FacultaddeCienciasFsicasyMatematicasDepartamentodeIngenieraCivilMatematicaUniversidaddeChileApuntesdelcursoCalculoenVariasVariables(MA22A)Profesores:RafaelCorrea-PedroGajardoAuxiliares(soluciones):RodolfoGainza-GonzaloSanchez2005Indicegeneral1. ESPACIOSVECTORIALESNORMADOS 11.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Conceptospreliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Conjuntosabiertosycerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1. Interior,adherenciayfrontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Sucesionesenune.v.n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1. SucesionesdeCauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Conjuntoscompactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182. FUNCIONESDEFINIDASENUNE.V.N.

ECONVALORESENUNE.V.N.

F 282.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29ii2.3. Lmitedefuncionesycaracterizaciondelacontinuidad . . . . . . . . . . . 322.3.1. Caracterizaciondelacontinuidadyellmitedeunafuncionmedi-antesucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4. Funcionescontinuasconvaloresen 1m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5. Funcionescontinuasdenidasenuncompacto . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6. ContinuidaduniformeyLipschitzianidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7. Ele.v.n.delasfuncioneslinealescontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.8. Teoremadelpuntojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433. ESPACIOSDEFUNCIONES 463.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2. Espaciovectorialnormadodelasfuncionesacotadas. . . . . . . . . . . . . 463.3. Convergenciauniformeyconvergenciasimpledeunasucesiondefunciones 483.4. Continuidaddellmitedeunasucesiondefuncionescontinuas . . . . . . . 493.5. Cuatrocontraejemplosinteresantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6. TeoremadeWeierstrass-Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574. ESPACIOSDEHILBERT 614.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2. Productointernoenunespaciovectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3. ProyecciondeunpuntosobreunconjuntoenunespaciodeHilbert . . . . 644.4. Caracterizaciondelaproyecci onsobreunconjuntoconvexo. . . . . . . . . 664.5. Continuidaddelaproyecci onsobreunconjuntoconvexo . . . . . . . . . . 694.6. Espaciossuplementariosyproyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.7. TresTeoremasimportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735. DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIAL DE FUNCIONES DEFINIDASENUNE.V.N.

ECONVALORESENUNE.V.N.

F 745.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2. Derivadaparcialconrespectoaunvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3. Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3.1. TeoremadelValorMedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4. Funcionesdeclase (1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5. Composiciondefuncionesdiferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.6. DiferencialParcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.7. Teoremasdelafuncioninversaydelafuncionimplcita. . . . . . . . . . . 945.8. Derivadasparcialesdeordensuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.9. Desarrolloslimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016. CONVEXIDAD Y EXTREMOS DE FUNCIONES DIFERENCIABLES1076.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2. FuncionesConvexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3. Caracterizaciondefuncionesconvexasdiferenciables. . . . . . . . . . . . . 1096.4. FuncionesConcavas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.5. Mnimosymaximosdeunafuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.6. Mnimosconrestriccionesdetipodesigualdad.TeoremadeKuhn-Tucker . 1196.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.8. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124CAPITULO1ESPACIOSVECTORIALESNORMADOS1.1 IntroduccionLaestructuradeespaciovectorial eslaestructuraalgebraicademayorimportanciadel analisismatematico. Al denirenunespaciovectorial lanociondenorma, estamosintroduciendounanocionfundamental,queesladevecindaddeunpuntodelespacio,omasintuitivamenteladecercaniaentredospuntos.Dada una norma en un espacio vectorial, deniremos en este captulo las herramientasypropiedadesbasicasquenospermitiranmasadelanteirconstruyendolasherramientasy propiedades mas complejas que intervienen en los modelos matematicos de la ingeniera,delafsicaydeotrasciencias.1.2 ConceptospreliminaresDenicion1.2.1. Unespaciovectorialnormado(e.v.n.)esune.v.

Esobreelcuerpo 1(de los reales) o C (de los complejos), dotado de una aplicacion de

Een 1+(conjunto delos reales 0), llamada norma y que denotamos ||, con las siguientes tres propiedades:paratodo a,

b

Eyparatodoenelcuerpo,setiene|a| = 0 a =

0 (1.2.1)|a| = [[ |a| (1.2.2)|a +

b| |a| +|

b| (1.2.3)11.2. CONCEPTOSPRELIMINARESHablaremosentoncesdele.v.n.(

E, ||)osimplemente(sinohayconfusionposible)dele.v.n.

E.Nota1.2.1. En adelante, cada vez que nos demos un e.v., supondremos que esta consti-tudo por mas de un elemento, es decir, que es diferente de

0. Si no decimos lo contrario,supondremostambienqueelcuerpoes 1.Ejemplo1.2.1. Ele.v. 1ndotadodealgunadelasnormas:|a|2:=_n

i=1a2i_12(1.2.4)|a|1:=n

i=1[ai[ (1.2.5)|a|p:=_n

i=1[a[pi_1p1 p < (1.2.6)|a|:= maxi=1,...,n[ai[ (1.2.7)dondelascantidadesai 1sonlascomponentesde a 1n,esune.v.n.Ejemplo1.2.2. Ele.v. L(

E,

F)delasaplicacioneslinealesdeune.v.n.(

E, ||

E)avaloresenune.v.n.(

F, ||

F),quecumplenlapropiedadl L(

E,

F) M 0talque |l(x)|

F M|x|

E x

Edotadodelanorma|l| := supx

E\{0}|l(x)|

F|x|

E(1.2.8)es un e.v.n. Mas adelante veremos que L(

E,

F) es el e.v. de las funciones lineales continuasde

Een

F.21.2. CONCEPTOSPRELIMINARESEjemplo1.2.3. Ele.v. L(1n, 1m)dotadodealgunadelasnormas:|l|F:=_m

i=1n

j=1a2ij_1/2(1.2.9)|l|1:= maxjn

i=1[aij[ (1.2.10)|l|:= maxim

j=1[aij[ (1.2.11)|l|max:= maxi, j[aij[ (1.2.12)dondelascantidadesaij(1 i m, 1 j n)sonloselementosdelamatrizquerepresentaalaaplicacionlineal l L(1n, 1m), es une.v.n. Lanormaen(1.2.9) esconocidacomolanormadeFrobenius.Ejemplo1.2.4. Ele.v. /(A,

F)detodaslasfuncionesacotadasdenidasenunconjuntoAconvaloresenune.v.n.(

F, ||

F)(f: A

Fsediceacotadasiexister 1+talque|f(x)|

F rparatodox A),dotadodelanorma:|f|:= supxA|f(x)|

F(1.2.13)esune.v.n.Ejemplo1.2.5. Sean(

E1, ||

E1), ..., (

En, ||

En),ne.v.n.Ele.v.

E1...

Endotadodealgunadelasnormas|a|2:=_n

i=1| ai|2

Ei_1/2|a|1:=n

i=1| ai|

Ei|a|:= maxi=1,...,n| ai|

Eidondeloselementos ai

Eisonlascomponentesde a

E1...

En,esune.v.n.Denicion1.2.2. Dadosdoselementos a,

benune.v.n.

E, sellamadistanciade aa balacantidad |a

b|. Deestemodo, lacantidad |a|correspondealadistanciade aalorigen 0.31.2. CONCEPTOSPRELIMINARESDenicion1.2.3. Dadounelementocenune.v.n.

Eyunreal r>0, sellamabolacerrada(respectivamenteabierta)decentro cyradioralconjuntoB(c, r) := x

E : |c x| r(resp. B

(c, r) := x

E : |c x| < r)Denicion1.2.4. UnaparteAdeune.v.n.

Esediraacotadasi exister>0tal queA B(

0, r),esdecir,talque |x| rparatodo x A.Denicion1.2.5. Dos normas ||1y ||2, denidas en un e.v.

E, se diran equivalentessiexistendosconstantesL1yL2talesque||2 L1||1y ||1 L2||2(1.2.14)Nota1.2.2. Se demuestra que la primera de las desigualdades en (1.2.14) es equivalentealapropiedadparatodabola B2(

0, )existeunabola B1(

0, ) B2(

0, ) (1.2.15)ylasegundaesequivalentealapropiedadparatodabola B1(

0, )existeunabola B2(

0, ) B1(

0, ) (1.2.16)donde los subndices indican la norma que interviene en la denicion de la respectiva bola.Es facil vericar que las propiedades (1.2.15) y (1.2.16) son las mismas si se cambia 0 porcualquierotroelemento a

E.Nota1.2.3. Sedemuestraquetodas las normas quesepuedendenir enune.v. dedimension nita son equivalentes. En particular, se demuestra facilmente que, las normasdenidasenlosejemplos1.2.1y1.2.3verican,paratodo a 1n:|a| |a|1 n|a||a| |a|2 n|a||a|2 |a|1 n|a|2y,paratodol L(1n, 1m) :41.3. CONJUNTOSABIERTOSYCERRADOS1n|l| |l|F nm|l|1m|l|1 |l|F n|l|11n|l| |l|1 m|l|Enloquesiguecuandohablemosdel e.v.n. 1n, sinespecicarlanorma, entenderemosque se trata de cualquiera de las cuatro normas del Ejemplo 1.2.1. Mas adelante veremosqueenune.v.(dedimensioninnita)sepuedendenirnormasquenosonequivalentes.Nota1.2.4. Sedemuestrafacilmentequelastresnormasdenidasenel Ejemplo1.2.5sonequivalentes(sinimportarladimensiondelosespacios

Ei).Enloquesigue,cuandohablemosdeune.v.n. productosinespecicarlanorma, entenderemosquesetratadealgunadeestastres.1.3 ConjuntosabiertosycerradosDenicion1.3.1. UnaparteAdeune.v.n

Esediraabiertasiparatodo a AexisteunabolaB(a, ) A.UnaparteAdeune.v.n

EsediracerradasisucomplementoAcesabierto.Nota1.3.1. Dadasdosnormas ||1y ||2enune.v.

E, losconjuntosabiertosen

Enoserannecesariamentelosmismossi dotamosa

Edelaprimeraodelasegundadeestasnormas, dichodeotromodo, losconjuntosabiertosdel e.v.n. (

E, ||1)noserannecesariamentelos mismos quelos del e.v.n. (

E, ||2). Pero, si setienelapropiedad(1.2.15)(equivalentea ||2 L1||1)vemosquetodoconjuntoabiertoen

Econlanorma ||2, seguirasiendoabiertoen

Econlanorma ||1. Analogamente, si setienela propiedad(1.2.16) (equivalente a ||1 L2||2) vemos que todo conjunto abierto en

Econlanorma ||1seratambienabiertoen

Econlanorma ||2.Enconsecuencia,si||1y ||2sonequivalentes,entonceslosconjuntosabiertossonlosmismossidotamosa

Edelaprimeraodelasegundadeestasnormas.Lomismoquehemosdichoparalosconjuntosabiertos,valeparalosconjuntoscerra-dos. De lo anterior y de lo que decamos en la Nota 1.2.3, podemos concluir que en un e.v.dedimensionnita,cualquieraquesealanormaquedenamos,losconjuntosabiertosylosconjuntoscerradosseranlosmismos.51.3. CONJUNTOSABIERTOSYCERRADOSEjemplo1.3.1. Demostremos que en un e.v.n.

Etoda bola abierta B

(c, r) es un conjuntoabierto.Dado a B

(c, r)setieneque |c a| < r.Escojamosentoncesunreal> 0talque< r |c a|ydemostremosB(a, ) B

(c, r):x B(a, ) |a x| |a x| < r |c a||a x| +|c a| < r|c x| < r x B

(c, r)conloquequedademostradoqueB

(c, r)esunconjuntoabierto.Ejemplo1.3.2. Demostremos que en un e.v.n.

Etoda bola cerrada B(c, r) es un conjuntocerrado.ParaestohayquedemostrarqueelconjuntoB(c, r)c= x

E: |c x|>resabierto. Dado a B(c, r)csetieneque |a c| r>0. Escojamosentoncesunreal> 0talque< |c a| r.SedemuestrafacilmentequeB(a, ) B(c, r)c,conloquequedademostradoqueB(c, r)cesunconjuntoabierto.Teorema1.3.1. Sidenotamospor Olafamiliadetodoslossubconjuntosabiertosdeune.v.n.

E,setendranlastrespropiedadesfundamentalessiguientes:i) Si Aini=1esunafamilianitadeelementosde O,entoncesn

i=1Ai Oii) Si AttTesunafamiliacualquieradeelementosde O,entonces_tTAt Oiii)

E Oy O.Demostracion.i)DebemosdemostrarqueelconjuntoA :=n

i=1Aiesabierto.SiA = remitimoslademostracionalaparteiii). Si A ,= , dadoa A, setendraquea Aiparatodoi = 1, ..., ny,comolosAisonabiertos,existiran1> 0, 2> 0, ..., n> 0talesqueB(a, i) Aiparatodoi=1, ..., n.Denamosahora:=mni, i=1, ..., n>0.61.3. CONJUNTOSABIERTOSYCERRADOSSetieneentoncesqueB(a, ) B(a, i) Aiparatodoi=1, ..., n,locual implicaqueB(a, ) A.ConestohemosdemostradoqueAesabierto.ii)Debemosdemostrarqueel conjuntoA:=

tTAtesabierto. Seaa A, entoncesa Atparaalg unt Ty,comoAtesabierto,existira> 0talqueB(a, ) At.EstoimplicaqueB(a, ) A,conloquehemosdemostradoqueAesabierto.iii) Demostrar que

Ees abierto es trivial. Para convencerse que debe ser un conjuntoabierto,bastacondecirquealnotenerelementosesimposibleprobarquenoesabierto.Teorema1.3.2. Si denotamos por (el conjunto de todas las partes cerradas de un e.v.n.

E,setendranlastrespropiedadesfundamentalessiguientes:i) Si Cini=1esunafamilianitadeelementosde (,entoncesn_i=1Ci (ii) Si CttTesunafamiliacualquieradeelementosde (,entonces

tTCt (iii) (y

E (.Demostracion. i)Estapropiedadesconsecuenciainmediatadelaformula[n

i=1Ci]c=n

i=1Cciydelapartei)delteoremaanterior.ii)Estapropiedadesconsecuenciainmediatadelaformula[

tTCt]c=

tTCctydelaparteii)delteoremaanterior.iii)Estapropiedadesconsecuenciainmediatadel hechoque c=

E,

Ec= ydelaparteiii)delteoremaanterior.71.3. CONJUNTOSABIERTOSYCERRADOSEjemplo1.3.3. Paraconvencersequelaspropiedadesi)enlosteoremas1.3.1y1.3.2noson en general ciertas para una familia no nita de partes, es suciente demostrar que enun e.v.n.

i=1B

(a, 1/i) = a y que este conjunto no es abierto y, que

i=1B(a, (i 1)/i) =B

(a, 1)yqueesteconjuntonoescerrado.1.3.1 Interior,adherenciayfronteraDenicion1.3.2. SellamainteriordeunconjuntoAenune.v.n.

