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APLICACIÓN DE LAS REDES NEURONALES ARTIFICIALES EN REDES DE DIFRACCIÓN DE BRAGG PARA LA COMPENSACIÓN DE GANANCIA NO

UNIFORME EN AMPLIFICADORES ÓPTICOS.

DAVID ESTEBAN MONTOYA ALBA JHONATAN MCNIVEN CAGUA HERRERA

DIRECTOR GUSTAVO ADOLFO PUERTO LEGUIZAMÓN

Proyecto de Grado en modalidad de Monografía para optar al título de Ingeniero Electrónico

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA

PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA BOGOTA D.C.

2017

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APLICACIÓN DE LAS REDES NEURONALES ARTIFICIALES EN REDES DE DIFRACCIÓN DE BRAGG PARA LA COMPENSACIÓN DE GANANCIA NO

UNIFORME EN AMPLIFICADORES ÓPTICOS.

DAVID ESTEBAN MONTOYA ALBA JHONATAN MCNIVEN CAGUA HERRERA

Código: 20081005106

Código: 20122005202

Proyecto de Trabajo de Grado

Director Gustavo Adolfo Puerto Leguizamón

Profesor Facultad de Ingeniería Ingeniero en telecomunicaciones

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA

PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA BOGOTA D.C.

4

2017

5

Comisión de evaluación. Esta tesis titulada “APLICACIÓN DE LAS REDES NEURONALES ARTIFICIALES EN REDES DE DIFRACCIÓN DE BRAGG PARA LA COMPENSACIÓN DE GANANCIA NO UNIFORME EN AMPLIFICADORES ÓPTICOS”, escrita por David Esteban Montoya Alba y Jhonatan Mcniven Cagua Herrera, ha sido aprobada en cuanto a estilo y contenido intelectual. Hemos leído esta tesis y la aprobamos.

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____________________________________

____________________________________ ____________________________________ Ingeniero. Juan Carlos Gómez Paredes Jurado.

____________________________________ Ingeniero. Gustavo Adolfo Puerto Leguizamón Director.

Febrero de 2018.

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DEDICATORIAS Y AGRADECIMIENTOS.

Yo, David Montoya, quiero dedicar este trabajo

a mi familia, especialmente a mi madre y

hermana que fueron mi mayor soporte para

alcanzar este logro.

A Dios, quien me dio las oportunidades y

sabiduría para conseguir cada objetivo logrado

durante mi carrera.

Finalmente a mis compañeros y profesores de la

universidad, quienes hicieron parte de mi

aprendizaje y crecimiento personal.

Dedico este trabajo a mis padres, por sus

enseñanzas, por su apoyo en mis estudios y

por la educación que me han dado a lo largo

de mi vida, para ellos más que este trabajo les

dedico todos mis triunfos conseguidos hasta ahora y todos los que he de conseguir, para

ellos todo mi amor.

A su vez quiero agradecer al profesor

Gustavo Puerto por su ayuda y colaboración

para el desarrollo y culminación de este

trabajo.

“Lo realmente importante es luchar para vivir

la vida, para sufrirla y para gozarla, perder

con dignidad y atreverse de nuevo. La vida es

maravillosa si no se le tiene miedo.”

Charlie Chaplin

8

TABLA DE CONTENIDO

LISTA DE FIGURAS .................................................................................................................................................... 10

LISTA DE TABLAS ...................................................................................................................................................... 12

1. RESUMEN ................................................................................................................................................................. 13

2. PLANTEAMINETO DEL PROBLEMA .............................................................................................................. 14

3. JUSTIFICACIÓN ...................................................................................................................................................... 15

4. OBJETIVOS ............................................................................................................................................................... 16

4.1. Objetivo general. ........................................................................................................................................... 16

4.2. Objetivos específicos. .................................................................................................................................. 16

5. MARCO TEORICO .................................................................................................................................................. 17

5.1. Amplificador de fibra dopada con Erbio (EDFA). ........................................................................... 17

5.1.1. Modelamiento del EDFA. ................................................................................................................... 17

5.1.2. Necesidad del amplificador Óptico. .............................................................................................. 18

5.1.3. Caracterización del EDFA. ................................................................................................................ 20

5.2. Filtros y multiplexores. .............................................................................................................................. 21

5.3. Rejilla de Bragg. ............................................................................................................................................. 24

5.3.1 Funcionamiento ..................................................................................................................................... 24

5.3.2 Filtro de rejillas. ..................................................................................................................................... 25

5.3.3 Principio de funcionamiento ............................................................................................................ 27

5.3.4 Evolución histórica de las rejillas ................................................................................................... 28

5.3.4.1 Filtros multicapa de películas dieléctricas delgadas (pasabanda TFF) ................. 28

5.3.4.2 Mach-Zhender interferómetro (MZI). ................................................................................. 29

5.3.4.3 Rejilla de guía de onda (AWG). ............................................................................................... 30

5.3.4.4 El interferómetro de Bulk. ........................................................................................................ 31

5.3.4.5 El Máscara de fase. ....................................................................................................................... 33

5.3.5 Modelos matemáticos de las rejillas.............................................................................................. 36

5.3.5.1 Teoría de las rejillas de Bragg ................................................................................................. 36

5.3.5.2 Propagación de onda .................................................................................................................. 37

5.3.5.3 Guías de ondas ............................................................................................................................... 39

5.3.5.4 Teoría del modo acoplado ........................................................................................................ 42

5.3.5.5 Superposición de fase ................................................................................................................. 48

5.3.5.6 Modo simétrico e integral de superposición .................................................................... 49

5.3.5.7 Modulación de índice de refracción no sinusoidal espacialmente periódica ...... 50

9

5.3.5.8 Tipos de modo de acoplamiento ............................................................................................ 51

5.3. Red neuronal artificial. ............................................................................................................................... 53

5.3.1. Métodos de aprendizaje. ................................................................................................................... 53

5.3.2. Aplicaciones. ........................................................................................................................................... 54

6. ANTECEDENTES .................................................................................................................................................... 55

7. DECISIONES DE DISEÑO .................................................................................................................................... 56

7.1 Enlace óptico. .................................................................................................................................................. 56

7.2 Rejillas de Bragg. ............................................................................................................................................ 57

7.3 Red neuronal. .................................................................................................................................................. 58

7.3.1. Función de activación. ........................................................................................................................ 61

7.3.2. Tipo de red neuronal. ......................................................................................................................... 62

7.3.3. Método de entrenamiento. ............................................................................................................... 63

8. DESARROLLO .......................................................................................................................................................... 65

8.1 Primera prueba (tres rejillas). ................................................................................................................. 65

8.2 Segunda prueba (seis rejillas). ................................................................................................................. 69

8.3 Simulación. ....................................................................................................................................................... 72

8.3.1 Generalidades ......................................................................................................................................... 72

8.3.2 Componentes del esquema ............................................................................................................... 73

8.4 Resultados. ....................................................................................................................................................... 80

8.4.1 Mediciones con filtro de aplanamiento ........................................................................................ 80

8.4.2 Mediciones con tres rejillas .............................................................................................................. 82

8.4.3 Mediciones con seis rejillas ............................................................................................................... 83

8.4.4 Análisis de resultados ......................................................................................................................... 85

9. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS. .................................................................................................... 87

10. REFERENCIAS ...................................................................................................................................................... 88

11. ANEXOS .................................................................................................................................................................. 91

11.1 Primer código. .............................................................................................................................................. 91

11.2 Cambio primer código............................................................................................................................... 93

11.3 Segundo código. ........................................................................................................................................... 94

10

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Relación de los diversos modelos del EDFA ................................................................................ 18

Figura 2. Espectro de atenuación típica de una fibra monomodo de silicio convencional de

bajas pérdidas ............................................................................................................................................................. 19

Figura 3. Espectro de dispersión total típica de una fibra monomodo de silicio convencional. 19

Figura 4. Tecnologías aplicadas a Amplificadores Ópticos para trabajar a diferentes longitudes

de onda y cubrir mayores rangos espectrales ............................................................................................... 20

Figura 5. Funcionamiento de un amplificador óptico ................................................................................. 21

Figura 6. Diagrama esquemático de un amplificador de fibra dopada. ............................................... 21

Figura 7. a) Filtro aplicado como selector, b) Filtro aplicado como multiplexor (combina

longitudes de onda en una fibra) ........................................................................................................................ 22 Figura 8. Ejemplo de configuración estática ................................................................................................... 22

Figura 9. Caracterización de parámetros espectrales de fibra óptica, en donde λ0 corresponde

a la longitud de onda central y λ denota la longitud de onda de la señal de luz .............................. 23

Figura 10. Diagrama de rejilla plana, a) rejilla de difracción b) rejilla de reflexión ...................... 26

Figura 11. Grafica del principio de funcionamiento de una rejilla de transmisión ......................... 27

Figura 12. Filtro de capa dieléctrica con 3 cavidades ................................................................................. 28

Figura 13. Respuesta de filtro dieléctrico, para 1 2 y 3 cavidades ......................................................... 29

Figura 14. Función de transferencia de cada estado de un filtro Mach Zhender de múltiples

estados ........................................................................................................................................................................... 29

Figura 15. a) Estructura interna de Filtro Mach Zhender, b) Diagrama de caja negra de filtro

Mach Zhender, c) Interconexión en cascada de varios filtros ................................................................ 30

Figura 16. Rejilla de guía de onda AWG ............................................................................................................ 31

Figura 17. Interferómetro UV para escritura de rejillas de Bragg en fibra óptica .......................... 32

Figura 18. Diagrama de la difracción de un rayo incidente sobre la máscara de fase ................... 34

Figura 19. Diagrama de rayo UV incidente, difractado en los modos ±1. Existe una radiación

remanente en la máscara de fase en el modo m=0 ..................................................................................... 34

Figura 20. Método de fabricación de rejilla mediante división de haz de luz ................................... 35

Figura 21. Modulación del índice de refracción en el núcleo de una fibra para diferentes

visibilidades del patrón marginal ....................................................................................................................... 46

Figura 22. El principio de acoplamiento de fase ........................................................................................... 49

Figura 23. A través de una sección de la fibra se presentan los campos de [LP] 11 y [LP] 01, a lo

largo de un perfil con índice de refracción transverso .............................................................................. 50

Figura 24. Propagación de rayo en fibra óptica ............................................................................................. 52

Figura 25. Enlace óptico por defecto en optisystem .................................................................................... 56

Figura 26. Ganancias de las señales (a) sin filtro de aplanamiento, (b) con filtro de

aplanamiento, (c) diferencia. ................................................................................................................................ 57

Figura 27. Caja negra del sistema óptico, (a) con tres rejillas de Bragg, (b) con seis rejillas de

Bragg. .............................................................................................................................................................................. 58

Figura 28. Caja negra del sistema óptico inverso, (a) con tres rejillas de Bragg, (b) con seis

rejillas de Bragg. ......................................................................................................................................................... 59

Figura 29. Estructura interna de una red neuronal 3-2 con cuatro entradas. .................................. 59

Figura 30. Estructura interna de una red neuronal 2-1 con dos entradas. ........................................ 60

Figura 31. Funciones internas de la red neuronal. ....................................................................................... 61

11

Figura 32. Diferentes tipos de redes neuronales artificiales creables (a), y diferentes métodos

de entrenamiento (b) ofrecidos en el programa matlab. .......................................................................... 63

Figura 33. Enlace óptico con tres rejillas de Bragg ...................................................................................... 65

Figura 34. Error total contra número de neuronas ...................................................................................... 67

Figura 35. Ganancias de las señales sin ecualización (gris), con filtro de aplanamiento (azul),

con sistema de tres rejillas de Bragg (naranja), objetivo (negro). ........................................................ 69

Figura 36. Enlace óptico con seis rejillas de Bragg ....................................................................................... 69

Figura 37. Error total contra número de neuronas ...................................................................................... 70

Figura 38. Ganancias de las señales sin ecualización (gris), con filtro de aplanamiento (azul),

con sistema de seis rejillas de Bragg (rojo), objetivo (negro). ............................................................... 72

Figura 39. Ventana de configuración de parámetros globales. ............................................................... 73

Figura 40. Estructura de interconexión de elementos para generar un canal de trasmisión. ... 73

Figura 41. Configuración para 3 canales de transmisión. ......................................................................... 74

Figura 42. Modulo transmisor WDM de 8 canales........................................................................................ 75

Figura 43. Ventana de configuración de los parámetros del transmisor WDM de 8 canales. .... 75

Figura 44. Bloque correspondiente a transmisor WDM de 8 canales. ................................................. 75

Figura 45. Ventana de configuración de parámetros del multiplexor WDM ..................................... 76

Figura 46. Configuración de bloque de control. ............................................................................................. 76

Figura 47. Parámetros de configuración de EDFA. ....................................................................................... 77

Figura 48. Diagrama de interconexión en cascada de 3 rejillas de Bragg ........................................... 77

Figura 49. Ventana de configuración de parámetros de las rejillas de Bragg. .................................. 77

Figura 50. Demultiplexor encargado de separar los diferentes canales transmitidos por la fibra

óptica............................................................................................................................................................................... 78

Figura 51. Arreglo de elementos para poder visualizar el BER. ............................................................. 78

Figura 52. Diagrama de simulación de sistemas de transmisión WDM............................................... 79

Figura 53. Esquema para ecualización de señal mediante filtro de aplanamiento, asumiendo

características reales de la fibra óptica ............................................................................................................ 80

Figura 54. Resultados del analizador de BER para la primera portadora del esquema de la

figura 53. ........................................................................................................................................................................ 81

Figura 55. Esquema para ecualización de señal mediante tres rejillas, asumiendo


Figura 56. Resultados del analizador de BER para la primera portadora del esquema de la Fig.

55. ..................................................................................................................................................................................... 82

Figura 57. Ganancias antes y después de las 3 rejillas de Bragg en cascada. .................................... 83

Figura 58. Esquema para ecualización de señal mediante seis rejillas, asumiendo


Figura 59. Resultados del analizador de BER para la primera portadora del esquema de la Fig. 58. ..................................................................................................................................................................................... 84

Figura 60. Ganancias antes y después de las 6 rejillas de Bragg en cascada. .................................... 85

12

LISTA DE TABLAS

Tabla I. Características de elementos usados para multiplexar y demultiplexar. ........................... 26

Tabla II. Error total contra número de neuronas .......................................................................................... 67

Tabla III. Características escogidas para el esquemático de tres rejillas de Bragg ......................... 68

Tabla IV. Características de las ganancias para el esquemático de tres rejillas de Bragg ............ 68

Tabla V. Error total contra número de neuronas .......................................................................................... 70

Tabla VI. Características escogidas para el esquemático de seis rejillas de Bragg ......................... 71 Tabla VII. Características de las ganancias para el esquemático de seis rejillas de Bragg .......... 71

Tabla VIII. Parámetros de configuración para fibra óptica ....................................................................... 76

Tabla IX. Calidad de la señal de las ocho portadoras con el filtro de aplanamiento. ...................... 81

Tabla X. Calidad de la señal de las ocho portadoras con tres rejillas. ................................................... 83

Tabla XI. Calidad de la señal de las ocho portadoras con seis rejillas. ................................................. 85

Tabla XII. Resultados y comparación del aplanamiento los esquemas. ............................................... 86

Tabla XIII. Calidad promedio de las señales para los diferentes esquemas. ...................................... 86

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APLICACIÓN DE LAS REDES NEURONALES ARTIFICIALES EN REDES DE DIFRACCIÓN DE BRAGG PARA LA COMPENSACIÓN DE GANANCIA NO UNIFORME EN AMPLIFICADORES ÓPTICOS.

1. RESUMEN

El presente trabajo es una recopilación del desarrollo y prueba de las redes neuronales

artificiales tipo perceptrón multicapa con propagación hacia atrás (Feed-forward

backpropagation), entrenadas bajo el método de la secante (one-step secant), y seleccionadas

según el error cuadrático medio, todas creadas utilizando el programa Matlab, para la

optimización de las características (frecuencia central y longitud) de varias rejillas de difracción

de Bragg. Con el propósito de utilizarlas en la compensación de la ganancia no uniforme del

amplificador de fibra dopada con Erbio (EDFA) de un enlace óptico de ocho portadoras

equidistantes ubicadas entre 195 a 196.4 THz, simulado con el programa Optisystem 14.

En este trabajo se mostrará un compilado de las decisiones de diseño de las redes neuronales

artificiales; así como un paso a paso de los códigos de creación, entrenamiento y prueba de las

redes neuronales artificiales, como también un análisis de los resultados obtenidos en

simulación; con el propósito de quel trabajo sea fácilmente replicable y utilizable para el

empleo de las redes neuronales artificiales en trabajos futuros de optimización.

Palabras clave

Enlace óptico, red neuronal artificial, EDFA, rejillas de Bragg.

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2. PLANTEAMINETO DEL PROBLEMA

El transporte de datos ha presentado un aumento importante en su capacidad debido a la

utilización de fibra óptica como medio de transmisión; las características de la fibra óptica

permiten tener un mayor ancho de banda y una menor atenuación que con los medios de

transmisión empleados con anterioridad. A pesar de sus ventajas, la fibra óptica requiere para

su operación de transmisión elementos ópticos como amplificadores, multiplexores, filtros

entre otros, los cuales tienen un costo mayor que sus contrapartes electrónicas [1] [2].

