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“APLICACIÓN DEL MÉTODO DE POLYA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA EN LOS ESTUDIANTES EN EL ÁREA DE
MATEMÁTICA.”
CAMPUS "SAN PEDRO CLAVER, S . J." DE LA VERAPAZSAN JUAN CHAMELCO, ALTA VERAPAZ, FEBRERO DE 2018
GUDIEL EDUARDO MORÁN CAC CARNET 21931-12
TESIS DE GRADO
LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA Y FÍSICAFACULTAD DE HUMANIDADES
UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR
HUMANIDADESTRABAJO PRESENTADO AL CONSEJO DE LA FACULTAD DE
“APLICACIÓN DEL MÉTODO DE POLYA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA EN LOS ESTUDIANTES EN EL ÁREA DE
MATEMÁTICA.”
EL TÍTULO Y GRADO ACADÉMICO DE LICENCIADO EN LA ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
PREVIO A CONFERÍRSELE
SAN JUAN CHAMELCO, ALTA VERAPAZ, FEBRERO DE 2018CAMPUS "SAN PEDRO CLAVER, S . J." DE LA VERAPAZ
GUDIEL EDUARDO MORÁN CAC POR
TESIS DE GRADO
UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVARFACULTAD DE HUMANIDADES
LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
ING. JOSÉ JUVENTINO GÁLVEZ RUANO
DRA. MARTA LUCRECIA MÉNDEZ GONZÁLEZ DE PENEDO
P. JULIO ENRIQUE MOREIRA CHAVARRÍA, S. J.
LIC. ARIEL RIVERA IRÍAS
LIC. FABIOLA DE LA LUZ PADILLA BELTRANENA DE LORENZANA
SECRETARIA GENERAL:
VICERRECTOR ADMINISTRATIVO:
VICERRECTOR DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA:
VICERRECTOR DE INVESTIGACIÓN Y PROYECCIÓN:
P. MARCO TULIO MARTINEZ SALAZAR, S. J.
VICERRECTORA ACADÉMICA:
RECTOR:
AUTORIDADES DE LA UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR
AUTORIDADES DE LA FACULTAD DE HUMANIDADES
DECANO: MGTR. HÉCTOR ANTONIO ESTRELLA LÓPEZ, S. J.
VICEDECANO: DR. JUAN PABLO ESCOBAR GALO
SECRETARIA: MGTR. ROMELIA IRENE RUIZ GODOY
REVISOR QUE PRACTICÓ LA EVALUACIÓN
NOMBRE DEL ASESOR DE TRABAJO DE GRADUACIÓNING. OTTO ERWIN CHAVARRIA NOACK
MGTR. JULIO ARMANDO VALDEZ PINEDA
Agradecimiento
A Dios: Por iluminarme con su luz divina, guiándome por el sendero del
bien, gracias por estar siempre junto a mí ayudándome a alcanzar
todas mis metas.
A mi asesor: Ing. Civil. Por haberme compartido sus conocimientos académicos, por
Otto Erwin Chavarría haberme brindado su atención en todo momento y por toda su
Noack ayuda. ¡Gracias!
Ing. Francisco Por sus consejos y su valiosa colaboración en la realización de esta
Figueroa: investigación.
Centro Don Bosco A la Institución Educativa, a los docentes y queridos alumnos que
colaboraron para la concretización de este estudio.
A todas aquellas personas que de alguna u otra forma intervinieron en la realización de este
trabajo.
¡Gracias!
Dedicatorias
A Dios: Por iluminarme con su luz divina, guiándome por el sendero del
bien, gracias por estar siempre junto a mí ayudándome a alcanzar
todas mis metas.
A mis Padres: Jesús Morán y Marta Cac, quienes con mucho esfuerzo, constancia
y amor han logrado sacarme adelante, gracias a ustedes, hoy soy lo
que soy, más que mío es de usted este logro, hoy se lo dedico y
agradezco desde lo más profundo de mi ser. Gracias por ser fuente
de motivación en mi vida. Los amo.
A mis Hermanos: Sigdo, Sergio, Migdalia y Hamilton, quienes con su cariño y apoyo
han sido pilares fundamentales para el logro de esta meta que este
triunfo les sirva de ejemplo y estímulo. Los aprecio mucho.
A mis Familiares Gracias por el apoyo y confianza brindada en mí y a todas aquellas
personas que hicieron posible el logro de esta meta, Se los dedico.
A mis Docentes: Especialmente Licenciada Ana Tarrot, Ingeniero Francisco Figueroa
y Ingeniero Otto Chavarría gracias por su apoyo, atención,
comprensión, paciencia, orientación y colaboración. Los aprecio
mucho.
ÍNDICE
I. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................ 1
1.1 Matemática .................................................................................................................................... 13
1.1.1 ¿Qué es la matemática? ......................................................................................................... 13
1.1.2 Competencias del área de matemática. ................................................................................. 13
1.1.3 ¿Para qué sirve la matemática? ............................................................................................ 14
1.2 Tipos de problemas matemáticos ................................................................................................. 15
1.2.1 Planteamiento de problemas ................................................................................................. 15
1.2.2 Resolución de problemas ....................................................................................................... 15
1.3 Ecuaciones lineales con una incógnita ......................................................................................... 16
1.3.1 Historia ................................................................................................................................... 16
1.3.2 Definición ................................................................................................................................ 17
1.3.3 Teorema de la ecuación lineal 𝒂𝒙 = 𝒃. ................................................................................. 18
1.3.4 Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒄 ..................................................................................... 18
1.3.5 Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒄𝒙 + 𝒅 ............................................................................. 18
1.3.6 Ecuaciones que contienen paréntesis .................................................................................... 19
1.3.7 Ecuaciones que contienen fracciones. ................................................................................... 20
1.3.8 Ecuaciones que contiene valor absoluto ............................................................................... 20
1.3.9 Ecuaciones con literales. ................................................................................................. 21
1.3.10 Ecuaciones de problemas de aplicación. ............................................................................. 21
1.4 Método de Pólya ...................................................................................................................... 22
1.4.1 Origen .............................................................................................................................. 22
1.4.2 Finalidad del método de Pólya .............................................................................................. 23
1.4.3 Etapas del método de Pólya ................................................................................................... 24
1.4.4 Actitudes para aplicar el método de Pólya ........................................................................... 27
1.4.5 Efecto del método de Pólya .................................................................................................... 28
1.4.6 Aplicación del método de Pólya en las ecuaciones lineales ........................................... 29
II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .................................................................................. 32
2.1 Objetivo general ............................................................................................................................ 35
2.2 Hipótesis......................................................................................................................................... 35
2.2.1 Hipótesis de investigación ...................................................................................................... 35
Páginas Contenidos
2.2.2 Hipótesis nulas y alternas. ..................................................................................................... 35
2.3 Variables ........................................................................................................................................ 37
2.3.1 Definición conceptual de Variables. ...................................................................................... 37
2.3.2 Definición operacional de variables ...................................................................................... 37
2.4 Alcances y límites .......................................................................................................................... 38
2.5 Aportes. .......................................................................................................................................... 38
III. MÉTODO .................................................................................................................................... 40
3.1 Sujetos ............................................................................................................................................ 40
3.2 Instrumento ................................................................................................................................... 40
3.3 Procedimientos a seguir:............................................................................................................... 42
3.4 Tipo de investigación, diseño y metodología estadística ............................................................. 43
IV PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADO ..................................................................... 44
IV. DISCUSIÓN ................................................................................................................................ 55
V. CONCLUSIONES........................................................................................................................... 60
VI. RECOMENDACIONES ............................................................................................................. 62
VII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................... 63
ANEXO .................................................................................................................................................... 66
Figuras:
Figura No. 1 sobre los paso de Pólya
Tablas:
Tabla de especificaciones para construir la prueba de conocimientos sobre ecuaciones lineales con
una incógnita en 4º. Bachillerato
Tabla del sistema de cognición para construir la prueba de conocimientos sobre ecuaciones lineales
con una incógnita en 4º. Bachillerato
Tabla No. 1: Resultado del pre prueba del grupo control
Tabla No. 2: resultado del post prueba del grupo control
Tabla No. 3: Resultado del pre prueba del grupo experimental
Tabla No. 4: resultado del post prueba del grupo experimental
Tabla No. 5: Resultados de pre prueba aplicados al grupo control y experimental
Tabla No. 6: Resultados de post-prueba aplicados al grupo control y experimental
Tabla No. 7: Resultados de pre-prueba y post-prueba aplicados al grupo control
Tabla No. 8 Resultados de pre-prueba y post-prueba aplicados al grupo experimental
Graficas:
Grafica No. 1: Resultados de pre prueba aplicados al grupo control y experimental
Grafica No. 2: Resultados de post-prueba aplicados al grupo control y experimental
Grafica No. 3: Resultados de pre-prueba y post-prueba aplicados al grupo control
Grafica No. 4 Resultados de pre-prueba y post-prueba aplicados al grupo experimental
RESUMEN
Esta investigación fue realizada con la finalidad de determinar la influencia que tiene la
aplicación del método de Pólya, como estrategia para la resolución de problemas de ecuaciones
lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de Matemática, con estudiantes de Cuarto
Bachillerato en Ciencias y Letras del Centro Don Bosco de San Pedro Carcha, departamento de
Alta Verapaz. Todo con el propósito de formar estudiantes con competencias cognitivas y que a
la vez se adquieran capacidades constructivas e innovadoras.
Para esto se utilizó la metodología cuantitativa de diseño cuasiexperimental, con una distribución
probabilística, con una población constituida en un grupo experimental y otro de control, ambos
son grupos intactos, es decir integrados previos al experimento, oscilan entre las edades de 15 a
18 años, todos son hombres, conformado por 31 estudiantes.
Se aplicó un pre y post prueba a ambos grupos, con el grupo experimental se utilizó el método
Pólya y con el grupo control se trabajó una enseñanza tradicional, esto con la finalidad de
comprobar la efectividad de la utilización del método Pólya, como estrategia en la resolución de
problemas de ecuaciones lineales con una incógnita, ya que permite la participación del alumno,
favorece la discusión, fomenta el análisis crítico, el trabajo cooperativo, la práctica de valores
humanos y la comprensión, lo que promueve la construcción y fortalecimiento del propio
carácter.
De acuerdo al estudio realizado se propone al establecimiento, principalmente a los docentes de
matemática la utilización y enseñanza del método Pólya.
1
I. INTRODUCCIÓN
La educación guatemalteca, ha tenido históricamente un nivel muy bajo en el campo de la
educación, principalmente en el área de matemática, la cual ha tenido mayor índice de
reprobación; debido a que no hacen su mayor esfuerzo para mejorar la calidad de la educación y
en el desarrollo de esta área que ha predominado un enfoque curricular academicista; la mayor
dificultad para los estudiantes es la resolución de problemas. Son capaces de resolver
mecánicamente las operaciones fundamentales básicas (suma, resta, multiplicación y división),
pero no saben cómo aplicarlas para la solución de un problema, ya que sólo se les ha enseñado a
resolver de forma mecánica y repetitiva.
En cuanto al rendimiento académico, los datos estadísticos muestran que el 87.40% de los
estudiantes en el año 2015 promovieron el grado del nivel primario, mientras que el 12.60% no
fueron promovidos, en tanto que, en el nivel medio, ciclo básico el 71.53% promovieron el grado
y 28.47% no promovieron. Así también en el ciclo diversificado el 82.10% promovieron el grado
y el 17.90% no promovió, según estadísticas del año 2015 a nivel nacional, en todas las áreas del
pensum de estudio Ministerio de Educación (MINEDUC, 2015).
Según Flotts et al. (2015) en el estudio de Aportes para la enseñanza de la matemática,
realizado por la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura
(UNESCO), sólo 36% de los estudiantes de primaria en Latinoamérica pueden resolver
problemas matemáticos en donde Chile es el mejor de la región. El estado de Nuevo León supera
el promedio de México y de otros países con 5 de cada 10 alumnos capaces de resolver
2
problemas. Aunque los planes de estudio de matemáticas en América Latina están diseñados para
que los alumnos de primaria puedan resolver problemas, sólo 36% lo consigue.
Esto forma parte de los análisis del Tercer Estudio Regional Comparativo y Explicativo
(TERCE), que mostró los logros de aprendizaje entre alumnos de tercero y sexto de primaria y
sus factores asociados en 15 países de América Latina entre los que están son: Argentina, Brasil,
Chile, Colombia, Ecuador, Guatemala, Honduras, México, Nicaragua, Panamá, Paraguay, Perú,
República Dominicana, Uruguay, Costa Rica y el estado de Nuevo León y el análisis destaca que
Chile tiene los mejores resultados en América Latina, seguido de Uruguay, México y Costa Rica;
mientras que los países más rezagados son República Dominicana, Paraguay, Panamá, Nicaragua
y Guatemala. (pp. 56 -68).
La metodología empleada en matemática, es un elemento clave para el logro satisfactorio de
aprendizajes en los estudiantes porque emplean una forma de pensamiento que les permite
reconocer, plantear y resolver problemas, es por ello que en este estudio se busca determinar la
influencia que tiene la aplicación del método de Pólya, como estrategia para resolución de
problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de Matemática.
