APLICACIONES DE LA DERIVADA VALORES MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION:Definicin: Sea f una funcin, definida en un intervalo I que contiene al punto C.i. f (c) es el mnimo absoluto de f en I si f (c) f (x) ,x Iii. f (c) es el mximo absoluto de f en I si f (c) f (x) ,x IEl mnimo y el mximo absolutos de una funcin en un intervalo se llaman valores extremos o extremos de la funcin en ese intervalo.OBSERVACION:Algunas funciones tienen mximos o mnimos absolutos sobre un intervalo y otras no.El teorema del valor extremoSi f es una funcin continua en un intervalo cerrado f tiene mximos y mnimos en dicho intervalo. EXTREMOS RELATIVOS O LOCALESi. Si existe un intervalo abierto I en el que f (c) tiene mximos, entonces f (c) se llama un mximo relativo o local de f.ii. Si existe un intervalo abierto I en el que f (c) se llama un mnimo relativo o local de f.

Ejemplo:La funcin f (x) = x3, tiene a 8, como valor mximo absoluto y a 0, como valor mnimo absoluto en el intervalo cerrado [0,2] pero en l, intervalo abierto no tiene mximo ni mnimo absoluto.NUMERO CRTICO:Si f es una funcin definida en un cierto intervalo que contiene al nmero c, se dice que c es un numero critico de f si f (c) =0 o si f (c) no est definida.

Gua para hallar extremos en un intervalo cerradoLos extremos (mximos y mnimos absolutos) de una funcin contina en un intervalo cerrado [a, b] se hallan mediante.1. La evaluacin inicial de f en cada punto crtico que tenga en 2. La evaluacin posterior de f en cada puntos extremos a y b (puntos terminales)3. La eleccin ente e menor y mayor de estos valores se deduce el mnimo y el mximo absolutos, respectivamente.

Ejercicios de mximos y mnimos1. Hallar los extremos de la funcin en el intervalo .Solucin:Hallaremos los nmeros crticos derivando la funcin Al derivar tenemos:Si Son los nicos nmeros crticos de f cuyos valores son: y Evaluamos f en los puntos terminales de

Con estos resultados graficamos y determinamos que el mximo absoluto y terminal es , y el mnimo absoluto y relativo es Grafica:

Y

35

X4-1

-27

2. Hallar los valores extremos de la funcin en el intervalo Solucin: Por definicin de valor absolutoSi si Si Como f no es derivable en , este ser el nico numero critico en .luego, para Evaluacin de los puntos terminales de f en Y En consecuencia: es un mnimo relativo y absoluto es un mximo absolutoGrafica

4

3

4-1

2

3. Determinar los puntos crticos, intervalos donde la funcin es creciente y decreciente, los mximos y mnimos relativos.a) Solucin:Primer paso: derivamos la funcin

De donde

-2-13

Analizamos el crecimiento de la funcin:Crece en los intervalos Decrece en los intervalos Mnimos relativos:Mximos relativos:4. Determinar los puntos crticos, intervalos donde la funcin es creciente y decreciente, los mximos y mnimos relativos.

Solucin:Primera derivada:

-20

Los puntos crticos:Crece en el intervalo Decrece en el intervalo Mnimo en Mximo en

5. Determinar los puntos crticos, intervalos donde la funcin es creciente y decreciente, los mximos y mnimos relativos.

Solucin: Derivamos la funcin: , puntos crticos

-11

Crece en los intervalos Decrece en el intervalo Mximo en Mnimo en 6. Dada la funcin , aplicando el criterio de la primera derivada calcular: Los puntos crticos Los intervalos donde y es creciente y decreciente Los mximos y mnimos relativos

Solucin:Derivamos la funcin para hallar los nmeros crticos

Segundo paso: reemplazar los nmeros crticos en la funcin:

Analizamos en los intervalos si es decreciente o creciente

DECRECIENTECRECIENTEDECRECIENTECRECIENTE3-1-2

Y

12

X3

-2-116