Uno de los elementos indispensables para la transmisión de información en sistemas de fibra

óptica son los EDFAs (Amplificador de fibra dopada con Erbio, Erbium Doped Fiber Amplifier), estos

dispositivos compensan las pérdidas generadas por distancia, sin embargo, estos poseen un

espectro de ganancia no uniforme en frecuencia, lo cual da lugar a distorsiones en la señal,

menor rendimiento respecto a la relación señal a ruido, y restringe el ancho de banda

utilizable para la transmisión. Para corregir la ganancia no uniforme de los amplificadores

EDFAS, se requiere de otro dispositivo óptico conocido como filtro de aplanamiento (Gain

flattening filter), lo cual aumenta los costos del sistema de transmisión [3].

Se han propuesto diversos métodos para poder igualar el espectro de ganancia sin la

utilización de un filtro de aplanamiento; uno de estos métodos consiste en la utilización de

una rejilla de Bragg por cada frecuencia a transmitir [4] [5].

¿Es posible compensar la ganancia no uniforme en frecuencia de los amplificadores EDFA sin

necesidad de una rejilla de Bragg por cada frecuencia de transmisión, manteniendo niveles de

potencia, señal a ruido, tasa de error de bits (BER) aceptables según los estándares de

transmisión actuales en fibra óptica?.

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3. JUSTIFICACIÓN

Aprovechando la capacidad de las redes neuronales de emular sistemas, en este proyecto se

realizará una red neuronal artificial que permita conocer el mejor diseño posible para un

enlace de fibra óptica, tomando como caso particular, un enlace que transmita información de

8 portadoras en banda C (~1530nm o 196THz) en el cual, la función del filtro de

aplanamiento será remplazada por rejillas de Bragg.

La propuesta está sustentada en que las redes neuronales artificiales permiten emular

sistemas que no poseen modelos matemáticos precisos, algoritmos con complejidad razonable

o no se dispone (a priori) de un modelo identificable que pueda ser programado; siempre y

cuando se posea un conjunto básico de ejemplos de entradas y salidas.

Con una base de datos lo suficientemente grande de entradas y salidas del sistema óptico, se

puede generar una aproximación a su comportamiento, así como un análisis de regresión;

esto nos permitirá emular las salidas del sistema a partir de entradas conocidas, como

también conocer las entradas necesarias para una salida deseada [6].

El trabajo pretende mostrar la capacidad de las redes neuronales artificiales en ayudar al

diseño de un sistema óptico, donde se tiene como prioridad la reducción de costos, afectando

lo menos posible la eficiencia del sistema.

Se eligió un sistema de fibra óptica, ya que al ser el medio de transmisión de datos más

eficiente hasta la fecha, una reducción en el costo de los componentes empleados representa

una gran contribución económica, permitiendo disminuir costos para el proveedor y precios

para el consumidor.

16

4. OBJETIVOS

4.1. Objetivo general. Diseñar e implementar redes neuronales artificiales que compense la ganancia no uniforme de los amplificadores EDFA, manteniendo prestaciones aceptables según los estándares de transmisión actuales en fibra óptica.

4.2. Objetivos específicos.

¤ Analizar el comportamiento no lineal en ganancia de los amplificadores de fibra dopada con Erbio (EDFA).

¤ Identificar los sistemas utilizados actualmente para compensar la ganancia no lineal del EDFA.

¤ Implementar redes neuronales artificiales para determinar las características necesarias de las rejillas de Bragg a fin de obtener la potencia de salida deseada.

¤ Comprobar en los diseños propuestos la tasa de error de bits (BER), señal a ruido, diagrama de ojo, distorsión cromática y atenuación, mediante modelamiento y simulación.

17

5. MARCO TEORICO

5.1. Amplificador de fibra dopada con Erbio (EDFA).

Un amplificador óptico es un dispositivo que se encarga de amplificar una señal óptica

directamente, sin necesidad de cambiar el dominio de la señal, es decir que no es necesario

pasar una señal óptica al dominio eléctrico para amplificarla y luego devolverla al dominio

óptico.

Existen varios tipos de amplificadores ópticos, sin embargo se pueden separar en 2 grandes

grupos, Amplificadores de fibra dopado con erbio (EDFA) y amplificadores ópticos de

semiconductor (SOA).

La fibra óptica es, sin duda, un sistema de gran capacidad, confiable y seguro para las

necesidades actuales de la comunicación. La técnica de multiplexación por división de

longitud de onda (WDM) ha hecho que la tasa de transmisión de bits crezca exponencialmente

desde el advenimiento del amplificador de fibra dopada con erbio (EDFA) en los años ochenta.

El EDFA es una fibra óptica dopada con Er+3, que actúa como un medio de ganancia para

amplificar una señal óptica cuando se utiliza una señal de bombeo, de 980 nm a 1480 nm;

esta ventana de longitud de onda corresponde precisamente a la banda de menor pérdida de

las fibras ópticas, y por lo tanto, los EDFA son la elección inevitable para el sistema de

multiplexación por división de longitud de onda (DWDM) [7] [8].

Las características importantes de EDFA son el bombeo eficiente, la ganancia alta y el bajo

ruido [9]. Sin embargo, las ganancias de EDFA son ampliamente dependientes de la longitud

de onda y necesitan un aplanamiento de ganancia para el sistema DWDM que implica

múltiples canales con un espaciamiento de canal del orden de 0,5 nm o incluso menor [7].

5.1.1. Modelamiento del EDFA.

Los modelos de sistemas laser de dos niveles homogéneamente amplificados son útiles para

modelar los amplificadores de fibra, bombeados en las bandas de absorción de 1480 y 980

nm. Se necesitan ecuaciones adicionales para modelos más complejos que incorporan efectos

tales como absorción de estado excitado de la bomba, transferencia de energía entre iones o

ensanchamiento no homogéneo. Sin embargo, los métodos de solución son similares para

todos estos casos. Además, es más fácil validar las aproximaciones a la integral de

superposición y el ancho de banda efectivo de la ASE (Amplified spontaneous emission -

emisión espontanea amplificada), y comparar los modelos numéricos y analíticos [10].

El uso de la integral de superposición reduce en gran medida el esfuerzo computacional, pero

asume la condición de que el erbio está confinado al centro del modo óptico. De lo contrario,

18

las distribuciones arbitrarias de los dopantes se analizan mediante modelos espaciales, los

cuales se utilizan para optimizar la fibra y la distribución de dopantes en ella.

La ramificación ocurre entre modelos que incluyen ASE y aquellos que lo ignoran. Se

requieren considerar la ASE para calcular el ruido del amplificador y la saturación de ganancia

causada por la misma (Fig. 1). En algunos casos, la ASE podría modelarse como potencia de

ruido óptico en un ancho de banda (∆Veff), aunque esta consideración produce un error en los

cálculos, este error se minimiza estableciendo un ancho de banda correspondiente al punto

operativo de la transmisión.

Figura 1. Relación de los diversos modelos del EDFA [10].

5.1.2. Necesidad del amplificador Óptico.

La fibra óptica posee algunos limitantes, como lo son la dispersión y la atenuación, la

atenuación corresponde a la pérdida de potencia de la señal óptica, limitando así la distancia

de transmisión de la señal; por otro lado está la dispersión que consiste en el ensanchamiento

del pulso óptico, generando de tal modo interferencia inter-símbolo, de forma que se

incrementa la tasa de error por bit (Bit error ratio, VER por sus siglas en ingles), y esto en

esencia limita el ancho de banda en la transmisión por fibra, además la fibra puede ser

considerada igual que un filtro pasa bajos por lo cual la señal se deforma en el recorrido. [11]

En las figuras 2 y 3 se presenta la atenuación y la dispersión en una fibra monomodo de

silicón convencional. [11]

19

Figura 2. Espectro de atenuación típica de una fibra monomodo de silicio convencional de bajas pérdidas [11].

Figura 3. Espectro de dispersión total típica de una fibra monomodo de silicio convencional [11].

En la figura 2 se puede observar que las regiones con más baja atenuación están alrededor de

los 1300nm y los 1500nm, si se analiza la figura 3 se puede notar que la región mínima de

dispersión es la región de 1300nm; al observar estas características de la fibra óptica, se hace

más comprensible porque se selecciona trabajar en ventanas dentro del rango de 1300nm a

1500nm, el escoger trabajar en este rango permite transmitir señales de un punto a otro más

fácilmente a través de la fibra, más sin embargo la 1° ventana de longitudes de onda de

820nm, sigue siendo usada en enlaces cortos, con una tasa de bit moderada, es por ello que en

este tipo de conexión no se requiere el uso de amplificadores ópticos.

Debido a que la atenuación y la dispersión de la señal aumentan a mayor longitud de la fibra,

se requiere regenerar la señal en ciertos puntos en función de la distancia que la señal deba

recorrer [11].

20

Figura 4. Tecnologías aplicadas a Amplificadores Ópticos para trabajar a diferentes longitudes de onda y cubrir mayores rangos espectrales [11].

5.1.3. Caracterización del EDFA.

Los EDFA se caracterizan por completo a partir de parámetros fácilmente medidos: la relación

de la densidad lineal de iones al tiempo de vida de la fluorescencia y en el espectro de

ganancia. Con estos datos, las técnicas analíticas permiten una evaluación precisa de la

ganancia, la saturación y el ruido en amplificadores de baja ganancia [10].

Los amplificadores ópticos se comportan de manera simular a un láser, ya que su

funcionamiento se basa en realizar una emisión estimulada. Los amplificadores difieren de un

láser dado que estos no poseen una realimentación para evitar que el dispositivo oscile, de

forma que puede elevar el nivel de potencia de la señal, en la siguiente figura se presenta el

principio de funcionamiento de un amplificador básico [11] [12].

21

Figura 5. Funcionamiento de un amplificador óptico [11].

Una fuente de bombeo inyecta una energía en la zona activa del amplificador. Esta energía es absorbida por los electrones que incrementan sus niveles de energía. Al ser alcanzados estos electrones por los fotones de la señal óptica de entrada caen a unos niveles energéticos más bajos dando lugar a un nuevo fotón, esto es el proceso de emisión estimulada, produciéndose así la amplificación de la señal [11].

La amplificación se produce dentro de un rango de frecuencias que dependen del material, así como su estructura [11].

Figura 6. Diagrama esquemático de un amplificador de fibra dopada [11].

5.2. Filtros y multiplexores.

Los filtros ópticos son indispensables en los sistemas de transmisión, dado que tiene por lo

menos dos aplicaciones:

¤ Multiplexar y demutiplexar longitudes de onda en sistemas WDM

22

¤ Igualar las ganancias de los amplificadores ópticos, así como eliminar posibles perturbaciones como ruidos.

Un filtro es un elemento de dos puertos el cual permite seleccionar una longitud de onda y

rechazar otras, algunos de estos dispositivos poseen un tercer en el cual pueden tenerse el

resto de longitudes de onda que fueron rechazados.

Un multiplexor se encarga de combinar muchas señales con diferentes longitudes de onda, en

un puerto común, mientras que un demultiplexor realiza lo opuesto a esto.

Figura 7. a) Filtro aplicado como selector, b) Filtro aplicado como multiplexor (combina longitudes de onda en una fibra) [11].

Los multiplexores y demultiplexores pueden ser conectados en cascada para lograr

interconexiones de longitud de onda estática en cuyo caso el dispositivo no puede ser

cambiado dinámicamente.

Figura 8. Ejemplo de configuración estática [11].

23

WXC dinámicos pueden ser obtenidos partir de la combinación de switchs, multiplexores y

demulpitplexores.

Las características principales de las tecnologías de filtrado óptico son:

¤ Un buen filtro óptico posee bajas pérdidas por inserción

¤ Las pérdidas deben ser independientes del estado de polarización de las señales de entrada, ya que el estado de polarización varia aleatoriamente en el tiempo en la

mayoría de sistemas, y si el filtro tiene pérdidas dependiente de la polarización,

entonces la potencia de salida también variara con el tiempo, lo cual es una

característica indeseable.

¤ Un filtro pasabanda debe ser invulnerable a variaciones de la temperatura ambiente.

El coeficiente de temperatura corresponde a la cantidad de desplazamiento de la

longitud de onda por la variación de 1 grado centígrado; el desplazamiento de la longitud de onda debe ser mucho menor a la longitud de onda entre canales

adyacentes en un sistema WDM

¤ En una conexión de filtros en cascada, conforme aumente la cantidad de filtros así mismo disminuirá la banda de paso.

Figura 9. Caracterización de parámetros espectrales de fibra óptica, en donde λ0 corresponde a la longitud de onda central y λ denota la longitud de onda de la señal de luz [11].

En la figura 9, es posible ver que idealmente la banda de paso debe ser lo más plana posible y

la falda del filtro pasabanda debe ser lo más rectas posibles (que caigan lo más rápido posible)

para evitar cruces de energía con otros los canales adyacentes, la región en gris corresponde

a la intercepción del pasabanda con otros canales adyacentes, esta zona es conocida cono

energía de crosstalk.

24

5.3. Rejilla de Bragg.

Una rejilla convencional en fibra óptica, que históricamente ha sido denominada como rejilla

de Bragg, tiene la modulación del índice de refracción a lo largo del núcleo de la fibra, con un período aproximadamente igual a la mitad de la longitud de onda de la luz que se propaga

dentro de la fibra. En este caso ocurre una reflexión coherente que se logra mediante el

igualamiento de fase entre los planos de la rejilla y la luz incidente. Se han logrado reflexiones

cercanas al 100%. Este comportamiento ha hecho a las rejillas de Bragg apropiadas para su

aplicación en las telecomunicaciones, puesto que se utilizan como reflectores, filtros y

dispersores ópticos [13]. Por ejemplo, los diodos láser de cavidad externa utilizan rejillas de

Bragg para una mayor selectividad de la longitud de onda. Otra aplicación, no menos

importante, es la selección espectral de señales ópticas que hace un demultiplexor de un

sistema de multicanalización por división de longitud de onda (WDM).

Las rejillas en fibra óptica surgieron a partir del descubrimiento de la propiedad de

fotosensibilidad que tienen las fibras ópticas. Estos dispositivos son capaces de realizar

funciones como reflexión, dispersión y filtrado del campo electromagnético de manera

eficiente y con baja atenuación. En su forma más común, una rejilla consiste en la modulación

periódica del índice de refracción del núcleo de una fibra óptica. Inicialmente las rejillas

fueron fabricadas sobre la superficie de guías de onda planas; sin embargo, las investigaciones

realizadas han demostrado que las rejillas formadas en fibras ópticas ofrecen también las

funciones antes mencionadas y, por lo tanto, han sido grabadas directamente en fibras

fotosensibles [14].

Las rejillas de bragg son generalmente utilizadas en sistemas de comunicación de fibra óptica,

en general una perturbación periódica en el medio de propagación sirve como una rejilla de

bragg. Esta perturbación generalmente corresponde a una variación del índice de difracción

del medio, estas rejillas se implementan para la elaboración de filtros, multiplexores y

demultiplexores así como en compensadores de dispersión.

5.3.1 Funcionamiento

Considerando dos ondas propagándose en direcciones opuestas con constantes de

propagación 𝛽0 y 𝛽1, la energía de una onda se trasmite a la otra si se cumple la condición de

sincronización de la fase de Bragg.

|𝛽0 − 𝛽1| =2𝜋

Λ

(1)

Donde Ʌ es el periodo de la rejilla. Al suponer que una onda que viaja de izquierda a derecha

con una constante de propagación 𝛽0 se acopla con una onda que viaja en dirección contraria se tendría que:

25

|𝛽0 − (−𝛽0)| = 2𝛽0 =2𝜋

Λ

(2)

De la expresión anterior al reemplazar Ʌ por 𝜆0

𝑛𝑒𝑓𝑓 es posible despejar la longitud de onda 𝜆0 de

forma que se tiene:

𝜆0 = 2𝑛𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜Λ

(3)

Los filtros de rejilla con periodo largo, son creados igual que las rejillas de Bragg pero son

dopados con erbio para compensar la ganancia en el espectro no plano

5.3.2 Filtro de rejillas.

El término de rejilla se aplica para describir cualquier dispositivo cuyo funcionamiento

implique la interferencia entre múltiples señales ópticas procedentes de la misma fuente, pero

con diferentes fases.

Suponga que una onda electromagnética con una frecuencia angular ω se desplaza a lo largo

del eje z dependiendo del tiempo, con la forma:

cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑍)

(4)

Dónde:

𝛽 corresponde a la constante de propagación la cual depende del medio

La fase de la onda es: 𝜔𝑡 − 𝛽𝑍

De lo anterior se tiene que se puede obtener un desplazamiento de fase relativo entre 2 ondas

de la misma fuente si atraviesan dos trayectorias de diferentes longitudes.

Las rejillas han sido usadas en los sistemas ópticos para separar la luz respecto a las

longitudes de onda que la componen.

En sistemas WDM las rejillas se implementan para multiplexar una señal, al descomponerla

con diferentes longitudes de onda, las rejillas también permiten desmultiplexar al reagrupar

diferentes longitudes de onda en una sola.

A continuación, se presenta una tabla I, donde se registra, el aislamiento, pérdidas, coeficiente

de temperatura de diferentes tecnologías pasivas para multiplexar/demultiplexar diferentes

longitudes de onda.

26

Propiedades de filtro Rejilla de

Bragg TFMF AWG

Rejilla de

Stimax 1 db bw (nm) 0.3 0.4 0.22 0.1 Isolation(dB) 25 25 25 30 Pérdidas(dB) 0.2 7 5.5 6 PDL(dB) 0 0.2 0.5 0.1 Coeficiente de temperatura (nm/°C) 0.01 0.0005 0.01 0.01

Tabla I. Características de elementos usados para multiplexar y demultiplexar.

La rejilla plana consiste en múltiples ranuras estrechas separadas equitativamente sobre un

plano, en donde la reparación entre dos ranuras adyacentes es llamada el “paso de rejilla”.