Ealconjunto:int A := x A: existeB(x, ) A (1.3.1)Nota 1.3.2. De ladenicionanterior se deduce facilmente que int Aes unconjuntoabiertocontenidoenA.Esenefecto,elmayorabiertocontenidoenA,estoes,launiondetodoslosabiertoscontenidosenA.VemosentoncesqueunconjuntoAesabiertosiysolosiA = int A.Denicion1.3.3. SellamaadherenciadeunconjuntoAenune.v.n.

Ealconjunto:A := x

E : B(x, ) A ,= paratodo > 0 (1.3.2)Nota 1.3.3.De la denicion anterior se deduce queA es un conjunto cerrado que contieneaA. Esenefecto, el menorcerradoquecontieneaA, estoes, laintersecci ondetodosloscerradosquecontienenaA.VemosentoncesqueunconjuntoAescerradosiysolosiA =A.Nota1.3.4. Dadasdosnormas ||1y ||2enune.v.

E, el interiordeunconjuntoA

Eno sera necesariamente el mismo si dotamos a

Ede la primera o de la segunda deestasnormas.EnlaNota1.3.2decamosqueel interiordeAesel mayorabiertocontenidoenAyenlaNota1.3.1decamosquelosconjuntosabiertossonlosmismosparadosnormasequivalentes. Conclumos entonces que el interior de Aes el mismoparados normasequivalentes.Delmismomodo,basadosenlasnotas1.3.3y1.3.1conclumosquelaadherenciadeunconjuntoeslemismaparadosnormasequivalentes.81.4. SUCESIONESENUNE.V.N.1.4 Sucesionesenune.v.n.Denicion1.4.1. Diremos que una sucesion ak en un e.v.n.

Econverge a un elementoa

Esi para toda bola B(a, ) existe un entero k0tal que ak B(a, ) para todo k k0.Dicho en otras palabras si: paratodo > 0, existeunentero k0, talque |aka| paratodok k0.Elelemento asellamalmitedelasucesionyescribimoslmkak=a obien ak aNota1.4.1. Es facil vericar queel lmitedeunasucesionconvergentees unico. Enefecto, si lmak=aylmak= b, setendraqueparatodo>0existenenterosk0ym0talesque, |ak a| /2paratodok k0y |ak

b| /2paratodok m0. Sidenotamosk := maxk0, m0obtenemos|a

b| |a ak| +|ak

b| 2+2= .Como esta desigualdad se tiene para todo > 0, concluimos que |a

b| = 0 y, de acuerdoalapropiedad(1.2.1),que a =

b.Nota1.4.2. De acuerdo a lo que deca la Nota 1.2.2, podemos deducir que si ak es unasucesion convergente a un elemento a en un e.v.n.

E, la sucesion sigue siendo convergentea asicambiamoslanormade

Eporotraequivalente.Lema1.4.1. lmkak=a lmk|ak a| = 0Demostracion. lmak=a > 0, k0 N tal que, |aka| k k0lm|ak a| = 0.Esta ultimaequivalenciasedesprendedeladeniciondeconvergenciaa0deunasucesionen 1+.Teorema1.4.1. UnaparteAdeune.v.n.

Eescerradasi ysolosi todasucesioncon-vergentedeelementosdeA,tienesulmiteenA.Demostracion. EnlaNota1.3.3veamosqueAesunconjuntocerradosi ysolosiA =A.Usaremosestehechoenlasdospartesdelademostracion.91.4. SUCESIONESENUNE.V.N.SupongamosqueAesunconjuntocerradoyque akesunasucesiondeelementosdeAconvergenteaunelemento a

E.Demostremosentoncesque a A:ak Ak 0ylmak=aak Ak 0y > 0 k0 Ntalqueak0 B(a, ) > 0B(a, ) A ,= a A.ComoAesunconjuntocerrado,estapropiedadimplicaque a A.Supongamos ahora que A es un conjunto tal que, toda sucesion ak en A, convergenteaunelemento a

E,vericaque aA.DemostremosentoncesqueAescerrado:a A B(a, ) A ,= > 0 B(a, 1/k) A ,= k N ak B(a, 1/k) A k NakestaenAylmak=aa A.HemosasdemostradoqueA Ay,porlotantoA =AyentoncesAescerrado.Teorema1.4.2. Sea akunasucesionen1nquedenotaremosak:=(a1k, ..., ank). Lasucesion akconvergeaunelemento a := (a1, ..., an) 1nsiysolosicadaunadelasnsucesiones aik(parai = 1, ..., n)convergeaai 1.Demostracion. De acuerdo a la Nota 1.4.2, para demostrar este teorema podemos usarcualquieradelasnormasdelEjemplo1.2.1i) lmkak= a > 0 k0 Ntalque, |ak a| k k0, > 0 k0 Ntalque, [aik ai[ i = 1, ..., nk k0 > 0 k0 Ntalque, [aik ai[ k k0i = 1, ..., n lmaik= aii = 1, ..., n.ii)lmaik=aii =1, ..., n >0 ki0 Ntal que, [aik ai[ k ki0 i = 1, ..., n. Si denimos k0:= maxki0, i = 1, ..., n vemos que [aikai[ k k0i=1, ..., nloquepodemosescribir |ak a| paratodok k0. Estodemuestraquelmak=a.101.4. SUCESIONESENUNE.V.N.Teorema1.4.3. Sean

E1, ...,

Enne.v.n.ysea

E=

E1...

Enel e.v.n.producto(verEjemplo1.2.5). Sea akunasucesionen

Eque escribiremos ak=(a1k, ..., ank). Lasucesion akconvergeaunelemento a = (a1, ..., an)

E,siysolosicadaunadelasnsucesiones aik(parai = 1, ..., n)convergea ai

Ei.Demostracion. De acuerdo a la Nota 1.4.2 para demostrar este teorema podemos usarcualquieradelasnormasdelEjemplo1.2.5.Usandolanorma ||,lademostracionesidenticaaladelteoremaanterior.Teorema1.4.4. Sean aky

bkdossucesionesenune.v.n.

Eysear 1. Si estasdossucesionessonconvergentes, entonceslassucesiones ak +

bky raktambiensonconvergentesy,setienenlasigualdadeslmk(ak +

bk) = lmkak + lmk

bk(1.4.1)lmk(rak) = r lmkak(1.4.2)Demostracion. Denotemosa:=lmaky b:=lm

bk. Deacuerdoal Lema1.4.1estoequivalealm|aka| = 0ylm|

bk

b| = 0y,como |(ak +

bk) (a +

b)| |aka| +|

bk

b|,deducimosquelm|(ak +

bk) (a +

b)| = 0,loquedeacuerdoalmismolemaesequivalentea(1.4.1)Por otrolado, vemos quelmkak=a lm|ak a|=0 [r[ lm|ak a|=0 lm[r[|ak a|=0 lm|rak ra|=0 lmrak=ra, queesloquede-seabamosprobar.Denicion1.4.2. Diremos que una sucesion ak de un e.v.n.

Etiene al elemento a

EcomopuntodeacumulacionsiparatodabolaB(a, )ytodoenterok0,existeunenterok k0talque, ak B(a, ).Dichoenotraspalabrassiparatodo > 0ytodok0 Nexistek k0tal que |ak a| Nota1.4.3.Queda claro de la Denicion 1.4.1 y la Nota 1.4.1 que si lmak=a, entoncesaestambienpuntodeacumulacionde akyesel unico. Esfacil verqueunasucesionpuedetener muchospuntosdeacumulaci ononinguno(enesoscasos, deacuerdoalaNota1.4.1,ellanoseraconvergente).111.4. SUCESIONESENUNE.V.N.Teorema1.4.5. Dadaunasucesi on akenune.v.n.

E,unelemento a

Eserapuntodeacumulacionde aksiysolosiexisteunasubsucesion a(k)convergentea a.Demostracion.Sea a

Eunpuntodeacumulaci onde ak.Construyamosunasub-sucesion a(k)convergentea a.Hagamosloenformarecurrenteapartirde a(1):= a1.Para esto, denamos a(k+1) a partir de a(k) de la siguiente manera: (k+1) es un enteroque verica (k +1) > (k) y a(k+1) B(a,1k+1). La existencia de este (k +1) es unaconsecuenciainmediatadelhechoque aesunpuntodeacumulacionde ak.Vemosquea(k)esunasubsucesionde aky, como |a(k) a| 1/kparatodok, vemosquelmka(k)=a.Seaahora a(k)unasubsucesionde aktalquelma(k)= a.Demostremosque aespuntodeacumulacionde ak.Sea >0yk0 N.Como a(k) aexistirak

0 Ntal quea(k) B(a, )paratodo(k) k

0. Si denimosk

=maxk0, k

0, vemosque(k

) k0yquea(k

) B(a, ), loquedemuestraqueaespuntodeacumulaciondeak.1.4.1 SucesionesdeCauchyDenicion1.4.3.Una sucesion ak en un e.v.n.

Ese dira de Cauchy si para todo > 0existeunenterok0talque |ak aj| paratodok, j k0.Nota1.4.4. Delasdesigualdades(1.2.14),podemosdeducirquesi akesunasucesiondeCauchyenune.v.n.

EellasiguesiendodeCauchysi cambiamoslanormade

Eporotraequivalente.Teorema1.4.6. Todasucesionconvergenteenune.v.n.esdeCauchy.Demostracion. Sea ak a. Dado>0existirak0 Ntalque |ak a| /2paratodok k0.Entonces |ak aj| |ak a| +|a aj| 2+2= paratodok, j k0.Conestoquedademostradoque akesdeCauchy.Nota1.4.5. Corresponde ahora hacer la pregunta: Es toda sucesion de Cauchy conver-gente?Losdosteoremasquesiguenresponderanarmativamenteaestapreguntaendoscasosparticulares: i)cuandoel e.v.n.

Eesdedimensionnitay, ii)cuandolasucesiondeCauchytieneunpuntodeacumulacion.Peroengeneral,larespuestaaestapregunta121.5. CONJUNTOSCOMPACTOSnoesarmativa.Veremosmasadelantequeexistene.v.n.consucesionesdeCauchyqueno convergen. Naturalmente seran e.v.n. de dimension innita y la sucesion de Cauchy noconvergentenotendraning unpuntodeacumulaci on.Teorema1.4.7. TodasucesiondeCauchyen 1nesconvergente.Demostracion. Sea ak una sucesion de Cauchy en 1ny denotemos ak:= (a1k, ..., ank).Seg unlaNota1.4.4, podemosusarcualquiernormaen 1n. Entonces, puestoqueparatodoi = 1, ..., nsetieneque [aik aij[ |ak aj|,esfacildeducirquelasnsucesionesaiksondeCauchyen 1yporlotantoconvergentes(esto ultimofuedemostradoenelcursodeCalculo).DelTeorema1.4.2conclumosque akesconvergente.Teorema1.4.8. Si unasucesiondeCauchyenune.v.n.

Etieneunpuntodeacumu-lacion,entoncesellaconvergeaesepunto.Demostracion.Sea akunasucesiondeCauchy.Dado > 0,existirak0 Ntalque|akaj| /2 para todo k, j k0. Si ademas a es punto de acumulaci on de ak, existirak k0 tal que |aka| 2. De lo anterior deducimos que |aka| |akak|+|aka| 2+2= paratodok k0.Conestoconcluimosque ak a.Denicion 1.4.4.Se llama espacio de Banacha todo e.v.n

Ecuyas sucesiones de Cauchysonsiempreconvergentes.Nota1.4.6. Casi todoslose.v.n. queseusanenlosmodelosmatematicosdelainge-niera, son espacios de Banach. En particular, de acuerdo al Teorema 1.4.7, todo e.v.n. dedimensionnitaesdeBanach.1.5 ConjuntoscompactosDenicion1.5.1. Un conjunto A en un e.v.n.

Ese dira compacto sitoda sucesion enAtieneunasubsucesionconvergenteaunelementodeA.Nota1.5.1. Del Teorema 1.4.5 se desprende que A es compacto si y solo si toda sucesionenAtieneunpuntodeacumulacionenelconjuntoA.131.5. CONJUNTOSCOMPACTOSTeorema 1.5.1. Todasucesionde Cauchy enunconjuntocompactode une.v.n. esconvergente.Demostracion. Es una consecuencia inmediata de la nota anterior y del Teorema 1.5.3.Teorema1.5.2. Todoconjuntocompactoenune.v.n.escerradoyacotado.Demostracion. Parademostrarquesi Aescompactoentoncesescerrado, usaremoselTeorema1.4.1.Si akesunasucesiondeelementosdeAconvergentea a

E,comotoda subsucesion de ak tambien converge a a, se tendra obligatoriamente que a A, loquenospermiteconcluirqueAescerrado.Ahora demostraremos que si A es compacto entonces es acotado. Razonemos por con-tradiccion. Si AnofueraacotadosetendraqueA _B(

0, k)paratodok N, esdecirqueparatodok Nexisteunelementoak A B(

0, k)c. Como |ak|>kparatodok Nesevidentequelasucesion aknopuedetenerunasubsucesionconvergente.Enefecto, cualquiera sea a

E, si nos damos k0> |a| y :=k0a2, vemos que ak/ B(a, )paratodok k0.Lasucesion akcontradiceelhechoqueAseacompacto.Teorema1.5.3. SiAesunapartecerradayacotadade 1n,entoncesAescompacta.Demostracion.SeaAunconjuntocerradoyacotadoen 1n.Sea akunasucesionenA. Consideremosen 1nlanorma ||. Seanc0 1nyr>0talesqueA B(c0, r).Dividamos esta bola en 2nbolas de radio r/2 y elijamos aquella que contiene una innidaddeterminosdelasucesion ak, denotemoslaB(c1, r/2). Dividamosestanuevabolaen2nbolas deradior/4yelijamos aquellaquecontieneunainnidaddeterminosdelasucesion ak, denotemosla B(c2, r/4). Construimos as una sucesion encajonada de bolasB(ck, r/2k)cadaunadeellasconunainnidaddeterminosdelasucesion ak.Paraconcluirvamosademostrarquelasucesion aktieneunasubsucesion a(k)quees de Cauchy. Estonos permitira, de acuerdoal Teorema1.4.7, concluir que akesconvergenteaunelemento a 1ny,deacuerdoalTeorema1.4.1,que a A.Denamos el entero (1) de modo que a(1) B(c1, r/2) y, en general, denamos paracadak>1el entero(k)>(k 1)demodoquea(k) B(ck, r/2k). Demostremosentoncesque a(k)esdeCauchy.Dado>0seak0 Ntalque>r/2k01,comolabolaB(ck0, r/2k0)contieneatodoslos a(k)parak k0ycomosudiametroesr/2k01,141.5. CONJUNTOSCOMPACTOSconcluimosque |a(k)a(j)| paratodok, j k0.Teorema1.5.4. Todabolacerradaen 1nescompacta.Demostracion.Puestoquetodabolacerradaenune.v.n.esunconjuntocerrado(verEjemplo1.3.2)yacotado,delteoremaanterior,concluimosqueescompacta.Teorema1.5.5. Todasucesionacotadaen 1ntieneunasubsucesionconvergente.Demostracion.Si akes unasucesion acotada,elladebeestarcontenida enunabolaB(