Se han hecho diversas investigaciones acerca de la implementación de métodos para mejorar
el nivel de razonamiento, pensamiento lógico y, en general, de resolución de problemas, tanto a
nivel nacional como internacional. Para sustentar el trabajo, es importante tomar en
consideración los aportes de autores que han realizado investigaciones relacionadas con el tema
de investigación, dentro de los cuales se pueden mencionar:
3
Según Uz (2016) realizó una investigación de tipo cuantitativo, con diseño cuasiexprimental,
cuyo objetivo fue determinar la incidencia del aprendizaje basado en problemas (ABP) en el
aprendizaje de las ecuaciones e inecuaciones de primer grado en los estudiantes de segundo
básico del Instituto Mixto de Educación Básica por Cooperativa de la Aldea Xesaná Santa María
Chiquimula, Totonicapán, Se relacionaron 19 estudiantes de la sección “A” y 19 estudiantes de
la sección “B”; todos son originarios de la aldea, de distinto género, masculino y femenino,
comprendidos entre las edades de 13 a 17 años, son de etnia indígena y como idioma materno
tienen el K’iche’. Se aplicó un pre test al inicio y un pos test al finalizar el proceso, para detectar
los conocimientos del tema a tratarse con ellos, así también detectar la incidencia del método en
los estudiantes, para poder reforzarlos y para obtener un buen resultado para beneficiar sus
conocimientos básicos con la utilización del método ABP y su incidencia en el aprendizaje de las
ecuaciones e inecuaciones de primer grado. Se concluyó que al aplicar el método ABP en el
proceso de enseñanza aprendizaje de las ecuaciones e inecuaciones de primer grado se logró un
aporte metodológico para los estudiantes, así también para los docentes, con ello descubrieron
habilidades del razonamiento crítico y se recomendó que se debe de tener presente que el
aprendizaje de las ecuaciones e inecuaciones de primer grado se puede lograr mayor
comprensión, practicando el método ABP de parte del docente y estudiantes en las aulas.
Según Fuentes (2015) realizó una investigación de tipo cuantitativo, en el Instituto de
Educación Básica por Cooperativa del municipio de Chicamán, departamento de Quiché, para tal
objeto participan 25 estudiantes de la sección “A” y 25 de la sección “B” de ambos sexos,
quienes se encuentran legalmente inscritos en el establecimiento y son originarios en su mayoría
de la cabecera municipal, mientras que otros provienen de lugares circunvecinos. El idioma
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materno que predomina en ellos es el castellano, k’iche y poqomchí, cuyas edades oscilan entre
los 15 y 20 años de edad, con el objetivo de determinar la incidencia del método ABP en la
solución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 variables. Como resultado se
obtuvo un mejor rendimiento y logro de la competencia en el grupo experimental, mientras que
en el grupo control el alcance fue menor debido en parte a la metodología utilizada puesto que el
grupo experimental era motivado por la manera en que se presentan los problemas del contexto y
por la forma en que se resuelven a través de un sistema de ecuaciones simultáneas. Concluyó
que la utilización de situaciones o problemas del contexto y la adecuada aplicación de las
estrategias del Aprendizaje Basado en Problema ABP inciden favorablemente en la resolución de
problemas con ecuaciones lineales, porque favoreció la activación de pre-saberes, principalmente
cuando muchos de estos que suceden en la vida cotidiana son resueltos a través de sistemas de
ecuaciones simultáneas. Lo que permitió al estudiante obtener resultados satisfactorios y
recomendó difundir el ABP como método para la resolución de ecuaciones lineales con 2 y tres
variables, con el fin de promover su inclusión en la metodología educativa a través de la
realización de talleres de actualización y de conocimiento de nuevos modelos de aprendizaje en
el medio, con el propósito de propiciar el mejoramiento de la calidad educativa no solo en
Matemática, sino también en otras áreas del conocimiento, de acuerdo a los resultados obtenidos
en la presente investigación.
Escalante (2015) en su investigación utilizó la metodología cuantitativa de diseño
Cuasiexprimental, cuya finalidad fue determinar los pasos del método Pólya en la resolución de
problemas matemáticos, se basó en procesos como la observación y aplicó una pre-evaluación y
luego una pos-evaluación, esto con la finalidad de comprobar la efectividad del método Pólya en
5
la resolución de problemas matemáticos. Se efectuó con estudiantes de quinto primaria
comprendidos entre las edades de 9 a 11 años en la etapa de la niñez; procedentes de aldeas,
cantones, caseríos y municipios circunvecinos del municipio de la Democracia, departamento de
Huehuetenango, Guatemala, C.A. Algunos son bilingües. En total suman 25 sujetos. Concluyó
que el método Pólya dentro de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática ayuda a despertar
el interés en el estudiante y disminuir el temor al momento de resolver problemas matemáticos,
la cual es un reto para el docente, porque constituye un proceso continuo que se enriquece a
través de la práctica y ejercitación de problemas en matemática, por lo tanto, se recomendó a los
docentes utilizar el Método de Pólya o que busquen nuevas alternativas metodológicas, que sean
principalmente significativas y aplicables en la vida.
López (2014) en su estudio de tipo cuantitativo, cuyo objetivo fue demostrar de qué manera
el aprendizaje significativo facilita los procedimientos y la resolución de problemas de
ecuaciones de primer grado, por medio de la aplicación de un pre test para conocer inicialmente
la situación de los estudiantes previo al tratamiento, luego un pos test para establecer la relación
del antes y después, se elaboró una prueba con 10 enunciados de selección múltiple que permiten
la traducción de expresiones verbales a ecuaciones de primer grado, empleando para ello las
propiedades de los algoritmos en la resolución; y se efectuó con 38 estudiantes de primero básico
del Instituto Experimental Fray Francisco Jiménez, de Santa Cruz del Quiché, departamento de
El Quiché, que corresponde al 100% de la población, con edades que oscilan entre 12 y 14 años,
de ambos sexos y grupo étnico maya y mestiza, procedentes de diferentes zonas de la ciudad y
comunidades cercanas del casco urbano. Se concluyó que es importante la aplicación
metodológica del aprendizaje significativo en su labor docente, porque es una corriente educativa
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pedagógica que ayuda a que el estudiante aplique los conocimientos en actividades de la vida
cotidiana, desarrollando habilidades, destrezas y técnicas en la ejecución de un trabajo de tal
manera que se espera que el educador haga uso correcto de ellas y contribuir en la formación
integral y lograr un aprendizaje significativo, por lo tanto, se recomendó a los docentes enfocar
la enseñanza de la matemática tomando como eje principal el desarrollo de la competencia de
resolución de problemas en los estudiantes incluyendo los métodos y las estrategias de
resolución de problemas como contenido de la Enseñanza de la Matemática.
Ajanel (2012) realizo un estudio de tipo descriptivo, cuyo objetivo fue coadyuvar en el
mejoramiento de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática especialmente en la aplicación
de estrategias de resolución de problemas, en donde la población que se tomó, lo constituyeron
todos los docentes que imparten las clases de Matemática en las carreras de Magisterio Primaria
y Magisterio Preprimaria y todas las estudiantes graduandas de Sexto Magisterio Primaria y
Sexto Magisterio Preprimaria, correspondiente a un total de 385 estudiantes de la cual se extrajo
una muestra de 192 estudiantes, lo que equivale al 50% de la población en donde se entrevistaron
y evaluaron a seis profesores que imparten Matemática en los grados mencionados
anteriormente, dos profesores no participaron en esta investigación con lo que hace un total de 8
profesores del Instituto Normal Centro América, Jornada Vespertina de la ciudad de Guatemala.
La muestra por sección fue estratificada en la misma proporción y la selección fue sistemática, se
eligieron las alumnas con clave número par tomadas directamente de las listas oficiales del
Instituto. Se concluyó que la enseñanza de la Matemática se ha quedado únicamente en un nivel
de comprensión, en donde el estudiante, únicamente realiza ejercicios y no ha llegado al nivel de
utilización de la información que es donde se debe ser capaz de utilizar la Matemática: en la
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resolución de problemas y recomendó enfocar la enseñanza de la matemática tomando como eje
principal el desarrollo de la competencia de resolución de problemas en los estudiantes.
Según Ardón (2012) en su investigación de tipo cuantitativo y con diseño experimental,
cuya finalidad fue determinar la efectividad de la enseñanza de estrategias de elaboración dentro
de la asignatura de matemática, para incrementar la competencia de resolución de problemas en
estudiantes de quinto bachillerato del Liceo Javier que presentan bajo rendimiento académico en
la asignatura, para dicho estudio se tomó una muestra con la que había accesibilidad para aplicar
las pruebas y dar seguimiento al estudio, se seleccionaron 10 alumnos de quinto bachillerato en
Ciencias y Letras. Ellos estudiaban en la jornada matutina del Liceo Javier, se seleccionaron
porque presentaron problemas en el conocimiento y aplicación de estrategias de aprendizaje en el
curso de Matemática en cuarto bachillerato durante el ciclo escolar 2010. Los alumnos
seleccionados estaban distribuidos en las tres secciones de este grado, se utilizaron como
instrumentos: una hoja de ejercicios con el objetivo de medir el nivel de la competencia de
resolución de problemas y una hoja para el control de la aplicación de estrategias de elaboración
con la finalidad de medir el progreso en el uso de estrategias de elaboración utilizadas por los
alumnos, la cual consiste en una prueba de 5 problemas de matemática validada por 3 expertos
en el campo de la educación y de la Matemática. Se concluyó que existe diferencia
estadísticamente significativa al nivel de 0.05 en la competencia de resolución de problemas
entre el pretest y el postest de los estudiantes de quinto bachillerato del Liceo Javier que
presentan bajo rendimiento en la asignatura de Matemática, al enseñarles estrategias cognitivas
de elaboración dentro de esta asignatura. Por lo tanto se les recomienda a los docentes de
matemática utilizar estrategias de elaboración, además de las estrategias propias de la
8
matemática, para abordar las diferentes situaciones problema que se les presentan en el aula; así,
podrán orientar a los alumnos a ser competentes en la resolución de problemas y a los estudiantes
de este estudio y a quienes tienen bajo rendimiento en matemática se les recomiendo utilizar el
resumen como medio para simplificar la información que presenta el problema y eliminar los
datos que no son relevantes para la resolución del mismo, ya que al implementar un programa de
estrategias de elaboración dentro del curso de matemática se incrementa de forma significativa la
competencia de resolución de problemas.
Además Díaz (2015) efectuó una investigación de tipo descriptivo y con diseño
correlacional, cuyo objetivo fue conocer la relación entre comprensión lectora y resolución de
problemas algebraicos en alumnos de primer año de secundaria de una institución educativa
particular de Cercado de Lima, la cual se basó el proceso en la elaboración de dos instrumentos
de investigación, la primera fue de la Prueba de Comprensión Lectora de Complejidad
Lingüística Progresiva Nivel 7 (CLP 7 – A), en este nivel se comprueba el dominio de las
habilidades para el área de textos, aplicándolas a textos narrativos con desarrollos temporales
complejos y a textos descriptivos, que no presentan secuencia temporal, estructurados en torno a
un conjunto de afirmaciones sobre un sujeto colectivo concreto y el segundo fue sobre la Prueba
de Resolución de Problemas Algebraicos, la prueba consta de dos Subtests, el primer Subtest es
el de planteo de ecuaciones, en el que el alumno deberá demostrar su capacidad para plantear una
ecuación y en el segundo subtes se basa en la resolución de problemas, el alumno deberá resolver
los problemas allí planteados. La población de interés estuvo conformada por 62 alumnos
matriculados en el año 2014 en el primer año de secundaria de la Institución Educativa, se utilizó
un muestreo de tipo no probabilístico intencional, por lo tanto, la muestra estuvo conformada de
9
la siguiente manera: 35 estudiantes mujeres y 27 estudiantes varones de las tres secciones de la
jornada matutina de la Institución Educativa Particular San Andrés Anglo Peruano del Cercado
de Lima estos fluctuaron entre los 11 y 14 años de edad. Se concluyó que existe una correlación
estadísticamente significativa y positiva entre la comprensión lectora y la resolución de
problemas algebraicos en alumnos de primer año de secundaria de la Institución Educativa San
Andrés del Cercado de Lima, por lo tanto, se recomienda realizar capacitaciones docentes sobre
estrategias de comprensión de lectura y resolución de problemas algebraicos con el objetivo de
elevar el nivel de ambas temáticas de estudio en el rendimiento de los alumnos, sobre todo
incidiendo en la comprensión de lectura, que parece ser, ejerce mayor nivel de influencia en la
resolución de problemas, que éste en aquella.
Según Cerda (2014) en su estudio de investigación de tipo cuantitativo, con un diseño
cuasi-experimental, cuya finalidad principal fue de evaluar el impacto que tiene la metodología
de resolución de problemas de Pólya en el rendimiento escolar en la unidad de aprendizaje
matemáticas 2. El instrumento que se utilizó para contrastar el rendimiento académico entre
grupo control vs grupo experimental fue un examen indicativo global. La población estuvo
constituida por 239 estudiantes de bachillerato general. Se realizó un muestreo no probabilístico
de manera intencional o de conveniencia en el que se seleccionaron a 153 estudiantes de segundo
semestre de los cuales 80 son mujeres y 73 son hombres, se tuvo una mortandad del 1.3 %, por lo
que al final solo participaron 151 estudiantes, la edad de los jóvenes oscila entre los 14 y los 20
años. Se realizó en la Escuela Preparatoria en la que se encuentra bajo el subsistema de la
Universidad Autónoma de Nuevo León, el modelo educativo actual está basado en enseñanza por
competencias, donde cada periodo es semestral con un tiempo total de 2 años, el plantel se
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encuentra en el municipio de Galeana, el cual está ubicado geográficamente al sur del estado de
Nuevo León México. Se concluyó que los resultados obtenidos sobre la metodología de
resolución de problemas de Pólya en el rendimiento escolar en la unidad de aprendizaje
matemáticas 2, los estudiantes alcanzaron un nivel de desempeño acorde a los objetivos del
proyecto; esto en base a las calificaciones finales, las cuales dan cuenta de un buen desarrollo de
la metodología Aprendizaje Basado en Problemas, se recomienda que se extienda en otras
unidades de aprendizaje como los son matemáticas 1, calculo diferencial e integral, Probabilidad
y estadística, Física y Química, no solo en las unidades de aprendizaje relacionadas con las
ciencias exactas si no también con otras ciencias, desde que el estudiante ingresa a nivel medio
superior hasta su egreso, ya que tiene un mayor impacto en el rendimiento escolar de los
estudiantes.
