µ µ
½
¼
́ Ü µ ¸ × Ø Ñ Ó Ó ³ ́ Ü Ü µ ½
Ô Ö Ø Ó Ó Ü ¾ ª º
Ä Ù Ó ¸ Ö × Ð Ó × Ð Ñ × Ò Ø Ö Ó Ö × ¸ Ó ¼ Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù ×
Ñ ´ µ Ò Ø Ó Ò ×
Æ
Ò
½ Å
Ò
½
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 158/164
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 159/164
º º Â Ê Á Á Ç Ë ½
º Ö Ó ×
½ º Ó Ò × Ö Ð × Ù Ò Ø × × Ø Ñ Ò Ó ¹ Ð Ò Ð
Ü
¾
½
Ü
¾
· Ü
¾
¾
Ü
½
· Ý
¾
¾
Ý
½
· Ý
¾
¼
Ü
½
Ü
¾
Ý
½
· Ü
¾
Ý
½
Ý
¾
· Ý
¾
Ý
½
Ü
½
· Ý
¾
Ü
½
Ü
¾
¼
´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù × Ô Ó × Ð × Ô Ö ´ Ý
½
Ý
¾
µ Ò Ù Ò Ó Ò ´ Ü
½
Ü
¾
µ
Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ð Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó º
´ µ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó × Ú Ð Ó Ö ×
Ý
½
Ü
¾
´ ½ ½ µ
Ý
¾
Ü
¾
´ ½ ½ µ
¾ º Ë Þ ́ Ü Ý µ Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð ¬ Ò Ñ Ô Ð Ø Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Ð
Ù Ó Ò
Þ Ü ¡ ́
Ý
Þ
µ
Ó Ò Á Ê Á Ê × Ù Ù Ò Ó Ò Ö Ú Ð º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù
¾ ́ Ü Ý µ ¡ Ö Þ ́ Ü Ý µ Þ ́ Ü Ý µ
Á Ò Ó Ò Ó Ò × Ö Á Ê
¿
Á Ê ¬ Ò Ó Ñ Ó ́ Ü Ý Þ µ Þ Ü ¡
́
Ý
Þ
µ
¿ º Ó Ò × Ö Ð × Ù Ò Ø × × Ø Ñ Ò Ó Ð Ò Ð
× Ò ´ Ü
½
¡ Ý
½
µ · Ü
¿
Ó × ´ Ý
¾
µ ¼
Ý
¾
· Ü
¾
½
· ´ × Ò ´ Ü
¾
µ µ
¾
¼
Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó × Ú Ð Ó Ö ×
Ý
½
Ü
¾
´ ½ ¼ ¼ µ Ý
Ý
¾
Ü
¿
´ ½ ¼ ¼ µ º
Á Ò Ó Ò Ó Ò × Ö Ð Ù Ò Ó Ò
Á Ê
¿
¢ Á Ê
¾
Á Ê
¾
́ Ü Ý µ ́ Ù ́ Ü Ý µ Ú ́ Ü Ý µ µ
Ó Ò Ü ́ Ü
½
Ü
¾
Ü
¿
µ Ý ́ Ý
½
Ý
¾
µ ̧ Ù Ú Á Ê
¿
¢ Á Ê
¾
Á Ê × Ó Ò Ø Ð × Õ Ù
Ù ́ Ü Ý µ × Ò ´ Ü
½
¡ Ý
½
µ · Ü
¿
Ó × ´ Ý
¾
µ
Ú ́ Ü Ý µ Ý
¾
· Ü
¾
½
· ́ × Ò ́ Ü
¾
µ µ
¾
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 160/164
½ ¼ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
º ´ µ Å Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ Ü Ý Ù Ú µ ´ ½ ½ ½ ½ µ Ô Ó Ñ Ó × Ö ¹
× Ó Ð Ú Ö Ð × × Ø Ñ
Ü Ù · Ý Ú Ù
¾
¾
Ü Ù
¿
· Ý
¾
Ú
¾
