analisis termico en construcciones

Análisis Térmico en

Construcciones

© 1998, 1993 MathSoft, Inc. Todos los derechos son reservados.

Traducción realizada por el I.Q. Hugo Héctor Martínez y Rojas 2011

Andreas Athienitis

Tabla de contenido Notas sobre libros electrónicos Mathcad 1 Introducción al análisis térmico en construcciones 3 Capítulo 1 Conducción estacionaria unidimensional de energía térmica a través de una

pared o en tubos 5 1.1 Conducción estacionaria unidimensional de energía térmica con una taza de transferencia

de calor en una pared plana o con capas múltiples 5 1.2 Conducción de calor a través de un tubo aislado con múltiples capas 13 1.3 Paredes con generación de calor interna 16 1.4 Factores en la forma conducción térmica, en tubería enterrada en el suelo 17 1.5 Efecto de la radiación solar sobre las paredes externas 19 1.6 Análisis térmico en espacios sin calentamiento 21 Capítulo 2 Conducción de calor en construcciones en un régimen variable 23 2.1 Modelo de parámetros cíclicos y el método de redes térmicas 23 2.2 Conducción térmica variable en placas seminfinitas 26 2.3 Flujo de calor radiante en un piso: tipo placa seminfinita 28 2.4 Condiciones convectivas en la frontera de una placa seminfinita 29 2.5 Modelo de diferencias finitas de las variables térmicas en una pared 30 Capítulo 3 Análisis en la conducción del calor en las construcciones por el método de diferencias finitas 33 3.1 Análisis de puentes térmicos en dos dimensiones en un régimen continuo estable 33 3.2 Flujo de calor en suelos y cimientos 38 3.3 Modelo de diferencias finitas oscilantes en una pared 45 Capítulo 4 Flujo de calor periódico, en paredes con capas múltiples 49 4.1 Principios de análisis periódicos estables de flujo de calor 49 4.2 Admitancia térmica en paredes con capas múltiples 50 4.3 Transferencia de calor en paredes con capas múltiples en un régimen periódico periódico

estable 55 Capítulo 5 Convección e infiltración en cuartos y cavidades 61 5.1 Convención de calor natural en cavidades de ventanas 61 5.2 Coeficientes de convección de transferencia de calor en habitaciones 63 5.3 Coeficientes de transferencia de calor con el viento 65 5.4 Infiltración 66 Capítulo 6 Transferencia de calor por radiación en construcciones 68 6.1 Cálculos de factores de vista en una habitación rectangular con una ventana 68 6.2 Cálculo de las propiedades de radiación térmica 75 6.3 Radiación combinada a convección térmica 79

6.3.1 Transferencia de calor combinada a la radiación y convección en espacios en cavidades y resistencias térmicas de ventanas 79

6.3.2 Temperatura medida del aire 82 6.3.3 Pérdidas de calor por radiación-convección combinadas en un tubo 83

Capítulo 7 Radiación solar 86 7.1 Radiación solar incidente en superficies inclinadas 86 7.2 Propiedades solares en ventanas 95 7.3 Radiación solar transmitida a través de ventanas 100 7.4 Cálculos de sombreado solar en el diseño de pretiles 106 Capítulo 8 Psicométrica y confort térmico 109 8.1 Psicrometría y propiedades termodinámicas del aire húmedo 109 8.2 Propiedades de la humedad del aire en 3 casos 113 8.3 Cálculo para el confort térmico 117 Capítulo 9 Cálculos cargas de calentamiento y enfriamient o 121 9.1 Modelo de primer orden en una habitación 121 9.2 Modelos térmicos detallados en periodos de zonas estables y cálculo de la carga térmica de

calentamiento 130 9.3 Modelo oscilante en una zona estable y cálculos para determinar su carga de

enfriamiento 143 Capítulo 10 Control térmico en construcciones 163 10.1 Funciones de transferencia de Laplace para el control térmico en construcciones 163 10.2 Respuesta a variables térmicas en construcciones, empleando la inversión numérica en el

dominio de Laplace 167 10.3 Control térmico y respuesta a variables en un sistema de calentamiento 169 10.4 Transformadas -Z y sus aplicaciones digitales en la simulación del control térmico 174 Capítulo 11 Cálculos de sistemas hidráulicos con calentamiento 178 11.1 Sistema hidráulico con bombeo en tubería y sistema de calentamiento 178 11.2 Tanque de expansión 182 11.3 Diseño de sistema con chimenea 183 Capítulo 12 Análisis de sistemas de calentamiento con radiación solar 186 12.1 Análisis térmico sobre el calentamiento del piso 186 12.2 Análisis térmico del calentamiento en techos 196 Apéndice: Tabla de Propiedades Térmicas de Algunos Materiales 207

1

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Combinación de ecuaciones y formulas en un libro electrónico

La ventaja de los libros electrónicos de Mathcad es que todas las ecuaciones están vivas, esto es se pueden cambiar los valores a cualquier variable, constante o de otras expresiones como en otros libros electrónicos, que se importen como las hojas de cálculo de Microsoft; para obtener resultados similares. Usted también puede realizar sus propias ecuaciones con cualquiera de los comandos de la paleta de Mathcad, en donde se incluyen símbolos de suma, resta división, potencias, matrices, diferenciales, integrales, sumatorias, gráficas, símbolos griegos, etcétera.

No puede cambiar el menú de los comandos de Mathcad ni de cualquier libro electrónico. Para desarrollar operaciones se realiza desde los comandos del menú, como (simplificación, series de Fourier, factores, programación, etcétera).

Primero debe seleccionar las regiones a su ventana de cálculo. Estando

seguro de incluir las definiciones de las variables y constantes que sean necesarias.

También se pueden incluir regiones de texto al acceder a la hoja de cálculo de Mathcad y presionar dos veces, cuando aparece una zona de texto dentro de un recuadro que se desaparece al pasar al pasar a la zona de hoja de cálculo.

Formato/Propiedades/Cálculos. Usted puede rápidamente acceder a

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2

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Unidades Si no define de unidades, Mathcad

emplea las unidades del sistema de unidades SI (Sistema Internacional de Unidades). También Mathcad ofrece otras alternativas de sistemas de unidades como: SI, CGS, MKS, US. (unidades de comunes), o sin unidades. Esta se encuentra en el icono de

Unit… donde los resultados se presentan en el sistema de unidades seleccionado por el autor de cada libro electrónico realizado en Mathcad. Favor de consultar una Guía del Usuario de Mathcad, para obtener más información para emplearlo con el convertidor de unidades de Mathcad. Si usted cambia el sistema de unidades, los resultados cambian al nuevo sistema, pero cualquier unidad de los problemas o en las regiones de texto permanece tal como lo propuso el autor original que propuso.

3

Introducción al análisis térmico en construcciones

El análisis térmico en construcciones abarca los temas más importantes de la transferencia de calor y su dinámica en las mismas, incluyendo estados estacionarios o variables por conducción, convección y radiación multidimensional, en los cálculos de la carga de calentamiento, enfriamiento y con un control térmico. Este libro ya se ha empleado en cursos universitarios para el análisis de energía en construcciones, ventilación, en el calentamiento y acondicionamiento del aire; ayuda para en el diseño de las construcciones por medios computarizados y en el análisis de la energía solar. Los métodos experimentales para el análisis térmico en construcciones y su diseño se presentan acompañados por una explicación teórica de sus ecuaciones, por ello también se encuentran tablas y gráficas. Se presentan dos nuevos capítulos que agregó el autor en esta edición. El capítulo 11, cubre una explicación del calentamiento en sistemas hidráulicos. El capítulo 12 trata sobre el análisis de sistemas de calentamiento radiante.

Temas Cálculos de la resistencia térmica; en un

régimen en un régimen estacionario en paredes y tuberías.

Conducción de calor constante en construcciones y en redes térmicas

Conducción de calor variable en construcciones y en redes térmicas.

Análisis en la conducción de calor en lozas, balcones y otros componentes de una construcción, por el método de diferencias finitas.

Infiltración; coeficientes de transferencia de calor convectivo y por radiación en las construcciones.

Cálculos del flujo de calor en paredes por el método de diferencias finitas así como con el método de admitancia y el de series de Fourier.

Cálculos de la transferencia de calor por radiación en construcciones, factores vista dentro de un cuarto y las

propiedades de radiación, como la emisividad de onda larga de una superficie seleccionada.

Transferencia de calor por convección y radiación combinadas a través de ventanas y a través de tuberías.

Radiación solar incidente en superficies inclinadas transmitidas en ventanas; con su aumento por su diseño.

Propiedades psicrometrícas por la humedad del aire.

Estimación del confort térmico. Un modelo detallado en periodos

estables para el cálculo de la carga térmica en un horario.

Método detallado para el cálculo de la carga de enfriamiento en un horario, incluyendo la representación aproximada de las ganancias solares.

Análisis del control térmico en construcciones empleando transformadas de Laplace.

Diseño de sistemas de calentamiento. Apéndice de las propiedades térmicas en algunos materiales

El documento de este libro electrónico se puede completar con algunos ejemplos de trabajo. Algunas veces el usuario, desea cambiar las constantes a modelos de mayor exactitud, este problema se puede realizar. Por esta razón se ha incluido el Apéndice con las Propiedades Térmicas de los materiales más comunes en las construcciones.

En donde se encuentra: la Conductividad Térmica, la Densidad, el Calor Específico, el Factor Global de Transferencia de Calor y la Emisividad.

Frecuentemente esta tabla puede usarse junto con otros archivos, el autor sugiere hacerlo por el procedimiento siguiente.

Sugerencias Si realiza un documento para usted,

empleando las formulas y técnicas del libro, seleccione el menú New... que se encuentra abajo del menú File anterior. Guarde el archivo los datos del apéndice bajo un nuevo

4

nombre. Esto le permitirá trabajar con su propio documento. Si usted requiere emplear e ir al menú File seleccione Open..., entonces seleccione newappendix.mcd desde el directorio o desde un fólder de este libro que instaló. De esta manera usted puede ir a través del texto y hacer referencia al apéndice con más rapidez. También usted puede arrastrar cualquier fórmula y técnicas del libro a sus propios archivos.

Agradecimientos El autor desea agradecer a Iliada

Panayiotou por su asistencia continua y su apoyo moral. Muchas gracias a Eric Edelstein por sus meticulosas revisiones para la presentación editorial, durante el desarrollo de este libro a Mona Zeftel y Bob Gauthier coordinadores de la producción y revisión en Mathcad en la versión 8. A Margaret Rantz que preparo la fase del índice de búsqueda. Andreas Athienitis Universidad de Concordia Montreal, Canadá

Análisis térmico en construcciones Capítulo 1

5

Capítulo 1

Conducción Estacionaria Unidimensional de energía térmica a través de una pared o en tubos

En este capítulo de introducción, se

consideran diversos casos de conducción estacionaria unidimensional de energía térmica ó calor para el diseño de equipos o en construcciones. En estos casos se asume que hay una taza de transferencia de energía térmica, en una dimensión en un área de una temperatura caliente a una temperatura fría. La resistencia térmica o pérdida ó ganancia de calor, se determina en paredes, como en tubos, midiendo algunas variables como las temperaturas interna o externa En el Capítulo 8, se analizará con mayor detalle, el comportamiento en las capas que tienen un calentamiento interno, que se presenta en calentadores, como son los que tienen resistencias eléctricas o en los paneles

solares. En las construcciones, también se ven factores de forma para determinar las ganancias ó pérdidas de calor en la conducción estacionaria, de la sección caliente a la fría. Así como en volúmenes calientes cerrados por donde pasa una tubería con un fluido frío que le extrae calor al volumen, como en los refrigeradores o en los extractores de calor de cuartos. En muchas situaciones de regimenes de conducción térmica estacionarios, también se determina el efecto de la radiación en las temperaturas de las paredes en las capas externas o internas. Finalmente se presenta un breve análisis en un ático ventilado, donde se determinan las pérdidas calor del lugar y los cambios de su temperatura.

Sección 1.1 Conducción estacionaria unidimensional de energía térmica con una taza de transferencia de calor en una pared plana o con

capas múltiples Hay muchos casos en la construcción en donde la pared tiene una capa ó múltiples capas

de diferentes materiales aislantes como: madera con asbesto, tabique con yeso, etcétera. Además de que le proporcionan un soporte estructural. Para determinar el valor de la resistencia R total de la pared, se requiere calcular el valor de la taza flujo de calor de acuerdo a la Ley de Fourier Q = (-

T/(x/k* A) (W/m) ó bien q = (- T/(x/k) (W), a través de un área constante en toda su trayectoria en donde hay diferentes espesores presentados en milímetros mm ó en metros m y con una constante de la conductividad térmica de cada material k, en Kcal./(m*hora*ºC) ó W/(m*ºC) ó bien W/(m*ºK).

Conductividad Térmica La conductividad térmica, k es una propiedad de los materiales sólidos, excepto en el caso

de los gases a muy bajas temperaturas donde no es posible predecir analíticamente; la información disponible se basa en medidas experimentales. En general, la conductividad de un material varía con la temperatura, pero en muchas situaciones prácticas se puede considerar con un valor promedio constante, si el sistema tiene una temperatura media, lo que proporciona resultados bastante satisfactorios.

En la siguiente Tabla se presenta valores típicos de algunos metales, sólidos no-metálicos, líquidos y gases, que nos dan una idea del orden de magnitud con los que se presentan en la práctica.

Tabla de Conductancias interfaciales de algunos metales a presiones moderadas Material k, (W/m

2*K) a 300ºK

Cobre 386

Aluminio 204

Vidrio 0.75

Plástico 0.2-0.3

Agua 0.6

Aceite de motores 0.15


6

Freón (líquido) 0.07

Aire 0.027

Ejemplo: una placa plana horizontal de plástico en donde su constante de conductividad térmica k es de 0.3 W/m

2*ºK, la ecuación de la transferencia de calor

Ecuaciones básicas

Para encontrar la taza de la transferencia de energía (calor), en la conducción de calor a través de una resistencia térmica. Como es en una pared plana es el paso de la temperatura caliente T1 a la temperatura fría T2 y se representa por la ecuación:

Qk A

LT

2T

1

k A

LT

1T

2

T1

T2

k A

L Que es:

QTcaliente Tfría

R Donde R

L

k A

El espesor de una pared, horizontal, L = x2 – x1 con un área transversal A al flujo de calor y como T1 > T2, y L es constante como k que es la conductividad térmica del material.Como se presenta en la figura siguiente:

x

T2

T1

Eje

X

T

kT

L

T1 > T2

Figura de una pared plana

x

Cuando se emplea Mathcad, primero se fijan los parámetros de la ecuación, después se identifica la ecuación y el software resuelve la ecuación como en el siguiente ejemplo:

Parámetros a considerar en la ecuación:

Temperatura del lado caliente

T1

450ºK

ºK 1

Q

T1

T2

L

k A

k


7

T2

320ºK Temperatura del lado frío

k 0.03W

m2

ºK

Constante de conductividad térmica de la placa de plástico

Espesor de la placa

Área de la placa

Temperaturas entre la placa

Q

T1

T2

R

t

Taza de calor que absorbe el aislante que es:

Q 0.31

mkW

Q 71.6541

m scal

Q 300m kg

s3

En un panel de capas múltiples colocadas en serie, con un buen contacto térmico, el flujo de calor en estado estacionario a través de todas las secciones tiene que ser el mismo. Sin embargo como se muestra en la figura siguiente que tiene tres capas, los gradientes de temperatura son distintos. El calor absorbido se puede expresar en cada sección y como es el mismo en todas las secciones, este se puede expresar como:

Q

T1

T2

L

k A

A

T2

T3

L

k A

B

T3

T4

L

k A

C

T1

T4

L

k A

AL

k A

BL

k A

C

Considerando un conjunto de n capas en perfecto contacto térmico el flujo de calor es:

Qk

Ti

Ti 1

L

k A

i

T1

Tn 1

1

i n=

i

L

k A

i

En la que T1 y Tn+1 son la temperatura superficial de la capa 1 y la temperatura superficial de la capa n, respectivamente. Como se presenta en la figura siguiente.

L 0.013m

A 1m2

T1

T2

450 320( )ºKT1

T2


8

Eje

X

T

kT1

LA

T2

T4

T3

x

x

qx qx

LB LC

RA RB RC

Muro (A) Muro (B) Muro (C)

Figura de Paredes en serie

Analogía entre el flujo de calor y el de la corriente eléctrica. La expresión

L

k A

equivale a la

resistencia térmica. Empleando electricidad. la diferencia de potencial eléctrico es (E1 – E2), la

diferencia de potencial térmico es (T1-T2) y la resistencia eléctrica en serie es:

Rt

1

n k=

i

Ri la

resistencia térmica tiene un valor de

Rt

1

n k=

i

Ri la corriente eléctrica tiene un valor de

IE

Rt de

manera similar el flujo de calor en serie que es de Q

T

Rt . Ejemplo: tres capas conectadas en serie, tienen los siguientes parámetros:

Temperatura caliente de la primera capa Temperatura fría de la última capa

Área al flujo térmico Constante térmica de la capa 1

En paredes en

paralelo. Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar, como se presentan en la figura siguiente en donde hay una pared formado por dos materiales de áreas A1 y A2 en paralelo. Como se presenta en la figura siguiente.

T1

850ºK

A 1m2

ºK 1

T4

300ºK

k1

0.166W

m 850 ºK

k2

0.027W

m 450 ºKL

20.01m


9

qx qx

T1 T2

A2

A1

A

k2

k1

Muro (2)

Figura de transmisión de calor a través de una pared con dos secciones en paralelo

q2x

q1x

L

T1 T2

R2= L/k2*A2

R1= L/k1*A1

Si la diferencia de temperaturas entre los materiales en contacto es pequeña, el flujo de calor en paralelo a las capas dominará sobre cualquier otro flujo normal a éstas, por lo que el problema se

puede tratar como unidireccional sin mucha parte importante de exactitud. Como el flujo de calor fluye a través de dos materiales según trayectorias separadas, el

flujo total de calor qx será la suma de los dos flujos:

Qk

Q1

Q2

T1

T2

L

k A

1

T1

T2

L

k A

2

1

R1

1

R2

T1

T2

T1

T2

R1

R2

R1

R2

En la que el área total de transmisión de calor es la suma de las dos áreas individuales y la inversa de la resistencia total es igual a la suma de las inversas de todas las resistencias individuales.

Una aplicación más compleja del circuito térmico en serie y en paralelo que se presenta en la figura siguiente

RA

RB

RD

RC

T1 T2

T1 T2

Q Q

AA

AB

AC

LA LC LD

kA

kD

kC

LB

kB

Figura de Circuito térmico en serie-paralelo-serie

Resistencias de contacto. Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto, hay una resistencia térmica en la interface de los sólidos y que se presenta cuando los


10

dos materiales no se ajustan exactamente, por lo que entre ambos puede quedar una delgada capa de un fluido, como un gas, un fluido, ó él vacío. La resistencia de esta interfase depende de:

La rugosidad superficial La presión que mantiene en contacto las superficies Del fluido de la interfase De su temperatura

En la interfase, el mecanismo de la transmisión de calor y su determinación es complejo; la

conducción del calor tiene lugar a través de los puntos de contacto del sólido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por áreas a través del fluido de la interfase es por convección y entre las superficies es por radiación. Si el calor a través de las superficies sólidas en contacto es Q, la diferencia de temperaturas a

través del fluido que separa los dos sólidos es Ti y la resistencia de contacto Ri y también se puede expresar en función de la convección interfacial hi, W/m

2*K, y se obtiene:

Q hi

A Ti

Ti

Ri

Cuando dos superficies están en contacto térmico perfecto, la diferencia de temperaturas a través de la interfase es nula, por lo que su resistencia térmica es cero; un contacto térmico imperfecto es cuando existe una diferencia de temperaturas en la interfase.

La resistencia por contacto depende de la presión mientras se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el límite elástico de en alguno de los materiales.

En los sólidos mecánicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interfase, a pesar de que siempre está presente. Sin embargo hay que considerar la resistencia de la interfase, a pesar de que siempre este estará presente. Por ello hay que conocer la resistencia de la interfase y la diferencia de temperaturas resultante a través de la misma; en superficies rugosas y bajas presiones de unión, la caída de temperatura a través de la interfase puede ser muy importante, incluso dominante y hay que tomarla en cuenta. La problemática de la resistencia de la interfase es compleja y no existe ninguna teoría, o base de datos empírico, que la describa exactamente para situaciones de interés general en construcciones ó industrial.

Tabla de Conductancias interfaciales de algunos metales a presiones moderadas

Interfase hi, W/m2*K

Cerámica-cerámica 500-3000

Cerámica-metal 1500-8500

Grafito-metal 3000-6000

Acero inoxidable-acero inoxidable 1700-3700

Aluminio-aluminio 2200-12000

Acero inoxidable-aluminio 3000-4500

Cobre-cobre 10000-25000

Hierro-aluminio 4000-40000

Si la temperatura se la sección caliente de la pared cambia a 1200ºK, con un decrecimiento de 50 ºK, hasta T2 = 320 ºK. el comportamiento es:

La taza transferencia de energía (q), por convección o por radiación se describen en términos aproximados al coeficiente de transferencia de transferencia de energía h, (convectivo ó radiante combinado):

q

Tcaliente Tfrío

R Donde R

1

h A


11

En la transferencia de energía por conducción La resistencia térmica R, a través de la película interna ó externa es la suma de las resistencias por convección de la película interna y externa, en cada etapa de pared y de sus películas convectivas interna y externa, hi y ho.

En paredes verticales al aire, con un espesor en metros (L > 0.040) h = 1.5 (t) 0.25

,

Con (L < 0.40) h = 1.2 (t) 0.25

.

Para paredes horizontales hacia arriba h = 2.1 (t) 0.25

.

Para paredes horizontales hacia abajo h = 1.1 (t) 0.25

Si cada capa tiene una resistencia térmica diferente, por conducción las resistencias, Ra y

Rb. La resistencia total R de una pared de dos capas en serie, se representa al flujo de

transferencia de energía térmica por la diferencia de temperatura en serie como: R = Ra + Rb = x1/(k1 * A) + x2/(k2 * A)

El ejemplo siguiente representa una pared, con tres capas internas unidas en serie en contacto la pared interna es hacia un cuarto y la externa al medio ambiente de aire: 1. Aglomerado con yeso 2. Aislante de fibra de vidrio 3. Bloque de ladrillo

Pared con tres capas y coeficientes de

película de calor por convección

interna y externa

TwiT1 T2 T3

To

ho

Ti

hi

Ti

Twi

hi R1 R2 R3 hoTo

Empleando el software Mathcad, primero se fijan los parámetros de las ecuaciones Por ejemplo:

ºC 1

hi 9watt

m2

ºC

Coeficiente interno convectivo (de película) de transferencia de calor

ho 20watt

m2

ºC

Coeficiente externo convectivo de transferencia de calor

A 1.0m2

Área superficial de transferencia de calor, constante

L1

0.013m L1 = espesor de la capa 1

k1

0.16watt

m ºC

k1 = conductividad térmica de la capa 1

L2


Parámetros a considerar:


12

k2

0.025watt

m ºC


L3


k3

1.5watt

m ºC


N 3 Ni = número de capas (i, denota el número de la capa)

i 1 N i = número de capas desde 1a N

RI1

hi A

RI = resistencia covectiva de película interna del cuarto

RO1

ho A

RO = resistencia convectiva de película externa del medio ambiente

Ri

Li

ki

A

Ri = resistencias de las capas internas i de las paredes

La resistencia total Rtot, es la suma en serie de los siguientes valores:

Rtot RI

i

Ri RO

Rtot = resistencia total de la pared

Cálculo del flujo de calor Q, desde dentro del cuarto, caliente (temperatura TI) hasta la temperatura del medio ambiente, fría (temperatura TO):

TO 20 ºC TI 20ºC

m 2 N Q

TI TO

Rtot

Twi TI Q RI Twi = temperatura de la pared del lado del cuarto

T1

Twi Q R1

Tm

Tm 1

Q Rm

Q 17.323watt Twi 18.075ºC Gráfica del gradiente de la temperatura del número de la placa de la pared entre los límites fijados.

Rtot 2.309ºC

watt


13

Ti

ºC

16.668

-17.979

-19.134

1 2 320

0

20

Ti

ºC

i

Se fijó una temperatura interna en el cuarto de 20 ºC, que a disminuye a 16.668 ºC en la primera capa y a -17.979 ºC en la segunda capa y a -19.134 ºC con la tercer capa, y la temperatura ambiente es de –20 ºC. Las conductibilidades térmicas de materiales se presentan en vatios/m* K, ó vatios/m* ºC, ó watts /m*ºC, estos datos se presentan en tablas como las del Apéndice ó medidas por datos experimentales.

Sección 1.2. Conducción de calor a través de un tubo aislado con múltiples capas

Como en las paredes con múltiples capas en paredes, se asume que la conducción térmica es en una dimensión. La resistencia térmica en un cilindro no aislado de radio interno ri y externo

ro se representa como:

Para un tubo con múltiples capas aislantes, la (conductividad del tubo ktubo). Así como la

resistencia térmica de sus aislantes, se calculan de manera similar, pero empezando por el radio interno del aislante ri al radio externo ro. La resistencia térmica total en un tubo aislado, se calcula

sumando las resistencias térmicas de las películas térmicas de las (resistencias de superficie) y la resistencia térmica del tubo y la del aislante.

Ejemplo: El tubo de cobre aislado, presentado en el dibujo transporta agua caliente a 80ºC, producido por un colector solar, a un tanque de almacenamiento de agua caliente. La conductividad térmica del aislante es de 0.03 watt/m·ºC y se emplea para reducir las pérdidas de calor de la tubería al medio ambiente. ¿Determine las pérdidas de calor, por metro de su de calor, con un espesor de aislante entre un rango de (0.01m a 0.06m), por metro de longitud? ¿Cuál es la temperatura superficial en cada caso?

i

1

2

3

R

lnr.o

r.i

2 k L


14

Tw To

To

ho

aislante

x

Twri ro

hi

tubería

externoRR

tubo

R interno R aislante

Parámetros de operación:

ºC 1 Tw 80 ºC

To 10 ºC

k 386watt

m ºC

Conductividades térmicas del tubo y del aislante

kaislante 0.03watt

m ºC

Rango de espesores del aislante

hi 300watt

m2

ºC

Coeficiente de transferencia convectivo de calor interno

ho 14watt

m2

ºC

Coeficiente de transferencia convectivo de calor externo

Rinterno1

2 ri hi L

Resistencia interna de la película convectiva

Rexterno x( )1

2 ro x L ho

Resistencia externa de la película convectiva

Raislante x( )

lnro x

ro

2 kaislante L

Resistencia térmica del aislante como una función del espesor x, del aislante

L 1 m

r.i 0.025m r.o 0.026m

x 0.01m 0.02m 0.06m


15

Rtub

lnro

ri

2 k L

Resistencia térmica del tubo (normalmente es muy pequeña comparada a las otras tres resistencias) Rtot x( ) Rinterno Raislante x( ) Rtub Rexterno x( )

Resistencia térmica total

Pérdidas de calor del interior del tubo

q x( )

watt

33.924

21.243

16.299

13.63

11.943

10.77

Variación de la resistencia térmica con el espesor x , del aislante.

Rtot x( )

ºC

watt

2.063

3.295

4.295

5.136

5.861

6.5

Gráfica de las pérdidas de calor analizada desde el tubo, q(x) en vatios ó watts vs. x, en metros

0.01 0.03 0.0510

20

30

40

q x( )

watt

x

m

Tabla y gráfica de la temperatura superficial en función del espesor

q x( )T.w T.o

R.tot x( )

q x( )

33.924

21.243

16.299

13.63

11.943

10.77

W

x

m

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06


16

Tsuperficial x( )Tw To

Rtot x( )

0.01 0.03 0.0510

20

30

40

Tsuperficial x( )

ºC

x

m

x

m

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Tsuperficial x( )

ºC

33.924

21.243

16.299

13.63

11.943

10.77

W

Sección 1.3. Paredes con generación de calor interna El calor también se puede presentar dentro de una pared. Por ejemplo en los paneles

radiantes eléctricos, en donde desde una capa interna como desde un techo o que de una pared se proporcione calor radiante, los elementos que normalmente se emplean son resistencias eléctricas, que generan calor ó en paneles solares. El calor puede aproximarse a la generación del calor interno.

Considerando que la conducción del calor es en una dimensión. Al desarrollar un análisis en estado estacionario, entonces la ecuación relevante del balance de energía es:

k d2T/dx2 + Qg = 0 Donde k, es la conductividad térmica de la capa de la pared y Qg, es la rapidez al cambio

interno en la generación de calor. Por ejemplo un panel radiante de un 1metro cuadrado de superficie y un espesor de 13 mm., está construida con una capa de tabla roca de yeso, con componentes de resistencias eléctricas, que proporcionan una potencia total de salida de 250 watt, asuma que se genera uniformemente el calor dentro del panel.

Coeficiente de película h

Aislante

Panel radiante

L

Sección de la pared

Selección de parámetros:

ªC 1 TCuarto 20 ªC


17

h 12watt

m2

ªC

Coeficiente convectivo de película

A 1 m2

Área unitaria

L 0.013 m Espesor del panel con fuente de calentamiento interno

Volumen A L x 0.001 m 0.002 m 0.013 m Distancia vista desde el lado posterior al panel

k 0.16watt

m ªC

Qg

250 watt

Volumen

Condiciones en la frontera:

1. Adiabático en x = 0: xT

d

d0

2. Convectivo en x = L: k

xT

d

d h T TCuarto

T x( ) TCuartoQg L

hQg

L2

x2

2 k

¿Cuál es la temperatura máxima en T(0,m) y a cuanto disminuye en 0.011 metros? El examen de la gráfica en el lado derecho, revela que la temperatura máxima, está en la interfase entre el aislante y el panel en (x = 0).

0.001 0.006 0.01140

45

50

55

T x( )

ªC

x

m

Por lo tanto la temperatura máxima es de: T(0 m = 51.9. A 0.001 m. Y disminuye a 41.8 ºC a 0.015 m. Ver gráfica anterior.

Sección 1.4. Factores en la forma conducción térmica, en tubería enterrada en el suelo

Estos factores de la conducción de calor por la forma de un sistema, son parámetros importantes de considerar para expresar el efecto de la transferencia de calor por su geometría, en los problemas de dos dimensiones, normalmente se involucra una fuente y un absorbente de calor a una presión. El factor por su forma geométrica en la conducción térmica es S y se define en base a la siguiente ecuación:

q k S T


18

En donde q es el flujo de calor, k es la conductividad térmica y T, es la diferencia de temperaturas entre la fuente a cierta presión. El factor S, se determina en diversas situaciones experimentales ó por técnicas analíticas. Ejemplo: Hay un tubo largo de diámetro D, longitud L, a una temperatura caliente externa Tp, el tubo, se encuentra a una profundidad z, dentro del suelo, en la superficie horizontal del piso, a una temperatura constante cuyo valor es Ts.

Suelo

de conductividad

térmica k

D

Tubo de longitud L

z

Parámetros de control

ªC 1 L 10m k 0.4

watt

m ªC

A diferentes profundidades: z 0.1m 0.2m 0.9m D 0.10m Diámetro del tubo Tp 60 ºC Ts 0 ºC Temperaturas del tubo y en la superficie del suelo y en la tubería

S z( ) 2 L

acosh 2z

D

Función geométrica por la profundidad

q z( ) k S z( ) Tp Ts( ) Tablas la función geométrica con la profundidad en metros y la cantidad calor q(z) en watts

q z( )

watt

31.145·10

730.802

608.568

544.655

503.793

474.753

452.716

435.229

420.896

S z( )

m

47.71

30.45

25.357

22.694

20.991

19.781

18.863

18.135

17.537


19

Gráfica de la cantidad de calor q(z) a la profundidad z.

Sección 1.5. Efecto de la radiación solar sobre paredes externas En este caso se considera el efecto de la radiación solar absorbida por una pared externa

con varias capas aislantes. Las paredes presentadas consisten de tres capas: tabla de madera con acabado de yeso (espesor L1), un aislante de fibra de vidrio, (espesor L2) con una resistencia térmica R2, una chapa de madera con acabado de duela con la resistencia térmica R3, (espesor L3). Determine el flujo de calor por convección neto a través de la pared externa de madera a la temperatura To en la superficie en contacto al flujo solar qa y posterior de la chapa de duela (a la superficie de acabado de pared madera con yeso interno). A la Temperatura Ti. La resistencia que recibe el calor solar, es Rins y la resistencia que se encuentra pasando las paredes, es Rsid

Ti

Twi

Ri R1

T1

h0

R2

T2

R3

T3

Ro

T0

T0

Ti

hi

1 2 3

Pared con tres capas y

películas interna y externa

1. Tablas con yeso

2. Aislante

3. Madera acabado de duela

Red térmica en serie

Twi T1 T2 T3

Q solar

qa


degC 1

A 1 m2

Área superficial unitaria

L1 0.013 m Espesor de tabla de de madera con yeso

0.1 0.60

500

1000

1500

q z( )

z


20

k1 0.16watt

m degC

Conductividad térmica de madera con yeso

Rins 2.2 m2

degC

watt

Rsid 0.3 m

2

degC

watt

s 0.9 Absorbancia solar de la pared

qs 300watt

m2

Radiación solar incidente sobre la pared

qa s qs Radiación absorbida por la pared

hi 9watt

m2

degC

Coeficientes por convención de película interno y externo

ho 14watt

m2

degC

Ti 20 degC

Temperaturas interna y externa

To 10 degC

Cálculo de la resistencia térmica total, Rtot:

R1L1

k1

Ri1

hi

Ro1

ho

Rtot

Ri R1 Rins Rsid Ro

A

Por lo tanto:

Ra

Ri R1 Rins Rsid

A

y

Rb

Ro

A

Rtot 2.764degC

watt


21

El balance de energía en el nodo 3 nos da

Ti T3

Ra

qa AT3 To

Rb Por lo tanto

T3Ti Rb Ra To qa A Ra Rb

Ra Rb

T3 9.563degC Por lo tanto el efecto de la radiación solar, en el nodo 3 la temperatura T3 cambia de T3 con sol a T3_no solar. Y esta es:

T3 T3_nosolar 18.787degC

Sección 1.6. Análisis térmico en espacios sin calentamiento Un ático que esta ventilado con un flujo de aire externo Q, a una temperatura To. Sobre el

área de la techumbre Ar, con un valor de la conductancia U que y de u dentro del cuarto, el área

del techo raso, es Ac y el valor de su conductancia es de uc, para determinar las pérdidas de calor

en el techo raso qc, buscar el diseño de temperatura interna del cuarto, Ti. Se requiere hacer el

siguiente análisis.

