análisis y control de sistemas linealesy cx du x ax bu modelo en variables de fase para el caso 1,...
TRANSCRIPT
Análisis y Control de
Sistemas Lineales
Modelado en variables de fase
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Contenido
Modelado en variables de fase
◼ Caso 1: Sin derivadas de la función de entrada
◼ Caso 2: Caso general
◼ Ejemplos y ejercicios
DuCxy
BuAxx
+=
+=Modelo en variables de fase
para el caso 1, q = 0◼ Es un modelo en variables de estado, en el cual se
cumplen ciertas condiciones:
◼ Como primera variable se escoge siempre la
salida del sistema.
◼ La variable i se escoge como la primera derivada
de la variable (i-1) desde i = 2 hasta i = n.
◼ Esto tiene como resultado que las variables de
estado son la salida y sus derivadas y que se pierda
a veces su significado físico.
◼ ¿Cuál es el significado físico de la segunda
derivada de la aceleración?
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Variables de fase: Caso q = 0 (1)
Partimos de una ecuación diferencial de orden n que no
tiene derivadas de la función de excitación; q = 0.
Que tiene la función de transferencia Y(s)/U(s)
)(0012
2
11
1
1 tubyadt
dya
dt
yda
dt
yda
dt
ydn
n
nn
n
nn
n
=+++++−
−
−−
−
−
][)(
)(
01
2
2
1
1
0
asasasas
b
sU
sYn
n
n
n
n +++++=
−
−
−
−
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Asignamos las variables de fase
1
2 1
3 2
4 3
1
1 1
n
n n n
n
n n
x y
x x y
x x y
x x y
d yx x
dt
d yx
dt
−
− −
=
= =
= =
= =
= =
=
Variables de fase: Caso q = 0 (2)
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Despejamos dny/dtn y sustituimos las variables de fase
Escribimos en forma extendida y ordenamos
Variables de fase: Caso q = 0 (3)
)(01021121 tubxaxaxaxaxdt
ydnnnnnn
n
+−−−−−== −−−
)(0012
2
21
1
1 tubyadt
dya
dt
yda
dt
yda
dt
ydn
n
nn
n
nn
n
+−−−−−=−
−
−−
−
−
)(01122110 tubxaxaxaxax nnnnn +−−−−−= −−−nnn
nn
nn
xxxxx
xxxxxx
xxxxx
++++=
+++++=
++++=
−−
−
−
1211
13212
1211
000
0000
000
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Escribimos las ecuaciones en forma matricial, la cual es
conocida como la forma canónica controlable FCC
Variables de fase: Caso q = 0 (4)
x
xx
=
+
−−−−
=
−−
0001
0
0
0
1000
0100
0010
01210
y
u
baaaa nn
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Escriba la forma canónica controlable o FCC para el
sistema descrito por la ecuación diferencial
Ejemplo 1: Caso q = 0
x
xx
=
+
−−−
=
001
4
0
0
234
100
010
y
u
ഺ𝑦 + 2 ሷ𝑦 + 3 ሶ𝑦 + 4𝑦 = 4𝑢
ഺ𝑦 = −4𝑦 − 3 ሶ𝑦 − 2 ሷ𝑦 + 4𝑢
ሶ𝑥3 = −4𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥3 + 4𝑢
ሶ𝑥1 = 0𝑥1 + 𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑢
ሶ𝑥2 = 0𝑥1 + 0𝑥2 + 𝑥3 + 0𝑢
ሶ𝑥3 = −4𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥3 + 4𝑢
𝑦 = 𝑥1
DuCxy
BuAxx
+=
+=Modelo en variables de fase para el
caso con derivadas, q < n
◼ Es un modelo en variables de estado, en el cual se
cumplen ciertas condiciones:
◼ Existen derivadas de la función de entrada; pero,
la función de transferencia es estrictamente propia
◼ La salida del sistema es en general una función
lineal de las variables de estado y no está
asociada a la primera variable de estado
únicamente.
◼ Esto tiene como resultado que las variables de
estado no tengan un significado físico.
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Variables de fase: Caso q < n (1)
Partimos de una ecuación diferencial de orden n que
tiene derivadas de la función de excitación con q < n.