Según Gutiérrez (2012) en su investigación de tipo descriptivo y con diseño correlacional,
cuyo objetivo fue determinar si existe relación entre las estrategias de enseñanza y la resolución
de problemas matemáticos según la percepción de los estudiantes del cuarto grado de una
institución educativa de Ventanilla. La muestra utilizada fue no probabilística por disponibilidad,
conformada por 120 niños cuyas edades fluctúan entre 8 y 10 años y además no se tomaron en
cuenta para el presente estudio a los estudiantes que presentan una edad por encima de lo
establecido o presentan algún tipo de discapacidad sensorial, motora, intelectual o emocional
severa. Se basó en un cuestionario sobre la percepción de las estrategias de enseñanza en el área
curricular de matemática el cual consta de 08 ítems con tres posibilidades de respuesta cada uno
y evalúa la percepción sobre las estrategias de enseñanza en el área curricular de matemática a
través de tres dominios específicos: estrategias para activar o generar conocimientos previos,
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estrategias para orientar la atención de los estudiantes, y estrategias para promover el enlace
entre los conocimientos previos y la nueva información que se ha de aprender y el Test de
resolución de problemas matemáticos (Ministerio de Educación, validados y adaptados por
Cherres, 2011), la cual consta de 20 ítems con cuatro posibilidades de respuesta cada uno y
evalúa la capacidad de resolución de problemas matemáticos a través del dominio específico de
las cuatro operaciones fundamentales con números naturales: adición, sustracción, multiplicación
y división; así como las operaciones combinadas con estas. Los ítems corresponden a las pruebas
nacionales aplicadas por la Unidad de Medición de Calidad Educativa del Ministerio de
Educación. Se concluyó que existe una relación positiva baja entre las estrategias de enseñanza
en todas sus dimensiones y la capacidad de resolución de problemas matemáticos, según la
percepción de los estudiantes del cuarto grado de educación primaria de una institución
educativa pública de Ventanilla y recomienda a nivel de institución educativa, organizar talleres,
charlas, seminarios, etc. que permitan a los docentes y padres de familia intercambiar ideas,
experiencias, conocimientos y estrategias empleadas para afianzar el desarrollo de la capacidad
de resolución de problemas matemáticos.
Cardona (2007) en su estudio cualitativo de tipo exploratorio, se trazó el objetivo de explorar
las habilidades de pensamiento algebraico que desarrollan los alumnos de octavo grado de
Educación Básica del Centro de Investigación e Innovación Educativa de la Universidad
Pedagógica Nacional Francisco Morazán (CIIE–UPNFM), través de la resolución de problemas,
se realizó en dos etapas una diagnostica y otra de ejecución, la etapa diagnostica se realizó con el
grupo de bachillerato con el objeto de determinar que habilidades de pensamiento algebraico
había desarrollado el grupo, en la educación básica para tal efecto se diseñó una prueba
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diagnóstica conformada por siete problemas orientados a evaluar una habilidad específica y la
otra que fue de ejecución, se realizó en el de octavo grado con el propósito de explorar sus
avances, logros y dificultades en el proceso de la construcción de conocimiento o desarrollo de
habilidades matemáticas, este grupo fue dividido en siete grupos de trabajo los que se dedicaron
a resolver guías de trabajos, bajo el enfoque de la resolución de problemas presentándoles uno o
más problemas cuya lectura y comprensión se realizó al interior de cada equipo para luego
proceder, en un ambiente de discusión y de reflexión con el propósito del proceso que propone el
método de Pólya.
Desarrollada en el periodo de julio a octubre del año 2006 en el Centro de Investigación e
Innovación Educativa de la Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán, se trabajó con
dos grupos de estudiantes; 41 alumnos de I Bachillerato en Educación y 29 alumnos de octavo
grado, ambos de la jornada vespertina.
Concluyó que la estrategia de resolución de problemas resulto ser adecuada para iniciar en
los estudiantes, el desarrollo de cada una de las habilidades que se pretendía ya que se abordó el
aprendizaje del código algebraico, no a partir de un conocimiento previo de reglas de
transformaciones algebraicas y definiciones, sino a través de su uso alcanzando un nivel de
dominio de cada habilidad según sus capacidades internas, recomendó a los docentes de
matemática, incluir desde los primeros grados de la educación básica, actividades en donde los
estudiantes tengan que plantear expresiones aritméticas con el objeto de iniciarlos a que acepten
la falta de clausura en determinadas situaciones, como una preparación para entender las
expresiones algebraicas y a los Centros de Investigación e Innovación Educativa para que
13
preparen al estudiante para el estudio formal del álgebra en el nivel medio o superior en la
resolución de problemas.
Para teorizar los temas importantes de la investigación se desarrollan los siguientes conceptos.
1.1 Matemática
1.1.1 ¿Qué es la matemática?
En la actualidad no es posible reducir la definición de las matemáticas a las ciencias de los
números (aritmética) y las formas (geometría). El uso de símbolos (álgebra y teoría de
conjuntos), el estudio del cambio (cálculo) y de la incertidumbre (estadística y probabilidad), el
análisis de las formas de razonamiento (lógica matemática) y las consideraciones acerca de los
enfoques matemáticos en diferentes grupos culturales (etnomatemática), son objeto de estudio de
las Matemáticas contemporáneas.
Según el Ministerio de Educación de Guatemala MINEDUC (2008) la matemática es una
ciencia que propicia el desarrollo de diversas habilidades de pensamiento mediante la búsqueda
de patrones y relaciones que permiten al estudiante organizar su pensamiento para la resolución
de problemas, no sólo en el contexto matemático sino en la vida real. Está organizada en
conocimientos, modelos, métodos, heurísticos, símbolos y relaciones necesarios para propiciar el
desarrollo de todos los campos del saber.
1.1.2 Competencias del área de matemática.
Orientar la educación hacia el desarrollo de competencias, se convierte en una estrategia para
formar personas capaces de desarrollar contenidos que ayudarán a garantizar la calidad educativa
con base en el desarrollo del pensamiento lógico y su relación con los ejes de la Reforma
14
Educativa, así como para participar en un mundo laboral que requiere, cada vez más, amplios
conocimientos.
Por lo tanto para lograrlo es necesario conocerlas, las cuales son las siguientes:
➢ “Produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos aplicando propiedades y relaciones,
que faciliten el planteamiento, el análisis y la solución creativa de problemas matemáticos.
➢ Construye modelos matemáticos que le permiten la representación y análisis de relaciones
cuantitativas.
➢ Utiliza los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus
propiedades y verificando que sus resultados sean correctos.
➢ Emite juicios referentes a preguntas que se ha planteado; buscando, representando e
interpretando información de diferentes fuentes.
➢ Aplica métodos de razonamiento, el lenguaje y la simbología matemática en la interpretación
de situaciones de su entorno (MINEDUC, 2007, p.168).
1.1.3 ¿Para qué sirve la matemática?
Según el MINEDUC (2008) la matemática sirve para orientar el desarrollo del pensamiento
analítico y reflexivo, mediante la integración de la búsqueda de patrones y relaciones; la
interpretación y el uso de un lenguaje particular, simbólico, abstracto; el estudio y representación
de figuras; la argumentación lógica y la demostración; la formulación y aplicación de modelos
variados (aritméticos, geométricos y trigonométricos y algebraicos), así como proporcionar
herramientas útiles para recolectar, presentar y leer información, analizarla y utilizarla para
resolver problemas prácticos de la vida habitual.
15
Por lo tanto, los objetivos de la matemática elemental se resumen en ayudar a los estudiantes
a adquirir conocimiento básico y destrezas técnicas con respecto a números, cantidades, figuras
geométricas a partir de actividades que fomenten la actitud para apreciar el placer de la
matemática haciendo uso de ella con buena disposición en la vida cotidiana sobre todo para la
capacidad de pensar en profundidad y lógicamente.
1.2 Tipos de problemas matemáticos
1.2.1 Planteamiento de problemas
Según Gobran (1990) los problemas planteados con palabras son enunciados que expresan
relaciones entre cantidades numéricas y es traducir la expresión del problema a una ecuación
algebraica que pueda resolverse por medios conocidos.
Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue:
✓ Se determina la incógnita y se le presenta con una variable.
✓ Todas las demás cantidades incógnita se deben de expresar en términos de la misma variable.
✓ Se traduce los enunciados del problema relativos a la variable a una ecuación algebraica.
✓ Se resuelve la ecuación para la incógnita y luego se encuentran las otras cantidades
requeridas.
✓ Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras, no en la ecuación.
1.2.2 Resolución de problemas
La resolución de problemas es la parte esencial del proceso de aprendizaje de la matemática,
porque consiste llevar a la práctica los conocimientos y procedimientos de los algoritmos y otras
operaciones dentro del contexto de la vida diaria, por tal razón, desde años muy atrás se viene
buscando técnicas y estrategias que faciliten la resolución de las mismas ya que potencia las
16
competencias genéricas o fundamentales como la capacidad de participación en equipo
generando la capacidad de organizar y planificar su trabajo y de este modo su propio aprendizaje.
Según Bahamonde y Vicuña (2011) la resolución de problemas “es una actividad compleja
que pone en juego un amplio conjunto de habilidades y que incluye elementos de creación
debido a que la persona carece de procedimientos pre-aprendidos para el efecto y constituye el
núcleo central de la actividad matemática”.
Además, Contreras (2005) menciona que “la resolución de problemas juega un papel
trascendental en esta nueva aproximación a la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de
la matemática. De hecho, se espera que el estudiante construya su conocimiento matemático al
enfrentar, dentro del contexto social del salón de clase, problemas para los que no conoce de
antemano una estrategia de solución apropiada, lo suficientemente complejos para significar un
reto y que ponen en juego un conocimiento matemático relevante”.
1.3 Ecuaciones lineales con una incógnita
1.3.1 Historia
Según Aguilar, Bravo, Gallego, Cerón y Reyes (2009) a principios del siglo XIX tres
matemáticos, Ruffini, Abel y Galois, encararon el problema de resolver una ecuación desde un
punto de vista radicalmente diferente. Más que a Ruffini y Abel, es Evariste Galois a quien le
cabe el título de fundador del álgebra moderna. Galois nació el 25 de octubre de 1811 en Bourg
la Reine, hasta los 12 años de edad lo educó su madre, mujer culta y esclarecida. En 1823 viaja a
París para internarse en el Liceo Louis le Grand, institución famosa por el rigor de su disciplina.
A principios de 1827 despierta su interés por la matemática, disciplina a la que de inmediato se
17
dedica por completo, descuidando los estudios de griego, latín, francés, retórica, considerados
más importantes. Galois publicó, en abril de 1829, su primer artículo científico: un teorema sobre
las fracciones continuas periódicas. Al mes siguiente presentó a la Academia de Ciencias sus
primeras investigaciones sobre las ecuaciones algebraicas de primer grado, trabajo que fue
recibido con frialdad y desinterés por Cauchy, el mayor matemático de la época y presidente de
la Academia. En ese mismo año el joven matemático entró en la École Préparatoire, institución
destinada a formar profesores. Dos meses después era bachiller en letras y en ciencias.
1.3.2 Definición
Aguilar et al. (2009) Una ecuación es una igualdad con una o varias incógnitas que se
representan con letras pueden ser fórmulas que se utilizan para encontrar una magnitud y es una
afirmación de que dos cantidades o expresiones son iguales.
Flores (como se citó en Lopez, 2014) define la ecuación de primer grado con una incógnita
como aquella igualdad que, después de efectuadas todas las reducciones posibles el exponente de
la incógnita es 1. Así mismo indica que la ecuación está compuesta por un conjunto de términos
dividos en dos partes separados por el signo igual, en donde los términos del lado izquierdo
forman el primer miembro y los términos del lado derecho el segundo miembro.
Lázaro (como se citó en Lopez, 2014)) afirma que una ecuación de primer grado con una
incógnita es una igualdad de la forma ax + b = c donde (a, b, c son números conocidos)
compuesto por dos miembros separados por el signo igual, ax + b = primer miembro y c =
segundo miembro.
18
1.3.3 Teorema de la ecuación lineal 𝒂𝒙 = 𝒃.
a. Si 𝑎 ≠ 0, 𝑥 =𝑏
𝑎 es solución única.
b. Si 𝑎 = 0 pero 𝑏 ≠ 0 , entonces ax = b no tiene solución.
c. Si 𝑎 = 0 y 𝑏 = 0 , todo 𝑘 ∈ 𝑅 es solución de ax = b entonces, tiene infinitas soluciones.