0, r)y, comoporel teoremaanteriorsabemosqueestabolaescompacta, concluimosque akdebetenerunasubsucesionconvergente.Nota1.5.2. Masadelanteveremosquelostres ultimosteoremasnosonvalidosenune.v.n. dedimensioninnita. Mostraremosqueexistene.v.n. dondelabolaB(

0, 1)noescompacta, loqueequivaleadecirqueexistensucesionesacotadassinning unpuntodeacumulacion.Paracerrarestecaptulo, veremosunaaplicaciondel Teorema1.5.5laquenosdiraquetodos.e.v.dedimensionnitaenune.v.n.escerrado.Denicion1.5.2. Sea

Eun e.v.n. un conjunto nito v1, ..., vn

Ese dice linealmenteindependiente(l.i.)sin

i=1ivi= 0 i= 0 i = 1, ..., n.Teorema1.5.6. Sea

Eune.v.n.y

Funs.e.v.de

Ededimensionnitageneradoporelconjuntol.i. v1, ..., vn,entonces

Fescerrado.Demostracion. Seawk=n

i=1kivi w. Debemosdemostrarquew

F. Considere

k=(k1, ..., kn) 1n. Si |

k| entonceslasucesion

k

kesacotada, yporelTeorema1.5.5seobtienequeexisteunasubsucesion

kj|

kj| = (1, ..., n) ,= 0. (1.5.1)151.6. EJERCICIOSComo wkes una sucesion convergente y por lo tanto acotada, notamos que wkj

kj

0 loqueimplican

i=1ivi= 0.Por la independencia lineal de v1, ..., vn resulta i= 0 para todo i = 1, ..., n lo que es unacontradiccioncon(1.5.1). PorlotantoexisteM 0tal que |

k| M. Nuevamenteutilizandoel Teorema1.5.5conclumos laexistenciade unasubsucesion

kj

=(1, ..., n)yporlotanto wkj n

i=1ivi= wloquemuestralacerradurade

F.1.6 Ejercicios1. a) Dadaunanorma ||en 1nyunamatriznosingularPdenndemuestrequelafuncion |x|P= |Px|estambienunanormaen 1n.b) Demuestrequeenel e.v. 12, lafuncion |x|e=_x219+ 4x22_1/2esunanorma.HagaundibujodelosconjuntosB(

0, 1)yB

(

0, 1).2. Demuestrequeenel e.v. (([a, b], 1) delas funciones continuas de[a, b] en1, lafuncion |f|1=b_a[f(t)[dtesunanorma.Demuestrequeenele.v.I([a, b], 1)delasfuncionesintegrablesde[a, b]en 1,lafuncion ||,noesunanorma.3. Demuestre que en el e.v. (([a, b], 1) la funcion |f|2=_b_af(t)2dt_1/2es una norma.4. Demuestre(usandoel teoremafundamental del algebra) queenel e.v. Tdelospolinomiosdeunavariablereal,lassiguientesfuncionessonnormas|p| = maxx[0,1][p(x)[|p|

= max[0[, [1[, ..., [n[ (donde p(x) =n

i=0ixi)5. Demuestre que en el e.v. lde las sucesiones reales acotadas, la funcion |rk|=supkN[rk[esunanorma.161.6. EJERCICIOS6. Demuestrequeenel e.v. l1delassucesionesrealesqueverican

[rk[ conver-gente,lafuncion |rk|1=

[rk[esunanorma.7. Demuestre que en un e.v.n. todo conjunto formado por un solo elemento es cerrado.8. Demuestre que en un e.v.n. los unicos conjuntos que son abiertos y cerrados al mismotiempo,sonelconjuntovacoyelespacioentero.9. Determine el interior y la adherencia de cada uno de los siguientes subconjuntos de12:x : x2> x1, x : 0 < |x|2 1x : x1= x2yx1> 0, x : x1 , (1k, (1)k) : k N10. DadosdosconjuntosA, Benune.v.n.

E,demuestrequea) int (A B) = int A int B.b) int (A B) int A int B(deunejemplodondenohayigualdad).c) A B=A Bd) A B A B(deunejemplodondenohayigualdad)e)A = int A x

E: B(x, ) A ,= y B(x, ) Ac,= paratodo > 0f ) A Bint A int ByA B.g) int A B= int A B= h)A =

Eyint B A = int B= i ) int (Ac) = ( A)cj ) (Ac) = (int A)c11. Si denimos la distancia de un punto x de un e.v.n.

Ea un conjunto A

EcomolacantidaddA(x) = inf|x y| : y AdemuestrequeA = x

E: dA(x) = 0.12. Si A es un conjunto en un e.v.n.

Econ la propiedad A =

Ey int A = , entonceselconjuntoAc(complementodeA)tienelamismapropiedad.13. Enele.v. (([0, 1], 1)dotadodelanorma ||1(verProblema2)demuestrequelasucesion fkdenidaporfk(x) =___1 si x [0,12]2k(x 12) + 1 si x [12,12+12k]0 six [12+12k, 1]esdeCauchyynoesconvergente.171.7. SOLUCIONES14. Demuestre que en el e.v. /([0, 1], 1) de las funciones acotadas de [0, 1] en 1, dotadode la norma ||, la sucesion fk denida en el problema anterior no es convergente.15. Demuestrequeenele.v.n.l1,denidoenelProblema6,elconjuntoP= xk : xk 0 k Ntieneinteriorvaco.16. Demuestre que enel e.v.n. l1, denidoenel Problema6, labolaB(

0, 1) noescompacta.17. Demuestrequeunsubconjuntocerradodeunconjuntocompacto,estambiencom-pacto.18. Demuestrequelaintersecciondeunconjuntocompactoconunconjuntocerrado,esunconjuntocompacto.19. Si AiiNesunafamiliadeconjuntoscompactosenune.v.n. tal que

iNAi= ,entoncesexisteunn umeronitodeconjuntosdelafamilia:Ai1,Ai2, ..., Ain,conlapropiedadn

j=1Aij= .20. SiAesunconjuntocompactoenune.v.n.ysi AiiNesunafamiliadeconjuntosabiertostalesque

iNAi A, entoncesexisteunn umeronitodeconjuntosdelafamilia:Ai1, Ai2, ..., Ain,conlapropiedadn

j=1Aij A.21. Dadoel conjuntoA=[0, 1[ en 1, encuentreunafamiliadeabiertos AiiNcuyaunioncontengaal conjuntoAytal quenoexistaunn umeronitodeelloscuyaunioncontengaaA.22. Si AiiNes unafamiliadecrecientede conjuntos compactos (novacos) enune.v.n.,demuestreque

iNAi ,= .23. a) De unejemploen1de unafamiliadecreciente de conjuntos acotados (novacos)cuyaintersecci onseavaca.b) De un ejemplo en 1 de una familia decreciente de conjuntos cerrados (no vacos)cuyaintersecci onseavaca.1.7 Soluciones1. (a) primero debemos demostrar que x 12|x| 0 y que si |x| =0 x=0enefecto:181.7. SOLUCIONES|x|P= |Px| 0 y si |x|P=0 |Px| =0 y como Pes invertible x=0segundodebemosverque |x|P=[[ |x|P|x|P=|Px| =|Px| = [[ |Px| =[[ |x|Pyterceroladesigualdadtriangular:|x + y|P=|P(x + y)| =|Px + Py||Px| +|Py| =|x|P+|y|Pporlotantoesnorma.(b) notemos que |x|e=__(13x1, 2x2)__2de aqui obtenemos inmediatamente laspropiedadesdenorma.Comoejemplomostraremosladesigualdadtriangular:|x + y|e=|(x1 + y1, x2 + y2)|e=____(13(x1 + y1), 2(x2, y2))____2=____(13x1, 2x2) + (13y1, 2y2)____2____(13x1, 2x2)____2+____13y1, 2y2)____2=|x|e +|y|e2. 10) |f|1 0enefectopueseslaintegral del modulodelafuncion, veamosquepasacuando |f|1=0supongamosquef ,= 0(comofunciones) x [a, b] t

q [f(x)[ =>0 > 0 t

q y (x, x+) [f(x) f(y)[

2 b_a[f(t)[ dt =x_a[f(t)[ dt. .+x+_x[f(t)[ dt. .+b_x+[f(t)[ dt. . 0 + 212 + 0 > 0contradiccion.20) |f|1=b_a[f(t)[ dt =b_a[[ [f(t)[ dt =[|f|1[30) |f+ g|1=b_a[f(t) + g(t)[ dt b_a[f(t)[+ [g(t)[ dt =b_a[f(t)[ dt +b_a[g(t)[ dt =|f|1 +|g|1191.7. SOLUCIONES3. Las primeras partes sonanalogas al problemaanterior por loquesolosedemostrara la desigualdad de Minkowsky: para esto usaremos una de las desigualdades deMinskowsky:c, d > 0, cd 12c2+12d2primerodemostremosqueb_af(t)g(t)dt|f|2|g|2enefectotomandoenladesigualdadanteriorc =|f|f2yd =|g|g2obtenemos1|f|2|g|2[f[ [g[ 12 |f|22[f[2+12 |g|22[g[2integrandoen[a, b]obtenemos:1|f|2|g|2b_a[f(t)g(t)[ dt 12 |f|22b_af(t)2dt +12 |g|22b_ag(t)2dt =1luego:b_a[f(t)g(t)[ dt |f|2|g|2y por otra parteb_af(t)g(t)dtb_a[f(t)g(t)[ dt |f|2|g|2porotraparte:|f+ g|22=b_a(f+ g)2dt =b_a(f2+ g2+ 2fg)dt=b_af2dt +b_ag2dt + 2b_afgdt b_af2dt +b_ag2dt +2 |f|2|g|2= |f|22 +|g|22 + 2 |f|2|g|2= (|f|2 +|g|2)2tomandoraizobtenemoselresultadodeseado.4. Comencemospordemostrarque maxx[0,1][p(x)[esunanorma.1) Primeroquenadaespositiva. veamosquesi |p|=0 p=0enefectosi|p| = 0 p(x) = 0x [0, 1]entoncesptieneinnitasraicesporelteoremafundamentaldelalgebrapesidenticamentenulo.2) |p| = maxx[0,1][p(x)[ = maxx[0,1][[ [p(x)[ =[[ |p|201.7. SOLUCIONES3) |p + q|=maxx[0,1][p(x) + q(x)[ maxx[0,1]([p[ + [q[) maxx[0,1][p(x)[ +maxx[0,1][q(x)[=|p| +|q|procedamosademostrarque |p|

=nmaxi=0[i[esnormadondep(x) =n

i=0ixi1) primeroquenadaes positiva. veamos que |p|

=0 p=0enefectosi|p|

= 0 i= 0i 0...n p(x) =n

i=0ixi=n

i=00 = 0x 12) p(x) =n

i=0ixipor lo tanto |p| =nmaxi=1[i(p)[ =nmaxi=1[i[ =nmaxi=1[[ [i[ =[[nmaxi=1[i[ = [[ |p|

3) Seanpyqpolinomioss.p.g.delmismogrado(sinolotienenseconsideranloscoecientesdeldemenorgrado0hastaqueambostenganlamismacantidad.p + q =n

i=0ixi+n

i=0ixi=n

i=0(i + i)xi |p + q|

=nmaxi=0[i + i[ nmaxi=0[i[+[i[ nmaxi=0[i[ +nmaxi=0[i[ = |p|

+|q|

5. 10) Comopordenicionespositivaveamosque |rkkN|=0 x=0enefecto: |rkkN|= 0 supkN[rk[ rk= 0k N rkkN= 0l20) |rkkN|= supkN[rk[ = supkN[[ [rk[ = [[ supkN[rk[ = [[ |rkkN|30) |rkkN +skkN|= |rk + skkN|=supkN[rk + sk[ supkN[rk[ + [sk[ supkN[rk[ + supkN[sk[ = |rkkN| +|skkN|6. 10) Comopordenicionespositivabastaverque |rkkN|1=0 x=0enefecto:|rkkN|1= 0

kN[rk[ = 0 rk= 0k N20) |rkkN|1= |rkkN|1=

kN[rk[ =

kN[[ [rk[ = [[ kN[rk[ = [[ |rkkN|130)|rkkN +skkN|1= |rk + skkN|1=

kN[rk + sk[

kN[rk[ +

kN[sk[= |rkkN|1 +|skkN|1211.7. SOLUCIONES7. Seax Ee.v.n.pordemostraque: xescerrado.paraestodemostremosque xcesabiertoenefectoseay xcentoncesy ,=xporlotanto |x y| ,=0locual implicaquex/ B(x, xy2)loquesignicaqueB(x, xy2) xcporloque xcesabiertoy xescerrado.8. SeaAtalqueescerradoyabiertoalmismotiempoyA ,= yA ,=EdondeEesele.v.n.entoncesActambienesabiertoycerrado.comoAesnovacio x Aycomonoeselespacio y AcseaB= z E ,z= x + (y x), [0, 1]y consideremos y sea =infzBzAc como A y Acson abiertos x, y tal que B(x, x) Ay B(y, y) Acimplica que (x, 1 y) sea zel elemento enBasociado a i.e. z= x+(y x) como =infzBzAc implica que nnNtal que nn y ademaszn= x + (y x)n Acveamosahoraquelasucesion znnNconvergea z|zn z| =__x + (y x)n x (y x)__=n|x y|que converge a 0 cuando n tiende a innito pues nnNconverge a y |x y| semantieneconstante.Como znnNconvergea zyestacontenidaenAcqueescerrado z AcahoracomoAces abiertoentonces ,B( z, ) Aclocual contradiceel hechoque=infzBzAcpuesB B( z, )= z E,z=x + (x y), ( , + )paracierto(quedependede)porloque

x1entonces:int(A)=Aenefectoseax Aentoncesx2>x1yporlotantox/ x 12,x2=x1consideremosladistanciaeuclideanadexalarectaidentidadydenotemoslaodxentoncesB(x,dx2 ) AporloqueAesabierto.A = x 12, x2 x1 en efecto este conjunto es cerrado (su complemento esabierto por un argumento identico al anterior y no hay un cerrado mas peque noqueelquecontengaaA.2) B= x 12,0< |x| 1entoncesint(B)= x 12,0< |x|0entoncesint(C)= puesparacualquierxenCyparatodaboladecualquierradioestasesaledeCpuesCessolounsegmentoderecta.C=C 0puesesteconjuntoescerradoycualquierboladeradiopositivoentornoa0intersectaelrayoC.4) D = x 12,x1 entonces se tiene queint(D) = pues entoda bola de12existenelementosconprimeracomponenteen ".D= 12puesentodabolade 12existenelementosconprimeracomponenteen (pues esdensoen 1)5) E= (1k, (1)k) : k N.Entoncesint(E) = elargumentoesdecardinali-dadpuesEesnumerablemientrasquetodabolaen 12esdecardinalidadnonumerable.E=E (0, 1)t, (0, 1)tpuesesteconjuntoescerrado(ejercicio)yexistensucecionesqueenEqueconvergenalospuntosdelplano(0, 1)y(0, 1)10. a) int(A B) = int(A) int(B)demostracion:] int(A) =

