aplicaciones de la derivada
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La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que puede cortarse de un tronco en forma de cilindro circular recto, cuyo radio es “a”. APLICACIONES DE LA DERIVADA. Sea:. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
APLICACIONES DE LA DERIVADA
La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que puede cortarse de un tronco en forma de cilindro circular recto, cuyo radio es “a”.
Sea:
La rigidez esta dada por:
R =(ancho)*(espesor)^3
2a
y
x
Por lo tanto:
R =(ancho)*(espesor)^3 => R=X*Y^3
(2a)^2 = (x )^2 + (y )^2
1
2
DESPEJANDO “Y” DE LA ECUACION 2:
4a^2 - x^2 = y^2
REEMPLAZANDO EN LA ECUACION 1, SE TIENE:
R=X*(4a^2 - x^2)*(4a^2 - x^2) ^½
ECUACION PRINCIPAL
DERIVANDO LA ECUACION:
R=*X*(4a^2 - x^2) ^3/2
dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +x*(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)*(-2x)
IGUALANDO EN CERO:
0 = [(4a^2 - x^2) ^3/2]+[(4a^2 - x^2)*( – 3x^2)]
SE OBTIENE:
1° (4a^2 - x^2) – 3x = 0 => a = x , solución valida.
Por lo tanto, reemplazando a = x en la ecuación principal:
R=a*(4a^2 - a^2)^3/2
R=a*(3a ^2) ^(3/2)
R=(3^(3/2))*a^4
Recordemos que:
f ´´(x) > 0 , es minino relativo
f ´´(x) < 0 , es máximo relativo
como vemos:
dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)(-2x)
d²R/dx² = K*[-3((4a^2 - x^2) ^1/2)-6x((4a^2 - x^2) ^1/2)+3x/((4a^2 - x^2) ^1/2)]
IGUALANDO LA ECUACION A 0, OBTENGO QUE:
d²R/dx² < 0
POR LO TANTO, LAS DIMNSIONES DE LA VIGA DE MAYOR RIGIDEZ SON:
VOLUMEN VIGA = (BASE)(ALTURA)(LARGO)
A= a²(3^½)L
o
A= x²(3^½)L