To

UrUinf

Ar

Ac

u

Ti

Cuarto

Tático

Se presentan las pérdidas de calor,

(por conductancia)

uc

Parámetros de control: To 13 ªC

ªC 1 Ti 22 ªC

Ar 240 m2

Ac 200 m2

ur 0.9watt

m2

ªC


22

Conductancia de la techumbre externa y la del techo raso

uc 1.7watt

m2

ªC

Q 0.007m

3

sec

Caudal de flujo del aire

Para calcular la resistencia térmica total entre Ti y To, primero se determina la conductancia por

infiltración:

Uinfiltración Q 1200joule

ªC m3

Rtot1

Ac uc

1

Ar ur Uinfiltración

qc

Ti To

Rtot

Pérdida total de calor También se puede necesitar conocer la temperatura del ático para los cálculos por condensación.

Tatico Ti

qc

Ac uc

Tatico 8.084ªC

Rtot 7.398 103

ªC

watt

qc 4.731 103

watt

Análisis térmico en construcciones Capitulo 2

23

Capitulo 2

Conducción de calor en construcciones en un régimen variable La conducción de calor en un régimen variable, se basa en modelos analíticos

simplificados, como es el caso de un modelo de parámetros con resistencias, como los que se analizarán en este capítulo. El método de red térmica, involucra la introducción de resistencias y capacitancias térmicas. El modelo semi-infinito, también se aplica en algunos casos de interés práctico, como es en la introducción de calor, etapa a etapa en los cimientos. Finalmente en el régimen variable, de un modelo simple tipo R - C, que se presenta en una pared.

Sección 2.1. Modelo con parámetros variables y método de redes térmicas

Todos los materiales, pueden almacenar calor. Por lo tanto, cuando cambia la temperatura o el flujo de calor, se requiere cierto tiempo para alcanzar un estado de un régimen estacionario. Este cambio en el tiempo, se desarrolla con un modelo de análisis variable, en donde se determinan las temperaturas y los flujos de calor. En sistemas con resistencias térmicas despreciables, se pueden desarrollar análisis simplificados.

El número Biot (Bi) es un número adimensional, igual al producto de la razón inversa de la resistencia térmica interna, (1/k) por el valor inverso de la resistencia térmica en línea (1/ h·L). Este número se determinan en el análisis, cuando los parámetros propuestos se pueden aplicar.

Bih L

k Donde L es su longitud característica, (L = Volumen / Área). Si Bi es un valor muy pequeño (< 0.1), se asume con razonable exactitud que el

cuerpo es isotérmico y que el análisis de los parámetros propuestos, se pueden llegar a alcanzar.

Analice el grado de enfriamiento, por el medio ambiente en un alambre cilíndrico de una resistencia de un calentador eléctrico, a la temperatura inicial To expuesto a la

temperatura del medio ambiente Te.

Área A

Sólido

k

T0

h

Te

Objetivo: Determinar el flujo de calor neto en el cuerpo, durante el tiempo dt Condiciones iniciales del conductor: T(t=0) = To, Temperatura del medio ambiente = Te

Parámetros de los datos: ªC 1


24

L 0.5 m Longitud del alambre conductor

D 0.001 m Diámetro del alambre conductor

k 374watt

m ªC

Conductividad térmica

c 383joule

kg ªC

Capacidad calorífica especifica

8930kg

m3

Densidad

h 10watt

m2

ªC

Coeficiente de transferencia de calor superficial

A D L Área superficial

V D

2

4 L

Volumen del alambre conductor

LV

A

Longitud característica

Bi hL

k

To 150 ªC

Te 40 ªC

Balance de energía: (cuando el número de Biot < 0.1): en el cambio de energía interna

durante el tiempo T(dt) = flujo de calor neto en el cuerpo, durante el tiempo dt.

C dT T Te dt

R

Donde: C c V Capacitancia térmica del cuerpo

R1

A h

Resistencia superficial Por lo tanto:

d T Te T Te

dt

R C

Integrando ambos lados de la ecuación y aplicando las siguientes condiciones iniciales

se obtiene: i 0 5 ti i R C t1 85.505sec Constante en el tiempo

Por lo tanto:

T Te

To Te Temperatura adimensional

Solución:

i expti

R C

Bi 6.684 106


25

0 2 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

i

i

Cambio a la temperatura a las condiciones iniciales

Ti i To Te Te

0 2 40

100

200

Ti

ªC

i

Se encuentra que un 63% del cambio en la temperatura se presenta después de un intervalo de tiempo, (desde i = 0 hasta i = 1), esto es una caída de temperatura de 0.63·(To -

Te)

0 1 63.212%

T0 T1

T0 T563.641%

Modelo como una red térmica

El cuerpo también se puede modelar con una capacitancia isotérmica C, en paralelo a una resistencia R (igual a 1/A·h) ambos conectados a la temperatura del medio ambiente Te.

Vea que la capacitancia (o capacitancias) en la red térmica siempre se modelan como conectadas a una red térmica, como conectadas entre a una temperatura de referencia (normalmente es la temperatura del medio ambiente Te) y a su propia temperatura T. El flujo

de calor en la capacitancia, significa un flujo desde T a Te.

Las condiciones iniciales T(t=0) = To se pueden simular como una "batería" eléctrica

(To – Te ) conectada a través de un interruptor S < la capacitancia y también se conecta a un

nodo de referencia como una tierra.

La ecuación que constituye la resistencia térmica es simplemente: q

Thot Tcold

R

Similarmente, para la capacitancia, tenemos: q C

tT Te

d

d

Donde Te es constante

El interruptor S se encuentra abierto en t = 0. El balance de energía la temperatura T:


26

Flujo de calor de C + Flujo de calor hacia R = 0 ó

q1 q2 0

Ct

T Te( )d

d

T Te

R 0

tT Te( )

d

d

T Te

R C 0

Anteriormente una solución similar se obtuvo cuando las (condiciones iniciales T(0) = To).En el

capítulo 9, se presenta la red térmica con variables de un cuarto que se presenta para determinar y resolver las cargas de calentamiento/enfriamiento y las temperaturas del cuarto.

Sección 2.2. Conducción variable en placas seminfinitas Una placa seminfinita, es un modelo para cuerpos con una sola superficie plana (x = 0)

y sus otras superficies suficientemente lejanas para ignorarlas en largos periodos de tiempos de interés en el análisis de una variable. La condición uniforme en la frontera se aplica cuando x = 0, es razonable asumir que en este caso puede analizarse como para la conducción térmica variable de una dimensión. Un caso adecuado que se ajusta a este modelo, es en un terreno con una superficie uniforme expuesta a la temperatura del aire; si se miden las diferencias de temperatura del suelo y las profundidades de la superficie, se puede esperar que la temperatura no se vea afectada significativamente por lo que pase en la superficie.

Asuma que no hay generación de calor en la placa, la ecuación que controla la variación de la temperatura a la profundidad en el tiempo T(x, t) es:

T/dt = x2

T. esperada

Flujo de calor

Convecciónt

t

t

x

x

x

Ts

Ti

Ti

Ti

T

Te

x

T(x=0)

Condiciones iniciales T(x, t = 0) = Ti

Condiciones en la frontera

1. Temperatura específica en t > 0,

T(x = 0) = Ts

2. Flujo de calor constante q´ aplicado

en t > 0, ejemplo: radiación solar

3. Convección (exposición repentina

expuesta de un fluido a la temperatura

Te) (coeficiente h)

Caso 1: Temperatura especifica Ts cuando se fija x = 0 en el tiempo t = 0, a una temperatura

uniforme inicial del cuerpo, Ti

La solución se representa por la ecuación:

T x t( ) Ts

Ti Tserf

x

2 t

Ejemplo: Analice el caso de un tubo enterrado en un suelo que tiene las siguientes propiedades: Parámetros de control

2050kg

m3

Densidad degC 1


27

k 0.52watt

m K


c 1840joule

kg K

Capacidad calorífica específica

k

c

Difusividad térmica

El suelo inicialmente esta a la temperatura uniforme de: Ti 20 degC

Posteriormente la temperatura de la superficie del suelo se sujeta a la temperatura específica:

Ts 15 degC

Por 60 días esto es: t 60 86400 sec Se dice que se quiere determinar el gradiente xm , abajo de la superficie en la cual no debe colocarse, una fuente de fluido que llegue a su punto de congelación (T(x, t) = 0 degC).

0 degC Ts

Ti Ts

0.429

i 0 10 xi i 0.1 m

i erfxi

t 2

seti 0.429

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

i

set i

xi

Se ve en la gráfica anterior, que con la profundidad a la cual la temperatura alcanza 0 degC es a la intersección de las dos líneas en x m = 0.68m. De manera alterna, se puede emplear la siguiente técnica:

xm 0.8 m Que es una suposición adecuada para la ecuación:

answer root erfxm

t 2

set1 xm

answer 0.677m Con estas estimaciones se obtiene el cálculo del flujo de calor en la superficie:

1.379 107

m

2

sec


28

q kTs Ti

t

q 12.146 K-1 watt

m2

Sección 2.3. Flujo de calor radiante en un piso: tipo placa

seminfinita Un sistema de calentamiento por la radiación del calor infrarrojo de un techo, se emplea

para mantener el piso de una fábrica caliente. Cuando el sistema del calentamiento inicial, se expone al contacto del piso en el suelo, la temperatura inicial del piso es de Ti, se determina la

intensidad de flujo de calor radiante que el piso, requiere para calentarse a la temperatura Ts,

después del tiempo t ¿Cuál es la temperatura a la profunfidad de la superficie de la placa del piso de concreto?

Asumiendo que el espesor de la placa del piso de concreto es de 20cm. y se aplica al modelo de placas seminfinitas.

Propiedades del concreto (asumiendo una densidad media): Parámetros de control:

1500kg

m3

Densidad ºC 1

k 1.2watt

m ºC


c 800joule

kg ºC

Capacidad calorífica especifica

k

c


Ti 7 ºC Temperatura inicial del piso

Ts 18 ºC Temperatura final del piso después del tiempo, t

t 3 hr Tiempo de medición de los cálculos

La placa seminfinita con una superficie uniforme y un flujo de calor, qs ,después del tiempo,

t = 0, se obtiene:

qs

Ts Ti k

2 t

Determinando las temperaturas a diferentes profundidades para el modelo seminfinito, para ver como se aproxima al caso presentado:

x 0.0m 0.1m 0.5m

T x( ) 2qs

k

t

exp

x2

4 t

qs x

k1 erf

x

2 t

Ti

El examen de la gráfica de la variación de la temperatura con la profundidad, a t = 3

horas, muestra que el flujo de calor en la superficie, no tiene un efecto significativo debajo de una profundidad de 0.2m. Por lo tanto, el modelo presentado, es satisfactorio. Vea que se

qs 112.566watt m2


29

presenta un calentamiento significativo en las fronteras de la placa, entonces las pérdidas de calor a través de la frontera deben incluirse en este análisis.

0 0.2 0.45

10

15

20

T x( )

x

m

Sección 2.4. Condiciones convectivas en la frontera de una placa seminfinita

Una placa de piso delgado, se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme Ti. Repentinamente una de los lados de sus superficies se somete a un enfriamiento convectivo con un coeficiente de transferencia de calor, h hacia el medio ambiente a una temperatura Te. Calcule la pérdida de temperatura a la profundidad x, desde la superficie al tiempo, t después del cambio. Parámetros de control:

Propiedades de la placa del piso en el suelo: ºC 1

1700kg

m3

Densidad

k 1.7watt

m ºC


c 800joule

kg ºC

Capacidad calorífica específica

k

c


h 14watt

m2

ºC

Coeficiente convectivo de película en la superficie

Te 15 ºC Temperatura del medio ambiente Te

Ti 30 ºC Temperatura inicial en el piso, Ti

i 1 10 ti

i 1.0 hr

j 0 1 5 xj

j 0.1 m

La temperatura a la profundidad x y al tiempo t para la placa seminfinita en condiciones de frontera convectivas se representa por la función:

Ti j

Te Ti( )

1 erf

xj

2 ti

exp

h xj

k

h2 t

i

k2

1 erf

xj

2 ti

h ti

k

Ti

El flujo de calor en la superficie al tiempo, t y su función y las gráficas de qsi así como ti

y T i,0 y T i,3 son:


30

qsi

h Te Ti( ) exp

h2 t

i

k2

1 erf

h ti

k

Sección 2.5. Modelo variable térmico en una pared simple

La respuesta variable térmica en una pared puede determinarse de manera analítica, aproximada, al modelar la pared, como dos resistencias y un capacitor térmico. Con interruptores de encendido y apagado. Por ejemplo si la respuesta de la pared se presenta cuando hay un calentamiento covectivo súbito, que se aplica dentro de un cuarto. La temperatura del aire del cuarto se eleva rápidamente, pero las temperaturas de la pared responden lentamente, pero almacenan cantidades significativas de calor. Ejemplo: Conside que la pared consiste de dos capas de chapa de madera, con resistencias externas aislantes con los siguientes parámetros mostrados en el esquema. El cuarto inicialmente se encuentra a la temperatura T1. La temperatura del aire del cuarto, se eleva a Te por un calentamiento convectivo. La temperatura externa es To. Determine los cambios de flujo de calor en la superficie de la pared, así como de las temperaturas en el tiempo.

ToRo Rs Raislante Rg 2Rg 2 T

Ri

Ts Te

S Si

CTe - To Ti - To

Tref = To

Red térmica

1. S cierra en t = 0

2. S1 abre en t = 0

ToTe

1. Película externa ho

2. Placa de chapa madera

3. Aislante

4. Placa de tablaroca

5. Película interna hi

Parámetros de cálculo: ºC 1

A 1 m2

(Área unitaria)

Rmaderachapeada 0.3m

2ºC

watt

Resistencia de la chapa de madera

1 6150

100

50

qsi

watt

ti

hr


31

Raislante 2.3m

2ºC

watt

Resistencia del aislante Chapa de madera: L 0.013m Espesor

c 750joule

kg ºC

Calor específico de la chapa de madera

800kg

m3

Densidad

hi 9watt

m2

ºC

Coeficientes de película interna y externa de la pared

ho 15watt

m2

ºC

C c L A Rg

L

k

Considerando que:

Ra

1

hoRmaderachapeada Raislante

Rg

2

A

y

Rb

Rg

2

1

hi

A

Rtot Ra Rb Vea que las placas con bloques de yeso se modelan para una capacitancía térmica

unida a dos resistencias, cada una es igual a la mitad de la resistencia térmica total Rg. Únicamente la capacidad térmica de los bloques de tabla roca de yeso se consideran en el problema debido a que en las capas internas y su almacenamiento o disipación de calor, se deben a los cambios térmicos en el cuarto y son mucho mayores que en las capas externas. Para un estudio más exhaustivo de la transferencia de calor, se emplea el método de diferencias finitas, ver la (sección 3.3). Del balance de energía en las capacitancías térmicas se obtiene:

Ct

T To( )d

d

T To

Ra

T Te

Rb 0

Para la condición inicial

T t 0( ) Ti Donde Ti puede determinarse con ko y Te. La ecuación anterior puede presentarse en la ecuación de la forma:

Rtot 2.859ºC

watt


32

Ct

d

d

Ra Rb

Ra Rb Qeq

Donde:

QeqTe To

Rb T To Se puede resolver este problema fijando las condiciones siguientes:

i 0 1 10 ti

i 0.5 hr

To 10 ºC Temperatura externa (constante) T1 10 ºC Temperatura inicial en el aire del cuarto Te 20 ºC Temperatura del aire del cuarto cuando, t > 0

T0

T1Rb T1 To( )

Rtot

Temperatura inicial en ºC en el modelo También

0 T0

To Temperatura inicial en exceso

Se plantea que:

mRa Rb

Ra Rb C

y

QeqTe To

Rb

La solución a la ecuación diferencial representa el balance de energía y se presenta por:

i 0 exp m ti

1 exp m ti

Qeq

m C

T

ii To

La temperatura en la pared superficial se comporta, como se presenta por la siguiente

gráfica de (Ti o T si) en º C contra ti en horas:

Tsi

Te

Te Ti

Rb A hi

0 2 45

10

15

20

Ts i

Ti

ºC

ti

hr


33

Capitulo 3

Análisis en la conducción de calor en construcciones por el método de diferencias finitas

El análisis térmico en construcciones de dos dimensiones se resuelve por el método de redes térmicas de diferencias finitas, el cual se emplea para determinar los flujos de calor y de las distribuciones de temperatura en circuitos térmicos cerrados en el entorno a una construcción o de una cimentación. También se desarrolla el análisis variable numérico en una dimensión a una pared frente a la radiación solar.

Sección 3.1. Análisis de puentes térmicos en dos dimensiones en un régimen continuo estable

Un puente térmico, esto es un circuito térmico en contacto, con el medio ambiente de la construcción, se analiza en una red térmica en dos dimensiones y para determinar las pérdidas de calor y a temperaturas bajas las cuales se pueden provocar condensaciones. Por ejemplo analice el puente térmico formado por la loza de un balcón, la cual es una extensión de la placa de un piso de concreto.

La sección la loza se ha sido subdividido en 14 elementos. Cada nodo se localiza en el centro de cada elemento. Las resistencias térmicas, representan la conducción en dos dimensiones de un elemento de ancho x2 y altura y, (la profundidad es perpendicular al plano (x – y), asumiendo que es igual a 1) y se analiza cómo se presenta abajo:

hi ho123

4 5 6

7 8 9 10 11 121314

a b c

Balcón Superficie adiabática

(simétrica)

= Nodo al centro de

un elemento

y

y2

x1x2x3 x4x5

x2

y

1 m.

2

6

8

4

U56

U58

U45

U25

5

Red térmica

para el nodo 5

a = bloque

b = aislante

c = ladrillo

U25 = (x2*kb)/y

0

TiTo

Propiedades de la loza:

Parámetros de control:

degC 1


34

ka 1watt

m degC

Loza

(Conductividad térmica)

kb 0.03watt

m degC

Aislante

kc 1.5watt

m degC

Ladrillo

kd 1.7watt

m degC

Concreto

Consideraciones básicas de un arreglo en dos dimensiones del modelo de diferencias finitas:

1. A una distancia de 60cm., desde el fondo (de la superficie del tope de los elementos con los nodos 1-3), la distribución de la temperatura es en una dimensión.

2. Asuma condiciones en la frontera adiabáticas a el centro de la loza.

Dimensiones de los elementos:

x1 0.1 m x2 0.05 m x3 0.1 m

x4 0.4 m x5 0.3 m

y 0.3 m y2 0.1 m

hi 9watt

m2

degC

ho 30watt

m2

degC

To 10 degC

Ti 20 degC

L 1 m Ancho unitario

Cálculo de conductancias Uij entre los nodos i y j:

U1o1

x1

2 kc y

1

y ho

Coeficiente global térmico, U1o y U12

U121

x1

2 kc y

x2

2 kb y


35

Otros coeficientes globales son:

U56 U12

U231

x3

2 ka y

x2

2 kb y

U3i1

x3

2 ka y

1

y hi

U45 U23 U34 ka

x3

y

U25 kbx2

y

U16 kc

x1

y

U6o U1o U4i U3i

U13_14 kdy2

x5

U7_13

kd 2 y2

x5 x3

U78kd y2 2

x3 x2

U89

kd y2 2

x2 x1

U9_10kd y2 2

x1 x4

U10_11 U13_14 U11_12 U13_14

U471

y

2 ka x3

y2

2 kd x3

U581

y

2 kb x2

y2

2 kd x2

U691

y

2 ka x1

y2

2 kd x1

U10o1

y2

2 kd x4

1

x4 ho

U11o U10o

U12o U10o1

x4

2 y2 kd

1

y2 ho

U0_13x5 kd

y2

U0i x5 hi

U14i1

y2

x5 kd

1

x5 hi

U7_131

x5

2 kd y2

x3

2 kd y2

U13i U14i

El balance de energía para todos los nodos puede representarse en forma de una matriz con N

nodos se presenta como:

[U]NxN [T]N = [Q]N ,


36

Donde los elementos de la matriz de conductancia [U] y el vector de la fuente [Q] se determinan como sigue:

1. Los elementos diagonales U(i, i), es igual a la suma de las conductancias conectadas al nodo i. 2. Los elementos diagonales apagados U(i, j), es igual a la conductancia total entre los nodos i y j

veces -1. 3. Los elementos del vector fuente Q(i) es igual a la suma de las fuentes de calor en el nodo i, más

las fuentes de de calor equivalentes debido a las temperaturas especificadas (esto es U1i ·Ti del ejemplo anterior).

Inicializando los elementos de la matriz de conductancia U:

i 0 1 14 j 0 1 14 Ui j 0

watt

degCm

Elementos diagonales de [U]:

U0 0 U0_13 U0i

U1 1 U12 U16 U1o

U2 2 U23 U12 U25

U3 3 U3i U23 U34

U4 4 U47 U45 U4i U34

U5 5 U25 U45 U58 U56

U6 6 U56 U6o U16 U69

U7 7 U47 U78 U7_13

U8 8 U58 U78 U89

U9 9 U69 U89 U9_10

U10 10 U10o U9_10 U10_11

U11 11 U11o U10_11 U11_12

U12 12 U11_12 U12o

U13 13 U0_13 U13_14 U78

U14 14 U14i U13_14

Elementos diagonales apagados de U:


37

U1 2 U12 U2 3 U23 U3 4 U34

U2 5 U25 U1 6 U16 U13 14 U13_14

U7 13 U7_13 U7 8 U78 U8 9 U89

U9 10 U9_10 U10 11 U10_11 U11 12 U11_12

U4 7 U47 U5 8 U58 U6 9 U69

Cuando la matriz de conductancia U es simétrica, se puede demostrar que:

Ui j if i j Uj i Ui j

Los elementos de la inicialización del vector fuente son:

Q j 0watt

m

Q0 U0i Ti

Q1 U1o To

Q6 U6o To

Q3 U3i Ti

Q4 U4i Ti

Q10 U10o To

Q11 U11o To

Q12 U12o To

Q14 U14i Ti

T U1

Q

Pérdida de calor:

q U1o T1 To U6o T6 To

U10o T10 To U11o T11 To U12o T12 To

q 13.969

watt

m


38

T

6.923

8.983

3.897

17.081

14.211

0.013

8.752

1.815

1.04

3.899

9.453

9.958

9.997

1.298

15.456

Q

54

45

0

37.241

37.241

0

45

0

0

0

63.75

63.75

70.373

0

35.308

watt

m

Sección 3.2 Flujo de calor en suelos y cimientos

El flujo de calor a través de las paredes y de los cimientos parcialmente sin aislar, en algún grado, pueden determinarse como una red térmica de dos dimensiones ó como una malla de diferencias finitas. Normalmente la temperatura del suelo es constante aproximadamente durante cada mes, con variaciones que siguen un comportamiento senoidal, a las estaciones del año.

Considere la pared aislada de un cimiento a una altura Ha hacia arriba y a cierta profundidad Hb, construido con una capa de concreto de espesor x1 y aislada en su lado interno con un aislante de resistencia térmica Raislante , (Rins) por unidad de área.

U

7.8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5.346

0.346

0

0

0

0.5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.346

0.691

0.34

0

5 103

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.34

2.535

0.333

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.333

3.092

0

0

0.557

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5 103

0

0

0.701

0

0

9.942 103

0

0

0

0

0

0

0

0.5

0

0

0

0

5.904

0

0

0.557

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.557

0

0

3.674

2.267

0

0

0

0

0.85

0

0

0

0

0

0

9.942 103

0

2.267

4.543

2.267

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.557

0

2.267

3.504

0.68

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.68

7.622

0.567

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.567

7.508

0.567

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.567

7.604

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.85

0

0

0

0

0

7.933

0.567

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.567

2.332

kg s-3

m


39

Hb

A

y

y

y17 12 11

8 01

2

3

4

Ti

x1

ToHa

B

C

Placa de piso

R aislante

aislante

16

15

13

14

10

9

7

6

5

x x xConcreto

Las líneas que conectan los nodos 1 – 17 y de Ti a To indican las conductancias

Cuarto

Nota: el aislante, algunas veces se aplica a cierta profundidad del lado del suelo de su nivel.


hi 9watt

m2

degC

ho 20watt

m2

degC

degC 1

Rins 2 m2

degC

watt

Resistencia térmica del aislante (y capa en su cubierta)

kc 1.7watt

m degC

Conductividad térmica del concreto

k 0.8watt

m degC

Conductividad térmica del suelo

Considere que la pared tiene un ancho unitario con los siguientes datos:

Ha 0.6 m

Hb 1.8 m L 1 m

Ti 20 degC To 15 degC Temperaturas interna y externa

Tamaño de malla: x 0.6 m x1 0.3 m y 0.6 m

Especificaciones:

1. La transferencia de calor es en un régimen constante en dos dimensiones.


40

2. Las superficies A, B, C tienen cero pérdidas de calor en una superficie (adiabática). 3. No hay transferencia de calor entre los nodos 1, 2, 3 y 4.

La malla se representa como se muestra en la figura con cada nodo, localizado en el centro de un elemento, excepto en los nodos 1-4, que se localizan en la superficie del lado del cuarto. Cada conductancia Uij, conecta los nodos i y j, y esta se determina como sigue basada en la

ecuación que rige el flujo de transferencia de calor:

qij Uij Ti Tj

Calcule las conductancias entre todos los nodos por unidad de espesor (L igual a 1m):

U08kc Ha 2

x1

U01Ha

Rins

U1i Ha hi

U2i y hi U3i U1i U4i U1i

U271

Rins

y

x1

2 y kc

U36 U27

U45 U27

U67x1 kc

y

U782 x1 kc

y Ha

U56 U67

U7_111

x1

2 y kc

x

2 y k

U59 U7_11 U6_10 U7_11

U10_11x k

y

U9_10 U10_11

U12_13 U9_10 U13_14 U9_10

U15_16 U9_10 U16_17 U9_10

U9_14y k

x

U10_13 U9_14

U11_12 U9_14 U14_15 U9_14

U13_16 U9_14 U12_17 U9_14


41

U17o1

1

x ho

y

2 k x

U12o U17o

U8o1

1

Ha ho

1

U08

U11o U17o

El balance de energía para todos los nodos puede expresarse como sigue: Por ejemplo para el nodo 1, tenemos que la suma de los flujos de calor en el nodo i = 0. Es:

U01 T1 To( ) U1i T1 Ti( ) 0

Debido a que Ti se conoce, podemos rescribir la ecuación en la siguiente forma:

U01 U1i( ) T1 U01 To U1iTi

Similarmente se pueden escribir ecuaciones similares para todos los nodos en la forma

[U] [T] = [Q],

Donde los elementos de la matriz se determinan como sigue:

1. Los elementos diagonales U(i, i) son iguales a la suma de las conductancias conectas al nodo i.

2. Los elementos diagonales apagados U(i, j) son iguales a la conductancia total entre los nodos i y j veces -1.

3. Los elementos del vector fuente Q(i) es igual a la suma de las fuentes de calor, n del nodo i más las fuentes de calor equivalentes, debido a las temperaturas de calor equivalentes debido a las temperaturas específicas, por ejemplo. U1i * Ti. Del ejemplo anterior).

Al inicio de los elementos para U:

i 0 1 17 j 0 1 17

Ui j 0watt

degC m

U0 0 U01 U08 U1 1 U01 U1i

U2 2 U2i U27 U3 3 U3i U36


42

U4 4 U4i U45 U5 5 U45 U56 U59

U6 6 U36 U67 U56 U6_10

U7 7 U27 U78 U67 U7_11

U8 8 U8o U08 U78

U9 9 U9_10 U59 U9_14

U10 10 U9_10 U6_10 U10_13 U10_11

U12 12 U11_12 U12_13 U12_17 U12o

U13 13 U10_13 U12_13 U13_14 U13_16

U11 11 U11o U11_12 U7_11 U10_11

U14 14 U9_14 U14_15 U13_14

U15 15 U14_15 U15_16

U16 16 U13_16 U15_16 U16_17

U17 17 U17o U16_17 U12_17

U0 8 U08 U0 1 U01 U2 7 U27

U3 6 U36 U4 5 U45 U7 8 U78

U6 7 U67 U5 6 U56 U7 11 U7_11

U6 10 U6_10 U5 9 U59 U10 11 U10_11

U9 10 U9_10 U12 13 U12_13

U13 14 U13_14 U15 16 U15_16

U16 17 U16_17 U9 14 U9_14

U10 13 U10_13 U11 12 U11_12

U14 15 U14_15 U13 16 U13_16 U12 17 U12_17

Cuando la matriz de conductancia U es simétrica, se puede demostrar que:

Ui j if i j Uj i Ui j


43

Empezando con los elementos del vector fuente obtenemos:

Qj 0watt

m

Q1 U1i Ti Q2 U2i Ti

Q3 U3i Ti Q4 U4i Ti

Q8 U8o To Q11 U11o To

Q12 U12o To Q17 U17o To

Pérdida de calor

qaux U1i Ti T1 U2i Ti T2 U3i Ti T3 U4i Ti T4 L

qaux 27.471watt

T U1

Q

Q

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

108

108

108

108

0

0

0

-65.106

0

0

-21.176

-21.176

0

0

0

watt

m T

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-10.573

18.391

18.687

18.874

18.961

-0.567

-2.291

-5.99

-11.85

-3.768

-5.689

-10.045

-12.221

-8.758

-7.029

-8.561

ºC


44

Las pérdidas de calor a través de los cimientos del piso es generalmente menor que las pérdidas de calor a través de las paredes perimetrales que usualmente están entre 0.12 y 0.18 watts por metro cuadrado por degC.

submatrixU 0 17 0 8( )

7.1

0.3

0

0

0

0

0

0

6.8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.3

5.7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5.687

0

0

0

0

0.287

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5.687

0

0

0.287

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5.687

0.287

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.287

2.433

0.85

0

0

1.295

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.287

0

0.85

3.283

0.85

0

0

1.295

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.287

0

0

0

0.85

3.283

0.85

0

0

1.295

0

0

0

0

0

0

6.8

0

0

0

0

0

0

0.85

11.99

0

0

0

0

0

0

0

0

0

m kg s-3

submatrixU 0 17 9 17( )

0

0

0

0

0

1.295

0

0

0

2.895

0.8

0

0

0

0.8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.295

0

0

0.8

3.695

0.8

0

0.8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.295

0

0

0.8

4.307

0.8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.8

3.812

0.8

0

0

0

0.8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.8

0

0.8

3.2

0.8

0

0.8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.8

0

0

0

0.8

2.4

0.8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.8

1.6

0.8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.8

0

0.8

2.4

0.8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.8

0

0

0

0.8

3.012

m kg s-3


45

Sección 3.3 Modelo de diferencias finitas oscilantes en una pared

El análisis térmico oscilante en paredes en cuartos, se desarrollo con los siguientes objetivos:

1. Calcular las cargas máximas de calentamiento/enfriamiento. 2. Calcular las variaciones de las temperaturas dinámicas dentro de las paredes

incluyendo los efectos solares; las variaciones de las temperaturas del cuarto y sus condensaciones en las superficies internas en las paredes.

En el método de diferencias oscilantes finitas, se representa para cada capa de la pared o para una o más subcapas (regiones). Cada región se representa, por un nodo con una capacitancia térmica C conectada a dos resistencias térmicas, cada una igual a la mitad del valor de R de la capa, que forma la sección - T, como se muestra en la figura de posterior para una capa de concreto.

En una pared con múltiples capas, se aplica un balance de energía en cada nodo a intervalos regulares de tiempo para obtener las temperaturas de los nodos en función del tiempo. Sus ecuaciones se resuelven con el método implícito de un conjunto de ecuaciones simultáneas o con el método explicito en el se puede retroceder en el tiempo desde un conjunto de condiciones iniciales.

La forma general de formulación explicita de la formulación general de diferencias finitas explicitas, que corresponde al nodo i y al intervalo de tiempo p, es:

T i p 1( )t

Ci

qi

j

T j p( ) T i p( )

R i j( )

T i p( )

Paso critico en el tiempo:

tcritical minCi

j

1

Ri j

Para todos los nodos i.

Ejemplo: Una pared emplea un concepto nuevo de aislante transparente. Este consiste de una capa externa transparente, un espacio de aire y una capa de concreto térmico como la capa de almacenamiento térmico. Ver el siguiente diagrama:

hoq solar

ToTR

hi L

4 3 2 1

aislante transparenteaire

Concreto (espesor L)

Concreto modelado

por dos capas

Ri 4 Rc2 3 Rc1 2 Rb 1 Ra

TR C3 C2 Teq

Circuito térmico equivalente


46


degC 1 A 1 m2

L 0.12m

Propiedades del concreto:

c 800joule

kg degC

Calor especifico

k 1.7watt

m degC


2200kg

m3

Densidad

hi 10watt

m2

degC

Coeficiente de película interno

ho 20watt

m2

degC

Coeficiente de película externo

0.7 Absorbancia transmitancia efectiva

Rins 0.3m2

degC

watt

Rgap 0.3m

2

degC

watt

Ra

Rins Rgap1

ho

A

Ra 0.65

degC

watt

RcL

k A

Rb

Rc

4

Rb 0.018

degC

watt

Rc1

Rc

2

Rc1 0.035

degC

watt

Rc2

Rc

4

Ri1

A hi

Ri 0.1

degC

watt

C2 cL

2 A

C3 C2 Capacidades térmicas

C2 1.056 105

joule

degC


47

Pruebas de estabilidad

En un lapso de tiempo t que puede ser más bajo que el mínimo de los dos valores del vector, TS.

