Análisis y Control de

Sistemas Lineales

Modelos de sistemas eléctricos y

analogías de sistemas

dtuL

i L=1

Resistencia y conductancia

dtuL

i L=1Capacidad y relación entre

variables

dtuL

i L=1Inductancia y relación entre

variables

dtuL

i L=1

Modelar el circuito eléctrico

i i

i

1 2

3= 0

U2U1

L

R

C

i1(t)=i2(t)=i(t) = 0i

1

1Udti

CRi

dt

diL =++ 2

1Udti

CRi =+

dtuL

i L=1

Analogías de la resistencia

Analogía fuerza-

tensión

dtuL

i L=1

Analogías de la capacidad

dtuL

i L=1

Analogías de la inductancia

Capacidad

dtuL

i L=1

Resumen de analogías

dtuL

i L=1

Ecuaciones y transformadas

dtuL

i L=1Modelar el circuito eléctrico

directamente en transformadas

i i

i

1 2

3= 0

U2U1

L

R

C

sL

1/sC

I1(s) I2(s)

I3(s)=0

U1(s) U2(s)

I1(s)=I2(s)=I(s) = 0I

)()(1

)()( 1 sUsIsC

sRIssLI =++

)()()1

( 1 sUsIsC

RsL =++

)()()1

( 2 sUsIsC

R =+

sCRsL

sCR

sUsU1

1

)()( 12

++

+

=

dtuL

i L=1

Analogía fuerza-tensión

dtuL

i L=1Sistema mecánico y eléctrico

análogo (fuerza-tensión)

R

eL 1/C

i

dtuL

i L=1

Analogía fuerza-corriente

dtuL

i L=1Sistema mecánico y eléctrico

análogo (fuerza-corriente)

i1/R

e

C 1/L

dtuL

i L=1

Tabla de analogías de sistemas

Eléctrico

(Tensión)

Inv. constante elástica

dtuL

i L=1

Analogías de sistemas

Cantidad genérica Translación mecánica Rotación mecánica Eléctrico Hidráulico

Esfuerzo (E) Fuerza (F) Torque (T) Tensión (U) Presión (P)

Flujo (F) Velocidad (v) Velocidad angular (ω) Corriente (i) Caudal (Q)

Desplazamiento

(q)

Desplazamiento (x) Desplazamiento

angular

(θ)

Carga (q) Volumen (V)

Momento (p) Momento lineal

(p = mv)

Momento angular

(h = Jω)

Flujo

(I = NΦ = Li)

Momento/Área

(Γ = IQ)

Resistencia (R) Amortiguamiento (b) Amortiguamiento

Rotacional (B)

Resistencia (R) Resistencia (R)

Capacidad (C) Resorte (1/k) Resorte torsional (1/k) Capacidad (C) Tanque (C)

Inercia (I) Masa (m) Momento de inercia (J) Inductancia (L) Inertancia (I)

Almacenamiento de

energía en inercia

(caso especial)

F = dp/dt

(F = ma)

T = dh/dt

(T = Jα)

U = dλ/dt

(U = L di/dt)

P = dΓ/dt

(P = I dQ/dt)

Alm. de energía en

condensador

F = kx T = kθ U = q/C P = V/C

Pérdida disipativa F = bv T = Bω U = Ri P = RQ

dtuL

i L=1Ejemplo 1: Obtener el

modelo mecánico análogo

i1 i2

dtuL

i L=1

Ejemplo 1: Solución

)()(1

)( 21

1

2111

1 tedtiiC

iiRdt

diL =−+−+

0)(1

)(1

12

1

1212

2

222

2 =−+−+++ dtiiC

iiRdtiC

iRdt

diL

)()()( 2112112

1

2

1 tfxxkxxbdt

xdm =−+−+

0)()( 12112122222

2

2

2 =−+−+++ xxkxxbxkxbdt

xdm

M2

M1

b2k2

k1

x2

x1f(t)

b1

dtuL

i L=1Ejercicio 1: Obtener el

modelo mecánico análogo

dtuL

i L=1Ejercicio 2: Encontrar el modelo

eléctrico análogo

1212311 )()( Fxxkxxb =−+−

0)()( 2311313 =−+−+ xxkxxbxm

222122321 )()( Fxbxxkxxk −=+−+−

1.

2.

3.

dtuL

i L=1Ejercicio 3: Obtener el

modelo eléctrico análogo

dtuL

i L=1

◼ Un calentador cilíndrico de agua,

de volumen A*H, recibe un flujo de

agua q a la temperatura T1,

constante, y la saca a una

temperatura T.

◼ El agua se calienta por medio de

una resistencia R cuya potencia de

entrada es p(t).

◼ Un agitador mantiene uniforme la

temperatura T dentro del tanque.

◼ la pérdida de calor por las paredes

es proporcional al área, a una

constante C y la diferencia (T-Ta),

con Ta como temperatura

ambiente.

Ejercicio 4: Obtenga el modelo

T(s)/P(s) eléctrico análogo

A

qq,T1

p(t)

H

R

T

Ta

C

dtuL

i L=1

Referencias

◼ Alciatore G., David; Histand B., Michael.

Introduction to mechatronics and

measurement systems. 2ª Ed., McGraw Hill,

2003, USA.

◼ Ogata, Katsuhiko. „Dinámica de Sistemas“,

Prentice Hall, 1987, México.

◼ Barrientos, A., et-al.„Control de Sistemas

Continuos: Problemas resueltos“, McGraw-

Hill, 1996, España