Ñ Ò Ö Ù Ò Ô Ö Ù Ý Ú Ó Ñ Ó Ù Ò Ó Ò × Ü Ý º Ð Ù Ð Ö
Ù
Ü
´ µ Ó Ò × Ö Ð × × Ø Ñ
Ü
· Ý
Ü
Ù
× Ò Ü · Ó × Ý Ú
Ø Ö Ñ Ò Ö Ù Ð × Ô Ù Ò Ø Ó × ´ Ü Ý µ Ô Ó Ñ Ó × Ö × Ó Ð Ú Ö Ü Ý Ò
Ø Ö Ñ Ò Ó × Ù Ý Ú
´ µ Ò Ð Þ Ö Ð × Ó Ð Ù Ð Ð × × Ø Ñ
¿ Ü · ¾ Ý · Þ
¾
· Ù · Ú
¾
¼
Ü · ¿ Ý · Þ Ù
¾
· Ú · Û · ¾ ¼
Ü · Þ · Û · Ù
¾
· ¾ ¼
Ô Ö Ù Ú Û Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ü Ý Þ Ö Ü Ý Þ ¼ ̧ Ù
Ú ¼ Ý Û ¾ º
º ´ µ À Ð Ð Ö
Ý
Ü
Ü ½
Ý
¾
Ý
Ü
¾
Ü ½
×
Ü
¾
¾ Ü Ý · Ý
¾
· Ü · Ý ¾ ¼
´ µ À Ð Ð Ö
Ý
Ü
Ý
¾
Ý
Ü
¾
×
Ð Ò ́
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
µ ¡ Ö Ø ́
Ý
Ü
µ ́ ¼ µ
´ µ À Ð Ð Ö
Þ
Ü
Ý
Þ
Ý
×
Ü Ó × ´ Ý µ · Ý Ó × ´ Þ µ · Þ Ó × ´ Ü µ ½
´ µ Ä × Ù Ò Ó Ò × Ý Ý Þ Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò Ò Ø Ü × Ò Ô Ó Ö Ð
× × Ø Ñ Ù Ó Ò × Ü Ý Þ Ý Ü · Ý · Þ À Ð Ð Ö
Ý
Ü
Þ
Ü
¾
Ý
Ü
¾
¾
Þ
Ü
¾
º
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 161/164
º º Â Ê Á Á Ç Ë ½ ½
º ´ µ Ë Ð Ù Ò Ó Ò Þ Ô Ó Ö Ð Ù Ó Ò
Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
́ Ü · Ý · Þ µ
Ó Ò × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ö Ò Ð Ý × Ó Ò
Ó Ò × Ø Ò Ø × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù
́ Ý Þ µ
Þ
Ü
· ́ Þ Ü µ
Þ
Ý
Ü Ý
´ µ Ä Ù Ò Ó Ò Þ × Ø ¬ Ò Ô Ó Ö Ð × Ù Ò Ø Ù Ó Ò
́ Ü Þ Ý Þ µ ¼
Ó Ò × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ø Ö Õ Ù × Ù Ð Ð
Ü Ô Ö × Ó Ò
Þ
Ü
·
Þ
Ý
´ µ Ë ́
Ü
Þ
Ý
Þ
µ ¼ ¸ Ð Ù Ð Ö
Ü
Þ
Ü
· Ý
Þ
Ý
´ µ Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò Þ ¸ Ø Ö Ñ Ò Ô Ó Ö Ð Ù Ó Ò
Ý Ü ́ Þ µ · ́ Þ µ
Ë Ø × Ð Ù Ó Ò
¾
Þ
Ü
¾
́
Þ
Ý
µ
¾
¾
Þ
Ü
Þ
Ý
¾
Þ
Ü Ý
·
¾
Þ
Ý
¾
́
Þ
Ü
µ
¾
¼
º È Ö
́ Ù Ú µ ́ Ù · ́ Ð Ó Ú µ
¾
Ù Û Û
¾
µ
´ µ Å Ù × Ø Ö Õ Ù Ò Ó × Ò Ý Ø Ú
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 162/164
½ ¾ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
´ µ Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ó Ñ Ò Ó ª Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò × Ò Ý Ø Ú
Ò ª
´ µ Ð Ù Ð ́
½