TSC2

1

Ra Rb

1

Rc1

C3

1

Rc1

1

Rc2 Ri

tcritical min TS( )

tcritical 2.867 103

sec

Seleccionando un t:

t 1800 sec Periodo de tiempo

Steps 96 Número de pasos en el tiempo

t 0 sec t Steps t i 0 Steps

Coincide que:

w 2

86400

rad

sec

Frecuencia basada en un periodo de un día

To t( ) 5 cos w t 3

4

5

degC

Temperatura externa

f t( ) 500cos w t 43200sec( )[ ] watt

qsolar t( ) if f t( ) 0 watt f t( ) 0 watt( ) Modelo de la radiación solar incidente como una

función semi-senoidal

Teq t( ) To t( ) qsolar t( ) Ra Temperatura equivalente "sol-aire"

TR 22degC Temperatura del cuarto

Temperaturas iniciales estimadas:

T20

T31

0

0

degC

T2i 1

T3i 1

t

C2

Teq i t T2i

Ra Rb

T3i

T2i

Rc1

T2i

t

C3

T2i

T3i

Rc1

TR T3i

Ri Rc2

T3i


48

T4i

TR Ri

T3i

TR

Rc2 Ri

T1i

T2i

Rb

Teq i t T2i

Rb Ra

0 20 4010

5

0

To t( )

t

hr

0 20 400

0.2

0.4

0.6

qsolar t( )

1000 watt

t

hr

La variación nodal de las temperaturas para dos días (T4 es la temperatura del lado de la pared del cuarto y T1 es la temperatura del espacio vacío del concreto).

0 20 4020

0

20

40

60

T1 i

T2 i

T3 i

T4 i

i t

hr


49

Capítulo 4

Flujo de calor periódico, en paredes con capas múliples Este capítulo presenta las técnicas, para un análisis térmico de flujo del calor periódico

estable, en paredes, basado en técnicas del dominio de las frecuencias y en el uso de modelos simples con las series de Fourier. Para la temperatura y la radiación solar externa. Frecuentemente las funciones de transferencia de dominios como la admitancia de la pared, se estudian en términos de la magnitud y (retrazo por defasamiento o retrazo de la fase y entonces se emplea, junto a otros modelos de las series de Fourier, las variables a la intemperie, determinan una respuesta térmica estable periódica en las paredes. La técnica se aplica a un análisis solar pasivo y en otros diseños.

Sección 4.1. Principios de análisis periódicos estables de flujo de calor

Frecuentemente las técnicas del análisis del dominio con variables complejas se emplean frecuentemente en análisis periódicos estables, en paredes multicapas. Estos proporcionan los medios convenientes para realizar análisis periódicos, los principales parámetros de interés son las magnitudes y los ángulos de las fases de las temperaturas del cuarto y de los flujos de calor.

La conducta térmica significativa dentro de una pared, es la conducta dinámica térmica, que puede obtenerse estudiando las funciones obtenidas de la transferencia de admitancia, (magnitud y ángulo de fase) como una función de la frecuencia, de las propiedades térmicas y su geometría.

El siguiente esquema muestra como responde una pared a las entrada del cambio de temperatura del medio ambiente (por ejemplo T·sin(wt), se obtiene para un armónico y un atazo por defasamiento en el tiempo entre las ondas que entran y las que salen. Para entradas con más que una armónica, la respuesta total se obtiene por la superposición de la respuesta de otras armónicas.

Tiempo

Onda de entrada

T sin (wt)

Onda de salida

Q*sin( wt + ) Q = Y*

T

Q

T

Atrazo en tiempo = w/

Cambio de fase

(atrazo de fase)

Ultima respuesta periódica

T

Q

En donde Y = función de transferencia de la admitancia con la magnitud |Y| y el ángulo de fase

ºC 1 La temperatura externa y la radiación solar son modeladas por series de Fourier

discretas como las descritas en la sección 4.3. Note que la radiación solar absorbida por una superficie externa puede combinarse con la temperatura externa, para formar una temperatura equivalente conocida como la temperatura aire-sol, (Teo). Teo, se define con un balance de energía en la pared externa (ignorando los intercambios de ondas de calor radiante del cielo):


50

s S ho To Ts( ) qin Flujo de calor en la pared debido al flujo solar S y con To El balance de energía se presenta en la ecuación:

ho Teo Ts( ) qin Por lo tanto:

Teo sS

ho To

Ejemplo:

To 1 ºC Temperatura externa

S 200watt

m2

Radiación media solar incidente en la pared

s 0.9 Absorbancia solar

ho 15watt

m2

ºC

Coeficiente de película externo Temperatura del Sol-aire:

Teos S

ho

To

Teo 11ºC La temperatura Sol-aire se presenta a diferentes superficies, ver el ASHRAE Handbook of Fundamentals de Handbin. Los cálculos se basan en la razón dada de la absorbancia solar del coeficiente de película.

Bibliografía

ASHRAE Handbook of Fundamentals. Atlanta, GA. ASHRAE. 1989.

Sección 4.2. Admitancia térmica en paredes con capas múltiples La admitancia térmica en una pared, es un parámetro como una función de

transferencia de calor útil, en el análisis de los efectos de las variaciones cíclicas de las variables del medio ambiente, como es la radiación solar, la temperatura externa y los flujos de calor dinámico bajo condiciones periódicas estables.

Hay dos funciones de transferencia de interés básicos: La auto admitancia Ys, que relaciona el efecto de la fuente de calor a la temperatura de la superficie y la admitancia de transfererida Yt que relaciona el efecto de la variación de la temperatura externa, al flujo de calor resultante en la superficie interna.

Estas dos funciones de transferencia se determinan como se presenta en el ejemplo siguiente. La pared mostrada en el diagrama térmico, consiste de una capa de aislada y de otras capas térmicas, sin mucho peso en su valor de conductancia U, por unidad de área y la capa térmica masiva de espesor L.


51

CA

To

Ti


Masa aislada

Lado del

cuarto

Qeq

Ys

TiQeq = Yt * To


ºC 1 i 1 2 8 j 1

A 1 m2

Análisis por unidad de área de pared

P 86400sec Periodo = 1 día

n 1 2 30 Número de frecuencias

wn2 n

P

Frecuencia

u 0.4watt

m2

ºC

Conductancia bajo la capa masiva

Li 0.04 i m Espesor de la capa masiva

c 800joule

kg ºC

Capacidad de calor especifico de la capa masiva o de cimiento

k 1.7watt

m ºC


2200kg

m3

Densidad

k

c


n

j wn

Auto admitancia

YsQinside

Tinside . . . todas las variables son constantes


52

Admitancia transferida

YtQinsi de

Toutside . . . todas las variables son constantes

Ysn i Au k n tanh n Li

u

k ntanh n Li 1

Ytn iA

cosh n Li u

sinh n Li k n

ph Ys( ) arg Ys( ) 2 if arg Ys( ) 0 1 0( )( ) Ángulo de fase (0-360 grados) en las gráficas

La penetración sustancial en la pared y conductivad térmica en la construcción, puede

ser una ganancia, al estudiar la magnitud y el ángulo de fase de las funciones importantes de transferencia como son Ys y Yt. La magnitud de Ys para L = 0.08 m

Fase de Ys

0 10 20 3040

60

80

ph Ysn 2 deg

n

Magnitud de Yt

0 10 20 30

Ytn 2

n

Defasamiento hacia atrás en el tiempo de Ys para L = 0.08 m: dsn i

arg Ysn i wn

0 10 20 300

50

100

Ysn 2

n


53

Defasamiento hacia atrás en el tiempo de Yt: dtn i

arg Ytn i wn

1 210

5

10

dsn 2

hr

n

1 211

0.5

0

dtn 2

hr

n

El atraso en el tiempo ds, esta entre el máximo de la función senoidal de entrada, como es la radiación solar en el caso de la superficie del interior de un cuarto y el máximo resultante de la temperatura Ti de la superficie interna. Esto se presenta como un

atraso en la temperatura, cuando la temperatura se divide por una admitancia (vista de otra manera como una carga térmica). Ahora, considererando la variación de la admitancia térmica de la pared con el espesor L de la masa térmica para la frecuencia fundamental, que es la frecuencia (de un ciclo por día - n = 1) y para una alta frecuencia (n = 48). Note que en el turno diurno (n = 1), la frecuencia es importante en el análisis de las variables con un harmónico diurno dominante como es la radiación solar. Las frecuencias altas son importantes en el análisis de los efectos de la variación de las entradas de calor como aquellos debidos a los ciclos de encendido/apagado, de hornos.

0.04 0.245

10

15

20

Ys1 i

watt

ºC

Li

m

La siguiente gráfica muestra un resultado extremadamente importante en el análisis periódico estable de la respuesta periódica estable; con el espesor de la masa térmica óptima de una pared, para el diseño solar pasivo, en este caso es (L = 0.2 m) correspondiente a la admitancia máxima. Por lo tanto, este espesor de masa de la pared reducirá la mayoría de las fluctuaciones de la temperatura dentro del cuarto.


54

0.04 0.14 0.242

4

6

ds1 i

hr

Li

m

Esta gráfica muestra un atraso en el tiempo del auto ajuste de la admitancia correspondiente a la figura anterior.

0.04 0.2480

85

90

95

Ys30 i

watt

ºC

Li

m

Para n = 30 (el periodo es igual a media hora), la pared se comporta igual a un sólido semi infinito para un espesor mayor a 0.08 m: la magnitud del ajuste de la admitancia Ys es aproximadamente constante para L > 0.07 m. El atraso en el tiempo corresponde a Ys para n = 30, varia poco con el espesor de la pared.

0.04 0.24340

360

380

400

ds30 i

sec

Li

m

La admitancia del cuarto se determinará en la Sección 9.2 con las admitancias individuales de las paredes y de otras conductancias del cuarto (incluyendo las debidas a las de infiltración). Ahora considere el efecto del espesor de masa de la pared interna en la transferencia de la admitancia Yt:


55

0.04 0.14 0.240

0.2

0.4

Yt1 i

watt

ºC

Li

m

0.04 0.14 0.2410

5

0

dt1 i

hr

Li

m

Las dos gráficas anteriores, muestran la magnitud de la transferencia y admitancia para el primer armónico y el correspondiente retrazo en el tiempo y el correspondiente retrazo en la onda en el tiempo dt1,i ,como una función del espesor de la

pared. Como se espera, Yt disminuye con el incremento del espesor de la pared y un atraso en el tiempo incrementa (su magnitud absoluta) aproximadamente en 8 horas para L = 0.3 m. La siguiente sección demuestra como las funciones de transmitancía, se emplean para determinar la respuesta periódica de la pared a la radiación solar y a la temperatura del medio ambiente. Bibliografía

Athienitis, A. K., M. Stylianou y J. Shou. 1990. "A methodology for building thermal dynamics studies and control applications." ASHRAE Transactions Vol. 96, Pt. 2, pp. 839-48.

Athienitis, A. K., H. F. Sullivan y K. G. T. Hollands. 1986. "Analytical model, sensitivity analysis, and temperature swings in direct gain rooms." Solar Energy, Vol. 36, pp. 303-12.

ASHRAE. 1989. Handbook-Fundamentals, Atlanta, GA.

Sección 4.3. Transferencia de calor en paredes con múltiples capas en un régimen periódico estable

Empleando las funciones de transferencia de admitancia descritas en la sección previa, ahora determinaremos la respuesta de las paredes a las variaciones periódicas de la temperatura externa To y de la radiación solar S. Ambas variables del medio ambiente que se modelan por series discretas de Fourier, consistentes del promedio diario (término medio) con uno o más armónicos.

El análisis se desarrolla normalmente en días determinados los cuales son representativos, dependiendo del objetivo del análisis, ya sea con promedios en los días, por las condiciones extremas. Aquí consideramos días claros con el objetivo de optimizar el pasivo con días en un día con un sol ligero, sobre las paredes de una construcción. Primero consideremos los modelos para la temperatura externa y la radiación solar. Ejemplo: con una temperatura externa La variación de la temperatura ambiente, se modela como una función senoidal, con un máximo a las 3A.M. y un mínimo a las 3P.M. (tiempo solar).


ºC 1

Tom 1 ºC Temperatura media diaria externa

To 10 ºC Rango de To = max. - min.)


56

n 1 2 3 Índice armónico

i 0 1 23 Índice en el tiempo

wn 2 n

24

rad

hr

Frecuencia fundamental (periodo = 1 día)

ti i hr Tiempo

Toi TomTo

2cos w1 ti 5

4

Temperatura externa

Considere que la temperatura sol - aire, tiene también un armónico debido a la radiación solar con máximos al pleno día.

Tem 10 ºC Te1 11 ºC

Teoi Tem Te1 cos w1 ti To

2cos w1 ti 5

4

Temperatura externa y temperatura Sol – Aire

0 10 2010

0

10

20

30

Toi

ºC

Teo i

ti

hr

Radiación Solar La radiación solar puede modelarse con la onda media senoidal en el tiempo del medio día ts.

ts 6 hr

Tiempo del medio día a la puesta del sol

Smax 500watt

m2

Radiación solar pico (al medio día)

fi Smax cos ti 12 hr

2 ts

Si

fi fi

2

S es positiva


57

S(t) puede modelarse con series discretas de Fourier como sigue:

n 0 1 3 . . . armónicas j 1

wn 2 n

24 hr

Snn

i

Si

exp j wn ti 24

Los tres términos de series armónicas de Fourier se ajustan a la radiación solar:

l 1 3

Sfi Sn0 2

l

Re Snl exp j wl ti

El término que se ajusta a la radiación solar es:

Sf1i Sn0 2 Re Sn1 exp j w1 ti

La siguiente gráfica compara la radiación solar actual S, con un término de una armónica (Sf1) y tres términos de armónicos (Sf) que se ajustan a las series de Fourier. Como puede verse, el ajuste de las tres armónicas, es una aproximación muy cercana a la forma actual de la media onda senoidal.

0 10 20200

0

200

400

600

Si

Sfi

Sf1i

ti

hr

Respuesta de la pared

Ahora se determina la respuesta de la pared mostrada abajo. El análisis considera un cuarto simple, con un área de una ventana Aw y un área de una pared opaca A. Se enfoca el análisis a la pared. Para un análisis del cuarto completo ver el Capítulo 9. La respuesta pasiva de la superficie de la pared del cuarto se determina por los siguientes parámetros:

A 100 m2

Aw 8 m2

L 0.05 m Espesor de la masa

Propiedades de la masa (concreto con una densidad media):

c 800joule

kg ºC

Calor especifico


58

k 1.2watt

m ºC

Conductividad

1500kg

m3

Densidad

k

c


ho 15watt

m2

ºC

Coeficiente externo de película

hi 9watt

m2

ºC

Coeficiente interno de película

CA

ToTi


Masa aislada

Dos puertos

Ys

Ti

Qeq1

TR

UiUo Uaislante

UL

Red equivalente

Qeq2

Ui

TR

UL

Qeq1=Yt·To Qeq2=UL·To

Rins 2 m2

ºC

watt

u1

Rins1

ho

Ui A hi

Uo ho A

Uwindow 2watt

m2

ºC

UL Aw Uwindow

UR1

1

UL

1

Ui

Ys0A

L

k

1

u

Admitancia en estado estacionario es igual al valor de U de la pared (excluyendo la película interna)


59

j 1 Yt0 Ys0

Ys0 47.431watt

ºC

n 1 2 3

Cálculos de las admitancias: n j

2 n

86400 sec

Ysn Au k n tanh n L

u

k ntanh n L

1

YtnA

cosh n L u

sinh n L k n

n 0 1 3 Yn Ysn UR Admitancia total del cuarto como se ve de la superficie de la pared del cuarto

Note que los términos Yt y Ys, en un régimen permanente son iguales, al valor de U en la pared (excluyendo la película interna).

El efecto de Teo sobre Ti, es igual a Yt·To/(Ys+UR). En ausencia de radiación solar. La respuesta total de Ti, consiste del término medio y debido a los armónicos de Teo A To. Esta respuesta de (Tio) se determina como sigue:

fo arg Y1 arg Yt1 . . . desfasamiento del ángulo de fase

Tioi

Yt0 Tem UR Tom

Ys0 UR

Yt1 To

cos w1 ti 5

4 fo

2 Te1 cos w1 ti fo

Y1

0 10 204

6

8

10

Tio i

ºC

ti

hr

La respuesta (Tis) en la superficie de la pared del cuarto a la temperatura del cuarto Ti.


60

Debido a la radiación solar transmitida S y a la absorbida en la misma superficie. Es igual a n/Yn para cada armónica.

Tisi

Sn0

Y0

2

l

ReSnl

Ylexp j wl ti

Aw

Respuesta final: Tii Tioi Tisi

0 10 2015

20

25

30

Tis i

ºC

ti

hr

0 10 2020

30

40

Tii

ºC

ti

hr

Bibliografía

Athienitis, A. K., M. Stylianou y J. Shou. 1990. "A Methodology for Building Thermal Dynamics Studies and Control Applications," ASHRAE Transactions, Vol. 96, Pt. 2, pp. 839-48.

Athienitis, A. K., H. F. Sullivan y K. G. T. Hollands. 1986. "Analytical Model, Sensitivity Analysis, and Temperature Swings in Direct Gain Rooms," Solar Energy, Vol.36, pp. 303-12.



61

Capítulo 5

Convección e infiltración de calor en cuartos y cavidades Los coeficientes de transferencia de calor por convección natural o forzada, algunas

veces necesitan ser calculadas, durante el análisis de la conducta térmica de las construcciones. En los cálculos de las resistencias térmicas de las paredes y ventanas, normalmente se emplean valores constantes, en los coeficientes de transferencia de calor, sin embargo los valores varían con las diferencias de temperatura que cambian. En las Secciones 5.1, 5.2, y 5.3 se muestran las relaciones generales, para calcular los coeficientes de transferencia de calor en cavidades y en las paredes. Las pérdidas de calor por infiltración, es un componente significativo en las pérdidas de calor en una construcción, hay una técnica

simple para estos cálculos que se describen en la sección 5.4.

Sección 5.1 Convención de calor natural en las cavidades de ventanas

Las cavidades (son espacios con aire) que existen en paredes, ventanas, etc. tienen una conductancia unitaria, que se representa por diferentes emisividades de la superficie, ver diversos libros de diseño como el (ASHRAE 1989). Su conductancia es la suma de los coeficientes de transferencia de calor convectivo y radiante. Aquí se considera en principio el coeficiente convectivo de calor. La convección y la radiación se analizaran en la sección 5.3.

Hay cierto número de relaciones adimensionales para la transferencia de calor por convección a través de las cavidades rectangulares. Estas normalmente son correlaciones de datos experimentales, en términos de tres parámetros adimensionales: Número de Nusselt, Nu, Número de Rayleigh, Ra y Número de Prandtl, Pr.

Nu hL

k

Ra

g T L3

Pr

kinematic_viscosity

thermal_diffusivity L = profundidad de la cavidad

1

T Coeficiente de expansión para el aire (aproximadamente visto como un gas ideal) a la temperatura T, en K.

Para placas paralelas, el número de Nusselt es la relación de la resistencia térmica a la

conducción pura a la resistencia por convección térmica (Nu = (L/k)/(1/h)). El número de Nusselt unitario, representa la conducción de calor pura a través del espacio de aire.

El coeficiente de transferencia de calor por convección (hc) en una cavidad vertical se determina adecuadamente como el (presentado por. El Sherbiny en 1982): Esquema y Parámetros de control térmico:

L

Tc Th

Cavidad


62

ºC 1 Temperaturas: Th 15 ºC Superficie caliente

Tc 0 ºC Superficie fría

i 3 4 20

Li i 1 mm Espesor

p 1 Presión (atmósferas)

TmTh Tc

2273

a

100 ºC

Tm

kair0.002528Tm

1.5

Tm 200

watt

m ºC

Conductividad térmica del aire

Rai 2.737 1 2 a( )2

a4

Th Tc( )Li

mm

3

p2

Número de Rayleigh

Nu1i 0.0605 Rai

1

3

Números de Nusselt

Nu2i 10.104 Rai 0.293

16310

Rai

1.36

3

1

3

hci

kair

Lii f Nu1i Nu2i Nu1i Nu2i

Note que los coeficientes de transferencia de calor convectivos, hc alcanzan un valor mínimo para cavidades con un espesor igual a 13 mm.

qc hc13 Th Tc( )

3 130

5

10

hci

watt

m2

ºC

Li

mm

hc13 1.939watt

m2

ºC


63

qc 29.091watt

m2

Corresponde de flujo de calor Bibliografía

ASHRAE. 1989. ASHRAE Handbook of Fundamentals. Atlanta, GA.

El-Sherbiny, et al. 1982. ASME Journal of Heat Transfer,Vol. 104, pp. 96-102.

Sección 5.2 Coeficientes por convección de transferencia de calor en habitaciones

Superficies horizontales Un flujo de calor a través de una barrera de protección. Es la conducción de calor a

través de películas de aire, también se recomienda emplear las siguientes correlaciones (McAdams 1959), Aplicadas en un piso frío.


degC 1 Ts 10 degC 11 degC 18 degC Temperaturas de la superficie del piso Tai 20 degC Temperatura del aire del cuarto

x 2 m Dimensiones características

hc Ts( ) 0.59Ts Tai

x

0.25

Para el flujo laminar se conoce que el número de Rayleigh este en el rango entre 3 105

a 3 1010

Para un piso calentado, el flujo de calor arriba de la barrera de protección, tiene las

siguientes correlaciones como un flujo turbulento y se recomienda:

Operar en el un rango entre: Obteniendose el rango que: Ts 21 degC 22 degC 30 degC

hc Ts( ) 1.52 Ts Tai( )

1

3

Cuando el número de Rayleigh está en el rango de: 2 107

a 3 1010

10 150.4

0.5

0.6

0.7

Rehc Ts( )

watt

m2

degC

Ts

degC


64

10 150.4

0.5

0.6

0.7

Rehc Ts( )

watt

m2

degC

Ts

degC

Por ejemplo para un piso calentado, con un flujo de calor arriba de la barrera de protección, se recomiendan las siguientes correlaciones de un flujo turbulento:

Obteniéndose el rango de: Obteniendose el rango que: Ts 21 degC 22 degC 30 degC

hc Ts( ) 1.52 Ts Tai( )

1

3

Si el número de Rayleigh está en el rango de: 104 a 10

9

21 261

2

3

hc Ts( )

watt

m2

degC

Ts

degC Note que los coeficientes de transferencia de calor

anteriores, no incluyen el efecto de la radiación. Si el coeficiente de transferencia de calor se combina, para calcular el coeficiente de transferencia de calor hr. Comúnmente, hr se calcula

como: hr 4 Tm3

Donde:

TmTs Te

2

Ts2

Te2

Ts Te( )

4 Con Ts y Te están al principio de la superficie y del medio ambiente, con las temperaturas

(encerradas) respectivamente. (4·Tm3 es un factor de linearización para la transferencia de calor por radiación).

Bibliografía McAdams.1959. Heat Transmission. 3rd ed. McGraw-Hill.


65

Sección 5.3. Coeficientes de transferencia de calor con viento Los coeficientes de transferencia de calor, algunas veces requieren ser calculados para

superficies externas de las construcciones y en colectores solares. Bajo condiciones de aire

estable, el coeficiente de transferencia de calor, es de aproximadamente de 5 W/ (m2·ºC). Para una convección forzada debida a un viento intenso, se obtienen las relaciones empleadas en el ejemplo siguiente que recomiendan (Duffie y Beckman, 1983). Parámetros de control:

ºC 1 K 1 kph 20 Velocidad del viento (Km./hr)

V kph1000

3600

Velocidad del viento (m/sec)

L 2 m Longitud característica

hc 8.6V

0.6

L0.4

watt

m2

ºC

hwind if hc 5watt

m2

ºC

hc 5watt

m2

ºC

Coeficiente de radiación linearizado:

hr 4 Tm3

en donde

0.9 Emisividad

5.67 108

watt

m2

K4

(Constante de Stefan-Boltzmann)

TmTs To

2

Ts2

To2

Ts To( )

4 Temperatura media, K

To 5 ºC Temperaturas externa y superficial

Ts 5 ºC

Tm 273To Ts

2

hr 4 Tm3

hr 4.153watt

m2

ºC

ho hwind hr

ho 22.389watt

m2

ºC

Coeficiente de película del aire, combinado con el coeficiente de radiación linea rizado

Bibliografía Duffie & Beckman. 1980. Solar Engineering of Thermal Processes. J. Wiley & Sons.

hwind 18.236watt

m2

ºC


66

Sección 5.4. Infiltración La infiltración del aire externo y la infiltración del aire interno producen un flujo de aire

neto a través del medio ambiente en una construcción conocido como infiltración. La infiltración, provoca ambas, pérdidas o ganancias de calor. Primero, se calcula la transferencia de calor basado en un volumen de aire dado que entra en la construcción. Con los siguientes parámetros: Parámetros de control

degC 1 Cálculos de la ganancia o pérdida sensible de calor qs:

cp 1000joule

kg degC

Calor especifico del aire

1.2kg

m3

Densidad del aire Cuando:

Q 50l i ter

sec

Caudal de aire externo que entra a la construcción Cuando

Ti 23 degC Temperatura interna

To 0 degC Temperatura externa

qs cp Q Ti To( ) Flujo de calor sensible

qs 1.38 103

watt

Si existe niebla, se agrega al aire que entra un aumento del nivel de humedad hasta un rango de confort, la energía requerida para evaporar una cierta cantidad de agua, es igual a la perdida por infiltración y se determina como sigue (asumiendo una humedad relativa interna del 30% y una humedad externa del 80%).

Cálculos de las pérdidas del calor latente:

hfg 2465joule1000

kg

Calor latente del vapor del agua

Determine la humedad (kg_vapor/kg_aire seco de la carta psicrométrica o de las

ecuaciones presentadas en la sección 8.2

Wi 0.0052

Relación de la humedad interna y Wo 0.003

Relación de la humedad externa ql Q Wi Wo hfg

ql 325.38watt

El volumen del aire infiltrado en la construcción, depende de la velocidad del viento y

sus direcciones, agrietamiento aperturas, así como de otros factores de la construcción (ASHRAE 1989).

La infiltración se puede determinar por dos métodos -- el método del cambio de dirección del aire y el método de distancias en un agrietamiento. En el método del cambio de la


67

dirección y velocidad del aire, el flujo del aire se calcula por un número estimado de cambios de las direcciones del aire por hora y de las ecuaciones anteriores que se emplean. Los valores de los cambios del aire (se fundamentan en datos experimentales), para cuartos típicos de construcciones residenciales los datos se presentan en la tabla siguiente:

TIPO DE CUARTO CAMBIO DE AIRE POR HORA No hay ventanas o puertas al exterior 0.5 Ventana o una puerta externa con una sola orientación 1.0 Ventanas o puertas externas con dos orientaciones 1.5 Ventanas o puertas externas con tres orientaciones 2.0 Entrada por el hall de la puerta 2.5 (Para ventanas con listones de madera en contra del aire del medio ambiente o vidrieras de hojas en contra de tormentas, se emplean las dos terceras partes de estos valores).

Método de cambio de la dirección y velocidad del aire Ejemplo: Calcule las pérdidas del calor sensible por infiltración para una casa con un área de piso igual a 200metros cuadrados, el cual tiene una velocidad de infiltración igual a un cambio de aire por hora de:

acs1

3600 sec

Cambios de aire por segundo

Volume 200 2.5 m3

(Volumen estimado)

cp 1.2 103

joule

m3

degC

Ti 20 degC Temperatura interna y

To 10 degC Temperatura externa

Uinf acs Volume cp Conductancia por infiltración

qs Uinf Ti To( )

qs 5 103

watt

Con el método de la longitud de una grieta, la infiltración se asume que se presenta en el lado del camino de mayor viento. Si llega a cambiar, se recomienda emplear la pared con muchas grietas se seleccionen como base para los cálculos de la infiltración. Las pérdidas de calor como una función de la longitud de la grieta L (m) y del espacio del espacio del aire, B por unidad de longitud de la grieta, se presenta por

q1 2940 B L Wi Wo (Calor latente)

qs 1.2 B L Ti To (Calor sensible)

Las longitudes de las grietas se encuentra para puertas, ventanas y otros componentes de la construcción en el ASHRAE Handbook of Fundamentals (1989).

Bibliografía ASHRAE. 1989. Handbook- Fundamentals, Atlanta, GA.


68

Capitulo 6

Transferencia de calor por radiación en construcciones La radiación térmica se emite o se absorbe por todas las superficies de las

construcciones. Algunos materiales de construcción, como pueden ser los vidrios o plásticos transparentes, también emiten radiación térmica. Algunas veces es necesario calcular la fracción de la radiación difusa que emite la superficie de una estructura en la cual incide sobre la superficie a otra superficie de un cuarto. Para determinar esta fracción, hay parámetros geométricos presentados como factores de vista (o factores vista) que deben ser calculados. Estos factores vista que se determinan para cuartos rectangulares (donde se incluyen ventana) ver la sección 6.1. Para determinar que cantidad de radiación se emite o se absorbe por una superficie, se puede necesitarse determinar las propiedades de la radiación relevante de la superficie con sus valores monocromáticos, como se presenta en la sección 6.2. Finalmente en la sección 6.3 se consideran los casos comunes de la radiación combinada y la transferencia de calor por la convección en edificios (cavidades, ventanas).

Sección 6.1. Cálculos de los factores de vista en una habitación rectangular con una ventana

El factor vista, o factor forma, Fij desde la superficie i a la superficie j, es igual a la fracción de la radiación difusa que sale de la superficie i, la cual es directamente incidente en la superficie j. Hay tres tipos principales de factores vista entre las superficies de un cuarto:

1. entre las superficies en ángulo recto, 2. entre superficies en paralelo y 3. entre la ventana y otra superficie.

Los factores vista para el cuarto del esquema siguiente se determina después de primero, calcular los factores vista entre dos superficies rectangulares finitas inclinadas 90º una de cada otra con una superficie en común como se presenta en el diagrama siguiente:

Se definen las siguientes variables intermedias:

ww1

commw

w1

comm h

h2

commh

h2

comm

A h w( ) h2

w2

A h w( ) h2

w2

B w( ) 1 w2

B w( ) 1 w2


69

C h( ) 1 h2

C h( ) 1 h2

D h w( ) 1 h2

w2

D h w( ) 1 h2

w2

G h( ) h2

G h( ) h2

Factor vista Fij desde i a j:

Fij w h( )

w atan1.

w

h atan1

h

A h w( ) atan1

A h w( )

0.25 lnE w( ) D h w( )

B w( ) A h w( )

E w( )G h( ) D h w( )

C h( ) A h w( )

G h( )

B w( ) C h( )

D h w( )

w

Fij w h( )

w atan1.

w

h atan1

h

A h w( ) atan1

A h w( )

0.25 lnE w( ) D h w( )

B w( ) A h w( )

E w( )G h( ) D h w( )

C h( ) A h w( )

G h( )

B w( ) C h( )

D h w( )

w

Los otros factores vista entre las superficies de un cuarto se calculan aplicando los siguientes principios:

1. Reciprocidad: Ai F

i j Aj F

j i

2. Simetría, por ejemplo: F

7 5F

7 8

3. Conservación de la energía: j

Fi j 1

(para cualquier superficie i)

E w( ) w2


70

i 1 2 8 j 1 2 8 Índices para las superficies

Primero, calcular F6,7 y otros factores vista relacionados:

HT 2.4m LT 4.0m WT 6.0m

WWT 3.0m WHT 1.6m WUP 0.4m

Áreas de las superficies:

A1 LT HT A2 WWT WHT A3 A1 A2

A4 LT WT A5 WT HT A6 A1

A7 A4 A8 A5

Calcular los factores vista para todas las superficies excepto la 2, 3 (ventana y la pared alrededor de la ventana):

w1 HT h2 WT comm LT

ww1

comm

h

h2

comm

F6 7

Fij w h( )

F7 6

A6

F6 7

A7

F

6 70.287

F4 6

A6

F6 7

A4

F

6 4F

6 7

. . . por simetría

F1 4

A4

F4 6

A1

F

1 7F

1 4

F

4 1A1

F1 4

A4

w1 LT h2 WT comm HT

ww1

comm

h

h2

comm

F6 5

Fij w h( )F6 5

Fij w h( )

F6 8

F6 5

F6 8

F6 5

F8 6 F5 6F8 6 F5 6 F1 5 F6 8F1 5 F6 8 F5 1 F8 6F5 1 F8 6

F8 1 F8 6F8 1 F8 6

w1 HTw1 HT h2 LTh2 LT comm HT

F5 6

A6

F6 5

A5

F1 8 F6 8


71

ww1

comm

h

h2

comm

F6 5

Fij w h( )F6 5

Fij w h( )

F5 6

A6

F6 5

A5F

5 6A6

F6 5

A5

F

6 8F

6 5F

6 8F

6 5

F8 6

F5 6

F8 6

F5 6

F5 1

F8 6

F5 1

F8 6

F1 8

F6 8

F1 8

F6 8

F1 8

F6 8

F1 8

F6 8

w1 HTw1 HT h2 LTh2 LT comm WTcomm WT

ww1

commw

w1

comm

h

h2

commh

h2

comm

F5 7 F8 4F5 7 F8 4

F7 5 F4 8F7 5 F4 8 F4 5 F4 8F4 5 F4 8 F5 4 F8 4F5 4 F8 4

F7 8 F7 5F7 8 F7 5 F8 7 F5 7 F4 8 F7 8

F8 4 F8 7F8 4 F8 7

Determine los factores vista para las superficies opuestas, en paralelo considerando el hecho de que

j

Fi j 1

F1 6 1 2 F6 8 2 F6 4F1 6 1 2 F6 8 2 F6 4

F5 8 1 2 F5 4 2 F5 6F5 8 1 2 F5 4 2 F5 6 F8 5 F5 8F8 5 F5 8

F4 7 1 2 F4 8 2 F4 6F4 7 1 2 F4 8 2 F4 6

Determine el factor vista entre la ventana y el piso. Note que las mismas ecuaciones pueden emplearse para determinar el factor vista entre la ventana y otras superficies, excepto la pared posterior (6). F2, 6 puede calcularse del hecho que la suma de los factores vista de

todas las superficies es igual a 1.

