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DIRECCIÓN GENERAL DE CULTURA

Y EDUCACIÓN

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN

SUPERIOR

INSTITUTO SUPERIOR DE

FORMACION

DOCENTE Nº 127

“CIUDAD DEL ACUERDO”

PROFESORADO EN MATEMÁTICA

3ER

AÑO

HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

TRABAJO DE SÍNTESIS

PROFESOR:

JUAN IGNACIO GAMITO

ALUMNO:

MARIELA IVANA LÓPEZ

CICLO LECTIVO: 2012

Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis

Mariela Ivana López

2

ÍNDICE

Consignas……………………………………………………………………………..…3

Desarrollo

Linea del tiempo…………………………………………………………………………5

Entrevista a Leonardo de Pisa………………………………………………….………22

Historieta……………………………………………………………………….………..27

Análisis filmográfico…………………………………………………………….………29

El club de la hipotenusa…………………………………………………………….…...34

Bibliografía……………………………………………………………………………….37



3

CONSIGNAS:

1. Confeccionar en formato digital una línea de tiempo que describa la evolución

del conocimiento matemático y la aparición de los notables que tuvieron en sus manos la

creación de alguna nueva rama o aporte de la Ciencia Matemática.

2. Desarrollar la siguiente situación hipotética:

Suponiendo que existiese la posibilidad de entrevistar al siguiente Matemático:

Leonardo Fibonacci

3. Confeccione una historieta como la que se presentó en la unidad temática que

trata sobre la matemática de los egipcios: Tema Problemas clásicos de la Antigüedad en la

academia de Atenas. El tratamiento del tema queda a criterio del alumno.

4. Análisis filmográfico. Sobre los documentados desarrollados por la BBC sobre

la HISTORIA DE LA MATEMÁTICA facilitados por la cátedra se pide realizar un

informe de síntesis que tienda a responder los siguientes interrogantes:

Grupo I

Historia de las matemáticas 1. El lenguaje del universo

1) ¿Por qué se afirma que comprender la matemática es ver la diferencia entre

vivir o morir?

2) ¿Qué relación tuvo el río Nilo con la Matemática?

3) ¿Cómo se describe el papiro de Rhind?

4) ¿Qué relación tiene el juego de la Mancala con la Matemática Egipcia?

5) ¿Por qué se dice que los Griegos nos dieron el poder de la “prueba”?

Historia de las matemáticas 2. La sabiduría de oriente



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1) ¿Por qué se afirma que cuando comenzó la decadencia griega el proceso

matemático experimentó un retroceso mientras que en oriente la matemática alcanzaría una

nueva sima?

2) ¿Cómo se muestra la resolución de ecuaciones en china? ¿Este método ya

existía en occidente o es redescubierto?

3) ¿Qué relación tuvieron los Indios con la teoría de Trigonometría?

Historia de las matemáticas 3. Los límites del espacio.

1) El pueblo francés llamado Descartes ¿recibe ese nombre desde la antigüedad?

2) ¿A cuál de los dos matemáticos se le atribuye ser pionero en el diseño

cálculo?

3) ¿Cómo se relaciona a los Bernoullí con Euler?

Historia de las matemáticas 4. Hacia el infinito y más allá.

1) ¿En qué consistió el congreso matemático que se desarrolló en agosto de 1900?

2) ¿Cómo gana Poincaré el Premio de 2500 coronas al demostrar que el sistema

solar seguirá girando en el sentido de las agujas del reloj o si podría cambiar de dirección?

3) ¿Qué relación tiene el acertijo de los siete puentes de colinver (hoy

Kaliningrado) con Euler?

4) ¿Cómo se presenta a Nicolás Bourbaki?

6. Respecto del libro “El club de la hipotenusa”:

a) Tomar tres anécdotas que sirvan como introducción al tratamiento de tres

contenidos en la escuela secundaria.

b) Redactar el modo en que se presentará al curso y como se pasará de esta

anécdota al proceso de formalización de los contenidos seleccionados.



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1) Línea del Tiempo



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2)

ENTREVISTA A LEONARDO DE PISA

Octubre de 1243 en la ciudad de Pisa, Italia

Teniendo el honor de estar en la casa del reconocido y admirado matemático

Leonardo de Pisa, se da inicio a la entrevista.