Aabiertoentoncescomoint(A B) A B A int(A B) int(A) analogamentesetienequeint(A B) int(B) por lotantoint(A B) int(A) int(B).] Seax int(A) int(B)entonces1, 2,B(x, 1) AyB(x, 2) Btomando = mn1, 2obtenemosquelabolaB(x, ) A BporlotantoxestaenelinteriordeA B.b) int(A B) int(A) int(B)demostracion:seax int(A) int(B)s.p.gx int(A) > 0,B(x.) int(A) AentoncesB(x, ) A Bloqueequivaleax int(A B).Unejemplo de que la desigualdadanterior no es igualdadnse tiene en1tomandoA=yB=" entonces int(A) =int(B) = ypor otraparteint(A B) = 1.c) A B=A Bdemostracion:]comoA BescerradoyA B A BsetienequeA B A B]seax A Bentoncess.p.g.x A > 0B(x, ) A,= B(x, ) (A B) ,= x A Bd) A B A Bdemostracon:comoA B A ByA Bescerrado A B A BUnejemploen 1dequenosetienelaigualdadsepuedevertomandoA = yB= "pues,A =B= 1yA B= = 231.7. SOLUCIONESe)A =int(A) x E, > 0B(x.) A ,= B(x, ) Ac,= demostracion: ]evidentedeladeniciondeaderencia.] sea x Aint(A) > 0B(x, )A ,= (pues x A) y B(x, )Ac,= (sino > 0 t

q.B(x, ) A x int(A))f) A Bint(A) int(B)A Bdemostracion:int(A) A Bint(B) =

abiertoB int(A)(puesint(A)esunabierto).A BBA =

cerradoB B(puesBescerrado)g) int(A) B= int(A) B= ]evidentepuesB B]porcontradicci on:Seax int(A) B x int(A) x BComox int(A) > 0 ,B(x, ) int(A)Ycomox BB(x,

2) B ,= porlocualexisteun x BqueestaenlabolayB( x,

2) B(x, ) Aporloque x int(A)contradicci on.h)A = Eyint(B) A = int(B) ,= Demostracion:Supongamosque x int(B) >0t

q. B(x, ) int(B)yentoncesB(x, ) A int(B) A = locualimplicaquex/ Acontradicci on.i) int(Ac) =AcDemostracion:Ac= x E , > 0B(x, ) A ,= c= x E , > 0t

q.B(x, ) A = = x E , > 0t

q.B(x, ) Ac= int(Ac)j) Ac=(int(A))c(Acc= int(A))Demostracion:Acc=(i)int(Acc) =int(A)11. Pordemostrarque:A=x E ,dA(x) = 0Demostracon:]Seax A > 0B(x, ) A ,= .Tomando =1nn NB(x,1n) A ,= xn B(x,1n) ALocualimplicaque:xn Ay |x xn| 1nn Nysetieneque:dA(x) = inf|x y| , y A inf|x xn| , n N = 0241.7. SOLUCIONES]Seax ,dA(x) = 0comodA(x) = inf|x y| , y A > 0 y A , |x y| B(x, ) A ,= x A12. SeaA ,A = Eyint(A) = EntoncesporelP10(i)int(Ac) =Ac=Ec=yporP10(j)Ac=(int(A))c=c=E13. Veamosquees |fk fl|1|fk fl|1=1_0[fk fl[=12_0[fk fl[. .+12+12l_12[fk fl[. .+12+12k_12+12l[fk fl[. .+1_12+12k[fk fl[. .= 0 +12+12l_12(2l(x +12) + 1) (2k(x +12) + 1)dx +12+12k_12+12l(2k(x +12) + 1)dx + 012+12l_121dx +12+12k_12+12l1dx =12kPor lo tanto es de Cauchy pues > 0 k N ,12k< y n, m k |fnfm|1 peroestasucesionnoesconvergentepuessulimiteseria:f(x) =___1six [0, 12]0six (12, 1]___/ C([0, 1], 1)14. Lasucesionanteriornoesconvergenteenla | |puespuntualmenteconvergealafanterior pero |f fn| = 1 n N, es cosa de tomar una sucesion que se acerquea12porladerechaparacomprobaresto.15. Veamosqueint(P) = sea>0yx =xkkN Pcomox P xk 0 N N , n Nxn

3entoncesseaK N, K Nysea ykkNdenidacomo:yk=_xksi k ,= Kxksi k = K251.7. SOLUCIONESentonces |(y x)kkN|1=

k=0[yk xk[ =[yK xK[ 23Porlocual ykkN B(x, )y ykkN/ PloquequieredecirqueningunpuntodePestaensuinterior.16. Enefectosea ynkkNnNunasucssionenl1(i.e.los ynkkN l1).tq.ynk=0sin ,= kyynn= 1estasucesion(desucesiones)estacontenidaenB(0, 1)ynotieneningunpuntodeacumulacion,(puesnotieneningunasubsucesiondeCauchy).17. SeaCcompactoyD Ccerrado.Sea xnnNunasucesionenDentonces xnnN Cporlocual tieneunpuntode acumulacion xenCypor consiguiente unasubsucesionconvergiendoaestepunto,llamemosalasubsucesion ynnNyestasubsucesionesconvergenteyestacontenida en Dpor lo cual su limite esta en Dpues este es un conjunto cerrado. i.e. x DloqueimplicaqueDescompacto.18. SeaCcompactoyDcerrado.EntoncescomoCescompacto Cescerrado C DescerradoyC D CporelproblemaanteriorsetienequeC Descompacto.19. Supongamosqueparatodasub-familianita Aijnj=isetienequen

j=1Aij ,= .Tomemos las sub-familias nitas de la forma Aini=1 entonces se comple quen

i=1Ai ,=.por lo tanto existe xn n

i=1Aiy de esta forma obtenemos la sucesion xnnN A1porlotantotieneunasubsucesionconvergenteaunpuntodeA1llamemosaestepunto xprocederemos ademostrar que x Ai i N. Seai Nentonces lasucesion xnni n

j=1Ajycomotieneunasubsucesionconvergentea xyn

i=1Aiescerrado x n

i=1Aienparticular x Aicomoestosetieneparaunicualquierasetieneparatodos.loqueimplicaque: x

iNAi, contradiccion20. Supongamosqueparatodasub-familianita Aijnj=1setieneque:A _n

j=1Aij.tomemos la sub-familias nitas de la forma Aini=1 como A _n

i=1Aixn An

i=1Aideestamaneraaobtenemoslasuceson xnnN Aporloque x Apuntode261.7. SOLUCIONESacumulaci ondelasucesion(puesAescompacto).perocomox A

iNAik N,x AkY como Akes abierto existe> 0 ,B(x, ) Ak xnnkB(x, ) xnnkAk= contradicci onconelhechodequexespuntodeacumulacion.21. Paraesteproblemaconsideramoslafamilia AiiNconAi= (1, 1 1i) i Nysecumpleque[0, 1) iNA1= (1, 1)yparatodasubfamilianitaexisteunxlosucientementecercanoa1talquenoestaenlaunion.22. Enefectoseaxi Ailasucesion xi A1tieneunpunto deacumulaci onx A1como x es punto de acumulaci on de la sucesion xnx1lo es tambien de lassubsucesionesdelaforma xnniqueestancontenidasenAirespectivamenteporlotantox Ai i N x

iNAicontradiccion.23. a) SeaAi= (0,1i)n

i=1= An n Nyporotraparte

iNAi=b) SeaBi= [i, ) iNBi27CAPITULO2FUNCIONESDEFINIDASENUNE.V.N.

ECONVALORESENUNE.V.N.

F2.1 IntroduccionEstecaptuloestacompletamentededicadoaestudiarlacontinuidaddelasfuncionesdenidas en un e.v.n.

Econ valores en un e.v.n.

F. Tal como se vio en el caso de funcionesde unavariable real, lacontinudadseguirasiendoel puntode partidadel estudiodefunciones,ahoradenidasenune.v.n.Veremos tambien la nocion de lmite de una funcion que esta ntimamente relacionadaconladecontinuidad.Luegoestudiaremosalgunasdelaspropiedadesfundamentalesdelas funciones continuas denidas enunconjuntocompacto. El Teorema2.5.2es el demayorimportanciaenesaseccion.En la Seccion 2.7 estudiaremos las funciones lineales continuas y analizaremos el primerespacio vectorial normado de dimension no nita. El Teorema 2.7.1 es el de mayor impor-tanciaendichaseccion.Para terminar el captulo, demostraremos una propiedad de las funciones continuas (elteorema de punto jo) que constituye uno de los resultados mas utiles de las matematicasaplicadas.282.2. CONTINUIDAD2.2 ContinuidadDenicion2.2.1. UnafuncionfdenidaenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresenun e.v.n.

F, se dira continua en a A si para toda bola B(f(a), ) existe una bola B(a, )talquef[B(a, ) A] B(f(a), ) (2.2.1)dichoenotraspalabras,si

> 0 > 0talque, x Ay |x a| |f(x) f(a)|

.(sedaporentendidoquelasnormasescritasanteriormentecorrespondenaespaciosnor-madosdiferentes)Lafuncionfsediracontinuasi ellaescontinuaentodoelementodeA.Nota2.2.1. Esfacilverquesi f:A

Fescontinuaen a A

E,entoncesfsiguesiendocontinuaen asicambiamoslanormade

Eolade

Fporotraequivalente.Nota2.2.2. CuandoA =

Elainclusionen(2.2.1)sereduceaf[B(a, )] B(f(a), ) (2.2.2)ylacontinuidaddefen aseexpresadiciendo

> 0 > 0talque, |x a| |f(x) f(a)|

Teorema2.2.1. SifygsondosfuncionesdenidasenunaparteAdeune.v.n.

Econvalores en un e.v.n.

F, continuas en a A, entonces las funciones f +gy f(con 1)tambiensoncontinuasen a.Demostracion.i)Dado > 0,sifygsoncontinuasen a,existen1, 2> 0talesquex A, |x a| 1|f(x) f(a)| 2yx A, |x a| 2|g(x) g(a)| 2.Deniendo:= mn1, 2seobtiene:x A, |x a| |(f+ g)(x) (f+ g)(a)| |f(x) f(a)| +|g(x) g(a)| 2+2= 292.2. CONTINUIDADConclumosasquef+ gesunafuncioncontinuaen a.ii) Si = 0 el resultado es evidente. Supondremos entonces que ,= 0. Dado > 0 si fes continua en a, existe > 0 tal que: x A, |x a| |f(x) f(a)| /[[, quees equivalente a |f(x)f(a)| . Conclumos as que la funcion fes continua en a.Teorema2.2.2. Dadostrese.v.n.

E,

F,

G,unaparteAde

Eydosfuncionesf: A

Fyh :

F

Gcontinuasen a Ayf(a)

Frespectivamente.Entonceslafuncionh ftambienescontinuaen a.Demostracion.Dado > 0,porserhcontinuaenf(a),existe> 0talque|f(a) y| |h(f(a)) h(y)| ycomofescontinuaen a,existe> 0talquex A, |a x| |f(a) f(x)| Deestasdosimplicacionesconcluimosquex A, |a x| |h(f(a)) h(f(x))| esdecir,queh fescontinuaen a.Teorema2.2.3. SifygsondosfuncionesdenidasenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresen 1,continuasen a A,entonceslasfuncionesfg, 1/f(suponiendof(a) ,= 0)ymaxf, gsiguensiendocontinuasen a.Demostracion. Como fg=12[(f +g)2f2g2], para demostrar la continuidad de fgena, usandoel Teorema2.2.1, solohayquedemostrarqueel cuadradodeunafuncioncontinuaen asiguesiendounafuncioncontinuaen a.Mostremosquef2escontinuaena. Comof2eslacomposiciondef : A 1conh: 1 1, denidaporh(y)=y2, ycomoambasfuncionessoncontinuasenayf(a)respectivamente,elteoremaanteriornosmuestraquef2escontinuaen a.La continuidad de 1/fen a, es tambien consecuencia del teorema anterior puesto que1/feslacomposiciondef:A 1conh: 1 0 1,denidaporh(y)=y1,quesoncontinuasen ayf(a)respectivamente.Finalmente,dado > 0,existen1, 2> 0talesquex A, |x a| 1[f(x) f(a)[ y, x A, |x a| 2[g(x) g(a)[ .Deladesigualdad[ maxf(x), g(x) maxf(a), g(a)[ max[f(x) f(a)[, [g(x) g(a)[302.2. CONTINUIDADdeniendo= mn1, 2obtenemosquex A, |x a| [ maxf(x), g(x) maxf(a), g(a)[ loquedemuestraquelafuncionmaxf, gescontinuaen a.Teorema2.2.4. Lanormadeune.v.n.

Eesunafuncioncontinuade

Een 1.Demostracion.Esunaconsecuenciainmediatadeladesigualdad[|x| |a|[ |x a|queesvalidaparatodo xytodo aen

E.Teorema2.2.5. SeaAunapartedeune.v.n.

EydAlafuncionde

Een 1denidapordA(x) := inf|x z| : z A. (2.2.3)EntoncesdAesunafuncioncontinua,masa un,ellaverica[dA(x) dA(x )[ |x x | paratodox, x

E. (2.2.4)AlacantidaddA(x)selellamausualmentedistanciadexal conjuntoAyadAfunciondistanciaal conjuntoA.Demostracion. Sea>0. Pordenicionde nmo, paratodox

Edebeexistirz Atalque |x z| dA(x ) + .Porlotanto,paratodoxytodo x setendradA(x) |x z| |x x | +|x z| |x x | + dA(x ) + .Como > 0escualquiera(tanpeque nocomounoquiera)setendradA(x) dA(x ) |x x | paratodo x, x

Eeintercambiando x con xsetiene(dA(x) dA(x )) |x x | paratodo x, x

E.Estasdos ultimasdesigualdadessonequivalentesaladesigualdad(2.2.4).312.3. LIMITEDEFUNCIONESYCARACTERIZACIONDELACONTINUIDAD2.3 LmitedefuncionesycaracterizaciondelacontinuidadDenicion2.3.1. SeafunafunciondenidaenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresenune.v.n.