1.3.4 Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒄
Aufmann y Lockwood, (2013) al resolver una ecuación de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒄, la meta es
reescribirla en la forma variable = constante. Esto requiere aplicar las propiedades aditiva y
multiplicativa de las ecuaciones.
Resuelve: 2
5𝑥 − 3 = −7
2
5𝑥 − 3 = −7
Suma 3 a cada lado de la ecuación 2
5𝑥 − 3 + 𝟑 = −7 + 𝟑
Simplifique 2
5𝑥 = −4
Multiplica cada lado de la ecuación por 𝟓
𝟐∗
2
5𝑥 =
𝟓
𝟐(−4)
El reciproco del coeficiente
Simplifica. Ahora la ecuación esta 𝑥 = −10
En la forma variable = constante.
1.3.5 Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒄𝒙 + 𝒅
Aufmann et al. (2013) al resolver una ecuación de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒄𝒙 + 𝒅, la meta es
reescribirla en la forma variable = constante. Empieza por reescribir la ecuación de manera que
sólo haya un término variable en ella. Después reescríbela de manera que sólo haya un término
constante.
19
Resuelve: 4𝑥 − 5 = 6𝑥 + 11 4𝑥 − 5 = 6𝑥 + 11
Reste 6x a cada lado de la ecuación. 4𝑥 − 𝟔𝒙 − 5 = 6𝑥 − 𝟔𝒙 + 11
Simplifique. Ahora solo hay un término −2𝑥 − 5 = 11
Variable en la ecuación.
Sume 5 a cada lado de la ecuación. −2𝑥 − 5 + 𝟓 = 11 + 𝟓
Simplifique. Ahora solo hay un término −2𝑥 = 16
Constante en la ecuación.
Divide cada lado de la ecuación entre -2. −2𝑥
−𝟐=
16
−𝟐
Simplifica. Ahora la ecuación esta 𝑥 = −8
En la forma variable = constante.
1.3.6 Ecuaciones que contienen paréntesis
Aufmann et al. (2013) cuando una ecuación contiene paréntesis, uno de los pasos para
resolverla requiere utilizar la propiedad distributiva. Esta propiedad se utiliza para eliminar los
paréntesis de una expresión algebraica.𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
Resuelve: 4 + 5(2𝑥 − 3) = 3(4𝑥 − 1) 4 + 5(2𝑥 − 3) = 3(4𝑥 − 1)
Utiliza la propiedad distributiva para 4 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟑
Eliminar los paréntesis
Simplifica: 10𝑥 − 11 = 12𝑥 − 3
Reste 12x a cada lado de la ecuación. 10𝑥 − 𝟏𝟐𝒙 − 11 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒙 − 3
Simplifique. Ahora solo hay un término −2𝑥 − 11 = −3
Variable en la ecuación.
Sume 11 a cada lado de la ecuación. −2𝑥 − 11 + 𝟏𝟏 = −3 + 𝟏𝟏
Simplifique. Ahora solo hay un término −2𝑥 = 8
20
Variable en la ecuación.
Divide entre -2 cada lado de la ecuación . −2𝑥
−𝟐=
8
−𝟐
Simplifica. Ahora la ecuación esta 𝑥 = −4
En la forma variable = constante.
1.3.7 Ecuaciones que contienen fracciones.
Aufmann et al. (2013) la multiplicación de una ecuación que contiene fracciones por el mcm de
los denominadores se llama despejar denominadores. Es un método alterno de resolver una
ecuación que contiene fracciones. Despejar denominadores es un método de solución de
ecuaciones. El proceso aplica sólo a ecuaciones, nunca a expresiones.
Resuelve: 2
3+
1
4x = −
1
3
2
3+
1
4x = −
1
3
El mcm de 3 y 4 es. Multiplique por 12 𝟏𝟐 (2
3+
1
4x) = 𝟏𝟐 (−
1
3)
Cada lado de la ecuación.
Utiliza la propiedad distributiva para multiplicar 𝟏𝟐 (2
3) + 𝟏𝟐 (
1
4x) = 𝟏𝟐 (−
1
3)
12 cada lado de la ecuación.
La ecuación ahora no contiene fracciones. 8 + 3𝑥 = −4
Reste 8 cada lado de la ecuación. 8 − 𝟖 + 3𝑥 = −4 − 𝟖
Simplifique la ecuación. 3𝑥 = −12
Divida entre 3 cada lado de la ecuación. 3𝑥
𝟑=
−12
𝟑
Simplifica. Ahora la ecuación esta 𝑥 = −4
En la forma variable = constante.
1.3.8 Ecuaciones que contiene valor absoluto
Se aplica la definición del valor absoluto.
21
|𝑎| = {−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
Para resolver una ecuación con valor absoluto, se tiene que si |𝑥| = 𝑎, su solución está dada por:
𝑥 = 𝑎 𝑜 − 𝑥 = 𝑎
Resuelve: |6 − 3𝑥| = 9
6 − 3𝑥 = 9 −(6 − 3𝑥) = 9
−3𝑥 = 9 − 6 −6 + 3𝑥 = 9
3𝑥 = 3 3𝑥 = 9 + 6
𝑥 = −1 3𝑥 = 15
𝑥 = 5
1.3.9 Ecuaciones con literales.
Aguilar et al. (2009) en estas ecuaciones las incógnitas se representan con las letras x, y, z,
mientras que las letras a, b, c, d, m y n, se utilizan como constantes.
Resuelve: 8𝑎𝑏𝑐𝑥 − 𝑎𝑏 = 8𝑎𝑏𝑥 + 1 8𝑎𝑏𝑐𝑥 − 𝑎𝑏 = 8𝑎𝑏𝑥 + 1
Se agrupan términos en x. 8𝑎𝑏𝑐𝑥 − 8𝑎𝑏𝑥 = 1 + 𝑎𝑏
Se factoriza x. 𝑥(8𝑎𝑏𝑐 − 8𝑎𝑏) = 1 + 𝑎𝑏
Se despeja la ecuación. 𝑥 =1+𝑎𝑏
8𝑎𝑏𝑐−8𝑎𝑏
1.3.10 Ecuaciones de problemas de aplicación.
Según Earl y A. Cole, (2009) con frecuencia se usan ecuaciones para resolver problemas
aplicados, es decir, problemas que comprenden aplicaciones de matemáticas en otros campos de
actividad. Debido a la ilimitada variedad de problemas aplicados, es difícil expresar reglas
específicas para hallar soluciones. Las siguientes directrices pueden ser útiles, siempre que el
problema se pueda formular en términos de una ecuación con una variable.
22
✓ Si el problema se expresa por escrito, léalo cuidadosamente varias veces y piense en el
enunciado junto con la cantidad desconocida que ha de hallarse.
✓ Introduzca una letra para denotar la cantidad desconocida. Éste es uno de los pasos más
importantes en la solución. Frases que contengan palabras como qué, encuentre, cuánto, a
qué distancia o cuándo, deben poner en alerta al lector acerca de la cantidad desconocida.
✓ Si es apropiado, haga un dibujo y póngale leyendas.
✓ Haga una lista de los datos conocidos, junto con cualesquiera relaciones que contengan la
cantidad desconocida. Una relación puede ser descrita por una ecuación en la que,
enunciados por escrito, en lugar de letras o números, aparecen en uno o ambos lados del
signo igual.
✓ Después de analizar la lista de la directriz 4, formule una ecuación que describa en forma
precisa lo que se expresa con palabras.
✓ Resuelva la ecuación formulada en la directriz 5.
✓ Compruebe las soluciones obtenidas en la directriz 6 consultando el enunciado original del
problema. Verifique que la solución esté acorde con las condiciones expresadas.
1.4 Método de Pólya
1.4.1 Origen
Miller (2006) comenta que el 13 de diciembre de 1887 en Hungría nació un científico
matemático llamado George Pólya. Estudió en la Universidad de Budapest; donde abordó temas
de probabilidad. Luego en 1940 llegó a la Universidad de Brown en E.U.A. y pasó a la
Universidad de Stanford en 1942 como maestro. Elaboró tres libros y más de 256 documentos,
donde indicaba que para entender algo se tiene que comprender el problema.
23
George Pólya investigó muchos enfoques, propuestas y teorías; su teoría más importante fue la
Combinatoria. El interés en el proceso del descubrimiento y los resultados matemáticos llegaron
en él, a despertar el interés en su obra más importante la resolución de problemas. Se enfatizaba
en el proceso de descubrimiento más que desarrollar ejercicios sistematizados.
Pólya después de tanto estudio matemático murió en 1985 a la edad de 97 años; enriqueció la
matemática con un importante legado en la enseñanza en el área para resolver problemas,
dejando diez mandamientos para los profesores de matemática:
➢ Interés en la materia.
➢ Conocimiento de la materia.
➢ Observar las expectativas y dificultades de los estudiantes.
➢ Descubrir e investigar.
➢ Promover actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.
➢ Permitir aprender a conjeturar.
➢ Permitir aprender a comprobar.
➢ Advertir que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de
problemas futuros.
➢ No mostrar todo el secreto a la primera: dejar que los estudiantes hagan las conjeturas antes.
➢ Sugerir; no obligar que lo traguen a la fuerza.
1.4.2 Finalidad del método de Pólya
Polya (1945) Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos
parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un
ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un
problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no
24
había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso creativo
en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio.
Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del
estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede
ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria
responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le
toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta
sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir 94 ÷ 16".
Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender
conceptos, propiedades y procedimientos entre otras cosas, los cuales podremos aplicar cuando
nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas.
1.4.3 Etapas del método de Pólya
Según Pólya et al. (1945) advirtió que para entender una teoría o describir un problema
relacionado, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el
proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para
involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes
cuatro pasos:
Paso 1: Entender el Problema.
• ¿Entiendes todo lo que dice?
• ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
• ¿Distingues cuáles son los datos?
• ¿Sabes a qué quieres llegar?
25
• ¿Hay suficiente información?
• ¿Hay información extraña?
• ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio
ingenioso que conduce a un final).
• Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
• Usar una variable.
• Buscar un Patrón
• Hacer una lista.
• Resolver un problema similar más simple.
• Hacer una figura.
• Hacer un diagrama
• Usar razonamiento directo.
• Usar razonamiento indirecto.
• Usar las propiedades de los números.
• Resolver un problema equivalente.
• Trabajar hacia atrás.
• Usar casos
• Resolver una ecuación
• Buscar una fórmula.
26
• Hacer una simulación
• Usar un modelo.
• Usar análisis dimensional.
• Identificar sub-metas.
• Usar coordenadas.
• Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan.
• Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o
hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
• Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una
sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco"
cuando menos lo esperes!).
• No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva
estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás.
• ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
• ¿Adviertes una solución más sencilla?
• ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así,
para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la
que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta.
27
Este proceso lo podemos representar como sigue:
Figura No. 1 sobre los paso de Pólya
Hernández y Villalba. (México, 1994)
1.4.4 Actitudes para aplicar el método de Pólya
Además del Método de Cuatro Pasos de Pólya nos parece oportuno presentar en este apartado
una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:
➢ Acepta el reto de resolver el problema.
➢ Rescribe el problema en tus propias palabras.
➢ Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
➢ Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias.
➢ Si es apropiado, trata el problema con números simples.
➢ Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes
en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
➢ Analiza el problema desde varios ángulos.
➢ Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar
28
➢ Muchos problemas se pueden resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una
para tener éxito.
➢ No tengas miedo de hacer cambios en las estrategias.
➢ La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaja con montones de ellos, tu
confianza crecerá.
➢ Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que
realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o
tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo
de solución.
➢ Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en
tu solución.
➢ Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas
entenderla si la lees 10 años después.
➢ Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda
para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.
➢ ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa. Según Hernández y
Villalba G, (1994)
1.4.5 Efecto del método de Pólya
El método de Pólya influye como estrategia para resolución de problemas de ecuaciones lineales
con una incógnita en los estudiantes en el área de Matemática, ya que permite la participación
del alumno, favorece la discusión, fomenta el análisis crítico, el trabajo cooperativo, además
lleva al alumno a integrar los conocimientos nuevos a los ya adquiridos, favoreciendo el
29
enriquecimiento de la comprensión y por ende un mejor aprovechamiento de las capacidades
personales para la vida del individuo y de su colectivo.
1.4.6 Aplicación del método de Pólya en las ecuaciones lineales
Según Stewart, Redlin, y Watson (2013) menciona que muchos de los problemas de las ciencias,
economía, finanzas, medicina y otros numerosos campos se pueden traducir a problemas de
álgebra, esta es la razón por la que el álgebra es tan útil en las ecuaciones como modelos
matemáticos para resolver problemas de la vida cotidiana.
Es por ello que se pueden aplicar los modelos matemáticos para plantear y resolver ecuaciones
que modelen situaciones formuladas en palabras, en la cual puede usarse en la aplicación de
resolución de problemas de números, edades, mezclas, monedas, geometría plana y entre otras.
A continuación, se ejemplifica el planteamiento y resolución de los problemas de ecuaciones
lineales siguiendo los cuatro pasos de Pólya.
Ejemplo sobre edades:
Hace dos años John tenía cinco veces la edad de Bill. Ahora es 8 años mayor que él. Encuentre la
edad actual de John.
Paso 1: Entender el Problema.
Lea el problema cuidadosamente y si es necesario lea de nuevo el problema e identifique una
cantidad desconocida que se necesite hallar o si es posible, trace un diagrama asigne una
variable, digamos x, que represente la cantidad desconocida, represente cualquier otra cantidad
que haya en el problema en términos de x.
