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Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Unidad 6: Aproximación lineal y polinómica de funciones

2015 – Primer Cuatrimestre

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana AlonsoEquipo Coordinador

UNIDAD 6

Aproximación lineal y polinómica de funciones

Contenidos de la Unidad 6: Aproximación lineal. Polinomios de Taylor. Fórmula deLagrange para el resto. Diferencias in�nitesimales y diferenciales.

Las Ciencias de la Naturaleza se desarrollan construyendo modelos. La Naturaleza es extremada-mente rica en fenómenos diversos, tanto que necesitamos simpli�car lo que observamos para intentarcomprenderlo. Los modelos son versiones simpli�cadas de lo que ocurre en la Naturaleza: cada modelotoma en cuenta algunas variables que se consideran relevantes, y deja de lado muchos detalles que seespera que no sean tan importantes. Luego se estudia si el modelo es satisfactorio, comparando suspredicciones teóricas con la observación de la Naturaleza.

Hay modelos que han funcionado tan bien como para ser ampliamente aceptados, y hoy los cono-cemos como Leyes de la Naturaleza (por ejemplo, las Leyes de Newton para describir el movimiento).Otros modelos son menos pretenciosos, y describen cierto fenómeno en condiciones restringidas (porejemplo, las leyes de Dalton, de Gay-Lussac y de Boyle-Mariotte para gases ideales).

Es tan importante reconocer el éxito de un modelo como reconocer sus limitaciones. Los cálculosrealizados con las leyes de Newton se desvían de los resultados observados en experimentos con velo-cidades cercanas a la velocidad de la luz, así como las leyes de gases ideales no predicen exactamentelos resultados observados en experimentos con gases reales.

La noción de modelo viene así acompañada de la noción de aproximación. Y la noción de aproxi-mación viene acompañada de la idea de tolerancia: es necesario estimar la desviación de los resultadosde una aproximación respecto del resultado real. A esta desviación se la llama error1.

Hagamos una aclaración importante:

¾Qué signi�ca el resultado real? Normalmente no lo conocemos, es lo que intentamos aproximar.Si lo conociéramos, probablemente lo usaríamos en lugar de tratar de aproximarlo. En esos casosel error no se calcula comparando con el resultado real: se teoriza que existe el resultado real,se trabaja con el resultado aproximado, y se intenta estimar el margen de error cometido.En otras ocasiones se trabaja con un modelo sencillo como simpli�cación de un modelo me-jor, pero más complicado. Por ejemplo, hay varios modelos de gases reales, como el de Vander Waals (pueden consultar http://es.wikipedia.org/wiki/Gas_real) que describen los expe-rimentos mejor que el modelo de gas ideal; pero decidimos usar el modelo de gas ideal porquees más sencillo. Es decir, se pre�ere un cálculo sencillo tolerando el error en los resultados envez de un cálculo elaborado con resultados más precisos.En esta situación podemos, con mucho trabajo, comparar los resultados de los dos modelos, ycalcular el error comparando resultados. No se trata del error respecto del hipotético resultadoreal, sino del error de un modelo respecto de otro.Con menos trabajo y más maña, a veces es posible estimar el error de un modelo respecto deotro haciendo solamente cuentas con el modelo sencillo.

En esta Unidad nos concentramos en el segundo caso: piensen que una cierta función es el resultadopredicho por el mejor modelo disponible, pero nos resulta complicada. Un modelo más sencillo intentadescribir aproximadamente el mismo resultado con una función más sencilla.

Con estas ideas vamos a estudiar algunas aproximaciones usuales de funciones, y vamos a discutirsu calidad estimando el error introducido por la aproximación.

1Aquí error no signi�ca equivocación. Es algo intrínseco a un modelo aceptar que hay un error. No se pretendecorregirlo, sino controlar que se mantenga dentro de un margen de tolerancia que por convención se considere aceptable.

224

CLASE 6.1. APROXIMACIÓN LINEAL Y APROXIMACIONES POLINÓMICAS. 225

Clase 6.1. Aproximación lineal y aproximaciones polinómicas.

Contenidos de la clase: Aproximación lineal y cuadrática. Polinomios de Taylor.

En la Unidad 3 hemos aprendido que cuando una función f(x) es derivable en un punto x0 admiteuna recta tangente en ese punto. Visto en resumen, la recta tangente es algo así como el "recuerdo"de las rectas secantes que cortan la grá�ca en (x0, f(x0)) y otro punto cercano (x, f(x)), cuando x seacerca arbitrariamente a x0. En este proceso encontramos que una función derivable, "bien cerca" delpunto en cuestión, se "parece" a su recta tangente.

En esta clase vamos a discutir qué tan bueno es, cerca de un punto dado, aproximar la funciónf(x) por la función lineal l(x) que describe la recta tangente en dicho punto. Luego, para mejorarla aproximación lineal, introducimos la aproximación cuadrática y los polinomios de Taylor de mayorgrado.

6.1.1. Aproximación lineal de una función derivable

Empecemos con un ejemplo:

Ejemplo 6.1.1. Un ri�e con mira láser dispara un proyectil. El rayo láser viaja en línea recta,pero la trayectoria del proyectil se curva por causa de la gravedad.

Describamos la situación en un sistema de coordenadas (por simplicidad trabajamos sin unida-des, con la posición expresada en metros): el proyectil se dispara en el punto (2, 4) y su trayectoriaestá dada por

y = f(x) =1

100

(384 + 12x− x2

)La mira está alineada con el ri�e, por lo que la recta que describe el haz de luz es tangente a latrayectoria del proyectil en su punto inicial: pasa por (2, 4) y tiene pendiente m = f ′(2) = 1/10.

La línea punteada gra�ca el haz de luz. Es el recorrido que "seguiría el proyectil si su trayectoriano se curvara".

Llamemos y = l(x) a la función lineal representada grá�camente por la recta punteada. Dadoque es la recta tangente a la grá�ca de f(x) en el punto (2, 4), su regla de asignación es

y = l(x) = 4 + f ′(2)(x− 2)

Podemos decir que la recta punteada es una aproximación lineal a la trayectoria del proyectil.Debido a la curvatura de la trayectoria, la aproximación se ve con�able mientras el proyectil nose aleja mucho del punto de partida; la calidad de la aproximación se va deteriorando cuando elproyectil se aleja.

En el ejemplo ilustramos que una función y = f(x), derivable en un punto x0 de su dominio,puede ser aproximada por la función lineal asociada a la recta tangente que pasa por (x0, f(x0)). Ya


conocemos la ecuación de la recta tangente y − y0 = m(x− x0), con m = f ′(x0); con ella construimosla función

l(x) = f(x0) + f ′(x0) (x− x0)

y la llamamos aproximación lineal de la función f(x) alrededor de x0.

Actividad 6.1.2. Consideremos la función f(x) =√x+ 3 y el punto x0 = 1.

