Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Facultad de Ingeniería Industrial.

Curso: Matemática III. Práctica 4. Tema: Aplicaciones. Profesora: Nancy Moya L.

Modelamiento utilizando Ecuaciones Diferenciales.

Descomposición Radioactiva: Ley de desintegración radioactiva: “La tasa de desintegración de una sustancia radioactiva es proporcional, en cualquier instante a la cantidad de sustancia que esta presente. “

1. Se sabe que una sustancia radioactiva presente en ciertos fósiles, tal como el Carbono 14, se desintegra en cada momento a una velocidad proporcional a la cantidad presente. La vida media del Carbono 14 (tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de una cantidad inicial ) es de 5,750 años. Averiguar la edad del fósil sabiendo que contiene el 77,7% de su Carbono 14 inicial.

2. Se ha encontrado que el 0,5% de radio desaparece en 12 años ¿Qué porcentaje desaparecerá en 1000 años.

3. Se sabe que la tasa de desintegración de una sustancia radioactiva es proporcional, en cualquier instante, a la cantidad de sustancia que está aún presente. ¿Qué porcentaje desaparecerá en 1000 años, si se sabe que su vida media es de 800 años?

4. El material radioactivo estroncio 90, que tiene una vida media de 29 años, puede causar cáncer en los huesos de los seres humanos. La sustancia se encuentra en la lluvia ácida, penetra en el suelo y se introduce en la cadena alimenticia. El nivel de radioactividad en cierto terreno de cultivo es de 2,5 veces el nivel máximo S que se considera aun no dañino. ¿Durante cuantos años seguirá contaminando este terreno?.

5. El PB – 209, isótopo radioactivo de plomo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que para que se desintegre el 90%. ?

6. Un análisis de restos fósiles de un animal demostró que estos contenían solo el 6,24% del Carbono 14 original. Determinar la antigüedad aproximada de la muerte del animal.(La antigüedad aproximada de los huesos encontrados).

Temperatura de Newton:

1. Un objeto expuesto al frio entra a una habitación donde la temperatura se mantiene a 50 ºC . A los 5 minutos, el objeto se calienta, teniendo una temperatura de 25º C y en otros 10 minutos llega a 35ºC. Calcule la temperatura inicial del objeto.

2. Supongamos que encontramos un cadáver de un felino: En dicho momento se toma la temperatura del mismo y resulta ser de 35ºC. Una hora después se vuelve a tomar la temperatura y esta es de 34,5ºC. Suponiendo constante la temperatura ambiental e igual a 27ºC, se pide calcular a que hora se produjo la muerte del animal (suponemos que la temperatura del animal en vida es de 36,5ºC.)

3. Se quiere comprar el cuadro “ la adoración de los magos”, del pintor Giotto. Se sabe que el pintor nació en 1,267 y murió en 1337. Antes de comprarlo este año (2009) al cuadro se le ha hecho una prueba del Carbono 14 y se

ha encontrado que contiene el 99,5% de su carbono original. Diga usted si el cuadro es original o es una falsificación si se sabe que la vida media del Carbono 14 es de 5,700 años.

4. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional ala cantidad existente. Si la cantidad del cultivo se duplica en 4 horas, determine la cantidad que puede esperarse al cabo de 16 horas.

5. La cantidad de contaminantes A(t) en la atmosfera en un cierto valle montañoso crece naturalmente y se triplica cada 7,5 años. Si la cantidad inicial es 10 pu ( unidades de contaminación por sus siglas en inglés.)a) ¿Cuál será la cantidad de contaminantes presentes en la atmosfera del

valle después de 5 años?b) Si será peligroso estar en el valle cuando la cantidad de contaminantes

alcance 100 pu. Cuándo ocurrirá esto?6. Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya

temperatura es de 750ºC, para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de cuando mucho 200ºC. Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocará este cerámico es de 5ºC y que después de 15 minutos, la temperatura del material es de 600ºC. ¿En cuanto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso?

7. Una taza de café caliente, inicialmente a 95ºC, al estar en una habitación que tiene una temperatura constante de 21ºC , se enfría hasta 80ºC en 5 minutos. Determinar la temperatura del café después de 10 minutos. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el café tenga una temperatura de 50ºC?.