Antes que nada, muchas gracias por recibirme y permitirme realizarle unas

preguntas.

No es necesario, siempre es grato dedicarle mi tiempo a quien lo solicite y más

aún satisfactorio para recorrer el camino que me llevó a ser quien soy.

Tengo entendido que no sólo se hace llamar Leonardo ¿Esto es cierto?

Si. No me molesta en lo absoluto que me digan Leonardo, pero también

acostumbro a que me llamen Bigollo.

¿Cuándo y dónde nació?

Nací en Pisa, Italia en 1170

¿A través de quién tuvo su primer acercamiento a la matemática?

Mi padre me enseñó Aritmética y me incentivó a estudiar matemáticas. Él era un

mercader que tenía negocios en la aduana de Bugía y preocupándose de mi bienestar futuro,

quiso que permaneciese allí y recibiese educación.

¿Hubo otros referentes que influyeron en su formación?

Si, conocí personas en Bugía cuyo idioma materno era el árabe, y tuve un maestro

musulmán con el cual aprendí su sistema de numeración y sus ventajas.



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¿A qué se refiere con las ventajas?

A la practicidad que se tiene trabajar con los números arábigos, me resulta mucho

más interesante este sistema que el romano. Las técnicas que usan los árabes son superiores

a las que usan la mayoría de los países de Europa. Aprendí a realizar operaciones de suma,

resta, multiplicación y división usando los números indo – arábigos. Con los números a los

que están acostumbrados aquí no hay forma de escribir las operaciones paso a paso. Como

ya sabes, se escribe sólo el resultado final ya que los cálculos se hacen con el ábaco.

¿Y cómo asimiló este sistema la sociedad?

Es un poco complicado de explicar. Siento que la sociedad prefiere lo ya conocido

y no se da cuenta de la comodidad y facilidad que implica el sistema arábigo. Creo que los

asusta la inclusión del cero, no están acostumbrados. Pero voy a seguir insistiendo para

introducirlo en Europa. Y aunque parezca complicado tiene sus beneficios.

¿Hubo alguien particular en quién haya decidido apoyarse como base de sus

trabajos?

Si tengo que pensar en una persona específica, diría que no. Si te puedo decir que

he viajado por todo el mediterráneo en donde he podido relacionarme con otros

matemáticos y he estudiado a fondo los Elementos de Euclides. Yo creo que he ido

tomando un poco de diferentes fuentes, pero a partir de allí construí el conocimiento que

hoy tengo adquirido.

Aprovecho que hizo mención a Euclides tengo entendido que escribió un

comentario acerca de uno de sus libros. ¿De qué trataba?

El libro X de Euclides contenía un tratamiento numérico desde un punto de vista

geométrico de los números irracionales, tomé como modelo su estilo pero le incorporé unos

comentarios personales. Y también en Geometriae que terminé de escribir en 1220 me basé

en teoremas de él.

¿Qué contenía Geometriae?



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Tiene una amplia cantidad de problemas de geometría organizados en ocho

capítulos. Contiene teoremas geométricos con pruebas precisas.

¿Es cierto que todo el conocimiento adquirido lo ha ido dando a conocer?

No tengo ningún inconveniente de expresar y dar a conocer el fruto de cada

trabajo, al contrario quiero que llegue al punto que todos puedan implementar este método

matemático. La verdad que tuve buenas oportunidades para recopilar las matemáticas

grecorromanas, árabes e hindúes, conocimientos que luego publiqué en mis libros.

Ya que ha hecho referencia nuevamente de sus libros ¿Me podría hablar

sobre el reconocido Liber abaci?

Claro que si. Cuando volví a Pisa trabajé durante veinticinco años en mis propias

composiciones matemáticas. Este libro está dividido en quince secciones. Es un amplio

tratado del sistema de numeración indo-arábigo, en el que presento los signos hindúes y el

cero. Las dos primeras secciones muestran la importancia de este sistema de numeración

aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses,

cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. También incluye la caracterización de

la notación posicional, la descomposición en factores primos y los criterios de divisibilidad.

La tercera sección trata sobre problemas.

Uno de esos problemas que más difusión ha tenido es el problema que intenta

describir el crecimiento de una población de conejos ¿Cómo fue el camino que lo llevó

al hallazgo de la solución?

