aplicaciones a la geometría.docx

7/16/2019 aplicaciones a la geometra.docx

1/11

EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES

A LA GEOMETR IA

1) Hallar la lnea que pase por el punto (a,1) y cuya subtangente tenga la longitud

Soluci on. La longitud de la normal:

Lst =y

1+ (y)2 = a dx = a

dx = a

dy

y

x = a ln

(y) y = Ce

x/a pasa por p(a!1)

i = Cea/a

C = e1

y = e1ex/a

y = e(xa)/a

2) "l arco de una cur#a es proporcional a la di$erencia de los radios tra%ados desde el

origen a sus e&tremos' Hallar la ecuacionde la cur#a'

Soluci on. La ecuacion de la longitud del arco es:

r

A =

r2+ (r)2d = k(r a) donde a es un radio $io'a

DERIVAMOS :

r2+ (r)2 = kdr

d

r2+

(dr)2

d

(dr)

=k2

d

(dr)

2r2

d

(k2

1)

dr

dr 1

r + Cr = k2 1

d=

r k21

d ln(r) = 'k2

1

*) Hallar la lneapara la cual la longitud de la normal sea la magnitud constante a'

Soluci on. La longitud de la normal:

(dy )2

a2L =y 1 + (y) = a 1 =

dx y2

dy

y

c

st

2


2/11

2

(dy)2

=dx

a2

y2

y2


3/11

dy

a2 y2=

dx y

separamos las #ariables:

ydy = dxa2 y2

integrando:

ydy

=

a2 y2dx x = C a2 y2

(x C)2 a

2 y

2 (x C)

2+y

2= a

2

'

+) Hallar la cur#a cuya tangente $orma con los ees coordenadas un triangulode

area constante S = 2a2

Soluci on.

,er gr a$ico (1) -or condiciondel problema:

altura del triagulo:h = b =yyxxyy

base del triangulo:B =y

luego:xy y

hB=

2(2a

2

) (y y

x) y=

+a

2

(y

y

x)

2=

(2a)

2

y

dx dy+

x y

= .

dx

x

dy

+y

= . ln(xy) = k

xy = k

/) "l area limita por el ee de las x! es una cur#a de dos ordenadas es igual al

#alor medio de las ordenadas multiplicado por la distancia entre ellas' Hallar la

ecuacion de la cur#a'

Soluci on. La ecuaciondel areaes:


4/11

yA = ydy =

a

(y +y.

)

2

(x x.)

deri#ando nuestra ecuacionanterior:

2y =dy

dx(x x. ) +y +y.

=

dy

dx(x x.)

dy

y

y.

dx

=x x.

ln (y y. )

C

= ln(x x.)

0) La tangente a una cur#a en cualquier punto! $orman con los ees de coordenadas un

triangulode area2k' Hallar la ecuacionde tal cur#a'

Soluci on.

#er gra$ico (2)

-or condicion del problema tenemos lo siguiente:

dyx(x xy

) = +k x

2 xy = k

dy y +k dx

1

dx

2

dx x=

x y = e x

e x (k/x)dx + C

1

y = eln(x)

2

e ln(x)

(k/x)dx + C

1

=x +

dx

x2

2

+ C '

3) "l area del sector $ormado por un arco de cur#a y los dos radios que #an

desde el origen a sus e&tremos es proporcional a la di$erencia de esos radios'

Hallar la ecuacionde la cur#a'

Soluci on. La cur#a del areaes:

dx


5/11

4

1 r

A =r

2d = k(r a) donde a es un radio $io'

2 a


6/11

4eri#amos:

r2= 2k

dr

ddr

2k

r2= d

2k

r= + C

r( + C) + 2k = .'

5) Hallar la cur#a para la cual el producto de las abscisa de cualquiera de sus puntos

por la magnitud del segmento interceptado en el ee . y por la normal! es igual al

duplo del cuadro de la distancia desde este punto al origen de coordenadas'

Soluci on. ,er gr a$ico*:

-or condiciondel

problema:

La longitud de la normal con el eey :

L =xy y

Luego: y(xy y) =x2 +y2

xyy y2 =x2 +y2 Homogenea de grado 2:

y = ux dy = udx +xdu x2u(udx +xdu) x

2u

2dx = (x

2+x

2u2)dx

u(udx +xdu) u2dx = (1 + u

2)dx

uxdx = (1 + u2

)dx

ln(u2+ 1) = 2 ln(Cx)

u2+ 1 = Cx

2pero

udu

1 + u2

dx

=x

u =y/x x2

+y2

= Cx+

6) Hallar la cur#a para la cual la longitud del segmento interceptado en el ee de

ordenadas por la normal a cualquiera de sus puntos! es igual a la distancia desde

este punto al origen de coordenadas'


7/11

Soluci on. ,er gr a$ico+:

7tercepto con el eey : b =y + x

La distancia al origen de coordenadas:

d =x2+y2

-or condiciondel problema:x2+y2 = b

x2+y

2=

(x)

y +y

2xyx

2+y

2=y

2+ +

y

(x)2

y

2xyx

2= +

y

(x)2

y

2yx = +

y

x

(y

)

2

2y

y

=x

x

(y

)

2

89acemos y =x

2y xc=x

c2

y =1 ( x )

2cx

c'

1.) Hallar la ecuacionde una cur#a tal que la suma de dos intersectos de la tangente

en cualquier punto es una constante k'

Soluci on. ,er gr a$ico/:

-or condiciondel problema:y

x y

= k

dy

y

dx

=x k

ln(y) = 1C(x k) y = Cx + Ck

11) "ncuentresela trayectoria ortogonal que por (1, 2) de la $amilia (x2 + *y2) = Cy

Soluci on. 4eri#amos respecto a x la ecuaciondada:

x2+ *y

2= Cy 2x + 0yy

= Cy

8ustituyendo en la ecuacioninicial:

2x+ 0y = C

y

2x+ 0 =

y

x2 + *y2

y

1 x2

+ *y2

ambiamos y pory

: 2x(y)+ 0 =

0

y


8/11

dy *y x

dx

2x=

2y"cuacion de ;ernouulli con n = 1

dzz =y

1(11)= y2

dx dy= 2y

(1)

dz=

dx dy dx 2y dx

"n la ecuacioninicial

(1)

dz *y x dz *y2

2y dx

2x=

2y

dx

= x "cuacionlineal:x

z = e*

dx

1 e*

dx

2x x (x)dx +

k

y2= e

* ln(x)xdx

1

y2 = eln(*x)

2

eln(*)

xdx

( y

2=x

*k

)

x*xdx

(

y2= x

*k

)

x2xdx

(1)

y2=x

*k +

x

"n el punto P(1, 2): + = k + 1 k = * y2 = *x* +x2


9/11

a)


10/11

y=-x/y+b


11/11

e)

aplicaciones a la geometría.docx

Documents