Fysea a A. Diremosqueftiendea b

Fcuandoxtiendea aenAsiparatodabolaB(

b, )existeunabolaB(a, )talquef[B(a, ) A] B(

b, ) (2.3.1)dichoenotraspalabras,si

> 0 > 0talque, x A y |x a| |f(x)

b|

EscribiremosentonceslmxaxAf(x)= b y,enel casoenque a int A,escribiremossimple-mentelmxaf(x) =

b.Teorema2.3.1. Unafuncionf denidaenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresenune.v.n.

Fseracontinuaen a AsiysolosilmxaxAf(x) = f(a) (2.3.2)Demostracion. Es una consecuencia inmediata de las inclusiones en (2.2.1) y (2.3.1).Teorema2.3.2. Seanf, gdosfuncionesdenidasenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresenune.v.n.

F.Considere a Ay 1.Siloslmitesdefygcuandoxtiendea aenAexisten, entoncesloslmitesdef+ gyfcuandoxtiendeaaenAtambienexistenysetienenlasigualdadeslmxaxA(f+ g)(x) = lmxaxAf(x) + lmxaxAg(x) (2.3.3)lmxaxAf(x) = lmxaxAf(x). (2.3.4)Demostracion.LademostracionescasiidenticaaladelTeorema2.2.1322.3. LIMITEDEFUNCIONESYCARACTERIZACIONDELACONTINUIDADTeorema 2.3.3.Dados tres e.v.n.

E,

F,

G, un subconjunto A en

E, aA, y dos funcionesf: A

Fyh : f(A)

G.SiexistenloslmiteslmxaxAf(x) =

l y lm y

l yf(A)h(y) = m,entoncesel lmitedeh fcuandoxtiende aenAtambienexisteysetienelmxaxA(h f)(x) = m (2.3.5)Demostracion.LademostracionescasiidenticaaladelTeorema2.2.2.Teorema2.3.4. Seanf, gdosfuncionesdenidasenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresen 1y a A.Siloslmitesdefygcuandoxtiendea aenAexisten,entoncesloslmitesdefgyde1/f(suponiendolmxaf(x) ,= 0)cuandoxtiendea aenAtambienexisteny,setienenlasigualdadeslmxaxA(fg)(x) = lmxaxAf(x)lmxaxAg(x) (2.3.6)lmxaxA(1/f)(x) = 1/ lmxaxAf(x) (2.3.7)Demostracion.LademostracionescasiidenticaaladelTeorema2.2.32.3.1 Caracterizacion de la continuidad y el lmite de una funcionmediantesucesionesTeorema2.3.5. Unafuncionf denidaenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresenune.v.n.

Fseracontinuaen a Asiysolosiparatodasucesion xkenAconvergentea a,lasucesion f(xk)convergeaf(a),esdecirlmkf(xk) = f(a) paratodasucesionxk a en A. (2.3.8)Demostracion. Supongamos que fes continua en a y demostremos que se tiene (2.3.8).Dado > 0,existe> 0talquex A, |x a| |f(x) f(a)| 332.4. FUNCIONESCONTINUASCONVALORESEN 1Myporotraparte, paratodasucesion xkenAconvergentea adebeexistirk0 Ntalque, |xk a| k k0.Conclumosentoncesque|f(xk) f(a)| k k0loquemuestraque f(xk)convergeaf(a).Supongamosahoraqueparatodasucesionxk aenAsetienequef(xk) f(a).Si f nofueracontinuaena, existira>0tal queparatodo>0existex Aqueverica|x a| y |f(x) f(a)| > .Aplicandoesterazonamientosucesivamentepara =1, 1/2, 1/3, ..., 1/k, ... conclumosqueexistiraunasucesion xkenAqueverica:|xk a| 1/k y |f(xk) f(a)| > paratodo kloquecontradicelahipotesispues xk ayf(xk)noconvergeaf(a).Estomuestraquefdebesercontinuaen a.Teorema2.3.6. Unafuncionf denidaenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresenune.v.n.

F,tiendea

b

Fcuando xtiendea a AenA,siysolosiparatodasucesionxkenAconvergentea a,lasucesion f(xk)convergea b.Demostracion.Lademostracionescasiidenticaaladelteoremaanterior.2.4 Funcionescontinuasconvaloresen 1mDadaunafuncionf denidaenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresen 1m, esusualcaracterizarfporsusmfuncionescomponentesf1, ..., fmdeAen 1,denidasdemodoqueparatodo x Asetengaf(x) = (f1(x), ..., fm(x)) ( 1m)Lamismacaracterizacionse usacuandof tomasus valores enune.v.nproducto

F1 ...

Fm.Enesecasolasmfuncionescomponentesf1, ..., fmtendransusvaloresen

F1, ...,

Fmrespectivamente.342.4. FUNCIONESCONTINUASCONVALORESEN 1MTeorema2.4.1. Unafuncionf denidaenunapartedeAdeune.v.n.

Econvaloresen1mseracontinuaena Asi ysolosi cadaunadesusmfuncionescomponentesfi: A 1escontinuaen a A.Demostracion. DeacuerdoalasNotas1.2.3y2.2.1, podemosusaren 1mcualquiernorma.Usaremosentonceslanorma ||.Supongamosfcontinuaen a.Dado > 0,existe> 0talquex A, |x a| |f(x) f(a)| loqueequivaleadecirqueparatodoi = 1...msetienex A, |x a| [fi(x) fi(a)[ .Estodemuestraquelasfuncionesf1, ...., fmsontodascontinuasen a.Supongamosahoraquelasfuncionesf1, ..., fmsontodascontinuasen a.Dado > 0,existen1, ..., m> 0talesqueparatodoi = 1, ..., mx A, |x a| i [fi(x) fi(a)[ .Deniendo:= mn1, ..., m > 0obtenemosparatodoi = 1, ..., m|x a| [fi(x) fi(a)[ loqueequivaleadecirque|x a| |f(x) f(a)| .Estodemuestralacontinuidaddefen a.Teorema2.4.2. Unafuncionf denidaenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresen1m, tiendea

b 1mcuandoxtiendeaa AenA, si ysolosi cadaunadelas mcomponentesfi:A 1delafuncionf, tiendealacomponentebi 1de bcuandoxtiendea aenA.EstoloescribimoslmxaxAf(x) = (lmxaxAf1(x), ..., lmxaxAfm(x)) (2.4.1)Demostracion.Lademostracionescasiidenticaaladelteoremaanterior.Nota2.4.1. Dadosme.v.n.

F1, ...,

Fm, losdosteoremasanterioressegeneralizanfacil-menteal casoenquef tomasusvaloresenel e.v.n. producto

F:=

F1...

Fm(verEjemplo1.2.5yNota1.2.4).352.5. FUNCIONESCONTINUASDEFINIDASENUNCOMPACTO2.5 FuncionescontinuasdenidasenuncompactoTeorema2.5.1. SifesunafuncioncontinuadenidaenunapartecompactaAdeune.v.n.

Econvaloresenune.v.n.

F,entoncesf(A)esunapartecompactade

F.Demostracion. Sea yk una sucesion en f(A). Existe entonces para cada ykun xk Atal queyk=f(xk). ComoAescompacto, existeunasubsucesion x(k)convergenteaunelementox0 Ay,comofescontinuaenx0,lasubsucesion y(k)seraconvergenteay0:= f(x0) f(A).Estomuestraquef(A)escompacto.Teorema2.5.2. SifesunafuncioncontinuadenidaenunapartecompactaAdeune.v.n.

Econvalores en1, entonces f alcanzasumaximoysumnimosobreA. Estosignicaqueexisten am, aM Atalesquef(am) f(x) f(aM) paratodo x A. (2.5.1)Demostracion. Deacuerdoal teoremaanterior, el conjuntof(A)escompactoen 1y, deacuerdoal Teorema1.5.2, f(A)seracerradoyacotado. PorseracotadopodemosdenirlosrealesM:=supf(A)ym:=inff(A)y, porsercerradoM, m f(A).Existiran entonces elementos aM, am A tales que f(aM) = My f(am) = m. Es evidenteentoncesque amy aMverican(2.5.1).Nota2.5.1. Elhechoquetodafuncioncontinuaalcancesumaximoysumnimoenuncompacto, constituye una propiedad importante. Numerosos modelos matematicos usadosporlascienciasdelaingenieraylafsicaseplanteanenterminosdemaximizacionominimizaciondefunciones. Estar entonces seguros delaexistenciadesoluciones paraestosmodelos,escrucial.Teorema2.5.3. Seaf unafuncioncontinuadenidaenunapartecompactaAdeune.v.n.

Econvaloresen 1+, (conjuntodelosreales>0). Entoncesexiste>0tal quef(x) paratodox A.Demostracion.Deacuerdoalteoremaanterior,existira am Atalquef(x) f(am)paratodox A.Comoporhipotesisf(am) > 0,sidenimos:=f(am)obtenemosquef(x) paratodo x A.Teorema2.5.4. SeaAunapartecompactadeune.v.n.

E,ydAlafunciondistanciaalconjuntoAdenidapor (2.2.3).Paratodo a

Eexistira p Atal quedA(a) = |a p| (2.5.2)362.5. FUNCIONESCONTINUASDEFINIDASENUNCOMPACTOEsteelemento p Asellamaproyeccionde asobreA.Demostracion. Como |a |:

E 1eslacomposiciondelasfuncionesx

E a x

Ey ||:

E 1y,comoestasdosfuncionessoncontinuas,elTeorema2.2.2nosdiceque |a |seratambiencontinua.DelTeorema2.5.2conclumosentoncesqueestafuncionalcanzasumnimosobreAenunpunto p Aysetendrapor lotantodA(a) = |a p|.Nota2.5.2. Esimportantetenerclaroquelaproyecci ondependedelanorma.Asporejemplo, en

E=12, el conjuntode las proyecciones del origensobre el triangulodevertices(1,2)(1,-2)y(2,0)sera:i) usandolanorma ||,igualalconjunto (1, t) : t [1, 1].ii) usandolanorma ||2,igualalconjunto (1, 0).Nota 2.5.3. Si enel teoremaanterior consideramos

E=1n, podemos hacer menoshipotesis sobre el conjuntoAparaasegurar laexistenciade laproyeccion. BastaconsuponerqueAescerrado(recordemosquedeacuerdoal Teorema1.5.2todoconjuntocompactoes cerradoyacotado). Enefecto, dador >dA(a) es facil ver quedA(a) =dAB(a,r)(a).ComoelconjuntoA B(a, r)escerradoyacotado,deacuerdoalTeorema1.5.3 sera compacto. Aplicando el teorema anterior a la funcion dAB(a,r), concluimos queexiste p AtalquedA(a) = |a p|.Teorema2.5.5. SeanA, Bdosconjuntoscerradosdisjuntosenune.v.n.

E.DenamosladistanciaentreAyBpor(A, B) := infdA(x) : x B (2.5.3)dondedAeslafunciondistanciaal conjuntoAdenidapor (2.2.3). Si Bescompacto,entonces existira

b Btal que(A, B) = dA(

b) >0. Si suponemos ademas queAescompacto,existiratambien a Atal que(A, B) = |

b a| (2.5.4)Demostracion. Del Teorema2.2.5sabemosquedAesunafuncioncontinuay, comoBescompacto, del Teorema2.5.2conclumosquedAalcanzasumnimosobreBenunpunto

b B.Setieneasque(A, B) = dA(

b).372.6. CONTINUIDADUNIFORMEYLIPSCHITZIANIDADLadesigualdaddA(

b)>0esconsecuenciadel hechoque b / A(esfacil probarquetodoconjuntoAenune.v.n.vericalaequivalenciadA(x) = 0 x A).SupongamosahoraqueAescompacto.Deacuerdoalteoremaanteriorexiste a AtalquedA(

b) = |

b a|,queesloquequeramosprobar.2.6 ContinuidaduniformeyLipschitzianidadDenicion2.6.1. UnafuncionfdenidaenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresenune.v.n.

FsediceuniformementecontinuaenAsiparatodo > 0existe> 0talquex, y A, |x y| |f(x) f(y)| (2.6.1)Nota2.6.1. Es evidentequeunafuncionf : A

FuniformementecontinuaenA,seracontinuaenA. Porel contrario,si fescontinuaenA, noseranecesariamenteuni-formemente continua en A. Un ejemplo simple que muestra este hecho es el de la funcionf(x) = x2de 1 en 1, que siendo continua no es uniformemente continua en 1. En efecto,paracualquier> 0,bastacondenirx =1+ ,ey=1yconstatarque [x y[ yque [x2y2[ = 2 + 2> 2.Teorema2.6.1. SifesunafuncioncontinuadenidaenunapartecompactaAdeune.v.n.

Econvaloresenune.v.n.

F,entoncesellaesuniformementecontinua.Demostracion. Razonemosporcontradiccion. Si f noesuniformementecontinuaenA,existira>0talqueparatodo>0existenx,y Aqueverican |x y| y |f(x) f(y)|>. Aplicandoestehechosucesivamentepara =1, 1/2, ..,1/k, ...obtenemos enAunpar de sucesiones xke ykque verican |xk yk|1/k y|f(xk)f(yk)| > . Como A es compacto, existira una subsucesion x(k) convergente aa A. Por otra parte, como |y(k)a| |y(k)x(k)|+|x(k)a| 1/k+|x(k)a|,vemosque |y(k) a| 0loqueimplica,deacuerdoalLema1.4.1,quelasubsucesiony(k)tambienconvergeaa. Finalmente, ladesigualdad< |f(x(k)) f(y(k))| |f(x(k)) f(a)| + |f(a) f(y(k))|contradice(deacuerdoal Teorema2.3.5)lacon-tinuidaddefen a.Denicion2.6.2. UnafuncionfdenidaenunaparteAdeune.v.n.

Econvaloresenune.v.n

FsediraLipschitzianaenAsi existeunaconstanteL, llamadaconstantedeLipschitz,talque|f(x) f(y)| L|x y| paratodo x, y A.382.7. ELE.V.N.DELASFUNCIONESLINEALESCONTINUASNota2.6.2. Esevidentequesi f esunafuncionLipschitzianaenA, ellasiguesiendoLipschitzianasicambiamoslanormade

Eylade

Fporotrasequivalentes.TambienesevidentequeunafuncionLipschitzianaesuniformementecontinua.2.7 Ele.v.n.delasfuncioneslinealescontinuasTeorema2.7.1. Unafuncionlinealldeune.v.n.