F1 5

F6 8

F8 1

F8 6

F8 4

Fij w h( ) F4 8 A8F8 4

A4

F6 1 F1 6

F7 4 F4 7


72

Ab WWT WT A2 WWT WHT

Ad WWT WUP DIS

LT WWT

2

Ac1 WHT DIS Ac2 WUP DIS

Aa DIS WT Aab WT DIS WWT( )

w1 WT h2 WHT WUP

comm WWT

ww1

comm

h

h2

comm

Fb_2d Fij w h( ) . . . F desde Ab a A2+Ad

w1 WT h2 WUP

comm WWT


73

ww1

comm

h

h2

comm

Fb_d Fij w h( ) Fb_d 0.028

w1 WT h2 WUP

comm DIS

ww1

comm

h

h2

comm

Fa_c2 Fij w h( ) Fa_c2 0.018

w1 WT h2 WHT WUP

comm DIS

ww1

comm

h

h2

comm

Fa_c2 Fij w h( ) Fa_c2 0.018

w1 WT h2 WHT WUP

comm DIS

ww1

comm

h

h2

comm

Fa_c1c2 Fij w h( ) . . . F desde Aa a Ac1+Ac2

w1 WT h2 WHT WUP


74

comm WWT DIS

ww1

comm

h

h2

comm

Fab_c1c2d2 Fij w h( ) . . . F desde Aab a Ac1+Ac2+Ad+A2

w1 WT h2 WUP

comm WWT DIS

ww1

comm

h

h2

comm

Fab_c2d Fij w h( )

F2_b Fb_2d Fb_d( )Ab

A2

Fa_2dAab Fab_c1c2d2 Aa Fa_c1c2 Ab Fb_2d

2 Aa

Fa_dAab Fab_c2d Aa Fa_c2 Ab Fb_d

2 Aa

F2_a Fa_2d Fa_d( )Aa

A2

F2 7 2 F2_a F2_b

F7 2 A2F2 7

A7

Para calcular F2, 4, el intercambio WUP con HT - WHT - WUP en los cálculos anteriores.


75

En este caso, debido a que la ventana se encuentra en el centro de la superficie 1, F2, 4 =

F2, 7.

También

F3 7 F1 7 F2 7

Factores de vista importantes:

F6 4 0.287 Pared posterior del techo (o del piso)

F5 6 0.118 Pared derecha (o pared izquierda) a la pared posterior

F2 7 0.295 Ventana al piso

F4 7 0.415 Del techo al piso

Y entre otros pares de paredes

F4 8 0.178

F4 6 0.115

F5 8 0.171

Sección 6.2. Cálculos de las propiedades de la radiación térmica

En esta sección se calculan las propiedades de la radiación térmica, en diferentes rangos de longitudes de onda. Por ejemplo algunas veces se requiere conocer la cantidad de radiación solar que se encuentra y que se absorbe en la superficie externa de una construcción. Para determinar esta radiación se requiere conocer la absorbancia solar, la cual es aproximadamente una fracción de la radiación solar incidente absorbida, para longitudes de

onda más pequeños a 3m. Similarmente se requiere calcular la emisividad de la superficie de la pared de una construcción a temperaturas normales; esta es aproximadamente igual a la

relación de la radiación emitida (para longitudes de onda mayores a 3m), la radiación emitida por un cuerpo negro a la misma temperatura. Por ello primero se definen algunos parámetros muy importantes como son las de un cuerpo negro.

Potencia emisiva espectral de un cuerpo negro: Eb es la cantidad de energía de la

radiación emitida de un cuerpo negro, a la temperatura absoluta T, por unidad de tiempo, unidad de superficie y por unidad de longitud de una onda.


76

Eb

c1

5

expc2

T1

Ecuación (1)


m m 106

Donde:

c1 3.743108

wattm

4

m2

c2 1.438710

4 m K

T = temperatura absoluta, K = longitud de onda

Ley de Stefan-Boltzmann: La emisividad del cuerpo negro se representa por la ecuación:

Eb0

Eb

d

Ecuación (2)

Eb T4

Donde

5.67 108

watt

m2

K4

Constante de Stefan-Boltzmann

Algunas veces se requiere determinar la potencia de la fracción de la emisividad f12 del

cuerpo negro entre dos longitudes de onda por la integración de la ecuación (1) y la división a

la ecuación (2). Si la longitud de onda más baja es cero, se emplea 0.1m, para evitar errores

de integración numérica y similarmente se remplazan al límite superior de infinito por 100m.

f12

1

2

c1

5

expc2

T

1

d

T4

Ejemplo: Un filamento de tungsteno se calienta a 2500 K. ¿Que fracción de la radiación está

en el rango visible?


77

Rango visible: 1 0.4 m

2 0.7 m

Cuando T 2500 K

f12

1

2

c1

5

expc2

T

1

d

T4

f12 0.033

Por lo tanto únicamente un 3.3% de la radiación emitida por la lámpara esta en el rango visible.

Propiedades de la radiación: La absorbancia de una superficie es la fracción de la irradiación total (radiación incidente) absorbida por el cuerpo. La reflectancia de la superficie es igual a la fracción de la irradiación reflectada desde la superficie. La transmitancia de una superficie es la fracción de la irradiación transmitida por la superficie (y es igual a 0 en las superficies opacas). Un balance de energía en las superficies muestra que:

1

Donde:

= absorbancia = reflectancia = transmitancia.

La emisividad constituida por la absorbancia, transmitancia y reflectancia, varía generalmente con la longitud de onda. Se puede demostrar con la emisividad monocramática y con la absorbancia en superficies que son iguales. La emisividad hemisférica de una superficie es igual a la relación entre la emisividad de una superficie a la potencia de la emisividad del cuerpo negro:

E

Eb y

0

Eb

d

T4

Emisividad monocromática y hemisférica

Ejemplo: La emisividad hemisférica total de una pintura de aluminio es de 0.35, con una

longitud de onda abajo de 3m y 0.7m y longitudes de onda más largas. Determine la emisividad total a las temperaturas en un cuarto entre 25 ºC y 500 ºC:


78


s 0.35 Emisividad de la onda más corta

l 0.7 Emisividad de la onda más larga

T1 25 273( ) K

T2 500 273( ) K

1 3 m Longitud de onda de 3 m

Empleando estos valores de emisividad en la integral anterior, se obtiene:

2

0.1 m

3 m

s

c1

5

expc2

T2

1

d

3 m

100 m

l

c1

5

expc2

T2

1

d

T24

1 0.697 Emisividad a T1

2 0.657 Emisividad a T2

La radiación total emitida:

.1

0.1 m

3 m

.s

c.1

5

expc.2

T.1

1

d

3 m

100 m

.l

c.1

5

expc.2

T.1

1

d

T.14


79

q1 1 T14

q1 311.677watt

m2

q2 2 T24

q2 1.33 104

watt

m2

Los cuerpos grises son superficies con propiedades de radiación, cuyos valores

pueden aproximarse a longitudes de onda independientes. Una aproximación aceptable de un análisis térmico de una construcción, es que una superficie gris seleccionada; la superficie puede considerarse, en rangos específicos de longitudes de ondas y rangos de las temperaturas asociadas.

Por ejemplo, empleando la técnica de integración del ejemplo anterior, una emisividad de una onda larga es de aproximadamente entre 0.85 - 0.90 y se determina en muchos materiales de construcción como de pinturas (no en metales) a temperaturas normales. Sin embargo la absorbancia solar, de (ondas cortas) de absorbancia de una superficie brillante blanca, puede ser tan baja como de 0.2.

Sección 6.3. Radiación combinada a convección térmica

La transferencia de calor por radiación se presenta raramente por si misma en una construcción. Es normal asociarla a la convección. Varios de estos casos se analizarán en esta sección. Primero, se determina el valor total de U. Su valor en una ventana con dos hojas de vidrio, con un espacio de aire entre ellas y con coeficientes de transferencia de calor radiante y convectivos en la cavidad. Entonces, se mide experimentalmente con un termómetro la temperatura del aire, para cuantificar este valor y determinar el error provocado en la medida debida a los efectos de la radiación. Finalmente estos parámetros se combinan y se calcula las pérdidas de calor combinadas por radiación y por convección en cavidades expuestas al medio ambiente.

Sección 6.3.1. Transferencia de calor combinada a la radiación y convección en espacios en cavidades y resistencias térmicas de ventanas

El coeficiente total de transferencia de calor en una cavidad, es igual a la suma de los coeficientes de transferencia de calor por radiación (hr) y convección (hc). La sección 5.1 describen los cálculos de hc. En la sección 5.1, se encontró hc:

Parámetros de control y diagrama térmico de la red

hc 2watt

m2

ºC

Para L 0.013 m Profundidad común de la cavidad

ºC 1 K 1


80

Temperaturas fijas:

Cavidad

S1 S2

hc

hr

hiho

TiTo

LSuperficie reflejante

externa

Superficie reflejante

interna

Note, que las dos temperaturas brillantes se desconocen y deben estimarse. Asumiendo que las temperaturas brillantes son del valor:

Tc 0 ºC Th 13 ºC

1 0.9 Emisividad del vidrio externo

2 0.9 Emisividad del vidrio interno

La linearización del coeficiente de transferencia de calor radiante, hr para la ventana se calcula

como sigue:

5.67 108

watt

m2

K4


Tm 273Tc Th

2

K Temperatura promedio de la cavidad

hr4 Tm

3

1

1

1

2

1

4 Tm3

Es un término línea rizado

Las ventanas son componentes de una construcción con pérdidas de calor potencialmente altas. Se puede emplear un recubrimiento de baja emisividad en una de las cavidades de las superficies de los dos cristales para disminuir las pérdidas de calor radiante.

hr 4.052watt

m2

ºC


81

Por ejemplo, si

1 0.1 El coeficiente radiante se presenta por la ecuación

hrlow_e4 Tm

3

1

1

1

2

1

hrlow_e 0.49watt

m2

ºC

Por lo que las pedidas de calor radiante se reduce a

La resistencia térmica de la ventana R se calcula como sigue:

hi 9watt

m2

ºC

ho 15w att

m2

ºC

R1

hi

1

hc hr

1

ho

qTi To

R

Ahora se pueden calcular los valores mejorados para las temperaturas de la superficie:

Tcq

hoTo

Th Ti

q

hi

Tc 0.141 ºC Th 11.902ºC

La temperatura media corregida y el coeficiente radiante son:

TmcTc Th

2273

hrc

Tmc

Tm

3

hr

hrc 4.025watt

m2

ºC

(Por ejemplo, el estimado previo, el resultado fue correcto para el propósito planteado).

hr hrlow_e

hr87.912%

R 0.343m2 ºC

watt

q 72.882w att

m2


82

Sección 6.3.2 Temperatura medida del aire

La caída de la temperatura de un termómetro de mercurio de vidrio, dentro de una construcción, indica la temperatura Tm. Las paredes de la construcción mal aisladas tienen una temperatura Tw. Realice un balance de energía para el termómetro y calcule la temperatura real del aire. Asumiendo que la transferencia de calor es en un régimen estacionario.

Parámetros de control y diagrama

0.9 Emisividad al termómetro de las paredes

Temperatura de pared, Tw

Temperatura del aire

Temperatura del

termómetro, Tw

Termómetro

Tm 16 ºC Temperatura de externa de la pared

Tw 12 ºC Temperatura de interna del termómetro

ºC 1 K 1

5.67 108

watt

m2

K4


hc 6watt

m2

ºC

Coeficiente convectivo

Pérdida de calor por radiación = Ganancia de calor por convección

Tair Tm

hc 273.1 Tm( )

4273.1 Tw( )

4

Tair 19.22ºC

La protección de la radiación con una baja emisividad, algunas veces se emplea


83

Alrededor de un sensor térmico para minimizar la transferencia de calor por radiación

Y corregir las medidas las medidas de la temperatura del aire.

Sección 6.3.3 Radiación y convección combinadas: Pérdidas de calor por radiación-convección combinadas en un tubo

Un tubo horizontal de diámetro externo D se mantiene a una temperatura Tp. La temperatura del aire ambiente es To. La temperatura del cielo es Tsky y Tg la temperatura del suelo. Teniendo en cuenta los siguientes datos determinar la pérdida total de calor del tubo.

temperatura del tubo

temperatura del ambiente

temperatura del cielo

temperatura del suelo

emisividad del tubo

diámetro y longitud del tubo

a. La pérdida de calor por convección se determina en base a la correlación recomendada a

continuación, por McAdams (1959).

Las propiedades del aire a una temperatura media:

temperatura media

ºC 1

Tp 30 ºC

To 15 ºC

Tsky 0 ºC

Tg 10 ºC

0.4

D 0.3 m

Tubo

Tierra

R p-s

R p-g

R p-a

T cielo

T aire

T g

TmTp To

2


84

viscosidad

conductividad térmica

aceleración gravitacional

número de Prandtl

número de Grashof:

Para el número de Grashof en el rango de 103 a 109 y el número de Prandtl> 0.5, la siguiente correlación de flujo laminar siguiente se emplea para calcular el número de Nusselt (coeficiente de transferencia de calor adimensional), Nu:

coeficiente de transferencia de calor convectiva

área superficial

b. La pérdida de calor por radiación: tanto el cielo y la tierra se supone que son infinitas como cuerpos negros planos, paralelos al tubo. Por lo tanto, de la simetría, el factor vista del tubo hacia el cielo Fps es igual al factor vista del tubo al suelo Fpg.

constante de Stefan-Boltzmann

15 106

m

2

sec

k 0.033watt

m ºC

1

273 Tm

g 9.81m

sec2

Pr 0.71

Gr g D3

Tp To

2

Nu 0.56 Gr Pr( )0.25

hc Nuk

D

A L D

qc A hc Tp To( )


85

Referencias

McAdams. 1959. Heat Transmission, 3rd ed. McGraw-Hill.

5.67 108

watt

m2

ºC

Fps 0.5 Fpg 0.5


86

Capítulo 7

Radiación solar La radiación solar es la fuente de calor mas intensa fuera a nuestro hábitat y dentro del

medio ambiente. Un análisis térmico y de diseño, debe realizarse un clima variable y puede determinarse con una buena aproximación en las construcciones; el sol es una importante fuente de energía libre y puede utilizarse adecuadamente para reducir el consumo de energía convencional de manera significativa, además de que puede mantener, la calidad del medio ambiente adecuado dentro de un recinto.

En la sección 7.1 se describe un modelo de la radiación solar en superficies inclinadas en días claros, se presentan los cálculos de la radiación instantánea y total. Los métodos para calcular la transmitancía, absorbancia y reflejancia, vista como un capacitor solar. Las características de una ventana se presentan en la sección 7.2. La sección 7.3 describe la técnica para estimar la radiación solar diaria, instantánea y total transmitida a través de una ventana. Finalmente en la sección 7.4, se presenta el diseño de un pretil sobre una ventana para reducir el sombreado de la ventana y reducir las ganancias solares en el verano.

Sección 7.1 Radiación solar incidente en superficies inclinadas La radiación solar incidente total en una superficie inclinada, consiste en el análisis de

la sección de (radiación por iluminación) directa que incide sobre una superficie inclinada, que tiene cierta sección de (radiación por iluminación) y difusa de la (radiación por iluminación) debida a la radiación difusa del sol del cielo, (por ejemplo los reflejos de la radiación de las nubes y de los espacios dispersos) y por la radiación reflejada del suelo, que también se considera como difusa. Todos los cálculos que involucran la radiación solar, se basan en los tiempos solares.

Tiempo solar. Se fundamenta en el movimiento angular (deg) aparente del sol, a través del

cielo, con el mediodía solar en el tiempo, en donde el sol pasa por un meridiano del observador. El tiempo local estándar (LST), se convierte en un tiempo solar como sigue, primero hay que emplear una constante de corrección, para la diferencia entre la longitud entre la localización y el meridiano, en el cual se refiere el tiempo local. Por ejemplo en los casos siguientes: (75 grados al este, del oeste; 90 grados al central del oeste; 105 grados de una montaña del oeste W; 120 grados del pacífico del oeste; 150 grados de Hawai-Alaska al oeste). Cuando un grado en longitud equivale a 4 minutos (mientras que 360 grados es un día). Otra corrección es la ecuación de tiempo, ET, la cual se ajusta a los cambios en la posición del tiempo de rotación de la tierra. El tiempo solar aparente AST se presenta como: AST = LST + ET + 4 ( LSM - LON) Donde: ET = Ecuación del tiempo en minutos LST = Tiempo local estándar LSM = Tiempo local estándar en los grados de un meridiano de referencia LON = Longitud local, en los grados de referencia 4 = Minutos de tiempo requeridos para la rotación de 1 grado de la tierra

ET n( ) 9.87 sin 4 n 81

364

7.53 cos 2 n 81

364

1.5 sin 2 n 81

364

min

Donde n = días del año (1 - 365)

Geometría solar: La posición del sol y las relaciones geométricas entre un plano y la radiación

solar incidente sobre este puede describirse en términos de los siguientes ángulos:

L, latitud que es igual al ángulo de la localización relativa al ecuador; el Norte es positivo.

, declinación es igual a la posición angular del sol a pleno día con respecto al plano ecuatorial (el que

varia de -23.45 a 23.45 grados).


87

, altitud solar es igual a el ángulo entre los rayos solares y la horizontal (entre 0 y 90 grados).

Z, cenit es igual al ángulo entre los rayos solares y la vertical.

, azimut solar es igual al ángulo entre la proyección horizontal de los rayos solares que vienen del sur

(positivo al atardecer).

, ángulo de la superficie solar del azimut que es igual a las proyecciones de las radiaciones de los rayos

del sol y la superficie normal a la de un plano horizontal.

, ángulo de la superficie del azimut y la proyección a la normal de la superficie en un plano horizontal y

que viene al sur (el este es negativo).

, ángulo de inclinación (pendiente) entre la superficie y la horizontal (0 - 180 deg).

, ángulo de incidencia entre los rayos solares y una línea normal a la superficie.

La posición del sol, puede expresarse como una función de la altitud solar y del azimut

solar, como se presenta en la figura de abajo. Estos ángulos son una función de la latitud local

L y de la declinación solar , la cual es una función de la fecha y del tiempo solar aparente, expresado como el ángulo horario h:

h = 0.25· (número de minutos local del medio día solar), los grados de (h es positivo al medio día.)

El ángulo de declinación se presenta como: 23.45deg sin 360

284 n

365 deg

z

Línea Sol - Tierra

Vertical

Superficie

Horizontal

N

E

W

S

Proyección de la normal

Normal

Q

z Ángulo cenit Ángulo de incidencia

Altitud solar

Azimut solar

Ángulo de inclinación Ángulo de la superficie azimut

Azimut de la superficie solar

asin cos L( ) cos ( ) cos h( ) sin L( ) sin ( )( )

acossin ( ) sin L( ) sin ( )

cos ( ) cos L( )

h

h

En el diagrama se presenta con:


88

z 90 deg deg (Note que es negativo y es positivo en el esquema)

acos cos ( ) cos sin ( ) sin ( ) cos ( )( ) El ángulo de incidencia (si es mayor a 90 grados o menor que 270 grados, entonces = 0)

Ejemplo: Determine el azimut solar local y la altitud, en un tiempo central de 8:30 en octubre 23 a 32 grados, latitud norte y 95 grados y longitud Oeste. También determine el ángulo de incidencia para la superficie vertical que da al frente al sureste: Parámetros de cálculo:

n 273 23 LST 8.5 hr LSM 90 deg LON 95 deg

ET n( ) 14.497min L 32 deg

AST LST ET n( ) 4min

deg LSM LON( )

AST 8.408hr Angulo horario:

h AST 12 hr( ) 15deg

hr

h 53.876 deg

23.45deg sin 360284 n

365 deg

12.446 deg

asin cos L( ) cos ( ) cos h( )

sin L( ) sin ( )

21.963deg

acossin ( ) sin L( ) sin ( )

cos ( ) cos L( )

h

h

58.264 deg Note que el azimut solar es negativo debido a que esta al sureste. Para la cara de la superficie vertical sureste,

90 deg 45 deg . . . (El este es negativo)

13.264 deg acos cos ( ) cos sin ( ) sin ( ) cos ( )( ) 25.487deg Estimación de la radiación en un cielo claro: Método que desarrolló Hottel en (1976). Se emplea para determinar la radiación transmitida a través de una atmósfera limpia. La transmitan cía atmosférica de la radiación es:

b ao a1 expk

cos z( )

Donde las constantes a, k que dependen del clima y de la altitud A (Km.)

ao ro 0.4237 0.00821 6 A( )2


89

a1 r1 0.5055 0.005956.5 A( )2

k rk 0.2711 0.018582.5 A( )2

CLIMA ro r1 k Tropical 0.95 0.98 1.02 Latitud media 0.97 0.99 1.02 (verano) Bajo de un ático 0.99 0.99 1.01 Latitud media (invierno) 1.03 1.01 1.00 Para latitudes medias (invierno) y una altitud de 0.5Km.:

A 0.5

ao 1.03 0.4237 0.00821 6 A( )2

a1 1.01 0.5055 0.00595 6.5 A( )[ ]2

ao 0.181

a1 0.512

k 1.00 0.2711 0.01858 2.5 A( )[ ]2

k 0.272 Radiación solar extra terrestre: La radiación solar normal Ion, justo arriba de la atmósfera varia debido a pequeños cambios en

La distancia de tierra respecto al sol como se presenta en las siguientes constantes y en la ecuación:

Isc 1353watt

m2

Constante solar

n 1 2 365 Número del día

Ionn

Isc 1 0.033cos 360n

365 deg

La variación de la radiación solar extra terrestre con la fecha del año (donde n es el número del día.

1 92 183 274 3651300

1325

1350

1375

1400

Ionn

n

Radiación solar extra terrestre sobre una superficie horizontal (Ioh): Esta es igual a

Ion veces el ángulo de incidencia para una superficie horizontal, la cual es igual al ángulo del

Cenit z.


90

Ioh Ionn

cos z( ) ó

Ioh Ionn

sin ( )

Ioh Ionn

sin L( ) sin ( ) cos L( ) cos ( ) cos h( )( )

La radiación normal terrestre In:

In b Ionn

La correlación siguiente se desarrollo por Liu y Jordan (1960), se emplea para determinar la transmitan cía difusa en la atmósfera en un cielo claro (en un plano horizontal):

d 0.2710 0.2939b

Radiación solar total incidente en una superficie inclinada: La radiación solar total incidente It sobre una superficie se presenta como la suma de los

componentes directos de la (radiación) Ib, los componentes difusos del cielo Ids y la radiación

solar difusa difusa reflejada del suelo Idg. Los componentes de la radiación directa Ib se

determinan como una función del ángulo de incidencia :

Ib Ion b cos ( )

La radiación difusa del cielo incidente sobre una superficie es igual radiación solar horizontal transmitida por el cielo multiplicada por un factor de vista desde la superficie al cielo (asumiendo que hay una distribución difusa isotropica):

Ids Ionn

sin ( ) d1 cos ( )

2 Ion

nsin ( ) 0.2710 0.2939b

1 cos ( )

2

Radiación total horizontal:

Ith Ionn

sin ( ) d b

La radiación solar incidente reflejada en la superficie del suelo es igual a la suma de la

radiación difusa del cielo y la radiación que llega al suelo multiplicada por el factor de vista desde la superficie al suelo y la reflectividad del suelo, ver la (Tabla 1).

Idg Ionn

sin ( ) d b

1 cos ( )

2

(Nota: modelos más detallados son desarrollaron para una radiación difusa)

Tabla 1: Reflectancia solar en diferentes superficies en un primer plano

Superficie primer plano Angulo de incidencia

20 30 40 50 60 70

Concreto nuevo 0.31 0.31 0.32 0.32 0.33 0.34

Césped verde brillante 0.21 0.22 0.23 0.25 0.28 0.31

Betumen y techo con grava 0.14 0.14 0.14 0.14 0.14 0.14 Terreno Bituminoso de

Estacionamiento 0.09 0.09 0.10 0.10 0.11 0.12

Roca Molida 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20

(Datos de Threlkeld ,1970)


91

La radiación incidente total instantánea en la superficie se presenta por la ecuación:

It Ib Ids Idg

Tiempos de la salida a la puesta del sol y la radiación solar total diaria:

Los tiempos de salida y puesta del sol pueden determinarse para evaluar los tiempos a los cuales el ángulo de incidencia (o el ángulo cenit) en una superficie horizontal son iguales a cero.

hs acos tan L( ) tan ( )( ) Ángulo a la hora de la puesta del sol

hs Ángulo a la hora del medio día (0 es el medio día solar)

Los tiempos correspondientes se determinan por la relación:

ts hshr

15 deg

Tiempo al amanecer y

ts Tiempo a la puesta del sol

La radiación solar extra terrestre diaria Hoh sobre una superficie horizontal puede determinarse

por la integración de la radiación instantánea entre el amanecer y la puesta del sol:

Hohts

ts

tIoh

d

Otros datos totales diarios se determinan de manera similar.

Los tiempos del amanecer y puesta del sol para una superficie inclinada pueden ser más pequeños que los tiempos correspondientes a los de superficies horizontales. Para una superficie orientada hacia el sur:

tss min hs acos tan L ( ) tan ( )( ) hr

15 deg

Para superficies en el hemisferio sur, hay que reaplazar -b por +b. Note que la radiación solar incidente en una superficie orientada al sur es simétrica al medio día solar. Por lo tanto, la radiación solar incidente diario en la superficie orientada al sur es dada por la integral:

Ht 2

0

ts

tIt

d

Ht 2

0

ts

tIt

d

Colector Solar Ejemplo: Determine el ángulo de inclinación de un colector solar, el cual la radiación solar incidente total diaria cuando está orientado al sur y localizado en una latitud de 35 grados N, es máxima el 21 de Enero. Parámetros de control:

L 35 deg 0 deg

0.2 0.2 n 21n 21

23.45deg sin 360284 n

365 deg


92

20.138 deg 20.138 deg

Considere que se presentarán en el futuro ángulos, entre 0 y 90 grados:

i 0 1 9i 0 1 9 i i 10 degi i 10 deg

ts 5.008hrts 5.008hr

Determine el tiempo del medio día en la superficie por la relación:

tssi

min

ts

acos tan L i tan ( ) hr

15 deg

En invierno, el tiempo del amanecer en una superficie horizontal es más pequeño que el tiempo a la puesta del sol, para una superficie inclinada. Cambiando el número del día n, se podrán ver los cambios con este parámetro (por ejemplo n = 180).

tss4

5.008hr

ti

tssi

8

j 0 1 8

ti j j ti Intervalos de tiempo del medio día a la puesta del sol

hi j 15deg

hr ti j

Ángulo horario

Note que la superficie que capta la radiación difusa a través del horario del día es:

i j asin cos L( ) cos ( ) cos hi j sin L( ) sin ( )

i j acossin i j sin L( ) sin ( )

cos i j cos L( )

hi j

hi j

cosi j cos i j cos i j sin i sin i j cos i

i j acoscosi j cosi j

2

Se emplea para garantizar los posibles ángulos físicos de

incidencia (0-90 deg).

bi j

ao a1 expk

sin i j 0.0000001

(Note que cos(z) = sin(a) y que 0.0000001 se agregó para evitar un sobre flujo.)

t.s acos tan L( ) tan ( )( )( )hr

15 deg


93

0 2 40

0.2

0.4

0.6

b1 j

t1 j

hr

Ibi j

Ionnb

i j cos i j

La radiación de la radiación solar incidente en superficies con diferentes regulaciones de los ángulos del medio día a la puesta del sol se presenta en el diagrama siguiente:

Radiación solar total diaria:

l 0 1 7

Hbi

2

l

Ibi l

Ibi l 1

2ti

Hb9

1.431 107

joule

m2

La radiación solar diaria sobre una superficie vertical (orientada al sur) se determinó por la integración numérica de I en el diagrama anterior.

Idsi j

Ionn

sin i j 0.2710 0.2939bi j

1 cos i

2

Idgi j

Ionn

sin i j 0.2710 0.2939bi j

bi j

1 cos i

2

0 1 2 3 4 50

200

400

600

800

tilt 30 deg

tilt 50 deg

tilt 70 deg

tilt 90 deg

tilt 30 deg

tilt 50 deg

tilt 70 deg

tilt 90 deg

Ib3 j

Ib5 j

Ib7 j

Ib9 j

ti j

hr


94

Hdsi

2

l

Idsi l

Idsi l 1

2ti

Hdgi

2

l

Idgi l

Idgi l 1

2ti

La radiación difusa del cielo y la radiación incidente reflejada en el suelo sobre una superficie vertical orientada hacia el sur son:

0 2 40

20

40

60

Ids9 j

Idg9 j

ti j

hr

MJ joule106

Hti

Hbi

Hdsi

Hdgi

La siguiente gráfica muestra la radiación diaria y la radiación total diaria en (MJ/sq.m.) como una función del ángulo de inclinación.

maxHt

MJ

m2

19.033

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

total daily radiat ion

beam daily radiat ion

total daily radiat ion

beam daily radiat ion

Hti

MJ

Hbi

MJ

i

deg


95

Note que la radiación solar es simétrica alrededor del medio día como se planteo en el ejemplo debido a que la superficie está orientada hacia el sur. Podemos ver que el ángulo de inclinación óptimo, es aproximadamente de 60 deg para esta fecha particular del año. El ángulo simétrico óptimo es más elevado para el invierno cuando la altitud solar decrece, cerca al 21 de Diciembre (en el hemisferio norte). Bibliografía


Duffie & Beckman. 1980. Solar Engineering of Thermal Processes. J. Wiley & Sons.

Hottel, H. C. 1976. "A Simple Model for Estimating the Transmittance of Direct Solar Radiation Through Clear Atmospheres," Solar Energy, Vol. 18, No. 129.

Liu, B. and R. Jordan. 1960. "The Interrelationship and Characteristic Distribution of Direct, Diffuse, and Total Solar Radiation," Solar Energy, Vol. 4, pp.1-19.

Sección 7.2 Propiedades solares en ventanas La transmitancia, reflectancia y absorbancia en los cristales de las ventanas y otros

componentes transparentes de construcción como pueden ser los colectores solares necesitan determinarse, para calcular la cantidad de radiación solar que estos transmiten.

Primero se determinan las propiedades solares de una capa de cristal con un espesor L, su índice de refracción n y un coeficiente de extinción k. Presentados en la siguiente figura:

L

(1- r) a I

IrI

L´

I

Cristal

transparente

Indice de

refracción n

Coeficiente de

extinsión k

Ley de Snell

sin '( )sin ( )

n = ángulo de incidencia Donde el componente de reflectividad (r) es la fracción de cada componente de los rayos reflejados. Y se determina por las relaciones de Fresnel de la teoría electromagnética:

r1

2

sin '

sin '

2

tan '

tan '

2

L' L

1sin ( )

n

2

Índice de refracción del cristal:

n = 1.51 - 1.53


96

Coeficientes de extinción en diferentes tipos de cristales: 1. Cristales de doble resistencia calidad, A k = 7.76/m

2. Placa de cristal limpio, k = 6.96/m

3. Cristales Absorbentes al calor, k = 132/m

La intensidad de la radiación I(x) después de que ha atravesado la distancia x, en el material, decae en intensidad como una función exponencial, en x = 0, Io y con el coeficiente

de extinción, k:

I x( ) Io exp k x( ) donde a exp k L'( )

Por tanto, después de pasar a través de la distancia L' como se muestra en la figura, la intensidad es igual a:

I L'( ) Io a donde a exp k L'( )

La cantidad (a = exp (k L')) es la fracción de la radiación disponible después de cada reflexión en un cristal reflejante. Por las técnicas de trazo, en rayos simples, puede demostrarse que:

1 r( )2

a r2

1 r( )2

a3

r4

1 r( ) a5

.. Esta es una serie geométrica convergente. Por lo tanto, la transmitancia efectiva del reflejo entre los medios es:

1 r( )

2a

1 r2

a2

De manera similar, la reflectancia efectiva del reflejo es:

rr 1 r( )

2 a

2

1 r2

a2

La absorbancia se determina por relaciones de conservación en donde:

1 Note que las propiedades anteriores están en función del ángulo de incidencia y de la longitud de onda. Hay un promedio típico recomendado sobre dos rangos de longitudes de onda:

1. solar: 0.3 - 3 micrómetros

2. onda larga de: 3 - 30 micrómetros

Las propiedades promedio se determinan como un promedio estimado de sus valores espectrales:

s0.3 m

3 m

I

d

0.3 m

3 m

I

d

(Ver también la sección 6.2.)

Para convertir la energía solar en calor, se requiere una alta absorbancia solar y una

emisividad de baja longitud onda. Los recubrimientos en las superficies seleccionadas pueden emplearse para alcanzar estas características.

