aplicaciÓns das derivadassigno de n’ + 0 - 0 + variación de n 2000 { y w r x u t r +∞...

APLICACIÓNS DAS DERIVADAS

ESTUDA E REPRESENTA AS SEGUINTES FUNCIÓNS POLINÓMICAS

SEGUNDO OS PASOS INDICADOS EN CLASE.

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 + 6

2. 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 5𝑥3

3. 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 4𝑥3 − 12𝑥2 + 7

4. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 2

5. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 9

6. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 1

7. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 1

8. 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 2𝑥2

9. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 9𝑥 + 6

10. 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥 − 2

11. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 1 Repetido. Igual ao 6

12. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 8𝑥3 − 2

13. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 16𝑥

14. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 12𝑥2

15. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥

16. 𝑓(𝑥) = −3𝑥4 + 4𝑥3

17. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 − 24𝑥 − 20

18. 𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 3𝑥2

19. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2

20. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1

21. 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 4𝑥3 − 36𝑥2 + 100

RESOLVE OS SEGUINTES PROBLEMAS DE APLICACIÓN DA DERIVADA

1.-Un investigador que está probando a acción dun fármaco sobre unha bacteria, unha vez subministrado o fármaco, encontra que o número de bacterias, N, varía en función do tempo, t en horas segundo a expresión:

𝑵(𝒕) = 𝟐𝟎 𝒕𝟑 − 𝟓𝟏𝟎 𝒕𝟐 + 𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝒕 + 𝟐 𝟎𝟎𝟎

a) Cantas bacterias había no momento de subministrar o medicamento? ¿E ao cabo de 10 horas?

b) Nese momento, o número de bacterias está aumentando ou diminuindo?

c) En que momento comeza a notarse o efecto do fármaco?

d) En que momento comeza a perder o seu efecto o medicamento?

e) Representa este proceso mediante unha gráfica.

2.-Un analista de xogos de azar comprobou empíricamente que as

gañancias, G , en euros, que proporciona certo xogo dependen do

tempo no que se está xogando segundo a función

𝑮(𝒕) =𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎𝒕

𝒕𝟐+𝟒𝟎𝟎 , onde t se mide en minutos

a) ¿Qué gañancias se obteñen ao cabo de 10 minutos?.E ao cabo dunha hora?

b) Canto máis tempo permaneza xogando, será maior a gañancia que se obtén?

c) Cando se produce a maior gañancia? .Cal é esa gañancia?

d) A qué ritmo varía a función aos 10 minutos de xogo? .E aos 40 minutos? .E ás dúas horas?

3.- Os membros dunha asociación ecoloxista fundada en 1980 variaron, durante os cinco primeiros anos, segundo a función

𝒇(𝒙) = 𝟓𝟎(𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝟔𝒙 + 𝟐), onde x son os anos transcorridos.

a) Cantos foron os socios fundadores?

b) En que períodos aumenta o número de socios?

c) Houbo algunha crise na asociación?

d) Cales son as perspectivas de futuro a xulgar polo que ocorre ao quinto ano da súa fundación?

4.- A producción de tomates nun invernadoiro, C en kg, depende da

temperatura, T en ºC, segundo a función:

C(T) = (T + 1)2 (32 - T)

a) Calcular razoadamente cál é a temperatura óptima a manter no

invernadoiro.

b) ¿Qué producción de tomates se obtería?

c) Determina a derivada da función para 15 ºC e explica o que

significa .

5.- O custe anual, C , en miles de euros, que supón para unha

produtora de televisión a contratación de actores principais para as

súas series de máxima audiencia exprésase mediante a función:

𝑪(𝒙) =𝟏𝟐𝒙𝟐+𝟑𝟔𝟎𝒙+𝟒 𝟖𝟎𝟎

𝒙 , onde x é o número de actores

contratados.

a) Determina o número de actores que debe contratar a produtora

para que o custe anual sexa o mínimo.

b) A canto ascende ese custe mínimo?

c) Calcula a derivada da función para 18 actores contratados.