Escriban la aproximación lineal l(x) de f asociada al punto x0.Gra�quen la función y su aproximación lineal.Calculen y marquen sobre el grá�co la diferencia l(x) − f(x) para los puntos x = 0.98 yx = 1.05.

Claro que hay muchas rectas que pasan por (x0, f(x0)) y podrían usarse como aproximacionesa f(x), pero resulta intuitivo que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a una funciónderivable, en las cercanías del punto de tangencia. Para explicar técnicamente por qué esta aproximaciónlineal l(x) es mejor que otras, vamos a compararla con otra recta r(x) que pase por (x0, f(x0)) conpendiente m 6= f ′(x0):

La recta r(x) corresponde a la función lineal

r(x) = f(x0) +m (x− x0)

Cuando evaluamos la función y sus aproximaciones en un punto x desplazado respecto de x0, ladiferencia entre l(x) y f(x) es

l(x)− f(x) = f(x0)− f(x) + f ′(x0) (x− x0)

mientras que la diferencia entre r(x) y f(x) es

r(x)− f(x) = f(x0)− f(x) +m (x− x0)

(estas cantidades están representadas con �echas en la �gura).Ambas cantidades se vuelven pequeñas cuando x se acerca de x0. Pero ninguna cantidad es pequeña

o grande en términos absolutos, siempre depende de la escala con que la comparemos. Lo que hacemospara valorar estas diferencias es compararlas con el valor del desplazamiento ∆x = x−x0 de la variableindependiente, mediante los cocientes

l(x)− f(x)

x− x0y

r(x)− f(x)

x− x0

en el límite para x→ x0. Por un lado

lımx→x0

l(x)− f(x)

x− x0= lım

x→x0

[−f(x)− f(x0)

x− x0+ f ′(x0)

]= f ′(x0)− f ′(x0) = 0


y por otro

lımx→x0

r(x)− f(x)

x− x0= lım

x→x0

[−f(x)− f(x0)

x− x0+m

]= m− f ′(x0) 6= 0

Para la aproximación lineal l(x) este cociente tiende a 0. Esto signi�ca que la diferencia l(x)−f(x)se vuelve despreciable2 comparada con el desplazamiento ∆x cuando este desplazamiento es su�cien-temente pequeño 3. En cambio, para la recta r(x), el cociente tiende a una cantidad �nita distinta decero; esto signi�ca que la diferencia r(x)− f(x) se mantiene del mismo orden que ∆x. Por eso l(x) esla mejor aproximación lineal.

Este resultado además indica que, en sentido de límite, la diferencia l(x)− f(x) es arbitrariamentepequeña respecto de ∆x = x− x0. Dicho en palabras, y recordando la de�nición de límite, llegamos ala siguiente conclusión:

Afirmación 6.1.3. El error cometido en la aproximación lineal l(x) de una función f(x) de-rivable en un punto x0 resulta arbitrariamente pequeño respecto del incremento ∆x = x − x0 de lavariable, con la condición de tomar incrementos su�cientemente pequeños.

En la próxima clase veremos una forma práctica de estimar el error cometido, incluso cuando elincremento en x no es pequeño.

6.1.2. Aproximación cuadrática de una función con derivada segunda

Se puede mejorar la aproximación lineal de una función f(x) utilizando un polinomio cuadrático.Intuitivamente, podremos ajustar la curvatura de una parábola para que reproduzca la curvatura dela función f(x). Veamos cómo se la elige.

Consideremos una función y = f(x) que tenga derivada primera y derivada segunda en un punto x0

de su dominio. Sabemos que la derivada primera describe la pendiente de la grá�ca y que la derivadasegunda describe la concavidad de la grá�ca, en el punto (x0, f(x0)). La aproximación lineal queusamos en la sección anterior puede reproducir la pendiente de la grá�ca, pero naturalmente no aportaconcavidad.

Aquí es conveniente escribir una función cuadrática c(x) como una función compuesta: un polinomioen el incremento x− x0. Hacemos la propuesta

c(x) = a0 + a1 (x− x0) + a2 (x− x0)2

y buscamos los mejores coe�cientes a0, a1 y a2.El criterio para elegir los coe�cientes será que reproduzcan las características del grá�co de f(x)

en el punto (x0, f(x0)). Para eso calculemos las derivadas

c′(x) = a1 + 2a2 (x− x0)

c′′(x) = 2a2

y pidamos que en x = x0 coincidan:i) los valores de la funciones c(x) y f(x),ii) los valores de sus derivadas primeras yiii) los de sus derivadas segundas

c(x0) = a0 = f(x0)

c′(x0) = a1 = f ′(x0)

c′′(x0) = 2a2 = f ′′(x0)

De esta manera la función cuadrática c(x) pasará por (x0, f(x0)) con la misma pendiente y la mismaconcavidad que la función f(x) que queremos aproximar.

2Técnicamente, se dice que l(x)− f(x) es un in�nitésimo respecto de ∆x.3Se dice que se toma un ∆x in�nitesimal.


Los coe�cientes ai se despejan fácilmente en términos de los valores de f(x0), f ′(x0) y f ′(x0), y laaproximación cuadrática queda escrita como

c(x) = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) +1

2f ′′(x0) (x− x0)2

Ejemplo 6.1.4. Apliquemos la aproximación cuadrática a la función y = sen x, eligiendo x0 = 14π.

funciones valores en x0 coe�cientes

f(x) = sen x f(14π) =

√2

2 a0 =√

22

f ′(x) = cos x f ′(14π) =

√2

2 a1 =√

22

f ′′(x) = -sen x f ′′(14π) = −

√2

2 a2 = −√

24

La función cuadrática construida es

c(x) =

√2

2+

√2

2

(x− 1

4π

)−√

2

4

(x− 1

4π

)2

En un grá�co, hecho con Geogebra, podemos ver las grá�cas de y = sen x (trazo continuo), su

aproximación lineal l(x) =√

22 +

√2

2

(x− 1

4π)(trazo punteado) y su aproximación cuadrática (trazo

segmentado):

Resulta notorio que la aproximación cuadrática acompaña mejor a la función que la aproximaciónlineal.

En una aplicación en que la función original sea complicada, uno podría usar el polinomio cuadráticocon cierta con�anza, por ejemplo entre x1 = 0.75 y x2 = 1. Pero tengan cuidado, porque el errorcometido podría ser importante.

En la próxima clase veremos un mecanismo para estimar con precisión el margen de error cometidoen aproximaciones lineales y cuadráticas, y también polinómicas de mayor grado.

6.1.3. Aproximaciones polinómicas de mayor grado. Polinomios de Taylor.

Después de ver que la aproximación cuadrática mejora notablemente respecto de la lineal, es naturalprobar con polinomios de grado 3 o más.

