TANGENTE Y NORMAL

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INTERPRETACIN FSICA DE LA DERIVADA

En el movimiento rectilneo uniformemente variado la expresin para calcular el espacio recordemos que es: x = x0 + v0.t + 1/2.a.t2Esta expresin permite establecer la posicin del mvil para cualquier valor de tiempo t cuando se conocen x0, v0 y a

Como x = f(t) es una funcin derivable existe la derivada primera y es

f (t) = v0 + a.t

que es la frmula que nos permite calcular la velocidad del mvil

Derivando nuevamente: f (t) = a

Ejemplo: Determinar la aceleracin que adquiere un cuerpo sometido a un movimiento cuya funcin espacio es x = 6 3t + t2

f(t) = 6 3t + t2 espacio

f(t) = -3 + 2t

velocidad

f(t) = 2

aceleracin

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA:

Recordemos que la derivada de una funcin en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicha funcin en ese punto

TANGENTE Y NORMAL

Si la funcin f(x) posee derivada finita f (a) en un punto x = a, la curva y = f(x) tiene una tangente en p =(a ; b) cuya pendiente es :

m = tag ( = f (a)

Si f(x) es continua en el punto x = x0 , pero f (x0) es infinita la curva tiene una tangente vertical de ecuacin x = x0 ( los puntos B y D de la figura)

La Normal a una curva es uno de esos puntos es la recta que pasando por dicho punto es perpendicular a la tangente en l.

ANGULO DE INTERSECCIN ENTRE DOS CURVAS

El ngulo de interseccin entre dos curvas se define por el formado por sus tangentes en el punto de interseccin.

Para hallar los ngulos de interseccin de dos curvas seguimos los siguientes pasos:

1. Se calculan los puntos de interseccin, resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones

2. Se hallan las pendientes m1 y m2 de las tangentes a las curvas en cada uno de los puntos de interseccin

3. Si m1 = m2 , el ngulo de interseccin es ( = 0

Si m1 =-1/m2 , el ngulo de interseccin es ( = 90

En los dems casos:

Si tag ( > 0 , el ngulo de interseccin es (Si tag ( < 0 , el ngulo de interseccin es 180 - (FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Una funcin f(x) es creciente en un punto x = x0 cuando dado un h positivo e infinitamente pequeo, se verifica:

f (x0 h) < f (x0) < f (x0 + h)

Anlogamente , f(x) es decreciente en un punto x = x0 cuando dado un h positivo e infinitamente pequeo se verifica:

f (x0 h) > f (x0) > f (x0 + h)

Si f (x0) > 0 la funcin f(x) es creciente en el punto x = x0 .

Si f (x0) < 0 la funcin f(x) es decreciente en dicho punto .

Si f (x0) = 0 diremos que la funcin es estacionaria en el punto x = x0Una funcin es creciente (decreciente) en un intervalo, cuando es creciente ( decreciente) o estacionaria en cada uno de los puntos del mismo.

Observemos la siguiente figura:

La funcin es creciente en los intervalos a < x < r y en t < x < u , decreciente en el r < x < t y estacionaria en los puntos x = r , x = s , y x = t

La curva tiene tangente horizontal en los puntos R , S y T.

Los valores de x ( r, s, t ) para los cuales la funcin f(x) es estacionaria ( f (x) = 0 ) reciben el nombre de Valores Crticos y los puntos correspondientes de la curva ( R, S , T ) de Puntos Crticos.

Cuando f (x) es positiva, y es creciente; cuando f (x) es negativa y es decreciente

MXIMOS Y MNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIN

Una funcin y = f(x) tiene un mximo ( mnimo) relativo en un punto x = x0 cuando f(x0) es mayor (menor) que los valores de la funcin para los puntos inmediatamente anteriores y posteriores al considerado

Ejemplos:

1) y = -x2

2) y = (x 3)2

Observemos nuevamente el siguiente grfico:

El punto R es un mximo relativo de la curva puesto que f > f(x) en el entorno 0 < (x - r(< ( En estas condiciones y = f(x) tiene un mximo relativo en x = r

T es un mnimo relativo de la curva puesto que f(t) < f(x) en el entorno 0 < (x - t(< ( . Por tanto y = f(x) tiene un mnimo relativo en x = t

Observa que R es el punto de unin de un arco AR ascendente ( f (x) > 0) y otro RB descendente ( f (x) < 0), mientras que T une un arco CT ( f (x) < 0) descendente con otro TU ascendente ( f (x) > 0).