Ventanas con cristales espejos de reflejo – doble


97

Las ventanas con espejos de cristales de reflejo doble, requieren que la transmitancia

efectiva te, sea normal dando i, 2, o, y 3, para los dos medios reflejantes. La

transmitancia efectiva se presenta por la ecuación y presentada en el diagrama de la red térmica:

e

i o

1 2 3

Ti TiTo

hiho

To

hi ho

Tgi Tgo

hc

hr

Cavidad

Cristal i Cristal o

Superficie

4 3 2 1

Red térmica

Itoi It

En los cálculos de transmisión de calor, también se requiere la absorbancia efectiva de cada medio reflejante:

o 1 2

o 3

1 2 3

i 3

o

1 2 3

o absorbancia del cristal externo

i absorbancia del cristal interno

2 absorbancia del cristal externo por la radiación solar incidente en la parte de la superficie interna (2)

3 absorbancia del cristal i para la radiación solara incidente en la superficie (3)

j reflectancia en la superficie j

La radiación solar total solar absorbida en el cristal externo es: Iao o It

La radiación solar total absorbida en el cristal interno es: Iai i It

Note que para superficies sin recubrimiento la reflectancia direccional (y la absorbancia) de las superficies reflejantes son iguales (Note que, que el componente difuso I puede multiplicarse por la absorbancia difusa para cálculos de mayor exactitud). Parte de la radiación solar absorbida en el medio reflejante se transmite por convección o radiación de calor por ondas largas dentro del cuarto. Un balance de energía en los medios reflejantes demuestra que el flujo total de radiación como el del calor interno del cuarto (después de la absorción por los medio reflejantes) es:

qsaU

ho

o It U1

ho

1

hg

i It

Donde

U1

1

ho

1

hg

1

hi

Valor de U en una ventana


98

ho = coeficiente de película externo

hg = coeficiente de transferencia de calor en una cavidad

hg hc hr

hi = coeficiente de película interno El primer término de qsa es para un medio reflejante simple y reflejante (externo). La cantidad

total de radiación solar que entra al cuarto es igual a la porción de radiación transmitida más qsa. El ASHRAE Handbook of Fundamentals (ASHRAE, 1989), define el parámetro

conocido como, factor de ganancia solar (SHGF), el cual es igual a la radiación solar transmitida más el flujo que entra por la radiación solar absorbida en un cristal de doble resistencia (DSA), el cristal es transparente. Las ventanas con doble cristal reflejante y de otros tipos de relacionan por este factor y del empleo de un coeficiente de sombreado (SC) se defininen como: SC = SHGF (de ventana) /DSA (de radiación absorbida por el cristal) Los valores SHGF pueden determinarse directamente empleando las ecuaciones presentadas anteriormente o con procedimientos similares a los de la sección 7.3. Ejemplo: con un medio reflejante simple: Determine la transmitancia, reflectancia y la absorbancia como una función del ángulo de incidencia y de kL para una capa del cristal simple. Parámetros de control:

i 1 2 15 n 1.53

kLi 0.01 0.01 i kL productos

j 0 1 17

j 5 j 0.01( ) deg Ángulo de incidencia

' j asinsin j

n

rj1

2

sin j ' j sin j ' j

2tan j ' j tan j ' j

2

ai j expkLi

1sin j

n

2

i j

1 rj 2 ai j

1 rj 2 ai j 2

i j rj

rj 1 rj 2 ai j 2

1 rj 2 ai j 2

i j 1 i j i j


99

0 30 60 900

0.25

0.5

0.75

1

1 j

3 j

15 j

j

deg

0 30 60 900

0.5

1

1 j

3 j

15 j

j

deg

Ejemplo: ventana con cristal doble reflejante: Analice una ventana que consiste de dos cristales reflejantes de 3 mm. de espesor, con kL = 0.040 (correspondiente a i = 3 del ejemplo anterior). Determine la transmitancia efectiva de la ventana y la absorbancia efectiva, del encristalado de manera interna y externa con un empaque de aire.

ej

3 j 2

1 3 j 2

ij

3 j

3 j

1 3 j 2

oj

3 j 3 j

3 j 3 j

1 3 j 2

Transmitancia como una función del ángulo de incidencia

0 30 60 900

0.25

0.5

0.75

1

double-glazed

single-glazing

double-glazed

single-glazing

ej

3 j

j

deg


100

Absorbancia como una función del ángulo de incidencia

0 30 60 900.02

0.035

0.05

0.065

0.08

outer glazing

inner-glazing

outer glazing

inner-glazing

oj

ij

j

deg

Bibliografía

ASHRAE, 1989. ASHRAE Handbook of Fundamentals. Atlanta, GA.

Duffie & Beckman, 1980, "Solar Engineering of Thermal Processes," J. Wiley & Sons.

Parmelee, G. V., 1945, “Transmission of Solar Radiation through Flat Glass,” ASHVE Trans., Vol. 51, pp. 317-50.

Threlkeld J. L., 1970, "Thermal Environmental Engineering, 2nd.Ed” Prentice Hall, New

Jersey.

Sección 7.3 Radiación solar transmitida a través de ventanas Ya se encontró cómo calcular la radiación solar incidente sobre superficies inclinadas. Y como la transmitancía en una ventana se determina en función del tiempo. Ahora estos métodos se emplean entre si para calcular la radiación solar total e instantánea diariamente que se transmite a través de ventanas con un solo cristal reflejarte o con dos cristales reflejantes dobles.

Considere la localización con los siguientes datos: L 35 deg Latitud 0 deg Ángulo del acimut a la superficie 90 deg Ángulo de inclinación justa

n 21 Número del día del año g 0.2

Reluctancia en el piso

Ejecución de los primeros cálculos por la geometría solar: Ángulo de inclinación:

23.45deg sin 360284 n

365 deg

20.138 deg Tiempo a la puesta del sol:

ts acos tan L( ) tan hr

15 deg

ts 5.008hr

Determine el tiempo de de la puesta del sol sobre la superficie terrestre:


101

tss min ts acos tan L tan hr

15 deg

Seleccione intervalos de tiempo para los cálculos:

tss 5.008hr N 8

ttss

N

Orden del tiempo de medio día a la puesta del sol y ángulo horario, h:

j 0 1 N tj

j t 1 min

hj

15deg

hr t

j

Altitud solar:

j asin cos L( ) cos cos hj sin L( ) sin

Azimut solar:

j acossin j sin L( ) sin

cos j cos L( )

hj

hj

Ángulo de incidencia:

cosj cos j cos j sin sin j cos

j acoscosj cosj

2

Cálculo de la transmitancia de la atmósfera y en un cristal esmaltado: Cálculo de la transmitancia de un rayo atmosférico:

A 0.5 Altitud (Km)

ao 1.03 0.4237 0.00821 6 A( )2

a1 1.01 0.5055 0.00595 6.5 A( )[ ]2

k 1.0 0.2711 0.01858 2.5 A( )[ ]2

bj

ao a1 expk

sin j

b

N0.0

Determine las propiedades del esmaltado como una función del tiempo como una función a intervalos de tiempo j: Propiedades del cristal: kL 0.03 Coeficiente de extinción de los tiempos del esmaltado con su espesor

ng 1.53 Índice de refracción

Ángulo de refracción y componente de reflectividad:

' j asinsin j

ng

rj

1

2

sin j ' j sin j ' j

2tan j ' j tan j ' j

2

Transmitancia de rayo de luz, , reflactáncia, y absorpbancia, , del esmaltado:


102

aj

expkL

1sin j

ng

2

j

1 rj

2

aj

1 rj

2a

j 2

j rj

rj

1 rj

2

aj

2

1 rj

2a

j 2

s

j1 j j

Propiedades solares de un solo esmaltado:

deg

34.862

35.542

37.5

40.533

44.392

48.844

53.693

58.785

64

Cálculo de la radiación solar transmitida (G) en un cristal de un solo esmaltado: Radiación solar normal extraterreno:

Ionn

1353watt

m2

1 0.033cos 360n

365 deg

Determine la radiación solar transmitida por los rayos solares:

Ibj

Ionnb

j cos j

Gbj

Ibjj

Determine la radiación total transmitida diariamente por los rayos solares:

MJ 106

joule l 0 1 N 1 l 0 1 N 1

Qsb 2

l

Gbl

Gbl 1

2t

Qsb 12.434MJ m2

En los cálculos de como la radiación solar difusa se asume que cuando se transmite por una ventana, disminuye la transmitancia y es igual a la transmitancia de los rayos solares con un ángulo de incidencia de 60 grados. Por lo tanto en este caso: Para superficies que no están hacia la irradiación solar, esta no es simétrica, cerca del medio día. Por lo tanto esta debe de ser determinada e integrada del amanecer al anochecer:

d 7

0 1.7 3.4 5.10

0.33

0.67

1

0.881

0.032

j

j

.sj

5.10 t j

hr


103

Idsj

Ionn

sin j 0.2710 0.2939bj

1 cos

2

Radiación difusa instantánea del cielo

Idgj

Ionn

sin j 0.2710 0.2939bj

bj

g

1 cos

2

Reflejo del suelo

Gdj

d Idsj

Idgj

Irradiación transmitida difusa (instantáneamente) y Radiación difusa solar transmitida diariamente:

Qsd 2

l

Gdl

Gdl 1

2t

Qsd 1.969MJ m2

Los rayos solares instantáneos y difusos transmitidos por la radiación solar para un solo cristal esmaltado:

0 1 2 3 4 50

120

240

360

480

600

Gbj

Gdj

t j

hr

Radiación solar total transmitida diariamente es:

Qs Qsb Qsd

Qs 14.403MJ m2

Cálculos de la radiación solar transmitida para una ventana con doble cristal esmaltado: Ejemplo: Analice una ventana que consiste de dos cristales esmaltados cada uno es idéntico a los analizados anteriormente. Determine la transmitancia efectiva de la ventana y la absorbancia efectiva de la parte interna y externa de los esmaltes como una función del tiempo tj.

ej

j 2

1 j 2

ij

sj

j

1 j 2

oj

sj

sj

j j

1 j 2


104

Transmitancía como una función del tiempo:

0 1 2 3 40.6

0.7

0.8

double-glazed

single-glazing

double-glazed

single-glazing

ej

j

t j

hr

Absorbancia como una función del ángulo de la radiación solar:

Determine la

radiación solar de los rayos transmitidos:

G2bj

Ionnb

j cos j e

j

Determine la radiación total transmitida de los rayos solares diariamente:

MJ 106

joule l 0 1 N 1

Q2sb 2

l

G2bl

G2bl 1

2t

Q2sb 10.894MJ m

2

Transmitancia difusa para el doble desmatado:

ed e7

G2dj

ed Idsj

Idgj

Irradiación difusa transmitida (instánea)

Radiación solar difusa transmitida diariamente:

34.86 39.86 44.86 49.86 54.86 59.86 64.860.025

0.03

0.035

0.04

0.045

outer glazing

inner-glazing

outer glazing

inner-glazing

oj

ij

j

deg


105

Q2sd 2

l

G2dl

G2dl 1

2t

Q2sd 1.63MJ m

2

Radiación solar transmitida difusa e instantáneamente para cristales de doble esmaltado.

0 1 2 3 4 50

120

240

360

480

600

G2bj

G2dj

t j

hr

Radiación solar total transmitida diariamente:

Q2s Q2sb Q2sd

Q2s 12.523MJ m2

Radiación absorbida en la parte externa e interna del esmaltado:

Gaoj

oj

Ibj

o3

Idsj

Idgj

Gaij

ij

Ibj

i3

Idsj

Idgj

Irradiación solar absorbida (wats/metro cuadrado).

0 1 2 3 4 50

10

20

30

Gaoj

Gaij

t j

hr

Qao 2

l

Gaol

Gaol 1

2t

Qai 2

l

Gail

Gail 1

2t

Qao 0.599MJ m2

Cantidades totales absorbidas diariamente en cada cristal.

Qai 0.483MJ m2


106

Nota: Para superficies cuyo frente no es hacia el sur, la irradiación solar, no es simétrica cerca del medio día. Por lo tanto, estas deben de ser determinadas e integrarse del amanecer al anochecer.

Sección 7.4 Cálculos del sombreado solar en el diseño de pretiles Las proyecciones arquitectónicas, conocidas como pretil cuando son horizontales y se encuentran sobre perfiles verticales finos, se emplean normalmente en el recubrimiento de las construcciones para prever o controlar la sobre radiación sobre una superficie vertical (especialmente en ventanas). El dispositivo de sombreado se diseña normalmente para excluir la radiación solar del verano y también contribuye a la reducción de las cargas de enfriamiento y evita la salida de calor, en invierno, contribuye a tener un mejor medio ambiente dentro de las puertas de un cuarto, dentro de las puertas de un cuarto y a reducir los requisitos de calentamiento. Aquí se verá una ventana de un (ancho c y una altura a), atrás del frente de la superficie de una pared a una distancia b, como se muestra en el siguiente esquema. El objetivo del diseño del pretil, que tiene una longitud igual a c + 2g y un ancho f. (Note que el pretil se localiza a cierta distancia y arriba de la ventana). La proyección de los rayos solares del diagrama muestran las dimensiones mínimas para f y para g, para dar una sombra completa sobre la ventana, dado un ángulo solar de

altitud igual a , el ángulo sobre la superficie del azimut y el ángulo de la superficie del

azimut es . El punto E es en el eje externo máximo del pretil, que se proyectan sobre el punto o, en el plano de la ventana.

Ejemplo: Parámetros de control: L 42 deg De latitud La ventana vertical da su cara hacia el sur:

0 deg 90 deg La fecha de cálculo es el 15 de Abril:

n 31 28 31 15 n 105 El tiempo solar es a las 9:00 A.M. Por lo tanto, su ángulo horario es:


107

h 9 12( ) 15 deg h 45 deg

23.45deg sin 360284 n

365 deg

Declinación solar

asin cos L( ) cos cos h( ) sin L( ) sin Altitud solar

9.415deg 38.893deg

acossin sin L( ) sin

cos cos L( )

h

h

Azimut solar

63.671 deg 63.671 deg Superficie solar del azimut

El perfil del ángulo d, se presenta como:

d atantan

cos

d 61.197deg La geometría de la ventana se presenta en (metros):

a 1.5 c 2.0 b 0.2 e 0.32 Ahora se determinan las dimensiones de f y g para el pretil de manera que la ventana este completamente sombreada entre las 9 A.M. y las 3 P.M. En el tiempo solar del 15 de abril al 29 de agosto. Note que el periodo en cuestión es simétrico cerca del 21 de junio. Por lo tanto, los ángulos solares para los dos días son los mismos para los tiempos solares propuestos.

fa e

tan d( )b g f tan

f 0.801 g 1.618 Dimensiones del perfil

c 2 g 5.236 Longitud

f 0.801 Espesor

La ventana estará continuamente sombreada entre las 9 A.M. y las 3 P.M. al tiempo solar del 15 de abril, debido a que la altitud solar es la más alta y el azimut solar es el más pequeño de los valores anteriormente encontrados. La ventana también estará sombreada durante las fechas del 15 de abril al 15 de agosto, debido a que la altitud solar llega a ser la más alta durante este periodo. Ahora veremos cuando la ventana está iluminada al medio día del 22 de diciembre.

Medio día solar: h 0

Superficie vertical orientada al sur: 0 n 356

23.45deg sin 360284 n

365 deg

asin cos L( ) cos cos h( )

sin L( ) sin


108

23.445 deg 24.555deg En este caso

d Las proyecciones del eje del pretil sobre el plano de la ventana sale una distancia a' desde el tope de la ventana y es dada por:

a' f b( ) tan d( ) e a' 0.137

Por lo tanto el porcentaje de iluminación es:

a a'

a90.853%

Para la parte posterior de la ventana a una distancia b de la superficie de la pared, pero sin pretil, se puede encotrar que la fracción de iluminación a través de la ventana es:

Fs 1b

atan d( )

b

ctan

b2

a ctan d( ) tan

Fs 0.939

(Note que en este caso los dos últimos términos son cero) Por lo tanto el, 93.9% de la ventana está iluminada.


109

Capitulo 8

Psicometría y confort térmico La Psicometría es el estudio y medida de las propiedades de la humedad en el aire, como en una mezcla de aire seco y vapor de agua. La cantidad de vapor de agua que puede contener el aire depende de la temperatura y de la presión; esta cantidad es máxima en la saturación, que es un estado de equilibrio entre la humedad del aire y la fase del agua condensada. Los cálculos de las propiedades del aire húmedo se simplifican por el hecho que la humedad del aire, debajo de las 3 atmósferas, obedece a la ley de los gases perfectos con suficiente exactitud para un análisis de ingeniería. La ley de Gibbs-Dalton de una mezcla de gases perfectos. La presión atmosférica total, p que es igual a la suma de las presiones parciales del aire seco y del vapor de agua. Los conceptos básicos para los cálculos de las propiedades de una mezcla de aire húmedo se verán en la sección 8.1, presentándose tres casos comunes de cálculos psicrométricos, en la sección 8.2; se presentan tres técnicas que pueden emplearse directamente para determinar la humedad del aire sin emplear la carta psicrométrica. La sección 8.3 analiza el confort térmico y el modelo Fanger's PMV.

Sección 8.1. Psicometría y propiedades termodinámicas del aire húmedo La Psicometría es el estudio y medida de las propiedades de la humedad del aire. La humedad en el aire es una mezcla de aire seco y vapor del agua. La cantidad de vapor del agua que puede contener el aire depende de la temperatura y de la presión; su cantidad es máxima en la saturación, en un estado de equilibrio entre la humedad del aire y la fase de agua condensada (líquido o hielo). La humedad del aire, abajo de 3 atmósferas, obedece a la ley de los gases perfectos con suficiente exactitud para los cálculos en ingeniería. De ahí que la ley de de Gibbs-Dalton para una mezcla de gases perfectos se cumple y la presión atmosférica total, p es igual a la suma de las presiones parciales de los componentes del aire:

p pa pv (1)

Donde, pa = presión del aire seco y pv = presión del vapor de agua.

Definiciones Relación de humedad W (también llamada humedad específica), es la relación de la masa del vapor de agua mv a la masa del aire seco ma

Wmv

ma ó

Wva

vv (2)

Donde v es el volumen especifico del agua o del aire. Humedad relativa RH, es la relación de la fracción mol del vapor de agua xv, en una mezcla a

la fracción mol xs ,del vapor en la mezcla saturada a la misma temperatura T y presión p.

RHxv

xs

T p y

xv

pv

p

xs

ps

p (3) Por lo tanto

RHpv

ps

100%

(4)

Grado de saturación es igual a la relación de la humedad del aire, dividido por la relación de la humedad de la mezcla saturada a una temperatura y presión definidas.

W

Ws

T P (5)


110

Punto de rocío Tdp es la temperatura a la cual el aire insaturado puede enfriarse a una

presión constante, para que pase a saturarse (o para que empiece su condensación). Note que a través de este proceso la relación de humedad es constante.

Ws p Tdp W p T( ) (6)

La temperatura del punto de rocío puede determinarse como una función de la presión parcial del agua y del vapor del agua con las siguientes correlaciones del (ASHRAE 1989), en donde la presión de vapor se presenta en kPa. En los rangos de los puntos de rocío de 0a 93ºC (degC):

Tdp 6.54 14.526ln pv .7389ln pv 2

.09486ln pv 3

.4569 pv

.1984

(6a) Para puntos de rocío abajo de 0ºC, degC:

Tdp 6.09 12.608ln pv 0.4959ln pv 2

(6b)

Relaciones entre la humedad relativa (RH) y una humedad específica W:

De la ley de los gases perfectos

mv

pv V

Rv T

pv V Mv

R T Y

ma

pa V Ma

R T (7) En donde

R 8.314joule

mole K

Constante universal de los gases

V = volumen, m3 T = temperatura, K

Ma 0.02896kg

mole

Masas moleculares

Mv 0.01802kg

mole

RaR

Ma

RvR

Mv

Ra 287.086

joule

kg K

Por lo tanto cuando

Wmv

ma

W 0.622pv

pa

(8) Si

pa p pv

W 0.622pv

p pv

(9) Substituyendo pv de la ecuación (8) en RH

RHpv

ps

Mv

Ma

0.62224


111

Se obtiene

RHW pa

0.622 ps

La densidad de la mezcla de aire seco y vapor, se presenta como la suma de sus densidades respectivas. El volumen específico, v de la mezcla de aire - vapor se expresa por unidad de masa de aire seco como: La densidad de la mezcla de aire seco y vapor, se presenta como la suma de sus densidades respectivas. El volumen específico, v de la mezcla de aire - vapor se expresa por unidad de masa de aire seco como:

vRa T

pa

Ra T

p pv (10)

Entalpía del aire húmedo: es la suma de las entalpías del aire seco y del vapor y se refiere a la unidad del aire seco, debido a que la masa del vapor de agua puede cambiar:

h ha W hv (11)

degC 1 K 1 kJ joule 1000 Asumiendo la conducta de un gas perfecto:

ha cpa T Tref ha Tref

(12)

hv hg cpv T Tref

En donde

cpa 1kJ

kg degC

Capacidad calorífica específica del aire a presión constante

cpv 1.805kJ

kg degC

Capacidad calorífica específica del vapor a presión constante Tref 0 degC

Temperatura de referencia (note que la energía almacenada es siempre relativa a una temperatura de referencia)

hg 2501kJ

kg

Entalpía del vapor saturado a Tref

Por lo tanto sustituyendo la ecuación (12) en la ecuación (11), se obtiene

h T W 2501 1.805T( )[ ]kJ

kg

(13) T = temperatura, degC, Kg. es peso del aire seco

Termodinámica de la temperatura de bulbo húmedo, Twb

La temperatura a la cual el agua, se evapora en el aire, puede realizarse al aire a la saturación adiabáticamente, a la misma temperatura y presión constante. Durante este proceso, el cambio de humedad se incrementa de un valor inicial W a el valor W's

correspondiente a la Temperatura de bulbo - húmedo; la entalpía se incrementa desde el valor inicial h a hs. La masa de agua agregada por Kg. de aire seco es (W's - W), el cual agrega

energía a la humedad del Aire igual a (W's - W) ·h'w. Por lo que con un balance de energía se

obtiene:

h W's Twb W h'w Twb hs Twb (14)

La ecuación anterior define la termodinámica de la temperatura de punto - húmedo. Un psicrómetro, consiste de dos termómetros, uno recubierto con una tela húmeda. Cuando el bulbo húmedo, está expuesto a una corriente de aire, el agua se evapora y entonces se alcanza la temperatura de equilibrio, llamada temperatura de bulbo-húmedo, la cual es cercana


112

a Twb. Substituyendo las ecuaciones (13) en (14) se obtiene:

h'w 4.186TkJ

kg

Relación aproximada para la entalpía específica del agua

y resolviendo para W se obtiene

W2501 2.381Twb W's Tdb Twb

2501 1.805Tdb 4.186Twb

Esta ecuación se emplea de una manera iterativa para calcular la temperatura de bulbo- húmedo. Presión de saturación del vapor de agua ps Para determinar las propiedades del aire húmedo, se requiere la presión de saturación del vapor de agua. Estas pueden obtenerse de tablas o más fácilmente como las Presentadas en (ASHRAE 1989):

Suponiendo que

T 20 273.15( ) K La presión de saturación del vapor del agua entre (0 a 200 ºC, degC):

a 5.8002206 103

b 1.3914993

b 1.3914993 d 4.1764768105

e 1.4452093 108

f 6.5459673

ps expa

Tb c T d T

2 e T

3 f ln T( )

Pa

ps 2.339 103

Pa Compare con 2338.9 Pa de tablas

La presión de saturación para el hielo entre un rango de temperaturas entre -100a 0ºC, o degC se calcula como sigue:

Por ejemplo para: Parámetros de control:

T 273.15 10( ) K Constantes de la ecuación:

g 5.6745359 103

h 6.3925247 k 9.677843 103

l 6.22115701107

ll 2.0747825109

n 9.484024 1013

p 4.1635019

psice expg

Th k T l T

2 ll T

3 n T

4 p ln T( )

Pa

psice 259.902Pa Compárelos con 259.91 Pa de Tablas

Bibliografía ASHRAE. 1989. ASHRAE Handbook of Fundamentals. Atlanta, GA.


113

Sección 8.2. Propiedades del aire húmedo en tres casos Carta psicrométrica Las propiedades del aire húmedo como la entalpía y volumen específico pueden determinarse con las ecuaciones de la sección 8.1 o bien empleando la carta psicrométrica. La principal limitación de la gráfica es el hecho de su exactitud y que se realizó a una presión específica.

v = volumen específico

Twb =

T bulbo húmedo

h = entalpía

W (relación de humedad

y presión

de vapor, constante)

Twb o hv

T (temperatura de bulbo seco)

Humedad relativa RH

Temperatura de punto de

rocío RH

Esquema

de la carta psicrométrica

RH = 100 % de humedad

Normalmente el problema para determinar las propiedades del aire húmedo, pueden reducirse a tres casos. En todos ellos, hay dos parámetros conocidos: como son la presión (total) y la temperatura de bulbo seco; Por lo tanto se requiere de un tercer parámetro para definir el estado de humedad del aire. Este tercer parámetro pede ser la humedad relativa, el punto de rocío o la temperatura de bulbo húmedo. Abajo se presentan ejemplos para los tres casos.

Caso 1: Datos, T, p, RH (humedad relativa)

degC 1 kJ 1000 joule K 1 Determine las diversas propiedades del aire húmedo con los siguientes parámetros:

p 1 atm T 20 degC RH 0.45 Primero se calcula la presión del vapor saturado:

T 20 273.15 En donde para encontrar la presión de saturación del aire en Pascal aire ps, se emplean los siguientes parámetros

a 5.8002206 103

b 1.3914993 c 4.8640239 102

d 4.1764768105

e 1.4452093 108

f 6.5459673

ps expa

Tb c T d T

2 e T

3 f ln T( )

Pa

Presión de vapor del agua y la presión del aire son:

pv RH ps

pv 1.052 103

Pa

pa p pv p 1.013 10

5 Pa

Humedad específica:

ps 2.339 103

Pa

pa 1.003 105

Pa


114

W 0.622

pv

pa

W 6.529 103

Las constantes Ra y Rv del aire y del vapor son:

Ra 287.08joule

kg K

Rv 461.38joule

kg K

Densidad del aire:

a

pa

Ra T

a 1.191kg

m3

Densidad del vapor:

v

pv

Rv T

v 7.781 103

kg

m3

Densidad de la mezcla:

a v

1.199kg

m3

Volumen específico:

v1

a

v 0.839m

3

kg

(Por Kg. de aire seco) Entalpía:

T 20 degC

h T W 2501 1.805T( )[ ]kJ

kg

h 36.564kJ

kg

(Note que los cálculos de h, T se realizan no se realizan en º C, sino en degC)

La temperatura de bulbo húmedo (de la solución requiere de un sistema de ecuaciones):

p 101325 (Las unidades están en Pa)

Twb 14 degC (Valor propuesto)

T2 273.15 T( ) K

ps2 2000 (Las unidades están en Pa)

Giv en

T2 Twb 273.15

ps2 expa

T2

b c T2 d T22

e T23

f ln T2

W

2501 2.381Twb 0.622ps2

p ps2 T Twb

2501 1.805T 4.186Twb


115

Find Twb T2 ps2

13.062

286.212

1.504 103

Por lo tanto

Twb 13.06degC

p'pv

1000 Pa

La presión esta en kPa pero sin unidades para los cálculos siguientes:

Tdp 6.54 14.526ln p'( ) .7389 ln p'( )2

.09486ln p'( )3

.4569p'.1984

Caso 2: Dado T, p, Tdp (temperatura de punto de rocío)

Determine diversas propiedades del aire húmedo dados los siguientes datos:

p 1 atm T 20 degC Tdp 7.746degC

Primero se calculan las presiones del vapor saturado a las dos temperaturas:

T1 T 273.15

T2 Tdp 273.15

ps1 expa

T1

b c T1 d T12

e T13

f ln T1

Pa

ps2 expa

T2

b c T2 d T22

e T23

f ln T2

Pa

ps1 2.339 103

Pa

ps2 1.054 103

Pa

Note que

pv ps2 (La presión del vapor de saturación es igual a la presión de la temperatura del punto de

rocío)

W0.622pv

p pv

W 6.541 103

Relación de humedad

Ws

0.622ps1

p ps1

Ws 0.015 Relación de humedad de saturación a la temperatura de bulbo seco

RHpv

ps1

RH 0.451 Humedad relativa

h T W 2501 1.805T( )[ ]kJ

kg

h 36.595

kJ

kg

Entalpía

vRa T1

p pv

v 0.839

m3

kg

Volumen especifico por Kg. de aire seco Temperatura de bulbo húmedo:

p 101325 Pa ps2 2000

Pa

Guess Twb 14 degC

T2 273.15 T( ) K

Tdp 7.746degC


116

Given T2 Twb 273.15

ps2 expa

T2

b c T2 d T22

e T23

f ln T2

W

2501 2.381Twb 0.622ps2

p ps2 T Twb

2501 1.805T 4.186Twb

Find Twb T2 ps2

13.074

286.224

1.505 103

Por lo tanto

Twb 13.06degC

Caso 3: Dados T, p, Twb (temperatura de bulbo húmedo)

Determine las diversas propiedades de la humedad del aire dados los datos siguientes:

p 1 atm T 20 degC Twb 13.06degC

Primero calcule las presiones de vapor saturadas a las dos temperaturas:

T1 T 273.15

T2 Twb 273.15

ps1 expa

T1

b c T1 d T12

e T13

f ln T1

Pa

ps2 expa

T2

b c T2 d T22

e T23

f ln T2

Pa

Ws2

0.622ps2

p ps2

Ws2 9.37 10

3

Relación de humedad de saturación a la

Ws

0.622ps1

p ps1

Ws 0.015

Relación de humedad de saturación a la temperatura de bulbo seco

W2501 2.381Twb Ws2 T Twb

2501 1.805T 4.186Twb

pv pW

0.622 W

W 6.527 103

Considerando la relación de humedad y presión parcial de vapor en una mezcla de aire húmedo

pv 1.052 103

Pa

RHpv

ps1

RH 0.45 Humedad relativa

h T W 2501 1.805T( )[ ]kJ

kg

h 36.559

kJ

kg

ps1 2.339 103

Pa ps2 1.504 103

Pa


117

vRa T1

p pv

v 0.839

m3

kg

Volumen especifico por Kg. de aire seco

p'pv

1000 Pa

Abajo se presenta el cálculo pero sin unidades de cálculo, la presión esta en kPa

Tdp 6.54 14.526ln p'( ) .7389 ln p'( )2

.09486ln p'( )3

.4569p'.1984

Tdp 7.742degC

Sección 8.3. Cálculos para el confort térmico Índices térmicos Una persona siente confort térmico como una función de la temperatura del aire Tai, la

temperatura de la radiación media Tmr, la localización en donde se encuentre, el movimiento

del aire, la humedad y también a factores personales como su vestimenta y su actividad. Se emplean, varios índices del medio ambiente, como una medida al confort térmico, incluyendo una temperatura equivalente, la temperatura efectiva, la temperatura de la humedad operativa, la temperatura global relativa al lugar como pudieran ser (Londres, Moscú y otros lugares). Como temperatura resultante. Los diversos parámetros del medio ambiente que afectan al confort térmico que pueden medirse directamente son: 1. Temperatura del aire Tair

2. Temperatura de bulbo húmedo Twb

3. Temperatura de bulbo de rocío Tdp

4. Presión de vapor - agua pv

5. Presión atmosférica total p 6. Humedad relativa RH 7. Humedad especifica W 8. Velocidad del aire V 9. Temperatura radiante media Tmr.

Las temperaturas de las superficies individuales normalmente se combinan en la Tmr También la temperatura global puede medirse directamente y se acerca a la temperatura de operación Top.

La temperación de operación es el promedio de las temperaturas radiante, media y del aire, medidas con sus respectivos coeficientes en la transferencia de calor.

Top

hc Tai hr Tmr

hc hr

La temperatura radiante media, es una variable muy importante en todos los cálculos al confort térmico. Esta es la temperatura uniforme, como en un recinto negro imaginario en el cual la transferencia de calor radiante desde una persona es igual a la transferencia de calor radiante al recinto presente. Tmr puede estimarse de las medidas de las temperaturas

globales, del aire y de la velocidad del aire. Tmr, también puede calcularse de la medida de las

temperaturas de la superficie interna en cada cuarto. Ya que las superficies de una construcción tienen una irradianción de longitudes de onda largas, la siguiente aproximación a un cuerpo negro para Tmr , es satisfactoria:

Tmr4

i

Ti

4F

p i

Donde i = 1... . . N (N superficies del cuarto) Ti = temperatura de la superficie i, k


118

Fp-i = factor vista entre la persona y la superficie i

Si existen pequeñas diferencias de temperatura entre las superficies de los cuartos, entonces la ecuación anterior puede expresarse en forma lineal como:

Tmr

i

Ti Fp i

En un cuarto rectangular, una buena aproximación para el cálculo es empleando los factores de vista, al modelar a la persona como una esfera que simplifica los cálculos (esta puede ser razonable y mejor aproximada cuando la persona se encuentra sentada). La temperatura radiante media también puede calcularse como la temperatura radiante plana en las seis direcciones planteadas (ASHRAE 1989). Donde i = 1... . . N (N superficies del cuarto) Ti = temperatura de la superficie i, k

Fp-i = factor vista entre la persona y la superficie i

Si existen pequeñas diferencias de temperatura entre las superficies de los cuartos, entonces la ecuación anterior puede expresarse en forma lineal:

Tmr

i

Ti Fp i

Modelo PMV (Promedio del valor predicho) Un modelo en estado estacionario se desarrolló por Fanger (ASHRAE 1989) asumiendo que el cuerpo se encuentra en equilibrio térmico con su almacenamiento de calor que es insignificante. Velocidad de generación de calor = velocidad de su pérdida de calor

M W Qsk Qres

M W C R Esk Qres (1)

Donde:

M = velocidad de producción de energía metabólica, Watt/m2

W = velocidad de trabajo mecánico, Watt/m2 Qres = velocidad total por respiración, pérdida de calor

Qsk = velocidad total de pérdida de calor por la piel

C = velocidad de la pérdida de calor por convección R = pérdida de calor por radiación por la piel Esk = velocidad total de evaporación de las pérdidas de calor en la piel

Fanger desarrollo el modelo PMV, para un confort térmico por la correlación de los datos de confort a las variables físicas y biológicas. A un nivel dado de actividad metabólica M, cuando el cuerpo, no se encuentra tan lejano a la neutralidad térmica, a la temperatura media de la piel Tsk y la velocidad de sudoración Ersw , que son los únicos parámetros físico

biológicos que se afectan en un balance de calor del estado de equilibrio. Fanger encontró la siguiente correlación al medio ambiente y de las variables personales que provocan una sensación neutra (cl, indica el recubrimiento térmico).

