ecuaciones con metodos numericos

METODOS NUMERICOS

LABORATORIO N 0 1 E1. Empleando el método gráfico determine la solución aproximada de

las ecuaciones.

a)23 e2x/3+Cos(

2x3 )=0; x>0

b) Ln(2x2+2)-(x-1)2=0c) Tan(x+1)=x-1 0<x+1<d) x2+x+2x-1-20=0 x>0

SOLUCIONa) Definimos dos funciones y graficamos.

g(x)=23 e2x/3 y h(x)=-Cos(

2x3 )

La solución gráfica es:x=-2,54

b) Definimos dos funciones y graficamos:g(x)=Ln(2x2+2) y h(x)=(x-1)2

OLCJ Estudios Superiores (949229274) 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

METODOS NUMERICOS

Gráfica de las funciones:

Solución grafica:x=0,145 x=2,45.

c) Definimos dos funciones y graficamos:g(x)=Tan(x+1) y h(x)=x-1

No hay raíz alguna para 0<x+1<.c) Definimos dos funciones y graficamos:

g(x)=x2+x+-20 y h(x)=-2x-1


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

f(x) = x − 1

x

y

-2 -1 0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

x

y

METODOS NUMERICOS

Gráfica de las funciones.

Solución gráfica:x=0,12.

E2. Determine g(x) y un valor x0 tal que g'(x0)<1 de la relación f(x)=0 x=g(x). De ser posible encuentre el intervalo en el que puede encontrar a x0.a)x3-10x+x2-2=0b) e2x+Ln(x+1)=0c)ex+Cos(x)=0

SOLUCIONa) Hallamos g(x) despejamos x del segundo termino, luego verificamos si se cumple la regla de convergencia:

x=0,1x3+0,1x2-0,2 x=g(x)= 0,1x3+0,1x2-0,2Derivamos:

g'(x)=0,3x2+0,2x 0,3x2+0,2x <1 Para x=0, tendremos:

g'(x)= 0<1 Luego g(x)= 0,1x3+0,1x2-0,2 con x0=0.

b) Hallamos g(x) despejamos x del segundo termino, luego verificamos si se cumple la regla de convergencia:

Ln(x+1)=-e2x x+1=e−e2 x

x=e−e2 x

-1Derivamos:


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-25

-20

-15

-10

-5

0

x

y

METODOS NUMERICOS

g'(x)=-2e2xe−e2 x

|2e2 x−e2 x

|<1 Para x=0, tendremos:

g'(x)=|2e1−e|=0,7357588823<1 Luego:

g(x)=e−e2 x

-1 con x0=0c) Hallamos g(x) despejamos x del segundo termino, luego verificamos si se cumple la regla de convergencia:

Cos(x)=-ex x=Arccos(e−ex

) Derivamos:

g'(x)=ex e−e

x

√1−e−ex

| e

x e−ex

√1−e−ex|<1

Para x=0,5:

g'(x)= | e

x e−ex

√1−e−ex|=0,8987237364<1

Luego g(x)=Arccos(e−ex

) con x0=0,5E3. Resuelva por el método del punto fijo la ecuación:

a) x3-10x-5=0b) Sen(x)+Ln(x)=0

SOLUCION

a) x3-10x-5=0 x=3√10 x+5 x=g(x)=3√10 x+5

Valor inicial x=0:

g(0)=3√10(0 )+5=1,709975947

Los valores obtenidos se muestran en la siguiente tabla:i xi xi+1-xi0 -31 -2,28 0,315725552 -1,96427445 0,067921513 -1,89635294 0,003057674 -1,89329527 6,0729E-065 -1,8932892 2,393E-11


METODOS NUMERICOS

6 -1,8932892 2,2204E-16

La raíz hallada es x=3,38761883.b) Ln(x)=-Sen(x) x=g(x)=e-Sen(x) Valor inicial x=0:

g(0)=e-Sen(0)=1 Los valores obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

i xi xi+1-x0 0 -1 1 12 0,43107595 -0,568924053 0,65846194 0,227385994 0,5423189 -0,116143035 0,59682965 0,054510756 0,57005465 -0,026774997 0,58293589 0,012881248 0,57667448 -0,006261419 0,57970308 0,003028610 0,57823463 -0,0014684511 0,5789458 0,0007111612 0,57860119 -0,0003446113 0,57876813 0,0001669414 0,57868725 -8,0883E-0515 0,57872643 3,9185E-0516 0,57870745 -1,8985E-0517 0,57871665 9,1976E-0618 0,57871219 -4,4561E-0619 0,57871435 2,1589E-0620 0,5787133 -1,0459E-06

E4. Resuelva las ecuaciones dadas por el método de Newton-Raphson, Secante y Bisección.