Eenune.v.n.

Fescontinuasiysolosiellaescontinuaen 0

Eyestosetiene,siysolosiexisteunaconstanteLtal que|l(x)| L|x| paratodox

E. (2.7.1)Demostracion.Silescontinua,ellaesenparticularcontinuaen 0.Demostremos ahora que si les continua en 0, entonces se tiene la desigualdad (2.7.1).Dado = 1debeexistir> 0talque|z| |l(z)| 1ycomoz:=xxverica |z| paratodox ,= 0, setendraque |l(x)| 1|x|paratodo x

E,queequivalea(2.7.1)conL :=1.Paraterminardemostremosque(2.7.1)implicaquelescontinua,como|l(x) l(x

)| = |l(x x

)| L|x x

| paratodo x, x

Econclumosqueleslipschitzianaen

Eyafortioricontinua.Nota2.7.1. Lapropiedad(2.7.1)constituyeunacaracterizacionfundamentaldelacon-tinuidaddelasfuncioneslinealesquenospermitira,entreotrascosas,denirunanormaenele.v.delasfuncioneslinealescontinuas.EllanosmuestratambienquetodafuncionlinealcontinuaesLipschitziana.Teorema2.7.2. Enele.v. L(

E,

F)delasfuncioneslinealescontinuasdele.v.n.

Eenele.v.n.

F,laaplicacionqueal L(

E,

F)lehacecorresponder|l| := supx=

0|l(x)||x|(2.7.2)vericalaspropiedadesdelaDenicion1.2.1yconstituyeasunanormaen L(

E,

F).392.7. ELE.V.N.DELASFUNCIONESLINEALESCONTINUASDemostracion. De acuerdo al teorema anterior, la continuidad de l implica la existenciade una constante L que verica (2.7.1), lo que muestra que el supremo en (2.7.2) es nito(el cuociente esta acotado superiormente por L). Demostremos ahora cada una de las trespropiedadesdelaDenicion1.2.1.i)Esevidente.ii)Dado 1yl L(

E,

F)setiene|l| = sup |l(x)||x|= sup [[|l(x)||x|= [[ sup |l(x)||x|= [[|l|.iii)Dadosl, m L(

E,

F)setiene|l + m| = sup |(l + m)(x)||x| sup |l(x)| +|m(x)||x| sup |l(x)||x|+ sup |m(x)||x|= |l| +|m|.Nota2.7.2. Es facilver queparal L(

E,

F) lacantidad |l|es lamenorconstante quevericaladesigualdad(2.7.1).Setendraentoncesque|l(x)| |l||x| paratodo x

E (2.7.3)Nota2.7.3. L(

E,

F) dotado de la norma (2.7.2) representa el primer e.v.n. de dimensioninnita(cuando

Eo

Fesdedimensioninnita) queestudiaremosenestecurso. Masadelanteestudiaremosotros.Dadalaimportanciaquetienenenune.v.n. las sucesiones deCauchy, unadelasprimeras preguntas quedebemos hacernos frenteaune.v.n. dedimensioninnita, essi seraonounespaciodeBanach(verdenicion1.4.4). El teoremaquesiguedaunarespuestasatisfactoriaaestapregunta.Teorema2.7.3. Si

Eesune.v.n. y

FunespaciodeBanachentonces L(

E,

F)dotadodelanorma(2.7.2)tambienesunespaciodeBanach.Demostracion.Sea lkunasucesiondeCauchyen L(

E,

F).Paracadax

E,deladesigualdad(2.7.3),aplicadaalasfuncioneslineales(lk lj),setendra|lk(x) lj(x)| = |(lk lj)(x)| |lk lj||x|paratodok, j Nloquenospermitededucirque lk(x)esunasucesiondeCauchyen

Fy, como

FesunespaciodeBanach, conclumosque lk(x)esunasucesionconvergente. Denamos402.7. ELE.V.N.DELASFUNCIONESLINEALESCONTINUASentonceslaaplicacionl :

E

Fporlarelacionl(x) := lmlk(x)eintentemosdemostrarque lkconvergealenele.v.n. L(

E,

F).Paraempezardebemosprobarquel L(

E,

F), esdecir, quel eslineal ycontinua.Dados x, y

Ey 1,delTeorema1.4.4deducimosquel(x +y) = lmlk(x +y) = lm[lk(x) + lk(y)]= lmlk(x) + lmlk(y) = l(x) + l(y)rl(x) = lmlk(x) = lmlk(x) = lmlk(x) = l(x)loquemuestraqueleslineal.Dado>0, porser lkdeCauchy, debeexistirk0 Ntal que |lk lj| paratodok, j k0, loqueimplicaque |lk|= |lk lj+ lj| + |lj|paratodok, j k0.Usandoentonces(2.7.3),delasdosdesigualdadesanterioresdeducimosque|lk(x) lj(x)| |x| paratodo k, j k0|lk(x)| ( +|lj|)|x| paratodo k, j k0.Fijandoj k0y x

Eenestasdosdesigualdades,teniendoencuentalacontinuidaddelanorma(Teorema2.2.4yelTeorema2.3.1)y,tomandolmitesobrekobtenemos|l(x) lj(x)| |x||l(x)| ( +|lj|)|x|queseranvalidasparatodo x

Eytodoj k0.Usando el Teorema 2.7.1, la segunda de estas desigualdades nos muestra que la funcionlineallescontinua.Finalmente, deladeniciondelanormaen L(

E,

F), laprimeradelasdosdesigual-dadesanterioresnosmuestraque|l lj| paratodo j k0loquesignicaque lkconvergealen L(

E,

F).Teorema2.7.4. Todafuncionlineal l de 1nenune.v.n.

Fescontinua.Demostracion.Comotodaslasnormasen 1nsonequivalentes,deacuerdoalaNota2.2.1 podemos usar cualquiera, en particular, la norma ||. Sea e1, ..., en la base canonicade 1n.Paratodo x 1nsetendra|l(x)| =_____l(n

i=1xiei)_____=_____n

i=1xil(ei)_____n

i=1[xi[|l(ei)| _n

i=1|l(ei)|_|x|.412.8. TEOREMADELPUNTOFIJOEstomuestraquel vericaladesigualdad(2.7.1) conL=n

i=1|l(ei)|y, deacuerdoalTeorema2.7.1,seracontinua.Nota 2.7.4.Mas adelante veremos que existen aplicaciones lineales que no son continuas.Naturalmente,estosetendracuandoeldominioesune.v.n.dedimensioninnita.2.8 TeoremadelpuntojoDenicion2.8.1. Unaaplicacionfdeune.v.n.

Eenune.v.n.

FsediracontractanteenunaparteAde

E,siesLipschitzianaenAconconstantedeLipchitzL < 1.Teorema2.8.1. Si f:A AescontractanteenunapartecerradaAdeunespaciodeBanach

E(verDenicion1.4.4),entoncesexisteun unico a Atal quef(a) =a.Elelemento asellamapuntojodefenA.Demostracion.Demostremosprimerolaunicidad.Sif(a) =ayf(

b) =

bentonces|a

b| = |f(a) f(

b)| L|a

b|.ComoL < 1,vemosqueestadesigualdadimplicaque a =

b.Para demostrar la existencia vamos a construir una sucesion xk convergente a un puntojodef.Apartirdex1 A,construmos xkenAmediantelaformuladerecurrenciaxk= f(xk1).Estasucesionverica|x3x2| = |f(x2) f(x1)| L|x2x1||x4x3| = |f(x3) f(x2)| L|x3x2| L2|x2x1|...|xk+1xk| = |f(xk) f(xk1)| L|xk xk1| ... Lk1|x2x1|porlotantoparatodok, p Nsetiene|xk+pxk| |xk+pxk+p1| +|xk+p1xk+p2| + ... +|xk+1xk| [Lk+p2+ Lk+p3+ ... + Lk1]|x2x1|Lk11 L|x2x1|422.9. EJERCICIOSComoLk10, esfacil vericarque xkesunasucesiondeCauchy. Enefecto, dado > 0 existe k0 N tal queLk1x2x1

1L para todo k k0, por lo tanto |xk+pxk| para todo p 0 y todo k k0y deniendo j= k +p obtenemos |xjxk| para todoj, k k0, que corresponde exactamente a la denicion de sucesion de Cauchy. Como

EesunespaciodeBanachconclumosque xkesconvergentey,porserAcerradoellmiteadeestasucesionestaenAyvericaa = lmxk+1= lmf(xk) = f(a)dondela ultimaigualdadsedesprendede(2.3.8)porserfcontinuaen a. Estomuestraque aespuntojodelafuncionf.2.9 Ejercicios1. Seaf unafuncioncontinuadenidaenune.v.n.

Econvalores enune.v.n

F.Demuestrequea) SiB

Fescerrado,entoncesf1[B]

Etambienescerrado.b) SiB

Fesabierto,entoncesf1[B]

Etambienesabierto.c) f( A) f(A)paratodoA

E.d) f1[int B] int (f1[B])paratodoB

F.e) f1[B] f1[ B]paratodoB

F.2. Demuestre que la funcion f: 121 denida por f(x) =x1x22x21+x42si x ,=

0 y f(

0) = 0escontinuaentodopuntode 12salvoen 0.3. Demuestrequelafuncionf: 121denidaporf(x) =x1x2x2si x ,=

0yf(

0) = 0,escontinua.4. Demuestrequelafuncionf: 12 12denidaporf(x)=1x2(x21, x22)six ,= 0yf(

0) =

0,escontinua.5. Considerelafuncionf : 12

0 1denidaporf(x)=x1x2x22. Demuestrequelmx10( lmx20f(x)) =lmx20( lmx10f(x)) = 0yquelmx

0f(x)noexiste.6. Considerelafuncionf: 12

0 1denidaporf(x)=x21x22x22. Demuestrequelmx20( lmx10f(x)) = 1, lmx10( lmx20f(x)) = 1y,quelmx

0f(x)noexiste.432.9. EJERCICIOS7. Seaf unafuncioncontinuadenidaenune.v.n.

Econvalores enune.v.n.

F.Demuestrequeel conjuntoG(f)= (x, y)

E

F: y=f(x)escerradoenele.v.n.

E

F.8. Seanf, gdosfuncionescontinuasdenidasenune.v.n.

Econvaloresenune.v.n.

Fy,seaA

Etalquef(x)=g(x)paratodox A.Demuestrequef(x)=g(x)paratodo x A.9. Sean

E1, ...,

Enespacios vectoriales normados yseapilafunciondel e.v.n.

E=

E1...

Enen

Ei,queacada x

Eleasociasucomponente xi

Ei.Demuestrequeestafuncionescontinua.10. Sea funa funcion continua denida en un e.v.n.

Econ valores en 1. Demuestre quea) S= x

E: f(x) esunconjuntocerradoparatodo 1.b) I= x

E: f(x) = esunconjuntocerradoparatodo 1.c) A= x

E: f(x) < esunconjuntoabiertoparatodo 1.11. Seaf unafuncioncontinuaybiyectiva, deuncompactoAdeune.v.n.

EenunconjuntoBdeune.v.n.

F.Demuestrequelafuncionf1: B Aescontinua.12. Sea f una funcion continua denida en1ncon valores en1. Si f verica lapropiedad: paratodoL 1+existek0 Ntal que |x| k0 f(x) L,demuestrequeel conjuntoSdenidoenel Ejercicio10esuncompactoyquelafuncionfalcanzasumnimoen 1n.13. Dado un e.v.n.

Ey dos puntos a,

b

Edemuestre que la funcion 1 a+(

ba)

Ees continua. Con esto, demuestre que el intervalo [a,

b] = a +(

b a)

E: [0, 1]escompacto.14. Demuestrequelafuncionf: 1+ 1denidaporf(x)= xesuniformementecontinuaperonoesLipschitziana.15. DemuestrequetodafuncionLipschitzianaesuniformementecontinua.16. Sea funa funcion uniformemente continua en una parte A de un e.v.n.

E con valoresenune.v.n.

F. Demuestrequesi xkesunasucesiondeCauchyenA, entoncesf(xk) es una sucesion de Cauchy en

F. Demuestre que esta propiedad no se tienenecesariamentesifnoesuniformementecontinuaenA.17. Sealunafuncionlinealdenidaenune.v.n.

Econvaloresen 1.DemostrarquelescontinuasiysolosielconjuntoN(l) := x

E: l(x) = 0escerradoen

E.442.9. EJERCICIOS18. Sea l una funcion lineal denida en el e.v.n. ((([a, b], 1), | |1) con valores en 1, porl(f) =b_af(x)dx.Demuestrequelescontinua.19. Seal unafuncionlineal denidaenel e.v.n. ((([a, b], 1), ||)convaloresen 1,porl(f) =b_ag(x)f(x)dx,dondegesunafuncionjaen (([a, b], 1).Demuestrequelescontinua.20. Sea l una funcion lineal denida en el e.v.n. ((([0, 1], 1), | |1) con valores en 1, porl(f) =f(0).Considereen (([0, 1], 1)lasucesion fndenidaporfn(x) =1 nxsix [0, 1/n], f(x) = 0six [1/n, 1].Usandoestasucesiondemuestrequelnoescontinua.21. UsandoelteoremadelpuntojodeBanachdemuestrequedado > 0,lasucesionxkconstrudaporlaformularecurrentexk+1=12_xk +xk_,apartirdeunvalorx1 ,convergea .45CAPITULO3ESPACIOSDEFUNCIONES3.1 IntroduccionTodos los e.v. de dimension innita que intervienen en los modelos matematicos de laingeniera y de la fsica, son espacios de funciones: el e.v. de las funciones acotadas, el e.v.delasfuncionescontinuas,ele.v.delasfuncionesdiferenciables,etc.Enestecaptuloveremos las propiedades mas elementales deestetipodeespaciosvectoriales,dotadosdelanorma ||quedenimosen(1.2.13).Los tres resultados importantes del captulo estan en el Teorema 3.2.1 el cual muestraque el e.v. /(A,

F) (de las funciones acotadas de A en

F) dotado de la norma | |es unespaciodeBanach,losTeoremas3.4.1y3.4.2queestablecenlacerraduradelsubespaciovectorial ((A, F) (de las funciones continuas de A en

F) en el espacio /(A,

F) dotado delanorma ||y,nalmenteenelTeorema3.6.1quenosdicequeparatodafuncionen(([a, b], 1)sepuedeconstruirunasucesiondepolinomiosconvergenteaesafuncionparalanorma ||.3.2 EspaciovectorialnormadodelasfuncionesacotadasDenicion 3.2.1.Dado un conjunto A y un e.v.n.