M W( ) 3.96108

fcl

Tcl 273

4Tmr 273

4

fcl hc Tcl Tai C1 C2

(2) Donde:

C1 3.05 5.73 0.007 M W( ) pv C2 0.42 M W( ) 58.15[ ]

0.0173M 5.87 pv

0.0014M 34 Tai

Tcl 35.7 0.0275 M W( ) 0.155 Icl M W( ) C1 C2[ ]


119

hc max2.38 Tcl Tai

0.25

12.1 V

Coeficiente de transferencia de calor

convectivo

fcl 1.0 0.2 Icl

Si Icl 0.5

clo Factor de recubrimiento por área

fcl 1.05 0.1 Icl Si

Icl 0.5 Icl 0.5

clo La ecuación (2) se expande para incluir el rango de sensaciones térmicas, empleando los Índices de los valores promedio previstos, (PMV). El índice PMV predice la respuesta media de un extenso grupo de personas, de acuerdo a la siguiente escala térmica ASHRAE:

+3 muy caliente +2 caliente +1 ligeramente caliente 0 neutro -1 ligeramente frío -2 frío -3 muy frió Fanger relacionó el PMV con un desbalance entre el flujo de calor real del cuerpo en un medio ambiente dado y el flujo de calor requerido para tener confort óptimo a una actividad específica dada por la ecuación:

PMV 0.303exp 0.036 M( ) 0.028( ) L (3) En donde L, es la carga térmica sobre el cuerpo e igual a la diferencia entre los dos lados Izquierdo y derecho de la ecuación (1) ó (2): en donde L, es la carga térmica sobre el cuerpo e igual a la diferencia entre los dos lados izquierdos y derecho de la ecuación (1) ó (2):

L M W 3.96108

fcl Tcl 273 4

Tmr 273 4


Ejemplo: Determine el nivel de confort térmico en una oficina en base del modelo PMV Dados los siguientes datos: Parámetros de control:

degC 1 M 58.2 watt

m2

(1 met) W 0 (Actividad para una oficina normal) Tmr 23 degC

pv 1.419

kPa (Presión del vapor del agua)

Tai 23 degC

Icl 1.0 (Las unidades están en clo)

Las características de la vestimenta son: pantalón conveniente y camisa de manga larga V 0.1 Velocidad m/s Calcule C1 y C2 (de la ecuación 2):

C1 3.05 5.73 0.007 M W( ) pv

C2 0.42 M W( ) 58.15[ ] 0.0173M 5.87 pv

0.0014M 34 Tai

Tcl 35.7 0.0275 M W( ) 0.155 Icl M W( ) C1 C2[ ]

Tcl 27.761

Temperatura de la superficie del (cuerpo) con vestimenta


120

hc max2.38 Tcl Tai

0.25

12.1 V

hc 3.826

Coeficiente e transferencia de calor convectivo

fcl 1.05 0.1 Icl

Cuando Icl 0.5

(las unidades están en clo)

Factor del área de la vestimenta

L M W 3.96108

fcl Tcl 273 4

Tmr 273 4


PMV 0.303exp 0.036 M( ) 0.028( ) L PMV 0.202 (Por lo tanto el ejemplo propuesto es confortable) Bibliografía ASHRAE. 1989. ASHRAE Handbook of Fundamentals. Atlanta, GA.


121

Capitulo 9

Cálculos de cargas de calentamiento y enfriamiento Las condiciones periódicas del medio ambiente, se asumen que son (explícitas o

implícitas) en un análisis térmico dinámico en las construcciones. Las cargas de calentamiento

o enfriamiento, son las energías caloríficas auxiliares, requeridas para introducir/remover y

mantener las condiciones principales de confort, se calculan normalmente para un día

seleccionado. La carga térmica de calentamiento máxima se emplea para dimensionar el

tamaño del equipo de calentamiento o el máximo de la carga térmica de enfriamiento para

dimensionar las dimensiones del equipo térmico.

Normalmente también es deseable determinar las fluctuaciones de las temperaturas del cuarto,

provocadas, por ejemplo por la ganancia solar, con diferentes estrategias de control, para la

conservación de la energía como el uso de termostatos que operan en la noche. Un modelo

simple, de primer orden para un análisis térmico, para un cuarto, se presenta en la sección 9.1,

con los conceptos básicos. Seguido de la sección 9.2 con modelos periódicos, más detallados

con los cálculos de las cargas térmicas de calentamiento. En la sección 9.3, se presentan las

condiciones periódicas del medio ambiente, asumiendo condiciones normales (explicitas o

implícitas) para el análisis térmico dinámico en las construcciones como los cuartos, así como

los cálculos de las cargas térmicas. También las cargas de calentamiento o de enfriamiento,

que son energías auxiliares de entrada/salida, requeridas, para mantener las condiciones

normales de confort que se calculan para días especiales. La carga del calentamiento máxima,

se emplea para dimensionar el tamaño del equipo de calentamiento, así como la carga térmica

máxima de enfriamiento, para el diseño del equipo de enfriamiento.

Sección 9.1 Modelo de primer orden en una habitación

Normalmente se emplean los modelos gráficos y de redes térmicas en construcciones

en el análisis de las cargas de calentamiento/enfriamiento, en los cálculos del confort térmico y

en estudios de transferencia de calor en recintos de las construcciones. Los modelos térmicos

en cuartos, se representan como resistencias térmicas, que contienen: convección,

convección/radiación, así como capacitancia que representa los efectos de un almacenamiento

térmico, que hay en los diversos detalles de su modelaje. Generalmente los elementos de los

modelos detallados, representan el almacenaje térmico de cada pared con capacitancias,

separadas o en elementos distribuidos, ver la (Sección 4.2). Un balance de energía, presenta

todos los efectos capacitivos, primero en el conjunto, acoplando las ecuaciones diferenciales

de primer orden. El modelo para el cuarto y representa la capacidad de almacenamiento

térmico, en un nodo a la temperatura del cuarto o en la superficie de una pared, únicamente

como un capacitor térmico; El capacitar "efectivo" del cuarto normalmente es el más

importante.

Analizando zonas, como las de cimientos. Se asume que únicamente el piso tiene

capacitancia térmica y que ésta consiste de una masa aislante, interna (dentro del cuarto), con

capas, sin capacidad térmica o casi insignificante abajo de esta, a un valor aislante Rins. El

esquema, con su red térmica, se representa en el esquema: Los modelos gráficos y de redes

térmicas en construcciones se emplean normalmente en el análisis de las cargas de

calentamiento/enfriamiento, en los cálculos del confort térmico y en los estudios de

transferencia de calor de los recintos de las construcciones. Los modelos térmicos de cuartos,

se representan como resistencias térmicas, que contienen: convección, convección/radiación,


122

así como la capacitancia que representa los efectos de un almacenamiento térmico, que hay en

diversos detalles para su modelaje. Generalmente los elementos de los modelos detallados,

representan el almacenaje térmico de cada pared con capacitancias, separadas o en

elementos distribuidos, se presentaron en la (sección 4.2). Un balance de energía, presenta

todos los efectos capacitivos, primero en el conjunto, acoplando ecuaciones diferenciales de

primer orden. El modelo para un cuarto y representa la capacidad del almacenamiento térmico,

en el nodo a la temperatura del cuarto o en la superficie de una pared, únicamente como un

capacitor térmico; El capacitor "efectivo" del cuarto normalmente es el más importante.

U paredes

Uinf

Uw

QR

qaux

Rins

Piso masivo

base

To

Tbhi

URf

TR

Tf

Uf

Tb

C

Af hi

URf Ut

QR qaux

To

T ref

Ut = U paredes + U w + U inf

AF/ Rins

Uf = área del piso


U, es para el área total

Transferencia de calor (sensible) por Infiltración: qs Uinf TR To

cpair 1000joule

kg ºC

Calor específico del aire

ºC 1


123

air 1.2kg

m3

Densidad del aire

Conductancia por infiltración:

Uinfach Vol

3600 secair cpair

Vol. = volumen de la zona

Uinfach Vol

3 ach = cargas de aire / hora

La conductancia total entre la temperatura del cimientoTb y la temperatura del techo del cuarto

es TR se representa por la ecuación:

Uf1

1

Af hi

Rins

Realizando el balance de energía, entre dos nodos (R - aire del cuarto y f - la superficie del

piso), se obtiene:

R: URf Tf TR Ut To TR qaux 0

(1)

f: C

dTf

dt URf TR Tf Uf Tb Tf QR 0

CdTf

dt

es igual a Cs Tf

en el dominio de Laplace

Las ecuaciones en (1) son del dominio de Laplace (ver la Sección 10.1), y se presentan como:

[ Y ] [ T ] = [ Q ]

URf Ut

URf

URf

sC Uf URf

TR

Tf

qaux Ut To

QR Uf Tb


124

Por tanto la solución (en el dominio de Laplace) es:

[ T ] = [Y-1 ] [Q ], o

TR

Tf

1

D

sC Uf URf

URf

URf

URf Ut

qaux UT To

QR Uf Tb

donde D es el determinante dado por:

D URf Ut sC Uf URf URf2

Por tanto la temperatura del cuarto es:

TR

sC Uf URf

Dqaux Ut To

URf

DQR Uf Tb

(2)

Note que To, qaux, Tb, y TR están en el dominio de Laplace. La ecuación (2) también puede

expresarse como:

TR Z11 qaux Ut To Z12 QR Uf Tb (3)

Donde:

Z11 s( )s C Uf URf

URf Ut s C Uf URf URf2

(4)

Z12 s( )URf


Las ecuaciones (3) y (4), se relacionan a TR (s) como entradas a (funciones forzadas) qaux(s),

To(s), QR(s) y Tb(s). Note que si TR, se especifica (o se conoce) el calentamiento/enfriamiento

auxiliar o puede determinarse (con el rearreglo de la ecuación (3)) como:


125

qaux

TR Z12 QR Uf Tb Z11 Ut To

Z11 (5)

En los cálculos de un estado estacionario, el término de capacitancia, sC es cero en la

ecuación (4), esto es Z12 y Z11 llegan a ser impedancias efectivas. Donde pueden

determinarse las variaciones periódicas de qaux(t) y TR(t) por la representación de las entradas

de To y QR como funciones senoidales como se demostró en el capítulo 4. Entonces

obtenemos

Respuesta total = término medio + variación harmónica

Análisis de la respuesta de la frecuencia en el análisis de entrada - salida, que puede

realizarse de una manera más simple empleando números complejos.

Z11 y Z12 son las funciones de de la transferencia de la impedancia (análogas a las

impedancias en los circuitos eléctricos de c.a.) en donde su ángulo de fase y magnitud, pueden

evaluarse al sustituir s = jw en donde j = (-1)0.5 y w es la frecuencia de interés (un ciclo por

día). En general, dada una función de transferencia Z, la cual relaciona el efecto de la entrada

de Q a la temperatura T, obteniéndose la siguiente ecuación para:

Q A cos w t ( )

Se obtiene

T t( ) A Z j w( ) cos w t z (6)

Donde:

Z j w( ) = magnitud de Z y= magnitud de Z y z arg Z j w( )( )

Viendo el ángulo de fase entre la función de transferencia z, determina el atraso en el tiempo

entre la causa (Q) y el efecto (T). Debido al principio de superposición, se considerará cada

entrada (esto es la radiación solar absorbida QR) únicamente es para todas las partes entre si.

Los modelos simples para las fuentes se presentan como sigue:

Temperatura externa:


126

To Tom

To

2cos w t 1

(6a)

La radiación solar radiación que es absorbida por el piso es:

QR QRm QR cos w t 2 (6b)

Temperatura en los cimientos es:

Tb Tbm constante Tb Tbm constante (6c)

Temperatura del cuarto es:

TR constante (6d)

Cuando Z11m = valor de Z11 para w = 0 y Z12m = valor de Z12 para w = 0 (régimen

estacionario). La solución general para qaux (de la ecuación 5) se presenta como:

qmean

TR

Z11m

Z12m

Z11m

QRm Uf Tb Ut Tom

Término en un régimen estacionario

qTo Ut

To

2 cos w t 2

Variación debido a To

qQR t( )Z12 j w( )

Z11 j w( )QR cos w t 1 z12 z11

Variación debido a QR

qaux t( ) qmean qQR qTo

La variación de qaux(t) debido a la ganancia solar es particularmente interesante. Hay

un atraso de fase de z12 - z11, y un atraso en el tiempo de (z12 - z12)/w en qaux(t)

relativo a QR(t).

Ejemplo: Analice una zona simple con los siguientes parámetros de control:

Dimensiones:

L 5 m W 5 m H 3 m


127

Af L W

Aw 4 m2

Áreas de piso y ventanas (ventanas con paredes W x H)

Rwall 2.1 m2

ºC

watt

Rroof 2.5 m2

ºC

watt

Rw 0.34 m2

ºC

watt

Rins 1 m2

ºC

watt

hi 9watt

m2

ºC

Coeficiente de película interno

ach 1 Cambio de aire por hora

Awall 2 L H W H 2( ) Aw

Aroof L W Vol L W H

Propiedades de las capas que cubren el piso:

k 1.0watt

m ºC

Conductividad

1200kg

m3

Densidad

c 700joule

kg ºC

Calor específico

x 4 cm Espesor

Cálculo de las conductancias:

Uinfach Vol

3600 secair cpair

Uinf 25

watt

ºC

Ut Uinf

Aw

Rw

Awall

Rwall

Aroof

Rroof

Ut 73.431

watt

ºC

Uf

Af

1

hiRins

URf Af hi

Capacitaría térmica:


128

C c Af x

C 8.4 105

joule

ºC

w 2

86400sec

Frecuencia: (1 ciclo/día) j 1

Funciones de transferencia en el cuarto:

Z11 s( )s C Uf URf


Z12 s( )URf


Z110

sec

0.011ºC

watt

Z12

0

sec

9.683 103

ºC

watt

Z11m Z110

sec

Z12m Z120

sec

Z11 j w( ) 7.87 103

3.545i 103

ºC

watt

Z12 j w( ) 5.994 103

4.702i 103

ºC

watt

Temperatura específica y superficie solar:

TR 20 ºC

Tb 16 ºC

Tom 0 ºC

To 10 ºC

QRm Aw 200watt

m2

QR QRm

t 1 hr 2 hr 24 hr

1 5

4

2

Cálculos de la carga térmica:

qmean

TR

Z11m

Z12m

Z11m

QRm Uf Tb Ut Tom

qmean 823watt


129

qTo t( ) Ut

To

2 cos w t 1

qQR t( )Z12 j w( )

Z11 j w( )QR cos w t 2 arg Z11 j w( ) arg Z12 j w( )

qaux t( ) qmean qQR t( ) qTo t( )

1 6 11 16 210.21

0.79

1.79

qaux t( )

kW

t

hr

To t( ) Tom

To

2cos w t 1

1 6 11 16 215

0

5

To t( )

ºC

t

hr

Los resultados anteriores indican una carga máxima de 2.1 Kw., basados en este

modelo simple del cuarto y del modelo aproximado de radiación solar. Otros modelos

detallados y exactos se verán en las siguientes secciones, incluyendo los cálculos completos

con radiación solar. Este modelo puede emplearse para casos de análisis simples y rápidos y

para entender los conceptos básicos empleados para las dos secciones siguientes.

Bibliografía

Athienitis, A. K., H. F. Sullivan and K. G. T. Hollands. 1986. "Analytical Model, Sensitivity

Analysis, and Temperature Swings in Direct Gain Rooms," Solar Energy, vol.36, pp. 303-12.


130

Sección 9.2. Modelos térmicos detallados en periodos de zonas

estables y cálculo de la carga térmica de

calentamiento

Los métodos para calcular la transferencia de calor a través de paredes ya se

analizaron.

Existe el método de diferencias finitas explicito que se presento en la (Sección 3.3), el

cual no requiere mucho análisis en ambos estados del espacio y del tiempo.

También está el método de admitancia presentado en las (secciones 4.1- 4.3), (dominio

de frecuencia), el cual permite unir y distribuir los elementos de los parámetros y modelos en

series de Fourier para todas las fuentes de calor y de temperaturas específicas.

En resumen, un modelo periódico simple con su método de solución, se presento en la

sección 9.1.

La principal ventaja del método de admitancia, es que se realiza un análisis en un

periodo estable, adecuado (con aproximaciones con tres harmónicas). Sin embargo, este

modelo no sirve en condiciones no lineales. El método explicito de diferencias finitas puede

servir, en los coeficientes de transferencia de calor no lineales y para tener estrategias de

control. En esta parte se presenta un modelo detallado, basado en un método de admitancia.

En donde se requieren los siguientes datos de entrada.

1. Datos de clima:

a. Temperatura externa

b. Radiación solar (con un modelo aproximado)

Note que un equipo de calentamiento se diseña en base a las condiciones del clima

extremo, la radiación solar, se puede excluir de este análisis. Sin embargo con un análisis solar

pasivo, se encuentran ganancias solares, que se pueden considerar. El modelo empleado para

el cálculo de la carga de calentamiento. En un modelo de carga de enfriamiento también debe

considerarse, y se presenta en la siguiente sección.

2. Datos del edificio:

NS: número de superficies que contribuyen al balance de energía de la zona analizada.

NSe: " " superficies externas (paredes y techo).

Ai: área de la superficie externa i.

Nw: número de ventanas (= NSe, normalmente instaladas)

Awi: área de la ventana i


131

3. Tipo de ventana:

U es el valor o resistencia térmica, en una hoja simple o doble de cristal, con un espacio de separación y

con un valor de (coeficiente de extensión y un espesor x)

Adoor: área externa de la puerta Rdoor: valor de una resistencia R externa

4. Construcción de paredes:

Propiedades de la capa de la pared. Para el análisis de la capa interna, se requiere conocer las

propiedades variantes como:

ach: cambios por infiltración del aire por hora

hi: coeficiente combinado de transferencia de calor superficial (de película) para la superficie i).

5. Ganancias internas: Qintr: ganancias radiantes internas Qintc: ganancias convectivas internas

Ejemplo: Una casa, la cual tiene una cimentación, con piso y un techo con impermeabilizantes.

La cimentación, representa una carga de calentamiento y puede determinarse con las técnicas

analizadas en la sección 3.2. También ya se analizó la zona de la parte baja al piso.

Superficie 4

Superficie 1

Superficie 2Superficie 3

Lh

Wh

Hh

Parámetros de cálculo:

Hh 2.7m Lh 14m Wh 12m

Las superficies que contribuyen al balance de energía son: NS 6


132

i 1 2 NS 1-4 paredes, 5-techo, 6-piso

se 1 5 Superficies externas

Nw 4 iw 1 2 Nw (Considere que hay 4 ventanas, que es la suma de las áreas de las

ventanas, presentado en cada lado de la casa)

Áreas de ventanas y puerta:

Aw1

12 m2

Aw2

3 m2

Aw3

2 m2

Aw4

3 m2

Ad1

2 m2

Ad2

2 m2

Ad3

2 m2

Ad4

2 m2

Áreas netas de las paredes:

A1

Lh Hh Aw1

Ad1

A2

Wh Hh Aw2

Ad2

A3

Lh Hh Aw3

Ad3

A4

Wh Hh Aw4

Ad4

A5

Wh Lh

A6

A5

Hi 2.4m Altura interna

Vol A5

Hi ºC 1

Rd 1m

2ºC

watt

Resistencia térmica de la puerta

Rw 0.34m

2ºC

watt

Resistencia de ventana (con doble cristal y aire)

ver la sección 6.3.1

h1

8.3watt

m2

ºC

h

2h

1


133

h3

h1

h4

h1

h5

9.3watt

m2

ºC

Coeficientes de película

h6

6.1watt

m2

ºC

(Suelo frío)

ach 0.5 ach = cambio de aire / hora

Cálculo de la conductancia por infiltración:

cpair 1000joule

kg ºC

air 1.2kg

m3

Calor específico y densidad

del aire

Uinfach Vol

3600secair cpair

Resistencia térmica de paredes (incluyendo película de aire)

Paredes verticales

1. Tablas con recubrimiento de yeso

L1

0.013m Espesor

1

800kg

m3

Densidad

k1

0.16watt

m ºC

Conductividad

c1

750joule

kg ºC

Calor específico

2. Aislante

Rins 2.2m2

ºC

watt

3. Entramado de chapa de madera

Uinf 67.2watt

ºC


134

Rsid 0.37m2

ºC

watt

4. Película externa

ho 22watt

m2

ºC

(Sección 5.3)

ff 0.15 15% de área es estructural

El valor de R es de los travesaños de madera de 2 por 4

Rf 0.77m2

ºC

watt

R1

1

1 ff

L1

k1

Rins Rsid1

ho

1

h1

ff

L1

k1

Rf Rsid1

ho

1

h1

R1

2.44ºC m

2

watt

El cálculo de la conductancia de la pared sin incluir la capa interna y su película (debe

emplearse para determinar la admitancia):

u1

1

R1

L1

k1

1

h1

Considere que todas las paredes externas son del mismo material de construcción:

ii 1 2 4

Li i L1

Ri i R1

ui i u1

kii k1

ii 1

cii c1

Cálculo de la resistencia térmica del suelo y del techo interno

(Ver la sección 1.6)

Techo interno

1. Tabla con recubrimiento de yeso

L5

L1

k5

k1


135

c5

c1

5

1

2. Aislante Rinsc 2.8m

2

ºC

watt

3. Película de aire en el (ático)

ha 12watt

m2

ºC

Rc1

1 ff

L5

k5

Rinsc1

ha

1

h5

ff

L5

k5

Rf1

ha

1

h5

Rc 2.377ºC m

2

watt

Piso del ático

1. Película del aire externo

ho 20watt

m2

ºC

2. Tablas de madera acopladas

Rb 0.19m2

ºC

watt

3. Techo de madera

Rsh 0.17m2

ºC

watt

Rr1

1 ff

Rb Rsh1

ho

1

ha

ff

Rf Rb Rsh1

ho

1

ha

Rr1

1 ff

Rb Rsh1

ho

1

ha

ff

Rf Rb Rsh1

ho

1

ha

Rr 0.543m2 ºC

watt

Asumiendo que la techumbre tiene una pendiente de 30º(deg), se puede calcular la

resistencia térmica, combinada del techo interno y del suelo por unidad de área de techo

(considerando de que no hay ventilación en el ático -- ver la sección 1.6, con áticos ventilados),

como sigue:

Ar

A5

cos 30 deg( )

R5

Rc

A5

Rr

Ar

A5

Ar 193.99m2


136

R5

Rc

A5

Rr

Ar

A5

u5

1

R5

L5

k5

1

h5

R

52.848m

2 ºC

watt

Para el cálculo de la admitancia

Piso

1. Datos de la carpeta y relleno inferior

L6

0.02m

k6

0.06watt

m ºC

6

800kg

m3

2. Datos del aislante y triplay

Rins 1.0m2

ºC

watt

c6

1400joule

kg ºC

3. Datos de la película de aire (flujo de calor horizontal bajo del suelo)

ho 6.13watt

m2

ºC

R6

Rins

L6

k6

1

ho

1

h6

u6

1

R6

L6

k6

1

h6

R

61.66m

2 ºC

watt

Cálculo de la admitancia en las paredes

La transferencia de admitancia y admitancia media, pueden calcularse, así como la

transferencia de admitancia, para cada pared, considerando la capacidad térmica de la capa

interna del cuarto. Vea que el valor del régimen estacionario de la admitancia es igual al a la

conductancia en la pared. Se puede calcular hacia la superficie interna y hacia un punto interno

de aire del cuarto. El análisis se desarrolla por el término de la media y de las tres harmónicas

de las entradas del clima y de las fuentes de calor.

Admitancia

R5

2.848s

3

kg


137

La admitancia en un régimen estacionario hacia la superficie interna, es igual al valor

de U (excluyendo la película interna); el primer subíndice indica la frecuencia, el segundo

subíndice indica el número de superficie.

Ys0 i

Ai

Ri

1

hi

Yt

0 iYs

0 i

Y0 i

Ai

Ri

Yta

0 iY

0 i

Admitancias desde fuera hacia dentro del aire al cuarto

(en un régimen estacionario)

n 1 2 3 j 1

n i j2 n

ki

i ci24 hr

Uii Ai hi

Conductancias interna y externa de la superficie

Uoi ho Ai

iw 1 2 4

Uwiw

Awiw

Rw

Adiw

Rd

Conductancia de ventanas de doble cristal o en puerta

Ysn i Ai

ui ki n i tanh n i Li

ui

ki n itanh n i Li

1

Ytn i

Ai

cosh n i Li ui

sinh n i Li ki n i

Yn i

Ysn i Uii

Ysn i Uii


138

Ytan i Ytn i

Uii

Ysn i Uii

Admitancia de la pared del aire externo hacia dentro del

cuarto

Zona de de admitancia Yz (desde el nodo de temperatura al cuarto)

n 0 1 3

Yzn Uinf

iw

Uwiwi

Yn i

Yz

340.267

403 298.766i

539.342 519.654i

683.104 670.462i

watt

ºC

Note que Yz0 es simplemente el valor de U de

la casa.

Balance de energía

Un balance de energía puede presentarse de manera similar al modelo simple de la

sección 9.1. Todas las paredes, se presentan con sus semi admitancias, junto a la fuente de

calor equivalente en la superficie interna, igual a los tiempos de la transferencia de las

admitancias del exterior o a otra temperatura equivalente conocida. La radiación y la

convención dentro del cuarto se representan por los coeficientes de película combinados. Esta

es una solución analítica para la temperatura de un cuarto o al calentamiento que se puede

obtener. Un modelo más detallado con separación al intercambio por radiación, requiere de un

balance de energía en superficies internas (Athienitis et al, 1990).

Balance de energía en un nodo del aire dentro del cuarto (en la forma de admitancia):

[Y] [T] = [Q]

Cuando los nodos, de las superficies de las paredes, pueden eliminarse, ver la

(sección 4.3):

YzTR Qeq qaux=

qaux = calentamiento auxiliar (o de enfriamiento - si qaux es negativo).

Todas las ganancias de calor/pérdidas se expresan como fuentes de calor equivalentes

(negativas si son pérdidas) Qeq a la temperatura del nodo del cuarto basado en una

temperatura de referencia de 0 ºC como sigue:


139

Las ganancias internas más la fuente de calor debido a la infiltración:

Qintcn Uinf

iw

Uwiw

Ton

(a)

Las fuentes de calor equivalentes en el interior de las superficies de las paredes debido a las

temperaturas del sol - aire o de temperaturas especificas en zonas adyacentes. Estas pueden

agregarse a las ganancias por radiación, Qintr en las superficies internas:

Ytn i Teqn i Qintrn i (b1)

La fuente (b1) debe convertirse en una Gandia en calor en un punto del aire del cuarto como

sigue:

Ytn i Teqn i Qintrn i Uii

Ysn i Uii

(b)

El balance de energía se presentarse como:

qauxn

TRn

Qintcn Uinf

iw

Uwiw

Ton

i


Ysn i Uii

Yzn

Yzn=

Para los cálculos de la carga por calentamiento, consideremos un nivel mínimo de

radiación solar equivalente a un día nublado. La temperatura externa, puede modelarse

por series de tres harmónicas de Fourier, basadas en un valor de ocho tiempos

diferentes. Alternativamente, podemos emplear un modelo de un solo harmónico

presentado en la sección 4.3.

Temperatura externa:

La temperatura externa se modela en una serie de Fourier basada en los valores de NTo+1 que son arreglos de entradas presentados abajo. Si se requieren más detalles, NTo puede incrementarse.

NTo 7 it 0 1 NTo Índice en el tiempo

tit it 3 hr Tiempo

n 0 1 3 Harmónicas

wn 2 n

24 hr

j 1


140

Toi t

1

4

0

3

5

6

5

1

Tonn

it

Toi t

exp j wn ti t NTo 1

ºC

Temperatura media diaria

Radiación solar

La radiación solar puede modelarse desde la media onda senoidal del amanecer al tiempo del

anochecer, ts.

Redefinición del arreglo en el tiempo: it 0 1 23 tit it hr

Cuando:

ts 5 hr Es el tiempo desde el medio día solar al anochecer

Smax 100watt

m2

Radiación solar máxima (al medio día), (asumiendo un nivel

mínimo de nubosidad en el día)

fit Smax cos tit 12 hr

2 ts

Sit if fit 0.0watt

m2

fit 0.0watt

m2

S(t) puede modelarse con series discretas de Fourier como sigue:

Snn

it

Si t

exp j wn ti t 24

iw

Awiw

Se multiplica el área total de de ventanas para determinar la radiación solar total.

Asumiendo que la fracción de esta radiación se absorbe por cada superficie interna y

es proporcional al área:

Atot

i

Ai

Qrn i Snn

Ai

Atot

Ton

1.875

1.811 1.332i

0.125 0.25i

0.311 0.082i

Ton0

1.875ºC


141

De manera similar se pueden modelar las ganancias internas con series de Fourier. En este

ejemplo se ignoran las ganancias internas. También se ignorará la radiación solar absorbida

por las superficies externas de las paredes cuando nuestro objetivo es determinar la carga de

calentamiento máximo

Temperatura TR cuarto - aire (asumiendo que es específica:

TR0

20 ºC

n1 1 2 3 TR

n10 ºC

Una variable de la temperatura del cuarto se puede emplear, por ejemplo con una noche

que se atraso \ organizada. En este caso, TR puede modelarse por una serie de Fourier

igual a To.

Temperaturas equivalentes para superficies externas:

Teqn se Tonn

Para los cimientos:

Tb 20 ºC

Teq0 6

Tb

Teqn1 6

0 ºC

Primero determine la carga auxiliar media:

qaux0

TR0

Uinf

iw

Uwiw

Ton0

i

Yt0 i

Teq0 i

Qr0 i

Uii

Ys0 i

Uii

Yz0

Yz0

qaux0

3.841 103

watt

qauxn1

TRn1

Uinf

iw

Uwiw

Tonn1

i

Ytn1 i Teqn1 i Qrn1 i Uii

Ysn1 i Uii

Yzn1

Yzn1

Toit Ton0

2

n1

Re Tonn1 exp j wn1 tit

Temperatura del aire


142

0 10 205

0

5

10

Ton 0To

it

tit

hr

qauxtit

qaux0

2

n1

Re qauxn1

exp j wn1 tit

Potencia auxiliar

0 11.5 23

qauxtit

kW

tit

hr

Carga del calentamiento máximo (empleado para dimensionar el sistema de calentamiento):

max qauxt 5.641 103

watt

Consumo de energía por calentamiento, Qh se obtiene por la integración numérica de la parte

positiva de la curva de potencia auxiliar:

qauxt24

qauxt0

t24

24 hr MJ 10

6joule

Qh

i t

qauxti t

qauxti t

qauxti t 1

qauxti t 1

4ti t 1

ti t

Qh 331.838MJ qaux

024 hr 331.838MJ


143

Vea que en este caso, debido a que no hay enfriamiento, Qh, puede obtenerse como

una potencia media.

Una variable de la temperatura del cuarto puede emplearse, por ejemplo usando los datos de

una noche anterior. En este caso, TR puede ser modelarse con series de Fourier.

Vea que los coeficientes combinados convectivos y de radiación que se emplearon en el

modelo anterior permiten la solución analítica simple. Un modelo más detallado se describe por

Athienitis et al (1990).

El método es similar a los conceptos a los métodos de las funciones de transferencias del

CLTD y de los métodos de las funciones de transferencia de ASHRAE (1989). Sin embargo

todas las funciones de transmitancia de edificios (admitancias) se calculan directamente.

Bibliografía

Athienitis, A. K., M. Stylianou and J. Shou. 1990. "A Methodology for Building Thermal Dynamics Studies and Control Applications," ASHRAE Transactions, Vol. 96, Pt. 2, pp. 839-48.

Athienitis, A. K., H. F. Sullivan and K. G. T. Hollands. 1986. "Analytical Model, Sensitivity Analysis, y Temperature Swings in Direct Gain Rooms," Solar Energy, Vol. 36, pp. 303-12.


Sección 9.3 . Modelo oscilante en una zona estable y cálculo s para

determinar su carga de enfriamiento

El modelo empleado comúnmente para el cálculo de la carga de enfriamiento, es el

mismo al del modelo de la carga de calentamiento ver la sección 9.2. Aquí la diferencia

principal es que la radiación solar transmitida a través de las ventanas o absorbida por las

superficies externas de las paredes y techo, se calculan con más detalle. Para calcular la carga

de enfriamiento.

Cada pared, se modela por una media de la admitancia y la transferencia de

admitancia, como se describió en las secciones 4.2 y 4.3. Los análisis, se desarrollan para un

día seleccionado, con el fin de tener un objetivo más exacto para determinar la carga máxima

de enfriamiento/calentamiento.

1. Condiciones del clima de entrada:


144

a. Temperatura externa.

b. Radiación solar transmitida por cada ventana, así como radiación absorbida por cada

superficie externa.

2. Datos del edificio: NS: número de superficies que contribuyen a la zona del balance de energía.

NSe: número de superficies externas (paredes y techo).

Ai: área de la superficie externa i.