En el punto S se unen dos arcos descendentes y, por consiguiente, en l no habr ni mximo ni mnimo relativo

Si la funcin y = f(x) admite derivada en el intervalo a ( x ( b, y f(x) tiene un mximo (mnimo) relativo en el punto x = x0 siendo a < x0 < b , se verifica f (x0) = 0

Para determinar los mximos o mnimos relativos de una funcin f(x) continua as como su derivada se pueden seguir los siguiente procesos:

Criterio de la derivada primera:

1. Resolver la ecuacin f (x) = 0 para calcular los valores crticos

2. Representar estos valores crticos sobre el eje de las abscisas de un sistema coordenado ( escala numrica); de esta manera se han establecido un cierto nmero de intervalos

3. Determinar el signo de f (x) en cada uno de los intervalos anteriores

4. Para cada uno de los valores crticos x = x0:

f(x) tiene un mximo, si f (x) pasa de + a

f(x) tiene un mnimo, si f (x) pasa de a +

f(x) no tiene ni mximo ni mnimo en el punto x = x0 , si f (x) no cambia de signo

Criterio de la segunda derivada:

1. Resolver la ecuacin f (x) = 0 para calcular los valores crticos

2. Para cada uno de los valores crticos x = x0 f(x) tiene un mximo si f (x) < 0

f(x) tiene un mnimo si f (x) > 0

Si f (x) = 0 se hace infinito, nada se puede afirmar. En este caso hay que recurrir al criterio de la primera derivada

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Un arco de curva y = f(x) es cncavo si en cada uno de sus puntos est situado por encima de la tangente. Al aumentar x , f (x) o aumenta sin cambiar de signo, como en el intervalo b < x < s o cambia de signo pasando de negativa a positiva como en el intervalo s < x < c.

En cualquier caso, la pendiente f (x) aumenta y f (x) > 0

Teorema: Sea f una funcin dos veces derivable en un intervalo I:

Si f (x) > 0 para x ( I ( La funcin es cncava hacia arriba en I

Si f (x) < 0 para x ( I ( La funcin es cncava hacia abajo en I

PUNTO DE INFLEXIN

Es un punto en el cual la curva pasa de cncava a convexa o viceversa.

En el grfico anterior los puntos B, S y C son de inflexin.

Una curva y = f(x) tiene un punto de inflexin en x = x0 :

si f (x0) = 0 no est definida y

si f (x) cambia de signo en un entorno de x = x0La ltima condicin equivale a f (x0) ( 0 cuando existe la tercera derivada.

EJEMPLOS

Ejemplo 1: Dada la funcin y = 1/3 x3 + x2 6x + 8, calcular:

a) Puntos crticos

b) Intervalos en los cuales es creciente y decreciente

c) Mximos y mnimos de y

d) Realizar un grfico aproximado

a) y = 1/3 x3 + x2 6x + 8

y = x2 + x 6

x2 + x 6 = 0 (x1 = - 3

x2 = 2

Reemplazando x1 y x2 en y obtengo los puntos crticos: ( -3 ; 43/2) y (2 ; 2/3)

b) Cuando y es positiva, y es creciente; cuando y es negativa y es decreciente

realizaremos una tabla para la mejor comprensin:

x < -3

x = -3-3 < x < 2

x = 2x > 2

y = +

y es crecientey = -

y es decrecientey = +

y es creciente

c) Veamos ahora si hay mximos o mnimos en los puntos crticos:

Utilicemos el criterio de la derivada primera:

Al ir aumentando x al pasar de 3, y cambia de signo, de + a - . Por lo tanto en x = -3 , y tiene un mximo en el punto (-3 ; 43/2).

Al ir aumentando x al pasar por 2, y cambia de signo , de a +. Por lo tanto, en x = 2, y tiene un mnimo en el punto (2 ; 2/3)

Si hubisemos utilizado el criterio de la segunda derivada:

y= 2x + 1

y(-3) < 0 ( Existe un mximo en (-3 ; 43/2)

y(2) > 0 ( Existe un mnimo en (2 ; 2/3)

d) Grfico aproximado:

Ejemplo 2: Determinar la concavidad, convexidad y puntos de inflexin de la funcin

y = 3x4 10x3 - 12x2 + 12x 7

y = 12x3 30x2 24x + 12

y = 36x2 - 30x 24

36x2 - 30x 24 = 0 ( x1 = -1/3

x2 = 2

x < -1/3

x = -1/3-1/3 < x < 2 x = 2

x > 2

y = +

y es cncavay = -

y es convexay = +

y cncava

Los puntos de inflexin los obtenemos reemplazando en la funcin dada x1 y x2Ellos son : ( -1/3 ; - 322/27) y ( 2 ; -63)

Un grfico aproximado de la funcin es:

FORMAS INDETERMINADAS

Recordemos en primer lugar las formas indeterminadas frente a las cuales nos encontrbamos al calcular lmites:

0/0 ; ( / ( ; 0 . ( ; ( - ( ; 00 ; (0 ; 1( Forma 0/0

Regla de LHpital : dads las funciones f(x) y g(x) , derivables en el intervalo 0 < (x - a( < ( siendo a un nmero y g(x) ( 0 para todos los valores de x del intervalo, de manera que:

f(x) = 0 y g(x) = 0 , si existe o es finito se verifica :

Ejemplo: es de la forma indeterminada 0/0. Por lo tanto:

Forma ( / (La regla de LHpital sigue siendo vlida

Ejemplo:

es de la forma ( / ( . Por lo tanto:

Forma 0 . ( y ( - ( Estas formas se pueden tratar como las anteriores reducindolas, previamente, a una de las formas 0 / 0 o ( / ( . Por ejemplo:

EMBED Equation.3 es del tipo 0 . ( , la transformo en que es de la forma ( / (

es del tipo ( - ( , la transforma en que es del tipo 0 / 0

Generalizando podemos expresar que:

y

Formas 00 ; (0 ; 1(Si el lmite de y conduce a uno de estos lmites, el lmite del logaritmo natural de y es de la forma 0 . (

Las formas indeterminadas de la funcin exponencial- potencial, se resuelven utilizando la regla de LHpital previa expresin de dicha funcin a la forma 0 / 0

Ejemplo:

es del tipo 1(Sea y = x1/(x-1) entonces: Lny = . Ln x ( Ln y = que es de la forma 0 / 0

( Como Ln y ( 1 cuando x ( 1, y ( e.

As pues, el lmite es igual a e

Generalizando:

siendo L =

TRAZADO DE GRFICOS

Con los temas abordados hasta ahora: lmites, continuidad, derivada y sus aplicaciones estamos en condiciones de realizar el trazado de grficos.

A continuacin veremos cuales son los datos tiles para graficar una funcin:

DOMINIO: es el conjunto de valores de x para los cuales existe la funcin.

Por ejemplo:

Si f(x) = x2 + 2, el dominio es Dm = R

Si f(x) = el dominio es Dm =R {2}

PARIDAD O SIMETRA : Si en una funcin f(x) reemplazamos x por x puede suceder alguno de los tres casos siguientes:

a) Que la funcin quede inalterada, o sea f(-x) = f(x). Entonces la funcin es PAR. La grfica es simtrica al eje y

b) Que la funcin cambie su signo, o sea f(-x) = f(x), entonces la funcin es impar. La grfica es simtrica respecto al origen, por lo tanto pasa por l.

c) Que no se cumpla ninguna de las relaciones anteriores, entonces la funcin no tiene paridad. La grfica no tiene ninguna simetra.

Ejemplos:

1) f(x) = 3x2 ; f(-x) = 3.(-x)2 = 3 x2 ( f(-x) = f(x) ( la funcin es par

2) f(x) = x3 x ; f(-x) = (-x)3 ( -x) = -x3 + x (f(-x) = - f(x) ( la funcin es impar

INTERSECCIN CON EL EJE Y : Se obtiene calculando f(0)Ejemplo: Si f(x) = ( f(0) = -4 / 9 ( corta al eje y en el punto (0 ; 4 / 9)

INTERSECCIN CON EL EJE X: Ceros o races de una funcin: Los ceros de una funcin son los valores de x que la anulan. Es decir, para hallar los ceros o races de una funcin basta igualarla a cero y resolver la ecuacin correspondiente. Particularmente en las funciones algebraicas, los ceros reciben el nombre de races.Es importante tener en cuenta las siguientes indicaciones:

a) La funcin exponencial no tiene ningn cero, cualquiera sea su exponente.