Fdenotaremos por /(A,

F) al espaciovectorial de las funciones acotadas de A en

F(f /(A, F) si existe rtal que |f(x)| r463.2. ESPACIOVECTORIALNORMADODELASFUNCIONESACOTADASparatodox A).Aesteespaciolodotamosdelanorma ||denidapor|f|:= supxA|f(x)| (3.2.1)Nota 3.2.1.Como decamos cuando estudiabamos el e.v.n. L(

E,

F), dada la importanciaquetienenenune.v.n.lassucesionesdeCauchy,unapreguntafundamentalquesedebehacerfrenteaune.v.n.dedimensioninnita,essiseraonounespaciodeBanach(verDenicion1.4.4).Elteoremaquesiguedaunarespuestasatisfactoriaaestapregunta.Teorema3.2.1. Si

FesunespaciodeBanach, entonces /(A,

F)dotadodelanorma||tambienloes.Demostracion.Sea fkunasucesiondeCauchyen /(A,

F).Comoparatodox Asetieneladesigualdad |fk(x) fj(x)| |fk fj|, esevidentequeparacadax Alasucesion fk(x)esdeCauchyen

Fy,comoporhipotesis

FesunespaciodeBanach,ellaseraconvergente.Denamosentonceslaaplicacionf: A

Fporlarelacionf(x) =lmfk(x)eintentemosdemostrarque fkconvergeafenele.v.n.(/(A,

F), ||).Loprimeroquedebemoshaceresdemostrarquef /(A,

F).Dado > 0existek0 Ntalque |fk fj| paratodok, j k0,loqueequivaleadecirque:|fk(x) fj(x)| paratodo x Aytodo k, j k0(*)Comoparakyxjos, lafunciony

F |fk(x) y|escontinua, del Teorema2.3.5obtenemoslmj|fk(x) fj(x)| = |fk(x) lmjfj(x)| = |fk(x) f(x)|.Tomandolmitesobrejen(*),laigualdadanteriornospermiteconcluirque|fk(x) f(x)| paratodox Aytodok k0(**)ycomofk /(A,

F),paratodox Atendremos|f(x)| |fk| |f(x)| |fk(x)| |f(x) fk(x)| ,esdecir,|f(x)| +|fk|paratodo x Aloquemuestraquefesacotada.El resto de la demostracion esta ya practicamente hecha, en efecto, (**) es equivalentea|fk f| paratodok k0loquemuestraque fkconvergeaf.473.3. CONVERGENCIAUNIFORMEYCONVERGENCIASIMPLEDEUNASUCESIONDEFUNCIONESNota3.2.2. Unespaciodefuncionesparticularmenteimportanteesel delasfuncionescontinuasdenidasenunapartecompactaAdeune.v.n.

E, convaloresen 1m. Esteespacio de funciones lo denotaremos ((A, 1m). Del Teorema 2.5.2 conclumos que ((A, 1m)esunsubespaciovectorial del e.v. /(A, 1m). Usandoentoncesel teoremaanterioryelTeorema 3.4.1 que veremos mas adelante, concluiremos que ((A, 1m), dotado de la norma||,estambienunespaciodeBanach.3.3 Convergenciauniformeyconvergenciasimpledeunasuce-siondefuncionesDenicion3.3.1. Laconvergenciadeunasucesiondefuncionesenel e.v.n. /(A, F),denida en la seccion anterior, se llama convergencia uniforme de la sucesion. As entonces,decimosque fkconvergeuniformementealafuncionf,cuando |fk f| 0.Nota 3.3.1.El proposito de esta seccion es ver que relacion existe entre la convergencia deuna sucesion fk en /(A,

F) dotado de la norma | | (que hemos llamado convergenciauniforme de fk) y, la convergencia en el e.v.n

Fde la sucesion fk(x) donde x esta jo(quellamaremosconvergenciasimpleopuntualde fk).Denicion3.3.2. Dadaunasucesion fkdefuncionesdenidasenunconjuntoAconvaloresenune.v.n.

F, diremosque fkconvergesimplementeopuntualmenteaunafuncionf: A

Fsiparatodox Alasucesion fk(x)convergeaf(x)en

F.Nota3.3.2. Dada una sucesion fk en /(A,

F) convergente uniformemente a f, puestoque para todo k N y todo x A se tiene que |fk(x)f(x)| |fkf|, es evidente quefkconvergesimplementeaf.Decimosentoncesquelaconvergenciauniformeimplicala convergencia simple. Lo contrario no es verdadero. Los dos ejemplos que siguen ilustranbienestehechonegativoy,permitenalmismotiempocomprendermejorlaconvergenciauniforme.Ejemplo3.3.1. Enele.v. /(1, 1)denamoslasucesion fkporfk(x) =11 + (x k)2(3.3.1)Entonces, comoparatodox 1setienequelmfk(x)=0conclumosquelasucesionfk converge simplemente a la funcion nula f() = 0. En la nota anterior veamos que laconvergenciauniformedeunasucesiondefuncionesimplicasuconvergenciasimple,por483.4. CONTINUIDADDELLIMITEDEUNASUCESIONDEFUNCIONESCONTINUASlo tanto si fk fuera uniformemente convergente debera serlo a la funcion nula. Veamossi esto es cierto, para lo cual hay que estudiar la sucesion |fkf| (donde fes la funcionnula).Como|fk f|= supxR[fk(x)[ = 1 paratodo k Nconclumosque fknoconvergeuniformemente.Ejemplo3.3.2. Enele.v. /(1, 1)denamoslasucesion fkporfk(x) =___k2x si x [0, 1/k]k2x + 2k si x [1/k, 2/k]0 si x/ [0, 2/k].(3.3.2)Comoparatodox 1se tiene que lmkfk(x) =0, conclumos que lasucesion fkconvergesimplementealafuncionnula. Siguiendoentoncesel mismorazonamientodelejemploanteriorparaversi fkconvergeuniformemente,obtenemos|fk f|= supxR[fk(x)[ = kconcluyendoasque fknoconvergeuniformemente.Nota3.3.3. Observandobienlos gracos delas funciones fkencadaunodelos dosejemplos anteriores, vemos que la convergencia uniforme corresponde bien a nuestra nocionintuitiva de convergencia de una sucesion y que lo que hemos llamado convergencia simplenoesunaverdaderaconvergencia.3.4 Continuidad del lmite de una sucesion de funciones continuasTeorema3.4.1. Sean

Ey

Fdose.v.n. yseaAunsubconjuntode

E. Si fkesunasucesion de funciones continuas en /(A,

F) convergente uniformemente a una funcion f,entoncesftambienescontinua.Demostracion. Dadoa A, debemosdemostrarqueel lmitef delasucesion fkesunafuncioncontinuaen a.Dado > 0,puestoque fkconvergeuniformementeafexistek0 Ntalque|fk(x) f(x)| /3 paratodo x A ytodok k0. (*)493.5. CUATROCONTRAEJEMPLOSINTERESANTESPorotraparte,puestoquefk0esunafuncioncontinuaen a,existe> 0talque|fk0(x) fk0(a)| /3 paratodo x B(a, ) A (**)Delasdesigualdades(*)y(**)conclumosque|f(x) f(a)| |f(x) fk0(x)| +|fk0(x) fk0(a)| +|fk0(a) f(a)| 3+3+3= paratodox B(a, ) A.Quedaasdemostradalacontinuidaddefen a.Nota3.4.1. ElTeorema3.4.1seenunciausualmentediciendoqueellmiteuniformedeunasucesiondefuncionescontinuasesunafuncioncontinua.Nota3.4.2. El ejemploquesiguemuestraqueel lmitesimpledeunasucesiondefun-cionescontinuas,noesnecesariamenteunafuncioncontinua.Enesecaso,deacuerdoalteoremaanterior,lasucesionnoconvergeuniformemente.Ejemplo3.4.1.Consideremos en /([0, 1], 1) la sucesion de funciones continuas fk(x) = xk.Es facil vericar que esta sucesion converge simplemente a la funcion f(x) = 0 si x [0, 1[yf(1) = 1,quenoescontinua.Usandoelteoremaanteriordeducimostambienqueestasucesion fknopuedeconvergeruniformemente.Nota3.4.3. ElsiguienteteoremarepitecasiexactamenteloquedecamosalnaldelaNota3.2.2.Teorema3.4.2. El e.v. ((A,

F)delasfuncionescontinuasdenidasenunapartecom-pactaAdeune.v.n.,convaloresenunespaciodeBanach

F,esunsubespaciovectorialcerradodele.v.n.(/(A,

F), ||)y,dotadodelamismanorma ||,esunespaciodeBanach.Demostracion. Graciasal Teorema2.5.2seobtieneque ((A,

F) /(A,

F)yporelTeorema3.4.1seconcluyelacerradurade ((A,

F)conlanorma ||.Porotrolado,elTeorema3.2.1nosdiceque(/(A,

F), ||)esunespaciodeBanachycomo ((A,

F)escerrado,sedecucequetambienseraBanach.3.5 CuatrocontraejemplosinteresantesContraejemplo3.5.1.En la Nota 1.2.3 decamos que todas las normas que se pueden denirenune.v.n.dedimensionnitasonequivalentes.Veremosaqudosnormasdenidasen503.5. CUATROCONTRAEJEMPLOSINTERESANTESunmismoe.v.quenosonequivalentes.Consideremosele.v. (([a, b], 1)delasfuncionescontinuasen[a, b]convaloresen 1,lanorma ||queyaconocemosbieny,lanorma:|f|1:=b_a[f(x)[dx. (3.5.1)Veriquemosqueestasdosnormasnosonequivalentes.Sibienesciertoque|f|1 (b a)|f|paratodo f (([a, b], 1), (3.5.2)probaremosquenoexisteLtal que || L||1. Loqueesequivalenteademostrarqueparatodokexisteunafuncionfk (([a, b], 1) queverica |fk| k|fk|1. Siconsideramoslasfuncionesdenidasen(3.3.2),vemosque |fk|= ky |fk|1= 1yporlotanto,ellasvericanla ultimadesigualdad.Paraentendercuandiferentessonestasdosnormasenele.v. (([a, b], 1)seraintere-sante ver el Contraejemplo 3.5.3 donde estudiaremos una sucesion fk que converge parala norma ||1y no converge para la norma ||. Otra diferencia importante entre estasdosnormaslaconstituyeel hechoque, deacuerdoal Teorema3.4.2, (([a, b], 1)dotadodelanorma ||esunespaciodeBanachy, comoveremosal nal del contraejemplosiguiente,dotadodelanorma ||1noesunespaciodeBanach.Contraejemplo 3.5.2. El Teorema1.4.7nos decaqueenune.v.n. dedimensionnitatodasucesiondeCauchyesconvergente. Veremosaqu une.v.n. (dedimensioninnita)donde hay sucesiones de Cauchy que no convergen. Consideremos el e.v. (0([1, 1], 1) delasfuncionescontinuasde[1, 1] avaloresen 1, queseanulanen 1y1dotadodelanorma ||1denidaen(3.5.1)yconsideremosenestee.v.n.lasucesionfk(x) = 1 x2k.Puestoque |fk fj|1= [22k+1 22j+1[,dado > 0,sidenimosk0 42,obtenemosque|fk fj|1 paratodok, j k0loquemuestraque fkesunasucesiondeCauchy.Parademostrarqueestasucesionnoesconvergenteconsideremosele.v. (([1, 1], 1)delcual (0([1, 1], 1)esunsube.v. ydotemoslodelamismanorma. Esevidenteentoncesquesi fkconvergeaunafuncionf enel e.v.n. (([1, 1], 1), yaunafuncionf enel e.v.n. (0([1, 1], 1)entonces, f =f. Ahorabien, esfacil vericarque fkconvergeen (([1, 1], 1) alafuncionconstantef(x) =1, ycomoestafuncionnopertenecea(0([1, 1], 1)conclumosqueeneste ultimoe.v.n.lasucesionencuestionnoconverge.El e.v. (([1, 1], 1) dotadode lanorma ||1tampocoes unespaciode Banach,comolomuestralasucesion fkdenidaporfk(x)=2k+1x,queesdeCauchyynoesconvergente.Contraejemplo 3.5.3. Los Teoremas 1.5.2y1.5.3delaSeccion1.5nos mostrabanqueenune.v.n. dedimensionnitalos conjuntos compactos sonlos cerrados yacotados,513.6. TEOREMADEWEIERSTRASS-STONEpor lotantolas bolas sonsiempreconjuntos compactos. Veremos aqu unejemplodee.v.n. cuyasbolasnosoncompactas. El ejemploestadadoen (([0, 1], 1)dotadodelanorma ||. Demostremosentoncesquelabolaconcentroenlafuncionnulayradio1, B(0, 1)= f (([0, 1], 1): |f| 1, noescompactaapesardeserunconjuntocerradoyacotado.Paraestobastaconsiderarlasucesion fk,denidaporfk(x)=xk,que esta en B(0, 1) (en efecto, |fk|= 1) y comprobar que no tiene ninguna subsucesionconvergente. Para esto, vemos que todas las subsucesiones de fk convergen simplementealafuncionf(x) =_0 si x [0, 1[1 si x = 1que por ser discontinua, deja en evidencia de acuerdo al Teorema 3.4.1, que fk no tienesubsucesionesuniformementeconvergentes.Es interesante notar que esta sucesion de funciones es convergente a la funcion nula sidotamos al espacio (([0, 1], 1) de la norma denida en (3.5.1), en efecto |fk|1= 1/(k+1).Estehechoconstituyeotraformadeverqueestasdosnormasnosonequivalentes.Engeneral, sepuededemostrarqueenune.v.n. dedimensioninnita, lasbolasnosonjamascompactas.Contraejemplo3.5.4. El Teorema2.7.4nosdecaquetodafuncionlineal denidaenune.v.n. de dimensionnita, convalores enune.v.n.