Dada una función y = f(x) y un punto de interés x0, la pregunta es: ¾cómo vamos a elegir loscoe�cientes de esos polinomios? Ya vimos que el valor de la función f(x0), su pendiente (f ′(x0)) y suconcavidad (f ′′(x0)) se relacionan con los coe�cientes independiente, lineal y cuadrático, respectiva-mente. La respuesta para los demás coe�cientes está en las derivadas superiores de f(x).

Derivadas superiores

Repasemos el concepto de derivadas superiores que vimos en la Unidad 4. Consideremos una funcióny = f(x) con función derivada primera y función derivada segunda bien de�nidas en un entorno de x0.Si la función f ′′(x) es derivable, su derivada se anota f ′′′(x) o f (3)(x) y se llama derivada tercera def(x). La derivada tercera, entonces, describe el ritmo de cambio de f ′′(x), es decir el ritmo de cambiode la concavidad de f(x).


Ejemplo 6.1.5. Hagamos un cálculo explícito con f(x) = ln(x+ 1), de�nido en (−1,+∞):

f ′(x) = 1/(x+ 1)f ′′(x) = −1/(x+ 1)2

f (3)(x) = 2/(x+ 1)3

Observen que por ser derivadas de la función f(x), el dominio de ellas debe ser (−1,+∞).

De la misma manera, si f (3)(x) es una función derivable, se llama derivada cuarta de f(x) af (4)(x) =

(f (3)(x)

)′. Podemos decir que la derivada cuarta describe el ritmo de cambio del cambio de

concavidad, etc. En el ejemplo anterior no hay ningún impedimento para volver a derivar, obtenemosf (4)(x) = −2.3/(x+ 1)4 y podemos seguir derivando.

Mientras la derivada de cierto orden n se pueda calcular, y volver a derivar, podemos hablar de laderivada de orden n+ 1.

Las derivades de orden 3 o más describen alguna característica geométrica del grá�co de la función.Estas características no tienen un nombre tan establecido como pendiente y concavidad, pero daninformación sobre el grá�co. Por convención, f (0)(x) designa a la función f(x) "sin derivar".

Observación 6.1.6. Una notación habitual para la derivada segunda de y = f(x), siguiendo

la notación de Leibniz, esd2f

dx2=

d

dx

(df

dx

)que se lee "derivada segunda de f respecto de x dos

veces".

Para la derivada n-ésima la notación de Leibnitz esdnf

dxn, que se lee "derivada enésima de f

respecto de x ene veces".

En la notacióndny

dxn, el n que aparece como índice alto NO signi�ca una potencia, sino cuántas

veces hemos de derivar. No se debe confundir con la operación

(dy

dx

)n.

Aunque en este curso utilizaremos generalmente la notación de Lagrange f (n), esperamos quetambién reconozcan la notación de Leibniz, que es muy usual al trabajar con derivadas de ordensuperior.

Polinomios de Taylor

La generalización de las aproximaciones lineal y cuadrática a polinomios de mayor orden se puedehacer sistemáticamente, con un poco de paciencia, cuando existen las derivadas superiores.

Consideremos una función y = f(x) que tenga derivada al menos hasta orden n en un puntox0 de su dominio. Una aproximación polinómica de grado n se puede proponer como un polinomiocompuesto, donde aparezcan potencias del incremento x− x0:

Pn(x) = a0 + a1 (x− x0) + a2 (x− x0)2 + · · ·+ an (x− x0)n

Esta propuesta tiene n + 1 coe�cientes ak. Todos los coe�cientes quedarán determinados por n + 1condiciones, que naturalmente consisten en pedir que el valor de Pn(x) y de sus n primeras derivadas,evaluados en x0, coincidan con los respectivos valores de f(x) y de sus n primeras derivadas:

Pn(x0) = a0 = f(x0)

P ′n(x0) = a1 = f ′(x0)

P ′′n (x0) = 2a2 = f ′′(x0)

P (3)n (x0) = 3.2.a3 = f (3)(x0)

· · ·P (n)n (x0) = n.(n− 1) · · · 2.an = f (n)(x0)


Es útil usar la notación factorial, anotando k! = k.(k−1). · · · 2.1, y en especial 0! = 1. Cada coe�cientese puede despejar en términos de una derivada de f(x) evaluada en x0 como

ak =1

k!f (k)(x0)

En particular, esta receta contiene a0 = 10!f

(0)(x0) = f(x0), a1 = 11!f

(1)(x0) = f ′(x0) y a2 =12!f

(2)(x0) = 12f′′(x0). Es decir, los polinomios de Taylor de grado 1 y 2 son simplemente las apro-

ximaciones lineales y cuadráticas vistas antes.

Observación 6.1.7. Es importante recalcar que los coe�cientes del polinomio de Taylor sonnúmeros; no son las funciones derivadas sino los valores que toman las funciones derivadas en elpunto x0.

Un error frecuente es confundir los coe�cientes con las funciones f (n)(x). Noten que con esaconfusión ni siquiera obtienen un polinomio.

El polinomio construido con este criterio se llama polinomio de Taylor de grado n centrado en x0, yclaramente es el único polinomio de grado n que cumple que P (k)

n (x0) = f (k)(x0) para k = 0, 1, · · · , n.

Definición 6.1.8. Dada una función y = f(x) que tenga derivada al menos hasta orden n en unpunto x0 de su dominio, se llama polinomio de Taylor de grado n centrado en x0 al polinomio enla variable x dado por

Pn(x) = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) +1

2!f (2)(x0) (x− x0)2 + · · ·+ 1

n!f (n)(x0) (x− x0)n .

Este polinomio intenta dar una buena aproximación a la función f(x) en un entorno de x0. Re-cuerden que los primeros polinomios de Taylor, de grado uno y dos, son las aproximaciones lineal ycuadrática. Además, si calculamos el polinomio de Taylor para un cierto grado pero luego queremosun grado mayor, no hay que cambiar los coe�cientes ya calculados: basta con agregar más términoshasta llegar al grado deseado.

Observación 6.1.9. Cuando se toma x0 = 0, los polinomios obtenidos se llaman polinomios deMaclaurin.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 6.1.10. Un ejemplo importante, que conviene recordar, es el desarrollo de polinomiosde Taylor de f(x) = sen x centrados en x0 = 0.

Calculemos las derivadas superiores de sen x y sus valores en x0 = 0:

funciones valores en x0 coe�cientes

f(x) = senx f(0) = 0 a0 = 0

f (1)(x) = cosx f (1)(0) = 1 a1 = 1

f (2)(x) = -senx f (2)(0) = 0 a2 = 0

f (3)(x) = -cosx f (3)(0) = −1 a3 = − 1

3!f (4)(x) = senx f (4)(0) = 0 a4 = 0

Noten que la derivada cuarta es igual a la función sen x. Al calcular la derivada quinta en-contramos f (5)(x) = (sen x )′ = cosx, que es igual a la derivada primera. Resulta claro que lasderivadas siguientes van repitiendo estos cuatro pasos, por lo que podemos expresar cualquier de-rivada n-ésima. Al evaluarlas, todas las derivadas de orden par son cero, y las de orden impar sonalternadamente 1 y −1.