La luz que llega pasa por las rendijas estrechas sufren el efecto de difracción, la luz difractada

se emite en todas direcciones, por lo que cada una de las rendijas se comportan como una

fuente secundaria de luz; ahora considere un plano paralelo a donde se ubica la rejilla en

donde incide la luz, este plano se denomina plano imaginario, ahora considere un punto

cualquier sobre este plano, sobre este punto pasan diferentes ondas cada una con diferente

fase, para aquellas ondas que posean la misma fase se producirá una efecto de interferencia

constructiva generando una mejora en la intensidad lumínica de la respectiva longitud de

onda, ahora tomemos en cuenta que existen muchas rejillas lo que implica muchas más

longitudes de onda, no todas ellas generan interferencia constructiva, no en todos los puntos

existe una alta intensidad lumínica, en aquellos puntos que se comporten como acoples se

implementan fibras ópticas recolectar luz de diferentes longitudes de onda.

Figura 10. Diagrama de rejilla plana, a) rejilla de difracción b) rejilla de reflexión [12].

a) Rejilla de transmisión en este la señal óptica ingresa a la rejilla, el ángulo con que la señal es

difractada depende de la longitud de onda.

27

b) En este caso las rejillas de paso (hendiduras de paso) son reemplazadas por superficies

reflectantes estrechas mientras que el resto de la superficie este hecho de un material no

reflectante, así se logra obtener una rejilla de reflexión.

La mayoría de rejillas son de reflexión dado que su fabricación es mucho más sencilla, existen

también diferentes tipos de rejillas dependiendo el tipo de geometría que presenten, existen

planas y otras son cóncavas, para este último caso las rejillas se ubican sobre el arco de una

circunferencia, una geometría cóncava no requiere de menos partes auxiliares como lentes u

espejos necesarios para la elaboración de un dispositivo final.

5.3.3 Principio de funcionamiento

Figura 11. Grafica del principio de funcionamiento de una rejilla de transmisión [12].

En la Figura 11, los pasos de rejilla o espacios entre rejilla y rejilla corresponden a la letra 𝑎, se

asume en general que la fuente de la luz se encuentra lejana a la rejilla, en comparación con 𝑎, a su vez en el grafico se observa que la luz incide con un ángulo 𝜃𝑖, la luz que atraviesa la

rejilla es difractada por lo que tendrá un nuevo ángulo 𝜃𝑑, también se asume que la longitud

de las hendiduras es mucho menor que la longitud de onda por lo que el cambio de fase es

despreciable .

El efecto de interferencia constructiva de una determinada longitud de onda ocurre en el

plano imaginario siempre y cuando los rayos de luz difractados con ángulo 𝜃𝑑, cumplan con la

siguiente expresión:

𝑎[sin𝜃𝑖 − sin 𝜃𝑑] = 𝑚𝜆

(5)

En donde 𝑚 es un valor entero que corresponde al orden de rejilla, este efecto es ideal para

modulación WDM, ya que el efecto de la rejilla consigue separar distintas longitudes de onda

28

de una fuente de luz incidente; en la figura 8 se puede observar que la luz incidente es

separada en diferentes longitudes de onda, cada longitud de onda corresponde a una 𝜃𝑑

ángulo de difracción diferente.

Note que la energía de una simple longitud de onda es distribuida sobre todos los ángulos que

cumplen la expresión para esa misma longitud de onda; Cuando la rejilla es usada como

Demultiplexor la luz es recolectada únicamente sobre esos ángulos y la energía sobre otros

puntos se pierde.

La mayoría de la energía se concentra en orden cero (𝑚 = 0), lo cual ocurre cuando 𝜃𝑖 = 𝜃𝑑

para todas las longitudes de onda, esto no es beneficioso ya que esto implicaría que las

longitudes de onda no se encuentran separadas.

5.3.4 Evolución histórica de las rejillas

5.3.4.1 Filtros multicapa de películas dieléctricas delgadas (pasabanda TFF)

Un filtro TFF, consiste en una cavidad con pequeñas y delgadas películas resonantes, este

dispositivo permite el paso de una longitud de onda y rechaza todas las demás longitudes de

onda, la longitud de onda que puede atravesar es determinada por la longitud de la cavidad.

Figura 12. Filtro de capa dieléctrica con 3 cavidades [12].

29

Figura 13. Respuesta de filtro dieléctrico, para 1 2 y 3 cavidades [16].

Un filtro “TFMF”, consiste en 2 o más cavidades separadas por capas de delgadas películas de

dieléctrico reflectivo, a mayor cantidad de separaciones más grande será el rango de las

longitudes de onda a admitir, si se conectan varios de estos filtros en cascada es posible

recrear un multiplexor o un demultiplexor.

5.3.4.2 Mach-Zhender interferómetro (MZI).

Es un dispositivo de interferencia que se usa para generar interferencia en 2 caminos de

diferentes longitudes, para así tener diferentes longitudes de onda.

Figura 14. Función de transferencia de cada estado de un filtro Mach Zhender de múltiples estados [12].

30

Figura 15. a) Estructura interna de Filtro Mach Zhender, b) Diagrama de caja negra de filtro Mach Zhender, c) Interconexión en cascada de varios filtros [12].

Un brazo es más largo que otro, por lo que al ingresar una señal, esta pasa por los caminos, la

salida un camino tiene un corrimiento de fase de π/2 con respecto a la otra, específicamente la

señal del brazo más corto.

Los Mach, Zhender son usados para filtros de banda estrecha (mayor selectividad).

5.3.4.3 Rejilla de guía de onda (AWG).

Consiste en dos acopladores multipuerto interconectados por un arreglo de guías de onda, en

este dispositivo se suma la misma señal varias veces, pero desplazadas en fase por diferentes

cantidades, un AWG tiene bajas pérdidas y la función del pasabanda será más plana.

31

Figura 16. Rejilla de guía de onda AWG [12].

Es necesario el distinguir el término fotorrefractividad, fotosensividad, y el efecto

fotocrómico.

¤ La Fotorefractividad se refiere a fenómenos usualmente adscritos a materiales

cristalinos que presentan una no linealidad de segundo orden por la cual la radiación

luminosa puede cambiar el índice de refracción debido a la creación de un campo

eléctrico interno.

¤ La fotosensibilidad corresponde a un cambio permanente del índice de refracción

como efecto de ser objeto de una radiación luminosa (el campo interno juega un papel

insignificante en dicha variación), un ejemplo de este efecto son algunos materiales

como vidrios que son capaces de cambiar su color dada su exposición a radiación

ultravioleta o por calor.

¤ Los vidrios fotocrómicos no depende de la aplicación de calor para variar su opacidad,

esta acción es reversible

5.3.4.4 El interferómetro de Bulk.

El método de escritura lateral de rejillas de Bragg en fibra fue demostrado por G. MELTZ, W.

32

Figura 17. Interferómetro UV para escritura de rejillas de Bragg en fibra óptica [12].

El rayo UV es divido en 2, posteriormente los rayos disidentes vuelven a unirse con un ángulo

𝜃, debido a las reflexiones ocasionadas por dos espejos UV, este método permite seleccionar la

longitud de onda de Bragg independientemente de la longitud de onda del rayo Ultra violeta.

𝜆𝐵𝑟𝑎𝑔𝑔 =𝑛𝑒𝑓𝑓𝜆𝑢𝑣

𝑛𝑢𝑣 sin (𝜃2)

(6)

En donde:

𝜆𝐵𝑟𝑎𝑔𝑔=Longitud de onda de Bragg.

𝑛𝑒𝑓𝑓= índice de refracción eficaz.

𝑛𝑢𝑣= índice de refracción de la silica en rayos UV.

𝜆𝑢𝑣= Longitud de onda de radiación de escritura.

𝜃= ángulo mutuo de los rayos incidentes que se unen.

En el método de fabricación de rejillas por interferencia externa de dos rayos UV, la longitud

de onda de Bragg depende de la longitud de onda de la radiación UV y de demás factores

geométricos.

Para este caso se tiene que:

𝜆𝑢𝑣 = 240𝑛𝑚

0° ≤ 𝜃 ≤ 180°

33

𝑛𝑢𝑣 ≅ 𝑛𝑒𝑓𝑓

Al observar la ecuación (6), se ve que la longitud de onda de Bragg es ajustable desde una

longitud de onda similar a la fuente de radiación UV hasta un valor casi infinito.

Para la escritura de las rejillas se debe ubicar la fibra en el punto de intersección de los rayos,

este método fue un éxito para generar rejillas con longitudes de onda que fuesen visibles, este

método es efectivo para un solo impulso de rejillas cortas, en este método se hace necesario

igualar la trayectoria de los 2 rayos incidentes, para ello se implementa un espejo de

compensación en uno de los brazos del montaje.

5.3.4.5 El Máscara de fase.

La inserción de la máscara de fase como un elemento del interferómetro facilitó la inscripción

de las rejillas de Bragg en la fibra óptica.

Una máscara de fase consiste en una rejilla grabada en el relieve de una placa de sílice, en

donde se controlada muy cuidadosamente, los espacios de rejilla, así como la profundidad de

las ranuras en el material de sílice.

El principio de operación está basado en la difracción de un rayo UV incidente en varios

modos diferentes, el rayo incidente y refractado cumplen con la ecuación general de

difracción.

El periodo de máscara de fase (∧𝑝𝑚) es:

∧𝑝𝑚=𝑚𝜆𝑢𝑣

(sin𝜃𝑚2

− sin 𝜃𝑖)

(7)

En donde:

𝜃𝑚

2 corresponde al ángulo de difracción respecto al orden

𝜆𝑢𝑣 es la longitud de onda del rayo UV

𝜃𝑖 es el ángulo incidente del rayo UV

Cuando el periodo de la rejilla esta entre 𝜆𝑢𝑣 y 𝜆𝑢𝑣

2 la onda es difractada en un solo modo

(𝑚 = −1) para el resto de casos se transmitirá con un orden 𝑚 = 0

La radiación UV generalmente tiene un ángulo de incidencia 𝜃𝑖 = 0, los modos de transmisión

del rayo incidente corresponden a 𝑚 = 0 y 𝑚 = ±1, el patrón de interferencia de la rejilla

corresponde a un periodo ∧𝑔 el cual está relacionado con el ángulo de difracción 𝜃𝑚

2

34

∧𝑔=𝜆𝑢𝑣

2 sin (𝜃𝑚2

)=

∧𝑝𝑚

2

(7.1)

Figura 18. Diagrama de la difracción de un rayo incidente sobre la máscara de fase [12].

Figura 19. Diagrama de rayo UV incidente, difractado en los modos ±1. Existe una radiación remanente en la máscara de fase en el modo m=0 [12].

El periodo de máscara de fase ∧𝑝𝑚 de la rejilla grabada en la máscara es determinado por la

longitud de onda de Bragg requerida para la rejilla en la fibra.

∧𝑔=𝑁𝜆𝐵𝑟𝑎𝑔𝑔

2𝑛𝑒𝑓𝑓=

∧𝑝𝑚

2

(8)

En donde:

𝑁 ≥ 1 corresponde a un valor entero que indica el modo del periodo de la rejilla, al decir esto

se define que es posible tener muchos más modos en la fibra, para suprimir los modos

positivos y controlar la eficiencia de difracción y lograr igualar la potencia entre el modo 𝑚 =

−1 y el modo 𝑚 = 0 correspondiente a la fuente incidente, se procede a recubrir a una de las

caras de la rejilla con una capa metálica para formar espejos reflectores, otro método a

implementar corresponde a aumentar la profundidad de la rejilla en la máscara de fase para

suprimir los modos altos y controlar las intensidades relativas.

35

La profundidad 𝑑 de las rejillas depende de la longitud de onda del rayo UV, sin embargo el

periodo es dependiente únicamente de la longitud de onda de Bragg y del índice efectivo de

los modos; en el caso de rejillas grabadas mediante rayos UV es necesario asegurar que la

intensidad de transmisión para el orden cero sea mínima, idealmente debería ser bloqueada,

para garantizar esta condición la profundidad de la rejilla debe corresponder a la ecuación:

𝑑(𝑛𝑢𝑣 − 1) =𝜆𝑢𝑣

2

(9)

En el caso de aplicaciones no monocromáticas el orden cero no debe ser atenuado.

Figura 20. Método de fabricación de rejilla mediante división de haz de luz [12].

Otro posible Para la creación de la rejilla es ubicar la fibra sobre la máscara de fase a una

distancia igual al radio del núcleo de la fibra, el patrón de distribución de la rejilla

corresponderá a la sumatoria de todos los órdenes de difracción, para garantizar un patrón

sinusoidal puro es necesario permitir el paso de los órdenes ±1 para así suprimir el orden 0,

al inclinar la fibra en un ángulo 𝛼 genera cambios en los índices de refracción provocando

diferentes longitud de onda de Bragg, el inconveniente es que las pérdidas por radiación se

pueden incrementar.

El orden cero puede ser evitando mediante el reposicionamiento de espejos.

36

5.3.5 Modelos matemáticos de las rejillas

5.3.5.1 Teoría de las rejillas de Bragg

La propagación de ondas en fibras ópticas se analiza al resolver las ecuaciones de Maxwell

bajo determinadas condiciones, el problema de hallar soluciones a las ecuaciones se simplifica

asumiendo que la onda tiene una orientación débil, es decir que se asume una diferencia entre

los índices de refracción del núcleo y de la envoltura muy pequeña en comparación con los

valores de estos índices de refracción, esto permite la descomposición de los modos en un

conjunto ortogonal de modos polarizados transversalmente.

Las soluciones proporcionan las distribuciones de campo básicas de los modos ligados y de

radiación de la guía de onda.

Los modos se propagan sin acoplamiento en ausencia de cualquier perturbación, el

acoplamiento de modos puede ocurrir si en la guía de onda tiene perturbaciones de fase y /o

amplitud de manera periódica.

La técnica aplicada generalmente para entender este tipo de problemas asume que los campos

de los diferentes modos permanecen sin cambios en presencia de una perturbación débil, este

enfoque proporciona un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden para describir

el cambio de amplitud en los campos a lo largo de la fibra, la cual posee una solución analítica

para perturbaciones sinusoidales periódicas uniformes.

Por lo tanto una rejilla de Bragg con una modulación, periodo e índice de refracción constante,

posee una solución analítica; se puede considerar que una red compleja corresponde a la

concatenación de varias secciones pequeñas, cada una de las cuales posee un periodo

constante y una modulación única del índice de refracción, por lo tanto, la modelización de las

características de transferencia de fibra de rejillas de Bragg se convierte en algo simple; la

aplicación del método de matriz de transferencia proporciona una técnica clara y sencilla para

analizar estructuras más complejas.

Otra técnica para solucionar la función de transferencia de las rejillas de Bragg es mediante la

aplicación de un esquema propuesto por Rouard para una película dieléctrica multicapa

delgada y aplicado por Weller-Brophy y Hall, dicho método se basa en el cálculo de los campos

reflejados y transmitidos en una interfaz entre dos placas dieléctricas de índice diferente.

Usando un método de matriz, se puede evaluar la respuesta de reflexión y fase de un único

período. Alternativamente, usando la solución analítica de una rejilla con un período uniforme

y la modulación del índice de refracción como en el método anterior, en su lugar se pueden

usar los coeficientes de reflexión y transmisión de campo de un único período. Sin embargo, el

enfoque de película delgada permite modelar con facilidad una modulación de índice de

refracción de forma arbitraria (no necesariamente sinusoidal, sino triangular u otra) y puede

manejar los efectos de la saturación de la modulación del índice de refracción.

La desventaja de la técnica de Rouard es el largo tiempo de cálculo y el limitado rango

dinámico debido a errores de redondeo.

37

El enfoque de la teoría de Bloch da solución exacta a diversos modos de propagación en

estructuras periódicas, ha sido usado para analizar redes complejas, este enfoque puede

conducir a una visión física más profunda de las características de dispersión de las rejillas.

Un enfoque más reciente ha sido tomado por Peral el cual ha desarrollado las ecuaciones

integrales acopladas al modelo de Gel'Fand-Levitan-Marchenko para resolver exactamente el

problema de dispersión inversa para el diseño de un filtro deseado.

Peral ha combinado los atributos de la técnica de transformada de Fourier (útil para los

coeficientes de baja reflexión, ya que no tiene en cuenta los efectos de resonancia dentro de la

rejilla), el método de reflexión local y la optimización del problema de dispersión inversa para

presentar un nuevo método que permite el diseño de rejillas con características requeridas

tanto en fase como en reflexión.

Existen otros métodos para el diseño de rejillas, como el método de índice efectivo, que es útil

para guías de onda plana, para rejillas de ultrasonido, el método de matriz se puede modificar

para así no tener en cuenta la variación lenta que tiene en el tiempo.

El meto de matriz de transferencia proporciona una gran precisión para modelar en el

dominio de la frecuencia.

5.3.5.2 Propagación de onda

La teoría de las redes de fibra de Bragg puede desarrollarse considerando la propagación de

modos en una fibra óptica. Aunque la óptica de onda guiada está bien establecida, la relación

entre el modo y la perturbación del índice de refracción en una rejilla de Bragg juega un papel

importante en la eficiencia general y el tipo de dispersión permitida por la simetría del

problema.

Aquí, se introduce la propagación de onda en fibra óptica, seguida de la teoría del

acoplamiento de diferentes modos de propagación.

En primer lugar, se tienen las expresiones (10) y (11) correspondiente a los vectores de

desplazamiento eléctrico (densidad de flujo eléctrico) y campo magnético respectivamente.