Explica o significado dese número

6.- Durante varias semanas estivéronse rexistrando as velocidades do tránsito da saída dunha autoestrada. Os datos confirman que entre las 12.00 horas e as 18.00 horas dun día laborable, a velocidade V, en km/h ,de tránsito na saída vén dada pola función :

𝑽(𝒙) = 𝟐𝒕𝟑 − 𝟐𝟏𝒕𝟐 + 𝟔𝟎𝒕 + 𝟒𝟎 , onde t é o número de horas que transcorreron desde o mediodía.

a) ¿En qué intervalos de tempo, entre o mediodía e as 18:00 horas, o tránsito foi máis lento?

b) E en cal foi más rápido?

7.- Nun encoro, a cantidade de auga recollida,C, en millóns de litros ,durante un ano, en función do tempo t en meses, vén dada pola expresión

𝑪(𝒕) =𝟏𝟎

(𝒕 − 𝟔)𝟐 + 𝟏 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 ≤ 12

a) En que instante se obtivo a cantidade máxima de auga?

b) Cal foi esa cantidade máxima?

c) En que periodo de tempo aumentou a cantidade de auga recollida?

d) Calcula a derivada da función no terceiro mes e no noveno mes. Explica o significado deses números

8.- A cantidade C de membros dunha peña deportiva fundada no ano 2014, t anos despois da súa fundación, está dada pola

función 𝑪(𝒕) = −𝟏

𝟑(𝒕𝟑 − 𝟗𝒕𝟐 + 𝟐𝟒𝒕 − 𝟒𝟖) .

a) Cantos foron os membros fundadores?

b) En que ano tivo o máximo número de membros entre 2014 e 2019 ?

c) Cal é a tendencia actual , e a que ritmo o fai?

d) Chegará a quedarse sen socios?

9.- O rendemento r en porcentaxe dun alumno nun exame dunha hora ven dado en función do tempo t pola expresión

𝒓(𝒕) = 𝟑𝟎𝟎𝒕(𝟏 − 𝒕) , onde 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏 en horas .Pídese:

a) En que momentos o rendemento é nulo? b) En que momentos aumenta ou diminúe o rendemento? c) Cando se alcanza o maior rendemento e cal é?

SOLUCIÓN AOS PROBLEMAS

DE

APLICACIÓN DAS DERIVADAS

ESTUDA E REPRESENTA ÁS SEGUINTES FUNCIÓNS POLINÓMICAS

1.- Gráfica

Cadro de variación da función

x -∞ (-∞,-2) -2 (-2,1) 1 (1, +∞) +∞

Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 26 -1 +∞

Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(-2,26) mínimo=(1,-1)

2.- Gráfica


x -∞ (−∞, −√3) −√3 (−√3, 0) 0 (0, √3) √3 (√3, +∞) +∞

Signo de y’ + 0 - 0 - 0 + Variación de y -∞ 6√3 0 −6√3 +∞

Monotonía de f Crece M Decrece In Decrece m Crece

Extremos Máximo =(−√3, 6√3) mínimo =(√3, −6√3)

3.- Gráfica


x -∞ (−∞, −2) −2 (−2,0) 0 (0,1) 1 (1, +∞) +∞

Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −25 7 2 +∞

Monotonía de f Decrece m Crece M Decrece m Crece

Extremos mínimo =(−2, −25) Máximo(0,7) mínimo =(1,2)

4.- Gráfica


x -∞ (−∞, −

√6

2) −

√6

2 (−

√6

2, 0)

0 (0,

√6

2)

√6

2 (

√6

2, +∞)

+∞

Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −

1

4 2 −

1

4 +∞

Monotonía de f decrece m Crece M Decrece m Crece

Extremos mínimo =(−√6

2, −

1

4) Máximo =(0,2) mínimo =(

√6

2, −

1

4)

5.- Gráfica


x -∞ (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3, +∞) +∞


Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(-1,14) mínimo=(3,-18)

6.-Gráfica


x -∞ (-∞,0) 0 (0,2

3)

2

3 (

2

3, +∞) +∞

Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 1 23

27 +∞

Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(0,1) mínimo= (

2

3,

23

27)

7.-Gráfica


x -∞ (-∞,1) 1 (1,2) 2 (2, +∞) +∞

Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 4 3 +∞

Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(1,4) mínimo=(2,3)