Los polinomios de Taylor de f(x) = sen x centrados en x0 = 0 tienen solamente potenciasimpares, y se pueden escribir para cualquier grado:

P2n+1(x) = x− 1

3!x3 +

1

5!x5 − · · ·+ (−1)n

(2n+ 1)!x2n+1

Les sugerimos escribir explícitamente varios términos y recordar este resultado. En un grá�cohecho con GeoGebra podemos apreciar cómo mejora la aproximación al aumentar el grado delpolinomio: mostramos la función, P1(x), P3(x) y P5(x):

El polinomio P5(x), aparentemente, es muy buena aproximación para sen x en todo el primercuadrante (esta observación es intuitiva; rigurosamente, hay que �jar un criterio antes de decidir siuna aproximación es "buena"). Gra�quen ustedes algunos polinomios de mayor grado.

Hay ciertas funciones que utilizaremos con más frecuencia, porque son útiles en otras materias yporque tienen polinomios de Taylor sencillos. Una de ellas es f(x) = senx, desarrollada en el ejemploanterior. Otras las presentamos en la ejercitación.

6.1.4. Ejercicios

Ejercicio 6.1.1. Construyan la aproximación lineal y cuadrática de la función f(x) =√x para el

punto x0 = 1. Gra�quen la función y sus aproximaciones. Utilícenlo para calcular aproximadamente√0.8 y

√1.1.

Ejercicio 6.1.2. Construyan la aproximación lineal y la aproximación cuadrática de la funciónf(x) = ln(x+ 1) para el punto x0 = 0.

Gra�quen la función y sus aproximaciones. Calculen los valores estimados de ln(0.9) y ln(1.2) conlas aproximaciones lineal y cuadrática.

Mediante un zoom adecuado, ¾en qué intervalo podrían a�rmar que cada aproximación es adecuada?¾Utilizarían alguna para aproximar ln 5?

Ejercicio 6.1.3. Supongamos que f(x) es una función derivable que veri�ca f(2) = 1 y f ′(2) = 3.Calculen la aproximación lineal centrada en x0 = 2 y aproximen el valor de f(2.5).

Ejercicio 6.1.4. Dadas las funciones f(x) = (x + 1)2, g(x) = e2x

y h(x) = 1 − ln(1 − 2x),comprueben que las tres tienen la misma linealización en x0 = 0.

Gra�quen en computadora las funciones dadas y su linealización. ¾En qué caso piensan que lafunción está mejor aproximada? ¾En qué se basa la respuesta dada?Utilicen l(x) para aproximar (1.1)2, e0.2 y 1 − ln(0.8) (ayuda: calculen primero el valor de xadecuado en cada caso)

Ejercicio 6.1.5. Calculen las derivadas de todo orden de:

ex


ln(x+ 1)cosx

11+x (conviene escribir la función como (1 + x)−1

(sugerencia: calculen varios órdenes, hasta intuir cómo son las derivadas siguientes. Se puede formalizarusando Inducción Completa)

Ejercicio 6.1.6. Escriban el polinomio de Taylor de grado n en torno a x = 0 las siguientesfunciones. Gra�quen en GeoGebra la función y los primeros polinomios en las cercanías de x = 0.

(a) f(x) = ln(x+1) deberán llegar a la expresión siguiente: Pn(x) = x− 1

2x2 +

1

3x3 − · · ·+ (−1)n+1

nxn.

(b) f(x) = ex

(c) f(x) = cosx(d) f(x) = 1

1+xConviene recordar estas funciones junto con sus polinomios de Taylor en torno a x = 0, aunque

por supuesto siempre se pueden volver a calcularlos según la de�nición 6.1.8.

CLASE 6.2. CALIDAD DE LAS APROXIMACIONES POLINÓMICAS 233

Clase 6.2. Calidad de las aproximaciones polinómicas

Contenidos de la clase: Resto de una aproximación. Fórmula de Lagrange para el resto.Estimación del error máximo cometido en una aproximación polinómica.

En la primer clase de esta Unidad vimos la construcción de aproximaciones poli-nómicas, con el objetivo de reemplazar una función "difícil" por un polinomio. Paradecidir si se puede con�ar en esas aproximaciones es necesario estudiar cuidadosamenteel error introducido por ellas.

6.2.1. Fórmula de Lagrange para el resto.

Revisemos qué sucede cuando queremos aproximar el valor de una función f(x) en un punto x 6= x0

mediante su polinomio de Taylor de grado n, centrado en x0.Para controlar la calidad de la aproximación es necesario estudiar la diferencia entre el valor de la

función y el valor de la aproximación, en el punto x.

Esta diferencia se llama resto. Vamos a anotarlo

Rn(x) = f(x)− Pn(x)

Otra manera de decir lo mismo es que la función se puede escribir exactamente como

f(x) = Pn(x) +Rn(x)

El polinomio es la parte que conocemos, y el resto es la parte que conocemos. Cuando usemos unpolinomio de Taylor para aproximar f(x), lo que hacemos es retener el polinomio y despreciar el resto,Se suele escribir

f(x) ≈ Pn(x)

con lo cual estaremos cometiendo un error igual al resto despreciado. Debe quedar claro que el valordel resto depende del punto x en que se evalúa la aproximación.

Interesa entonces controlar que el resto sea pequeño, aunque no lo conozcamos, para que la apro-ximación sea satisfactoria. Afortunadamente hay una forma de representar el resto, conocida comofórmula de Lagrange. Lo enunciamos (sin demostración) en el siguiente


Teorema 6.2.1. Teorema de Taylor.Si f(x) es una función derivable al menos hasta orden n + 1 en un intervalo (a, b) que contieneal punto x0, y si Pn(x) es su polinomio de Taylor de grado n centrado en x0, entonces para cadax perteneciente a (a, b) resulta

f(x)− Pn(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(c) (x− x0)n+1

donde c es un número c entre x0 y x. La expresión

Rn(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(c) (x− x0)n+1

se conoce como fórmula de Lagrange para el resto.

Como pueden sospechar, la demostración de la fórmula de Lagrange hace uso del Teorema delValor Medio. Igual que en aquel caso, la fórmula de Lagrange no nos dice el valor de c pero nos da unintervalo al que c pertenece.

La utilidad práctica de la fórmula de Lagrange no reside en calcular c y luego calcular el resto,sino en que permite estudiar los posibles valores del resto. Recuerden que nos sirve incluso para laaproximación lineal y la aproximación cuadrática.

En cada caso particular, habrá que �jar una tolerancia ε para decidir si el error es aceptable;diremos que el error se tolera si |Rn(x)| < ε. Usando la fórmula de Lagrange, vamos a controlar si

|Rn(x)| =∣∣∣∣ 1

(n+ 1)!f (n+1)(c) (x− x0)n+1

∣∣∣∣ < ε

Como no conocemos el valor de c, pero sí conocemos el intervalo donde se encuentra, para controlar queel resto sea pequeño necesitamos estudiar su expresión como función de c, y asegurar que es tolerablepara cualquiera de los valores posibles de c entre x0 y x.