µ ´ ½ ¼ ½ µ Ù Ò Ó × Ó Ò × Ö Ò ª º
º Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ñ Ò Ñ Ó Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü Ý µ Ü Ý · Ý Þ × Ù Ø Ó Ð × Ö ¹
× Ø Ö Ó Ò × Ü
¾
Ý
¾
¾ Ý Ü Ý ¾
º Ë ́ Ü Ý µ ́ Ü
¾
Ý
¾
¾ Ü Ý µ
´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ó ´ µ ´ ¼ ¼ µ × Ò Ú Ö Ø Ð Ð Ó Ð Ñ Ò Ø
Ò ́ µ º
´ µ Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ò Ó × Ò Ý Ø Ú º
´ µ Ð Ù Ð Ö Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø
½
́ ¿ ¼ ½ ¿ µ Í × Ð Ó Ö Ñ Ù Ð
Ì Ý Ð Ó Ö º Æ Ó Ø Õ Ù ´ ´ ½ ¾ µ ´ ¿ µ µ
½ ¼ º Ë Ò ́ Ù Ú µ ́ Ù
¾
· Ù
¾
Ú · ½ ¼ Ú Ù · Ú
¿
µ
´ µ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ô Ù Ò Ø Ó × Ò Ð Ó × Ù Ð × × Ò Ú Ö Ø Ð Ð Ó ¹
Ð Ñ Ò Ø º
´ µ Ó Ñ Ô Ö Ù Õ Ù ´ ½ ½ µ Ô Ö Ø Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ø Ò Ó Ò Ð Ô Ö Ø
´ µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö ´ Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø µ Ð Ú Ð Ó Ö
½
´ ½ ½ ¾ ¾ µ º
½ ½ º Ë Ò Ü Ý Þ Ø Ö × Ú Ö Ð × Ö Ð Ó Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ù Ó Ò Ð Ó Ö Ñ
́ Ü Ý Þ µ ¼ Ó Ò × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ø Ð Õ Ù Ü Ý Þ Ó Ò
× Ø Ò Ø Ó × Ö Ó º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ô Ó × Ð × Ö Ö Ü Ü ́ Ý Þ µ Ý
Ý ́ Ü Þ µ Þ Þ ́ Ü Ý µ ¸ Ó Ò × Ø × Ù Ò Ó Ò × × Ó Ò Ö Ò Ð × º Å Ù × Ø Ö
Õ Ù
Ü
Ý
Ý
Þ
Þ
Ü
½
½ ¾ º Å Ù × Ø Ö Õ Ù Ð × Ù Ó Ò ×
Ü
¾
Ý
¾
Ù
¿
· Ú
¾
· ¼
¾ Ü Ý · Ý
¾
¾ Ù
¾
· ¿ Ú
· ¼
Ø Ö Ñ Ò Ò Ù Ò Ó Ò × Ù ́ Ü Ý µ Ý Ú ́ Ü Ý µ Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ü ¾ Ý ½
Ø Ð × Õ Ù Ù ´ ¾ ½ µ ¾ Ý Ú ´ ¾ ½ µ ½ º Ð Ù Ð Ö
Ù
Ü
Ý
Ú
Ý
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 163/164
º º Â Ê Á Á Ç Ë ½ ¿
½ ¿ º Ð Ù Ð Ö
Ê
Ë
Ê
Ü Ý Ó Ò Ë × Ð Ó Ñ Ò Ó Ð Ñ Ø Ó Ô Ó Ö
́
Ü
¾
¾
·
Ý
¾
¾
µ
¾
Ü
¾
¾
Ý
¾
¾
Á Ò Ó Ò Í × Ü Ö Ó × ³ Ý Ö × Ò ³
½ º Ë ́ Ü Ý Þ Ø µ
´ ½ · Ü · Ý µ
Ê
Ü · Ý · Þ
́ Ü Ø · Ð Ó
Þ
Ø · Þ µ Ø º Ð Ù Ð Ö
Ü
Þ
Ø
Ò