�̅� = 휀0�̅� + �̅�

(10)

�̅� = 𝜇0�̅�

(11)

En donde:

휀0: constante dieléctrica

𝜇0: permeabilidad eléctrica

38

�̅�: desplazamiento eléctrico

�̅�=campo electrico

𝑃= vector de polarización inducida

�̅�= campo magnético

𝐻= flujo magnético

El vector de polarización inducida corresponde a:

�̅� = 휀0𝑥𝑖𝑗(1)

𝐸 ̅

(12)

Siendo 𝑥𝑖𝑗(1)

el término correspondiente a susceptibilidad lineal.

Asumiendo que la guía de onda no tiene fuentes se tiene que:

∇ ∙ �̅� = 0

(13)

Y en la ausencia de materiales ferromagnéticos:

∇ ∙ �̅� = 0

(14)

El campo eléctrico descrito en su notación compleja corresponde a:

�̅� =1

2[𝐸𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝑧) + 𝐸𝑒−𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝑧)]

(15)

A su vez el vector de polarización inducida se define de manera similar usando las

ecuaciones de Maxwell:

∇ × �̅� = −𝑑�̅�

𝑑𝑡

(16)

∇ × �̅� =𝑑�̅�

𝑑𝑡+ 𝑗 ̅

(17)

En donde 𝑗 ̅corresponde al vector de intensidad de corriente, implementando las ecuaciones

(10) y (17) y asumiendo 𝑗̅ = 0 se tiene que:

∇ × �̅� =𝑑

𝑑𝑡(휀0�̅� + �̅� )

39

(18)

Tomando las ecuaciones (17) e implementando las ecuaciones (11) a (14) y la derivada

respecto al tiempo de la expresión (18) se obtiene:

∇2�̅� = 𝜇0휀0

𝛿2�̅�

𝛿𝑡2+ 𝜇0

𝛿2�̅�

𝛿𝑡2

(19)

Implementando las ecuaciones (10) y (13) en la expresión (20) se llega a la ecuación (21)

∇2�̅� = 𝜇0휀0

𝛿2

𝛿𝑡2 [1 + 𝑥𝑖𝑗(1)]�̅�

(20)

∇2�̅� = 𝜇0휀0휀𝑖𝑗

𝛿2�̅�

𝛿𝑡2

(21)

5.3.5.3 Guías de ondas

El paso siguiente es introducir en la ecuación de onda los modos de propagación en la fibra

óptica, los modos de una fibra óptica pueden ser descritos como la sumatoria de las

amplitudes transversales en la guía de onda 𝐴𝜇(𝑧), junto con los modos de radiación continuo,

𝐴𝜌(𝑧), con sus respectivas constantes de propagación.

𝐸𝑡 =1

2∑ [𝐴𝜇(𝑧)𝜉𝜇𝑡𝑒

𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐]

𝜇=1

𝜇=−1

+ ∑[𝐴𝜌(𝑧)𝜉𝜌𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜌𝑧)𝑑𝜌]

𝜌=∞

𝜌=0

(22)

Donde:

𝜉𝜇𝑡 y 𝜉𝜌𝑡 corresponden a las distribuciones transversales de campo radial de los modos de

radiación guiada 𝜇𝑡ℎ y 𝜌𝑡ℎ, respectivamente, aquí la polarización de los campos se ha incluido

implícitamente en el subíndice transversal 𝑡, todos los diferentes modos de radiación deben

ser tomados en cuenta, como por ejemplo el campo transversal eléctrico (𝑇𝐸) y el modo

transversal magnético (𝑇𝑀) así como los modos híbridos (𝐸𝐻) y (𝐻𝐸).

La siguiente relación de ortogonalidad asegura que el transporte de potencia en vatios en el

modo 𝜇𝑡ℎ es:

|𝐴𝜇𝑡|2

=1

2∫ ∫ 𝑒�̂� ∙ [𝜉𝜇𝑡 × 𝜉𝑣𝑡

∗ ]+∞

−∞

+∞

−∞

𝑑𝑥𝑑𝑦 =1

2[𝛽𝜇

𝜔𝜇0]∫ ∫ 𝑒�̂� ∙ [𝜉𝜇𝑡 × 𝜉𝑣𝑡

∗ ]+∞

−∞

+∞

−∞

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝛿𝜇𝑣

40

(23)

Aquí, 𝑒�̂� es un vector unitario a lo largo del eje de propagación z, 𝛿𝜇𝑣 es el delta Kronecker el

cual toma el valor de 1 para cuando 𝜇 = 𝑣 (son iguales) y 0 para cualquier otro caso.

La ecuación (23) se aplica para modo de guiado débil para las cuales las componentes

longitudinales eléctricas del campo eléctrico son mucho más pequeñas que el de las

componentes transversales, mejorando los modos predominantes que son lineales y están

polarizados transversalmente a la dirección de propagación, por lo tanto, la componente

transversal del campo magnético es:

𝐻𝑡 = √휀0휀𝑟

𝜇0[𝑒�̂�

𝜕

𝜕𝑧× 𝜉𝑡]

(24)

Los campos satisfacen la ecuación de onda (21) y están limitados por la guía de onda, los

modos de los campos en el núcleo tienen la forma de la función de J-Bessel mientras que los

campos ubicados en el revestimiento tienen la forma de k-Bessel.

Los campos transversales para el modo de polarización 𝜇𝑡ℎ 𝑥 que satisfacen la ecuación de

onda están dados por:

𝜉𝑥 = 𝐶𝜇𝐽𝜇 (𝑢𝑟

𝑎) {

cos 𝜇𝜙sen𝜇𝜙

}

(25)

𝐻𝑦 = 𝑛𝑒𝑓𝑓√휀0

𝜇0𝜉𝑥

(26)

Y los respectivos campos en el revestimiento son:

𝜉𝑥 = 𝐶𝜇𝐽𝜇𝐾𝜇 (𝜔𝑟

𝑎) {

cos𝜇𝜙sen𝜇𝜙

}

(27)

𝐻𝑦 = 𝑛𝑒𝑓𝑓√휀0

𝜇0𝜉𝑥

(28)

Los siguientes parámetros normalizados fueron usados en las ecuaciones (25) a (28):

𝑣 =2𝜋𝑎

𝜆√𝑛𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜

2 − 𝑛𝑐𝑙𝑎𝑑 2

41

(29)

𝑢 =2𝜋𝑎

𝜆√𝑛𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜

2 − 𝑛𝑒𝑓𝑓2

(30)

𝜔2 = 𝑣2 − 𝑢2

(31)

𝑛𝑒𝑓𝑓 = 𝑛𝑐𝑙𝑎𝑑 [𝑏 (𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 − 𝑛𝑐𝑙𝑎𝑑

𝑛𝑐𝑙𝑎𝑑) + 1]

(32)

Donde 𝑛𝑒𝑓𝑓es el índice efectivo del modo

𝑏 =𝜔2

𝑢2

(33)

Finalmente asumiendo únicamente una polarización simple, para el modo de polarización y

se tiene:

𝜉𝑦 = 𝐻𝑥 = 0

(34)

La selección del término seno o coseno para los modos es algo perfectamente arbitral en

fibras perfectamente circulares, dado que la relación de transferencia de potencia

corresponde a |𝐴𝜇|2

y la relación del vector de Poyting con la expresión (23), la normalización

de la constante 𝐶𝜇 puede ser expresada como:

𝐶𝜇 =2𝜔

𝑎𝑣

[ √

𝜇0휀0

𝑛𝑒𝑓𝑓𝜋𝑒𝜇|𝐽𝜇−1(𝑢)𝐽𝜇+1(𝑢)|] 1/2

(35)

Donde 𝑒𝜇 = 2 cuando 𝑢 = 0 (modo fundamental) y 1 para 𝑢 ≠ 0.

Cuando los campos inciden entre el límite del núcleo y el revestimiento, da como resultado la

ecuación de eigenvalores característicos de la guía de ondas, que puede ser resuelto para calcular las constantes de propagación de los modos:

𝑢𝐽𝜇±1(𝑢)

𝐽𝜇(𝑢)= 𝜔

𝐾𝜇±1(𝜔)

𝐾𝜇(𝜔)

(36)

42

5.3.5.4 Teoría del modo acoplado

Los modos de guía de onda satisfacen la ecuación de onda sin perturbaciones (21) y tienen las

soluciones descritas en las ecuaciones (25) a (28).

Para derivar las ecuaciones de modo acoplado, se deben incluir los efectos de la perturbación,

suponiendo que los modos de la guía de onda no perturbada permanecen sin cambios, para

ello se implementará la ecuación (37)

∇2�̅� = 𝜇0휀0

𝛿2�̅�

𝛿𝑡2+ 𝜇0

𝛿2�̅�

𝛿𝑡2

(37)

Suponiendo que la propagación de la onda tiene lugar en un sistema perturbado con una

rejilla dieléctrica, la respuesta de polarización total del medio dieléctrico descrito en la

ecuación (28) se puede separar en dos términos, sin perturbaciones y la polarización

perturbada, como:

�̅� = �̅�sin𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 + �̅�𝑟𝑒𝑗𝑖𝑙𝑙𝑎

(38)

En donde la polarización sin perturbación corresponde a:

�̅�sin𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 휀0𝑥𝑖𝑗(1)

𝐸 ̅𝜇

(39)

La ecuación (37) entonces se define como:

∇2�̅�𝜇𝑡 = 𝜇0휀0휀𝑟

𝛿2

𝛿𝑡2𝐸𝜇𝑡 + 𝜇0

𝛿2

𝛿𝑡2 𝑃𝑟𝑒𝑗𝑖𝑙𝑙𝑎,𝜇

(40)

Por el momento, la naturaleza de la polarización perturbada, que es impulsada por el campo

eléctrico de propagación y se debe a la presencia de la rejilla, es un detalle que se incluirá más

adelante.

Ahora sustituyendo los modos de propagación en la ecuación 13) en la ecuación 31)

proporciona la siguiente relación.

∇2 [1



𝜇=1

𝜇=−1

+ ∑ ∫ 𝐴𝜌(𝑧)𝜉𝜌𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜌𝑧)𝑑𝜌

𝜌=∞

𝜌=0

] −

𝜇0휀0휀𝑟

𝛿2

𝛿𝑡2 [1


𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐] + ∑ ∫ 𝐴𝜌(𝑧)𝜉𝜌𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜌𝑧)𝑑𝜌

𝜌=∞

𝜌=0

𝜇=1

𝜇=−1

] =

43

𝜇0

𝛿2

𝛿𝑡2 𝑃𝑟𝑒𝑗𝑖𝑙𝑙𝑎,𝜇

(41)

Ignorando el acoplamiento de los modos de radiación por el momento, es posible expandir la

parte izquierda de la ecuación (21), en el caso de acoplamiento débil es posible una mayor

simplificación implementado una función envolvente que varié lentamente, esto requiere que

la amplitud del modo cambie lentamente a lo largo de una distancia, de la longitud de onda de

la luz:

𝛿2𝐴𝜇

𝛿𝑧2≪ 𝛽𝜇

𝛿𝐴𝜇

𝛿𝑧

(42)

De manera que:

∇2�̅�𝑡 =1

2∑ [−2𝑖𝛽𝜇

𝛿𝐴𝜇

𝛿𝑧𝜉𝜇𝑡𝑒

𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) − 𝛽𝜇2𝐴𝜇𝜉𝜇𝑡𝑒


𝜇=1

𝜇=−1

(43)

Expandiendo el segundo término de la ecuación (41), notando que 𝜔2𝜇0휀0휀𝑟 = 𝛽𝜇2 y

combinándolo con la ecuación (43), la ecuación de onda simplificada corresponde a:

∑ [−𝑖𝛽𝜇

𝛿𝐴𝜇

𝛿𝑧𝜉𝜇𝑡𝑒

𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐] = 𝜇0

𝛿2

𝛿𝑡2 𝑃𝑟𝑒𝑗𝑖𝑙𝑙𝑎,𝑡

𝜇=𝑙

𝜇=−𝑙

(44)

En donde el subíndice 𝑡 en la 𝑃𝑟𝑒𝑗𝑖𝑙𝑙𝑎,𝑡 nos recuerda que la rejilla tiene un comportamiento

transversal, multiplicando ambos lados de la ecuación (44) por 𝜉𝜇∗ e integrando sobre la guía

de onda en la sección de cruce nos conduce a:

∑ ∫ ∫ [−𝑖𝛽𝜇

𝛿𝐴𝜇

𝛿𝑧𝜉𝜇𝑡

∗ 𝜉𝜇𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐] 𝑑𝑥𝑑𝑦 =

+∞

−∞

+∞

−∞

∫ ∫ 𝜇0𝜉𝜇𝑡∗

𝛿2


+∞

−∞

𝑑𝑥𝑑𝑦+∞

−∞

𝜇=𝑙

𝜇=−𝑙

(45)

Aplicando la relación de ortogonalidad de la ecuación (23) resulta directamente en:

∑ [−2𝑖𝜔𝜇0𝛽𝜇

𝛿𝐴𝜇

𝛿𝑧𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐] = ∫ ∫ 𝜇0

𝛿2

𝛿𝑡2 𝑃𝑟𝑒𝑗𝑖𝑙𝑙𝑎,𝑡𝜉𝜇𝑡

∗+∞

−∞

𝑑𝑥𝑑𝑦+∞

−∞

𝜇=𝑙

𝜇=−𝑙

(46)

44

La ecuación (46) corresponde a la ecuación de propagación de onda la cual puede ser usada

para una variedad de fenómenos en los modos de acople, la ecuación (46) se aplica a un

conjunto de modos de propagación adelante y atrás. El campo transverso total puede ser

descrito como la sumatoria de ambos campos no necesariamente en el mismo modo u orden.

𝐸𝑡 =1

2(𝐴𝑣𝜉𝑣𝑡𝑒

𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐 + 𝐵𝜇𝜉𝑣𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐)

(47)

𝐻𝑡 =1

2(𝐴𝑣𝐻𝑣𝑡𝑒

𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐 − 𝐵𝜇𝐻𝑣𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛽𝜇𝑧) − 𝑐𝑐)

(48)

Aquí el signo negativo en el exponente se refiere al modo de propagación en adelante,

mientras que el signo positivo se refiere al modo de propagación hacia atrás, los modos de

guías de onda forman un conjunto ortogonal, el cual en una fibra ideal no combinara a menos

que exista una perturbación, implementado las ecuaciones (47) y (49) en la expresión (45) se

tiene que:

[𝛿𝐴𝑣

𝛿𝑧𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐] − [

𝛿𝐵𝑣

𝛿𝑧𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐] = +

𝑖

2𝜔∫ ∫

𝛿2


+∞

−∞

𝜉𝜇𝑡,𝑣𝑡∗ 𝑑𝑥𝑑𝑦

+∞

−∞

(49)

La anterior expresión es correspondiente a la ecuación de propagación de onda.

5.3.5.4 Modulación de índice de refracción espacialmente periódica

En un medio en el cual la constante dieléctrica varía periódicamente a lo largo de la dirección

de propagación de la onda, la polarización total puede ser definida con la permitividad de perturbación, ∆휀(𝑧) y el campo aplicado como:

𝑃 = 휀0[휀𝑟 − 1 + ∆휀(𝑧)]𝐸𝜇

(50)

Los términos sin paréntesis corresponden a 𝜒(1), y 휀𝑟, es la permitividad relativa del núcleo

sin perturbaciones. La relación entre la permitividad del material y el índice de reflexión 𝑛

resulta en el índice en la perturbación, siendo derivado de 𝑛2 = 휀𝑟 se tiene que:

[𝑛 + 𝛿𝑛(𝑧)]2 = 휀𝑟 + ∆휀(𝑧)

(51)

Suponiendo que la perturbación sea una pequeña fracción del índice de refracción, se deduce que:

45

∆휀(𝑧) ≈ 2𝑛𝛿𝑛(𝑧)

(52)

Definiendo la modulación del índice de refracción de la rejilla se tiene:

∆𝑛(𝑧) = ∆𝑛̅̅̅̅ {1 +𝑣

2(𝑒𝑖[(2𝜋𝑁/Λ)𝑧+𝜙(𝑧)]) + 𝑐𝑐}

(53)

Donde ∆𝑛̅̅̅̅ es el cambio del índice de refracción promediado durante un simple período de la

rejilla, 𝑣 es la visibilidad de las franjas, y el término del exponente junto con el conjugado

complejo cc describe la modulación periódica real en notación compleja. Se ha incluido un

cambio de fase arbitrario correspondiente al termino 𝜙(𝑧). Λ es el periodo de la perturbacion,

mientras que N es un valor entero (−∞ < N < ∞) que indica el orden del armónico. Se debe

tener en cuenta el cambio promedio del período en el índice de refracción, ya que altera el

índice efectivo de un modo.

Combinando las ecuaciones (50) y (52), la combinación total es:

𝑃 = 휀0 {𝑛2 − 1 + 2𝑛∆𝑛̅̅̅̅ [1 +𝑣

2(𝑒𝑖[(2𝜋𝑁/Λ)𝑧+𝜙(𝑧)] + 𝑐𝑐)]} 𝐸𝑢

(54)

Donde el primer término en el lado derecho es las permitividad, el segundo término es el

cambio de índice refractivo dc, y el tercer término es el índice de modulación refractivo,

finalmente definiendo una nueva amplitud demodulación incorporando la visibilidad:

𝛿𝑛(𝑧) = 2𝑛 [∆𝑛̅̅̅̅ +∆𝑛

2(𝑒𝑖[(2𝜋𝑁/Λ)𝑧+𝜙(𝑧)] + 𝑐𝑐)]

(55)

Con ∆𝑛 = 𝑣∆𝑛̅̅̅̅ como la amplitud de modulación del índice de refracción ac.