Primero me parece importante recordar el enunciado del problema para luego

explicar el camino realizado para hallar la solución. El enunciado decía así: “cierto hombre

puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por todas partes por una valla. ¿Cuántas

parejas de conejos pueden ser producidos por esa pareja en un año si se supone que cada

mes cada pareja engendra una nueva pareja que desde el segundo mes se hace productiva?”



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La secuencia resultante es 1,2,3,5,8,13,21,34,55 y así sucesivamente, es una

secuencia en la que cada número es la suma de los dos números precedentes. Al analizar los

primeros resultados, fui detectando cierta regularidad que posteriormente intentaría

expresar a través del lenguaje matemático.

¿Es cierto que ha tenido algunos rechazos de sus manuscritos en Europa por

sus ideologías?

No sé si es tan así. He sido recibido con entusiasmo en Europa gracias a mis

manuscritos. En todos lados uno se va a enfrentar frente a personas que se imponen al

cambio. No aceptan la implementación de un nuevo sistema. Pero no me siento rechazado,

al contrario he sido bien recibido como huésped del emperador Federico II, quien se ha

mostrado muy interesado por las matemáticas.

¿Podría ampliar su réplica en función a ello? ¿Cómo es que el emperador

llega a conocerlo?

Hace años que mantenía correspondencia con uno de sus eruditos y en una

oportunidad le planteó al emperador la posibilidad de invitarme a la corte. El accedió y en

1225, me presentaron varios desafíos, los cuales pude resolver sin inconvenientes.

Tengo entendido que algunos de los problemas los publicó en Flos, otro de

sus manuscritos ¿Me haría el honor de explicarme sintéticamente uno de ellos?

Si, de los problemas que me plantearon publiqué tres de ellos en Flos. En

“10x + 2x2 + x

3 = 20” no doy una respuesta exacta sino que como no es posible de

resolver doy una aproximación precisa para la raíz, es decir que lo que hice fue reducir la

solución.

Otra obra de usted por la cual he oído mucho hablar es el Liber quadratorum

¿Me podría brindar más detalles de que trata?



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Es un libro sobre la teoría de los números, que además examina los métodos para

encontrar lo triples pitagóricos. Aquí también hay incluido otro problema de la corte en el

cual me proponían encontrar un cuadrado tal que si se le sumaba o restaba el número cinco

diera como resultado en ambos casos números cuadrados.

¿Cada problema propuesto en sus obras siempre tiene solución o hay casos en

los que no las hay?

Algunas proposiciones no están rigurosamente demostradas, sino que hago una

inducción incompleta, pero a la cual les agrego ejemplos prácticos.

¿Cuál de sus aportes considera el más importante en el desarrollo de la

matemática?

No se si pueda definir uno en particular. Cada sección que divide a mis libros se

refieren a diferentes problemáticas y cada una aporta conocimiento muy importante.

Si te puedo decir que el que más tiempo me ha llevado analizar es el problema que

hoy te mencioné de los conejos. Me llevo un arduo trabajo resolverlo.

Ya habiendo concluido la entrevista le agradezco y me despido. Mis sinceros

sentimientos de gratitud por el constructivo trabajo que me permitió conocer de

usted.



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3)

Historieta: La duplicación del cubo



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4)

Historia de las matemáticas 1. El lenguaje del universo

1) Nuestro mundo está hecho de pautas y secuencias. Están a nuestro alrededor,

el día se vuelve noche, los animales recorren el mundo en cada cambio de estación, los

paisajes están constantemente cambiando. Una de las razones de las matemáticas fue

debido a la necesidad de encontrar sentido a esos patrones naturales.

Los conceptos más básicos de las matemáticas, espacio y cantidad, están

predeterminados en nuestro cerebro. Incluso los animales tienen una percepción de la

distancia y el número. Pueden evaluar cuando una manada es superior en número y decidir

así si pelear o si es mejor huir. Pueden calcular si su peso está a una distancia alcanzable o

no.

Pero fue el hombre quien con los conceptos básicos empezó a construir algo nuevo

con esos fundamentos. En algún momento los humanos empezaron a identificar esas pautas

y hacer conexiones. Empezaron a contar y a ordenar el mundo que los rodeaba.

