1. Hallar el área que hay entre las gráficas de f ( x )=x2+2 y g ( x )=1−xentre x=0 yx=1.

Verifiquemos puntos de corte:

x2+2=1−xx2+ x+2−1=0x2+ x+1=0

x1,2=−b±√b2−4ac

2a

x1,2=−1±√12−4(1)(1)

2(1)

x1,2=−1±√−3

2

No hay soluciones en los números Reales, luego las gráficas no se cortan por lo tanto:

A=0unidades cuadradas.

2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de f ( x )= (x−1 )2 y g ( x )=−x+3.

Hallemos los puntos de corte de las dos gráficas:

( x−1 )2=−x+3x2−2 x+1=−x+3x2−2 x+x+1−3=0x2−x−2=0(x−2)(x+1)=0x=2⇒ y=1x=−1⇒ y=4

Hallemos el área:

A=∫−1

2

[ (−x+3 )− (x2−2x+1 ) ]dx

A=∫−1

2

(−x+3−x2+2 x−1 )dx

A=∫−1

2

(−x2+x+2 )dx

A=(−x33 + x2

2+2x )| 2−1

A=(−23

3+ 2

2

2+2(2))−(−(−1 )3

3+

(−1 )2

2+2 (−1))

A=(−83 + 42+4)−(13 + 1

2−2)

A=92unidades cuadradas

3. Hallar el área de la superficie lateral del sólido que se obtiene al rotar la gráfica de y=2√ x entre x=3 yx=3 alrededor del eje X.

A=2π∫a

b

f (x)√1+( f ' (x ))2dx

f (x)=2√ x

f (x)=2x12

f ' ( x )=22x

−12 dx

f ' ( x )= 1

√xdx

( f ' (x))2=( 1√ x )2

( f ' (x))2=1x

A=2π∫3

8

2√x √1+ 1x dx=4 π∫38

√x √ x+1x dx

A=2π∫3

8

2√x √1+ 1x dx=4 π∫38

√ x ( x+1 )x

dx

A=2π∫3

8

2√x √1+ 1x dx=4 π∫38

√( x+1 )dx

u=x+1du=dx

Límites:

x=3⇒u=4x=8⇒u=9

A=2π∫3

8

2√x √1+ 1x dx=4 π∫49

√udu

A=2π∫3

8

2√x √1+ 1x dx=4 π∫49

u12du

A=2π∫3

8

2√x √1+ 1x dx=4 π ( u12+1

12+1 )|94

A=2π∫3

8

2√x √1+ 1x dx=4 π ( u32

32

)|94A=2π∫

3

8

2√x √1+ 1x dx=4 π ( 23 u32 )|94

A=2π∫3

8

2√x √1+ 1x dx=8 π3 [932−4 32 ]A=2π∫

3

8

2√x √1+ 1x dx=8 π3 [33−23 ]

A=2π∫3

8

2√x √1+ 1x dx=8 π3 [27−8 ]

A=2π∫3

8

2√x √1+ 1x dx=8 π3 [19 ]

A=2π∫3

8

2√x √1+ 1x dx=152π3 unidades cuadradas

4. Hallar la longitud de y= x3

6+ 12 x

entre x=1 yx=3.

L=∫a

b

√1+( f ' (x))2dx

f ( x )= x3

6+ 12 x

f ( x )= x3

6+ x

−1

2

f ' ( x )=3 x2

6+(−1)x−2

2

f ' ( x )= x2

2− 12 x2

( f ' (x))2=( x22 − 12 x2 )

2

( f ' (x))2=( x22 )2

−(2 )( x22 )( 12x2 )+( 12 x2 )2

( f ' (x))2= x4

4− (2 )( x22 )( 12 x2 )+ 1

4 x4

( f ' (x))2= x4

4−12+ 14 x4

L=∫1

3

√1+ x44 −12+ 1

4 x4dx

L=∫1

3

√ x44 + 12+ 1

4 x4dx

L=∫1

3

√ x8+2 x4+14 x4dx

L=∫1

3 √ (x4+1 )2

4 x4dx

L=∫1

3x4+12x2

dx

L=∫1

3

( x42x2+ 12 x2 )dx

L=12∫1

3

(x2+x−2 )dx

L=12 ( x33 + x

−1

−1 )|31L=12 ( x33 −1

x )|31L=12 [( 333 −1

3 )−(133 −11 )]

L=12 [ 273 −1

3−13+1]

L=12 [10−23 ]

L=12 [ 283 ]

L=143unidades

11. Dadas las funciones demanda D ( x )=50− x2

2 y oferta S ( x )=26+x, el excedente

del consumidor en el punto de equilibrio es:Hallemos el punto de equilibrio:

S ( x )=D ( x )

26+x=50− x2

2

Multiplicando la ecuación por 2 tenemos:

52+2 x=100−x2

x2+2x+52−100=0

x2+2x−48=0

( x+8 ) ( x−6 )=0

x=−8˅ x=6

Tomamos la solución x=6

S (6 )=26+6=32

Luego el punto de equilibrio será: (Q ,P )=(6,32)

Para calcular el excedente del consumidor (E.C) usamos la ecuación:

E .C=∫0

Q

D ( x )dx−Q .P

E .C=∫0

Q

D ( x )dx−Q .P

E .C=∫0

6

(50− x22 )dx−¿ (6 ) (32 ) ¿

E .C=∫0

6

50dx−¿∫0

6x2

2dx−¿192¿¿

E .C=50∫0

6

dx−¿ 12∫0

6

x2dx−¿192¿¿

E .C=[50 x− x36 ]60−192E .C=[(50 (6 )−6

3

6 )−(50 (0 )−03

6 )]−192E .C=264−192

E .C=72

12. Hallar el Excedente del Productor (E.P), el Excedente del consumidor (E.C) y

el Punto de Equilibrio (P.E) de S ( x )=x y D ( x )=−x3

+4.

Hallemos el punto de equilibrio:

S ( x )=D ( x )

x=−x3

+4

x+ x3=4

3x+x3

=4

4 x3

=4

x=4( 34 )x=3

S (3 )=3

Luego el punto de equilibrio será: (Q ,P )=(3,3)

Para calcular el excedente del productor (E.P) usamos la ecuación:

E . P=Q .P−∫0

Q

S ( x )dx

E . P=Q .P−∫0

Q

S ( x )dx

E . P=(3 ) (3 )−∫0

3

xdx

E . P=9−[ x22 ]30E . P=9−[ 322 −0

2

2 ]E . P=9−9

2

E . P=92=4,5

Para calcular el excedente del consumidor (E.C) usamos la ecuación:

E .C=∫0

Q

D ( x )dx−Q .P

E .C=∫0

Q

D ( x )dx−Q .P

E .C=∫0

3

(−x3 +4)dx−¿ (3 ) (3 ) ¿

E .C=[−x26 +4 x ]30−9E .C=[(−326 +4 (3))−(−026 +4 (0))]−9E .C=−9

6+12−9

E .C=−32

+3

E .C=32=1,5