La ecuación (55) describe el cambio del índice de refracción inducido por UV debido a una

rejilla escrita en el núcleo de la fibra, a continuación se presenta la modulación del índice de

refracción para una rejilla uniforme, y su respectiva variación en función del valor de

visibilidad.

46

Figura 21. Modulación del índice de refracción en el núcleo de una fibra para diferentes visibilidades del patrón marginal [12].

En la figura 21, también se muestra el cambio promedio del índice de refracción en el núcleo

(línea punteada). La diferencia del índice de refracción entre el núcleo y el revestimiento no

perturbado es de 5 X 10 ~ 3, mientras que la modulación máxima del índice de refracción para

la unidad visible es de ± 2 X 10 ~ 3.

Se debe tener en cuenta que el cambio en el índice en el núcleo es constante,

independientemente de las franjas de visibilidad, aunque permanece siendo una función de

𝛿𝑛, en el ejemplo mostrado en la figura anterior, tanto el índice promedio como la

modulación del índice de refracción 𝛿𝑛 aumentan con el tiempo de exposición UV.

La polarización en presencia de perturbaciones ahora puede estar relacionada con el cambio

del índice de refracción mostrada en la ecuación (54) para dar:

𝑃𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 2𝑛휀0 [∆𝑛̅̅̅̅ +∆𝑛

2(𝑒𝑖[(2𝜋𝑁/Λ)𝑧+𝜙(𝑧)] + 𝑐𝑐)] Ε𝜇

(56)

Incluyendo la ecuación (55) en la ecuación (48) el resultado obtenido es:

[𝛿𝐴𝑣

𝛿𝑧𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐] − [

𝛿𝐵𝑣

𝛿𝑧𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) + 𝑐𝑐] =

47

+𝑖

2𝜔∫ ∫ 𝛿𝑛(𝑧)[𝐴𝑣𝑒

𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧)𝜉𝑣𝑡 + 𝐵𝜇𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧)𝜉𝜇𝑡]+∞

−∞

𝜉𝜇𝑡,𝑣𝑡∗ 𝑑𝑥𝑑𝑦

+∞

−∞

+ 𝑐𝑐 =

−𝑖𝑛𝜔휀0𝐴𝑣 ∫ ∫ [∆𝑛̅̅̅̅ +∆𝑛

2(𝑒

𝑖[(2𝜋𝑁Λ

)𝑧+𝜙(𝑧)]+ 𝑐𝑐)] 𝜉𝑣𝑡

+∞

−∞

𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝑣𝑧)𝜉𝜇𝑡,𝑣𝑡∗ 𝑑𝑥𝑑𝑦

+∞

−∞

−

𝑖𝑛𝜔휀0𝐵𝜇 ∫ ∫ [∆𝑛̅̅̅̅ +∆𝑛

2(𝑒𝑖[(2𝜋𝑁/Λ)𝑧+𝜙(𝑧)] + 𝑐𝑐)] 𝜉𝑣𝑡

+∞

−∞

𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧)𝜉𝜇𝑡,𝑣𝑡∗ 𝑑𝑥𝑑𝑦

+∞

−∞

(57)

En el lado izquierdo de la ecuación (57) la tasa de variación de cualquiera 𝐴𝑣 o 𝐵𝜇 es

determinado por el orden del modo 𝜇 o 𝑣 del campo eléctrico, 𝜉𝜇𝑡,𝑣𝑡∗ es un multiplicador

escogido de acuerdo a la relación de ortogonalidad de la ecuación (23). Una vez seleccionados

los términos del lado izquierdo es necesario hacerse la pregunta de qué términos definir para

el lado derecho, antes de examinar esto es necesario considerar los términos del lado derecho

en general.

El lado derecho de la ecuación (56) tiene dos componentes genéricas para ambos modos A y

B.

𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =

−𝑖𝑛𝜔휀0𝐵𝜇𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜇𝑧) ∗ ∫ ∫ ∆𝑛̅̅̅̅ 𝜉𝑣𝑡

+∞

−∞

𝜉𝜇𝑡∗ 𝑑𝑥𝑑𝑦

+∞

−∞

− 𝑖𝑛𝜔휀0𝐴𝑣𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛽𝜌𝑧+𝜙(𝑧))

∗ ∫ ∫∆𝑛

2𝜉𝑣𝑡

+∞

−∞

𝜉𝜇𝑡∗ 𝑑𝑥𝑑𝑦

+∞

−∞

+ 𝑐𝑐

(58)

Donde el primer exponente debe ser acorde con el exponente del campo, del lado derecho de

la ecuación (57) y tiene una dependencia con el cambio de índice de refracción, ∆𝑛̅̅̅̅ la razón es

que cualquier otra dependencia de velocidad de fase (como en el caso de otro modo acoplado)

no permanecerá sincronizada con la onda generada.

El segundo término en el lado derecho de la expresión tiene dos partes. El primero depende

del factor sincrónico de fase.

𝛽𝜌 =2𝜋𝑁

Λ± 𝛽𝑣

(59)

Los modos de interacción que pueden tomar lugar son determinados por los términos

ubicados a la derecha de las ecuaciones (57) y (58). Dos aspectos deben ser tomados en

cuenta: primero, la conservación del momento requiere que la constante de fase de los

términos de lado izquierdo y derecho de la ecuación (57) sean idénticos con la ecuación (58).

48

De esa forma se influye en el acoplamiento en los modos de copropagación y

contrapropagación.

En segundo lugar, la integral transversal en el lado derecho de la expresión (57), es

simplemente la superposición del perfil de modulación del índice de refracción y la

distribución de los campos , determinando así la intensidad de interacción de los modos.

Considere primero el momento de conservación y luego la superposición de las fases.

5.3.5.5 Superposición de fase

Empezamos primero con la ecuación (58) en la cual el factor de fase es la suma de las

diferencias entre la magnitud de propagación del campo eléctrico que se desplaza, en un modo de propagación constante 𝛽𝑣 y el factor de fase de la perturbación.

El resultado 𝛽𝜌 es la constante de fase de la polarización inducida en la onda, esta es la

constante de propagación de un límite de onda, generada por la respuesta de la polarización

del material debido a la presencia de fuentes.

Para que exista una transferencia de energía significante del campo de conducción con

amplitud 𝐴𝑣 se genera un campo en el lado izquierdo de la ecuación (57), las generación y

polarización de las ondas debe permanecer en fase sobre una distancia significante z. Para

una transferencia continua de energía:

𝛽𝜇 = 𝛽𝜌

(59)

La ecuación (59) describe las condiciones necesarias para que haya una superposición de

fases, una variación de fase ∆𝛽 se conoce como una desafinación.

∆𝛽 = 𝛽𝜇 − 𝛽𝜌

(60)

Usando la ecuación (49) en la ecuación (51) se tiene que:

∆𝛽 = 𝛽𝜇 ± 𝛽𝜌 −2𝜋𝑁

Λ

(61)

Si ambos 𝛽𝜇 y 𝛽𝜌 tienen signos iguales idénticos (positivos), para el acoplamiento de fase se

cumple ∆𝛽 = 0 para modos de contrapropagacion, si estos tienen signos opuestos la

interacción será entre los modos de copropagacion, finalmente la conservacion de energia

requiere que la frecuencia 𝜔 de la onda generada permanezca sin cambios.

La figura 22 presenta el principio de acoplamiento de fase: La polarización de las ondas

crecientes con el campo de conducción, Los dipolos radiantes son mostrados distribuidos

49

espacialmente con un periodo de Λ, permitiendo que las ondas radiadas permanezcan en fase

con el campo. Este esquemático se aplica a modos de radiación acoplados.

Figura 22. El principio de acoplamiento de fase [12].

5.3.5.6 Modo simétrico e integral de superposición

La relación de ortogonalidad de la ecuación (23) sugiere que los únicos modos con el mismo

orden 𝜇 presentan superposición cuando el coeficiente sea de orden cero, sin embargo la

presencia de asimetrías del perfil de modulación del índice de refracción a través de la región

fotosensible de la fibra puede varias el resultado, permitiendo que modos cuyo orden es

distinto de 0 sean tomados en cuenta en la superposición. La razón de esta desviación de la

ecuación (23) son las fuentes no uniformes transversales, dando a lugar a una onda

polarizada con una simetría impar permitida.

Esto es mostrado en la figura 23, donde se muestra el modo fundamental de un campo

eléctrico (𝐿𝑃01, 𝜇 = 0), 𝜉𝑣 interactúa con la permitividad modulada que tiene un perfil

transversal uniforme, también se muestra el campo polarizado con modo “𝐿𝑃11”, al observar

la superposición transversal (la cual es proporcional al producto de las amplitudes de los

campos y al perfil del índice de refracción), en la mitad izquierda del núcleo, encontramos que

la magnitud es la misma que en la mitad derecha, pero tienen los signos opuestos, lo que

resulta en una superposición cero.

La relación de ortogonalidad se mantiene y el intercambio de energía no es posible entre los

diferentes modos de orden. Sin embargo, si el perfil del índice de refracción no es uniforme a

través del núcleo (figura, 23), aunque los signos de la superposición en las dos mitades

(alrededor de un plano a través del eje de la fibra) son diferentes, las magnitudes ya no son

50

idénticas; por lo tanto la superposición ya no es cero, permitiendo una onda polarizada con

una simetría diferente a la de la del modo de propagación.

Figura 23. A través de una sección de la fibra se presentan los campos de [LP] 11 y [LP] 01, a lo largo de un perfil con índice de refracción transverso [12].

La selección de reglas para los modos involucrados en el cambio de energía son determinados

por los detalles de los términos de la ecuación (57) y al aplicar igualmente los modos de

radiación.

La consecuencia de un perfil de perturbación con índice de refracción asimétrico puede ser

apreciada en la ecuación (56). En el término del lado izquierdo, las integrales con los campos

eléctricos del campo propagado 𝜉𝜇𝑡 , y la onda polarizada 𝜉𝑣𝑡 a lo largo de un perfil asimétrico

del índice de refracción modulado diferente de cero para modos diferentes.

La magnitud de la superposición depende de los detalles del perfil de perturbación.

5.3.5.7 Modulación de índice de refracción no sinusoidal espacialmente periódica

Note que en la ecuación (56), la perturbación del índice de refracción puede tener un ± en el

signo del exponente, Este es un resultado directo de la expansión de Fourier de la

perturbación de la permitividad.

En los casos en general cuando la modulación del índice de refracción no es una simple

sinusoidal pero es una función periódica compleja de 𝑧, es más conveniente expandir 𝛿𝑛, en

términos de las componentes de Fourier como:

51

𝛿𝑛(𝑧) = 2𝑛 [∆𝑛̅̅̅̅ +∆𝑛

2∑ 𝛼𝑁

𝑁=+∞

𝑁=−∞

(𝑒𝑖[(2𝜋𝑁/Λ)𝑧+𝜙(𝑧)] + 𝑐𝑐)]

(62)

Donde 𝛼𝑁 es el coeficiente de la amplitud de Fourier del enésimo armónico de la

perturbación

Independientemente de la conformación de las funciones cada una tiene su correspondiente

coeficiente, la cual modifica el cambio de amplitud en la superposición realizada por la

integral y por lo tanto la fuerza del modo de acoplamiento.

5.3.5.8 Tipos de modo de acoplamiento

La condición de superposición de fase ∆𝛽 es definida como cero de forma que:

𝛽𝑣 = ±(2𝜋𝑛

Λ− 𝛽𝜇)

(63)

La ecuación (63) establece que un modo con una constante de propagación constante de 𝛽𝜇

va a ser impulsado sincrónicamente por potro modo 𝐴𝑣 con una constante de propagación 𝛽𝑣

prevista, por supuesto, este último es una solución permitida para la ecuación de una onda

imperturbable (36) para modos guiados y es equivalente modos de radiación.

Los modos guiados de la fibra tienen constantes de propagación que se encuentran dentro de

los límites del núcleo y los valores del revestimiento, sin embargo únicamente las soluciones

con valores propios en la ecuación (36) son permitidos, consecuentemente para los segundos

órdenes u modos más bajos en la fibra, 𝐿𝑃01 Y 𝐿𝑃11, las constantes de propagación 𝛽𝜇 y 𝛽𝑣 son

círculos de radio 2𝜋𝑛𝑣

𝜆 y

2𝜋𝑛𝜇

𝜆.

Un modo que viaja hacia adelante, tiene un vector de propagación �̅�𝐿𝑃01 que combinado con el

vector de la rejilla �̅�𝐿𝑃𝑟𝑒𝑗𝑖𝑙𝑙𝑎 se genera un �̅�𝐿𝑃𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜, ya que el vector de rejilla está en un

ángulo 𝜃𝑔 en la dirección de propagación, la condición de cruce de fase se reduce a:

∆𝛽 = |𝛽𝐿𝑃01| + |𝛽𝐿𝑃11| − �̅�𝐿𝑃𝑟𝑒𝑗𝑖𝑙𝑙𝑎 cos 𝜃𝑔

(64)

Bajo estas circunstancias, el proceso de cruce de fase, el signo se invierte después de una

determinada distancia (conocida como la longitud de coherencia 𝑙𝑐) cuando:

52

∆𝛽𝑙𝑐 = 𝜋

(65)

Consecuentemente el modo radiado 𝐿𝑃11 (viajando con una fase constante de 𝛽𝜇) propagado

sobre una distancia 𝑙𝑐 antes de que se desfase media longitud de onda con respecto a la onda

que se propaga (viajando con una constante de fase𝛽𝑣).

Para entender las condiciones de cruce de fase, se debe empezar con el diagrama de

dispersión de los modos, las constantes de propagación de los modos y su dispersión es

crucial para entender el cruce de fases. Para facilitar la interpretación respecto a las

propiedades de los modos, usaremos una analogía aproximada entre rayos y modos.

En la figura 4 se presenta la sección de una fibra óptica con un rayo incidente con un ángulo el

cual es refractado fuera del núcleo en una dirección que está en paralelo con el eje z. La

dirección de propagación es indicada como el eje z mientras que la dirección transversal es el

eje x.

El ángulo 𝜃𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 = sin−1(𝑛𝑟𝑒𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜/𝑛𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜) es marcado como un ángulo crítico para el

rayo, en ángulo de propagación del rayo es 𝜃𝑐𝑢𝑡𝑜𝑓𝑓 , todos los rayos con un ángulo menor a

𝜃𝑐𝑢𝑡𝑜𝑓𝑓 son permitidos, peor solo aquellas que generan ondas estacionarias con índice de

refracción efectivo de 𝑛𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜.

Figura 24. Propagación de rayo en fibra óptica [12].

Ahora se presenta la figura 24 que corresponde al diagrama de dispersión generalizado para

una fibra óptica, en donde se muestran tres circunferencias, la circunferencia externa con

radio de 𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 , la circunferencia central con radio 𝑛𝑐𝑙𝑎𝑑 y el círculo sombreado corresponde al

espacio libre, este diagrama está basado en la representación de la figura 24, es por ello que

en la figura 12 se marca el ángulo critico

53

5.3. Red neuronal artificial.

Una red neuronal artificial es un sistema que emula la configuración de las redes neuronales

biológicas, las cuales constan de muchos procesadores sencillos (neuronas) conectados entre

sí por capas, cada una produciendo una secuencia de activaciones de valor real. Las unidades

de entrada se activan a través de sensores que perciben el ambiente o datos de entrada, otras

neuronas a través de conexiones con pesos reales de neuronas previamente activas. Algunas

neuronas pueden influir en el entorno desencadenando acciones con sus salidas, o

simplemente mostrar sus datos de salida. La asignación de aprendizaje consiste en encontrar

pesos que hagan que la red neuronal artificial muestre el comportamiento deseado.

Dependiendo del problema y cómo se conectan las unidades, tal comportamiento puede

requerir largas cadenas causales de etapas computacionales, donde cada etapa transforma (a

menudo de manera no lineal) la activación agregada de la red [15].

Las primeras redes neuronales artificiales fueron creadas en la década de los 40 y poseían

arquitecturas estáticas, que no permitían un entrenamiento. Una década más tarde se

empiezan a publicar las primeras ideas de aprendizaje, lo que llevó al desarrollo de redes

neuronales artificiales simples, entrenadas tanto por métodos supervisados (décadas 60 y

70) como por no supervisados (década 70), también surge la idea de memorias asociativas

cercanamente relacionadas (década 80). Pero los métodos de aprendizaje, son esencialmente

variantes de los métodos de regresión, los cuales fueron desarrollados a principios del siglo

XIX por Legendre (Adrien-Marie Legendre) y Gauss (Johann Carl Friedrich Gauß) [16].

5.3.1. Métodos de aprendizaje.

Entre los aprendizajes utilizados actualmente se encuentran:

Entrenamiento supervisado; se poseen una serie de datos de ejemplo (datos de

entrenamiento), con los cuales la red neural crea una función de predicción [17]. Se

debe poseer la mayor cantidad de datos de entrenamiento posible, a fin de que la red

neuronal sea más precisa y evitar, entre otras cosas, correlaciones falsas [18].

Entrenamiento no supervisado; donde a partir de datos sin etiqueta, la red neuronal

autónomamente las clasifica según las características, correlaciones y regularidades

que encuentre [19].

Aprendizaje por refuerzo; en el cual algunos de los eventos de entrada pueden

codificar señales de recompensa, y un objetivo típico es encontrar pesos que

produzcan una alta recompensa, encontrando así las salidas y pesos apropiados [20].

Propagación hacia atrás; es un método para calcular la contribución de error de cada

neurona después de procesar un lote de datos, esto es utilizado por un algoritmo de

optimización envolvente para ajustar el peso de cada neurona, completando el

proceso de aprendizaje [21].