METODOS NUMERICOS

a) Ln(x)-x+2=0b) x3-2x+3=0

SOLUCIONa) Ln(x)-x+2=0

Método de Newton-Raphson. Hallamos la regla de iteración para este método.

f(x)=Ln(x)-x+2=0 f'(x)=1x -1

Luego:

xi+1=x-f ( x )f '( x )=x-

Ln( x )−x+21/ x−1 =

x [Ln( x )+1 ]x−1

Con valor inicial de x0=2,

x1=2[Ln(2 )+1]

2−1 =3,386294361

x2=3 ,386294361 [Ln(3 ,386294361)+1 ]

3 ,386294361−1 =3,386294361En la tabla siguiente se detallan los otros resultados.

I xi xi+1-xi0 21 3,38629436 1,386294362 3,14993839 -0,236355973 3,14619426 -0,003744144 3,14619322 -1,0364E-06

La raíz hallada es x=3,14619322. Método de la Secante.

En la regla de iteración para este método y con la función.

f(x)=Ln(x)-x+2=0 xi+1=xi-(x i−x i−1 ) f ( x i )f ( x i )−f ( x i−1)

Con valores iniciales de x0=2 y x1=3

x2=3-(3−2 )(0 ,69314718 )

0 ,09861229−0 ,69314718 =3,16586459


METODOS NUMERICOS

Ahora con estos valores obtenemos x2, luego con este x3 y así sucesivamente hasta hallar la raíz. En la tabla siguiente se detallan los otros resultados.

i xi-1 xi f(xi-1) f(xi) xi+1 xi+1-xi0 2 3 0,6931471 0,0986122 3,16586451 3 3,1658645 0,0986122 -0,013438 3,1459722 -0,019892382 3,1658645 3,1459722 -0,013438 0,0001507 3,1461929 0,000220693 3,1459722 3,1461929 0,0001507 2,183E-07 3,1461932 3,2015E-07 La raíz hallada es x=3,14619322. Método de la Bisección.

Hacemos f(x)=Ln(x)-x+2. Si x>0: a=1 f(1)=1 b=4 f(4)=-0,6137056389

x0=(a+b)/2=(1+4)/2=2,5 f(2,5)= 0,41629073 Se elimina el valor con función mayor a cero y se sustituye por el valor hallado. Se repite el proceso.

x1=(a+b)/2=(2,5+4)/2=3,25 f(3,25)=-0,071345 Ahora eliminamos el valor con función menor a cero y se sustituye por el valor hallado. Se repite el proceso.x2=(a+b)/2=(2,5+3,25)/2=2,875 f(2,875)=0,18105267

En la tabla de la pagina siguiente se detallan los otros resultados.

i a b c=(a+b)/2

f(c)

0 1 4 2,5 0,416290731 2,5 4 3,25 -0,0713452 2,5 3,25 2,875 0,181052673 2,875 3,25 3,0625 0,056731584 3,0625 3,25 3,15625 -0,006865395 3,0625 3,15625 3,10937

50,02504674

6 3,10937 3,15625 3,13281 0,00911866


METODOS NUMERICOS

5 257 3,13281

253,15625 3,14453

1250,00113358

8 3,14453125

3,15625 3,15039063

-0,00286417

9 3,14453125

3,15039063

3,14746094

-0,00086486

10

3,14453125

3,14746094

3,14599609

0,00013447

11

3,14599609

3,14746094

3,14672852

-0,00036517

12

3,14599609

3,14672852

3,1463623

-0,00011534

13

3,14599609

3,1463623

3,1461792

9,5648E-06

La raíz es x=3,1461792 con una aproximación de 10-5.b) x3-2x+3=0

Método de Newton-Raphson. Hallamos la regla de iteración para este método.

f(x)=x3-2x+3=0 f'(x)=3x2-2 Luego:

xi+1=x-f ( x )f '( x )=x-

x3−2 x+33x2−2 =

2x3−33x2−2

Con valor inicial de x0=0,

x1=2(0)3−3

3(0 )2−2 =-1,5. Ahora con este valor obtenemos x2, luego con este x3 y así sucesivamente hasta hallar la raíz. En la tabla siguiente se detallan los otros resultados.

i xi xi+1-xi

0 -2


METODOS NUMERICOS

1 -1,9 0,006681772 -1,89331823 2,9036E-053 -1,8932892 5,4707E-10

La raíz hallada es x=-1,8932892. Método de la Secante.