La cantidad desconocida por determinar es la edad actual de John, entonces asignamos
30
𝑥 = edad actual de John
Luego representamos las otras cantidades del problema en términos de x:
𝑥 − 8 = edad actual de Bill
𝑥 − 2 = edad de J𝑜ℎ𝑛 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑎ñ𝑜𝑠
(𝑥 − 8) − 2 = x − 10 = edad de J𝑜ℎ𝑛 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑎ñ𝑜𝑠
Quizá resulte útil presentar la información en una tabla como ésta:
Edad actual Edad hace dos años
John 𝑥 𝑥 − 2
Bill 𝑥 − 8 x − 10
Paso 2: Configurar un Plan.
Plantee las estrategias posibles para resolver el problema y seleccionar la más adecuada
escribiendo una ecuación que exprese con precisión la relación descrita en el problema.
𝑥 − 2 = 5(x − 10)
Paso 3: Ejecutar el Plan.
Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o
hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso y monitorear todo el proceso de
solución.
𝑥 − 2 = 5(x − 10)
𝑥 − 2 = 5x − 50
5𝑥 − 50 = x − 2
5𝑥 − 𝑥 = −2 + 50
4𝑥 = 48
31
𝑥 =48
4
𝑥 = 12
Entonces, la edad actual de John es 12.
Paso 4: Mirar hacia atrás.
Compruebe que su respuesta concuerde con todas las condiciones planteadas en el problema.
Cerciorarse si la solución es correcta, si es lógica y si es necesario, analizar otros caminos de
solución.
Si John tiene ahora 12 años, Bill debe tener 4. Hace dos años John tenía 10 y Bill 2. Como 10 =
5(2), la respuesta es correcta.
32
II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El rendimiento académico en el área de Matemáticas según el Programa Internacional para la
Evaluación de estudiantes o informe PISA (2012), revela que los países latinoamericanos ocupan
los últimos puestos de 62 países, lo que significa un nivel muy bajo en el aprendizaje de las
matemáticas. Mientras que según informes de la Organización de las Naciones Unidas para la
Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO, 2009), de dieciséis países, Guatemala ocupa el
penúltimo puesto en el rendimiento.
El Ministerio de Educación de Guatemala (2017) a través de la Dirección General de
Evaluación e Investigación Educativa (DIGEDUCA), evalúa las áreas de matemática y lenguaje,
publicando los resultados obtenidos a principios de cada año en el informe de resultados de la
evaluación de graduandos, indicando que para los estudiantes del último año de secundaria los
resultados de logros son bajos principalmente en la resolución de problemas. Según informes
recientes denominados, “Resultados Generales de Evaluación Educativa” los que corresponden a
la evaluación de graduandos en el 2016, indica que los resultados de logro en matemática a nivel
nacional son de 9.01%, mientras que los datos publicados para tercero básico en 2013, arrojan
que los resultados de logro en matemática son del 18%, mientras tanto los resultados obtenidos
de tercero y sexto grado del nivel primario fueron 40.47% y 44.47%. A nivel departamental
estos han sido los resultados durante los últimos seis años en el área de matemática resultados de
la evaluación a estudiantes del último año del Ciclo Diversificado del Nivel de Educación Media:
2011, 4.62%; 2012, 3.97%; 2013, 4.11%; 2014, 4.7%; 2015, 4.74% y en 2016, 6.29%.
33
Según Flotts et al. (2015) en el estudio de Aportes para la enseñanza de la matemática,
realizado por la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura
UNESCO sólo 36% de alumnos de primaria en Latinoamérica pueden resolver problemas
matemáticos donde Chile obtiene los mejores resultados de la región.
La matemática está presente en toda la actividad humana, en el área de las superficies, en el
volumen de los cuerpos, en el peso de las cosas, en el tiempo que transcurre, forma parte de su
patrimonio y está ligada a sus grandes creaciones, así mismo constituye uno de los hilos
conductores de su historia y de su pensamiento, el conocimiento de ella y su aplicación en
actividades cotidianas le permite desenvolverse de una mejor manera en su entorno, sin la
matemática la vida tendría otro sentido, el desarrollo acelerado de la tecnología, la comunicación
y los avances científicos se deben a ella, por consiguiente el ser humano no puede apartarse de
toda esta realidad, y le corresponde prepararse en esta área del saber.
La resolución de problemas, específicamente en el campo de la matemática, ha sido objeto de
interés por las diferentes corrientes del pensamiento que han dominado la teoría y la práctica
educativa. Durante muchos años, el enfoque asociacionista enfatizó los principios generales del
aprendizaje, particularmente la ley del efecto y la ley del ejercicio. Tanto la ejercitación como la
práctica han tenido un papel fundamental en la historia de la enseñanza de la matemática,
especialmente, en la aritmética. En un momento fue el medio principal de instrucción; sin
embargo, hoy en día, ambas forman parte del currículo de matemática, aunque acompañadas de
experiencias concretas y explicaciones de los principios matemáticos subyacentes.
34
Desde el punto de vista del enfoque cognoscitivo; sin embargo, se ha enfatizado el papel del
razonamiento que permite al sujeto que resuelve el problema, comprenderlo, diseñar un plan,
llevarlo a cabo y supervisarlo Mayer Maribel (como se citó Maribel, 1992). Este enfoque, según
Maribel (como se citó Schoenfeld, 1985), representa un cambio de énfasis en la enseñanza de la
matemática ya que en vez de preguntar “¿cuáles procedimientos debe dominar el aprendiz?”, la
pregunta debe ser: “¿qué significa pensar matemáticamente?”. En vez de enfatizarse el producto
de la resolución del problema (obtener un resultado correcto), este enfoque sugiere enfatizar el
proceso de resolución (qué sucede en la mente del estudiante)
Ante tal situación es importante revisar una metodología que facilite al docente, orientar a los
alumnos para que de manera ordenada y propositivamente se encaminen a ejercitarse para la
resolución de problemas. Por consiguiente, se plantea la siguiente pregunta de investigación:
¿Qué influencia tiene la aplicación del método de Pólya, como estrategia para resolución de
problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de Matemática?
35
2.1 Objetivo general
Determinar la influencia que tiene la aplicación del método de Pólya, como estrategia para la
resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de
Matemática.
2.2 Hipótesis
2.2.1 Hipótesis de investigación
Ho. La aplicación del método de Pólya, no influye como estrategia en la resolución de problemas
de ecuaciones lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de Matemática.
Ha. La aplicación del método de Pólya, influye como estrategia en la resolución de problemas de
ecuaciones lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de Matemática
2.2.2 Hipótesis nulas y alternas.
Ho1 No existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya,
como estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la pre
prueba al comparar el grupo control y experimental.
Ha1 Existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya, como
estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la pre
prueba al comparar el grupo control y experimental
36
Ho2 No existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya,
como estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la
post prueba al comparar el grupo control y experimental.
Ha2 existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya, como
estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la post
prueba al comparar el grupo control y experimental.
Ho3 No existe diferencia estadísticamente significativa, en la estrategia en la resolución de
problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en el grupo control al comparar los
resultados del pre prueba y post prueba.
Ha3 Existe diferencia estadísticamente significativa, en la estrategia en la resolución de
problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en el grupo control al comparar los
resultados del pre prueba y post prueba.
Ho4 No existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya,
como estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en el
grupo experimental al comparar los resultados del pre prueba y post prueba.
Ha4 Existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya, como
estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en el grupo
experimental al comparar los resultados del pre prueba y post prueba.
37
2.3 Variables
2.3.1 Definición conceptual de Variables.
Variable independiente
Aplicación del método de Pólya.
Ibarra (2006) define que el método Pólya es un método general basado en cuatro sencillos pasos;
entender el problema, configurar el plan, ejecutar el plan y mirar hacia atrás.
Variable dependiente
Resolución de problemas de ecuaciones lineales.
Santos (2007) define que la resolución de problemas es la fase que supone la conclusión de un
proceso más amplio que tiene como pasos previos la identificación del problema y su modelado.
La resolución de problemas reside principalmente en dos áreas: la resolución de problemas
matemáticos y la resolución de problemas personales, en los que se presenta algún tipo de
obstáculo a su resolución.
2.3.2 Definición operacional de variables
Aplicación del método de Pólya.
La aplicación del método de Pólya permite la participación del alumno, favorece la discusión,
fomenta el análisis crítico, el trabajo cooperativo, la práctica de valores humanos y la
comprensión, lo que promueve la construcción y fortalecimiento del propio carácter. Según los
siguientes pasos:
• Entender el problema
• Diseñar un plan
• Ejecutar el plan
• Examinar la solución
38
Resolución de problemas de ecuaciones lineales.
Después de incluir los pasos se incluyen los contenidos.
• Problemas sobre números
• Problemas sobre edades
• Problemas sobre mezclas
• Problemas sobre monedas
• Problemas de aplicación a la geometría plana
2.4 Alcances y límites
El presente estudio se realizó con estudiantes de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del
Centro Don Bosco de San Pedro Carcha, departamento de Alta Verapaz, con el propósito de
determinar la influencia que tiene la aplicación del Método de Pólya, como estrategia para la
resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita de los estudiantes en el área de
matemática.
Se tomó únicamente dos secciones A y B en una se aplicó el método de Pólya propuesto y en la
otra no. En la sección “A” se aplicó los cuatro pasos del Método de Pólya, para problemas de
ecuación de lineales con una incógnita.
Dadas las características de los grupos los resultados representaron a los mismos y pueden
generalizarse a otros grupos con características similares.
2.5 Aportes.
Plantear a los docentes del área de matemática del ciclo diversificado la importancia de
implementar el Método de Pólya en la resolución de problemas en el área de matemática, ya que
el método ayuda en la concentración, la capacidad de razonar, la integración y participación
39
activa, para el mejoramiento del nivel académico significativo a partir de dicho método y con el
objetivo de entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y mirar hacia atrás para el
mejoramiento hacia las matemáticas.
Ya que es necesario en la resolución de problemas matemáticos a través del método Pólya para
erradicar la concepción de la matemática como un área aburrida y difícil. Se debe tomar
conciencia acerca de la problemática vivida en torno a este tema, pero también es necesario
tomar las medidas necesarias para lograr el mejoramiento en el proceso de enseñanza
aprendizaje.
40
III. MÉTODO
3.1 Sujetos
En la investigación se trabajó con una población constituida en un grupo experimental y otra de
control, ambos son grupos intactos, es decir integrados previos al experimento, conformados por
estudiantes inscritos en la carrera de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras, del Centro
Educativo Don Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, durante el ciclo escolar 2017. El grupo
control estaba conformado por 31 estudiantes y el grupo experimental con 31, ambos grupos de
estudiantes oscilan entre las edades de 15 a 18 años, todos son hombres y provenientes del área
rural.
3.2 Instrumento
El instrumento fue una prueba con 10 reactivos del tipo selección múltiple, que exploró el
aprendizaje de contenidos y habilidades según la taxonomía de Marzano, para el efecto se
construyó en base de una tabla de especificaciones y fue validada mediante el juicio de expertos.
En el anexo se incluyó la ficha técnica y el instrumento que se aplicó antes y después del proceso
didáctico.
41
Para ilustración se incluyó el siguiente cuadro:
Tabla de especificaciones para construir la prueba de conocimientos sobre ecuaciones
lineales con una incógnita en 4º. Bachillerato.
CONTENIDO DESCRIPCIÓN NO. DE
CLASE
PESO
RELATIVO %
No. DE
ÍTEMS
TEMAS
I Problemas sobre números 4 1
27 3
II Problemas sobre edades 3 20 2
III Problemas sobre mezclas 2 3
13 1
IV Problemas sobre monedas 3 20 2
V Problemas de aplicación a la
geometría plana 3 2 20 2
Total 15 100 10
Tabla de especificaciones sobre problemas de aplicación de ecuaciones lineales con una
incógnita.
Tabla del sistema de cognición para construir la prueba de conocimientos sobre ecuaciones
lineales con una incógnita en 4º. Bachillerato.
DISTRIBUCIÓN DE LOS REACTIVOS / PREGUNTAS.
Nivel de asimilación de la
actividad cognoscitivo
Temas/competencias
No. De ITEMS
reactivos por nivel %
I II III IV V
I Recuerdo 1 0 0 1 0 2 20
II Comprensión 1 1 0 0 1 3 30
III Aplicación 1 1 1 1 1 5 50
Totales 3 2 1 2 2 10 100
Tabla Sistema de cognición sobre problemas de aplicación de ecuaciones lineales con una
incógnita.
42
3.3 Procedimientos a seguir:
En esta investigación se cubrió las siguientes etapas:
✓ Contacto con el centro educativo.
✓ Selección del tema de investigación.
✓ Elaboración del perfil.
✓ Planteamiento del problema.
✓ Elaboración de la pregunta de investigación.
✓ Formulación del objetivo general.
✓ Formulación de las hipótesis alternas y nulas.
✓ Definición de las variables.
✓ Análisis de estudios relacionados con el tema.
✓ Establecimiento de metodología de la investigación.
✓ Elaboración de instrumentos de investigación.
✓ Planificación didáctica del experimento.
✓ Aplicación de la preprueba tanto para el grupo control como al experimental.
✓ Desarrollo del experimento en el grupo experimental.
✓ Tabulación de datos.
✓ Discusión de resultados.