54

5.3.2. Aplicaciones.

Las redes neuronales artificiales, han sido utilizadas con éxito para una gran multitud de

propósitos, entre otros, la síntesis de texto a voz [22], modelado acústico [23], funciones para

la transcripción del habla [24] [25], procesamiento de voz [26], estadística del habla [27],

predicción del contorno de funciones [28], detección de rostros [29], clasificación de

imágenes [30] [31], identificación de estructuras neuronales [32], identificación de nuevas

moléculas farmacéuticas [25], modelamientos fisiológicos [33], detección de ataques

cibernéticos [34] [35].

55

6. ANTECEDENTES

En el proceso de emisión y recepción de información mediante fibra óptica se hace necesario

el uso de dispositivos amplificadores de ganancia conocidos como EDFAs, dichos dispositivos

sin necesidad de convertir la señal al dominio eléctrico son capaces de amplificar las señales

ópticas transferidas, sin embargo las ganancias aplicadas a cada longitud de onda difieren, es

por ello que se hace necesario implementar diversos métodos que permitan ajustar dichos

ganancias, a este proceso se le denomina ecualización de ganancias [36].

Un método para ecualizar las ganancias consiste en mejorar las características y propiedades

de los EDFAs por consiguiente se modifican las propiedades físicas de los materiales

implementados en su fabricación, actualmente se han obtenido resultados satisfactorios

mediante la implementación de EDFA con dopaje otros materiales que permiten modificar el

valor de permitividad así como el coeficiente de reflexión, la modificación de parámetros

pueden hacer que el dispositivo posea mayor eficacia, garantizados de este modo un BER(taza

de error) bajo [37] [38].

Otros método para lograr ecualizar las ganancias requiere la implementación de una fuente

externa de luz, generalmente un rayo láser tipo Fabry Periot, para lograr las ganancias deseas

se debe ajustar la longitud de onda de la fuente de energía externa, para este tipo de ajustes

algunos EDFAs de tipo comercial cuentan con conectores para adicionar haces de luz externos

que modifiquen los parámetros de transmisión.

Uno de los principales métodos para ecualizar la ganancia de los EDFAs consiste en la

inserción de interferencias en la fibra óptica, dichas perturbaciones corresponden a rejillas de

Bragg, las cuales consisten en irregularidades en ciertas áreas dentro de la fibra óptica,

cuando se hace una transmisión en fibra óptica se implementa modulación WDM en la cual

cada canal de transmisión posee una determinada longitud de onda, para lograr modificar la

ganancia de cada canal, se debe insertar una rejilla de Bragg por cada canal, es decir que si se

implementasen 8 canales se requeriría del uso de 8 rejillas para así poder ajustar la ganancia;

cada rejilla de Bragg posee una frecuencia de trabajo y con ella es posible modificar el índice

de reflexión como el coeficiente de transmisión de una determinada longitud de onda [4].

Actualmente se han implementado módulos inteligentes que modifican en tiempo real los

parámetros de transmisión de las señales, para ello se censan ciertos parámetros en los

puntos de transmisión y recepción de las señales, a pesar de ser un método eficaz el principal

inconveniente de dicho proceso son los altos costos para la implementación de dichos

sistemas, además de requerir de la capacitación de personal cualificado para la operación y

manipulación de equipos de este tipo.

56

7. DECISIONES DE DISEÑO

7.1 Enlace óptico.

El enlace óptico que se elige para optimizar, viene por defecto implementado en el programa

optisistem con el nombre de Gain Flattening Filter Optimization. El enlace óptico (Fig. 25),

contiene 8 láseres, cada uno con una señal de 10GHz de ancho de banda modulada a 195THz;

un multiplexor WDM (wavelength-division multiplexing - multiplexado por división en longitudes de

onda) une las ocho señales en un solo haz de luz, iniciando en 195THz y con una separación

espectral de 200GHz entre cada señal; un amplificador EDFA de cinco metros diseñado para

amplificar en banda C; un filtro de aplanamiento que ecualiza las ganancias del EDFA para

mantener una ganancia idéntica para cada una de las ocho señales; y finalmente un

demultiplexor WDM, para separar nuevamente cada una de las 8 señales diferentes; los

demás elementos que se observan en el enlace son instrumentos de medida para visualizar la

operación de cada elemento del enlace óptico.

Figura 25. Enlace óptico en optisystem

El esquemático es un ejemplo del programa para utilizar su sistema de optimización en el

filtro de aplanamiento; al iniciar el ejemplo, el filtro de aplanamiento no está correctamente

construido y no realiza su función de aplanar la ganancia (Fig. 26 a), al utilizar el sistema de

optimización que provee optisystem, el programa cambia las características del filtro de

aplanamiento para conseguir la corrección de la ganancia (Fig. 26 b), se puede visualizar una

gran diferencia entre emplear o no emplear el filtro para igualar las ganancias de las ocho

señales transmitidas (Fig. 26 c).

57

Figura 26. Ganancias de las señales (a) sin filtro de aplanamiento, (b) con filtro de aplanamiento, (c) diferencia.

7.2 Rejillas de Bragg.

Uno de los principales métodos para ecualizar la ganancia de los EDFAs consiste en la

inserción de interferencias en la fibra óptica correspondientes a rejillas de Bragg, las cuales

consisten en irregularidades en ciertas áreas dentro de la fibra óptica, en trabajos previos se

ha logrado aplanar la ganancia insertando una rejilla de Bragg por cada canal, lo que permite

un menor costo que la utilización del filtro de aplanamiento. Se puede reducir aún más el

costo si no se tuviera que utilizar una rejilla por cada portadora, teniendo que cuenta que cada

fibra puede llevar hasta 128 portadoras.

58

En el enlace óptico seleccionado se poseen 8 portadoras, por lo que se eligió realizar dos

pruebas para verificar la pérdida de calidad del enlace con diferentes números de rejillas, en

la primera se remplazará el filtro de aplanamiento por 3 rejillas de Bragg y en la segunda

prueba por 6 rejillas de Bragg.

Cada rejilla de Bragg posee una frecuencia de trabajo y longitud diferentes, cambiando estos

parámetros es posible modificar el índice de reflexión y la transmisión de una determinada

longitud de onda, en este caso se utilizarán las redes neuronales artificiales para que sean

estas las que determinen la longitud y frecuencia de trabajo adecuadas para obtener la mejor

corrección de ganancia posible.

7.3 Red neuronal.

Las redes neuronales artificiales ven el sistema de rejillas como una “caja negra”, donde las

entradas actuales son las que determinan las salidas del sistema; al considerar el sistema

como “caja negra” se tiene en cuenta “¿Qué es lo que hace?”, sin importar el “¿Cómo lo hace?”.

En una “caja negra” deben estar muy bien definidas sus entradas y salidas (interfaz), en

cambio, no se precisa definir ni conocer los detalles internos de su funcionamiento.

Figura 27. Caja negra del sistema óptico, (a) con tres rejillas de Bragg, (b) con seis rejillas de Bragg.

Para este caso, las entradas del sistema serian la longitud y frecuencia de trabajo de cada

rejilla, y las salidas son las ocho ganancias de las portadoras. En la primera prueba (tres

rejillas de Bragg) el sistema óptico se puede ver como una caja negra de seis entradas y ocho

salidas (Fig. 27 a), en la segunda prueba (seis rejillas de Bragg) el sistema óptico se puede ver

como una caja negra de 12 entradas y ocho salidas (Fig. 27 b).

59

Con los datos suficientes, una red neuronal es capaz de emular el sistema y permitir simular

las salidas que se obtendrían ante diferentes entradas, pero en este caso lo que deseamos es el

sistema inverso, es decir, teniendo las salidas deseadas, la red neuronal nos entregue las

entradas necesarias para este resultado. El sistema inverso del enlace óptico tendría ocho

entradas, y seis o doce salidas dependiendo de la prueba, es decir, las entradas y salidas de la

Figura 27 se intercambiarían (Fig. 28).

Figura 28. Caja negra del sistema óptico inverso, (a) con tres rejillas de Bragg, (b) con seis rejillas de Bragg.

Figura 29. Estructura interna de una red neuronal 3-2 con cuatro entradas.

Internamente la red neuronal está formada por elementos básicos llamados “neuronas”, en la

cual la salida de unas se convierte en la entrada de otras, formando varias capas de neuronas

(Fig. 29). Para una única neurona su salida estará dada por:

𝑓(𝑢 + 𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2 + 𝑤3𝑥3 + 𝑤4𝑥4 + ⋯+ 𝑤𝑛𝑥𝑛)

60

(66)

Donde u es un nivel (bias), f es la función de activación de la red, x son las entradas y w son los

pesos o importancia que tienen estas entradas, en el caso de una red neuronal las entradas

pueden ser la salida de otra neurona. Para el caso particular de una red neuronal con dos

entradas, dos neuronas en la capa de entrada y una neurona en la capa de salida, (Fig. 30), su

salida estará dada por la ecuación:

𝑓1[𝑢31 + 𝑤32 ∗ 𝑓2(𝑢11 + 𝑤12𝑥1 + 𝑤13𝑥2) + 𝑤33 ∗ 𝑓2(𝑢21 + 𝑤22𝑥1 + 𝑤23𝑥2)]

(67)

Donde 𝑢𝑛1 es el bias de la neurona n; 𝑤𝑖𝑗 es el peso de la neurona i que viene de la entrada j,

para este caso la entrada 1 de la neurona es el bias, f1 es la función de activación de la capa de

salida, y f2 es la función de activación de la capa de entrada.

Figura 30. Estructura interna de una red neuronal 2-1 con dos entradas.

Es necesario que la capa de salida posea tantas neuronas como salidas distintas tenga el

sistema, el resto de la estructura de la red es totalmente modificable, sin embargo, si la red

neuronal posee una estructura interna muy compleja requerirá mayor tiempo para operar y

será más difícil de implementar en un dispositivo electrónico, por otro lado, una red neuronal

artificial de mayor tamaño permite simular sistemas más complejos y con mayor precisión.

Para nuestro caso la red neuronal puede ser de un tamaño considerable, siendo el único

inconveniente el tiempo de entrenamiento, el cual también es mayor con una mayor

complejidad de la red.

61

7.3.1. Función de activación.

Para poder entrenar la red neuronal, la función de activación que gobierna la operación de la

red debe de ser lineal y fácilmente derivable, el programa matemático Matlab nos permite

crear redes neuronales con tres funciones diferentes: relación directa (purelin), tangente

hiperbólica sigmoidea (tangsig), y logarítmica sigmoidea (logsig) (Fig. 31). El programa

permite que cada capa de la red neuronal sea gobernada por una ecuación diferente.

Figura 31. Funciones internas de la red neuronal.

Para nuestras redes neuronales se utilizará la función logsig en todas las capas, porque esta

función no maneja valores negativos y solo manejaremos valores positivos en nuestro

sistema, tanto a las entradas como a las salidas. La función logarítmica sigmoidea (logsig) está

definida como:

𝑓(𝑥) =1

1 +1𝑒𝑥

(68)

Y su derivada es:

𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ (1 − 𝑓(𝑥))

(69)

Debido a que la función logsig está definida entre 0 y 1, es necesario normalizar los valores de

las entradas utilizando la ecuación:

𝑉𝑛 =𝑉 − 𝑉𝑚𝑖𝑛

𝑉𝑚𝑎𝑥 − 𝑉𝑚𝑖𝑛

(70)

Donde Vn es el valor normalizado, Vmin es el valor mínimo de esa entrada y Vmax es el valor

máximo de esa entrada.

62

Las salidas de la red neuronal también estarán definidas entre 1 y 0, por lo que desnormalizar

las salidas, utilizando la inversa de la ecuación (70):

𝑉 = 𝑉𝑛(𝑉𝑚𝑎𝑥 − 𝑉𝑚𝑖𝑛) + 𝑉𝑚𝑖𝑛

(71)

7.3.2. Tipo de red neuronal.

El programa Matlab permite construir distintos tipos de redes neuronales artificiales (Fig. 32

a), se escogió una red feed-forward backpropagation:

¤ Un sistema feed-forward mantiene una prealimentación o “registro” previo de las entradas y salidas conocidas para realizar los cambios en el sistema ante nuevas

entradas. La magnitud de los cambios dependen de una constante de aprendizaje (α),

la cual, para mayor velocidad empieza con un gran valor, y a medida que se desarrolla

el aprendizaje su valor se reduce para obtener una mayor precisión y menor error.

¤ La propagación hacia atrás (backpropagation) es un método para calcular la

contribución de error de cada neurona después de procesar un lote de datos. El error

se define como:

𝑒 = 𝑆𝑖 − 𝑦𝑖

(72)

Donde 𝑆𝑖 son las salidas de la red neuronal a las entradas i, y 𝑦𝑖 son las salidas

deseadas a esas entradas i.

Los pesos de las neuronas deben ser modificados según la derivada del error parcial

con respecto a los pesos.

𝑊𝑘+1 = 𝑊𝑘 − 𝛼𝜕𝑒

𝜕𝑊

(73)

La derivada del error con respecto a los pesos está definida como:

𝜕𝑒

𝜕𝑊𝑖𝑗= −(𝑆𝑖 − 𝑦𝑖) ∗

𝜕𝑦𝑖

𝜕𝑊𝑖𝑗

(74)

Como la función de activación en todas las capas será logsig (68), y su derivada es fácil

de hallar (69), la derivada de los pesos con respecto a su salida es:

𝜕𝑦𝑖

𝜕𝑊𝑖𝑗= 𝑦𝑖(1 − 𝑦𝑖) ∗ 𝑎𝑖𝑗

63

(75)

Donde “yi” es la salida “i” de la red neuronal, y 𝑎𝑖𝑗 es la entrada número “i” de las

neuronas de la capa de salida (capa “j”), para los bias aij es igual a 1.

Para hallar la derivada de los pesos de las capas anteriores, se requiere hacer la regla

de la cadena:

𝜕𝑦

𝜕𝑊(𝑖−1)𝑗=

𝜕𝑦

𝜕𝑊𝑖𝑗∗𝜕𝑊𝑖𝑗

𝜕𝑎𝑖𝑗∗

𝜕𝑎𝑖𝑗

𝜕𝑊(𝑖−1)𝑗= 𝑦 ∗ (1 − 𝑦) ∗ 𝑊𝑖𝑗 ∗ 𝑎(𝑖−1) ∗ (1 − 𝑎(𝑖−1)) ∗ 𝑎(𝑖−1)(𝑗−1)

(76)

Donde 𝑎𝑖(𝑗−1) es la entrada “i” de la capa (j-1), es decir, la anterior a la capa de salida.

Para los bias la derivada es la misma solo quel último factor es 1.

Figura 32. Diferentes tipos de redes neuronales artificiales creables (a), y diferentes métodos de entrenamiento (b) ofrecidos en el programa matlab.

7.3.3. Método de entrenamiento.

El programa Matlab permite entrenar las redes neuronales por distintos métodos (Fig. 32 b),

se escogió un entrenamiento por trainoss: One-step secant backpropagation, es el método de

la secante optimizado para propagación hacia atrás, ya que después de varias pruebas

64

realizadas en proyectos anteriores1,2 por los autores, ha mostrado una gran velocidad en el

entrenamiento y el menor nivel de error.

El método de la secante, es un método para aproximar el cero de una función en el que en

cada iteración se evalúa la función y no la derivada. Utiliza la misma fórmula del Método de

Newton:

(77)

Donde la derivada f ´ (xn) se aproxima a:

(78)

Resultando en:

(79)

Ya que el cálculo de xn+1 requiere conocer xn y xn-1, se debe dar al principio dos

aproximaciones iniciales x0 y x1.

1 Predicción del comportamiento bursátil de la acción suramericana de inversiones durante el tercer trimestre del 2016. 2 Reconocimiento de vocales del mismo tamaño con diferentes ángulos y tipos de fuente.

65

8. DESARROLLO

Para poder entrenar una red neuronal se requiere primero una base de datos, la cual ha de ser

lo más grande posible para poder emular el sistema de lo mejor posible, y evitar problemas

en la red por un sesgo en los datos.

8.1 Primera prueba (tres rejillas).

Para la primera prueba se remplaza el filtro de aplanamiento con tres rejillas de Bragg (Fig.

33), se modifican las frecuencias de trabajos de las rejillas en un rango de 192.5 a 196.1THz y

las longitudes desde 1 a 40mm, registrando la amplitud (en dBm) de las 8 portadoras del

enlace. Se realizan 948 simulaciones con diferentes valores en estos rangos para tener la base

de datos.

Figura 33. Enlace óptico con tres rejillas de Bragg

Luego de tener la base de datos, se realiza un código (Primer código en la sección de anexos) de

prueba en lenguaje matlab para probar cual es la mejor estructura interna de la red neuronal.

El primer código realiza los siguientes procedimientos:

¤ Carga los “datos puros” al programa, es decir las entradas y salidas de las 948

simulaciones hechas con el enlace óptico con tres rejillas.

¤ Halla los valores mínimos y máximos de cada entrada y salida (8 y 6 respectivamente), esto con el fin de normalizar los datos entre 0 y 1 ya que la función de activación de la

red neuronal será logsig, la cual está definida entre 0 y 1. No se normaliza previamente

ya que en caso de aumentar el tamaño de la base de datos puede haber un nuevo Vmin o

Vmax y habría que volver a normalizar.

66

¤ Escoger al azar un 70% para ser los datos de entrenamiento, y los restantes serán datos de validación.

¤ Separar las entradas y sus respectivas salidas (tanto entrenamiento como validación).