Ejemplo 6.2.2. Utilicemos un polinomio de Taylor de grado n = 4 para aproximar el valor deln(1.2).

Vamos a de�nir la función f(x) = ln(1 + x) y construir su polinomio de Taylor de grado 4alrededor de x0 = 0. De esta manera

ln(1.2) = ln(1 + 0.2) = f(0.2) ≈ P4(0.2)

Ya habrán trabajado en otro ejercicio para construir el polinomio

P4(x) = x− 1

2x2 +

1

3x3 − 1

4x4

y también habrán calculado f (5)(x) = 4! (1 + x)−5.Con esos elementos pueden escribir el valor absoluto del resto de esta aproximación, usada en

x = 0.2 = 15 , como

|R4(0.2)| = 1

5!|f (5)(c)||x− x0|5 =

4!

5!0.25|1 + c|−5 =

1

5

(1

5

)5

|1 + c|−5 =1

15625(1 + c)−5

con c en el intervalo (0, 0.2).Encontrar ahora el mayor valor que puede tomar esta expresión, como función de c, es un

problema de extremos que aprendimos a resolver en la Unidad 3. Para saber el crecimiento de(1+c)−5 calculamos su derivada respecto de c, obtenemos −5(1+c)−6 y vemos que es negativa paracualquier c entre (0, 0.2); entonces la expresión es decreciente y como es continua en [0, 0.2] podemosasegurar tiene un máximo en c = 0. Es decir, su valor en todo el intervalo (0, 0.2) es siempre menorque en c = 0:

(1 + c)−5 < (1 + 0)−5 = 1


Concluimos que el error de la aproximación está acotado por

|R4(0.2)| = 1

15625(1 + c)−5 <

1

15625(1 + 0)−5 = 0.000064

Para veri�car este resultado, calculen ln(1.2) y P4(0.2) con calculadora.

En el ejemplo anterior hemos utilizado la fórmula de Lagrange para controlar el error de aproxi-mación de un polinomio de Taylor de grado �jo. Otra aplicación consiste en decidir qué grado es elapropiado si la tolerancia ya está pre�jada. Ilustremos esta situación con la misma función del ejemploanterior.

Ejemplo 6.2.3. Supongamos que se desea aproximar el valor de ln(1.2) mediante un polinomiode Taylor y se espera cometer un error menor a 0.0001.

Utilicemos la función f(x) = ln(1 +x) y su polinomio de Taylor de grado n alrededor de x0 = 0.Como en el ejemplo anterior, x = 0.2.

El trabajo será ahora decidir cuál es el menor grado del polinomio que garanticen la cota dadapara el error. Comprueben que la expresión del error es:

Rn(0.2) =1

n+ 1(1 + c)−(n+1)0.2n+1

con c en el intervalo (0, 0.2).Repitiendo el análisis anterior, ahora para (1 + c)−(n+1), llegamos a la siguiente cota del error:

|Rn(0.2)| = 1

n+ 1(1 + c)−(n+1)0.2n+1 <

1

n+ 10.2n+1

Para terminar tenemos que elegir n para que esta cota sea menor que 0.0001. Para eso probamoscon diferentes valores de n hasta encontrar el primero que veri�que esta condición. En este caso

si n = 3,1

40.24 = 0.0004 > 0.0001

si n = 4,1

50.25 = 0.000064 < 0.0001,

es decir, hace falta utilizar el polinomio de grado 4 (que es, efectivamente, el utilizado en el ejemploanterior).

6.2.2. Ejercicios

Ejercicio 6.2.1. Hallen una expresión para el error cometido en las aproximaciones de los ejercicios6.1.1 y 6.1.4 y encuentren una cota del error en cada caso.

Ejercicio 6.2.2. Encuentren el polinomio de Taylor de grado 2 de la función f(x) = 1√x+ 1

centrado en 3. Utilícenlo para aproximar (4.1)−1/2 y acoten el error cometido en la aproximación.

Ejercicio 6.2.3. Consideren la función f(x) = arctanx.

Para el punto x0 = 0,(a) Escriban los polinomios de Taylor centrados en x0 de grados 1, 2 y 3(b) Gra�quen con GeoGebra la función y sus polinomios, en un mismo sistema de ejes. Observenmediante un zoom en qué región va mejorando la aproximación(c) Calculen P1(0.5). Encuentren una cota del error cometido si se lo utiliza para aproximar elvalor de arctan(0.5).(d) Utilicen P3(x) para aproximar arctan(1.5). Ubiquen sobre la grá�ca P3(1.5) y arctan(1.5).Para el punto x1 = 1,(a) Escriban los polinomios de Taylor centrados en x1 de grados 1, 2 y 3(b) Agreguen en el sistema de ejes anterior los nuevos polinomios. Observen mediante un zoomen qué región la aproximación es buena.


(c) Utilicen P3(x) para aproximar arctan(1.5). Ubiquen sobre la grá�ca y comparen con laaproximación obtenida en el inciso (d) anterior. ¾A qué conclusión llegan?(d) ¾Utilizarían el mismo polinomio para aproximar arctan(0.99) y arctan(0.02)?

CLASE 6.3. DIFERENCIAS INFINITESIMALES Y DIFERENCIALES 237

Clase 6.3. Diferencias in�nitesimales y diferenciales

Contenidos de la clase: Diferenciales. Notación y primeras aplicaciones.

La noción de diferencial de una función se asocia a la noción de incremento, cuando su variableindependiente sufre un cambio pequeño, que se suele llamar in�nitesimal. Se espera que si la variablecambia poco, se pueda representar el incremento en el valor de la función en forma sencilla. Como yapueden razonar esto no sucede siempre, sino que depende por ejemplo de que la función en cuestiónsea continua y derivable, al menos en la región de la variable que se quiere incrementar.

En otras materias, y en modelos aplicados, es muy usual razonar con diferenciales. De hecho, sedesarrolla todo un lenguaje para trabajar con diferenciales. Dedicaremos esta clase a presentar eselenguaje y a relacionarlo con los conceptos de continuidad y derivada. Verán que, detrás del lenguajediferencial, siempre está la noción de aproximación lineal.

6.3.1. Diferencial de una función derivable en un punto

Consideremos en general una función y = f(x), derivable en un punto x0. Vamos a explorar cuántocambia el valor de la función cuando la variable x se desplaza respecto de x0:

Definición 6.3.1. Dada una función f(x) derivable en un punto x0, y un valor de x en el dominiode f ,

vamos a llamar incremento de f , y lo anotamos ∆f , a la variación del valor de f(x), esdecir la diferencia

∆f = f(x)− f(x0)

se llama diferencial de f , y lo anotamos df , al incremento de la aproximación lineall(x) = f(x0) + f ′(x0) (x− x0), es decir la diferencia l(x)− l(x0) = f ′(x0) (x− x0)

df = f ′(x0) (x− x0)

Noten que tanto ∆f como df dependen del punto x0 en cuestión, que vamos a mantener �jo, y delpunto desplazado x, que vamos a usar como variable (x puede estar a la izquierda o a la derecha dex0).