Õ Ù Ð Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ü × Ø Ò º
½ º Ó Ò × Ö Ð Ù Ò Ó Ò
Ù ́ Ü Ø µ
½
¾
́ Ü · Ø µ · ́ Ü Ø µ ·
½
¾
Ü · Ø
Ü Ø
́ × µ ×
·
½
¾
Ø
¼
Ü · ́ Ø × µ
Ü ́ Ø × µ
́ × µ ×
Å Ù × Ø Ö Õ Ù
¾
Ù
Ø
¾
¾
¾
Ù
Ü
¾
́ Ü Ø µ
Ù ́ Ü ¼ µ ́ Ü µ
Ù
Ø
́ Ü ¼ µ ́ Ü µ
½ º Ó Ò × Ö Ð × Ù Ò Ø Ù Ó Ò Ò Ø Ö Ð
Ù ́ Ü µ ·
Ü
¼
× Ò ´ Ù ́ × µ · Ü µ ×
Ò Ð Ô Ø Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ñ Ó × Ø Ö Ó Õ Ù Ø Ò Ù Ò Ù Ò × Ó Ð Ù Ó Ò Ò
´ ¼ ½ ¾ Á Ê µ º
Ö Ú Ò Ó Ó × Ú × Ð Ù Ó Ò Ò Ø Ö Ð ´ Ù × Ø ¬ Õ Ù Ô Ó Ö Õ Ù × Ô Ù
Ö Ú Ö µ ¸ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ù Ó Ò Ö Ò Ð Õ Ù × Ø × × Ù × Ó Ð Ù Ó Ò
½ º Ó Ò × Ö Ð × Ù Ò Ó Ò ×
́ Ü µ
́ Ü µ
¼
́ Ü · Ø Ü Ø µ Ø ́ Ü Ý µ
Ý
¾
¼
́ Ü Ý Þ µ Þ
Ð Ù Ð
¼
́ Ü µ Ý
Ý
́ Ü Ý µ
8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 164/164
½ È
Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë
Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä
½ º Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ô Ö Ó Ü Ñ Ó Ò Ð Ö
Þ Ó × Ü Ü
Ü
¼ ¸ Ø Ö Ò Ó ¿
Ú × Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Æ Û Ø Ó Ò Ô Ö Ü
½
º
½ º Ë Á Ê
Ò
Á Ê
Ò
Ù Ò Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó Ð ×
½
´ × Ö ¸ Ù Ò Ó Ñ ¹
Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó Ó Ò Ý
½
Ð ×
½
µ ¸ Õ Ù × Ø × Õ Ù ́ µ ̧
Ó Ò × Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ö Ö Ö Ý Ø
¼
́ Ü µ ½ Ô Ö Ø Ó Ó Ü ¾ º
Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Á Ê
Ò
× Ø Ò Õ Ù
Ð Ñ
½
́ µ
́ Ü µ Ü ¼
Ó Ò
× Ó Ñ Ô Ù × Ø Ó Ò × Ó Ñ × Ñ Ú × º
¾ ¼ º Ë
Ò
Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ö Ò Á Ê
Ò
º Å Ù × Ø Ö Õ Ù
Î Ó Ð ́
µ ¾
¿
Ô
½ ́ Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
µ Ü Ý Þ
Ì Ó Ñ Ò Ó Ó Ó Ö Ò × × Ö × Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò
× Ù Ð
¾
¾
¾
¾
¼
½
¼
Ö
¾
× Ò ´ µ
Ô
½ Ö
¾
Ö
Ý Ó Ò Ð Ù Ý Õ Ù Î Ó Ð ́ µ
¾
¾ º Ò Ò Ö Ð Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò