7/31/2019 aplicaciones de la integral triple

1/5

CONSIDERACIONES IMPORTANTES

Una forma alternativa del Teorema de Green es la siguiente:

=

+

==+ RC RC divFdAdA

y

N

x

MNdsFNdyMdx

Anlogamente, el Teorema de la divergencia, llamado tambin de Gauss

relaciona una integral triple sobre una regin slida Q con una integral de

superficie sobre la superficie de Q. Para poder aplicar este Teorema es necesario

que la superficie Ssea cerrada y que corresponda adems, al borde completo del

slido Q.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA O DE GAUSS

= QS divFdVNdSF

7/31/2019 aplicaciones de la integral triple

2/5

7/31/2019 aplicaciones de la integral triple

3/5

Tenemos que:

=s Q divFdVNdSF

( ) += 303

0

226

022

y yx dzdxdyy

( )[ ]

+= 30

3

0

226

022

y yx dxdyyzz

[ ] +=3

0

3

0

2

448412y dxdyyxyyx

[ ]

+= 30

3

0

222428212 dyxyyxxyxx

y

[ ] ++= 30

32210618 dyyyy

3

0

43

2

23

10318

++= yyyy

2

63=

7/31/2019 aplicaciones de la integral triple

4/5

EJEMPLO 2: Calcular la siguiente integral triple dada en coordenadas esfricas

2

2

0

3

0 0

re rdzdrd

[ ]

==2

2

22

22

030 00

30 00

30 0

rrr

eee zrdrddzrdrdrdzdrd

[ ] [ ] [ ] === 2 22 22 2 0 300 300 30 0

rdredrererdr rrr

( ) [ ] === 2 22 2

0

3

0030 2

2

1

rr edrdred

( ) ( )[ ] [ ] [ ]

dedeedee === 222 22

0

9

0

09

0

031

2

1

2

1

2

1

[ ]

2

222

0

9

0

9

00

9

22

1

22

112

1

===

ededde

( )99

9

1

4442

2

2

2

==

= eee

7/31/2019 aplicaciones de la integral triple

5/5

EJERCICIOS PARA LA CARPETA

= 5 2

0

4

0 0

re rdzdrd

=4

0

2

0

2

0

r rzdzdrd