Por estas razones es que se afirma que comprender la matemática es ver la

diferencia entre vivir o morir.

2) El acontecimiento más importante para la agricultura egipcia era el

desbordamiento anual del Nilo que se utilizaba como indicador para comenzar el año

nuevo. Los egipcios registraron que eso sucedía con cierto tiempo, así que para establecer

un calendario era necesario contar cuántos días pasaban entre las fases lunares o cuántos

días pasaban entre dos desbordamientos del Nilo. Por lo cual vemos claramente la relación

que tuvo el río Nilo con la Matemática.

3) Los escribanos egipcios utilizaban hojas de papiro para escribir sus

descubrimientos matemáticos. Este delicado material, hecho de juncos, se pudre con el

tiempo.

El papiro de Rhind es el documento más importante que tenemos hoy en día, que

devela las matemáticas egipcias, nos ofrece una buena visión sobre a que tipo de problemas



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matemáticos debían enfrentarse los egipcios. Además nos muestra explícitamente cómo se

resolvía la multiplicación y la división.

Los textos muestran especulaciones pero no muestran como descubrieron los

métodos.

4) El papiro de Rhind establecía que un campo circular con un diámetro de nueve

unidades tenía un área igual al de un cuadrado con laterales que midiesen ocho. Esta

relación pudieron descubrirla en el juego de mancala, donde cada jugador empieza con la

misma cantidad de piedras y el objetivo del juego es moverse alrededor del tablero

capturando las piezas del oponente.

5) Los griegos fueron grandes apasionados de las matemáticas y también fueron

unos colonizadores muy inteligentes ya que adoptaban lo mejor de las civilizaciones que

invadían para mejorar su poder y su influencia, pero enseguida hacían sus propias

aportaciones.

Su mayor logro fue hacer un cambio de mentalidad, esto influiría en la humanidad

durante siglos.

De alguna forma decidieron que tenían que tener un sistema de deducción para sus

matemáticas en la cual comenzaban con ciertos axiomas, que asumían que eran ciertos, y

también asumían que cierto teorema eran verdadero pero sin haberlo puesto a prueba.

Después utilizaban métodos lógicos y seguían pasos cuidadosamente desde esos axiomas

para probar los teoremas y de esos teoremas se probaban más teoremas.

Con esto se dice que nos dieron el poder de la prueba, lo que también significa que

los grandes descubrimientos de los griegos son ciertos hoy en día como lo eran hace dos

mil años.

Historia de las matemáticas 2. La sabiduría de oriente

1) El oriente las matemáticas alcanzaría nuevas simas, mientras que en el

occidente gran parte de esta herencia matemática ha sido olvidada.



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Los grandes descubrimientos matemáticos que cambian el mundo en el que

vivimos no han recibido el crédito que merecen. La matemática oriente transformaría

occidente y crearía el mundo moderno.

2) Para resolver ecuaciones se debe disponer de una determinada información

sobre unos números desconocidos y a partir de esa información tienen que deducir cuales

son los números desconocidos. Para entender este método podemos poner de ejemplo unas

pesas y una balanza. Si se coloca dos ciruelas y un melocotón vemos que pesan diez

gramos. A partir de esta información puedo deducir lo que pesa una ciruela y un melocotón.

Los antiguos chinos aplicaron métodos similares a números desconocidos más

grandes y los utilizaron para resolver ecuaciones cada vez más complicadas. Ellos llegarían

ha resolver ecuaciones más complicadas de números muchos más grandes que Europa. Este

sistema de resolver no apareció en occidente hasta principio del siglo XX.

En 1809 mientras se analizaba una roca en el cinturón de asteroides, Johan Carl

Friedrich Gauss redescubrió este método que había sido reformulado en la antigua China

hacia siglos.

3) Los matemáticos indios fueron los responsables de los nuevos y fundamentales

descubrimientos en la teoría de la trigonometría. Aunque fue desarrollada por primera vez

por los antiguos griegos, fue de la mano de los matemáticos indios cuando floreció

verdaderamente esta cuestión.

Historia de las matemáticas 3. Los límites del espacio.

1) En Francia el pueblo llamado Descarte no siempre se llamó así, sino que hace

doscientos años lo rebautizaron con el nombre del filósofo y matemático.

