análisis numérico ii diferencias finitas problemas...

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DIFERENCIAS FINITAS

PROBLEMA PARABOLICOS

Análisis Numérico II

Diferencias finitas – problemas parabólicos

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DIFERENCIAS FINITAS

PROBLEMA PARABOLICOS

Análisis Numérico II


• Método explícito centrado

• Tipos de errores

• Consistencia de un esquema numérico

• Convergencia de la solución numérica

• Estabilidad de la solución numérica

• Problema de advección-difusión

• Problemas bidimensionales

• Método de las líneas

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3/59

Problema Base


Método Explícito Centrado

2

2, 0 , 0

u uD x L t

t x

( , 0) ( )u x t f x

( 0, ) ( )u x t g t

( , ) ( )u x L t h t

4/59

Discretización

1

1 1

2

2, 0 , 0

n n n n n

j j j j ju u u u uD j N n

t x

0 ( )j ju f x

0 ( )n nu g t

( )n n

Nu h t



5/59

Cálculo

1

1 11 2 , 0 , 0n n n n

j j j ju r u r u u j N n

2

D tr

x



6/59

Fuentes de Errores

DATOS(ENTRADA)

PROCESOPRECISION

RESULTADOS(SALIDA)

PROCESO DE CALCULO

PROCESO IDEAL

Exactos ExactosInfinitoInfinita

Con errores Con erroresInfinitoInfinita

ERRORES DE ENTRADA

ExactosFinito

ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Con erroresInfinita

ERRORES DE REDONDEO

ExactosInfinito

FinitaCon errores


Tipos de Errores

7/59

Errores Numéricos


Tipos de Errores

8/59

Errores de Truncamiento


Tipos de Errores

9/59

Errores de Discretización


Consistencia de un esquema Numérico

1

1 1

2

( , ) ( , )

( , ) 2 ( , ) ( , )

n n

j j

n n n

j j j n

j

u x t u x t

t

u x t u x t u x tD

x

2 4 22 4

2 4

, ,

( , )2 12n n

j j

n

j

x t x t

u t u xD O t x

t x

10/59

Consistencia



00

0n

k

tx

Método explícito centrado es consistente

2 4 22 4

2 4

, ,

( , )2 12n n

j j

n

j

x t x t

u t u xD O t x

t x

11/59

Error de Truncamiento Local



1

1( , )n

n n n n

j jj

e u x t u

n n

j je t

2 4 22 4

2 4

, ,

( , )2 12n n

j j

n

j

x t x t

u t u xe t D O t x

t x

12/59

Error de Truncamiento Global



ˆ( , )n n n

j j jE u x t u

1

1 1

2

2n n n n n

j j j j j n

j

E E E E ED

t x

1

1 1

2

( , ) ( , )

( , ) 2 ( , ) ( , )

n n

j j

n n n

j j j n

j

u x t u x t

t

u x t u x t u x tD

x

1

1 1

2

2n n n n n

j j j j ju u u u u

Dt x

13/59




1

1 11 2n n n n n

j j j j jE r E r E E t

1

1 11 2n n n n n

j j j j jE r E r E E t

Si r ½:

1 1 2 2 maxn n n

j k k jE r r E t

1 maxn n n

j k k jE E t

14/59




1 maxn n n

j k k jE E t

1 1maxn n n

j k k jE E t

1 1 1maxn n n n

j k k j jE E t

1 0

0

maxn

n m

j k k j

m

E E t

15/59




1

01 max

n m

j m n jE n t

(si r ½)

1

0

nn m

j j

m

E t

1 1

0maxn n m

j m n jE t

16/59

No Consistencia



00

0tx

p

Esquema de DuFort-Frankel:

1 1 1 1

1 1

22

n n n n n n

j j j j j ju u u u u uD

t x

2

2 2 2 2 2

2

,

( , , ), n

j

n

j

x t

u tDp O t x p t p

t x

,si no

2 2

2 2

u u uD Dp

t x t

17/59

Orden de Precisión



Esquema explícito centrado:

2 2 2( , ), n

j O t x t x

Esquema de DuFort-Frankel:

2( , )n

j O t x

18/59

Orden de Precisión



Esquema explícito centrado con máxima

precisión (Douglas):

