aporte4_tc2_teletráfico

8/12/2019 Aporte4_tc2_Teletrfico

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TRABAJO COLABORATIVO 2

EDISON ARTURO VLEZ MACAS Cd. 27775825

Grupo 26

Tutor

REMBERTO CARLOS MORENO

Teletrfico 208022

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

31 de mayo de 2014


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DESARROLLO

EJERCICIOS Y SOLUCIONES - DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

1. Cuando se estn realizando clculos de E1s (por ejemplo en rutas deinterconexin) y es necesario conocer un valor anual de trfico qu valor

se toma y cmo se calcula?

Cuando

2. Indicar en qu casos diferentes a los mencionados en el mdulo del curso- son utilizadas las diferentes distribuciones de Teletrfico vistas en el

mdulo. Dar ejemplos de cada una de ellas.

Los intervalos de tiempo son variables aleatorias de gran importancia en

Teletrfico.

Las distribuciones de estas variables aleatorias son fundamentales para el

estudio de diferentes modelos.

La ms importante de las distribuciones en Teletrfico es la distribucin

exponencial, ya que es la base de muchos modelos utilizados durante

mucho tiempo.

Se pueden obtener otros tipos de distribuciones mediante la combinacin

de variables aleatorias exponenciales en serie y en paralelo.


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Aplicacin de diferentes variables aleatorias en Teletrfico

Distribucin Aplicacin

Exponencial Tiempos entre llegadas de

llamadas, tiempos de servicio,longitudes de paquetes.

Poisson Nmero de llegadas que ocurren

con distribuciones temporales

exponenciales.

Paretto Longitud de pginas web,

longitud de archivos.

MMPP

(Markov

Modulated

Poisson

Process)

Llegadas de paquetes a un

enlace de salida de una red de

acceso a una Internet.

Distribucin exponencial

- Tambin se conoce como distribucin exponencial negativa.

- Para modelar los tiempos de la teora de teletrfico, se puede usar

cualquier variable aleatoria que tenga valores no-negativos para

modelar el tiempo de vida.

- La distribucin exponencial tiene unas caractersticas nicas que la

hacen muy apetecida para usos prcticos y analticos.

- Se caracteriza por un parmetro nico: la intensidad o tasa (

).

- La distribucin exponencial tiene la forma: , , , , , .- Los parmetros que caracterizan la distribucin exponencial son:

Valor medio: ,Segundo momento:


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Representacin enlos Diagramas deFase

,Varianza: ,A partir del factor:

,Propiedades:

- Es muy apropiada para describir intervalos de tiempos fsicos.

- Tiene la propiedad de Falta de Memoria (Ausencia de Memoria).

Propiedad de Falta de Memoria

- Una variable aleatoria con distribucin exponencial, tambin sufre dela propiedad de falta de memoria.

- Esta propiedad significa que la probabilidad de ocurrencia de un evento

despus de cierto tiempo (o distancia), no tiene en cuenta qu ocurri

antes de iniciar el conteo.

El conteo se re-inicia

tiempo

Ejemplo

- El tiempo de vida residual de una conversacin telefnica (lo que queda

de ella, dado que ya transcurri un tiempo x), puede suponerse

independiente de la duracin actual de la llamada.

- Por tanto, puede suponerse que tiene una distribucin con falta de

memoria, tal como la distribucin exponencial:

|


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Mnimo de dos variables aleatorias exponenciales (I)

- Si se asume que dos variables aleatorias y , son mutuamenteindependientes y exponencialmente distribuidas, con intensidades

y

respectivamente, se puede definir una nueva variable aleatoria como: * +- Esta funcin de distribucin tendr la forma:

* + - Es decir, es una distribucin exponencial con intensidad

Mnimo de dos variables aleatorias exponenciales (II)

- Suponiendo que , la probabilidad de ocurrencia de primeroque (y que ocurra despus de un tiempo ), dado que ya pas untiempo es:

* |+ * + * +* +

- En este caso, esta probabilidad es independiente de . Por tanto, no

necesitamos integrar con respecto a .Variables aleatorias derivadas de la variable aleatoria exponencial

Combinacin de variables aleatorias exponenciales

- Si una variable aleatoria exponencial no puede describir los intervalos de

tiempo con suficiente detalle, se puede usar una combinacin de dos o

ms variables aleatorias exponenciales.