2) Leibniz trabajó sin conexión con Newton aunque conocía su trabajo. Al

contrario que Newton, Leibniz estuvo encantado de dar a conocer su trabajo para que los

matemáticos de toda Europa oyeran hablar por primera vez del cálculo gracias a él y no

gracias a Newton.



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Al cabo de años de resentimiento se pidió a la Royal Society de Londres que

decidiera entre los dos rivales. La Royal Society le adjudicó a Newton el mérito de

descubrir por primera vez el cálculo y a Leibniz el de publicarlo por primera vez. Pero en

su dictamen final acusaron a Leibniz de plagio.

3) Euler en 1708 era discípulo estrella de Johann Bernoulli. Si no te apellidabas

Bernoulli había muy pocas posibilidades de conseguir un trabajo de matemáticas en Basilia,

pero Daniel el hijo de Johann era muy amigo de Euler y logró conseguirle un trabajo en su

universidad.

Historia de las matemáticas 4. Hacia el infinito y más allá.

1) El congreso matemático que se desarrolló en agosto de 1900, realizado por

David Hilbert expuso lo que creyó que eran veintitrés problemas matemáticos por resolver

más importantes. Lo que él quería era establecer una lista de los asuntos pendientes de la

matemática del siglo XX. Estos problemas definirían las matemáticas de la era moderna.

Quienes intentaron resolver estos problemas tuvieron un éxito enorme, mientras

que otros sufrieron estrepitosos fracasos.

2) Si bien la ecuación que permitiría demostrar que el sistema solar seguiría

girando en el sentido de las agujas del reloj o si podría cambiar de dirección era muy

complicada de resolver, Poincaré hizo un importante progreso para resolverlo. Simplificó el

problema haciendo sucesivas aproximaciones de las órbitas que el creía que no afectarían

significativamente al resultado final. Aunque no pudo resolver el problema en su totalidad,

sus ideas fueron lo suficientemente sofisticadas para ganar el premio. Desarrolló un arsenal

de técnicas para resolverlo. De hecho el premio que ganó fue por dichas técnicas más que

por la resolución del problema en sí.

3) El acertijo de los siete puentes de colinver, hoy Kaliningrado, fue resuelto por

Leonard Euler en 1735 cuando demostró que no era posible. Es decir, que no podía haber

una ruta que no pasara al menos por uno de los puentes dos veces.



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Euler se dio cuenta que realmente no importaba la distancia que había entre los

puentes si no como estos puentes estaban conectados.

4) No existen fotografías de Nicolás Bourbaki, ya que nunca existió. De hecho

es el pseudónimo que se le dio a un grupo de matemáticos franceses liderados por André

Weil quien decidió escribir un informe coherente sobre las matemáticas del siglo XX. Los

objetivos del proyecto del grupo Bourbaki superaban cualquier deseo de gloria personal.



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5) a)

1. “SILENCIO, SE MULTIPLICA

En los anales de los congresos de matemáticas figura F. N. Cole, quien en 1903

presentó una comunicación titulada «Sobre la factorización de grandes números».

No se sabía si el número 267

-l era primo o no lo era. Cole escribió en la pizarra el

valor de este número y a continuación anotó:

267

-l = 193707721 x 761838257287

dejando clarísimo que por ser producto de dos números no se trataba de un primo,

y los aplausos culminaron la intervención. Breve y contundente.”

2. “ESTADÍSTICA Y BELÉN

De acuerdo con la historia sagrada, José y María acudieron a Belén por estarse

realizando un censo de población. Es decir, la estadística estaba ya en pleno auge.

De hecho, ya los egipcios hacían gran acopio de datos. Todo surgió no como un

fervor numérico extraordinario, sino como un medio para controlar impuestos... y

poder cobrarlos. Vaya, lo de siempre.”

3. “NÚMEROS ROMANOS

Persiste hoy en día, como única herencia de la matemática romana, el uso de los

números romanos en relojes, para enumerar reyes (Juan Carlos I), enumerar papas

(Juan Pablo II), ordenar volúmenes de libros (Tomo III,...), plasmar siglos (siglo

XXI). Si se piensa un instante se aprecia que es una tradición peculiar y rara, pero

al estar muy arraigada, persiste y su actualización a numerales usuales resultaría

incluso burlesca (Juan Carlos 1,Juan Pablo 2...).

