Aplicación de los metodos numéricos en la solución de sistemas de ecuaciones

Métodos iterativos.- Los métodos iterativos representan una alternativa potente para solucionar esta dificultad, puesto que éstos se acercan más a la solución real esperada a medida que se itera, de manera que la calidad de la aproximación obtenida dependerá de la cantidad de iteraciones que se éste dispuesto a efectuar. El planteamiento consiste en suponer un valor inicial y luego usar un método sistemático para obtener una estimación refinada de la solución.

Método de Jacobi.- método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistema de ecuaciones lineales del tipo Ax = b. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi.

El método de Jacobi consiste en una secuencia de transformaciones ortogonales. Cada transformación la denominaremos una rotación de Jacobi; y realmente corresponde a una rotación cuyo objeto es eliminar un elemento de la matriz. Así vamos rotando sucesivamente la matriz hasta que el error es lo suficientemente pequeño para ser considerada diagonal.

Supóngase que se tiene un sistema 3 x 3. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se puede resolver para x1, la segunda para x2 y la tercera para x3, para obtener:

En general, para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas, el Método de Jacobi para encontrar un valor k de una variable x es el siguiente:

El procedimiento consiste en asignar unos valores iniciales a las variables, usualmente se escoge "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente iteración se sustituyen los valores obtenidos en la ecuación siguiente, con lo que se obtiene:

La convergencia del método de Jacobi esta dada por:

Ejemplo: dada el sistema de ecuaciones

12x1+5x2-x3=15

X1-6x2-4x3=9

2x1-3x2+8x3=5

Con valores iniciales x1= 1 , x2= 3 , x3= 2

Convergerá la solución usando el método de Jacobi?

Solución:

1. Se chequea si la matriz es diagonalmente dominante, si todas las desigualdades se cumplen la solución debe converger por este método.

Despejamos x1 de la ecuación 1, x2 de 2 y x3 de 3.

Para los valores iniciales;X1=1X2= 3X3=2

Ahora calculamos el error absoluto relativo aproximado:

El máximo error absoluto relativo aproximado después de la primera iteración es 86%.

GAUSS-SEIDEL.- El Método de Gauss-Seidel Es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método es similar al método de Jacobi. Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera.Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1.Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo.Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio.

En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas.LOS ERRORES APROXIMADOS.-

El proceso se vuelve a repetir hasta que:

Se finalizan las iteraciones cuando el máximo Error absoluto relativo aproximado es menor que la tolerancia especificada para todas las incógnitas.El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones siempre?Una matriz [A] es Diagonalmente dominante si:

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

12x1+5x2-x3=15X1-6x2-4x3=92x1-3x2+8x3=5Con valores iniciales x1= 1 , x2= 1 , x3= 1

Solución:

|∈a|i=|x inuevo−x i

anterior

x inuevo

|×100

[max|∈a|i ]≤∈s

Valores iniciales: x1 = 1 x2 = 1

x3 = 1

Si seguimos iterando se tiene:

BIBLIOGRAFÍA- http://www.monografias.com/trabajos45/descomposicion-lu/

descomposicion-lu2.shtml- http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=229