- Conny Palm introdujo dos clases de distribuciones: steep (con pendiente)

y flat (planas).

- Distribuciones con pendiente: Corresponden a un conjunto de

intervalos de tiempo, exponencialmente distribuidos e independientes en

serie.


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- Distribuciones planas: Corresponden a un conjunto de intervalos de

tiempo, exponencialmente distribuidos e independientes en paralelo.

- Adems, mediante la combinacin de distribuciones planas y con

pendiente, se puede obtener arbitrariamente una buena aproximacin

para cualquier distribucin.

- Distribuciones con pendiente:

Distribuciones con pendiente (Steep)

Diagrama de fase:

- Se obtienen combinando distribuciones exponenciales en serie.- Se conocen como distribuciones hipo-exponenciales o distribuciones

Erlang generalizadas.

- Tienen un factor de forma .- Si toda las distribuciones son idnticas ( ), se obtiene una

DistribucinErlang-k.

- Se les llama distribuciones con pendiente porque van de cero a uno, ms

rpido que una distribucin exponencial.

Distribucin de Erlang-k

- La distribucin de Erlang-k tiene las siguientes expresiones para la funcin

densidad de probabilidad (F.D.P.) y la distribucin acumulada,

respectivamente:

- La caracterizan los siguientes momentos:

, , , , ,


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- La caracterizan los siguientes elementos:

, ,

,- Y el i-simo momento no central es:

.

Distribucin de Erlang-k para diferentes valores de (con ). Para secomporta como una distribucin exponencial.

Aplicaciones de Erlang-k


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- La distribucin de Erlang-k describe el tiempo (o longitud) hasta que

suceden ocurrencias en un proceso de Poisson con media .

Ejemplos:

- Si tenemos tiempos con distribucin exponencial entre llegadas de

llamadas a una central telefnica. La distribucin Erlang-k medira el

tiempo necesario para que lleguen llamadas.- Si tenemos longitudes de paquetes que llegan a una cola con una

distribucin exponencial, la distribucin Erlang-k medira el tiempo

necesario para atender paquetes (suponiendo un tiempo de atencinconstante en bits/seg).

Distribuciones Planas

- La distribucin plana general es una suma ponderada de distribuciones

exponenciales y tiene la Distribucin acumulada:

( ) , , ,- La funcin de peso, (), podra ser continua o discreta.- La distribucin plana se obtiene al combinar distribuciones en paralelo

y elegir una rama con una probabilidad .- Cuando () es discreta, el resultado es una distribucin hiper-

exponencial.


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Distribucin Hiper-exponencial

- Supngase que las tasas de las distribuciones exponenciales son

respectivamente: , , , ,- Y que W tiene los incrementos positivos: , , , ,- Donde, .- Para otros valores () es constante. La distribucin acumulada ser: , .- La media y el factor de forma sern: ,

{ } 2.- Si todas las son iguales, se tendr una distribucin

exponencial.

- Las distribuciones planas se llaman as porque la variacin de cero a uno

es ms lenta que la distribucin exponencial.

- En la prctica, es difcil estimar ms de uno o dos parmetros.

- El caso ms importante es para . Por tanto,

Aplicacin de la distribucin Hiper-exponencial


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La grfica muestra mediciones de los tiempos de servicio en lneas de una centraltelefnica local, durante la hora pico.

Distribuciones de Cox

- Se obtienen combinando distribuciones con pendiente y planas.

- Es una clase de distribuciones general, que puede ser descrita mediante

combinaciones de distribuciones exponenciales en serie y en paralelo.

- Se estudiar en este trabajo, un caso especial conocido como Erlang

con ramificaciones (Branching Erlang).

Distribuciones Erlang con ramificaciones

- La media es,

- Donde

.


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- El trmino corresponde a la probabilidad de ramificarse, y es laprobabilidad de saltar afuera, despus de dejar la fase .

- La media es,

.

- El segundo momento es,

- La varianza ser, Propiedades de la Distribucin de Cox

- La suma de dos variables aleatorias de Cox dan como resultado otra

distribucin de Cox.

- La funcin densidad de probabilidad de una Distribucin de Cox se

puede escribir como una sumatoria de variables aleatorias

exponenciales:

,

- Donde , Principios de descomposicin

- Los diagramas de fase son una herramienta til para analizar las

distribuciones de Cox a partir de las propiedades de la distribucin

exponencial.