Encontramos la función de transferencia Y(s)/U(s)
=+++++−
−
−−
−
− yadt
dya
dt
yda
dt
yda
dt
ydn
n
nn
n
nn
n
012
2
21
1
1
ubdt
dub
dt
udb
dt
udb
n
n
nn
n
n 012
2
21
1
1 ++++−
−
−−
−
−
][
][
)(
)(
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
asasasas
bsbsbsb
sU
sYn
n
n
n
n
n
n
n
n
+++++
++++=
−
−
−
−
−
−
−
−
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Multiplicamos la función de transferencia por X(s)/X(s)
Separamos en dos ecuaciones el numerador y el
denominador
)(
)(
][
][
)(
)(
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
sX
sX
asasasas
bsbsbsb
sU
sYn
n
n
n
n
n
n
n
n +++++
++++=
−
−
−
−
−
−
−
−
)()( 01
2
2
1
1 sXbsbsbsbsY n
n
n
n ++++= −
−
−
−
)()( 01
2
2
1
1 sXasasasassU n
n
n
n
n +++++= −
−
−
−
Variables de fase: Caso q < n (2)
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Asignamos las variables de fase
n
n
n
n
n
nn
dt
xdx
dt
xdxx
xxx
xxx
xxx
xx
=
==
==
==
==
=
−
−
−
1
1
1
43
32
21
1
Variables de fase: Caso q < n (3)
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Regresamos al dominio del tiempo
Despejamos dnx/dtn y sustituimos las variables de fase
xbdt
dxb
dt
xdb
dt
xdbty
n
n
nn
n
n 012
2
21
1
1)( ++++=−
−
−−
−
−
xadt
dxa
dt
xda
dt
xda
dt
xdtu
n
n
nn
n
nn
n
012
2
21
1
1)( +++++=−
−
−−
−
−
Variables de fase: Caso q < n (4)
1021121)( xbxbxbxbty nnnn ++++= −−−
)(1021121 tuxaxaxaxadt
xdnnnnn
n
+−−−−−= −−−
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Ordenamos y escribimos las ecuaciones en forma
extendida
Variables de fase: Caso q < n (5)
nnnn xbxbxbxbty 1122110)( −−− ++++=
)(1122110 tuxaxaxaxax nnnnn +−−−−−= −−−
nnn
nn
nn
nn
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
++++++=
++++++=
++++++=
++++++=
−−
−
−
−
143211
143213
143212
143211
00000
00000
00000
00000
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Escribimos las ecuaciones en forma matricial
Variables de fase: Caso q < n (6)
x
xx
=
+
−−−−−−
=
−−
−−
123210
123210 1
0
0
0
0
10000
010000
001000
00100
00010
nn
nn
bbbbbby
u
aaaaaa
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Escriba la forma canónica controlable o FCC para el
sistema descrito por la ecuación diferencial
Ejemplo 2: Caso q < n
x
xx
=
+
−−−
=
012
1
0
0
342
100
010
y
u
uuyyyy 2243 +=+++
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Ejemplo 3: Caso q < n
Escriba el modelo en variables de estado para
la siguiente ecuación diferencial
Dividimos entre 2, el coeficiente de zn, y
escribimos el modelo
uuuzzzz 41026432 −+−=+++
x
xx
−−=
+
−−−
=
152
1
0
0
5.123
100
010
y
u
uuuzzzz 25325.1 −+−=+++
DuCxy
BuAxx
+=
+=Modelo en variables de fase para el
caso general con derivadas, q = n
◼ El sistema es bipropio y se descompone a través de fracciones
parciales en un sistema estrictamente propio + una constante K.
◼ Se procesa de manera normal la parte estrictamente propia como
en el caso en el que q < n y la constante K será el escalar d.
Kasasasas
bsbsbsb
sU
sYn
n
n
n
n
n
n
n
n ++++++
++++=
−
−
−
−
−
−
−
−
][
][
)(
)(
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
=+++++−
−
−−
−
− yadt
dya
dt
yda
dt
yda
dt
ydn
n
nn
n
nn
n
012
2
21
1
1
ucdt
duc
dt
udc
dt
udc
dt
udc
n
n
nn
n
nn
n
n 012
2
21
1
11+++++
−
−
−−
−
−−
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Escribimos las ecuaciones en forma matricial
Variables de fase: Caso q = n (6)
uKbbbbbby
u
aaaaaa
nn
nn
+=
+
−−−−−−
=
−−
−−
x
xx
123210
123210 1
0
0
0
0
10000
010000
001000
00100
00010
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Ejemplo 4: Caso q = n
Escriba el modelo en variables de estado para la
siguiente ecuación diferencial
Descomponemos en fracción estrictamente propia +
una constante K
uuuuzzzz 61161207415 +++=+++
uy
u
+−−−=
+
−−−
=
x
xx
963114
1
0
0
1574120
100
010
1]1207415[
]114639[
)(
)(23
2
++++
−−−=
sss
ss
sU
sY
DuCxy
BuAxx
+=
+=
ie=cte
Ejercicio 1: Encuentre el modelo
en variables de fase
Motor controlado por armadura (salida = ).
)(tiK eee =
= 1KuiaM iKM = 2
0=−++ aia
aaa uudt
diLiR
−= BMdt
dJ M
J
ua
ωMM
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Solución al ejercicio 1
◼ Sustituyendo MM y despejando obtenemos la
corriente.
◼ Derivamos una vez respecto al tiempo.
◼ En la ecuación del circuito de armadura
vamos a eliminar la variable corriente y su
derivada.a
aaaa uK
dt
diLiR =++ 1
+=22 K
B
dt
d
K
Jia
dt
d
K
B
dt
d
K
J
dt
dia +=
2
2
2
2
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Solución al ejercicio 1 (2)
◼ Obtenemos una ecuación con solamente la
velocidad como variable y la entrada ua.
a
aa
a
a
aa uLJ
K
LJ
RBKK
dt
d
LJ
LBRJ
dt
d
=
++
++ 221
2
2
x
xx
=
+
+−
+−=
01
010
221
y
u
LJ
K
LJ
LBRJ
LJ
RBKK
aa
aa
a
a
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Referencias
◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control
Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996,
México.