En la regla de iteración para este método y con la función.

f(x)=x3-2x+3=0 xi+1=xi-(x i−xi−1 ) f ( xi )f ( x i )−f ( x i−1)

Valores iniciales de x0=1 y x1=2 se obtiene x3.

x3=-2-(−2+1 )(4 )

4+1 =-1,8 Eliminamos el primer valor, sustituyendolo por x1; el valor hallado pasa a sustituir a x2 y obtenemos x3 y así sucesivamente hasta hallar la raíz. En la tabla siguiente se detallan los otros resultados.

i xi-1 xi f(xi-1) f(xi) xi+1 xi+1-xi0 -1 -2 4 -1 -1,8 0,7681 -2 -1,8 -1 0,768 -1,88687783 0,055889552 -1,8 -1,886877 0,768 0,05588955 -1,89369638 -0,00356523 -1,886877 -1,893696 0,0558895 -0,0035652 -1,8932875 1,487E-054 -1,8936963 -1,8932875 -0,003565 1,487E-05 -1,8932892 3,928E-095 -1,8932875 -1,8932892 1,487E-05 3,928E-09 -1,8932892 -3,5527E-156 -1,8932892 -1,8932892 3,928E-09 -3,5527E-15 -1,8932892 0

La raíz hallada es x=-1,8932892. Método de la Bisección.

f(x)=x3-2x-2 a=-2 f(-2)=-6 b=-1 f(-1)=-1x0=(a+b)/2=(0-2)/2=-1 f(-1,5)=-1,5

Se elimina el primer valor y se sustituye por el valor hallado. Se repite el proceso.

x1=(a+b)/2=(-1-1,5)/2=-1,875 f(-1,875)=0,15820313La tabla con los demás valores en la pagina que sigue.

i a B c=(a+b)/2 f(c)0 -2 -1 -1,5 2,625


METODOS NUMERICOS

1 -2 -1,5 -1,75 1,1406252 -2 -1,75 -1,875 0,158203133 -2 -1,875 -1,9375 -0,398193364 -1,9375 -1,875 -1,90625 -0,11441045 -1,90625 -1,875 -1,890625 0,02328116 -1,90625 -1,890625 -1,8984375 -0,045217047 -1,8984375 -1,890625 -1,89453125 -0,010881258 -1,89453125 -1,890625 -1,89257813 0,006221589 -1,89453125 -1,89257813 -1,89355469 -0,0023244110 -1,89355469 -1,89257813 -1,89306641 0,0019499411 -1,89355469 -1,89306641 -1,89331055 -0,000186912 -1,89331055 -1,89306641 -1,89318848 0,0008816113 -1,89331055 -1,89318848 -1,89324951 0,0003473814 -1,89331055 -1,89324951 -1,89328003 8,0244E-0515 -1,89331055 -1,89328003 -1,89329529 -5,3325E-0516 -1,89329529 -1,89328003 -1,89328766 1,346E-0517 -1,89329529 -1,89328766 -1,89329147 -1,9933E-05

La raíz es x=-1,89328909.

E5. Resuelva y compare la solución del sistema de ecuaciones. Haga las gráficas.

a) {0 ,12065x+0 ,98175 y=2 ,01450 ,12032 x+0 ,98755 y=2 ,0555

b) {0 ,12065x+0 ,98175 y=2 ,011450 ,12032 x+0 ,98755 y=2 ,00555

SOLUCION

a) {0 ,12065x+0 ,98175 y=2 ,01450 ,12032 x+0 ,98755 y=2 ,0555

Usamos eliminación Mediante ecuaciones simultaneas:

{0 ,12065x+0 ,98175 y=2 ,01450 ,12032 x+0 ,98755 y=2 ,0555

(−0 ,12032 )(0 ,12065 )

-0,0141516608x-0,0142516799y=-0,242384640,0141516608x+0,2393669512y=0,609946075

0,2251152713y=0,367561435y=5,481268575 x=-27,90497657

b) {0 ,12065x+0 ,98175 y=2 ,011450 ,12032 x+0 ,98755 y=2 ,00555


METODOS NUMERICOS

Usamos eliminación Mediante ecuaciones simultaneas:

{0 ,12065x+0 ,98175 y=2 ,011450 ,12032 x+0 ,98755 y=2 ,00555

(−0 ,12032 )(0 ,12065 )

-0,0141516608x-0,0142516799y=-0,242384640,0141516608x+0,2393669512y=0,609946075

0,2251152713y=-0,367561435y=-0,04694175078 x=17,05375105

E6. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales.6x1+2x2+3x3=133x1+5x2-4x3=-3x1+x2-3x3=-2

mediante:a) Gauss.b) Factorización.c) Jacobi.d) Gauss-Seidel.

