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EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES
A LA GEOMETR IA
1) Hallar la lnea que pase por el punto (a,1) y cuya subtangente tenga la longitud
Soluci on. La longitud de la normal:
Lst =y
1+ (y)2 = a dx = a
dx = a
dy
y
x = a ln
(y) y = Ce
x/a pasa por p(a!1)
i = Cea/a
C = e1
y = e1ex/a
y = e(xa)/a
2) "l arco de una cur#a es proporcional a la di$erencia de los radios tra%ados desde el
origen a sus e&tremos' Hallar la ecuacionde la cur#a'
Soluci on. La ecuacion de la longitud del arco es:
r
A =
r2+ (r)2d = k(r a) donde a es un radio $io'a
DERIVAMOS :
r2+ (r)2 = kdr
d
r2+
(dr)2
d
(dr)
=k2
d
(dr)
2r2
d
(k2
1)
dr
dr 1
r + Cr = k2 1
d=
r k21
d ln(r) = 'k2
1
*) Hallar la lneapara la cual la longitud de la normal sea la magnitud constante a'
Soluci on. La longitud de la normal:
(dy )2
a2L =y 1 + (y) = a 1 =
dx y2
dy
y
c
st
2
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2
(dy)2
=dx
a2
y2
y2
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dy
a2 y2=
dx y
separamos las #ariables:
ydy = dxa2 y2
integrando:
ydy
=
a2 y2dx x = C a2 y2
(x C)2 a
2 y
2 (x C)
2+y
2= a
2
'
+) Hallar la cur#a cuya tangente $orma con los ees coordenadas un triangulode
area constante S = 2a2
Soluci on.
,er gr a$ico (1) -or condiciondel problema:
altura del triagulo:h = b =yyxxyy
base del triangulo:B =y
luego:xy y
hB=
2(2a
2
) (y y
x) y=
+a
2
(y
y
x)
2=
(2a)
2
y
dx dy+
x y
= .
dx
x
dy
+y
= . ln(xy) = k
xy = k
/) "l area limita por el ee de las x! es una cur#a de dos ordenadas es igual al
#alor medio de las ordenadas multiplicado por la distancia entre ellas' Hallar la
ecuacion de la cur#a'
Soluci on. La ecuaciondel areaes:
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yA = ydy =
a
(y +y.
)
2
(x x.)
deri#ando nuestra ecuacionanterior:
2y =dy
dx(x x. ) +y +y.
=
dy
dx(x x.)
dy
y
y.
dx
=x x.
ln (y y. )
C
= ln(x x.)
0) La tangente a una cur#a en cualquier punto! $orman con los ees de coordenadas un
triangulode area2k' Hallar la ecuacionde tal cur#a'
Soluci on.
#er gra$ico (2)
-or condicion del problema tenemos lo siguiente:
dyx(x xy
) = +k x
2 xy = k
dy y +k dx
1
dx
2
dx x=
x y = e x
e x (k/x)dx + C
1
y = eln(x)
2
e ln(x)
(k/x)dx + C
1
=x +
dx
x2
2
+ C '
3) "l area del sector $ormado por un arco de cur#a y los dos radios que #an
desde el origen a sus e&tremos es proporcional a la di$erencia de esos radios'
Hallar la ecuacionde la cur#a'
Soluci on. La cur#a del areaes:
dx
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1 r
A =r
2d = k(r a) donde a es un radio $io'
2 a
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4eri#amos:
r2= 2k
dr
ddr
2k
r2= d
2k
r= + C
r( + C) + 2k = .'
5) Hallar la cur#a para la cual el producto de las abscisa de cualquiera de sus puntos
por la magnitud del segmento interceptado en el ee . y por la normal! es igual al
duplo del cuadro de la distancia desde este punto al origen de coordenadas'
Soluci on. ,er gr a$ico*:
-or condiciondel
problema:
La longitud de la normal con el eey :
L =xy y
Luego: y(xy y) =x2 +y2
xyy y2 =x2 +y2 Homogenea de grado 2:
y = ux dy = udx +xdu x2u(udx +xdu) x
2u
2dx = (x
2+x
2u2)dx
u(udx +xdu) u2dx = (1 + u
2)dx
uxdx = (1 + u2
)dx
ln(u2+ 1) = 2 ln(Cx)
u2+ 1 = Cx
2pero
udu
1 + u2
dx
=x
u =y/x x2
+y2
= Cx+
6) Hallar la cur#a para la cual la longitud del segmento interceptado en el ee de
ordenadas por la normal a cualquiera de sus puntos! es igual a la distancia desde
este punto al origen de coordenadas'
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Soluci on. ,er gr a$ico+:
7tercepto con el eey : b =y + x
La distancia al origen de coordenadas:
d =x2+y2
-or condiciondel problema:x2+y2 = b
x2+y
2=
(x)
y +y
2xyx
2+y
2=y
2+ +
y
(x)2
y
2xyx
2= +
y
(x)2
y
2yx = +
y
x
(y
)
2
2y
y
=x
x
(y
)
2
89acemos y =x
2y xc=x
c2
y =1 ( x )
2cx
c'
1.) Hallar la ecuacionde una cur#a tal que la suma de dos intersectos de la tangente
en cualquier punto es una constante k'
Soluci on. ,er gr a$ico/:
-or condiciondel problema:y
x y
= k
dy
y
dx
=x k
ln(y) = 1C(x k) y = Cx + Ck
11) "ncuentresela trayectoria ortogonal que por (1, 2) de la $amilia (x2 + *y2) = Cy
Soluci on. 4eri#amos respecto a x la ecuaciondada:
x2+ *y
2= Cy 2x + 0yy
= Cy
8ustituyendo en la ecuacioninicial:
2x+ 0y = C
y
2x+ 0 =
y
x2 + *y2
y
1 x2
+ *y2
ambiamos y pory
: 2x(y)+ 0 =
0
y
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dy *y x
dx
2x=
2y"cuacion de ;ernouulli con n = 1
dzz =y
1(11)= y2
dx dy= 2y
(1)
dz=
dx dy dx 2y dx
"n la ecuacioninicial
(1)
dz *y x dz *y2
2y dx
2x=
2y
dx
= x "cuacionlineal:x
z = e*
dx
1 e*
dx
2x x (x)dx +
k
y2= e
* ln(x)xdx
1
y2 = eln(*x)
2
eln(*)
xdx
( y
2=x
*k
)
x*xdx
(
y2= x
*k
)
x2xdx
(1)
y2=x
*k +
x
"n el punto P(1, 2): + = k + 1 k = * y2 = *x* +x2
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a)
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y=-x/y+b
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e)