F es continua. Veremos aqu unafuncionlineal denidaenune.v.n. (dedimensioninnita)convaloresen 1, quenoescontinua.Sea Tele.v.delospolinoniosdeunavariablerealdotadodelanorma|p| =maxx[0,1][p(x)[. (3.5.3)Noesdifcil vericarqueesunanormaen T. Consideremosentonceslafuncionlineall : T 1 denida por l(p) = p(3) y demostremos que ella no es continua en 0 (polinomionulo).Paraesto,tomemosen Tlasucesionpk(x)=(x2)k.Como |pk|=2k,vemosquese trata de una sucesion convergente a 0. Si lfuera continua, de acuerdo al Teorema 2.3.5deberatenersequelml(pk) = l(0) = 0,peroestonosetienepuesl(pk) = pk(3) = (32)k,loquemuestraquelnoescontinua.3.6 TeoremadeWeierstrass-StoneWeierstrass demostro el a no 1885 que toda funcion f (([a, b], 1) puede aproximarsetantocomosequieraporunpolinomio, estoes, dado>0existeunpolinomioptalque |p f| .LademostracionquedaremosdeesteimportanteresultadofuehechaporBersteinela no1912ytienelaventajadeserconstructiva.Lademostracionoriginal523.6. TEOREMADEWEIERSTRASS-STONEdeWeierstrassnoesconstructiva, esdecir, dadalafuncionfdemuestraqueexisteunasucesiondepolinomios pkconvergenteuniformementeaf, sinexplicitarlaformadeestospolinomios.Denicion3.6.1. Dadaunafuncionf (([0, 1], 1)sellamapolinomiodeBersteindegradokasociadoalafuncionf,alpolinomiobk(x) :=k

i=0f_ik_pk,i(x) (3.6.1)dondepk,ieselpolinomiodegradok:pk,i(x) :=_ki_xi(1 x)ki(3.6.2)Lema3.6.1. Paratodok Nlospolinomiospk,idenidospor (3.6.2)verican(i)k

i=0pk,i(x) = 1(ii)k

i=0ikpk,i(x) = x(iii)k

i=0(ik x)2pk,i(x) =x(1x)k.Demostracion.(i)k

i=0pk,i(x) = [x + (1 x)]k= 1(ii)k

i=0ikpk,i(x) = xk

i=1_k1i1_xi1(1 x)(k1)(i1)= xk1

j=0_k1j_xj(1 x)(k1)j= x[x + (1 x)]k1= x(iii)k

i=0(ik x)2pk,i(x) =k

i=0i2k2pk,i(x) 2xk

i=0ikpk,i(x) + x2k

i=0pk,i(x)=k

i=0i(i1)k2pk,i(x) +1kk

i=0ikpk,i(x) 2x2+ x2533.6. TEOREMADEWEIERSTRASS-STONE= x2 k1kk

i=2_k2i2_xi2(1 x)(k2)(i2)+xk x2= x2 k1kk2

j=0_k2j_xj(1 x)(k2)j+xk x2=xx2k.Teorema3.6.1. Dadaunafuncionf (([a, b], 1), existeunasucesiondepolinomiosconvergenteuniformementeaf.Demostracion. Parasimplicarlademostracionsupondremosque[a, b] =[0, 1]. De-mostremos entonces que la sucesion de polinomios de Berstein bk asociados a la funcionf,convergeuniformementeaf.Dado > 0,debemosprobarqueexistek0 Ntalque|bk f| paratodo k k0.DelLemaanterior(i)vemosqueparacadax [0, 1]yk Nsetiene[bk(x) f(x)[ =k

i=0f_ik_pk,i(x) f(x)=k

i=0f_ik_pk,i(x) k

i=0f(x)pk,i(x)=k

i=0pk,i(x)_f_ik_f(x)_k

i=0pk,i(x)f_ik_f(x). (*)Debemos ahora acotar por esta ultima sumatoria. Para esto vamos a separar la sumaendospartesy,usandoargumentosdistintos,vamosaacotarpor/2cadaunadeellas.Del Teorema2.6.1sabemosquef esuniformementecontinuaen[0, 1], porlotantoexiste> 0talque[x

x[ [f(x

) f(x)[ /2543.6. TEOREMADEWEIERSTRASS-STONEyas,dellemaanterior(i),obtenemosparacadax [0, 1]yk N

iIk(x)pk,i(x)f_ik_f(x) /2 (**)dondeIk(x) = i k : [ik x[ .Consideremos ahora el complementoIck(x) del conjunto Ik(x), es decir, el conjunto dendicesIck(x) = i k : [ik x[ > .Usandoladesigualdad [f(ik) f(x)[ 2|f|paratodoi ky, ladesigualdad12(ik x)2> 1paratodoi Ick(x),vemosque

iIck(x)pk,i(x)f_ik_f(x) 2|f|

iIck(x)pk,i(x) 2|f|12

iIck(x)_ik x_2pk,i(x)yusandoahoraellemaanterior(iii)obtenemos

iIck(x)pk,i(x)f_ik_f(x)2|f|2x(1 x)k2|f|2k2paratodo k k0(***)dondek0esunenteroquevericak0 4f2. Delasdesigualdades(*), (**), (***)seobtieneladesigualdad[bk(x) f(x)[ paratodo k k0ytodox [0, 1]y,tomandosupremosobrex,conclumosque|bk f| paratodo k k0.Nota3.6.1. En el Contraejemplo 3.5.2 construmos en un e.v.n. una sucesion de Cauchyquenoeraconvergente. El teoremadeWeierstrass-Stonenosmuestraqueenel e.v. delospolinomiosdeunavariablerealdenidosen[0, 1],dotadodelanorma ||,esfacilconstruir sucesiones deCauchyquenoconvergen. Bastaparaestotomar unafuncioncontinuafde[0, 1]en 1quenoseaunpolinomioyconsiderarlasucesiondepolinomiosbk denida en (3.6.1). Esta sucesion sera convergente en (([0, 1], 1) dotado de la norma| |, a la funcion fy, como fno es un polinomio vemos que en el e.v. de los polinomios,dotadodelanorma ||, bkseradeCauchyperonoconvergente.553.7. EJERCICIOS3.7 Ejercicios1. Estudiar la convergencia puntual, la convergencia uniforme y la convergencia para lanorma | |1, de las siguientes sucesiones de funciones en (([0, 1], 1) para fkdenidasdea)ae)yen (([0, 2], 1)parafkdenidaenf).a) fk(x) =sin(kx)kb) fk(x) = xekxc) fk(x) =_kx six [0, 1/k](kx)1six [1/k, 1]d) fk(x) = kxekxe) fk(x) =kx21+kxf ) fk(x) =___1 six [0, 1 1/k]kx k six [1 1/k, 1 + 1/k]1 six [1 + 1/k, 2]2. Demuestrequesi fkesunasucesionen (([a, b], 1)uniformementeconvergenteaunafuncionf,entoncesb_af(x)dx = lmkb_afk(x)dx.3. Sean fn y gn dos sucesiones de funciones en /(A, 1) uniformemente con-vergentes af ygrespectivamente. Demuestrequelasucesion hndenidaporhn:= fn gnesuniformementeconvergentealafuncionh = fg.4. Sea

Fune.v.n., fnunasucesionen /(A, F)uniformementeconvergenteaunafuncion fy gn una sucesion de funciones de A en

Fque verica |fngn| 0.Demuestrequelasucesion gnestaen /(A,

F) yconvergeuniformementealafuncionf.5. Sea pnunasucesiondepolinomiosdeunavariablereal denidosporlaformularecurrentep1= 0, pn+1(x) =12(x + 2pn(x) pn(x)2).Demuestrequeparatodox [0, 1]setiene0 x pn(x) 2x2 + nx563.8. SOLUCIONESy que la sucesion pn en /([0, 1], 1) converge uniformemente a la funcion fdenidaporf(x) = x.6. Sea fnunasucesiondefuncionesmonotonasdenidasenunintervalo[a, b] convalores en1, convergentepuntualmenteaunafuncioncontinuaf : [a, b] 1.Demuestreque fnconvergeuniformementeaf.3.8 Soluciones1. (a) Veamosqueconvergeuniformementealafuncion0:[fk(x) 0[ =sin(kx)k1k x [0, 1]comolaconvergenciauniformeimplicalapuntualylade ||1vemosquecon-vergea0paraestasdostambien.(b) veamoslaconvergenciapuntual:lmkinfxekx=xlmkinfekx=0si x es igual a 0 el limite es constante y si x es distinto de 0 el limite es 0. comoconvergepuntualmentea0estaes el unicocandidatoaser limiteuniformeparavericarestosecalculaelmaximodefken[0, 1]:0 =(xekx)

=ekx(1 kx) x =1kfk(1k) =1ekqueconvergea0enkporloqueseaseguralaconvergenciauniforme. yestoimplicaquetambienconvergeen ||1alafuncion0.(c) convergenciapuntual:six =0trivialmenteellimitedefk(0)es0.sinoentonces k0 , k k0x1kentonces:lmkinffk(x) = lmkk0(kx)1=0porlotantosiconvergeuniformementeconvergealafuncion0paraestocal-culemoselmaximodefk:573.8. SOLUCIONESclaramentemax fk= 1porloquenoconvergeuniformementeveamosqueconvegeennorma ||1:1_0fk(x)dx =1k_0kxdx +1_1k1kx=12k+ln(1k)kqueconvergea0cuandoktiendeainnito.(d) convergenciapuntual(x ,=0):lmkinfkxekx=lmyinfyey=0no cpnverge uniformemente pues alcanza su maximo en1ky este es de1eque esconstantenoiguala0.convergencia ||1a0:|fk|1=1_0kxekxdx =1_0kxekxdx =1_0_(x +1k)ekx_

dx =_1 +1k_ekeKqueconvergea0enk.(e) convergenciapuntual:x =0 : lmkinffk(0) =0x,=0 : lmkinfkx21 + kx= lmkinfkx2kx=xveamoslaconvergenciaunifromeparaestodebemoscalcularelmaximodekx21 + kxx=x1 + kx=x1 + kx_x1 + kx_

=1(1 + kx)2>0porloquelafuncionescrecienteysuvalormaximoestaenx =1yestees:fk(1) =11 + kquetiendea0cuandoktiendeainnito,loqueimplicaqueconvergeen ||1tambien.583.8. SOLUCIONES(f) convergenciapuntual:x k01 =1x >1 : lmkinffk(x) = lmk>k01 =1x =1 : lmkinffk(1) =0comoconvergepuntualmenteaunafuncionnocontinuanopuedeconvergeruniformemente.tampocopuedeconvergerennorma1puesen[0,1]convergealafuncion-1yen[1,2]alafuncion1.2. Seafk fennormainnitoentonces:sea >0entonces k0talque |f fk|infk0b_afk(x)dxb_af(x)dx=b_afk(x) f(x)b_a[fk(x) f(x)[ dxb_a

b a= k >k03. Primeroquenadasi gkesconvergente G > 0tal que k|gk|inf G. Sea >0entonces k0talque kk0 |gk g|inf

2finfy |fk f|inf

2G[fk(x)gk(x)f(x)g(x)[ =[fk(x)gk(x)f(x)gk(x) +f(x)gk(x)f(x)g(x)[[gk(x)[ [fk(x)f(x)[ +[f(x)[ [gk(x)g(x)[G|fkf|inf+|f|inf|gkg|inf

2+

2= k >k0P4 Sea >0yNtalque |fngn|inf

2y |fnf|inf

2 n >N:|gnf|inf|gnfn|inf+|fnf|inf n >N4. Probaremosladesigualdadporinduccionenn:cason =0trivial.n n + 1xpn+1(x) =x12(x +2pn(x) +p2n(x))593.8. SOLUCIONES=(xpn(x))12(xpn(x))(x +pn(x))=12(xpn(x))(2xpn(x))ahorabien xpn(x) 0porhipotesisdeinducciony2xpn(x) =2(1 x) +(xpn(x)) 0pues x1y xpn(x) 0porlotanto xpn+1(x) 0Veamoslaotradesigualdad:12(xpn(x))(2(1 x) +(x +pn(x))12_2x2 +nx__2(1x) +2x2 +nx_=... =x(2 x)2 + n_(x)paraterminarnecesitamosque2 x2 + nx22 + (n + 1)xperoestosetieneyaque:2 x2 nx22 + (n + 1)x=(n + 1)x(2 + nx)(2 + (n + 1)x)0porloqueseconcluyeque:xpn+1(x) 2x2 + (n + 1)xahoraveamoslaconvergenciauniforme,paraestocalculemoselmaximode2x2+nx_2x2 + nx_

=2x(2 + nx0por lo tanto la funcion es creciente alcaza su maximo en 1 y este es22+n 0 cuandontiendeainnito.porloqueconvergeuniformemente.60CAPITULO4ESPACIOSDEHILBERT4.1 IntroduccionLosespaciosdeHilbertsonlosespaciosvectorialesnormadosmasusadosenlosmo-delosmatematicosdelaingenieraydelafsica.Estecaptuloconstituyeunamuybreveintroduccionaestosespacios.Todo el captulo gira en torno al hecho que en un espacio de Hilbert la proyecci on de unpuntosobreunconjuntoconvexocerradosiempreexiste,es unicaypuedecaracterizarseporladesigualdad(4.4.1).Terminamos el captulo con tres resultados importantes: el teorema de representaciondeRiesz,elteoremadeHanh-BanachyellemadeFarkas.4.2 ProductointernoenunespaciovectorialDenicion 4.2.1.Dado un e.v.

E sobre el cuerpo 1, se llama producto interno o productoescalaren

Eatodafuncionbilinealsimetricaydenidapositivab :

E

E 1,estoes,paratodo u, v,w

Ey 1setiene:(i) b(u +v,w) = b(u,w) + b(v,w)yb(u, v + w) = b(u, v) + b(u,w);(ii) b(u, v) = b(u, v)yb(u, v) = b(u, v);614.2. PRODUCTOINTERNOENUNESPACIOVECTORIAL(iii) b(u, v) = b(v, u);(iv) b(u, u) > 0paratodou ,= 0.Nota 4.2.1.Las propiedades (i) y (ii) corresponden al hecho que b es bilineal, la propiedad(iii)alasimetradebylapropiedad(iv)alhechodeserdenidapositiva.Nota4.2.2. Enadelanteusaremosparael productointernolanotacion u, v)enlugardeb(u, v).Teorema4.2.1. Todoproductointernoenune.v.

EvericalallamadadesigualdaddeCauchy-Schwarz:[u, v)[ u, u)12v, v)12paratodou, v

E. (4.2.1)Ademas, la igualdad se tiene si y solo si u y vson colineales, esto es, si u = vpara alg un 1osi v=

0.Demostracion.Dados u, v

Enocolineales,paratodo, 1 0setiene0 < u v, u v) = 2u, u) 2u, v) + 2v, v)ycomo v, v) > 0y u, u) > 0,haciendo := v, v)12y := u, u)12obtenemos2v, v)12u, u)12u, v) < 2v, v)u, u)ydividiendopor[v, v)12u, u)12]llegamosaladesigualdadu, v) < u, u)12v, v)12paratodo u, v

E nocolineales.Sienladesigualdadanteriorhacemosu = vy v= uobtenemosu, u)12v, v)12< u, v) paratodo u, v

EnocolinealesSeobtieneasladesigualdaddeCauchy-Schwarzparau, vnocolineales.Laigualdad,cuandouyvsoncolineales,seobtienetrivialmente.Nota 4.2.3.Es facil demostrar que un producto interno b en un e.v.

E, dene una normaen

E, estaes |u