SOLUCIONa) Gauss. La matriz aumentada es:

[6 2 33 5 −41 1 −3 ][13

−3−2 ]

F1-6F3; F2-3F3.

[0 −4 210 2 51 1 −3 ][25

3−2]

F1+2F2=[0 0 310 2 51 1 −3 ] [31

3−2]

31x3=31 x3=1 x2=-1 x1=2b) Aplicamos el método de Doolitle.

6x1+2x2+3x3=133x1+5x2-4x3=-3x1+x2-3x3=-2

Sea la matriz A y B de los coeficientes y soluciones:

A=[6 2 33 5 −41 1 −3 ]

B=[13−3−2 ]


METODOS NUMERICOS

Puesto que LU=A, se define las matrices L y U como sigue:

L=[ 1 0 0L21 1 0L31 L22 1 ]

U=[U11 U 12 U13

0 U 22 U 23

0 0 U33]

Fila L2 por columna C2:1+U22=5 U22=4

Fila L2 por columna C3:1,5+U23=-4 U23=-5,5

Fila L3 por columna C2:1/3+L32=1 L32=2/3

Fila L3 por columna C3:0,5-3,6667+U33=-3 U33=0,166667

De donde:

L=[ 1 0 00,5 1 01/6 2/3 1 ]

U=[6 2 30 4 −5,50 0 0 ,16667 ]

Ahora Lc=b

[ 1 0 00,5 1 01/6 2/3 1 ][C1

C2

C3]=[13−3−2 ]

Resolviendo el sistema mediante eliminación gaussiana:C1=13 C2=-19/2 C3=2,166667

Ahora Ux=C nos da la solución del sistema.

[6 2 30 4 −5,50 0 0 ,16667 ][ x1

x2

x3]=

[13−19 /2

0 ,166667 ]x1=2 x2=-1 x3=1

c) Método de Jacobi.6x1+2x2+3x3=133x1+5x2-4x3=-3x1+x2-3x3=-2

Se determina las reglas de correspondencia para iterarx1=13/6-x2/3-x3/2


METODOS NUMERICOS

x2=-3/5-3x1/5+4x3/5x3=x1/3+x2/3+2/3

Si tomamos x=(0,0,0)x1=13/6=2,16666667 x2=-3/5-3(0)/5+0=-0,6

x3=0/3+0/3+2/3=0,66666667 Estos valores se vuelven a sustituir en las expresiones anteriores y se obtiene los nuevos valores de iteración. Estos resultados se muestran en la siguiente tabla.

i x1 x2 x3

0 0 0 01 2,16666667 -0,6 0,666666672 2,03333333 -1,36666667 1,188888893 2,02777778 -0,86888889 0,888888894 2,01185185 -1,10555556 1,052962965 2,0087037 -0,96474074 0,968765436 2,0038642 -1,03020988 1,014654327 2,0027428 -0,99059506 0,991218118 2,00125597 -1,00867119 1,004049259 2,00086578 -0,99751418 0,9975282610 2,00040727 -1,00249686 1,001117211 2,00027369 -0,9993506 0,9993034712 2,0001318 -1,00072144 1,000307713 2,00008663 -0,99983292 0,9998034514 2,00004258 -1,00020922 1,0000845715 2,00002745 -0,99995789 0,9999444616 2,00001374 -1,00006091 1,0000231917 2,00000871 -0,99998969 0,9999842818 2,00000443 -1,0000178 1,0000063419 2,00000277 -0,99999758 0,9999955420 2,00000142 -1,00000523 1,0000017321 2,00000088 -0,99999947 0,9999987322 2,00000046 -1,00000154 1,0000004723 2,00000028 -0,9999999 0,9999996424 2,00000015 -1,00000046 1,0000001325 2,00000009 -0,99999999 0,999999926 2,00000005 -1,00000014 1,0000000327 2,00000003 -1 0,99999997