Nw: número de ventanas Awi: área de la ventana i

se, se = 0,1. . . NSe superficies externas con el ángulo del azimut.

sse , se = 0,1. . . Nse absorbancia solar de las superficies externas.

3. Tipo de ventana:

El valor de U de la resistencia térmica, de un cristal simple o con doble cristal a un valor de

(coeficiente de extensión Kl. y espesor x)

Aloor: área externa de la puerta Rloor: valor de la resistencia térmica, Re externa de la puerta

3. Construcción de las paredes:

Para el análisis oscilante también se requieren las propiedades de las capas de las paredes.

Con las propiedades de las capas internas.

ach: cambios por infiltración de aire por hora

hi: coeficiente de transferencia de calor de la superficie interna para la superficie i

(Se asumen que los coeficientes son el combinado radiante y convectivo)

5. Ganancias internas: Qintr: ganancias internas radiantes Qintc: ganancias internas convectivas

Ejemplo: Una casa tiene cimentación y un piso de con un cimiento como carpeta en el suelo.

La carga de la cimentación puede determinarse con las técnicas de la sección 3.2. Aquí se


145

analiza a nivel del piso. En los casos con exposiciones solares significativas y con los controles

térmicos separados de los cuartos, hay que considerar el número de zonas separadas.

Superficie 4

Superficie 1

Superficie 2Superficie 3

Lh

Wh

Hh


Hh 2.7 m Lh 14 m Wh 12 m

Superficies que contribuyen al balance de energía: NS 6

i 1 2 NS 1-4 paredes, 5-techo interno, 6-piso

se 1 5 Superficies externas

Nw 4 iw 1 2 Nw (Considere que hay cuatro

ventanas que son la suma de las áreas de las ventanas

en cada lado de la casa)

Áreas de ventanas y puerta:

Aw1 12 m2

Aw2 3 m2

Aw3 2 m2

Aw4 3 m2

Ad1 2 m2

Ad2 2 m2

Ad3 2 m2

Ad4 2 m2

Áreas netas en las paredes:


146

A1 Lh Hh Aw1 Ad1

A3 Lh Hh Aw3 Ad3

A2 Wh Hh Aw2 Ad2

A4 Wh Hh Aw4 Ad4

A5 Wh Lh

A6 A5

Hi 2.4 m Altura interna

Vol A5 Hi

ºC 1 Rd 1

m2

ºC

watt

Resistencia térmica de la puerta

Rw 0.32m

2ºC

watt

Resistencia térmica de la ventana (con cristales dobles)

Ver Sección 6.3.1

Ángulos del azimut la pared/ventana:

1 45 deg

2 135 deg

3 135 deg

4 45 deg

Absorbancia de la pared: siw 0.9

h1 8.3watt

m2

ºC

h2 h1

Coeficientes de película (combinados)

h3 h1

h4 h1

h5 6.1watt

m2

ºC

h6 9.3watt

m2

ºC

(Piso caliente)

ach 0.5 ach= velocidad de cambios del volumen de aire/hora

cálculos de la conductancia por infiltración:

Vol 4.032 105

L


147

cpair 1000joule

kg ºC

air 1.2kg

m3

Calor específico y densidad del aire

Uinfach Vol

3600secair cpair

Uinf 67.2

watt

ºC

Resistencia térmica de paredes (incluyendo las películas de aire)

Paredes verticales

1. tablas recubiertas con yeso

L1 0.013m Espesor

1 800kg

m3

Densidad

k1 0.16watt

m ºC

Conductividad

c1 750joule

kg ºC

Calor específico

2. aislante

Rins 2.2 m2

ºC

watt

Resistencia térmica del aislante

3. tablas con un forro y arreglo de entarimado

Rsid 0.37 m2

ºC

watt

Resistencia térmica de la pared externa

4. película externa

ho 22watt

m2

ºC

(Sección 5.3)

15% del área es armazón ff 0.15

Valor de R de vigas de madera de 2-por-4:

Rf 0.77 m2

ºC

watt


148

R11

1 ff

L1

k1Rins Rsid

1

ho

1

h1

ff

L1

k1Rf Rsid

1

ho

1

h1

R1 2.44ºC m

2

watt

En el cálculo de la conductancia de la pared excluyendo la capa interna y de la película (deben

emplearse para los cálculos de la admitancia):

u11

R1

L1

k1

1

h1

Asuma que todas las paredes externas tienen del mismo material de construcción:

ii 1 2 4 Paredes verticales

Lii L1

Rii R1

uii u1

kii k1

ii 1

cii c1

Cálculo de la resistencia térmica del piso - techo interno

(Ver la sección 1.6)

Techo interno

1. tabla con yeso

L5 L1

k5 k1

c5 c1

5 1

2. aislante Rinsc 2.8 m

2

ºC

watt

3. película de aire en el (ático)

ha 12watt

m2

ºC


149

Rc1

1 ff

L5

k5Rinsc

1

ha

1

h5

ff

L5

k5Rf

1

ha

1

h5

Piso

1. película del aire externo

ho 20watt

m2

ºC

2. tablas de madera, con tejas con bordes huecos

Rb 0.19 m2

ºC

watt

3. tejas de madera

Rsh 0.17 m2

ºC

watt

Rr1

1 ff

Rb Rsh1

ho

1

ha

ff

Rf Rb Rsh1

ho

1

ha

Rr 0.543m2 ºC

watt

Si hay una pendiente en el techo de 30 grados, se calcula la resistencia combinada del techo

interno - piso por unidad de área de techo (asuma que no hay ventilación en el ático -- ver la

Sección 1.6 para áticos ventilados) como sigue:

Ar

A5

cos 30 deg( )

Ar 193.99m

2

R5

Rc

A5

Rr

Ar

A5

Rc 2.45ºC m

2

watt

R5 2.92m2 ºC

watt


150

u51

R5

L5

k5

1

h5

u5 0.374kg

s3

Cálculo de la admitancia

Suelo

1. Carpeta y carpeta inferior

L6 0.02 m

k6 0.06watt

m ºC

6 800kg

m3

2. Aislante y triplay

Rins 1.0 m2

ºC

watt

c6 1400joule

kg ºC

3. Película de aire (flujo de calor horizontal bajo de la madera)

ho 6.13watt

m2

ºC

R6 Rins

L6

k6

1

ho

1

h6

R6 1.604m

2 ºC

watt

u61

R6

L6

k6

1

h6

Cálculos de las admitancias en las paredes

La semi admitancia y la transferencia de admitancia pueden calcularse para cada

pared, considerando la capacidad térmica de la capa interna del cuarto. Note que el valor en

estado estacionario de la admitancia es igual a la a la conductancia de la pared. Se calcularán

las superficies internas y un punto del aire del cuarto. El análisis se desarrolla para el término

medio y para tres harmónicas de los cambios de entrada.

Admitancia

La admitancia en estado estable es igual al valor de U de una pared (excluyendo la

película interna); los primeros subíndices indican la frecuencia, el segundo subíndice indican el

número de superficies.


151

Ys0 i

Ai

Ri1

hi

Yt0 i Ys0 i

Y0 i

Ai

Ri

Yta0 i Y0 i

Admitancias desde fuera en el aire del

cuarto en un (estado estacionario)

n 1 2 3 j 1

n i j2 n

ki

i ci86400 sec

Uii Ai hi

Conductancias en las superficiales interna y externa

Uoi ho Ai

iw 1 2 4

Uwiw

Awiw

Rw

Adiw

Rd

Conductancia de ventanas con cristal doble y puertas

Ysn i Ai


ui

ki n itanh n i Li

1

Ytn i

Ai

cosh n i Li ui

sinh n i Li ki n i

Yn i

Ysn i Uii

Ysn i Uii

Admitancias de las paredes desde el aire externo hacia adentro.

Ytan i Ytn i

Uii

Ysn i Uii


152

Zona de admitancia Yz (desde un punto del aire)

n 0 1 3

Yzn Uinf

iw

Uwiwi

Yn i

Yz

346.045

405.779 312.28i

547.992 556.606i

713.747 725.151i

watt

ºC

Note que Yz0 es simplemente el valor total de U de la

casa.

Balance de energía

El balance de energía puede escribirse como en la (Sección 9.2):

qauxn

TRn

Qintcn Uinf

iw

Uwiw

Ton

i


Ysn i Uii

Yzn

Yzn

Temperatura externa

La temperatura externa se modela por series de Fourier basadas en valores NTo+1 que son un

arreglo de entrada como el siguiente. Si se requieren más detalles, NTo puede incrementarse.

NTo 7 it 0 1 NTo Índice del tiempo

tit it 3 hr Tiempo

n 0 1 3 Harmónicas

wn 2 n

24 hr

j 1


153

Toit

25

26

27

28

29

32

28

24

Tonn

it

Toit

exp j wn tit NT o 1

ºC

Ton

27.375

1.384 0.302i

0.125 0.75i

0.384 0.052i

Ton0 27.375ºC Temperatura media diaria

Radiación solar

La radiación solar transmitida a través de las ventanas puede modelarse para absorber

un 70% en la superficie del piso y el sobrante por las otras superficies en proporción a sus

áreas. Primero empleamos la técnica de la sección 7.3 se determina la radiación solar

absorbida por las superficies externas y las cantidades transmitidas a través de las ventanas.

Datos por localización:

L 35 deg Latitud

90 deg Ángulo de inclinación

nd 185 Número del día del año

g 0.2 Reflactancia del suelo

Primero se desarrollan los cálculos por su geometría solar:

Angulo de declive: 23.45deg sin 360

284 nd

365 deg

22.887 deg


154

Tiempo de puesta del sol: ts acos tan L( ) tan ( )( )( )

hr

15 deg

ts 7.146hr

Arreglo en el tiempo: it 0 1 23

tit it 11.99( ) hr Cálculos del tiempo solar para la radiación solar

hait 15deg

hr tit

Angulo horario (0 al medio día solar)

has ts 15deg

hr

Angulo horario al anochecer

Altitud solar:

it asin cos L( ) cos ( ) cos hait sin L( ) sin ( ) tit ts

Azimut solar:

it acossin it sin L( ) sin ( )

cos it cos L( )

hait

hait

Angulo de incidencia:

cosit iw cos it cos it iw sin ( ) sin it cos ( )

it iw acoscosit iw cosit iw

2

Cálculo de la transmitancía en una atmósfera brillante:

Cálculos de la radiación por la transmitancia a través de la atmósfera:

Al 0.5 Altitud (Km.)

ao 1.03 0.4237 0.00821 6 Al( )2

a1 1.01 0.5055 0.00595 6.5 Al( )[ ]

2

k 1.0 0.2711 0.01858 2.5 Al( )[ ]2


155

bit

i f tit ts ao a1 expk

sin it

0

Determine ahora las propiedades de brillo como una función de intervalos del tiempo j:

Propiedades del cristal de la ventana:

kL 0.1 Coeficiente de extinción espesor del cristal

ng 1.53 Índice de refracción

Angulo de refracción y componentes de reflectividad:

'it iw asinsin it iw

ng

rit iw1

2

sin it iw 'it iw sin it iw 'it iw

2tan it iw 'it iw tan it iw 'it iw

2

Rayo de transmitancia, , reflectancia, o, absorbancia , de brillo:

ait iw expkL

1sin it iw

ng

2

it iw

1 rit iw 2 ait iw

1 rit iw 2 ait iw 2

oit iw rit iw

rit iw 1 rit iw 2 ait iw 2

1 rit iw 2 ait iw 2

s

it iw1 oit iw it iw

Para ventanas con cristales brillantes, dobles:

eit iw

it iw 2

1 oit iw 2

iit iw

sit iw

it iw

1 oit iw 2


156

oit iw

sit iw

sit iw

it iw oit iw

1 oit iw 2

Determine la radiación solar incidente en las paredes externas y transmitidas por las

ventanas:

Para una radiación solar extraterrestre normal:

Ion 1353watt

m2

1 0.033cos 360nd

365 deg

Determine la radiación solar de los rayos:

Ibit iw

Ion bit

cos it iw

Radiación de rayos incidentes

Gbit iw

Ibit iw

eit iw

Radiación de rayos transmitidos

ediw

e10 1

Valor aproximado para la transmitancia difusa (igual para todas las

ventanas)

10 1 64.973deg

Idsit

Ion sin it 0.2710 0.2939bit

1 cos ( )

2

Radiación difusa instantánea incidente

del cielo

Idgit


bit

g

1 cos ( )

2 reflejo del piso

Reflejo del piso

Gdit iw

ediw

Idsit

Idgit

Irradiación difusa transmitida (instantánea)

Gbit iw

Ibit iw

eit iw

Radiación solar transmitida por los rayos de calor; de esta

ecuación pueden modificarse para incluir el efecto de un sobresalto, basado en las ecuaciones

de la sección 7.4.

Irradiación solar incidente total instantánea sobre las superficies externas:

Iit iw Ibit iw

Idsit

Idgit

Sobre las paredes verticales

Ihit


bit

Sobre el piso


157

Radiación solar total instantánea transmitida por las ventanas:

Git iw Gbit iw

Gdit iw

Gaoit iw

oit iw

Ibit iw

o10 iw

Idsit

Idgit

Radiación absorbida en medios

reflejantes externos

Gaiit iw

iit iw

Ibit iw

i10 iw

Idsit

Idgit

Radiación absorbida por medios reflejantes

internos

Flujo por la irrididiación solar incidente (watts/m2):

8 0 80

500

1000

wall 1

wall 2

wall 3

wall 4

roof

wall 1

wall 2

wall 3

wall 4

roof

Ii t 1

Ii t 2

Ii t 3

Ii t 4

Ihi t

ti t

hr

Flujo por la radiación solar transmitida:


158

window 1

window 2

window 3

window 4

window 1

window 2

window 3

window 4

Gi t 1

Gi t 2

Gi t 3

Gi t 4

ti t

hr

Antes de desarrollar los cálculos con las series de Fourier, cambie el tiempo de de origen del

solar del amanecer al anochecer:

tit tit 11.99hr

Componentes solares de la temperatura del aire del sol para las superficies externas:

Tsit iw Iit iw

siw

hiw

Superficies verticales

Tsit 5 Ihit

s4

h4

Piso

Las series de Fourier que se representan son:

n 0 1 3

Tsnn se

it

Tsit se

exp j wn tit 24

Temperaturas equivalentes o de sol - aire:

Teqn se Tonn Tsnn se

La radiación total instantánea transmitida a través de todas las ventanas es:


159

Gtit

iw

Git iw Awiw

La radiación solar absorbida por las superficies de los cuartos es:

Sit i 0.3 GtitAi

i

Ai

Sit 6 0.7 Gtit

Piso:

Se representa por las series de Fourier:

Snn i

it

Sit i

exp j wn tit 24

La radiación solar absorbida en los cristales y que se descargan al aire del cuarto son:

Qgit

iw

1

Rw hoo

it iwIit iw

1

Rw

Rw1

h6

iit iw

Iit iw

Awiw

Qgnn

it

Qgit

exp j wn tit 24

Qgn0 257.483watt

De manera similar podemos modelar las ganancias internas con series de Fourier. En este

ejemplo no se consideran las ganancias internas.

La temperatura del aire del cuarto TR (se asume específica):

TR0

23 ºC n1 1 2 3

TRn1

0 ºC

La temperatura del cuarto puede emplearse como una variable, por ejemplo en una noche que

se atrasa/se pone la luna. En este caso, TR debe modelarse por una serie de Fourier para To.

Para la cimentación:

Tb 23 ºC

Teq0 6 Tb

Teqn1 6 0 ºC


160

Carga de enfriamiento sensible

Primero determine la carga auxiliar media:

qaux0

TR0

Uinf

iw

Uwiw

Ton0 Qgn0

i

Yt0 i Teq0 i Sn0 i Uii

Ys0 i Uii

Yz0

Yz0

qaux0

5.039 103

watt Carga media auxiliar

qauxn1

TRn1

Uinf

iw

Uwiw

Tonn1 Qgnn1

i

Ytn1 i Teqn1 i Snn1 i Uii

Ysn1 i Uii

Yzn1

Yzn1

qauxtit

qaux0

2

n1

Re qauxn1

exp j wn1 tit

Carga mínima de enfriamiento

(Empleada para dimensionar los sistemas de enfriamiento

0 12 2410.51

5.24

qauxti t

kW

it min qauxt 1.051 104

watt

Toit Ton0 2

n1

Re Tonn1 exp j wn1 tit

Temperatura ambiental:


161

0 5 10 15 2023.87

28.87Toi t

it

Note que en este caso la carga de enfriamiento máximo se debe a las ganancias de las altas

ganancias de las ventanas del sureste y a la temperatura externa.

Consumo de energía de enfriamiento

(Basada únicamente en la carga) Qc: se obtiene por la integración numérica de la parte

de la parte negativa de la curva auxiliar de potencia:

qauxt24

qauxt0

t24 24 hr MJ 10

6joule

Note que en este caso, debido a que no hay calentamiento, Qc puede obtenerse de la

potencia promedio.

Se emplean los coeficientes combinados empleados en el modelo anterior para obtener

una solución analítica simple. Un modelo más detallado se describe por Athienitis et al (1990).

El método es similar en concepto al CLD de ASHRAE (1989), pero todos los factores

dinámicos y paredes se evalúan directamente.

Carga de latente de enfriamiento

La carga latente de de enfriamiento se debe al intercambio del aire interno y externo

con diferentes contenidos de humedad y debido a la generación de la humedad de las

personas que los ocupan, equipo, etcétera.

Si el vapor de agua debe eliminarse del aire del aire externo para reducir el nivel de

humedad a un rango de confort, la energía requerida (asumiendo que la humedad relativa

interna es del 50% y la humedad externa es del 80%), se determina como sigue:

Qc

it

q.auxt it

q.auxt it

q.auxt it 1

q.auxt it 1

4tit 1 tit

Qc 435.6 MJ q.aux0

24 hr 435.4 MJ


162

hfg 2465joule1000

kg

Calor latente

air 1.2kg

m3

Densidad

Vol 1.032105

m3

Volumen

L 14 m Longitud

Determine la humedad (kg_vapor/kg_aire seco) de la carta psicrométrica o de las ecuaciones

presentadas en la sección 8.2.

Wi 0.0073

Relaciones de las humedades interna y externa (analizado en la

sección 8.2)

Wo 0.0117

qlatach

3600secVol air Wi Wo hfg

qlat 1.866 10

5 watt

Note que también hay una pequeña carga térmica adicional (sensible), debido a la diferencia

entre las temperaturas de vapor del aire y del cuarto y la del aire externo.

Otras ganancias de calor que deben incluirse: La ganancia del calor interno de

aproximadamente de 67 watts por persona (en las residencias) también deben incluirse, así

como la ganancia de calor de aproximadamente 470 watts por los equipos. Estas ganancias de

calor pueden considerar que son aproximadamente de un 50% convectivos y un 50% radiantes

(absorbidos por cada pared proporcional a sus áreas).

Bibliografía


Athienitis, A. K., M. Stylianou and J. Shou. 1990. "A Methodology for Building Thermal Dynamics Studies and Control Applications," ASHRAE Transactions, Vol. 96, Pt. 2, pp. 839-48.

Athienitis, A. K., H. F. Sullivan and K. G. T. Hollands. 1986. "Analytical Model, Sensitivity Analysis, and Temperature Swings in Direct Gain Rooms," Solar Energy,Vol. 36, pp. 303-12.


163

Capitulo 10

Control térmico en construcciones Las funciones de Laplace (en el dominio - s), algunas veces se emplean para modelar los componentes de la conducta del medio ambiente, en un sistema de entrada – salida, teórico y/o en un sistema de control. Las funciones de transferencia de calor de Laplace para tres subsistemas de una construcción pueden estar combinadas por medio de ecuaciones algebraicas simples, basadas en diagramas de bloques, algebraicos y obtener una respuesta al sistema global, en el dominio de Laplace. La respuesta puede emplearse para dos tipos análisis: estudios del control térmico variable y estudios en el dominio de la frecuencia, con unl análisis de estabilidad. En la sección 10.1, se verán estudios básicos para el control térmico. En la sección 10.2, se presenta una técnica para la transformada inversa numérica de Laplace, en un análisis del control térmico variable. Seguido en la sección 10.3 de un estudio completo de un control térmico para el calentamiento. Finalmente en la sección 10.4 se ven las transformadas - para el control del análisis de un sistema térmico.

Sección 10.1. Funciones de transferencia de Laplace para el control térmico en construcciones Las transformadas de Laplace, facilitan la solución de las ecuaciones diferenciales que representan la conducta térmica dinámica en una construcción, al convertir ésta en funciones algebraicas a la variable s, de la transformada de Laplace. Las funciones transferidas al (dominio - s) de Laplace, pueden emplearse para modelar las conductas de estos componentes, al medio ambiente de la construcción, con los componentes empleados para modelar la conducta de entrada y salida y los componentes térmicos, de calentamiento/enfriamiento y para el sistema de control. Las funciones de transferencia de Laplace para tres subsistemas de la construcción pueden combinarse por medio de ecuaciones algebraicas simples, basadas en diagramas de bloques algebraicas y obtener una respuesta global del sistema en el dominio de Laplace. La respuesta del dominio del sistema de Laplace, se emplea es para dos tipos de análisis: 1. Estudios de control térmico variable, como la respuesta de la temperatura en un cuarto de referencia,

con el cambio de un punto de temperatura de referencia o la respuesta natural de la fuente de calor; la respuesta variable, puede determinarse analíticamente para los casos simples con la transformada inversa de Laplace o por métodos numéricos.

2. El análisis del dominio de la frecuencia de un circuito abierto y la función de transferencia de un circuito cerrado para un análisis de estabilidad.

Definiciones La transformada de Laplace f(s) para una función f (t), se define como:

L f t( )( ) f s( )

0

tf t( ) exp st( )

d

La transformada de Laplace es una transformada de una función lineal. De acuerdo al principio de superposición que puede aplicarse para determinar los efectos de varias entradas o respuestas en una construcción. Transformadas de Laplace empleadas 1. Función rampa: (algunas veces se usan para analizar los perfiles de los puntos de

referencia en los cuartos)

f s( )a

s2

f t( ) at t 0( )

2. Función exponencial: f t( ) exp at( ) t 0( )

f s( )1

s a 3. Función etapa: (Cambios comunes a un punto de referencia, setpoint)


164

4. f t( ) sin wt( )

f s( )w

s2

w2

5. f t( ) cos w t( )

f s( )s

s2

w2

6. Función de traslado -- es una función muy común para modelar un cambio (por ejemplo de un punto

de referencia) después de un tiempo dado o de un atraso en el tiempo:

Dado de L f t( )( ) f s( ) Si la función f (t) se cambia en el tiempo td

Entonces L f t td exp s td f s( )

Por ejemplo, un canal o tubería se representan en una función de transferencia, que puede modelarse por la función de transferencia que se atrasa. Si el canal tiene una longitud L y fluye a través del aire a una velocidad V, entonces el tiempo para atravesar por el canal es td = L/V.

Por tanto

Tout s( )

Tin s( )exp s td

7. Función Integral y derivada son

L

0

tf t( )

d

1

sf s( )

Ldf t( )

dt

s f s( ) f 0( )

f(0) = condición inicial

Modelos simples para un análisis de control térmico Los modelos simples de primer - orden, muchas veces se emplean para un análisis rápido en una construcción o en el sistema térmico de calentamiento/enfriamiento. Modelo simple de un cuarto en el control térmico (presentado en el esquema siguiente): Considere un cuarto con una capacidad térmica interna, C que se determinada al sumar la capacidad térmica de las capas internas de las paredes del cuarto y los contenedores de luz. La conductancia total entre la parte interna y externa es Ut (la resistencia térmica R = 1

/ Ut).

En donde: TR = temperatura del cuarto

To = temperatura externa

qaux = calentamiento auxiliar calentamiento (positivo) / o enfriamiento (negativo)

Un balance de energía para la producción del cuarto es: Energía almacenada + energía perdida = entrada de calor

CdTR

dt Ut TR To qaux


165

C qaux To

RTR

Modelo de zona de primer orden

Circuito de Red

En el dominio de Lapalce:

s C TR s( ) Ut TR s( ) Ut To s( ) qaux s( )

Arreglando la ecuación, se puede demostrar que

TR s( )Ut

C s UtTo s( )

1

C s Utqaux s( )

Las funciones de transferencia de calor, se definen en base a las siguientes ecuaciones:

Ut

C s Ut

1

s 1 Función de transferencia del efecto de To y TR

1

C S Ut

R

s 1 Función de transferencia del efecto de qaux sobre TR

R C Constante del tiempo en el cuarto Ejemplo Investiga el efecto de reciclaje de un horno, sobre las temperaturas enun cuarto de una casa con un valor total de U (incluyendo paredes, infiltración y ventanas), igual a 500 Wad/ºC con un área de paredes de 200metros cuadrados. El forro interno de las paredes es de tablas con yeso (considere que esta este es el principal elemento de la capacidad térmica). El tamaño del horno se basa para mantener la temperatura externa a -5ºC. Se determina el balance de la temperatura del cuarto como una función de las constantes en el tiempo. Parámetros de control: Se determina el tamaño de un horno en base a los siguientes parámetros:

ºC 1 Ut 500

watt

ºC

A 200 m2

To 5 ºC

Temperatura externa

TR 20 ºC Temperatura del cuarto

qmax Ut TR To

Capacidad térmica del horno Pared de yeso:

L 0.013 m Espesor

qmax 1.25 104

watt


166

c 750joule

kg ºC

Capacidad específica

800kg

m3

Densidad Capacidad calorífica:

C A L c C 1.56 10

6

joule

ºC

C

Ut

Constante en el tiempo Podemos determinar la magnitud del efecto de la constante en el tiempo:

var 2 10

Periodos y frecuencia:

P 1 hr w

2

P

Considere un periodo de encendido/apagado (entre 0 y qmax ). Entonces, se analiza el efecto

de la harmónica principal de qaux en el balance de las temperaturas del cuarto.

qmean

qmax

2

qaux t( )

qmax

2sin w t( ) qmean

la función de transferencia G(s) para el efecto del efecto de la fuente de calor sobre TR se

determinara como:

G s( )R

s 1

1

Ut s 1( )

La respuesta en el dominio - Laplace (término harmónico):

TR s( ) G s( ) qaux s( )

TR s( )1

Ut s 1( )

qmax w

2 s2

w2

Se encuentra que

TR t( )qmax

2 Ut var2

w2

1

sin w t ( )

En donde

atan w ( )

TRswing var qmax

Ut var2

w2

1

0.87 2.87 4.87 6.870

2

4

6

TRswing v ar

v ar

hr

0.867 hr


167

Las funciones de primer orden también se emplean comúnmente para resistencias y sensores de calentamiento (posiblemente por su atraso en el tiempo).

Sección 10.2. Respuesta a variables térmicas en construcciones, empleando la inversión numérica en el dominio de Laplace El método empleado para transformar la inversión numérica en circuitos térmicos de Laplace, se desarrolló y se aplica por Vlach y Singhal (1983). Estos investigadores, lo emplearon en construcciones y por Athienitis et al (1990). El método proporciona un medio eficiente, para calcular la respuesta en el tiempo, a sistemas térmicos, sin determinar extremos polares con los residuos térmicos; esto es en funciones térmicas transferidas que son variables y que se atrasan en el tiempo y pueden incluirse al sistema. Lo que permite el empleo de funciones de transferencia en el entorno de la construcción, el cual es un modelo con fundamentos térmicos, con elementos térmicos distribuidos. La inversión numérica, s es un conjunto igual a zi/t, en donde t es el tiempo y zi son constantes determinadas

aproximadamente, encontradas por Vlach y Singhal. El método puede incorporarse fácilmente a sistemas con métodos tratados con respuestas a frecuencias. El comportamiento técnico en base a la teoría se presenta posteriormente, seguido de un ejemplo. Por definición la inversa de la transformada de Laplace cambia la función v (t) a la función transferida V(s) definida por:

v t( )1

2 jc j

c j

sV s( ) est

d

(1) Sin embargo la inversión exacta es únicamente posible si los polos de V(s) que se conocen. Para llegar a encontrar la raíz, se sustituye st por z.

v t( )1

2 jc' j

c' j

zVz

t

ez

d

(2)

Posteriormente por una función racional, dada por Pade, ez

RN M

PN z( )

QM z( )

i

M N iN

i

zi

i

1( )i

M N iM

i

zi

(3) En donde PN(z) y QM(z), son polinomios de los ordenes N y M, respectivamente. Los primeros

términos M+N+1 de esta función son iguales a la expansión ez de Taylor. Cuando (3) se inserta en (2), la aproximación de v'(t) en v(t) es

v' t( )1

2 j tc' j

c' j

zVz

t

RM N z( )

d

(4) Empleado el residuo del cálculo, se puede demostrar que

RN M

i

Ki

z zi i =1. . . M y N<M (5)


168

Donde Ki , son residuos y zi son polos. El camino cerrando de integración alrededor de los

polos de RN,M en la mitad del plano de la derecha, puede entonces puede encontrarse que

v' t( )1

t

i

Ki Vzi

t

i=1.. M (6) La cual es la fórmula básica de una inversión. Las funciones de tiempo real pueden ahora ser evaluadas al emplear únicamente los polos zi a la mitad del plano superior, esto reduce los

cálculos de cómputo a la mitad. SI M es uniforme y la barra denota un complejo conjugado, entonces

v' t( )1

t

i

Ki Vzi

t

1

t

i

Ki

V

zi

t

i =1. . . M' (7)

v' t( )1

ti

Re K'i Vzi

t

i=1. . . M' Donde M' = M/2 y K'i = 2·Ki , y zi para diferentes M y N, han sido calculados con una alta

precisión y tabuladados por Vlach y Singhal (1983). Los polos zi y residuos K'i para la inversión se presentan abajo cuando M = 10 y N = 8.

j 1 M' 5 i 1 2 M'

z1 11.830093739168191.593753005885813j

z2 11.220853779395194.792964167565670j

z3 9.9333837221750028.033106334266296j

z4 7.78114626446461611.36889164904993j z5 4.23452249479700014.95704378128156j

K'1 16286.62368050479139074.7115516051j

K'2 28178.11171305163 74357.58237274176j

K'3 14629.7402523314219181.80818501836j

K'4 2870.418161032078 1674.109484084304j

K'5 132.165941247487617.47674798877164j

n 1 2 36 t 1 hr ºC 1

tn n t Arreglo en el tiempo

12 hr Constante en el tiempo

si n

zi

tn

La función de transferencia de calor en la construcción, se presenta por la ecuación:

G s( )1

s 1

La función de transferencia de Laplace en la entrada a un paso es 1/s:

To s( )1

s

Por lo tanto, la respuesta en el dominio de la Laplace es:

TR s( ) G s( ) To s( )

La función transferida de Laplace, que se invierte de esta última es


169

Vi n TR si n Se puede remplazar esta función, por otra diferente en su forma de

inversión. La respuesta en el dominio del tiempo es

TRn

1

tni

Re K'i Vi n

0 1 2 30

0.5

1

0.63TR

n

1

tn

Por lo tanto, cuando n =12 corresponde a una constante en el tiempo:

TR12

0.632ºC

Bibliografía

Athienitis, A. K., M. Stylianou and J. Shou. 1990. "A Methodology for Building Thermal Dynamics Studies and Control Applications." ASHRAE Transactions. Vol. 96, Pt. 2, pp. 839-48.

Stephanopoulos, G. 1984. Chemical Process Control, an Introduction to Theory and Practice.

Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall.

Vlach, J., and K. Singhal. 1983. Computer Methods for Circuit Analysis and Design. Van Nostrand Reinhold Co.