Algo curioso es cómo V llegó a ser cinco en Roma. Los lumbreras romanos

estuvieron años haciendo palotes y repitiéndolos (el nueve fue IIIIIIIII) hasta que

para simplificar se les ocurrió que tachar un palote con raya inclinada equivalía a

diez... y así nació X... y para el cinco nació la mitad del diez, es decir, V.

¡Increíble!, con medio símbolo representar la mitad.”



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b)

1. Esta primera anécdota se seleccionó para trabajar el conocimiento previo de

números primos y consecuentemente introducir el contenido de factorización de números.

Uno debe plantearse ¿Cómo el alumno debe hacer para darse cuenta si un número

es primo o compuesto? ¿Qué contenidos debe tener bien claro para poder realizar

factorizaciones sin complicaciones?

Para dar comienzo al tema, primero se leerá la anécdota con la cual se intentará

analizar cómo es que, el matemático Cole, llega a descubrir que el número no era primo.

Se leerá:

“En los anales de los congresos de matemáticas figura F. N. Cole, quien en 1903

presentó una comunicación titulada «Sobre la factorización de grandes números». No se

sabía si el número 267

-l era primo o no lo era. Cole escribió en la pizarra el valor de este

número y a continuación anotó:

267

-l = 193707721 x 761838257287”

(No se lee el último párrafo)

Los alumnos pueden verificar sus calculadoras si son ciertas las igualdades.

267

-l = 147573952589676412927

193707721 x 761838257287= 147573952589676412927

Luego se les hará preguntas como las que se presentan a continuación:

¿Este número es primo o no? ¿Por qué?

¿Qué había que tener en cuenta para que un número sea primo?

Se tratará que vallan dando sus opiniones y se dejará bien claro cuando un número

era primo y cuando compuesto.

Ahora si se terminará de leer la anécdota:

“dejando clarísimo que por ser producto de dos números no se trataba de un primo,

y los aplausos culminaron la intervención. Breve y contundente.”

Se hará la aclaración de que este matemático lo que hizo es comprobar en pocos

minutos que los resultados de ambos cálculos coincidían. Pero descubrir esto le costó tres

años de domingos. Hoy en día gracias a la tecnología obtenemos los resultados en el acto.



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Ya habiendo dado el conocimiento previo y algunos problemas que ayuden a

recordar el tema anterior, se inicia el contenido de factorización de números.

2. Esta anécdota se puede plantear a los alumnos en dos momentos diferentes. Uno

podría plantearse sólo por el hecho de ubicar al alumno en la historia de matemática y

hacerles ver que la matemática estuvo siempre presente y no hace poco tiempo como la

mayoría de los alumnos creen, ignorando la realidad de todos los años de investigación y

descubrimientos de los diferentes matemáticos.

Otro momento sería dando probabilidad y estadística. Se le plantea al alumno lo

que es un censo, se le da una definición:

“Se denomina censo, al recuento de individuos que conforman una población,

definida como un conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan las

observaciones. El censo de una población estadística consiste básicamente, en obtener

mediciones del número total de individuos mediante diversas técnicas de recuento”.

Y luego a modo de ejemplo se les cuenta la historia sagrada de José y María. Se

analiza con los alumnos como en esa época ya se realizaban censos, cuál era la necesidad

de que los hicieran y si le daban la misma utilidad en aquel entonces que en la actualidad.

3. Esta anécdota es para introducirlos en los números romanos. Los alumnos ya

tienen el conocimiento de estos números, aunque por lo general olvidan los símbolos que

representan cada valor. De manera que comenzar con esta anécdota puede ser productivo

para que recuerden algunos símbolos y para tener una noción de cómo surgieron y como

perdura su uso en la actualidad.

http://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica



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BIBLIOGRAFÍA:

Carl B. Boyer. (1999) Historia de la matemática. Ciencia y Tecnología.

Primera edición “Manuales”.

Klimovsky, G. ; Boido, G. (2005). Las desventuras del conocimiento

matemático. Filosofía de la matemática: una introducción. Ed. A-Z. Argentina.

Apuntes de cátedra.

es.wikipedia.org

http://ar.kalipedia.com

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“ciudad del acuerdo”c1130004.ferozo.com/instituto127/alumnos/matematica/historiadel… ·...

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