Ángulos Diedros, Triedros y PoliedrosRomina de Oliveira

Ángulo Diedro Convexo

Dados cuatro puntos no

coplanares A, B, C y D, se

llama ángulo diedro

convexo ABCD, de arista BC,

a la figura formada por los

puntos comunes a dos

semiplanos: el limitado por el

plano ABC que contiene al

punto D y el limitado por el

plano BCD que contiene al punto A.

P es un punto interior, ya que pertenece al

diedro, aunque no a sus caras; mientras

que Q es un punto exterior, ya que no

pertenece al diedro.

Elementos

Observe la similitud entre los elementos de los ángulos planos y los ángulos diedros:

˄

Ángulo: aob Diedro: εϕ

Vértice: o Arista: a

Lados: semirrectas oa y ob Caras: semiplanos ε y ϕ

Sección de un ángulo diedro

Se observa la sección plana o

intersección de un diedro αβ

con un plano que corta su

arista. Dicha sección es el

ángulo MNP cuyos lados

pertenecen a las caras y su

vértice a la arista.

Se llama sección de un diedro al

ángulo que determina en el

mismo un plano que corta a su

arista

Sección Normal

Una sección de un diedro se

llama normal cuando sus

lados son perpendiculares a la

arista

En este caso el ángulo MNP es

sección normal del diedro αβ si los

lados NM y NP son perpendiculares

a «a»

La sección normal de un diedro

se obtiene como la intersección de éste

con un plano perpendicular a la arista

CONSECUENCIA: todas las secciones

normales de un diedro son iguales

Amplitud de un Diedro

Se llama amplitud de un diedro a la amplitud de su sección normal

Un diedro es congruente, mayor o menor que otro, si la sección normal del primero es congruente, mayor o menor que la del segundo, respectivamente

Diedros Consecutivos

Dos diedros son

consecutivos cuando

tienen solamente en

común la arista y una

cara.

Ej: αβ y βγ son

consecutivos

Diedros Complementarios y Suplementarios

Diedros Complementarios Diedros Suplementarios

Dos diedros son complementarios Dos diedros son suplementarios

cuando su suma es igual a un diedro cuando su suma es igual a dos

recto. diedros rectos.

Ej: αβ y γδ son complementarios Ej: α´β´ y γ´δ´ son suplementarios

si αβ + γδ = 1 d. R (un diedro recto) si α´β´ + γ´δ´ = 2 d. R

Diedros Adyacentes y Opuestos por la Arista

Diedros Adyacentes Opuestos por la Arista

Dos diedros son adyacentes cuando Dos diedros son opuestos por la arista

son consecutivos y sus cuando las caras de cada uno son los

caras no comunes son semiplanos semiplanos de las caras del otro.

opuestos.

Ej: αβ y βγ son adyacentes Ej: αβ y α´β´ son opuestos por la arista

Consecuencias

Si dos diedros son adyacentes, sus secciones normales son ángulos adyacentes

Los diedros adyacentes son suplementarios

Los diedros opuestos por la arista son congruentes

Clasificación

Diedro Recto: es igual a su adyacente Diedro Llano: tiene por

Ej: αβ es recto porque αβ = α´β caras semiplanos

opuestos y sus puntos

interiores pertenecen

Diedro Agudo: es menor que un diedro a un semiespacio.

recto. Ej: γδ es agudo porque γδ ˂ αβ

(αβ de la primer figura)

Diedro Cóncavo: es

Diedro Obtuso: es mayor que un aquel formado por los

diedro recto y menor que un llano. puntos de las caras de

Ej: εϕ es obtuso porque εϕ > αβ un diedro convexo

ABC (αβ de la primer figura) ABCD y todos sus

puntos exteriores

Bisector de un Ángulo Diedro

Se llama bisector de un diedro al semiplano interior que lo divide en

dos diedros congruentes

Ej: β es semiplano

bisector de α1α2

entonces α1β = βα2

EJERCICIO 1

Nombra dos ejemplos de:

a) Diedros agudos

b) Diedros rectos

c) Diedros obtusos

d) Diedros llanos

e) Diedros opuestos por el

vértice Datos: la figura es un ortoedro

f) Diedros adyacentes A>B (aristas)

g) Diedros complementarios α: cara anterior

no consecutivos γ: cara posterior

h) Diedros congruentes β y δ: caras laterales

π1, π2, ε1, ε2 semiplanos diagonales

Teorema de Thales

Si tres o más planos

paralelos son cortados

por dos o más

transversales, la razón

entre dos segmentos de la

primera es igual a la razón

entre los segmentos

correspondientes de las

restantes

Teorema de Thales

Si α // β // γ y R, T y S son

secantes, entonces:

𝑎𝑎´

𝑎´𝑎´´=

𝑏𝑏´

𝑏´𝑏´´=

𝑐𝑐´

𝑐´𝑐´´

𝑎 𝑎´

𝑎𝑎´´=

𝑏𝑏´

𝑏𝑏´´=

𝑐𝑐´

𝑐𝑐´´

𝑎´𝑎´´

𝑎𝑎´´=

𝑏´𝑏´´

𝑏𝑏´´=

𝑐´𝑐´´

𝑐𝑐´´

EJERCICIO 2

¿En qué casos puedes

asegurar que α//β//γ?

aa´=5cm

a´a´´=15cm

b´b´´=2cm

bb´=6cm

aa´´=12cm

a´a´´=8cm

bb´=6cm

b´b´´=12cm

EJERCICIO 3

Sea α//β//γ; R y S secantes

aa´ = 2x+3cm

a´a´´ = 4x-4cm

bb´ = 2x-3cm

b´b´´ = 2x

Halla el valor de:

a) X

b) aa´, a´a´´, bb´, b´b´´

c) Comprueba tus resultados

Ángulos Triedros

Dadas tres semirrectas no

coplanares vr, vs y vt se llama

ángulo triedro a la

figura formada por los

puntos comunes a los

diedros convexos de aristas

vr, vs y vt.

Es decir, el ángulo triedro es la

interseción de tres diedros

cuyas aristas concurren en un

punto

Notación

En símbolos se anota: tr v. vr, vs, vt

Abreviado: tr v. rst

y se lee «triedro de vértice v y aristas vr, vs y vt»

Elementos

Observe la similitud entre las definiciones y propiedades de triángulos y triedros:

Triángulo: abc Triedro: tr v. abc (v: vértice)

Vértices: a, b, c Aristas: va, vb, vc

Lados: ab, bc, ca Caras: avb, bvc, cva

Ángulos: abc, bca, cab Diedros: d. va, d. vb, d. vc

Propiedades

En todo triedro cada cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que su diferencia

La suma de las caras de un triedro es menor que cuatro rectos

EJERCICIO 4

Indica en qué casos los datos

pueden corresponder a las caras

de un triedro. En caso contrario

explica por qué:

a) b) c)

Áng. avb = 40° Áng. avb = 120° Áng. avb = 90°

Áng. bvc = 135° Áng. bvc = 130° Áng. bvc = 80°

Áng. cva = 25° Áng. cva = 90° Áng. cva = 190°

Congruencia de Triedros

Si los diedros y las caras correspondientes de dos diedros son congruentes, entonces los triedros son congruentes

Ángulos Poliedros

La definición de poliedro contiene a la de triedro como caso particular:

3 semirrectas no coplanares que 3 o más semirrectas no coplanares

tienen un mismo origen v determinan que tienen un mismo origen v

un ángulo triedro. determinan un ángulo poliedro.

Tr. v. abc áng. Poliedro v. abc … n

Vértice: v Vértice: v

Aristas: va, vb, vc Aristas: va, vb, … , vn

Caras: avb, bvc, cva Caras: avb, bvc, … , nva

Propiedades

Se generaliza para los ángulos poliedros las propiedades enunciadas para los triedros:

En todo ángulo poliedro cada cara es menor que la suma de las restantes

La suma de las caras de un ángulo poliedro es menor que cuatro rectos

EJERCICIO 5

¿En qué casos los datos pueden corresponder a un poliedro v. abcd?

a) b) c)

Áng. avb=25° Áng. avb=35° Áng. avb=90°

Áng. bvc=42° Áng. bvc=98° Áng. bvc=103°

Áng. cvd=108° Áng. cvd=103° Áng. cvd=45°

Áng. dva=41° Áng. dva=49° Áng. dva=120°

Secciones de un ángulo poliedro

Se llama sección plana

de un ángulo poliedro a

la intersección de un

plano y un ángulo

poliedro.

Si el plano corta a todas

las aristas del ángulo

poliedro y no pasa por el

vértice, la sección plana es

un polígono

Si un ángulo es

seccionado por dos

planos paralelos que

corten a sus aristas, se

obtienen dos

polígonos semejantes

EJERCICIO 6

Datos:

π//π´

ab=3cm bc=4cm

a´b´=4,5cm a´c´=9cm

a) Calcla ac y b´c´

b) ¿Qué puedes decir de

los triángulos vab y va´b´?

c) Calcula vc´ siendo vc=8cm