8. A las 13:00 horas un termómetro que indica 10ºF se retira de un congelador y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de 66ºF. A las 13:05, el termómetro indica 25ºF . Más tarde, el termómetro se coloca nuevamente en el congelador. A las 13:30 el termómetro da una lectura de 32ºF. ¿Cuándo se regresó el termómetro al congelador?¿Cuál era la lectura del termómetro en ese momento?

9. La temperatura máxima que puede leerse en un termómetro es 110ºF. Cuando el termómetro marca 36ºF se coloca en un horno. Después de un minuto la temperatura que marca el termómetro es de 60ºF y un minuto después marca 82ºF. Si la temperatura que marca el termómetro es directamente proporcional a la diferencia entre la temperatura del horno y la que marca el termómetro, modele la ecuación diferencial que permita hallar la temperatura del horno e indique con claridad las condiciones iniciales.

10. Se desea doblar una varilla de cobre, para eso se calienta hasta una temperatura de 100 ºC y se comienza a doblar. Después en el tiempo t= 0, se coloca en agua que se mantiene a una temperatura de 20ºC. Al término de 4 minutos la temperatura de la varilla doblada se reduce a 60ºC.a) Use la ley del enfriamiento de Newton y encuentre la función de

temperatura de la varilla doblada con respecto al tiempo t.b) Encuentre el tiempo en el que la temperatura de la varilla doblada se

reduce a 30ºC.

Circuitos Eléctricos. Circuito en serie.

1. Estudiar el circuito en serie R−¿L; y el R−¿C.2. Una fem de 20 voltios se aplica a un circuito consistente de un inductor de 2

henrios en serie con una resistencia de 400 ohmios. Si la corriente inicial es cero. ¿Cuál es la intensidad de la corriente, I(t), en t≥ 0?

3. Un condensador de capacitancia 5x10−3 faradios está en serie con una

resistencia de 25 ohmios y una fem de 50 voltios. El interruptor se cierra en t= 0. Asumiendo que la carga en el condensador es cero en t=0, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.

4. Un circuito consiste de una Resistencia de 10 ohmios y de una Capacitancia de 0,01 faradios en serie. La carga en el condensador es de 0,05 Coulombios. Encontrar la carga y la corriente en tiempo t después de cerrar el interruptor.

Trayectorias Ortogonales.

1. Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: x2+ y2=cx .2. Determine el miembro de la familia de trayectorias ortogonales a la familia

x + y = C1ey que pasa por (0,5).

3. Determine las trayectorias ortogonales a la familia y = Ln(tanx + C1)-

Mezclas.

1. Un tanque contiene 100 galones de agua pura. Una solución salina que contiene 2 lbs de sal por galón entra a razón de 3 galones por minuto, mientras que del tanque sale a razón de 2 galones por minuto una solución bien mezclada. Cuántas libras hay en el tanque al final de una hora.

2. Después de un experimento un tanque contiene 200 litros de una solución con una concentración de 1gramo/litro. Para preparar el experimento siguiente el tanque se limpia con agua fresca, que fluye al tanque a razón de 2 lts/min, la solución bien agitada sale del tanque con la misma razón. Hallar el tiempo necesario para que la cantidad de sal de la solución en el tanque sea el 1% de su valor inicial.

3. Un tanque tiene 100 galones de agua salada con 40 lbs de sal disuelta. Entra al tanque agua pura a razón de 2 galones por minuto y sale del tanque con la misma razón. ¿Cuando la concentración de sal será 0,2 lbs/gal.?

4. Un tanque de 30 galones de capacidad, contiene 15 galones de salmuera que contiene 6 lbs de sal. Se vierte al tanque salmuera que contiene una libra de sal por galón, a razón de 2 galones por minuto, simultáneamente una solución bien mezclada sale del tanque a razón de un galón por minuto. Determinar la cantidad de sal que hay en el tanque, cuando el tanque esta lleno.

5. Un tanque contiene 100 m3 de agua contaminada. Con el propósito de

descontaminarlo se introduce agua limpia a razón de 2 m3 por minuto y el agua

contaminada (uniformemente mezclada) se deja salir del tanque a la misma razón.a) ¿Que porcentaje de contaminantes se habrá eliminado después de una

hora?

b) ¿Que tiempo debe transcurrir para que los contaminantes disminuyan en un 90%?