8.- Gráfica


x -∞ (−∞, −√2) −√2 (−√2, 0) 0 (0, √2) √2 (√2, +∞) +∞

Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −

1

2 0 −

1

2 +∞


Extremos mínimo =(−√2, −1

2) Máximo =(0,0) mínimo =(√2, −

1

2)

9.- Gráfica


x -∞ (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1, +∞) +∞


Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(-1,12) mínimo=(1,0)

10.- Gráfica


x -∞ (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1, +∞) +∞

Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y +∞ -4 0 -∞

Monotonía de f Decrece m Crece M Decrece Extremos de f minimo=(-1,-4) Máximo=(1,0)

11.- Repetido : igual que o seis

12.- Gráfica


x -∞ (−∞, −6) −6 (−6,0) 0 (0, +∞) +∞

Signo de y’ - 0 + 0 + Variación de y -∞ −434 0 +∞

Monotonía de f Decrece m Decrece In Crece

Extremos mínimo=(-6,-434)

13.- Gráfica


x -∞ (−∞, −1) −1 (−1,2) 2 (2, +∞) +∞

Signo de y’ - 0 + 0 + Variación de y -∞ −11 16 +∞

Monotonía de f Decrece m Decrece In Crece

Extremos mínimo=(-1,-11)

14.- Gráfica


x -∞ (-∞,-0) 0 (0,2) 2 (2, +∞) +∞


Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(0,0) mínimo=(2,-16)

15.-Gráfica


x -∞ (−∞, −2

3) −

2

3

(0,1) 1 ( 1, +∞) +∞

Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 44

27 −3 +∞

Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(-

2

3,

44

27) mínimo= (1, −3)

16.- Gráfica


x -∞ (−∞, 0) 0 (0,1) 1 (1, +∞) +∞

Signo de y’ + 0 + 0 - Variación de y -∞ 0 1 +∞

Monotonía de f Crece In Crece M Decrece

Extremos Máximo=(1,1)

17.- Gráfica


x -∞ (−∞; −1,12) ≅ −1,12 (0; 7,12) ≅ 7,12 ( 1, +∞) +∞

Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ ≅ −5,81 ≅ −286,2 +∞

Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(- 1,12; −5,81) mínimo= (7,12; −286,2)

18.- Gráfica


x -∞ (−∞, −1) −1 (−1,0) 0 (0,1) 1 (1, +∞) +∞

Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −2 0 −2 +∞


Extremos mínimo =(−1, −2) Máximo =(0,0) mínimo =(1, −2)

19.- Gráfica


x -∞ (−∞, −1) −1 (−1,0) 0 (0,1) 1 (1, +∞) +∞

Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −1 0 −1 +∞


Extremos mínimo =(−1, −1) Máximo =(0,0) mínimo =(1, −1)

20.- Gráfica


x -∞ (−∞, 1) 1 (1,3) 3 ( 3, +∞) +∞


Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(- 1,5) mínimo= (3,1)

21.- Gráfica


x -∞ (−∞, −3) −3 (−3,0) 0 (0,2) 2 (2, +∞) +∞

Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −89 100 36 +∞


Extremos mínimo =(−3, −89) Máximo =(0,100) mínimo =(2,36)

SOLUCIÓN DOS PROBLEMAS DE APLICACIÓN DA DERIVADA

1.- problema da acción dun fármaco

a) 𝑁(𝑡) = 20 𝑡3 − 510 𝑡2 + 3 600 𝑡 + 2 000

N(0) = 2 000 bacterias

N(10)= 7 000 bacterias

b) 𝑁′(𝑡) = 60𝑡2 − 1020𝑡 + 3 600

N’(0)= 3 600 >0 , entón está aumentando

N’(10)= - 600 < 0 , entón está diminuíndo


t 0 (0,5) 5 (5,12) 12 ( 12, +∞) +∞

Signo de N’ + 0 - 0 + Variación de N 2000 9 750 6 320 +∞

Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(5 , 9 750) mínimo= (12 , 6 320)

c) Comézase a notar os efectos do fármaco ás 5 horas

d) Comézase a perder o seu efecto o medicamento ás 12 horas

e) Gráfica do proceso

2.- Problema do xogo

a) 𝑮(𝒕) =𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎𝒕

𝒕𝟐+𝟒𝟎𝟎 ; 𝑮′(𝒕) =

−𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎𝒕𝟐+𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