¤ Crear diferentes redes neuronales con una estructura m-n-6, es decir: m neuronas en la capa de entrada, neuronas en una capa intermedia y 6 neuronas en la capa de

salida. Donde n varía entre 6 y 20, y m varía entre 6 y 30.

¤ Entrenar cada una de las redes neuronales.

¤ Validar cada una de las redes neuronales.

¤ Hallar el error total de validación de cada red neuronal utilizando el error cuadrático medio.

𝐸𝑟𝑟𝑡𝑜 = ∑∑ (𝑆𝑜 − 𝑦𝑜)

261

2

288

1

(80)

Donde Errto es el error total de la red neuronal, So es la salida “o” de la red neuronal, y

yo es la salida correcta. Son 6 salidas para cada una de los 144 datos de validación.

¤ Almacenar el error total de validación y las redes neuronales.

Luego de ejecutar el primer código, se organizan los datos en la Tabla II; para una mejor

visualización se grafican (Fig. 11). Después de un análisis de la Tabla II se escoge una

estructura para la red de 7-10-6, es decir, 7 neuronas en la capa de entrada, 10 neuronas en la

capa intermedia, y 6 neuronas en la capa de salida.

Neuronas capa de entrada

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Neuronas capa

intermedia

6 13,1278 16,1897 17,1336 14,9317 19,8350 15,5345 16,7645 16,5154 16,5559 17,8531 15,5821 20,8157 14,3004 33,2973 20,5540

7 14,0865 15,0284 14,9063 13,3764 15,3020 14,0843 14,3798 15,5587 28,5041 15,8176 16,0541 16,2637 16,9816 15,2466 15,3912

8 24,0671 14,0381 15,3273 17,4691 35,2415 16,9556 14,8503 14,9684 15,4556 16,5877 17,0666 15,2902 17,3035 18,2599 17,3473

9 16,0272 15,6226 13,8924 14,6216 15,4227 18,1633 15,6491 14,8491 15,5478 16,4695 17,2845 14,8971 14,8827 17,0053 15,1176

10 14,7725 13,8600 15,0695 17,4549 14,7270 14,7666 13,6489 16,6744 15,1783 16,0066 15,1804 15,9342 16,3744 15,9191 16,8790

11 15,9198 13,6053 13,4816 16,9494 16,6498 15,7659 16,4829 13,7732 16,9268 17,3775 20,2171 14,9781 15,3452 16,4212 17,3382

12 15,1637 13,5836 23,3897 15,9444 15,7351 15,5484 13,4896 14,0969 16,5326 14,9321 15,1935 14,1655 16,3523 19,4390 16,4267

13 14,0061 15,8495 14,4181 14,2524 16,1260 15,4977 15,1759 15,8980 15,8525 15,1239 14,9356 16,3531 16,7026 16,9418 15,5521

14 16,1368 16,9348 15,1210 16,3079 17,7229 16,3222 15,3335 15,6320 15,9927 20,2974 14,9429 16,8097 15,7058 15,6314 16,8356

67

15 15,9789 15,8366 15,6672 16,4145 15,6542 26,3114 16,0244 30,1754 15,6687 15,4180 15,6381 23,0296 16,4434 15,3336 19,8023

Tabla II. Error total contra número de neuronas

Figura 34. Error total contra número de neuronas

Una vez decidida la estructura se realiza un cambio en el código 1 para que esté, en lugar de

generar varias redes cada una con una estructura diferente, está vez genere 50 redes

neuronales con la estructura elegida. La modificación se puede observar como “cambio primer código” en la sección de anexos.

Luego de ejecutar el primer código modificado, se revisan las 50 redes neuronales artificiales

para encontrar la que tuvo el menor error de validación, esta red se almacena como un

archivo individual para su posterior utilización (sistematresfiltrosinverso).

Ahora que se tiene la red neuronal artificial que mejor simula el sistema de tres rejillas

(sistematresfiltrosinverso), se crea un código (segundo código) para introducir en el sistema la

ganancia deseada, es decir, una ganancia de 26dB en las ocho portadoras, y que nos entregue

a la salida la longitud y frecuencia de trabajo que deben tener las tres rejillas de Bragg para

obtener estas ganancias. El segundo código realiza los siguientes procedimientos:

¤ Carga los “datos puros” al programa, es decir las entradas y salidas de las 948 simulaciones hechas con el enlace óptico con tres rejillas.

¤ Halla los valores mínimos y máximos de cada entrada y salida (8 y 6 respectivamente), esto con el fin de normalizar los datos entre 0 y 1 ya que la función de activación de la

red neuronal es logsig, la cual está definida entre 0 y 1.

¤ Normaliza las ganancias deseadas (26dB) utilizando la formula (70).

¤ Simular la red neuronal con las ganancias deseadas.

¤ Desnormalizar las salidas obtenidas de la red neuronal utilizando la ecuación (71)

68

Una vez obtenidas las características de las rejillas, se introducen estos valores en el

simulador, y se simula en el esquemático (Fig. 33), los valores se utilizan como una base y se

modifican ligeramente para obtener una mejor respuesta en ganancia.

La mejor respuesta se considera teniendo en cuenta tres parámetros: error cuadrático medio

(80), desviación estándar, y desviación promedio, con respecto al valor deseado de 26dB para

todas las 8 ganancias.

Finalmente las características escogidas son:

Filtro 1 Filtro 2 Filtro 3 Frecuencia de trabajo

(THz) Longitud

(mm)

Frecuencia de trabajo

(THz) Longitud

(mm)


(THz) Longitud

(mm)

195,59 14 195,79 13 195,42 33

Tabla III. Características escogidas para el esquemático de tres rejillas de Bragg

Y su rendimiento con respecto a no emular las ganancias son:

Error

cuadrático medio

Desviación estándar

Desviación promedio

Sin emular ganancias 9,0066E+13 2398980,85 2004642,88

Con tres rejillas 4,8658E+12 1168717,20 734563,31

Cociente o mejora 18,5098772 2,05266154 2,72902668

Tabla IV. Características de las ganancias para el esquemático de tres rejillas de Bragg

Podemos apreciar el cambio de utilizar las tres rejillas en la figura 35.

69

Figura 35. Ganancias de las señales sin ecualización (gris), con filtro de aplanamiento (azul), con sistema de tres rejillas de Bragg (naranja), objetivo (negro).

8.2 Segunda prueba (seis rejillas).

Para la segunda prueba se remplaza el filtro de aplanamiento con seis rejillas de Bragg (Fig.

36), se modifican las frecuencias de trabajos de las rejillas en un rango de 189 a 197,783 THz

y las longitudes desde 1 a 40mm, registrando la amplitud (en dBm) de las 8 portadoras del

enlace. Se realizan 1920 simulaciones con diferentes valores en estos rangos para tener la

base de datos.

Figura 36. Enlace óptico con seis rejillas de Bragg

23,5

24,5

25,5

26,5

27,5

28,5

29,5

30,5

31,5

32,5

194,8 195 195,2 195,4 195,6 195,8 196 196,2 196,4 196,6

G

a

n

a

n

c

i

a

(

d

B)

Frecuencia (THz)

70

Luego de tener la base de datos, se realiza un código de prueba (tercer código) en lenguaje

matlab para probar cual es la mejor estructura interna de la red neuronal, el cual es muy

similar al primer código, con la diferencia de que las salidas del sistema son 12 y no 6, y la

cantidad de datos es 1920 y no 948.

Luego de ejecutar el tercer código, se organizan los datos en la Tabla V; para una mejor

visualización se grafican (Fig. 37). Después de un análisis de la Tabla V se escoge una

estructura para la red de 25-18-12, es decir, 25 neuronas en la capa de entrada, 18 neuronas

en la capa intermedia, y 12 neuronas en la capa de salida. Los valores son mayores a los vistos

en la tabla II debido a una mayor cantidad de datos y de entradas, no significa que las redes

neuronales creadas sean inferiores en calidad a las desarrolladas para el sistema de tres

rejillas.

Neuronas capa de entrada

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Neuronas capa

intermedia

12 69,01 69,79 75,00 94,78 71,48 124,19 80,06 70,06 71,41 70,19 67,94 154,46 70,00 70,83 96,56 96,95 65,61 69,88 65,83

13 73,06 70,86 69,29 73,35 74,42 69,96 75,53 68,65 69,85 79,48 68,64 68,37 71,81 68,50 111,13 69,49 70,24 69,49 70,71

14 150,07 124,48 70,88 71,96 69,77 71,58 222,31 91,24 71,68 66,97 184,81 68,91 70,60 72,71 74,79 69,00 67,17 70,27 80,22

15 68,88 70,80 77,54 77,32 83,87 80,59 97,28 70,40 69,60 70,17 119,08 69,76 72,04 73,58 70,05 70,28 69,67 67,84 67,31

16 70,03 76,16 73,14 70,02 70,05 83,92 69,01 71,18 70,57 71,43 70,38 72,45 105,56 77,28 80,22 71,67 71,14 66,59 78,93

17 114,21 75,27 76,05 74,82 73,43 74,83 72,18 71,62 68,90 69,75 69,78 70,30 67,28 67,92 75,61 71,50 71,84 68,96 104,01

18 69,47 101,24 72,05 106,12 70,92 69,81 71,17 65,76 67,83 77,82 72,77 68,61 70,20 66,09 66,85 68,06 66,68 80,25 75,41

19 70,27 71,85 149,13 73,60 161,51 74,07 64,99 71,29 71,07 71,14 71,68 70,93 67,35 64,94 66,09 182,08 64,49 67,21 69,78

20 69,90 74,08 74,49 71,38 74,22 109,08 73,10 71,54 71,95 70,01 73,03 66,85 100,99 68,37 66,05 63,73 71,55 66,91 69,91

Tabla V. Error total contra número de neuronas

Figura 37. Error total contra número de neuronas

12

15

18

0

50

100

150

200

250

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

71

Una vez decidida la estructura se realiza un cambio en el código 3 para que esté, en lugar de

generar varias redes cada una con una estructura diferente, está vez genere 50 redes

neuronales con la estructura elegida. La modificación es similar a “cambio primer código” en

la sección de anexos.

Luego de ejecutar el tercer código modificado, se revisan las 50 redes neuronales artificiales

para encontrar la que tuvo el menor error de validación, esta red se almacena como un

archivo individual para su posterior utilización (sistemaseisfiltrosinverso).

Ahora que se tiene la red neuronal artificial que mejor simula el sistema de seis rejillas

(sistemaseisfiltrosinverso), se crea un código similar al “segundo código” para introducir en el

sistema la ganancia deseada, es decir, una ganancia de 26dB en las ocho portadoras, y que nos

entregue a la salida la longitud y frecuencia de trabajo que deben tener las seis rejillas de

Bragg para obtener estas ganancias.

Una vez obtenidas las características de las rejillas, se introducen estos valores en el

simulador, y se simula en el esquemático de seis rejillas (Fig. 36), los valores se utilizan como

una base y se modifican ligeramente para obtener una mejor respuesta en ganancia.

La mejor respuesta se considera teniendo en cuenta tres parámetros: error cuadrático medio

(80), desviación estándar, y desviación promedio, con respecto al valor deseado de 26dB para

todas las 8 ganancias.

Finalmente las características escogidas son:

Filtro 1 Filtro 2 Filtro 3 Filtro 4 Filtro 5 Filtro 6


(THz)

Longitud (mm)


(THz)

Longitud (mm)


(THz)

Longitud (mm)


(THz)

Longitud (mm)


(THz)

Longitud (mm)


(THz)

Longitud (mm)

195,2 3,55 195,4 5,31 195,6 6,1 195,8 5,98 196 4,98 196,1855 28,4

Tabla VI. Características escogidas para el esquemático de seis rejillas de Bragg

Y su rendimiento con respecto a no emular las ganancias son:

Error cuadrático

medio

Desviación estándar

Desviación promedio

Sin emular ganancias 9,01E+13 2398980,85 2004642,88

Con seis rejillas 6,0099E+11 414219,63 233938,81

Cociente o mejora 149,862681 5,79156729 8,5690906

Tabla VII. Características de las ganancias para el esquemático de seis rejillas de Bragg

Podemos apreciar el cambio de utilizar las seis rejillas en la figura 38.

72

Figura 38. Ganancias de las señales sin ecualización (gris), con filtro de aplanamiento (azul), con sistema de seis rejillas de Bragg (rojo), objetivo (negro).

8.3 Simulación.

El software OptiSystem es una herramienta de simulación que permite hacer pruebas

respecto a diversos modelos de comunicación basados en fibra óptica, para este caso se diseña

un sistema de transmisión WDM el cual esta interconectado con otros dispositivos u

elementos, como lo son las rejillas de Bragg, amplificador EDFA, multiplexores,

demultiplexores entre otros elementos más.

El software de OptiSystem permite configurar diversos parámetros ya sean globales o locales,

de esta forma se hace posible modelar el comportamiento de un sistema en base a los

parámetros de determinados elementos; Posteriormente se presenta el proceso de desarrollo

de la simulación y la respectiva configuración de cada dispositivo.

8.3.1 Generalidades

El software de simulación OptiSystem es una herramienta robusta que posibilita verificar los

diseños realizados en el dominio óptico y establece un estándar industrial para la

automatización del diseño fotónico de extremo a extremo que comprende el diseño, análisis,

optimización de componentes, sistemas y redes. Es usado para evaluar nuevos componentes,

para realizar investigaciones y para optimizar las nuevas tecnologías ya que ofrece el soporte

25

26

27

28

29

30

31

32

33

194,8 195 195,2 195,4 195,6 195,8 196 196,2 196,4 196,6

G

a

n

a

n

c

i

a

(

d

B)

Frecuencia (THz)

73

necesario para simular elementos ópticos pasivos y activos, aplicaciones de fibra óptica,

sistemas de transmisión óptica y aplicaciones de red.

8.3.2 Componentes del esquema

En primer lugar, se define los parámetros globales del sistema, para este caso se

implementarán los valores definidos por defecto para la taza error, longitud de la secuencia

de bits a transmitir y la cantidad de muestras a tomar.

Figura 39. Ventana de configuración de parámetros globales.

El primer elemento consiste en un sistema WDM de 8 canales, inicialmente se presenta la

estructura para generar múltiples canales, en la figura 40 se muestra el diagrama

correspondiente.

Figura 40. Estructura de interconexión de elementos para generar un canal de transmisión.

En la figura 40, se puede apreciar la interconexión de elementos, primero se requiere el uso de

un generador aleatorio se secuencias de Bit, la cual es modulada mediante codificación NRZ,

que consiste en la forma más frecuente y fácil de transmitir señales digitales, mediante la

74

utilización de un nivel diferente de tensión para cada uno de los bits. Los códigos que siguen

esta estrategia comparten la propiedad de que el nivel de tensión se mantiene constante

durante la duración del bit, es decir, no hay transiciones (no hay retorno al nivel cero de

tensión).

Posterior a esto se interconecta la salida de la señal modulada, y una fuente externa en este

caso un láser de Bombeo (CW Laser) a un modulador Mach-Zender, la frecuencia del canal

está determinada por la frecuencia del láser.

En función de cuantos canales se desee implementar se debe repetir el mismo esquemático,

como se ilustra en la figura 41, en cuyo caso se implementan 3 canales.

Figura 41. Configuración para 3 canales de transmisión.

Para facilitar el diseño del sistema se procede a implementar un módulo transmisor WDM, en

el cual es posible definir la cantidad de canales, así como las frecuencias de operación de cada

canal.

75

Figura 42. Módulo transmisor WDM de 8 canales.

En la figura 43 se presenta la respectiva configuración del módulo de transmisión WDM, en

esta ventana se procede a definir una frecuencia de operación, y el espaciado de frecuencia

indica la separación entre canales, también se define la potencia este valor se tomó por

defecto.

Figura 43. Ventana de configuración de los parámetros del transmisor WDM de 8 canales.

El paso siguiente corresponde a interconectar los 8 canales a un multiplexor WDM, el cual se

encargará de combinar las señales para ser transmitidas a través de un misma guía de onda,

de una misma fibra óptica, en las figuras 44 y 45 se presentan el bloque del multiplexor WDM

y su respectiva configuración.

Figura 44. Bloque correspondiente a transmisor WDM de 8 canales.

76

Figura 45. Ventana de configuración de parámetros del multiplexor WDM

Los parámetros del multiplexor son elegidos en función de los valores elegidos para el

generador de señales WDM.

Ahora se procede a interconectar la salida del multiplexor a la configuración de elementos

mostrada en la figura 46.

Figura 46. Configuración de bloque de control.

Como se aprecia en la figura 46, se muestra un bucle de control, el cual esta interconectado

con una fibra óptica cuyos parámetros de configuración corresponde a los mostrados en la

tabla VIII.

Longitud 20Km

Atenuación 0.2dB/Km

Dispersión 16.75 ps/(nm*Km)

Tabla VIII. Parámetros de configuración para fibra óptica

La salida de la fibra se interconecta a un amplificador óptico dopado con erbio (EDFA), es

importante aclarar que al seleccionar el dispositivo se debe buscar uno cuyos parámetros no

77

sean ideales, ya que si se usa un EDFA ideal este auto acondicionara la señal, lo cual impediría

mostrar la desigualdad de las ganancias para los canales a transmitir, en nuestro caso

implementamos un EDFA cuyos parámetros de configuración es mostrada en la figura 47.

Figura 47. Parámetros de configuración de EDFA.

A la salida del Loop de control se conectarán las rejillas de Bragg que se encargarán de ajustar

los niveles de ganancia de cada canal, de forma que las ganancias sean ecualizadas, en las

figuras 48 y 49 se presentan la interconexión de los bloques que representan las rejillas de

Bragg así como la venta de configuración de parámetros de las rejillas.

