MATEMATICA III

1

ASIGNATURA

Matemática III

Aplicación de la integral en el cálculo del trabajo mecánico

MATEMATICA III

2

INDICE

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 TEMA DE LA INVESTIGACION

1.2 SITUACION PROBLEMÁTICA

1.3 DELIMITACION DE LA INVESTIGACION

1.4 JUSTIFICACION DE LA INVESTIGACION

1.5 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACION

MATEMATICA III

3

INTRODUCCION

EL CONCEPTO DE TRABAJO MECANICO AYUDA A

INGENIEROS E CIENTIFICOS PARA CONOCER CUANTA

ENERGIA ES NECESARIA EN LA EJECUCION DE CIERTA

TAREA. POR EJEMPLO, ES UTIL SABER EL TRABAJO

REALIZADO CUANDO UNA GRUA ELEVA UNA BIGA DE

HIERRO, AL COMPRIMIR UN MUELLE, AL LANZAR UN

COHETE O CUANDO UN CAMION TRASPORTA UNA

CARGA.

SE REALIZA UN TRABAJO CUANDO UNA FUERZA

DESPLAZA UN OBJETO. SI LA FUERZA APLICADA AL

OBJETO ES CONSTANTE, TENEMOS LA DEFINICION DE

TRABAJO.

MATEMATICA III

4

CAPITULO I

PLANTEAMIENTO DEL

PROBLEMA.

MATEMATICA III

5

1.1 TEMA DE LA INVESTIGACION

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN EL CÁLCULO

DEL TRABAJO MECANICO.

1.2 SITUACION PROBLEMATICA

TENEMOS LA DEFICION DE TRABAJO:

Si un objeto es desplazado por una fuerza F constante una distancia D en la

dirección de la fuerza, el trabajo W realizado por la fuerza se define como:

W=FD.

HAY MUCHAS CLASES DE FUERZAS:

Centrifuga, electromagnética, gravitatorias entre otras.

Se puede pensar como fuerza algo que empuja o atrae.

¿PERO QUE PASA SI LA FUERZA NO ES CONSATANTE SINO

VARIABLE?

RECURRIMOS AL CÁLCULO INTEGRAL.

MATEMATICA III

6

1.3 DELIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN.

Nuestra investigación será teórica desde el punto de aplicación de

la integral para trabajos mecánicos dentro de los cuales

estudiaremos los esfuerzos que están presentes a nuestro

alrededor pero nunca observamos. Nuestra investigación se

llevara a cabo entre los meses de febrero y junio de 2014.

1.4 JUSTIFICACION.

La Matemática aplicada, se constituye en una herramienta básica para

orientar el desarrollo de los conocimientos, habilidades y destrezas para

el estudio de temas relacionados a la economía, estructuras

metal/mecánicas, diseños de equipos, etc. donde deja de ser abstracta e

inaplicable y pasa a ser práctica y aplicable a soluciones de problemas

actuales para nuestro caso de investigación la integral en cálculos

mecánicos.

La importancia del estudio de las integrales radica en que contribuyen a

tener una mejor comprensión de los esfuerzos en estructuras y equipos,

las integrales son de gran importancia en el proceso de formación

profesional como futuros ingenieros.

De allí que consideramos que la presente investigación, se constituye en

una herramienta de investigación y consulta para todo estudiante que se

encuentra en proceso de formación profesional.

MATEMATICA III

7

1.5 OBJETIVOS.

Comprender los conceptos básicos del cálculo integral, especialmente lo

relacionado a los trabajos mecánicos.

Adquirir destreza en las técnicas de integración, elementos que son

importantes para aplicar el cálculo como una herramienta matemática

para solución de problemas prácticos reales de ingeniería.

Aplicar la integración para calcular áreas y volúmenes de sólidos en

revolución, además para resolver problemas de trabajo mecánico,

presión de fluidos, centros de gravedad, momentos de inercia y de otras

disciplinas.

MATEMATICA III

8

Capitulo II

Marco de Referencia.

MATEMATICA III

9

2.1 ANTECEDENTES HISTORICOS.

Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral,

considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de

fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo

de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el

problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida.

No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de

funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente

la dominante.

El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los

problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional,

la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció

inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes

volúmenes para dar una exposición sistemática de él.

Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la

relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La

operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El

concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida.

El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las

funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible.

Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente

pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue

inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus

últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía

constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo

Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de

Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión

concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los

textos actuales.

MATEMATICA III

10

La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con

piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar,

comienza la historia del cálculo. Tales piedrecitas ensartadas en tiras

constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés,

constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de

las matemáticas en la que se estudia el proceso de integración o anti

derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y

se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y

sólidos de revolución.

Es común en todas las ramas de la ingeniería el uso del cálculo integral y

diferencial, ya que su uso facilita la comprensión de fenómenos que

necesitan una determinación numérica, ya sea para el cálculo de áreas,

velocidades, resistencia y fuerzas distribuidas. La Ingeniería también usa

con frecuencia el cálculo, sin lugar a dudas para obtener un análisis

estructural adecuado.

Esta investigación pretende demostrar como usar los fundamentos del

cálculo que aprenderemos durante la materia Matemática III. Además de la

aplicación en el análisis de estructuras.

MATEMATICA III

11

2.2 MARCO TEORICO.