Teorema 1:

- Una distribucin exponencial con intensidad puede ser descompuestaen una distribucin de Cox de dos fases, donde la primera fase tiene una

intensidad y la segunda fase tiene la intensidad original .


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Teorema 2:

- Las fases en cualquier distribucin de Cox pueden ser ordenadas como

.

Cox como base de otras distribuciones

- En consecuencia, una distribucin hiper-exponencial con fases esequivalente a una distribucin de Cox con el mismo nmero de fase

( )- Caso para :

- Una distribucin exponencial es equivalente a una distribucin de Cox

homognea (la misma intensidad en todas las fases) con intensidad en

todas la fases) con intensidad y un nmero de fases infinito. Lasprobabilidades de ramificacin son constantes.


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- Por tanto, una distribucin exponencial se puede ver como una

distribucin compuesta de distribuciones Erlang-k homogneas con tasas , donde los factores de peso siguen una distribucin geomtrica(cociente ).

- Una distribucin exponencial tambin puede verse como la distribucinde fases de la figura. Esto se cumple cuando,

- Y el nmero de fases es finito e igual a .

Importancia de la distribucin de Cox

- Ha atrado la atencin durante aos recientes.

- Es de gran importancia porque posee las siguientes propiedades:

- La distribucin de Cox puede ser analizada usando el mtodo de fases.

- Cualquier distribucin puede ser aproximada de una forma bastante

buena usando una distribucin de Cox.

- Si una propiedad es vlida para una distribucin de Cox, entonces es

vlida para cualquier distribucin de inters prctico.

- En la prctica:


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- En general, si suponemos que hay parmetros en un problemaestadstico no resuelto, normalmente, podemos elegir una distribucin de

Cox especial (por ejemplo Erlang-k o hiper-exponencial) y aproximar el

primer momento.

Notacin para las principales distribuciones

Exponencial distribution (Markov), Erlang-kdistribution, Hyper-exponential distribution of order n,

Constant (Deterministic),

Cox distribution, General = arbitrary distribuition.

Otras distribuciones de tiempo

- Distribucin gamma:- Se obtiene al suponer que el parmetro de una distribucin Erlang-ktoma valores reales no negativos:

, , ,

,- Distribucin Weibull:

- Esta distribucin tiene una intensidad de muerte (tasa de servicio),,dependiente del tiempo.

- Tiene su origen en la teora de la confiabilidad.

- Para , se obtiene la distribucin exponencial.

,

,

,

,


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- Distribucin de Pareto:

, , - Note que la varianza no existe para

.

- Si se hace , se convierte en una distribucin exponencial.- Si la intensidad de un proceso de Poisson tiene una distribucin Gamma,

entonces los tiempos entre llegadas tienen una distribucin de Paretto.

Distribuciones de cola pesada

- En sistemas telefnicos rara vez se tienen mediciones con factores de

forma mayores que 6.- En trfico de datos, se obtienen mediciones con factores de forma

mayores que 100.

- Esto indica que la variacin de las mediciones es muy alta. Este es el caso

de las transmisiones de datos, donde podemos enviar unos pocos

caracteres o una gran cantidad de datos.

- Para describir estos datos, se utilizan distribuciones de cola pesada

(heavy-tailed).

- Una distribucin se considera de cola pesada si la cola de la funcin de

distribucin se comporta como una ley de potencias, es decir, - La distribucin de Pareto es de cola pesada en sentido estricto.

- Adems, se consideran distribuciones de cola pesada, aquellas cuya

cola es ms pesada que la de la distribucin exponencial.

- Ejemplos:


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- Hiper-exponencial

- Weibull

- Lognormal

- Recientemente, medidas ms extensas han permitido modelar el trfico

de datos mediante modelos auto-similares.

Distribuciones Discretas

Proceso de Bernoulli

- El experimento consiste de ensayos, que se repiten.- Cada ensayo produce un resultado que se puede clasificar como xito o

fracaso (xito y fracaso son slo etiquetas, no tienen significado de que

algo est bien o mal).

- La probabilidad de un xito se denota como y permanece constantede un ensayo a otro.

- Los ensayos que se repiten son independientes.

Variable aleatoria binomial

- El nmero de xitos de experimentos de Bernoulli se denomina variablealeatoria binomial.

- La distribucin de probabilidad de esta variable aleatoria discreta sellama distribucin binomial.