✓ Conclusiones y recomendaciones.
✓ Elaboración de Propuesta.
43
3.4 Tipo de investigación, diseño y metodología estadística
La presente investigación es de tipo cuantitativo según Hernández y Batista (2014) “utiliza la
recolección de datos para probar hipótesis con base en la medición numérica y el análisis
estadístico, con el fin establecer pautas de comportamiento y probar teorías” (p. 4)
Esta investigación tuvo un diseño cuasi-experimental, con un grupo control y un grupo
experimental donde se aplicó una pre prueba y post prueba, dichos grupos ya están intactos, tal
como menciona Hernández et al. (2014) menciona “que los diseños cuasi-experimentales, los
sujetos no se asignan al azar a los grupos ni se emparejan, sino que dichos grupos ya están
conformados antes del experimento: son grupos intactos” (p. 151)
Para ilustración se incluyó el siguiente cuadro:
Muestra
grupo Pre prueba Estimulo Post prueba
IG1 O1 X O2
IG2 O3 NO O4
Pruebas de conocimientos en la
resolución de problemas de
ecuaciones lineales con una incógnita
Pruebas de conocimientos en la resolución de problemas de
ecuaciones lineales con una
incógnita
Hernández y Batista (México, 2014)
La metodología estadística es descriptiva se utilizó la t de Student, según Hernández et al. (2014)
se utilizó para “comparar los resultados de una pre prueba con los resultados de una post prueba
en un contexto experimental en donde se comparan las medias y las varianzas del grupo en dos
momentos diferentes de dos grupos que participan en un experimento y sirve para establecer la
prueba de hipótesis sobre la diferencia entre dos medias y determinar si se acepta o se rechaza la
hipótesis” (p. 310).
44
IV PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADO
En esta investigación los resultados que se obtuvieron atreves del trabajo de campo, realizado
con los estudiantes de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del Centro Don Bosco de San
Pedro Carcha, departamento de Alta Verapaz, consistió en una pre prueba y post prueba para un
grupo control y experimental, que se relaciona con la utilización del Método de Polya en la
resolución de las ecuaciones lineales con una incógnita y su importancia en el aprendizaje.
.
La pre prueba y la post prueba se llevaron a cabo por medio de la aplicación de una prueba con
10 reactivos de selección múltiple, donde se obtuvo los siguientes resultados:
Tabla No. 1: Resultado del pre prueba del grupo control
Nota
obtenida
Cantidad
de sujetos
Porcentaje
sobre 100
puntos
Porcentaje que
representa de la
muestra
Estadística
Descriptiva
20 3 20 % 10 % Muestra 31
Media 47.74
Varianza 211.40
Desviación
Típica 14.54
Mediana 50.00
Moda 50 y 60
30 3 30 % 10 %
40 6 40 % 19 %
50 8 50 % 26 %
60 8 60 % 26 %
70 3 70 % 09 %
Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “B” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del Centro Don
Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
En la tabla No. 1 se observa que del total de estudiantes evaluados un 10% obtuvo una nota de 20
puntos, un 10% 30 puntos, el 19% 40 puntos, el 26% 50 puntos, el 26% 60 y un 9% obtuvo nota
de 70 puntos en la pre prueba en el grupo control. Se observa una media de 47.74 puntos y una
desviación de 14.54 puntos; esto refleja que los estudiantes presentan bajo nivel de conocimiento
del tema.
45
Tabla No. 2: resultado del post prueba del grupo control
Nota
obtenida
Cantidad
de sujetos
Porcentaje
sobre 100
puntos
Porcentaje que
representa de la
muestra
Estadística
Descriptiva
40 6 40 % 19 % Muestra 31
Media 52.90
Varianza 74.62
Desviación
Típica 8.64
Mediana 50
Moda 50
50 12 50 % 39 %
60 11 60 % 36 %
70 2 70 % 6 %
Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “B” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del Centro Don
Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
En la tabla No. 2 se observa que del total de estudiantes evaluados un 19% obtuvo una nota de 40
puntos, un 39% 50 puntos, el 36% 60 puntos y un 6% 70 puntos en la pre prueba en el grupo
control. Se observa una media de 52.90 puntos y una desviación de 8.64 puntos. Esto refleja
mejoría utilizando la metodología tradicional, generando una diferencia positiva de + 5.16
puntos entre las medias en la pre y post prueba en el grupo control.
Tabla No. 3: Resultado de la pre prueba del grupo experimental.
Nota
obtenida
Cantidad
de sujetos
Porcentaje
sobre 100
puntos
Porcentaje que
representa de la
muestra
Estadística
Descriptiva
30 4 30 % 13 % Muestra 31
Media 51.94
Varianza 122.80
Desviación
Típica 11.08
Mediana 50.00
Moda 60
40 2 40 % 6 %
50 11 50 % 36 %
60 12 60 % 39 %
70 2 70 % 6 %
Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “A” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del Centro Don
Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
En la tabla No. 3 se observa que del total de estudiantes evaluados un 13% obtuvo una nota de 30
puntos, un 6% 40 puntos, el 36% 50 puntos, el 39% 60 puntos y un 6% una nota de 70 puntos en
la pre prueba en el grupo experimental. Se observa una media de 51.94 puntos y una desviación
de 11.08 puntos. Esto refleja que los estudiantes presentan bajo nivel de conocimiento del tema.
46
Tabla No. 4: resultado de la post prueba del grupo experimental.
Nota
obtenida
Cantidad
de sujetos
Porcentaje
sobre 100
puntos
Porcentaje que
representa de la
muestra
Estadística
Descriptiva
50 10 50 % 32 % Muestra 31
Media 61.61
Varianza 107.31
Desviación
Típica 10.36
Mediana 60
Moda 50 y 60
60 10 60 % 32 %
70 7 70 % 23 %
80 4 80 % 13 % Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “A” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del Centro Don
Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
En la tabla No. 4 se observa que del total de estudiantes evaluados un 32% obtuvo una nota de 50
puntos, un 32% 60 puntos, el 23% 70 puntos y un 13% 80 puntos en la pre prueba en el grupo
control. Se observa una media de 61.61 puntos y una desviación de 10.36 puntos. Esto refleja
una diferencia de + 9.67 puntos entre las medias de la pre y post prueba en el grupo
experimental, mostrando una mejoría utilizando la metodología de Pólya y es bastante
significativo el logro alcanzado.
47
Análisis de resultados por medio de la estadística inferencial
Tabla No. 5: Resultados de la pre prueba aplicados al grupo control y experimental.
Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “A” y “B” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del
Centro Don Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
Interpretación: En la prueba z para medias de dos muestras, se obtuvo los resultados que se
observan en la tabla No. 5, en donde para la pre prueba del grupo experimental se obtuvo una
media de 51.94 y en la pre prueba del grupo control la media fue de 47.74, se puede inferir que
no existe una diferencia significativa entre ellas. Por lo que se puede observar que el estimador z
= 1.28 es menor que el valor crítico de (dos colas) 1.96, está dentro de la región de aceptación
de la hipótesis nula, por consiguiente se rechaza la hipótesis alterna y se acepta la hipótesis nula
que dice: no existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya,
como estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la pre
prueba al comparar el grupo control y experimental. Esto significa que ninguno de los dos
grupos aplica el método del Pólya en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una
incógnita.
Prueba z para medias de dos muestras
Grupo
Experimental
4to. A
Grupo Control
4to. B
Media 51.94 47.74
Varianza (conocida) 122.80 211.40
Observaciones 31 31
Diferencia hipotética de las medias 0
Estimador z 1.28
Valor crítico de z (dos colas) 1.96
48
Grafica No. 1: Resultados de pre prueba aplicados al grupo control y experimental.
Región de aceptación Ho
Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “A” y “B” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del
Centro Don Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
Interpretación: En la gráfica No. 5, prueba z para medias de dos muestras, entre el pre prueba
del grupo experimental y pre prueba del grupo control se presenta la curva y el estimador z =
1.28 es menor que el valor crítico de (dos colas) 1.96, por lo que está dentro de la región de
aceptación de la hipótesis nula, por consiguiente se acepta la hipótesis nula y se rechaza la
hipótesis alterna, este dato reflejo que los dos grupos no tenían conocimiento del tema y del
método de Pólya en la resolución de problemas matemáticos.
95%
Región de
aceptación Ha
Región de
aceptación Ha
z= 1.28
- 1.96 1.96
Región de
aceptación Ho
49
Tabla No. 6: Resultados de post-prueba aplicados al grupo control y experimental.
Prueba z para medias de dos muestras
Grupo
Experimental
4to. A
Grupo Control
4to. B
Media 61.61 52.90
Varianza (conocida) 107.31 74.62
Observaciones 31 31
Diferencia hipotética de las medias 0
Estimador z 3.60
Valor crítico de z (dos colas) 1.96 Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “A” y “B” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del
Centro Don Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
Interpretación: En la prueba z para medias de dos muestras, se obtuvo los resultados que se
observan en la tabla No. 6, en donde en el post prueba del grupo experimental se obtuvo una
media de 61.61 y en el post prueba del grupo control la media es de 52.90, se puede inferir que si
existe una diferencia significativa entre ellas. Por lo que se observó que el estimador z = 3.60 al
ser mayor que el valor crítico de (dos colas) 1.96, está dentro de la región de aceptación de la
hipótesis alterna, por consiguiente, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna,
que dice: existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya,
como estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la
post prueba al comparar el grupo control y experimental.
50
Grafica No. 2: Resultados de post-prueba aplicados al grupo control y experimental.
Región de aceptación Ha
Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “A” y “B” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del
Centro Don Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
Interpretación: En la gráfica No. 6, Prueba z para medias de dos muestras, entre el post prueba
del grupo experimental y post prueba del grupo control se presenta la curva y el estimador z =
3.60 al ser mayor que el valor crítico de (dos colas) 1.96, y estar dentro de la región de
aceptación de la hipótesis alterna, por consiguiente, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la
hipótesis alterna, este dato reflejo que en los dos grupos se trabajaron con distintas metodologías
uno con la tradicional y la otra con el método de Pólya, demostrando que el Método Pólya incide
favorablemente en el aprendizaje en la resolución de ecuaciones lineales con una incógnita.
95%
Región de
aceptación Ha Región de
aceptación Ha
z = 3.60
- 1.96 1.96
Región de
aceptación Ho
51
Tabla No. 7: Resultados de pre-prueba y post-prueba aplicados al grupo control
Prueba t para medias de dos muestras emparejadas
Pre Prueba
4to. B
Post Prueba
4to. B
Media 47.74 52.90
Varianza 211.40 74.62
Observaciones 31 31
Grados de libertad 30
Estadístico t -3.97
Valor crítico de t (dos colas) 2.04 Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “B” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del Centro Don
Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
Interpretación: En la Prueba t para medias de dos muestras emparejadas, se obtuvo los
resultados que se señala en la tabla No. 7, en donde el grupo control en la pre prueba se obtuvo
una media de 47.74 y en el post prueba la media es de 52.90, se puede inferir que existe una
diferencia significativa entre ellas, por lo que se observó que el estimador t = -3.97 al ser menor
que el valor crítico de (dos colas) 2.04, está dentro de la región de aceptación de la hipótesis
alterna, por consiguiente, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna., que dice:
existe diferencia estadísticamente significativa, en la estrategia en la resolución de problemas de
ecuaciones lineales con una incógnita en el grupo control al comparar los resultados del pre
prueba y post prueba.
52
Grafica No. 3 Resultados de pre-prueba y post-prueba aplicados al grupo control
Región de aceptación Ha
Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “B” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del Centro Don
Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
Interpretación: En la gráfica No. 7, En la Prueba t para medias de dos muestras emparejadas,
entre el pre y pos prueba se presenta que el estimador t = -3.97 al ser menor que el valor crítico
de (dos colas) 2.04, y estar dentro de la región de aceptación de la hipótesis alterna, por
consiguiente, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna, este dato reflejo que
cualquier metodología principalmente el método tradicional es viable para la enseñanza pero no
se logra alcanzar las competencias deseadas en la resolución de problemas en el área de
matemática.
95%
Región de
aceptación Ha
Región de
aceptación Ha
t = -3.97
- 2.04 2.04
Región de
aceptación Ho
53
Tabla No. 8 Resultados de pre-prueba y post-prueba aplicados al grupo experimental
Prueba t para medias de dos muestras emparejadas
Pre prueba
4to. A
Post prueba
4to. A
Media 51.94 61.61
Varianza 122.80 107.31
Observaciones 31 31
Grados de libertad 30
Estadístico t -8.20
Valor crítico de t (dos colas) 2.04 Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “A” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del Centro Don
Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
Interpretación: En la Prueba t para medias de dos muestras emparejadas, se obtuvo los
resultados que se señala en la tabla No. 8, en donde el grupo experimental se obtuvo una media
en el pre prueba de 51.94 y en el post prueba la media es de 61.61, se puedo inferir que existe
una diferencia significativa entre ellas. Por lo que se observó que el estimador t = -8.20 es menor
que el valor crítico de (dos colas) 2.04, está dentro de la región de aceptación de la hipótesis
alterna, por consiguiente, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna, que dice:
existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya, como
estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en el grupo
experimental al comparar los resultados del pre prueba y post prueba.
54
Grafica No. 4 Resultados de pre-prueba y post-prueba aplicados al grupo experimental
Región de aceptación Ha
Fuente: Trabajo de campo realizado en la sección “A” de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras del Centro Don
Bosco, San Pedro Carcha, Alta Verapaz, 2017.