De donde:x1=2 x2=-1 x3=1


METODOS NUMERICOS

d) Método de Gauss-Seidel.6x1+2x2+3x3=133x1+5x2-4x3=-3x1+x2-3x3=-2

Este método es similar al anterior, después de determinar las reglas de correspondencia, se sustituye en forma simultanea los valores del vector inicial y con ello se obtiene el nuevo vector, para luego obtener el vector siguiente, y así sucesivamente hasta determinar las raíces.

x1=13/6-x2/3-x3/2x2=-3/5-3x1/5+4x3/5

x3=x1/3+x2/3+2/3 Si tomamos x=(0,0,0)

x1=13/6=2,16666667 x2=-3/5-3(2,16666667)/5+0=-1,9 x3=2,16666667/3-1,9/3+2/3=0,75555556

Los demás resultados se muestran en la siguiente tabla.i x1 x2 x30 0 0 01 2,16666667 -1,9 0,755555562 2,42222222 -1,44888889 0,991111113 2,15407407 -1,09955556 1,018172844 2,02409877 -0,99992099 1,008059265 1,99594403 -0,99111901 1,001608346 1,9962355 -0,99645463 0,999926967 1,99885473 -0,99937127 0,999827828 1,99987651 -1,00006365 0,999937629 2,00005241 -1,00008135 0,9999903510 2,00003194 -1,00002688 1,0000016911 2,00000812 -1,00000352 1,0000015312 2,00000041 -0,99999902 1,0000004613 1,99999944 -0,99999929 1,0000000514 1,99999974 -0,99999981 0,9999999815 1,99999995 -0,99999998 0,9999999916 2 -1,00000001 1

De donde:

x1=2 x2=-1 x3=1

E7. Determine gráficamente cuantas soluciones tienen los sistemas.OLCJ Estudios Superiores (949229274) 14

(1,0)

(0,1)

(0,-1)

(-1,0) (1,0)

(0,1)

METODOS NUMERICOS

a) x2+y2=1 x+y=1b) x2+y2=1 x+y=1c) x=y3 y=x3

SOLUCIONa) x2+y2=1 x+y=1

Existen dos soluciones: x=0 x=1 b) x2+y2=1

Desarrollamos el valor absoluto:

x+y=1 { x+ y=1x− y=1y−x=1x+ y=−1

Existen cuatro soluciones: x=0 x=-1 x=1 x=0

c) x=y3 y=x3


(-1,-1)

(1,1)

METODOS NUMERICOS

Existen dos soluciones: x=-1 x=1

E8. Usando Newton-Raphson encuentre la raíz compleja aproximada de x4+9=0.

SOLUCIONHallamos la regla de iteración:

f(x)=x4+9=0 f'(x)=4x3

xi+1=x-f ( x )f '( x )=x-

x4+94 x3 =

3x 4−94 x3

Probamos la condición de convergencia:g´(x)=0,75+6,75x-4

Como se puede deducir, esta expresión siempre será mayor que 1, por lo que esta expresión no itera para ningún valor posible.

E9. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Newton-Rapson multivariable.a) 2x3-y=0 x3-2-y3=0b) 2x3-7=0 x=2-y2

SOLUCION

E10. Determine una región del plano XY, tal que la iteración del punto fijo aplicada al sistema:

x=g1(x,y)=(x2+y2-x-3)/3


METODOS NUMERICOS

y=g2(x,y)=(x+y+1)/3 Sea convergente para cualquier punto inicial (x0,y0) de dicha región.

SOLUCION La condición de convergencia para este método es:

∂ g1

∂ x +∂ g2

∂ x <1 ∂ g1

∂ y +∂ g2

∂ y <1 Hallamos las derivadas parciales:

∂ g1

∂ x =(2x-1)/3 ∂ g2

∂ x =1/3 ∂ g1

∂ y =2y/3 ∂ g2

∂ y =1/3 Luego:

∂ g1

∂ x +∂ g2

∂ x =(2x-1)/3+1/3<1 2x<3 x<32

∂ g1

∂ y +∂ g2

∂ y =2y/3+1/3<1 2y+1<3 y<1

Luego la región buscada es x<32¿ y<1

BIBLIOGRAFIA.

1. Nieves Hurtado, Antonio y Domínguez Sánchez, Federico. "Métodos Numéricos aplicados a la ingeniería". Compañía editorial Continental, S.A. de C.V. primera edición en español. México, 1995.

2. Raffo Lecca, Eduardo. "Métodos Numéricos para ciencia e Ingeniería con Pascal". Raffo Lecca editores, Lima, Perú, 1997.


METODOS NUMERICOS


ecuaciones con metodos numericos

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