- Distribucin binomial: . Depende del nmero de ensayos y de laprobabilidad de xito en un ensayo dado.

Distribucin binomial


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- Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un xito con

probabilidad y un fracaso con probabilidad . Entonces, ladistribucin de probabilidad de la variable aleatoria binomial, que es elnmero de xitos en

ensayos independientes es,

, Ejemplo

- Las posibilidades de que un bit, transmitido a travs de un canal de

transmisin digital se reciba con error, es de 0.1. Suponga adems que los

ensayos de transmisin son independientes. Sea el nmero de bits conerror en los siguientes 4 bits transmitidos. Determine la probabilidad deque lleguen dos bits con error.

- Solucin:

, Media y Varianza

- La media y la varianza de la distribucin binomial son:

- Ejemplo:

- Para el ejemplo de la transmisin de 4 bits con , se tiene:

Distribucin Geomtrica


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- En una serie de ensayos de Bernoulli independientes, con probabilidad

constante de un xito, sea que la variable aleatoria denote elnmero de ensayos hasta el primer xito. Entonces tiene unadistribucin geomtrica con parmetro

y,

,

Ejemplo:

- La probabilidad de que un bit transmitido a travs de un canal de transmisin

digital se reciba con error es de 0.1. Suponga que las transmisiones son eventos

independientes y sea que la variable aleatoria denote el nmero de bitstransmitidos hasta el primer error. Calcule la probabilidad de que se transmitan 4

bits correctamente y el quinto bit est errado.

Geomtrica

- Solucin: Media y varianza de una variable aleatoria con distribucin geomtrica :

- Si es una variable aleatoria geomtrica con parmetro , entoncesla media y la varianza deson:


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Ejemplo:

- En el ejemplo de la transmisin de bits con probabilidad 0.1de que

llegue un bit errado, calcule el nmero promedio de bits transmitidos

incluyendo el primer bit errado. Calcule la desviacin estndar de esta

misma variable

- Solucin:

[ ] Distribucin binomial negativa

- En una serie de ensayos de Bernoulli independientes, con probabilidad

constante de xito, sea que la variable aleatoria denote el nmerode ensayos hasta que ocurran

xitos.

Entoncestiene una distribucin binomial negativa,.donde:- Para , , ,

Aclaraciones

- Debido a que se necesitan al menos ensayos para obtener xitos,el rango de

es de

a infinito.

- Si , una variable aleatoria binomial negativa se convierte en unavariable aleatoria geomtrica.

Ejemplo:

- Suponga que la probabilidad de que un bit transmitido a travs de un

canal de transmisin digital se reciba con error, es 0.1. Suponga que lastransmisiones son eventos independientes, y sea que la variable aleatoria


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denote el nmero de bits transmitidos hasta que se transmite el cuartobit errado. Calcule la probabilidad de que el dcimo bit sea el cuarto bit

errado.

- Solucin: xitos ensayos

Media y varianza

- Si es una variable aleatoria binomial negativa con parmetros y ,entonces la media y la varianza de son:

Relacin entre las distribuciones geomtrica y binomial negativa

- Se dice que una variable aleatoria geomtrica no tiene memoria.

- La propiedad de falta de memoria significa que cada vez que se

obtiene un xito se re-inicia el conteo de los resultados de los ensayos

hasta el siguiente xito.

- Sea , el nmero de ensayos hasta el primer xito, el nmero deensayos hasta el segundo xito, etc., entonces, para obtener xitos

.

Probabilidad de que ocurran 3 erroresen los nueve primeros ensayosDistribucin binomial

Probabilidad del cuarto biterrado


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Variable aleatoria binomial como suma de variables aleatorias

geomtricas

Aplicacin de las distribuciones binomial negativa y geomtrica

- Si la probabilidad de tener que hacer un gran nmero de intentos

antes de obtener un xito (distribucin Geomtrica) o xitos(distribucin Binomial negativa) es alta, esto podra significar que se

emplearan muchos esfuerzos en lograr el objetivo (lo que podra

significar altos costos en un proyecto).

3. Cmo se hara una equivalencia entre impulsos y erlangs, y entre minutostasados y erlangs? Justifique la respuesta.

Casos

4. Cmo se realiza el dimensionamiento completo de un Call Center? Dar unejemplo. Explique cmo se maneja el tema de Grado de Servicio.


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Casos

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