Interpretación: En la gráfica No. 8, Prueba t para medias de dos muestras emparejadas, entre el pre y pos
prueba del grupo experimental se presenta la curva que el estimador t = -8.20 al ser menor que el valor
crítico de (dos colas) 2.04, y estar dentro de la región de aceptación de la hipótesis alterna, por
consiguiente, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna, este dato reflejo evolución de
los estudiantes al aplicar el método de Pólya como una estrategia metodológica en la resolución de
problemas matemáticos.
95%
Región de
aceptación Ha
Región de
aceptación Ha
t = -8.20
- 2.04 2.04
Región de
aceptación Ho
55
IV. DISCUSIÓN
El interés al realizar este estudio surge de la importancia que tienen las matemáticas, como parte
del conocimiento humano y que el estudiante desarrolle habilidades lógicas y de análisis que
permitan enfrentarse a las circunstancias que suceden continuamente; por tal razón las dinámicas
del proceso de enseñanza aprendizaje deben ser factores que favorezcan la construcción del saber
y la capacidad de resolver problemas que la vida cotidianamente presenta.
En relación a la primera hipótesis Ho no existe diferencia estadísticamente significativa en la
aplicación del método de Pólya, como estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones
lineales con una incógnita en la pre prueba al comparar el grupo control y experimental y Ha
existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya, como
estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la pre
prueba al comparar el grupo control y experimental, a partir de los datos estadísticos en la prueba
z para medias de dos muestras, se obtuvieron los resultados en donde la pre prueba del grupo
experimental obtuvo una media de 51.94 y en la pre prueba del grupo control la media es de
47.74, esto da una diferencia de 4.20 entre las medias, y además el estimador z = 1.28 es menor
que el valor crítico de (dos colas) 1.96, por lo que está dentro de la región de aceptación de la
hipótesis nula, este dato reflejó que los dos grupos no tenían conocimiento del tema y del método
de Pólya, reflejando que no existe una diferencia significativa entre ellas, en tal sentido que se
rechaza la hipótesis alterna y se acepta la hipótesis nula, que dice: no existe diferencia
estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya, como estrategia en la
resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la pre prueba al comparar el
grupo control y experimental.
56
Por lo tanto en la segunda hipótesis Ho no existe diferencia estadísticamente significativa en la
aplicación del método de Pólya, como estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones
lineales con una incógnita en la post prueba al comparar el grupo control y experimental y Ha
existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya, como
estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la post
prueba al comparar el grupo control y experimental, a partir de los datos estadísticos en la prueba
z para medias de dos muestras, se obtuvieron los resultados en donde en el post prueba del grupo
experimental se obtuvo una media de 61.61 y en el post prueba del grupo control la media es de
52.90, esto da una diferencia de 8.71 entre las medias, y además el estimador z = 3.60 al ser
mayor que el valor crítico de (dos colas) 1.96, y estar dentro de la región de aceptación de la
hipótesis alterna, este dato reflejo que en los dos grupos se trabajaron con distintas metodologías
uno con la tradicional y la otra con el método de Pólya, demostrando que el Método Pólya incide
favorablemente en el aprendizaje en la resolución de ecuaciones lineales con una incógnita,
reflejando que si existe una diferencia significativa entre ellas, en tal sentido que se rechaza la
hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna, que dice: existe diferencia estadísticamente
significativa en la aplicación del método de Pólya, como estrategia en la resolución de problemas
de ecuaciones lineales con una incógnita en la post prueba al comparar el grupo control y
experimental
Cortés et al. (2007) Menciona dos factores que inciden en el aprendizaje de los estudiantes en la
resolución de las aplicaciones de las ecuaciones lineales con una incógnita son la metodología a
utilizar y la motivación del docente, las cuales dan una dinámica diferente al proceso; el método
57
de Polya brinda esta oportunidad, puesto que permite tomar problemas muy sencillos y
complejos y darles solución.
Sin embargo la tercera hipótesis Ho no existe diferencia estadísticamente significativa, en la
estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en el grupo
control al comparar los resultados del pre prueba y post prueba y Ha existe diferencia
estadísticamente significativa, en la estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones
lineales con una incógnita en el grupo control al comparar los resultados del pre prueba y post
prueba, a partir de los datos estadísticos en donde el grupo control en la pre prueba se obtuvo una
media de 47.74 y en el post prueba la media es de 52.90, esto da una diferencia de 5.16 entre las
medias, y además el estadístico t = -3.97 al ser menor que el valor crítico de (dos colas) 2.04, y
estar dentro de la región de aceptación de la hipótesis alterna, este dato reflejo que cualquier
metodología principalmente el método tradicional es viable para la enseñanza pero no se logra
alcanzar las competencias deseadas en la resolución de problemas en el área de matemática,
reflejando que existe una diferencia significativa entre ellas, en tal sentido que se rechaza la
hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna, que dice: existe diferencia estadísticamente
significativa, en la estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una
incógnita en el grupo control al comparar los resultados del pre prueba y post prueba.
Tal como lo menciona Cortés et al. (2007) Considera que el modelo de Pólya es una estrategia
pedagógica que persigue lograr un aprendizaje en la resolución de problemas ya que activa y
mejora la acción del pensamiento de los estudiantes, lo que permite no ser usuario del
conocimiento sino más bien buscarlo.
58
Coincidiendo con Escalante (2007) menciona que es una metodología fundamental, el método de
Pólya en la enseñanza aprendizaje de la matemática para facilitar la resolución de problemas
matemáticos en los estudiantes al emplear el pensamiento de una forma ordenada y sistemática
que les permita reconocer, plantear y resolver problemas.
Por consiguiente la cuarta hipótesis Ho no existe diferencia estadísticamente significativa en la
aplicación del método de Pólya, como estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones
lineales con una incógnita en el grupo experimental al comparar los resultados del pre prueba y
post prueba y Ha existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de
Pólya, como estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita
en el grupo experimental al comparar los resultados del pre prueba y post prueba, a partir de los
datos estadísticos en la Prueba t para medias de dos muestras emparejadas, las pruebas aplicadas
en el pre prueba del grupo experimental se obtuvo una media de 51.94 y en el post prueba de
dicho grupo la media es de 61.61, esto da una diferencia de 9.67 entre las medias, y además el
estadístico t = -8.20 al ser menor que el valor crítico de (dos colas) 2.04, y estar dentro de la
región de aceptación de la hipótesis alterna, este dato refleja evolución de los estudiantes al
aplicar el método de Pólya como una estrategia metodológica en la resolución de problemas
matemáticos, por lo tanto el dato refleja que si existe una diferencia significativa entre ellas, en
tal sentido que se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna, por tal razón se dice:
existe diferencia estadísticamente significativa en la aplicación del método de Pólya, como
estrategia en la resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en el grupo
experimental al comparar los resultados del pre prueba y post prueba.
59
En este sentido Escalante (2015) Considera que llevar al estudiante a modelar o trasladar un
enunciado descrito en palabra a un lenguaje algebraico representan la complejidad para él, puesto
que no es fácil de identificar, analizar e interpretar las variables que se necesiten y que se
relacionen con otra cuyas soluciones sean satisfactorias a las condiciones del problema,
representa la dificultad y el desafío para aquellos que realmente se interesan, el objetivo principal
en matemática es analizar e interpretar los resultados del planteamiento de un problema y con el
apoyo del método Pólya se evidencia el aprendizaje de los estudiantes.
60
V. CONCLUSIONES
1. Se concluye que no existe diferencia estadísticamente significativa del método de Pólya en la
resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la pre prueba al comparar el
grupo control y experimental ya que se obtuvo una media de 51.94 y en el pre prueba del grupo
control la media es de 47.74, generando una diferencia de 4.20 puntos entre las medias, por lo
que se puede inferir que no existe una diferencia significativa entre ellas, en tal sentido que se
acepta la hipótesis nula.
2. El método de Pólya influye como estrategia para resolución de problemas de ecuaciones lineales
con una incógnita en los estudiantes en el área de Matemática, ya que permite la participación
del alumno, favorece la discusión, fomenta el análisis crítico, el trabajo cooperativo, la práctica
de valores humanos y la comprensión, lo que promueve la construcción y fortalecimiento del
propio carácter, debido que el grupo experimental obtuvo una media de 61.61 y el grupo control
la media es de 52.90, mostrando una diferencia de 8.71 puntos entre las media.
3. El método tradicional enfatiza la formación del carácter de los estudiantes para moldear a través
de la voluntad, la virtud, el rigor de la disciplina, el ideal humanista y ético, ya que los
conocimientos son transmitidos de forma vertical y son adquiridos con poco margen para los
estudiantes. Esto implica que le método tradicional es viable para la enseñanza pero no se logra
alcanzar las competencias deseadas, debido que se obtuvo en el grupo control una media de
47.74 en la pre prueba y en el post prueba la media es de 52.90.
61
4. La utilización y enseñanza del método Pólya, como estrategia para resolución de problemas de
ecuaciones lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de matemática permite la
participación del alumno, favorece la discusión, fomenta el análisis crítico, el trabajo
cooperativo, la práctica de valores humanos y la comprensión, lo que promueve la construcción y
fortalecimiento del propio carácter.
62
VI. RECOMENDACIONES
1. Al Centro Educativo Don Bosco que promueva la búsqueda de nuevas alternativas
metodológicas en la resolución de problemas de ecuaciones lineales, que sean principalmente
significativas y aplicables en la vida, similares a la aplicación del método Pólya, debido a que la
concepción que cada estudiante se forma de la matemática depende del modo en que la conocen
y usan los conocimientos matemáticos.
2. A los docentes se les recomienda utilizar el Método de Pólya especialmente las etapas, las cuales
son: entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y mirar hacia atrás, con el objetivo
del mejoramiento hacia la matemática, debido a que el Método de Pólya permite la participación
del alumno, favorece la discusión, fomenta el análisis crítico, el trabajo cooperativo, la práctica
de valores humanos y la comprensión, lo que promueve la construcción y fortalecimiento del
propio carácter.
3. Al docente de matemática se le recomienda utilizar el Método de Pólya en la resolución de
problemas en el área de matemática, ya que el método ayuda a los estudiantes en la
concentración, la capacidad de razonar, la integración y participación activa, para el
mejoramiento del nivel académico significativo a partir de dicho método.
4. Proponer al establecimiento principalmente a los docentes de matemática la utilización y
enseñanza del método Pólya, como estrategia para resolución de problemas de ecuaciones
lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de matemática, porque permite la
participación del alumno, favorece la discusión, fomenta el análisis crítico, el trabajo
cooperativo, la práctica de valores humanos y la comprensión, lo que promueve la construcción y
fortalecimiento del propio carácter.
63
VII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
(UPM), S. d. (2008). Aprendizaje Basado en Problemas. España.
Aguilar, A., Bravo, F., Gallegos, H., Cerón , M., y Reyes, R. (2009). Matemáticas simplificadas.
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Grado Octavo Del Instituto Francisco José De Caldas. Bogotá.
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Dávila, C. (2006). El Aprendizaje Basado en Problemas y Proyectos: Una Estrategia de
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Cercad de Lima. Universidad Ricardo Palma: Lima, Peru.
Dirección General de Evaluación e Investigación Educativa. (2017). GUATEMALA: María
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Flotts, M., Menzi, J., Jiménez, D., Abarzúa, A., Cayuman, C., y García , M. (2015). Tercer
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Gobran, A. (1990). Algebra Elemental. Estados Unidos de America: Iberoaméricana S.A. de
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Gómez. (2005). Aprendizaje Basado en Problemas (ABP): una innovación didáctica para la
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Grisales, B. (2012). Nivel de Desarrollo de las Competencias Matemáticas a Partir del Modelo
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Gutierrez , J. (2012). Estrategias de Enseñanza y Resolución de Problemas Matematicos según
la percepción de estudientes del cuarto grado de primaria de una Institución Educativa
Ventanilla. Universidad San Ignacio de Loyola: Lima, perú.
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Hernando, C. (2012). Aplicación del “Aprendizaje Basado en Problemas” en los estudios de
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Herrera, M. (2015). "Método ABP (Aprendizaje Basado en Problemas) y su Incidencia en el
Aprendizaje de Sistemas de Ecuaciones Lineales con 2 y 3 Variables. Guatemala,
Campus de Quetzaltenango.
Gutiérrez. J., Alarcón, G., Martínez, A., Piña, E. (2012). Aprendizaje Basado en Problemas: Un
camino de aprender a aprender. México: Colegio de Ciencias y Humanidades.
LOPEZ, J. (2014). Aprendizaje Significativo y Resolución de Problemas de Ecuaciones de
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Stewart, J., Redlin, L., y Watson, S. (2013). Precálculo Matemática para el Cálculo. México:
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Académico de los Estudiantes de Ingenieria Agroindustrial UCLA. Universidad de
California de los Ángeles (UCLA): Estados Unidos.
66
ANEXO
ASOCIACIÓN CENTRO EDUCATIVO “DON BOSCO”
SAN PEDRO CARCHA A. V.
EXAMEN DIAGNÓSTICO (PRE PRUEBA)
MATEMÁTICA I (ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA)
GRADO: CUARTO BACHILLERATO EN CIENCIAS Y LETRAS.
DOCENTE: GUDIEL EDUARDO MORÁN CAC.
ESTUDIANTE: _____________________________ _________________________________
APELLIDOS NOMBRES
SERIE ÙNICA: Valor 100 puntos.