Observación 6.3.2. Aunque usualmente no se escribe explícitamente esta dependencia, es im-portante reconocer por el contexto cuál es el punto x0 �jo, y recordar que x es variable. Una vez�jado x0,

∆f y df son funciones de la variable x

Además del diferencial de una función f(x), vamos a hablar del diferencial de la variable indepen-diente. Se lo anota dx:

Definición 6.3.3. Dado un valor x0 de la variable independiente, y otro valor x, se llama dife-rencial de x al incremento

dx = x− x0

Para relacionarlo con la de�nición anterior, conviene estudiar la función identidad, i(x) = x, cuyovalor representa directamente la variable x. En cualquier punto x0 podemos calcular d i = i′(x0)(x −x0) = x− x0.

Observación 6.3.4. Conviene recordar que el diferencial de la variable independiente es direc-tamente igual al incremento de la variable independiente,

dx ≡ ∆x = x− x0

Además, cuando llamamos y = f(x), se suele hablar del diferencial de la variable dependientey, y anotar

dy ≡ df = f ′(x0) (x− x0)


En un esquema grá�co podemos volcar estos conceptos así:

Actividad 6.3.5. En el esquema anterior,

Identi�quen las �echas dx, df y ∆f marcadas en el esquema con sus de�niciones en el texto.Repitan el esquema para un valor mayor de dx.Repitan el esquema para un valor negativo de dx.

Uso de GeoGebra 6.3.6. Hagan ustedes mismos, con GeoGebra, un esquema como el de la�gura. Propongan una función f , un punto x0 �jo, y un punto x sobre el eje, que puedan mover conel mouse (o más bonito, con un deslizador).

Para dibujar los incrementos les recomendamos la herramienta Vector entre Dos Puntos. Pintenlos incrementos ∆f y df con distinto color.

Muevan el punto x para ilustrar el comportamiento de ∆f y de df . El valor numérico de amboslo van a encontrar en el Panel Algebraico.

Noten que x es una variable, y en ningún momento hemos dicho que dx sea pequeño. En consecuen-cia, df tampoco será necesariamente pequeño. La de�nición de diferencial se construye para cualquiervalor del incremento dx.

Ahora bien, cuando usamos la función lineal l(x) como aproximación a la función f(x), solamenteesperamos que sea buena cerca del punto x0; en esa aplicación será necesario que dx sea pequeño(in�nitesimal) para que el diferencial df sea satisfactoriamente parecido al incremento ∆f .

6.3.2. Calidad de la aproximación diferencial

Ya hemos discutido en la primer clase de esta Unidad por qué la aproximación lineal es una buenaaproximación a la función. Aquí vamos a repetir esa discusión, en lenguaje de diferenciales. Si repasanla sección 6.1.1, verán que estamos manejando la misma idea.

Nos referimos en general a una función y = f(x), derivable en un punto x0, y la pregunta que noshacemos es si el diferencial df se parece al incremento ∆f , al menos cuando x está cerca de x0. Paraeso estudiamos la diferencia ∆f − df y nos preguntamos si es pequeña.

Insistimos en que ninguna cantidad es pequeña o grande en términos absolutos, siempre dependede la escala con que comparemos. Lo que haremos para estimar si la diferencia ∆f − df es pequeña es


compararla con el valor del desplazamiento ∆x, mediante el cociente

∆f − df∆x

Por ejemplo, si este cociente se mantiene cerca de 1 signi�ca que la diferencia ∆f − df es aproximada-mente igual al desplazamiento ∆x; si este cociente se hace grande signi�ca que la diferencia ∆f −df essigni�cativamente mayor que el desplazamiento ∆x; en cambio, si este cociente se acerca a 0 signi�caque la diferencia ∆f − df se vuelve despreciable comparada con el desplazamiento ∆x.

Desarrollemos el cociente∆f − df

∆x=

f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)

x− x0

=f(x)− f(x0)

x− x0− f ′(x0)

(x− x0)

x− x0

=f(x)− f(x0)

x− x0− f ′(x0)

Si bien no podemos evaluarlo sin conocer f(x), sí podemos estudiar su comportamiento para x → x0

tomando límite. Noten que el primer término es la razón de cambio de f respecto de x, tiene límite yvale f ′(x0) porque f es derivable en x0. Luego

lımx→x0

∆f − df∆x

= 0

Este resultado indica que, en sentido de límite, la diferencia ∆f−df es arbitrariamente pequeña respectode ∆x. 4 Leído en palabras, y recordando la de�nición de límite, llegamos a la siguiente conclusión:

Afirmación 6.3.7. El error cometido en la aproximación diferencial de una función derivableresulta despreciable respecto del incremento de la variable, con la condición de tomar incrementossu�cientemente pequeños.

6.3.3. Cálculos con diferenciales

En otras materias van a encontrar modelos matemáticos que se construyen usando diferenciales.Veamos dos ejemplos.

Ejemplo 6.3.8. Se presume que la energía de ligadura E entre dos átomos de una moléculadiatómica depende de la distancia a entre sus núcleos, pero no se conoce la función precisa E(a).Es razonable suponer que es una función continua y derivable, y proponer

dE = λ da

donde λ es una constante. Luego se hacen cálculos usando la aproximación lineal, para incrementosde la distancia a que parezcan razonablemente pequeños respecto de la escala experimental.

Estos cálculos se deben entender en dos niveles:

como aproximación, cuando no se puede hacer nada mejor.como resultados exactos, cuando se puede tomar el límite para el incremento de la variableindependiente tendiendo a cero. En este caso, siguiendo el ejemplo, después de tomar el límiteel valor de λ se entiende como la derivada

λ =dE

da

También se pueden utilizar diferenciales para estimar el error debido a mediciones aproximadas enalguna situación o experimento. Veamos como ejemplo una medición indirecta.

4Se dice que ∆f − df es un in�nitésimo respecto de ∆x.


Ejemplo 6.3.9. Se quiere medir el volumen de una esfera con una regla. Para eso, se mide suradio r y se usa la fórmula de volumen de la esfera, V = 4

3πr3. La regla tiene una precisión estimada

de 0.05 cm (medio milímetro), por lo que la medida del radio incluye un error. Es decir, el valor realdel radio no lo conocemos, sólo sabemos que está dentro del margen de error dado por la precisióndel instrumento.

La cuestión que nos preocupa es cómo el error en la medida del radio se traduce en un error en elcálculo del volumen de la esfera. Este planteo se da en cualquier medida indirecta: la estimación delerror en la cantidad calculada a partir del error en la cantidad medida se conoce como propagaciónde errores.