b) La funcin Logb x se anula slo cuando x = 1, cualquiera sea su base

c) La funcin sen x tiene por ceros los mltiplos de 180

d) La funcin cos x tiene por ceros los mltiplos impares de 90

e) Cuando una funcin es producto de otras dos g(x) y h(x) los ceros sern los de ambas funciones.

f) Si f(x) = p(x) / q(x) los ceros de f(x) podrn ser los de p(x) que no anules simultneamente a q(x)

POLOS: Se presentan en las funciones racionales, y son los valores que anulan el

denominador, sin anular el numerador. En ellos la funcin se hace infinita. Se obtienen igualando a cero el denominador

SIGNOS: Una funcin puede cambiar de signo en los ceros y en los polos, de modo

que el intervalo entre dos de esos valores se mantiene con el mismo signo. Entonces para hallar el signo de la funcin en dicho intervalo basta que calculemos su signo en un punto cualquiera de l.

Ejemplo:

Calculamos los ceros igualando el numerador a cero: x2 x 2 = 0 ( x1 = -3

x2 = 4

Calculamos los polos igualando el denominador a cero: x 1 = 0 (x = 1

Ordeno los valores obtenidos de menor a mayor: -3 ; 1 ; 4.

Voy a trabajar en una tabla por comodidad:

-4 -3

0 1

2 46

F(-4) < 0

NegativoF(0) > 0

PositivoF(2) < 0

NegativoF(6) > 0

Positivo

LMITES : Es importante conocer como es el lmite en +( y en - ( ASNTOTAS: Dada Una funcin f(x) pueden existir ciertas rectas que reciben el nombre

de asntotas las que estn estrechamente ligadas a ella. A continuacin las analizaremos:

ASNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES:

Observemos las siguientes funciones:

Tambin se observa que:

y = 1 es asntota horizontal de f(x)

y = -1 es asntota horizontal de h(x)

Las asntotas verticales se encuentran frecuentemente entre los valores de x para los que f(x) no est definida

Generalizando:

Una funcin f(x) tiene una ASNTOTA VERTICAL en x = a si

Una funcin f(x) tiene una ASNTOTA HORIZONTAL en y = b si

ASNTOTAS OBLICUAS: El los grficos anteriores la funcin r(x) adems de una asntota vertical presenta una asntota oblicua.

Una funcin f(x) tiene una asntota oblicua de ecuacin y = mx + b si siendo m( R , m ( 0 ; b ( R

Ahora veremos como obtener la ecuacin de esa asntota

Sabemos que su expresin es y = mx + b

Como ( b =

y m =

PUNTOS CRTICOS: Los mximos y mnimos nos permitirn a su vez determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento PUNTOS DE INFLEXIN: Estos puntos junto con los puntos de discontinuidad, nos permitirn el estudio de la concavidad.Ahora en un ejemplo aplicaremos todo lo anterior:

Estudiar la funcin

DOMINIO: Dm = R {-7/2}

PARIDAD:

No es par ni impar

CEROS:

x2 - 4 = 0 (x1 = 2

x2 = - 2

POLOS:

2x 7 = 0 (x = - 7 / 2

SIGNOS:

-(

- 7/2

- 2

2

+(F(-4) < 0

NegativoF(-3) > 0

PositivoF(0) < 0

NegativoF(3) > 0

Positivo

LMITES:

ASNTOTAS

Asntota Vertical: x = -7/2 ya que

Asntota Horizontal no tiene ya que

Asntota Oblicua:

Clculo de m : m = = =

Clculo de b : b = =

b = =

b = ==

La ecuacin de la asntota oblicua es

MXIMOS Y MNIMOS

( 2x2 + 14x + 8 = 0 ( x1 = - 0,6

x2 = - 6,4

Los puntos crticos son: p1 = ( -0,6 ; -0,6)

P2 = ( -6,4 ; -6,4)

f ''(-0,6) > 0 ( Existe un Mnimo en p1 = ( -0,6 ; -0,6)

f ''(-6,4) < 0 ( Existe un Mximo en P2 = ( -6,4 ; -6,4)

PUNTOS DE INFLEXIN

No tiene

GRFICO

TRABAJO PRCTICO

1. Calcula la velocidad de un mvil en el instante t = 5 seg sabiendo que se encuentra sometido a un movimiento cuya funcin espacio es x = 3 2t + 2t22. La ley del movimiento rectilneo de un cuerpo viene dada por x = 1/2t3 2t. Hallar su velocidad y aceleracin al cabo de 2 seg.