INSTRUCCIONES
a. Lea detenidamente los enunciados y encuentre su relación con uno de los incisos.
b. Seleccione la respuesta correcta y subraye. Recuerde que solo una opción es correcta por
pregunta.
c. Use lapicero negro.
d. Aplique los axiomas fundamentales de las ecuaciones de primer grado para resolver y
encontrar la respuesta de los enunciados y tiene un tiempo de 60 minutos para resolver la prueba
e. Si es necesario utilice hojas adicionales para dejar constancia de su procedimiento.
f. El ejercicio cero le servirá de ejemplo.
0. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en ocho. Encuentra los
números.
A. Número mayor 19 y Número menor 11.
B. Número mayor 57 y Número menor 49.
C. Número mayor 37 y Número menor 45.
1. Seleccione el inciso que contiene la siguiente expresión “las dos terceras partes de un
número disminuido en cinco es igual a 12”.
A. 2
3(𝑥 − 5) = 12
B. 2
3𝑥 − 5 = 12
C. 2
3(𝑥 + 5) = 12
2. Carmen tiene Q110 en billetes de Q10 y Q5, el número de billetes de Q10 excede en 2 a
las de Q5, ¿Cuántas billetes de Q10 y de Q5 tiene Carmen?
A. 8 billetes de Q10 y 6 billetes de Q5. B. 10𝑥 + 5(𝑥 − 2) = 110
C. 10𝑥 + 5𝑥 − 2 = 110
3. La suma de un número con su doble es 18. El número es:
A. x + 2x = 18
B. x ( 2x ) = 18
C. 6
67
4. Para el problema “La edad de Carla excede en 3 años a la de Daniel y el doble de la edad
de Carla más 12 años equivale al triple de la de Daniel” el planteamiento correcto es:
A. 2𝑥 + 12 = 3𝑥 − 3
B. 2𝑥 + 12 = 3(𝑥 − 3)
C. 2(𝑥 + 12) = 3(𝑥 − 3)
5. “El largo de un rectángulo mide 4 metros menos que el cuádruple de su ancho y su
perímetro mide 32 metros” el planteamiento correcto es:
A. 2[𝑥 + (4𝑥 + 4)] = 32
B. 2[𝑥 + 4(𝑥 + 1)] = 32
C. 2[𝑥 + (4𝑥 − 4)] = 32
6. La diferencia de dos números es 17 y la suma de ambos es 451. Determina los números.
A. 236 𝑦 253. B. 230 𝑦 247. C. 234 𝑦 217.
7. La edad de Fabiana es la tercera parte de la edad de Hilda y la edad de Cecilia es el doble
de la edad de Fabiana. Si la suma de sus edades es de 72 años, determina la edad de
Cecilia.
A. 26 años. B. 22 años. C. 24 años.
8. ¿Cuánto ácido clorhídrico se debe agregar a 120 gr de una solución al 60% del ácido para
obtener una nueva solución con 70%?
A. 35 gramos.
B. 40 gramos.
C. 24 gramos.
9. Marcos ahorró Q3,270 en billetes de Q10, Q5 y Q2. Si el número de billetes de Q10
excede en 20 a las de Q5 y en 15 a las de Q2, ¿Cuántas billetes de Q5 tiene Marcos?
A. 160 billetes.
B. 170 billetes.
C. 180 billetes.
10. El ancho de un rectángulo mide cinco metros menos que la cuarta parte de su largo y su
perímetro mide 80 metros. ¿Cuáles son sus dimensiones?
A. Ancho: 4 metros y Largo: 36 metros.
B. Ancho: 36 metros y Largo: 4 metros.
C. Ancho: 2 metros y Largo: 36 metros.
68
ASOCIACIÓN CENTRO EDUCATIVO “DON BOSCO”
SAN PEDRO CARCHA A. V.
EXAMEN DIAGNÓSTICO (POST PRUEBA)
MATEMÁTICA I (ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA)
GRADO: CUARTO BACHILLERATO EN CIENCIAS Y LETRAS.
DOCENTE: GUDIEL EDUARDO MORÁN CAC.
ESTUDIANTE: _____________________________ _________________________________
APELLIDOS NOMBRES
SERIE ÙNICA: Valor 100 puntos.
INSTRUCCIONES
a. Lea detenidamente los enunciados y encuentre su relación con uno de los incisos.
b. Seleccione la respuesta correcta y subraye. Recuerde que solo una opción es correcta por
pregunta.
c. Use lapicero negro.
d. Aplique los axiomas fundamentales de las ecuaciones de primer grado para resolver y
encontrar la respuesta de los enunciados y tiene un tiempo de 60 minutos para resolver la prueba
e. Si es necesario utilice hojas adicionales para dejar constancia de su procedimiento.
f. El ejercicio cero le servirá de ejemplo.
11. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en ocho. Encuentra los
números.
D. Número mayor 19 y Número menor 11.
E. Número mayor 57 y Número menor 49.
F. Número mayor 37 y Número menor 45.
12. Seleccione el inciso que contiene la siguiente expresión “las dos terceras partes de un
número disminuido en cinco es igual a 12”.
D. 2
3(𝑥 − 5) = 12
E. 2
3𝑥 − 5 = 12
F. 2
3(𝑥 + 5) = 12
13. Carmen tiene Q110 en billetes de Q10 y Q5, el número de billetes de Q10 excede en 2 a
las de Q5, ¿Cuántas billetes de Q10 y de Q5 tiene Carmen?
D. 8 billetes de Q10 y 6 billetes de Q5. E. 10𝑥 + 5(𝑥 − 2) = 110
F. 10𝑥 + 5𝑥 − 2 = 110
14. La suma de un número con su doble es 18. El número es:
D. x + 2x = 18
E. x ( 2x ) = 18
F. 6
69
15. Para el problema “La edad de Carla excede en 3 años a la de Daniel y el doble de la edad
de Carla más 12 años equivale al triple de la de Daniel” el planteamiento correcto es:
D. 2𝑥 + 12 = 3𝑥 − 3
E. 2𝑥 + 12 = 3(𝑥 − 3)
F. 2(𝑥 + 12) = 3(𝑥 − 3)
16. “El largo de un rectángulo mide 4 metros menos que el cuádruple de su ancho y su
perímetro mide 32 metros” el planteamiento correcto es:
D. 2[𝑥 + (4𝑥 + 4)] = 32
E. 2[𝑥 + 4(𝑥 + 1)] = 32
F. 2[𝑥 + (4𝑥 − 4)] = 32
17. La diferencia de dos números es 17 y la suma de ambos es 451. Determina los números.
D. 236 𝑦 253. E. 230 𝑦 247. F. 234 𝑦 217.
18. La edad de Fabiana es la tercera parte de la edad de Hilda y la edad de Cecilia es el doble
de la edad de Fabiana. Si la suma de sus edades es de 72 años, determina la edad de
Cecilia.
D. 26 años. E. 22 años. F. 24 años.
19. ¿Cuánto ácido clorhídrico se debe agregar a 120 gr de una solución al 60% del ácido para
obtener una nueva solución con 70%?
D. 35 gramos.
E. 40 gramos.
F. 24 gramos.
20. Marcos ahorró Q3,270 en billetes de Q10, Q5 y Q2. Si el número de billetes de Q10
excede en 20 a las de Q5 y en 15 a las de Q2, ¿Cuántas billetes de Q5 tiene Marcos?
D. 160 billetes.
E. 170 billetes.
F. 180 billetes.
21. El ancho de un rectángulo mide cinco metros menos que la cuarta parte de su largo y su
perímetro mide 80 metros. ¿Cuáles son sus dimensiones?
D. Ancho: 4 metros y Largo: 36 metros.
E. Ancho: 36 metros y Largo: 4 metros.
F. Ancho: 2 metros y Largo: 36 metros.
70
PLAN POR PERIODO MATEMATICA I
CUARTO BACHILLERATO EN CCLL
PROGRAMA DEL CURSO: PARTE INFORMATIVA:
ESTABLECIMIENTO: CENTRO EDUCATIVO “DON BOSCO”, ALDEA TZACANIHA, CARCHA A.V.
AREA : Matemática
NOMBRE DEL CURSO: Matemática II
NIVEL: Diversificado
NOMBRE DEL PROFESOR Gudiel Eduardo Morán Cac.
COMPETENCIA: Construye modelos matemáticos para representar y analizar relaciones cuantitativas. CONTENIDO
CURRICULAR: ___ Ecuaciones lineales con una incógnita. INDICADOR DE LOGRO: Utiliza diferentes métodos en la
resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones. METODOLOGÍA: Método de Pólya. TIEMPO POR
PERIODO: _45 min.________________________________________________________________________________
DESCRIPCIÓN DEL CURSO:
En este nivel se dedica mayor tiempo al contenido y los procesos de álgebra y geometría formalizando el estudio de
estas disciplinas. Los temas principales son: Patrones (variables y expresiones algebraicas, tablas y gráficas),
Relaciones lineales (ecuaciones e inecuaciones lineales y pendiente), El sistema de los números racionales,
Razonamiento proporcional (razón, proporción y por ciento, semejanza), Geometría de dos y tres dimensiones (Área de
superficie y volumen, Visualización espacial).
71
Cantidad
de
periodo
Contenido a desarrollar
Actividades para el desarrollo del contenido Recursos
didácticos Docente Estudiante
1 Evaluación del pre-test
Se evaluará el pre- test
elaborado según el aplicador
para conocer el conocimiento
de los jóvenes en la
resolución de problemas de
ecuaciones lineales con una
incógnita. Con un tiempo de
60 min.
Prueba en físico y
hojas de adicionales.
1
Ecuaciones de primer grado.
Teoremas fundamentales de las
ecuaciones lineales.
Retroalimentación de la
utilidad de los teoremas en
la resolución de las
ecuaciones lineales con una
incógnita.
Ejercitación mínima. Dos
ejercicios en cada sesión por
cada tema en clase, cinco en
cada sesión por cada tema en
clase, dos por cada tema en
grupos.
Libros, marcadores,
pizarra, cañonera y
hoja de tareas.
2 Tipos de ecuaciones lineales con una
incógnita.
Retroalimentación de los
distintos tipos de ejercicios
y la forma de resolución de
las ecuaciones lineales con
una incógnita.
Ejercitación mínima. Dos en
cada sesión por cada tema en
clase, cinco en cada sesión
por cada tema en clase, dos
por cada tema en grupos.
Libros, marcadores,
pizarra, cañonera y
hoja de tareas.
4 Problemas sobre números en las
ecuaciones lineales con una incógnita.
Se ejemplificará la
resolución de problemas
sobre números utilizando el
Ejercitación mínima. Dos en
cada sesión por cada tema en
clase, cinco en cada sesión
Libros, marcadores,
pizarra, cañonera y
hoja de tareas.
72
método de Pólya en las
ecuaciones lineales con una
incógnita.
por cada tema en clase, dos
por cada tema en grupos.
3 Problemas sobre edades en las
ecuaciones lineales con una incógnita.
Se ejemplificará la
resolución de problemas
sobre mezclas utilizando el
método de Pólya en las
ecuaciones lineales con una
incógnita.
Ejercitación mínima. Dos en
cada sesión por cada tema en
clase, cinco en cada sesión
por cada tema en clase, dos
por cada tema en grupos.
Libros, marcadores,
pizarra, cañonera y
hoja de tareas.
2 Problemas sobre mezclas en las
ecuaciones lineales con una incógnita.
Se ejemplificará la
resolución de problemas
sobre mezclas utilizando el
método de Pólya en las
ecuaciones lineales con una
incógnita.
Ejercitación mínima. Dos en
cada sesión por cada tema en
clase, cinco en cada sesión
por cada tema en clase, dos
por cada tema en grupos.
Libros, marcadores,
pizarra, cañonera y
hoja de tareas.
3 Problemas sobre monedas en las
ecuaciones lineales con una incógnita.
Se ejemplificará la
resolución de problemas
sobre monedas utilizando
el método de Pólya en las
ecuaciones lineales con una
incógnita.
Ejercitación mínima. Dos en
cada sesión por cada tema en
clase, cinco en cada sesión
por cada tema en clase, dos
por cada tema en grupos.
Libros, marcadores,
pizarra, cañonera y
hoja de tareas.
3
Problemas de aplicación a la
geometría plana en las ecuaciones
lineales con una incógnita.
Se ejemplificará la
resolución de problemas de
aplicación a la geometría
plana utilizando el método
de Pólya en las ecuaciones
lineales con una incógnita.
Ejercitación mínima. Dos en
cada sesión por cada tema en
clase, cinco en cada sesión
por cada tema en clase, dos
por cada tema en grupos.
Libros, marcadores,
pizarra, cañonera y
hoja de tareas.
73
1 Evaluación del post-test
Se evaluará el pre- test
elaborado según el aplicador
para conocer el conocimiento
de los jóvenes en la
resolución de problemas de
ecuaciones lineales con una
incógnita. Con un tiempo de
60 min
Prueba en físico y
hojas de adicionales.
BIBLIOGRAFÍA:
Swokowski
Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica
12 edición.
Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson
Pre-cálculo, Quinta edición.
Stewart, Redlin & Watson. (2007). Pre cálculo. México:
Cengage Learning.
Aguilar, A., Bravo, F., Gallegos, H., Cerón, M., y Reyes, R.
(2009). Matemáticas simplificadas. México: Pearson
Educación.
74
75