Supongamos que se midió que el radio es de r0 = 21 cm, con un error estimado de a lo sumo0.05 cm (por exceso o por defecto). Quiere decir que el radio real r está entre 21 cm − 0.05 cm =20.95 cm y 21 cm+ 0.05 cm = 21.05 cm.

El volumen de la esfera resulta, según el radio medido, V = 43π (21 cm)3 = 38792.38 cm3.

Estimemos ahora el margen de error esperado en el volumen, por la imprecisión en la medida delradio.

Una estrategia posible es calcular el volumen con el menor radio compatible con la medición(20.95 cm) y con el mayor radio compatible con la medición (21.05 cm). Entonces el volumen realestará entre esos dos resultados. Esta estrategia suele ser engorrosa; además los valores exactoscarecen de sentido porque el margen de error es simplemente una estimación.

La estrategia más habitual usa diferenciales. Notemos que la diferencia r− r0 representa el errorcometido en la medición del radio; no sabemos exactamente cuánto vale pero la podemos acotar.Por la calidad del instrumento utilizado, sabemos que

|r − r0| < 0.05 cm.

Por otro lado, V (r0) =4

3π (21 cm)3 = 38792.38 cm3 es el volumen calculado y V (r) = 4

3πr3 será

el valor real. La diferencia∆V = V (r)− V (r0)

es la que queremos estimar. Como V (r) es una función derivable, podemos usar su linealización paraaproximar el volumen, y por lo tanto la diferencial dV nos da una estimación sencilla para el errorpedido. Tenemos

dV = V ′(r0) dr = 4πr2dr

Usando la cota para el error en el radio podemos estimar

|dV | = 4π(21 cm)2|r − 21 cm| < 4π(21)20.05 cm3 = 277.09 cm3.

Este cálculo con diferenciales es mucho más sencillo que calcular los volúmenes mínimo y máximo,pero además es más preciso.

Se suele expresar el resultado del volumen medido, con su margen de error, como

V = (38792± 277) cm3.

Ante el margen de error estimado, no tiene sentido conservar los decimales.

6.3.4. Ejercicios

Ejercicio 6.3.1. Supongamos que f(x) es una función derivable en x0 = 5 tal que la diferencialasociada a dicho punto es df = 2(x− 5). ¾Cuánto vale f ′(5)?

Ejercicio 6.3.2. Un vehículo se mueve sobre una línea recta, marcada como un eje x. Su posiciónen función del tiempo t está dada por

x(t) = 2 cm+ 5cm

st− 10

cm

s2t2

a) exprese el diferencial dx cuanto t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s.b) en cada caso, ¾cuánto se desplazaría el vehículo en 0.01 s, según la aproximación diferencial?


c) en cada caso, para qué lado se desplaza el vehículo?

Ejercicio 6.3.3. Calculen las diferenciales de las siguientes funciones asociadas a los puntos indi-cados

1. f(x) = x+ 12x− 1 , x0 = 1, x0 = 0, x0 6= 1/2 cualquiera

2. f(x) = ex, x0 = 1, x0 = 0, x0 cualquiera3. f(x) = cosx, x0 = 0

Ejercicio 6.3.4. Consideremos la función f(x) =√x+ 3 y el punto x0 = 1.

Escriban la aproximación lineal l(x) de f asociada al punto x0.Gra�quen la función y su aproximación lineal.Calculen y marquen sobre el grá�co las cantidades ∆f(x) y df(x) para los puntos x = 0.98 yx = 1.05.

Ejercicio 6.3.5. La medida del lado de un cuadrado es de 12 cm, con una cota de error de(1/64) cm. Estimen, mediante diferenciales, la cota del error producido al calcular el área del cuadrado.

Ejercicio 6.3.6. Un cierto año, la circunferencia de un árbol era de 10 pulgadas. Al año siguiente,la circunferencia del árbol aumentó en 2 pulgadas. Estimen con diferenciales cuánto aumentó el áreade una sección transversal del árbol.

CLASE 6.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: EJERCICIOS Y APLICACIONES 242

Clase 6.4. Actividades de Integración: ejercicios y aplicaciones

Contenidos de la clase: Ejercitación en diferenciales y polinomios de Taylor. Estimaciónde error en aproximaciones polinómicas. Aplicación de polinomios de Taylor al cálculode límites indeterminados del tipo "cero sobre cero".

Ejercicio 6.4.1. Supongamos que f(x) es una función derivable en todos los reales tal que eldiferencial asociado al punto x0 es de la forma df = 3x− 9.(a) ¾Es cierto que x0 = 3?(b) Asumiendo que f(x0) = 2, hallen una aproximación para f(2.9).(c) Estimar el cambio producido en la función cuando x cambia de x0 a 2.9.

Ejercicio 6.4.2. Si bien el diferencial df = f ′(x0)(x− x0) está de�nido para todo x, es claro quesólo dará una buena estimación del error de mediciones cuando x esté cerca de x0. Para indicar esehecho, es común indicar la diferencia x − x0 como ∆x (ya lo hemos hecho en más de una ocasión) yescribir df = f ′(x0)∆x.

Escriban una expresión general para estimar el cambio que se produce en el área de un cubo cuandola longitud de la arista cambia de x0 a x0 + ∆x.

Luego, utilícenla para estimar el cambio producido cuando la longitud cambia en 0.05 cm a partirde una medición inicial de x0 = 2 cm y de otra medición inicial de x0 = 3 cm.

Ejercicio 6.4.3.(a) Supongamos que P2(x) = 1+2x+x2 es el polinomio de Taylor centrado en x0 = 0 de cierta funciónf(x). Calculen f(0), f ′(0) y f ′′(0).(b) Si el polinomio 1 + 2x+ x2 correspondiera al desarrollo de Taylor de otra función g(x) en x0 = 1,calculen g(1), g′(1) y g′′(1). (Sugerencia: re-escribir primero el polinomio en la forma a + b(x − 1) +c(x− 1)2).

Ejercicio 6.4.4.(a) Supongamos que P2(x) = 1 + (x−1)2

2 es el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en x0 = 1 decierta función f(x) que tiene derivada segunda continua¾Es x0 un punto crítico?¾Es x0 un extremo de la función?(b) Respondan las mismas preguntas suponiendo que P3(x) = −5 + x + 2(x − 5)2 es el polinomio deTaylor de la función f(x) en x0 = 5.

Ejercicio 6.4.5. Consideremos la función f(x) = cosx y sus polinomios de Taylor de grado 1, 2,3, 4 y 5 alrededor de x0 = 0.(a) Calculen aproximadamente cos(−0.1) con P4(x). Encuentren una expresión para el resto y acotenel error cometido.(b) Si repiten el procedimiento con P5(x), ¾Cambia el polinomio? ¾Cambia la cota hallada del error?