3. Hallar la pendiente y el ngulo que forma la recta tangente a la funcin en el valor indicado:

a) y = x2 en x0 = 1

b) y = x2 + 2 en x0 = 0

c) y = sen x e x0 = (/4

d) y = 1 x2 en x0 = 1

e) en x0 = 1

4. Hallar en cada caso el punto donde la funcin tiene la pendiente indicada:

a) y = 2x2 3x + 1 siendo m = 2

b) y = x2 + 1

siendo m = 1

c) y = 1/x

siendo m = -4

5. Hallar en cada caso el punto donde la curva tiene la inclinacin indicada:

a) y = x2 + 1 con inclinacin ( = 38 40

b) x2 2x + 3 con inclinacin ( = 45

c) y = ex con inclinacin ( = 45

6. Graficar y hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el valor

Indicado:

a) y = x2 2x + 2en x0 = 2

b) y = 1/2x2 + x + 1 en x0 = -4

c) y = x3 1

en x0 =

d) y = 1/x

en x0 = 1/3

e) y = 1/(x-3)

en x0 = 0

7. Dada la funcin y = 2x3 3x2 12x + 5 hallar sus mximos y mnimos y realizar un grfico

aproximado

8. Calcular los mximos y mnimos de las siguientes expresiones:

a) y = x2 4x 1

b) y = x3 12x + 1

c) y = x2 + 6x + 2

d) y = x3 + x2 + x + 1

e) y = x4 + 32x + 45

f) y = 1/ (x2 + 1)

g) y = x + 1/x

9. Determinar en cada caso los intervalos de concavidad y puntos de inflexin:

a) f(x) = x3 2x2b) f(x) = x3 + x2c) f(x) = x3 3x

10. Dada la funcin f(x) = .x4 x2 determinar:

a) Mximos y mnimos

b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

c) Puntos de inflexin

d) Intervalos de concavidad

11. Hallar la ecuacin de la recta tangente a la curva f(x) = 1/3.x3 x2 en su punto de inflexin.

12. Calcular los puntos de la curva y = x2 + 2x 1 en los cuales las tangentes son horizontal y

vertical.

13. Idem al ejercicio anterior para

14. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = x3 2x2 + 4 en el punto

(2 ; 4)

15. Hallar en que punto la tangente a la curva y = x3 + 5 es:

a) Paralela a la recta 12x y = 17

b) Perpendicular a la recta x + 3y = 2

16. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva y = x4 6x3 +12x2 8x en sus puntos de

inflexin

17. Hallar los mximos y mnimos de la funcin y = x2 + 250/x

18. Resuelve aplicando la regla de LHpital:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

)

o)

p)

q)

r)

19. Realiza el anlisis completo de las siguientes funciones:

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

d) f(x) =

e) f(x) =

f) f(x) =

Si m = 0 la curva tiene una tangente horizontal de ecuacin y = b en p ( lo observamos en los puntos A, C , E de la figura)

En los dems casos la ecuacin de la tangente en un punto p = ( x0 ; y0) a una curva es :

y y0 = m . (x x0)

EMBED Excel.Chart.8 \s

Esta funcin tiene un mximo relativo en x = 0, puesto que y 0 0 para x = 0 e y < 0 para x ( 0

EMBED Excel.Chart.8 \s

La funcin tiene un mnimo relativo en x = 3, puesto que y = 0 para

x = 3 e y > 0 para x ( 3

Podemos ver que:

x = 1 es asntota vertical de f(x)

x = -2 es asntota vertical de h(x)

x = 2 es asntota vertical de h(x)

x = - 1 es asntota vertical de r(x)

Profesora: Elizabeth Miryam Aguilar

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_1079884027.xlsGrfico3

-6.6666666667

-6.4285714286

-6.4

-7

-12

5

0

-0.6

-0.5714285714

-0.3333333333

0

0.3846153846

0.8

1.2352941176

1.6842105263

2.1428571429

2.6086956522

3.08

3.5555555556

4.0344827586

4.5161290323

Hoja1

-8-6.6666666667

-7-6.4285714286

-6-6.4

-5-7

-4-12

-35

-20

-1-0.6

0-0.5714285714

1-0.3333333333

20

30.3846153846

40.8

51.2352941176

61.6842105263

72.1428571429

82.6086956522

93.08

103.5555555556

114.0344827586

124.5161290323

Hoja1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Hoja2

Hoja3

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