Figura 48. Diagrama de interconexión en cascada de 3 rejillas de Bragg

Figura 49. Ventana de configuración de parámetros de las rejillas de Bragg.

78

Los parámetros en los que centraremos en ajustar para las rejillas de Bragg corresponderán a

la frecuencia y longitud de cada rejilla, a partir de dichas variaciones se desarrollan las bases

de datos que permitirán hacer el entrenamiento de la red neuronal.

Figura 50. Demultiplexor encargado de separar los diferentes canales transmitidos por la fibra óptica.

A la salida de las rejillas se conecta un demultiplexor para poder observar la transmisión de

cada canal,

Cabe anotar que los valores de los parámetros del multiplexor como el demultiplexor

dependerán de los valores anteriormente definidos para el transmisor WDM de 8 canales.

El paso siguiente corresponde a la conversión de la señal óptica a una señal digital de esta forma se podrá determinar parámetros de nuestro interés como es el BER.

Figura 51. Arreglo de elementos para poder visualizar el BER.

En la figura 51, se presenta la conexión de elementos necesarios para realizar el cambio de la

señal de dominio óptico a digital, para así luego poder visualizar el diagrama de ojo, como la

taza de error en la transmisión de información, el pin photodetector funciona como un

transductor, el filtro pasa bajos de Bessel mejora la señal, el propósito del Regenerador 3R es

simplificar las conexiones en el diseño, ya que normalmente se necesitaría la secuencia de bits

original y la señal eléctrica generada junto con la señal de salida transmitida para generar un

diagrama de ojo realista. Este componente elimina la necesidad de hacer múltiples horquillas

y conexiones desde la entrada, posterior a eso las salidas de regenerador se conectan a un

analizador BER que nos proporciona la información deseada.

Finalmente se muestra el diagrama final utilizado para la simulación (Fig. 52), en este caso

para tres rejillas.

79

Figura 52. Diagrama de simulación de sistemas de transmisión WDM.

80

9 RESULTADOS.

Se simula las cuatro configuraciones diferentes (tres rejillas, seis rejillas, filtro de

aplanamiento y sin ecualización de ganancias), para verificar la calidad de los enlaces,

midiendo valores como el BER y factor de calidad “Q”; además de observar el diagrama de ojo,

con el fin de apreciar la distorsión y amplitud de la señal transmitida.

9.1 Mediciones con filtro de aplanamiento En el primer caso se presenta la ecualización de las señales WDM mediante un filtro de

aplanamiento, para ello se deben realizar algunos ajustes adicionales para su respectiva

configuración. Además, se implementa un elemento adicional en el esquemático, que permite

tener en cuenta las características de la fibra óptica. Fig. 53.

Figura 53. Esquema para ecualización de señal mediante filtro de aplanamiento, asumiendo características reales de la fibra óptica

Se utiliza el analizador BER para medir la calidad de la señal de las ocho portadoras con una

fibra óptica de 10km de longitud, (Tabla IX). En la Fig. 54 se aprecia la medición del

analizador BER para la primera portadora.

Las ganancias antes y después del filtro se han visto con anterioridad en la figura 26.

81

Figura 54. Resultados del analizador de BER para la primera portadora del esquema de la figura 53.

Filtro de aplanamiento

1 2 3 4 5 6 7 8

Max. Q factor 5,0214 5,1896 5,1181 5,18463 5,24348 5,13529 5,2487 5,11445

Min. VER 1,46E-07 9,67E-08 1,40E-08 1,003E-07 7,24E-08 1,30E-07 7,03E-08 1,46E-07

Eye Heigth 0,00113364 0,00112266 0,00115923 0,00114151 0,0011113 0,00116453 0,00136638 0,00116117

Threshold 0,00147694 0,0013755 0,00145152 0,00143922 0,00137758 0,00147193 0,0016783 0,00150914

Decision Inst 0,53125 0,535156 0,535156 0,527344 0,53125 0,535156 0,535156 0,53125

Tabla IX. Calidad de la señal de las ocho portadoras con el filtro de aplanamiento.

82

9.2 Mediciones con tres rejillas En este segundo caso se presenta la ecualización de las señales WDM mediante un filtro

elaborado a partir de la interconexión en cascada de 3 rejillas de Bragg (Fig. 54).

Figura 55. Esquema para ecualización de señal mediante tres rejillas, asumiendo características reales de la fibra óptica


fibra óptica de 10km de longitud, (Tabla X). En la Fig. 56 se aprecia la medición del analizador

BER para la primera portadora.

Figura 56. Resultados del analizador de BER para la primera portadora del esquema de la Fig. 55.

83

tres rejillas

1 2 3 4 5 6 7 8

Max. Q factor 4,58821 3,64688 2,43565 2,09904 2,24906 3,57134 4,04514 4,54719

Min. VER 2,0209E-07 0,0001166 0,00602757 0,0162457 0,01131 0,00015579 2,2625E-05 2,4456E-07

Eye Heigth 0,00075456 0,00053018 -0,00068571 -0,00163685 -0,00133201 0,00075872 0,00076732 0,0005381

Threshold 0,00103705 0,00127691 0,0010756 0,00532583 0,00569917 0,00190864 0,00125073 0,00076281

Decision Inst 0,539063 0,53125 0,5 0,625 0,535156 0,53125 0,523438 0,53125

Tabla X. Calidad de la señal de las ocho portadoras con tres rejillas.

Las ganancias antes y después del filtro son presentadas en la figura 57.

Figura 57. Ganancias antes y después de las 3 rejillas de Bragg en cascada.

9.3 Mediciones con seis rejillas En este segundo caso se presenta la ecualización de las señales WDM mediante un filtro

elaborado a partir de la interconexión en cascada de 6 rejillas de Bragg (Fig. 58).

84

Figura 58. Esquema para ecualización de señal mediante seis rejillas, asumiendo características reales de la fibra óptica


fibra óptica de 10km de longitud, (Tabla XI). En la Fig. 59 se aprecia la medición del

analizador BER para la primera portadora.

Figura 59. Resultados del analizador de BER para la primera portadora del esquema de la Fig. 58.

85

Seis rejillas

1 2 3 4 5 6 7 8

Max. Q factor 4,99689 4,99905 5,28165 5,52437 5,05341 5,20661 3,26225 4,79797

Min. VER 2,6618E-07 2,581E-07 5,7075E-08 1,4935E-08 1,9086E-07 8,7983E-08 0,00049374 7,2333E-07

Eye Heigth 0,00121116 0,00108772 0,00123656 0,00138333 0,00122095 0,00125823 0,0002281 0,00085296

Threshold 0,00152023 0,00125915 0,00130504 0,00136218 0,00130015 0,00139908 0,00135434 0,00110442

Decision Inst 0,53125 0,53125 0,542969 0,539063 0,535156 0,539063 0,511719 0,53125

Tabla XI. Calidad de la señal de las ocho portadoras con seis rejillas.

Las ganancias antes y después del filtro son presentadas en la figura 60.

Figura 60. Ganancias antes y después de las 6 rejillas de Bragg en cascada.

9.4 Análisis de resultados Utilizando para las mediciones el error cuadrático medio (80), podemos apreciar que hay una

mejora considerable respecto al aplanamiento de ganancias al utilizar las rejillas de Bragg, con

una mejoría de unas 18 veces (Tabla IV), y de unas 149 veces al utilizar seis rejillas (Tabla

VII); sin embargo no se logró un error cuadrático medio menor al del filtro de aplanamiento,

siendo este mejor unas 14,6 mejor que al utilizar tres rejillas, y 1,8 veces mejor que utilizando

seis rejillas (tabla XII).

86

Error cuadrático medio Desviación estándar Desviación promedio

Mejora* Mejora* Mejora*

Error

Sin emular 9,0066E+13 2398980,85 2004642,88

Tres rejillas 4,8658E+12 18,5098772 1168717,20 2,05266154 734563,31 2,72902668

Seis rejillas 6,0099E+11 149,862787 414219,63 5,7915673 233938,81 8,56909058

Filtro de aplanamiento 3,3109E+11 272,031443 237238,66 10,1120992 145584,66 13,7696027

*respecto a no emular ganancias

Tabla XII. Resultados y comparación del aplanamiento los esquemas.

Al revisar la calidad de la señal transmitida utilizando los tres esquemas, nos encontramos

que disminuye drásticamente al emplear las rejillas, en especial cuando se utilizan solo tres

(Tabla XIII). La calidad al utilizar seis rejillas se ve fuertemente disminuida por la calidad de la

séptima portadora, esto se debe a tener una rejilla de gran longitud (28,4 mm) operando con

una frecuencia de trabajo muy cercana a la de la portadora (192,1855THz y 196,2 THz

respectivamente), de no ser por esta portadora el BER promedio sería de 2,28351E-07, el cual

es un valor muy bueno para la distancia de fibra que se eligió colocar (10km).

Tres rejillas Seis rejillas Filtro de

aplanamiento

Promedio

Max. Q factor 3,39781375 4,890275 5,15695625

Min. BER 0,004234842 6,19171E-05 9,68381E-08

Eye Heigth -3,82105E-05 0,001059876 0,001170053

Threshold 0,002292092 0,001325574 0,001472516

Decision Inst 0,539550875 0,532715 0,53271475

Tabla XIII. Calidad promedio de las señales para los diferentes esquemas.

87

9. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS.

A partir de los resultados obtenidos fue posible observar que:

El software a implementar en este caso OptiSystem no posee una buena repetitividad, ya que

los resultados obtenidos como el BER mínimo y el factor de calidad Q varia aun cuando no se

hayan realizado ninguna variación al momento de ejecutar la simulación.

Al observar las tablas IX y XI correspondientes a los resultados obtenidos con el filtro de

aplanamiento y al implementar una configuración de 6 rejillas de Bragg en cascada se observó

que tienen un comportamiento muy similar, comprobando así la eficiencia de las rejillas para

lograr la ecualización de las señales WDM.

Al comparar las ganancias como se aprecia en las figuras (57) y (60) se puede observar que la

ecualización de ganancias tiene buenos resultados para la configuración tanto con 3 rejillas como con 6 rejillas, lo cual confirma los buenos resultados ofrecidos para la selección de

parámetros por parte de la red neuronal.

Al realizar cambios en la longitud de la fibra óptica, en un rango de 5km a 30km, se observan

que no hay variaciones relevantes en la ganancia, lo cual demuestra una buena eficiencia por

parte de los filtros implementados en la ecualización de ganancias; pero al observar los

resultados obtenidos por el analizador de BER se comprobó que la longitud afecta

directamente el BER mínimo así como el factor de calidad.

Se cumplió el objetivo principal al demostrar que el posible el ecualizar las ganancias después

de que señales WDM sean amplificadas para facilitar el proceso de transmisión usando rejillas

de Bragg.

Se comprueba que es posible lograr ecualizar las ganancias implementado pocas rejillas, como

se aprecia en la configuración de 3 rejillas, aunque al comparar varios de los parámetros

obtenidos mediante el analizador BER como se aprecia en la tabla XII y XIII se observa que

cuando se usan pocas rejillas los resultados no son tan buenos, mientras que si se compara los

resultados de la tablas IX y XI correspondientes al uso de GFF y conexión en cascada de 6

rejillas los parámetros del analizador BER muestran resultados muy similares.

Al implementar filtros para ecualizar las señales se reduce la potencia para así lograr igualar

las ganancias, lo cual implica una reducción en la relación señal a ruido para cada canal, por

consiguiente el BER también disminuye, sin embargo se mejora la relación de interferencia

intercanal.

Se propone para futuros trabajos:

Modificar las bases de datos para mejorar la eficiencia de la red neuronal.

Modificar la cantidad de rejillas de Bragg a implementar, así como las frecuencias de los

canales WDM, también los parámetros del amplificador óptico a implementar, para de este

modo obtener más datos que mejoren la capacidad de aprendizaje de la red neuronal.

Se propone que para futuros trabajos se tenga en cuenta los diferentes costos de la

implementación de filtro de aplanamiento de ganancias así como el uso de rejillas de Bragg

para así determinar la viabilidad del uso de estas tecnológicas para los enlaces ópticos.

88

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[34] Engel, Giora (February 11, 2016). "3 Flavors of Machine Learning: Who, What & Where"

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[35] Hamblen, Matt. December 5th, 2016. "Behavior Analytics tools for cybersecurity move into

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cybersecurity-move-into-enterprises.html

[36] Zhang, S. L., Lane, P. M., & Reilly, J. J. O. (n.d.). WEl-2, 149–152.

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Design of Few-Mode Erbium Doped Fiber Amplifier for Modal and Spectral Gain Equalization,

33(1), 100–108.

91

11. ANEXOS

11.1 Primer código.

clc; clear all; load('datospuros'); %los datos puros y=(minmax(Datos')); %valores min y max de las columnas de los datos z=(Datos); a=[]; zn=[]; %vector de los datos normalizados for n=1:1:14 %14 datos, 8 entradas y 6 salidas zn=horzcat(zn,(z(:,n)-y(n,1))/(y(n,2)-y(n,1))); end

%la primera columna de "(z-minimo)/(maximo-minimo)" for d=0:1:287 %cantidad de datos que serán de validación (288) %cantidad de datos totales (948) b=randi((948-d),1); %retorna un entero aleatorio entre 1 y (948-d) a=[a;zn(b,:)]; %matriz donde se alojan los datos de entrenamiento zn(b,:)=[]; %matriz donde se alojan los datos de validación end a1=[]; %matriz que contendrá las salidas de validación for n=1:1:6 %son 6 salidas a1=horzcat(a1,a(:,n)); end a0=[]; %matriz que contendrá las entradas de validación for n=(1+6):1:(8+6) %son 8 entradas , ubicadas en las columnas 7 a 14 a0=horzcat(a0,a(:,n)); end b1=[]; %matriz que contendrá las salidas de entrenamiento for n=1:1:6 %son 6 salidas b1=horzcat(b1,zn(:,n)); end b0=[]; %matriz que contendrá las entradas de entrenamiento

92

for n=(1+6):1:(8+6) %son 8 entradas , ubicadas en las columnas 7 a 14 b0=horzcat(b0,zn(:,n)); end %ordenar, de modo que los datos están por columnas b0=b0'; b1=b1'; a0=a0'; a1=a1'; redes=(cell(0,0)); %arreglo que contendrá todas las redes Dv=(cell(0,0)); %Arreglo que contendrá todos los errores totales de todas las redes for n=6:1:20

for m=6:1:30 net = newff([0 1; 0 1; 0 1; 0 1; 0 1; 0 1; 0 1; 0 1], [m, n, 6], {'logsig','logsig','logsig'}, 'trainoss'); net.trainParam.epochs =3500; %ciclos o iteraciones máximos en entrenamiento net.trainParam.goal = 0.000001; %error de entrenamiento deseado %net.trainParam.show=100; %mostrar el entrenamiento net=train(net,b0,b1); %se entrena la red con las entradas y las salidas de entrenamiento Yv=sim(net, a0); %se simula la red con las entradas de validación error=a1-Yv; %Se compara las salidas de la red neuronal con las esperadas %se calcula el error cuadrático medio error=error.^2; errortotal=0; for n=1:1:6 %son 6 salidas %son 144 datos de validación for i=1:1:144 errortotal=errortotal+error(n,i); end end errortotal=errortotal/2; redes {end+1} = net; %se almacena la red en el arreglo Dv {end+1} = errortotal; %se almacena el errortotal de la red en el arreglo end

end

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11.2 Cambio primer código.

%ordenar, de modo que los datos están por columnas b0=b0'; b1=b1'; a0=a0'; a1=a1'; redes=(cell(0,0)); %arreglo que contendrá todas las redes Dv=(cell(0,0)); %Arreglo que contendrá todos los errores totales de todas las redes for m=1:1:50 %crea 50 redes neuronales net = newff([0 1; 0 1; 0 1; 0 1; 0 1; 0 1; 0 1; 0 1], [7, 10, 6], {'logsig','logsig','logsig'}, 'trainoss'); net.trainParam.epochs =3500; %ciclos o iteraciones máximos en entrenamiento net.trainParam.goal = 0.000001; %error de entrenamiento deseado %net.trainParam.show=100; %mostrar el entrenamiento net=train(net,b0,b1); %se entrena la red con las entradas y las salidas de entrenamiento Yv=sim(net, a0); %se simula la red con las entradas de validación error=a1-Yv; %Se compara las salidas de la red neuronal con las esperadas %se calcula el error cuadrático medio error=error.^2; errortotal=0; for n=1:1:6 %son 6 salidas %son 144 datos de validación for i=1:1:144 errortotal=errortotal+error(n,i); end end errortotal=errortotal/2; redes {end+1} = net; %se almacena la red en el arreglo Dv {end+1} = errortotal; %se almacena el errortotal de la red en el arreglo end

94

11.3 Segundo código.

load('sistematresfiltrosinverso'); load('datospuros'); %los datos puros y=(minmax(Datos')); %valores min y max de las columnas de los datos m=26000000; %valor de ganancia objetivo c=[m, m, m, m, m, m, m, m]; f=[]; for n=1:1:8 %Se normalizan las ganancias deseadas f=horzcat(f,(c(:,n)-y(n+6,1))/(y(n+6,2)-y(n+6,1))); end f=f'; v=sim(net, f); %Simula el sistema inverso con las ganancias deseadas v=v'; g=[]; for n=1:1:9 %Desnormaliza las salidas entregadas por la red neuronal g=horzcat(g,(v(:,n)*(y(n,2)-y(n,1))+y(n,1))); end g %Muestra las salidas desnormalizadas de la red neuronal

aplicaciÓn de las redes neuronales artificiales en...

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