2 42

2 4

u uD

t x

2 4

2 4

4

,

( ) ( , )2 6 n

j

n

j

x t

D x uD t O t x

x

2

6

xt

D

2 4( , )n

j O t x

19/59

Condición de Borde de Neumann



2

2, 0 , 0

u uD x L t

t x

( , 0) ( )u x t f x

( 0, ) ( )u x t g t

( , ) ( )u

x L t h tx

20/59



1 1 ( )2

n nnN Nu u

h tx

1

1 1

2

2, 0 , 0

n n n n n

j j j j ju u u u uD j N n

t x

Condición de Borde de Neumann

21/59

Convergencia


Convergencia de la Solución Numérica

00

,

( , )

nj

n n

j j

tx

x t fijos

u u x t

/

/00

( , )t t

x xtx

u u x t

22/59

Convergencia Explícito Centrado



Si r 1/2 y es consistente convergente

Condición r 1/2: estabilidad numérica

1 1

,0maxn n m

j k m n kE t

Si r 1/2:

23/59

Teorema de Lax



Si consistente y estable

convergente

24/59

Manifestación Inestabilidad

Numérica


Estabilidad de la Solución Numérica

25/59

Condición de Estabilidad

Numérica



0n

j

n

u

:o on n

j jSi u perturbada en u

26/59

Método de Von Neumann



n n n

j j ju u u

Reemplazar en ecuación en diferencias

y desarrollar a primer orden

jikxn n n ikj x

ju e e

1

1n

n

27/59

Estabilidad de Esquema Explícito

Centrado



1

1 2 1 cos( )n

n

ng r k x

1/ 2r

28/59

Esquema de Richardson



1/ 22 2 4

1,2 2 ( / 2) 1 4 ( / 2)rsen k x r sen k x

24 ( / 2) 1

1 0

n rsen k xG

1 1

1 1

2

2

2

n n n n n

j j j j ju u u u uD

t x

Incondicionalmente inestable

29/59

Esquema de Du Fort - Frankel



1 11 11 1

22

n n n nn nj j j jj j

u u u uu uD

t x

Incondicionalmente estable

30/59

Esquema Implícito Ponderado



1 1 1 1

1 1 1 1

2 2

2 2(1 )

n n n n n n n n

j j j j j j j ju u u u u u u uD

t x x

1 2 (1 ) 1 cos( )

1 2 1 cos( )

nr k x

gr k x

31/59



Incondicionalmente estable si 1/2

1 2 (1 ) 1 cos( )

1 2 1 cos( )

nr k x

gr k x

L r

m k

Esquema Implícito Ponderado

32/59

Justificación de Implícitos



En problemas con escalas

temporales disímeles

33/59

Ecuación de Advección-Difusión


Problema de Advección - Difusión

2

2, 0 , 0

u u uU D x L t

t x x

Es un problema parabólico

34/59

Esquema Explícito Centrado



2( , )n

j O t x

1

1 1 1 1

2

2,

2

0 , 0

n n n n n n n

j j j j j j ju u u u u u uU D

t x x

j N n

35/59

Estabilidad



1 2 1 cos( ) sen( ) ng r k x ip k x

2

D tr

x

U tp

x

1/ 2, 2r p r

2

2

2,

2

x Dt t

D U

36/59

Restricción por Estabilidad



2xt

D

Dx

U

37/59

Upwinding



1

1 1 1

2

2,

0 , 0

n n n n n n n

j j j j j j ju u u u u u uU D

t x x

j N n

Si U > 0:

( , )n

j O t x

38/59

Estabilidad Para Upwinding



2

xt

DU

x

39/59

Método de Hirt



Ecuación verdadera para explícito centrado:

2 2

2 2

2 3 2 42 4

3 4

2

( , ) 03 12

u u u t uU D

t x x t

x u x uU D O t x

x x

40/59

Condición de Courant



ecuación

hiperbólica

2 2

2 22

u u u t uU D

t x x t

2dx D

dt t

dx x

dt t

1/ 2r

41/59

Condición de Difusión



2

2

U tD

2 2

22

u u U t uU D

t x x

2

2Dt

U

42/59

Crank-Nicholson Centrado



2 2( , )n

j O t x

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

2 2

1

2 2 2

2 21

2

n n n n n n

j j j j j j

n n n n n n

j j j j j j

u u u u u uU

t x x

u u u u u uD

x x

43/59

Pruebas



5U x

PeD

0,8U t

Crx

44/59

0,05U t

Crx

10U x

PeD



Pruebas

45/59

5U t

Crx

5U x

PeD



Pruebas

46/59

Performance

U xPe

D

U tCr

x



47/59

Problema Base

2 2

2 2, 0 , 0 , 0

u u uD x a y b t

t x y

( , , 0) ( , )u x y t f x y

( , ) ( , ) u s t g s t sobre contorno cerrado


Problemas Bidimensionales

48/59

Explícito Centrado

1

1 1 1 1

2 2

2 2,

0 , 0 , 0

n n n n n n n n

ij ij i j ij i j ij ij ij

x y

u u u u u u u uD

t x y

i N j N n

0 ( , )ij i ju f x y

( , , ) n n

ij i ju g x y t sobre contorno



49/59

Cálculo

1

1 1 1 11 2 2 ,

0 , 0 , 0

n n n n n n

ij x y j x i j i j y ij ij

x y

u r r u r u u r u u

i N j N n

2 2, x y

D t D tr r

x y



50/59

Estabilidad

2,

D ty x r

x

yxik j yik i xn n

iju e e

2 21 42 2

yn xk yk x

g r sen sen

1/ 4r



51/59

Implícito Ponderado Centrado

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2

2 2(1 )

n n n n n n n n

ij ij i j ij i j ij ij ij

n n n n n n

i j ij i j ij ij ij

u u u u u u u uD

t x y

u u u u u uD

x y

1/ 2: incondicionalmente estable



52/59

Cálculo

1 1 1 1 1

1 1 1 11 2 2 n n n n n n

x y ij x i j i j y ij ij ijr r u r u u r u u u

1: fuertemente implícito

Sistema algebraico acoplado

en ambas direcciones



53/59

Direcciones Alternadas

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

1 1 1 1

2 2

2 2

/ 2

n n n n n n n n

ij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u uD

t x y

1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 1

1 1 1 1

2 2

2 2

/ 2

n n n n n n n n

ij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u uD

t x y



54/59

Cálculo

1/ 2 1/ 2 1/ 2

1 1

1 1

1

1

n n n

x ij x i j i j

n n n

y ij y ij ij

r u r u u

r u r u u

Sistemas algebraicos

acoplados por dirección

1 1 1

1 1

1/ 2 1/ 2 1/ 2

1 1

1

1

n n n

y ij y ij ij

n n n

y ij x i j i j

r u r u u

r u r u u



55/59

Estabilidad

1 1 cos( ) 1 1 cos( )

1 1 cos( ) 1 1 cos( )

y xn

x y

r k y r k xg

r k x r k y

Incondicionalmente estable



56/59

Desdoblamiento (Localmente 1D)

1* 1* 1* 1*

1 1 1 1

2 2

2 2[ (1 ) ]

n n n n n n n n

ij ij i j ij i j i j ij i ju u u u u u u uD

t x x

2* 1* 1 1 1 2* 2* 2*

1 1 1 1

2 2

2 2[ (1 ) ]

n n n n n n n n

ij ij ij ij ij ij ij iju u u u u u u uD

t y y



1 2*n n

ij iju u

57/59

Estabilidad

1 1 cos( ) 1 1 cos( )n

x yg r k x r k y

Mas estable que el de paso entero

1/ 2r

0 Totalmente explícito:



58/59

2

2

u uD

t x

1 1

2

2j j j jdu u u uD

dt x

Discretización Espacial


Método de las Líneas

59/59

Nuevo Problema Diferencial

dUAU

dt

1

2

3

1

...

N

u

u

U u

u

2 1 0 ... 0

1 2 1 ... 0

0 1 2 ... 0

... ... ... ... ...

0 ... 0 1 2

A r

Sistema de ecuaciones

diferenciales ordinarias


Método de las Líneas

análisis numérico ii diferencias finitas problemas...

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