(𝒕𝟐+𝟒𝟎𝟎)𝟐 ; 𝑮′(𝒕) = 𝟎 → 𝒕 = ±𝟐𝟎

G(10)= 200 €

G(60)= 150 €

b)

Cadro de variación da función G

t 0 (0,20) 20 (20, +∞) +∞

Signo de G’ + 0 - Variación de G 0 250 0

Monotonía de f Crece M Decrece Extremos Máximo (20,250)

Non. Como se pode observar no cadro de variación das gañancias a partir dos

20 minutos comeza a diminuír a gañancia

c) G’(t)= 0 , entón -10 000 t2 + 4 000 000=0 ; t = ± 20 ;

t= 20 minutos ; G(20)=250 €

d) G’(10)= 12 €/min

G’(40)= -3 €/min

G’(120)= -0,64 €/min

3.- Problema da asociación ecoloxista

a) 𝑓(𝑥) = 50(2𝑥3 − 15𝑥2 + 36𝑥 + 2)

f(0) = 100 socios

b) cando y

Cadro de variación da función (número de socios )

x 0 (0,2) 2 (2,3) 3 ( 3, +∞) +∞

Signo de f’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 1500 1450 +∞

Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(- 2,1500) mínimo= (3,1450)

O número de socios aumenta durante os dous primeiros anos. Despois houbo un ano en el que se produciu un decrecemento e a partir do terceiro ao aumentaron outra vez os membros da asociación.

c) A crise produciuse entre o segundo e o terceiro ano.

d) Ao quinto ano a asociación ten f(5) = 2 850 socios e, ademais , f’(5)=1 800, o

que indica que o número de socios está aumentando a un ritmo de 1800

socios/ano. Pódese afirmar que as perspectivas son boas

4.- Problema da producción de tomates

C(T) = (T + 1)2 (32 - T) ; C’(T) = -3T2+60T+63

C’(T) = 0 ; T=-1ºC e T=21ºC

Cadro de variación da función (producción de tomates )

T -∞ (−∞, 2) −1 (−1,21) 21 ( 21, +∞) +∞

Signo de C’ - 0 + 0 - Variación de C +∞ 0 5324 -∞

Monotonía de C Decrece m Crece M Decrece Extremos de C mínimo=( −1,0) Máximo= (21,5324)

a)Polo tanto a temperatura óptima será aos 21 ºC

b)A máxima producción será C(21)= 5 324 kg

c) C’(15)= 288 kg/ºC . Indica que a producción de tomates está aumentando a

razón de 288 kg por ºC

5.- problema da produtora de televisión

𝑪(𝒙) =𝟏𝟐𝒙𝟐+𝟑𝟔𝟎𝒙+𝟒 𝟖𝟎𝟎

𝒙 ; C(x)= 12x+360+4800x-1 ;

C’(x)= 12- 4800x-2

a) C’(x)=0 ; 12 −4 800

𝑥2 = 0 ; 12𝑥2 = 4800 , 𝑥2 = 400 ; 𝑥 = ±20 ;

Como só ten sen sentido para x>0 a posible solución será de 20 actores

Compróbase que se trata dun mínimo probando que C’(x)<0 para valores de x

menores de 20 e C’(x)>0 para valores de x maiores de 20.

b) C(20)= 360 millóns de €

c) C’(18)= -2,8 miles de €/actor contratado

O custe anual está diminuindo a razón de 2,8 miles de euros por actor

contratado

6.- Problema da autoestrada

O que nos piden é ver en qué intervalos de tempo a función velocidade crece e

decrece.