Ejercicio 6.4.6. Escriban el polinomio de Taylor de grado n de la función f(x) = lnx centradoen x0 = 1. Hallen una expresión para el resto.(a) Calculen aproximadamente ln(1.1) con P2(x). Acoten el error cometido.(b) ¾Qué grado del polinomio de Taylor se debe utilizar para aproximar ln(1.1) con un error menor a10−4?

Ejercicio 6.4.7. Consideren el polinomio de grado n de Maclaurin de f(x) = ex. A partir de laexpresión del resto Rn(x), determinen qué grado del polinomio hay que utilizar para aproximar

√e

con un error menor a 0.001.


Aplicación: uso de polinomios de Taylor en el cálculo de límites indeterminados

El desarrollo de Taylor de una función es útil para calcular límites indeterminados del tipo "0/0".Analicemos algunos casos.

Ejemplo 6.4.1. Vamos a comprobar, aprovechando el polinomio de Taylor, el límite (ya enun-ciado en la Unidad 2):

lımx→0

senx

x= 1

Sabemos que senx = x+R2(x) (compruébenlo, usando el polinomio de Taylor P2(x)).Entonces podemos escribir, para x 6= 0,

senx

x=x+R2(x)

x= 1 +

R2(x)

xUsemos la expresión del resto, que depende de un valor c entre 0 y x, y acotemos el último sumando:

0 ≤∣∣∣∣R2(x)

x

∣∣∣∣ = | 13!

cos cx3

x| ≤ x2

6.

Observen que en este caso es sencillo acotar directamente | cos c| ≤ 1. Tomando límite para

x→ 0, por la ley del sandwich podemos a�rmar que lımx→0

R2(x)

x= 0. Entonces

lımx→0

senx

x= lım

x→0

(1 +

R2(x)

x

)= 1

Observación 6.4.2. Este cálculo no es una demostración, es solamente una comprobación.Noten que para calcular los coe�cientes del desarrollo de Taylor se usan derivadas de senx; pero

para obtener esas derivadas por de�nición ya usamos que lımx→0senx

x= 1.

En general, el límite que estemos estudiando determinará el grado del polinomio de Taylor que senecesita. El cálculo concreto hará quedar en evidencia la necesidad de aumentar el grado del polinomio.Por ejemplo,

Actividad 6.4.3. Calculemos lımx→0

senx− xx3

.

Si usamos el desarrollo del ejemplo anterior, al dividir por x3 obtenemos

senx− xx3

=x+R2(x)− x

x3=R2(x)

x3.

Tratemos de operar como recién con la expresión. Si acotamos | cosx| < 1, tendríamos∣∣∣∣R2(x)

x3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

3!

∣∣∣∣ ≤ 1

6.

Sólo pudimos concluir que el cociente está acotado. Intentemos utilizar un grado más del polinomiode Taylor:

senx = x− x3

3!+R4(x) (compruébenlo).

Entonces podemos escribir, para x 6= 0,senx− x

x3=x− x3/3! +R4(x)− x

x3= − 1

3!+R4(x)

x3.

Procediendo como en el ejemplo anterior, prueben ahora que

lımx→0

senx− xx3

= lımx→0

(− 1

3!+R4(x)

x3

)= −1

6.


Ejercicio 6.4.8. Utilizando un polinomio de Taylor adecuado, encuentren el valor adecuado de a

para que la función f(x) =

{ex−1x , si x 6= 0

a, si x = 0sea continua en x = 0.

Luego analicen la existencia de f ′(0).

Ejercicio 6.4.9. Utilizando el polinomio de Taylor de grado apropiado, calculen los siguienteslímites.

(a) lımx→0

cosx− 1

x(b) lım

x→0

ex − 1− xx

(c) lımx→0

ex − 1− xx2

(d) lımx→0

ex − 1− xxn

, n ∈ N (e) lımx→1

lnx− x+ 1

(x− 1)2.(f) lım

x→π/4

arctanx− π/4x− π/4

Material opcional

Se puede probar que el polinomio de Taylor de cualquier grado dado asociado a una función f(x)alrededor de un punto x0 es único. Aprovechando ese hecho, se puede construir el polinomio de Taylorde una función aprovechando el desarrollo de otras funciones más simples, en lugar de calcular lasderivadas de la función original. Por ejemplo,

Ejemplo 6.4.4. Calculemos el polinomio de Maclaurin de la función f(x) = xex.Como conocemos el desarrollo de la exponencial, podemos escribir

ex = 1 + x+1

2!x2 +

1

3!x3 + · · ·+ 1

n!xn +Rn(x)

donde Rn(x) = ec(n+1)!x

n+1, con c entre 0 y x.Para obtener f(x) solamente hace falta multiplicar por x toda la expresión. Así obtenemos que

xex = x+ x2 +1

2x3 +

1

6x4 + · · ·+ 1

n!xn+1 + xRn(x)

El polinomio de grado n+1 que vemos es el polinomio de Maclaurin de f(x) = xex, por unicidad.Veri�quemos que los primeros términos coinciden con la de�nición 6.1.8, derivando f(x) :

f(x) = xex f(0) = 0f ′(x) = ex + xex f ′(0) = 1f ′(x) = 2ex + xex f ′′(0) = 2f ′′′(x) = 3ex + xex f ′′′(0) = 3

f (4)(x) = 4ex + xex

.

Entonces P3(x) = 0+x+2x2

2!+ 3

x3

3!= x+ x2 +

x3

2, que como se ve coincide con los tres primeros

términos del cálculo previo.Observemos la diferencia en la expresión del resto asociado al polinomio de grado 3:- en el primer caso, comprueben que n = 2. Luego R2(x) = ec

3! x3, con c entre 0 y x. El resto

de f(x) queda escrito como

xR2(x) =ec

6x4, con c entre 0 yx

- en el segundo caso, el error adopta la forma

f (4)(a)

4!x4 =

4ea + aea

24x4, con a entre 0 yx.

Desde ya, c y a son números que se encuentran entre 0 y x, pero que no tienen por qué seriguales entre sí.

El bene�cio de este modo de calcular el polinomio de Taylor dependerá, como se imaginan, de lodi�cultoso que pueda ser derivar sucesivamente la función.


Ejercicio 6.4.10. Calculen el desarrollo de Maclaurin de f(x) = ex2de grado 4 de las siguientes

maneras:(a) derivando cuatro veces la función (es decir, según la de�nición del polinomio de Taylor)(b) utilizando el desarrollo de g(u) = eu y reemplazando u = x2. ¾Cuál manera les resultó menoscostosa?

Ejercicio 6.4.11. Calculen el polinomio de Taylor de grado n de f(x) = (x− π)2 senx centradoen x0 = π y encuentren una posible expresión para el resto.

Aproximen( π

12

)2sen

(13

12π

)utilizando el polinomio de grado 3 y acoten el error cometido.

análisis matemático i – cibex · ejemplo 6.1.1 . un ri e con mira láser dispara un proyectil....

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