Partimos das 12.00h como t=0 e as 18.00h como t=6

𝑽(𝒙) = 𝟐𝒕𝟑 − 𝟐𝟏𝒕𝟐 + 𝟔𝟎𝒕 + 𝟒𝟎 ; 𝑽′(𝒕) = 𝟔𝒕𝟐𝟐 − 𝟒𝟐𝒕 + 𝟔𝟎

𝑽′(𝒕) = 𝟔𝒕𝟐𝟐 − 𝟒𝟐𝒕 + 𝟔𝟎 = 𝟎 → 𝒕 = 𝟐 𝒆 𝒕 = 𝟓

Cadro de variación da función (Velocidade de tránsito )

t 0 (0,2) 2 (2,5) 5 ( 5, 6) 6

Signo de V’ + 0 - 0 + Variación de V 40 92 65 76

Monotonía de V Crece m Decrece M Crece

a) A velocidade de tránsito foi máis lenta entre as 14.00 h e ás 17.00 horas

b) A velocidade do tráfico foi máis rápida das 12.00 h ás 14.00h e desde as

17.00h ás 18.00 h

7.- Problema do encoro

Estudo da función no intervalo 𝑡 ∈ [0,12]

𝑪(𝒕) =𝟏𝟎

(𝒕−𝟔)𝟐+𝟏 ; 𝑪′(𝒕) = −

𝟐𝟎(𝒕−𝟔)

[(𝒕−𝟔)𝟐+𝟏]𝟐 ; C’(t)=0 → t=6

t 0 (0,6) 6 (6,12) 12

Signo de C’ + 0 -

Variación de C 10

37 10 10

37

Monotonía Crece Máx Decrece

a) No sexto mes é onde aparece o máximo da función C(t)

b) A cantidade que lle corresponde ao sexto mes é C(6)= 10 millóns de

litros

c) A cantidade de auga aumentou no intervalo onde a función é crecente,

ou sexa, até o sexto mes.

C’(3) = 0,6 ; Este número indica que o encoro está aumentando a súa

cantidade de auga a un ritmo de 0,6 millóns de litros/mes, ou sexa, neste

caso indica o caudal .

C’(9) = - 0,6 ; Este número indica que o encoro está diminuíndo a súa

cantidade de auga a un ritmo de 0,6 millóns de litros /mes, ou sexa,

neste caso indica o caudal de perda de auga

8.- Problema da peña deportiva

Gráfica da evolución dos membros da peña

C’(t)=O → t=2 e t=4

Cadro de variación da función (producción de tomates )

t 0 (0,2) 2 (2,4) 4 t > 4

Signo de C’ - 0 + 0 - Variación de C 16 28

3

32

3

Monotonía de C Decrece m Crece M Decrece Extremos de C mínimo=( 2,

28

3) Máximo= (4,

32

3)

a) C(0) = 16 membros fundadores

b) O máximo de membros da peña dáse no cuarto ano, ou sexa no 2018

c) Tendencia actual no 2019, corresponde a t=5 ; C’(5) = -3

A tendencia ven indicada polo signo negativo, ou sexa tende a diminuír a

cantidade de membros e o ritmo indicao o número, ou sexa tres

membros/ano

d) Sí, chegará a quedarse sen membros, segundo se observa no gráfico, a

partir de mediados do 2020.

9.- Problema do rendemento exame

Estudo da función rendemento no intervalo 𝑡 ∈ [0,1]

𝒓(𝒕) = 𝟑𝟎𝟎𝒕(𝟏 − 𝒕); 𝒓′(𝒕) = 𝟔𝟎𝟎𝒕 − 𝟑𝟎𝟎; 𝒓′(𝒕) = 𝟎 → 𝒕 =𝟏

𝟐

t 0 ( 0 ,1

2 )

𝟏

𝟐 (

1

2 , 1) 1

Signo de r’ + 0 -

Variación de r 0 75 0

Monotonía Crece Máx Decrece

a) O rendemento é nulo r(t) = 0 → t=0 h e t=1 h, ou sexa, ao principio e ao

final do exame

b) O rendemento aumenta desde o comezo do exame até a media hora

O rendemento diminúe desde a media hora até rematar o exame

c) O maior rendemento alcánzase á media hora cun valor do 75%

aplicaciÓns das derivadassigno de n’ + 0 - 0 + variación de n 2000 { y w r x u t r +∞...

Documents