Sección 10.3. Control térmico y respuesta a variables en un sistema de calentamiento El sistema HVCA y el control de funciones de transferencia de calor en construcciones se combina con el algebra y en diagramas de bloques, para obtener sistemas globales de funciones de transferencia - s. Estas funciones de transferencia se estudian en el dominio de la

frecuencia (s = j·w) en donde su estabilidad y otros análisis globales que se emplean para la respuesta es en los análisis oscilantes o para fijar puntos de referencia y en las variaciones de las cargas térmicas que se emplean para la inversión numérica de las transformadas de Laplace. Esta técnica se describió en la sección 10.2. Controlador (integral - derivado -proporcional) PID La función de transferencia de un controlador (integral - derivado - proporcional) PID, es igual a una relación para controlar su salida y de su entrada (error) en el dominio de Laplace. Sus salidas son proporcionales al error de la integral sobre el tiempo y la rapidez del cambio del error. La función de transferencia del controlador PID, se planteó por (Stephanopoulos 1984):

Gc s( ) Kp 11

i s D s

Donde Kp es la ganancia proporcional, i es el tiempo integral y D es la derivada del

tiempo. Normalmente un controlador proporcional o un controlador proporcional - integral es satisfactorio en los sistemas HVAC. Método del controlador en base constante (PID) de Ziegler – Nichols


170

Las constantes de control de PID, se seleccionan en base a varios métodos de ajuste a un valor, como con el método de Ziegel Nichols. Primero se determina, la frecuencia encontrada y la última ganancia Ku, que es la ganancia proporcional para la cual el sistema

está al límite de su estabilidad. Los siguientes valores se recomiendan, para los controladores de P, PI, y PID:

Controlador proporcional: Kp 0.5 Ku

Controlador P-I:

Kp

Ku

2.2

i

Pu

1.2

Pu es el último periodo (correspondiente a la frecuencia encontrada)

Controlador PID:

Kp

Ku

1.7

i

Pu

2

D

Pu

8

Sistemas de calentamiento convectivo Analice un cuarto con un calentamiento convectivo y un control simple de alimentación y retroceso K con las cargas de entrada Q (j), que influyen en la temperatura del cuarto T (1), (también denotado como Tai) a través de las funciones de transferencia Zij (ver la siguiente

figura). Los resultados de las variaciones de la temperatura en el cuarto, como una función de un punto de referencia y de los cambios de las cargas se obtienen a través de algebra de diagramas de bloques, como sigue:

Tsp

Punto de referencia

Controlador

Gc

Elemento de control

final

Gf

Sistema

HVAC

Gm Z11

Función de

Transferencia

en el cuarto

Zij

Carga externa

Q(j)

T

++-

Sensor

Tm

Gs

T = temperatura del controlador, valor actual

Tm = temperatura medida

Tai Tsp

Gc Gf Gm Z11

1 Gc Gf Gm Z11 Gs

j

Q j( )Z1 j

1 Gc Gf Gm Z11 Gs

(1)

j 1 2 K Donde Tsp es el punto de referencia y G son las funciones de transferencia indicadas

en el diagrama de bloques. Todas las variables son funciones de s. Cuando

Gsp s( )Gc Gf Gm Z11

1 Gc Gf Gm Z11 Gs Función de transferencia del punto de referencia

GOL Gc Gf Gm Z11 Gs Función de transferencia con un circuito abierto (loop)


171

Ecuación característica:

1 Gc Gf Gm Z11 Gs

En el circuito (loop) de una función de transferencia que se emplea para analizar la estabilidad se emplea el criterio de Nyquist, o el criterio de Bode. Por ejemplo con el criterio de Bode, se emplea para determinar el periodo y la ganancia en el límite de estabilidad, conocido como el último periodo y última ganancia en el límite de estabilidad, conocido como el último periodo y última ganancia de Ku respectivamente, en la cual el ángulo de fase de la función de

transferencia del loop (para un control proporcional) es igual a 180 deg. La última ganancia se determina en base al hecho a la magnitud de la frecuencia es sobre cruzada a la función de transferencia del loop abierto, (la relación de amplitud) es igual a un límite de estabilidad. La selección de la ganancia actual, se basa en diversas técnicas de ajuste, como el método de Ziegler-Nichols. Normalmente, el ajuste de la frecuencia se desarrolla en el sitio para los sistemas HVAC debido a que los parámetros del sistema usualmente no se conocen con precisión; algunos algoritmos de ajuste - medio, también pueden emplearse. Sin embargo el análisis, es útil para la comparación de algoritmos alternativos de control, los efectos de los sensores a diferentes constantes de tiempo y parámetros del sistema como es la constante en el tiempo de una resistencia helicoidal o la constante en el tiempo de la construcción. Ejemplo: Un cuarto se calienta por un ventilador convectivo de 2kW. La temperatura del aire se mide con un termopar de respuesta rápida, la salida se compara con un punto de referencia, de voltaje y el error de la señal se amplifica para operar un control SCR (tiristor), en el elemento de calentamiento del ventilador. El sensor esta separado 3 m del calentador y el aire se elimina del calentador a 0.1 m/s; considerando, que se producirá un decrecimiento de temperatura del sensor. Empleando los datos presentados abajo, determine la ganancia terminal (límite de estabilidad) del ambiente por las ecuaciones de Ziegler-Nichols, para el control integral proporcional. Entonces determine la respuesta de la temperatura del cuarto debido a un cambio de 1ºC del punto de referencia con el método numérico de las transformadas inversas de Laplace. Parámetros de referencia

ºC 1 Datos del cuarto:

U 160watt

ºC

Valor total de U del cuarto

Vol 40 m3

Volumen del cuarto

cair 1200joule

m3

ºC

Densidad y coeficiente térmico del aire

C Vol cair

C 4.8 104

joule

ºC

Capacidad térmica, únicamente del aire

rC

U

r 300sec

Constante de tiempo del cuarto para un calentamiento convectivo rápido; se puede incrementar por un factor de 2 - 3 por el efecto del contenido, dentro del cuarto.

Sensor:

s 15 sec

td 3m

0.1m

sec

Constante en el tiempo

td 30sec Retrazo en el tiempo debido al paso del aire en el calentador

del termostato

Calentador:


172

Kh 2 kW

Capacidad calorífica y constante del tiempo

h 20 sec

Primero se establecen los componentes de las funciones de transferencia: Funciones de transferencia del cuarto:

Z11 s( )Tai s( )

qaux s( )

Z11 s( )1

U r s 1

Función de transferencia de calor:

Gm

qaux s( )

degC

Gm s( )Kh

h s 1

Función de transferencia del sensor:

Gs s( )Tmeasured

Tactual

Gs s( )exp td s s s 1

Primero se considera el control proporcional. Para simplificar y para generalizar este ejemplo, la S y las constantes SCRF y Kscr, se combinan con la constante de control proporcional Kp, y obtener una

ganancia modificada K:

Gc Gf K Kscr Kp Cuando inicialmente K 1

Función de transferencia de un loop y análisis de estabilidad

GOL s( ) K Gm s( ) Z11 s( ) Gs s( )

j 1 Rango de frecuencia:

P 5000 sec Periodo:

n 1 2 50 wn

2 n

P

Angulo de fase:

ph GOL w n arg GOL j wn 2 i f arg GOL j wn 0 1 0

La frecuencia sobre cruzada aproximada es igual a:

wco 0.027rad

sec

Cálculo de la última ganancia (en el límite de estabilidad):

1 103

0.01 0.10

200

400

180

ph GOL w n deg

wn

rad

sec


173

Ku1

GOL j wco

Ku 0.801

Última ganancia

Pu2

wco

Último periodo

Kp

Ku

2.2

Kp 0.364

i

Pu

1.2

i 193.925sec

Gc s( ) Kp 11

i s

PI es la función de transferencia controlada Cambiando un paso unitario, al punto de referencia:

Tsp s( )1

s

Gsp s( )Gc s( ) Gm s( ) Z11 s( )

1 Gc s( ) Gm s( ) Z11 s( ) Gs s( )

En este caso la función de transferencia del punto de referencia es Gsp(s)

Tai s( ) Gsp s( ) Tsp s( ) Temperatura del cuarto en el dominio de Laplace

Respuesta en el dominio del tiempo empleando el método numérico de la transformada inversa de Lapalce: Los polos zi y los residuos K'i para la inversión se presentan abajo para M = 10 y N = 8.

M' 5 i 1 2 M' z1 11.830093739168191.593753005885813j

z2 11.220853779395194.792964167565670j

z3 9.9333837221750028.033106334266296j

z4 7.78114626446461611.36889164904993j

z5 4.23452249479700014.95704378128156j

K'1 16286.62368050479139074.7115516051j

K'2 28178.11171305163 74357.58237274176j

K'3 14629.7402523314219181.80818501836j

K'4 2870.418161032078 1674.109484084304j

K'5 132.165941247487617.47674798877164j

l 1 2 80 t 30 sec

tl l t Arreglo en el tiempo

si l

zi

tl

La función de Lapalce invertida es

Vi l Tai si l

La respuesta en el dominio del tiempo se presenta como

Pu 232.711sec


174

Tai0 0 ºC

Tail1

tli

Re K'i Vi l

0.008333 0.21 0.41 0.610

1

2

Tai l

ºC

tl

hr

La gráfica muestra los cambios de la temperatura del cuarto debido a los cambios del punto de referencia cada 1 ºC.

max Tai( ) 1.54 ºC Bibliografía

Athienitis, A. K., M. Stylianou and J. Shou. 1990. "A Methodology for Building Thermal Dynamics Studies and Control Applications." ASHRAE Transactions, Vol. 96, Pt. 2, pp. 839-48.

Stephanopoulos, G. 1984, Chemical Process Control, an Introduction to Theory and Practice. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall.

Vlach, J., and K. Singhal. 1983. Computer Methods for Circuit Analysis and Design. Van

Nostrand Reinhold Co.

Sección 10.4. Transformadas - Z y sus aplicaciones digitales en la simulación del control térmico Las transformadas - Z, proporcionan un método simple y elegante para resolver diferencias entre ecuaciones lineales. Estas se ajustan a los sistemas de simulación o de control digital, como aquellos que se emplean en la simulación de sistemas de control digital, como son los sistemas HVAC, en el análisis de energía de construcciones con los datos horarios del tiempo. Estos juegan el mismo fin (rol), como con las transformadas de Laplace para sistemas continuos. Aquí se consideran sus aplicaciones para el control térmico. Primero se revisa la teoría básica, enseguida se presenta un ejemplo. Considere la muestra de una función continua y(t) a intervalos uniformes de tiempo t. La transformada - Z de la secuencia de los valores muestreados, se definen por:

Z y 0( ) y t( ) y 2 t( ) ..( )

n

y n t( ) zn

n 0 1

Recordando que para una secuencia de impulsos en las transformadas de Laplace es:

y s( )

n

y n t( ) exp n t s( )( )

Se sustituye

z exp t s( ) Y se obtiene:

y s( )

n

y n t( ) zn

y z( )


175

Por lo tanto, la transformada -Z de una secuencia de valores de la muestra es un caso especial de la transformada de Lapalce es la misma secuencia de impulsos, cuando se substituye en z = exp(t s). Ejemplo: en un paso unitario

f t( ) 1 t 0( )

z f t( )( ) 1 1 z1

1 z2

n

zn

1

1 z1

Función exponencial:

Z ea t z

z ea t

Retrazo en el tiempo: td k t

Dado que Z f ( )( ) f z( ) entonces Z f td f z( ) z

k

Integral:

y ( )

0

n t

f ( )

d

y z( )t

2

1 z1

1 z1

f z( )

Derivada:

y z( )1

t1 z

1 f z( )

Teorema del valor - final: Estos valores pueden emplearse para encontrar el valor de la respuesta en un sistema en estado estacionario.

lim y t( )( ) Cuando t --> es igual a

lim 1 z1

y z( ) Cuando -->

Algoritmo PID: Hay dos formas de presentar el algoritmo digital PID: la forma de la posición y la forma de la velocidad. La forma de la velocidad, tiene la ventaja de que no requiere la inicialización de los datos de entrada, únicamente se requieren los cambios en la variable de control. La función de transferencia de la velocidad del controlador PID, se presenta por:

Gc z( ) Kp 1t

I

D

t

1

2 D

t

z1

D

tz

2

Donde Kp es la ganancia proporcional, i es la integral del tiempo y D es el tiempo

derivado, donde (t es la muestra de tiempo). Una función continua, requiere construirse por señales discretas cuando el dispositivo es controlarlo por una computadora. Un elemento es la computadora que se emplea para este propósito. Ejemplo: Analice un circuito (loop) de control de retroceso digital simple y determine la respuesta del sistema para el cambio de un paso en un punto de referencia. El loop, consiste de un algoritmo de control, en la computadora de control en donde el orden - cero, convierte los valores digitales la cual convierte los valores de las muestras a pulsos cortos (salidas analógicas), como la función de transferencia de un sistema en un cuarto de calentamiento, como se presenta en el siguiente diagrama:


176

Tsp (z)

Punto de

referencia

Algoritmo

de control

D(z)

Cabina

H(z)

Función de

transferencia

del calentador

al cuarto

G(z)

Zij

T

++-

Tsp z( )1

1 z1

Cambio del paso unitario del punto de control Parámetros de control:

degC 1 Kc

1

degC

D z( ) Kc

Constante del control proporcional Se considera la función de transferencia de primer orden para G(z):

h 6 hr Constante en el tiempo

Kh 1 Capacidad del sistema normalizado

t 1800 sec Periodo de muestreo Es recomendable que el periodo de muestreo, se encuentre entre 0.1 y 0.2, veces la constante de tiempo del sistema para obtener estabilidad (Stephanopoulos 1984).

H z( ) G z( ) Z 1e

t s

s

Kh

h s 1

La función de transferencia de pulsos -- combinada con el sistema de calentamiento (en el dominio de Laplace) nos da:

HG z( ) Kh

1 expt

h

z1

1 expt

h

z1

HG(z) se conoce como la función de pulso de transferencia - z (la función que mantiene la transferencia de orden cero del proceso). Cambios a la respuesta del punto de referencia de un loop cerrado:

T z( )

Tsp z( )

HG z( ) D z( )

1 HG z( ) D z( )

La respuesta en el dominio del tiempo, T(i), del sistema se determina como sigue:

T z( )HG z( ) D z( )

1 HG z( ) D z( )Tsp z( )

i 1 2 40 Arreglo en el tiempo


177

Ti

Kc Kh

1 Kc Kh1 exp

i t

h

1 Kc Kh

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

Ti

it

hr

La respuesta en el estado estacionario es igual a 0.5ºC, esto es, hay una compensación de 0.5ºC del estado estacionario (la compensación es la diferencia del estado estacionario entre el punto de referencia deseado y la temperatura actual). Estabilidad Si la función del sistema del loop de transferencia puede expresarse como una relación

de dos polinomios en z-1 (como en caso analizado) entonces el sistema es estable si las raíces del denominador permanecen en un ciclo unitario. Raíces encontradas:

j 1 z 0.9

r1 root 1 HG z( ) D z( ) z( ) (Únicamente una raíz)

Por lo tanto el sistema es estable. Note que este es en el caso que pueda ser determinada analíticamente como con

expt

h

2 1 0.84

Como puede verse, si intervalo del muestreo t no es el apropiado, el proceso de muestreo puede introducir inestabilidades aún para el control proporcional del sistema de calentamiento. Bibliografía Stephanopoulos, G. 1984. Chemical process control, an introduction to theory and practice. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall.

r1 0.84


178

Capitulo 11

Cálculos de sistemas hidráulicos con calentamiento El flujo hidráulico con carga térmica de calentamiento, se emplea para diseñar equipos de calentamiento (ver Capitulo 10), así como para analizar la carga máxima en los equipos de enfriamiento. Este capitulo introduce técnicas rápidas para el diseño de sistemas de calentamiento con convección de calor en sistemas hidráulicos (con elementos de tubos delgados) como radiadores por secciones. En la sección 11.1 se presentan los principales componentes del diseño de estos sistemas de calefacción con una bomba, tubería y un calentador. Las secciones 11.2 y 11.3 presentan las técnicas para dimensionar un tanque de expansión y su chimenea respectivamente.

Sección 11.1 Sistema hidráulico con bombeo en tubería y sistema de calentamiento Un sistema hidráulico cerrado contiene unos cuantos componentes principales; en este caso el sistema de calentamiento, consiste de una fuente de calor con un sistema de distribución de tuberías (incluyendo radiadores, soportadas en bases de concreto, hierro, etcétera), hacia un tanque de expansión que opera como cámara de expansión, a la que pueden se le pueden colocar algunos accesorios de control volumétrico para el calentador del agua, una bomba para recircularla por la tubería.

Componentes principales de un sistema solar térmico

Bomba

Sistema de distribución

Calentador

por ejemplo un boilerEspacio del

calentador

Cámara de

expansión

El cálculo del tamaño del sistema de calentamiento y sus componentes sigue un número de etapas como las siguientes: 1. Se determina la carga máxima por zonas (área en la cual el distribuidor de calor como el radiador

debe localizarse) empleando las técnicas, como las presentadas en la sección 9.2. Estas pueden verse como las salidas de los radiadores (o de otro dispositivo) de cada zona.

2. La suma de las cargas máximas de las zonas Qh, más las pérdidas continuas del calentador (por ejemplo. 1 - 3%) y las pérdidas de la tubería Qp es igual a la salida del calentador Qout.

Qout Qh Qp 3. La relación de energía de salida Qout a la energía de entrada Qin (del valor calorífico del

combustible) es la eficiencia Eff del calentador.

EffQout

Qin 4. Normalmente el radiador se sobre diseña aproximadamente entre un 10-20%, entonces se asume

que Qout y Qh son iguales con propósitos de diseño. El caudal de flujo de la bomba, Qv, requerido para entregar el agua caliente, se determina de la siguiente ecuación:


179

QvQh

c Tsup Tret( )

En donde: = densidad

c = capacidad calorífica especifica del agua Tsup = temperatura de suministro de agua

Tret = temperatura de retorno del agua

5. La ecuación básica para la caída de presión en fluidos Newtonianos es la ecuación (Darcy-Weisbach), es:

p fL

D

V2

2

V ..Velocidad f ..Factor de fricción

D ..Diámetro L ..Longitud

La cabeza requerida por una bomba disponible es: h

p

g El factor de fricción f, depende del número adimensional de Reynolds y de la rugosidad, C, de la tubería. El factor de fricción puede determinarse de la carta de Moody o de ecuaciones de correlación como la de Hazen-Williams que se presentará posteriormente. Las caídas de presión en válvulas y otros accesorios pueden expresarse como longitudes equivalentes de la tubería, usando los coeficientes de pérdida de presión del accesorio k:

p k V

2

2

Normalmente se seleccionan los tamaños típicos de las tuberías en base a los caudales de flujo deseados, o de las caídas de presión disponibles. Cálculos en los sistemas de tuberías La ecuación de Hazen-Williams, se emplea para los cálculos de la caída de presión en tuberías:

983kg

m3

Densidad del agua a 60 ºC

g 9.81m

sec2

C 140 Constante de rugosidad en los tubos de cobre o de plástico

p L V D( ) 6.819L

V

m

sec

C

1.852

1

D

m

1.167

g

La caída de presión (Pa) en una tubería con diámetro interno D (m), longitud L (m) y velocidad de flujo promedio V, (m/s)

L 1 m i 1 2 10 j 1 2 4

Di 0.008 i 0.002( ) m

V j jm

sec

Pi j p L Vj Di caída de presión como una función de la longitud, velocidad y diámetro

VARIACIÓN DE P CON EL DIÁMETRO


180

0 0.01 0.02 0.030

5000

1 104

1.5 104

Pi 1

Pi 2

Pi 3

Di

m

VARIACIÓN DE P CON LA VELOCIDAD

1 2 3 40

1 104

2 104

P1 j

P5 j

P10 j

V j

Ejemplo: Una tubería tiene 20mm de diámetro, le pasa agua a una velocidad de flujo de 1 m/sec y hay una caída de presión entre el nodo 6 y 1 de 669.903Pa: Parámetros de control:

D6 0.02m V1 1

m

sec

P6 1 669.903Pa

D 0.025 m V 1.5

m

sec

p L V D( ) 1.094 103

Pa

Qv D

2

4 V

Qv 0.736

l i ter

sec

..caudal de flujo Cálculos de bombeo en el sistema de la tubería ASHRAE (1996), recomienda que el rango de pérdidas fricción este entre un rango de (100 - 400) Pa/m para la tubería. Normalmente a un valor de 250 Pa/m es un valor promedio de diseño. La velocidad límite recomendada para reducir las pérdidas en la tubería es de 1.2 m/s. Las velocidad mima es aproximadamente de 0.5 m/s y se recomienda para evitar la cavitación. El diámetro de la tubería se selecciona antes de detallar los cálculos por la influencia de los accesorios. Empleando una regla de diseño común, que se usa, es que la longitud de la tubería sea un 50-100% más larga, que las pérdidas por los accesorios presentes.

Ejemplo: Una casa tiene un tejado, con un área de 170m2, se ha estimado que hay una carga solar máxima de 21kW. Se le implementa un sistema de calentamiento térmico hidráulico, que alimenta agua caliente a nueve radiadores/convección (solar) y a un boiler de agua domestico . Parámetros de control:

ºC 1


181

Qh 21000 watt Capacidad térmica total de los radiadores, (dados por el colector solar del tejado) más el calentador de agua doméstico

c 4200joule

kg

Calor específico del agua

Tret 70 ºC Tsup 80 ºC

QvQh

c Tsup Tret( )

Qv 0.509

l i ter

sec

Caudal de flujo volumétrico que proporciona la bomba

Estimado aproximado de la caída de presión y a la velocidad de la tubería en base a los caudales de flujo requeridos Porción que va del calentador solar (3000 watts):

Qvsolar3000watt

QhQv

Qvsolar 0.073

l i ter

sec

Diámetro de la tubería seleccionada para el calentador de agua caliente:

Dsolar 0.013m

Velocidad del fluido en el calentador:

VQvsolar 4

Dsolar2

V 0.547

m

sec

Valor estimado de la caída

de presión del calentador: p L V D( ) 169.172 Pa

Diámetro del tubo del suministro principal (nominal 28 mm OD) D1 0.025m

Velocidad en la tubería

VQv Qvsolar

0.25 D12

V 0.888

m

sec

de 0.013*m Valor estimado de la caída de presión en un tubo de 0.013*m

p L V D( ) 414.515 Pa Diámetro externo de tres tubos de 22mm de tomados de la tubería principal:

D2 0.019m

Velocidad de la caída de

VQv Qvsolar

0.25 D22

3

V 0.513

m

sec

Presión de la tubería Diámetro del tubo del suministro de agua principal (nominal 100mm OD)

D3 0.010m

Velocidad en la caída de presión de la tubería de las tres ramas de 13 mm OD con tubos de 22 mm (que alimentan a un total de 9 radiadores)

VQv Qvsolar

0.25 D32

9

V 0.617

m

sec

Valor estimado de la caída de presión del tubo de 0.013*m p L V D( ) 210.985 Pa


182

Asumiendo que el sistema es de retorno inverso y cada rama tiene una longitud de 5 m, la longitud total se duplica por cada retorno, la longitud total para contabilizar los accesorios (esto es la longitud efectiva es de 5x2x2=20m de cada rama), la caída de presión que debe vencer la bomba es:

Ppump 20 m 415 150 211( )Pa

m

Ppump 1.552 104

Pa Por lo tanto la bomba debe de ser capaz de suministrar, Qv - Qvsolar a 15 kPa. Una bomba anexa, se selecciona para el colector. La presión que debe superar es (asumiendo una distancia de 6x2x2=24m) determinada por la ecuación:

Ppump 24 m 169Pa

m

Ppump 4.056 103

Pa Un análisis más detallado se requiere, para su evaluación en las caídas de presión con más precisión, así como en los caudales de flujo. Se pueden poner un conjunto de ecuaciones no lineales basadas en la caída de presión, entre los puntos nodales (ramas de salida) y un balance de masa en los puntos nodales. Por ejemplo: Qtotal_into_node = Suma de los caudales de flujo que abandonan un nodo

Qtotal

branches

Pi

Ri

Qtotal = caudal de flujo en el nodo

Ri = resistencia del fluido de la rama i (del caudal de flujo que sale del nodo

Pi = caída de presión de la rama i

Las ecuaciones pueden presentarse en todos los nodos. Entonces con estas ecuaciones pueden resolverse se pueden obtener todos los caudales de flujo exactos, así como sus caídas de presión. Bibliografía ASHRAE, 1996, Handbook- Systems and Equipment, Atlanta, GA.

Sección 11.2 Tanque de expansión Dimensionamiento del tanque de expansión El tanque de expansión guarda el volumen del agua de un sistema de calentamiento hidráulico, (presentado en la sección 11.1) debido al cambio en la temperatura (aproximadamente entre 70 - 80ºC), lo que significa que proporciona el espacio en el cual el líquido no comprensible, se expande. La localización preferida al tanque es después del calentador/boiler, pero antes de la bomba para disminuir, el riesgo de cavitación en la bomba, debido a una baja presión en su entrada. El volumen requerido para el tanque de expansión requerido (generalmente del tipo cerrado esta en función de las diferencias en el volumen del sistema del agua debido a los cambios en las temperaturas y presiones (ASHRAE, 1996). Ejemplo: Considere el diseño de un tanque de expansión para un sistema de calentamiento hidráulico, que opera hasta un quinto nivel de un edificio, el cual tiene cinco departamentos, conectados a un sistema de radiación solar. Considere que el boiler se localiza en la planta baja y se conecta con el sistema de radiación con retorno inverso. Parámetros de control: Primero se estima el volumen del sistema:

Tubería estimada (asumiendo el sistema de retorno inverso): r 14 mm h 15 m

Vp r2

h 4 Vp 0.037m3

Volumen de agua en tuberías

Vb 25 liter Agua en el boiler


183

Estime que el agua en los radiadores (salida total es de 14 Kw.). Asuma que la potencia por metro del radiador es de aproximadamente de 1160 watts por 1 m y que la carga es de 4.2 litros por metro de longitud:

Qaux 14000watt Lrad Qaux 1

m

1160 watt

Vr Lrad 4.2

l i ter

m

Vr 50.69liter

Volumen del sistema: Vs Vp Vb Vr Vs 112.635liter Considere las condiciones del volumen entre las condiciones frías (1) y las calientes (2), como las presentadas en la sección 8.2:

v1 .0010007m

3

kg

..Volumen especifico del agua a 14ºC

v2 .0010361m

3

kg

..Volumen específico del agua a 90ºC

1000kg

m3

P1 g h 101000Pa

P1 2.481 10

5 Pa

Presión a temperatura baja

P2 400000Pa ..Presión a temperatura alta dT 60 K

v2

v1

1.035

17.1 106

K

Coeficiente de expansión en las tuberías

Vt Vs

v2

v1

1 3 dT

1

P1

P2

Vt 9.579liter Volumen en el tanque de expansión

Vt Vs

v2

v1

1

101000Pa

P1

101000Pa

P2

Vt 25.774liter Volumen del tanque cerrado sin

diafragma (no se considera expansión en la tubería)

Bibliografía ASHRAE, 1996, Handbook- Systems and Equipment, Atlanta, GA.

Sección 11.3. Diseño de un sistema con chimenea Diseño de un sistema térmico con chimenea Las chimeneas se diseñan para tener un control adecuado, en el arrastre y eliminación de los gases de combustión producidos en un quemador, horno o boiler controlado. Del quemador, se obtienen lecturas negativas de la presión medida, respecto a la presión atmosférica. En el diseño intervienen fuerzas de flotación en contra de las fuerzas por las pérdidas por fricción.


184

La corriente de aire, que se produce por la convección natural de los gases calientes de la combustión se presenta a través de la chimenea; también en estas se diseñan con ventiladores de aspas. Otra aplicación puede requerir una corriente de aire con el gas de combustión en la cámara de combustión, con una bonete al final del tiro de la chimenea, para evitar que el proceso de combustión este aislado de las variaciones de las corrientes de aire externas. Un tercer tipo de combustión es la aplicación de la producción de una presión positiva a la salida de los gases de combustión. Corriente de teórica de aire Dt, se debe a la presión de flotación de los gases calientes de

combustión. Esta esta en función de la altura de la chimenea y de la diferencia promedio de la temperatura del gas. Corriente disponible del aire Da, es la corriente de aire necesaria que se aplica del exterior. Si la altura de la chimenea es muy alta o también si la corriente del aire es mayor a la prevista, entonces la cantidad de la corriente de aire disponible, que se requiere debe ser corriente controlada. La corriente requerida, para evitar la resistencia de flujo en la chimenea es igual a la diferencia entre la corriente de aire teórica y la corriente de aire disponible.

p Dt Da

La velocidad de un gas de combustión en una chimenea, esta normalmente en el rango de 1.5 a 15 m/s. El bonete que se instala en el tope de la chimenea es para incrementar la velocidad y almacenar los efluentes dispersos que llegan al tope. Durante el análisis del sistema de una chimenea, primero se debe determinar la relación de flujo entre los gases de combustión por Kg. de combustible quemado. Entonces la corriente teórica, se determina (dependiendo de la fuerza de flotación) la cual es una función de la altura de la chimenea y de la temperatura del gas de combustión. En base a un diámetro seleccionado, la velocidad de flujo se determina así como la caída de presión. La diferencia entre la corriente de aire teórica y el flujo de la caída de presión es la corriente del aire disponible. Ejemplo: Diseño de una chimenea En el análisis del siguiente sistema de la chimenea, en un boiler de 30 Kw. que quema aceite (aceite No.2). Considere que la temperatura promedio de los gases de la chimenea es de 220ºC y que la temperatura del medio ambiente es de 0ºC. (La teoría y propiedades se encuentran en ASHRAE 1996)

Quemador

H = altura de

La chimenea


CO2 9 %CO2 en los gases de combustible de aceite No.2 Primero se determina la relación de flujo de masa (Kg. gases de combustible/MJ combustible quemado), donde M es el tipo de combustible y de %CO2:


185

M 0.31 .1214.4

CO2

M 0.533 Kg. /MJ

I 30 Kw. Entrada al horno/boiler

w IM

1000

g/s caudal de flujo masa de combustible w 0.016

B 101000 Presión atmosférica, Pa

Tm 273 220 Temperatura promedio de los gases de la chimenea (K)

To 273 T ambiente Se asume una altura de la chimenea y entonces esta se verifica:

H 6 La altura propuesta de la chimenea de los gases combustible, se presenta en metros

La siguiente ecuación para la corriente teórica no considera el enfriamiento de los gases de combustible durante su flujo a través de la chimenea; este proceso reducirá Tm y Dt.

La corriente teórica de la corriente, es la diferencia en peso entre la corriente de aire ligera en la chimenea y la columna igual al aire del ambiente (flotación):

Dt 0.03413B H1

To

1

Tm

Dt 33.808

Corriente teórica

0.00348B

Tm

Densidad de los gases de combustible Kg. /m3 0.713 Asumiendo un diámetro de quemador y verificando su velocidad: di 120

Diámetro de la chimenea (mm) Si la tubería tiene un codo de 90 grados (k = 0.75), una Tee (k = 1.25) y una reducción campana (k = 1), se determina el valor total de k (coeficiente de resistencia del sistema adimensional) como sigue:

k 0.75 1.25 1.0 0.033H1000

di

k 4.65 Coeficiente de resistencia del sistema adimensional de la chimenea: (el último término del coeficiente es el estado de cuenta de las pérdidas por fricción en una tubería recta)

VI M 4 1000

di2

V 1.984 Velocidad de los gases de combustible de los gases, m/s (el rango recomendado es (1.5 -15)

pk V

2

2

p 6.524 Caída de presión en la chimenea y accesorios (Pa)

Da Dt p Da 27.285 Corriente disponible (Pa)

Muchos calentadores requieren aproximadamente 20 Pa en su corriente de su salida. Por lo tanto el diseño anterior es aceptable. Bibliografía ASHRAE, 1996, Handbook- Systems and Equipment, Atlanta, GA.


186

Capítulo 12

Análisis de sistemas de calentamiento con radiación solar Este capítulo, presenta técnicas para análisis térmicos de fuentes radiantes. De diferencias finitas explicitas, que se emplean, para determinar las cargas caloríficas en diferentes horarios y temperaturas medidas en un cuarto. La sección 12.1, trata sobre el calentamiento del piso, mientras que la sección 12.2 se enfoca al análisis térmico del calentamiento en techos.

Sección 12.1 Análisis térmico sobre el calentamiento del piso En esta sección, se presenta un modelo, para un espacio o (zona), calentado por un sistema de calentamiento sobre un piso. Se considera que el calor que se entrega al sistema lo proporciona, qaux. Que es proporcional al error entre una temperatura de referencia y la

temperatura del aire actual dentro del cuarto T1:

qaux Kp Tsp T1

=

Kp Constante de control proporcional Puede presentarse que la fuente calor, se realiza con paneles o celdas solares con un flujo de agua que calienta, con tubos cubiertos con un aislante térmico o cubiertos en estructuras de concreto ligero, más una cubierta de cerámica interna. Si se emplea el sistema de calefacción con tuberías con agua caliente, entonces la potencia entregada, también es igual a la relación de flujo, las veces de la diferencia entre la temperatura que se suministran y las que se retornan. El método explicito de diferencias finitas, (ver la sección 3.3), se emplea para modelar el sistema y para determinar las cargas de calentamiento y las variaciones de temperatura del cuarto. 1. Clima de entrada: (a) Temperatura externa. (b) Radiación solar (ver la sección 9.3) en donde se empleo un modelo cercano al modelo detallado.

Note que el diseño del equipo de calentamiento se realiza en base a las condiciones extremas, como el clima, la radiación solar, se puede llegar a excluirse en este análisis. Sin embargo, se incluye en un análisis solar pasivo, las ganancias solares también deben de incluirse. 1. Datos de la construcción NS = número de superficies, que contribuyen al balance de energía por zona. NSe = " " superficies, externas (paredes y techo).

Ai = área de la superficie externa i.

Nw: número de ventanas (= NSe, normalmente Awi: área de las ventanas i

Tipo de ventana: El valor de la resistencia térmica U, empleando, cristales reflejantes simples o dobles y cuyo valor es kL (coeficientes de existión y espesor x ) Adoor: área de la puerta externa

Rdoor: valor de la resistencia externa de la puerta

Construcción en las paredes: Se presentan por las propiedades de las capas de la pared. Para la capa interna, se requiere un análisis, que es oscilante. ach: cambios de infiltración de aire por hora hi: coeficiente interno de transferencia (película) combinado con la transferencia

de calor en la superficie i Ganancia interna Qintr: ganancia por la radiación interna

Qintc: ganancia convectiva interna


187

(existe el modelo de diferencias finitas entre otras entradas de calor opcionales que pueden agregarse, como fuentes de calor) Ejemplo Una casa, tiene su cimiento y un piso a nivel del suelo. El cimiento permite, almacenar cargas de calentamiento térmico, que se determinan con las técnicas de la sección 3.2. Aquí se considerara que la zona a nivel del suelo, es calentamiento del cimiento. Ver el siguiente diagrama:

Wh

Superficie 4Tb

Superficie 1

Superficie 2

Hh

Superficie 3

To

Cimiento

rl

Las superficies que contribuyen al balance de energía son: NS 6

i 1 2 NS 1-4 paredes, 5-techo, 6-piso se 1 5 superficies externas

Nw 4 iw 1 2 Nw (Considerando que hay cuatro ventanas - que son las áreas de ventanas en cada lado de la casa que tenga) Áreas de ventanas y puerta:

Aw1

8 m2

Aw2

4 m2

Aw3

4 m2

Aw4

4 m2

Ad1

1.8 m2

Ad2

1.8 m2

Ad3

1.8 m2

Ad4

1.8 m2

Área neta de paredes: A

1Lh Hh Aw

1 Ad

1

A

2Wh Hh Aw

2 Ad

2

A3

Lh Hh Aw3

Ad3

A4

Wh Hh Aw4

Ad4

A5

Wh Lh

A6

A5

Hi 2.4 m ..Altura interna

Vol A5

Hi

degC 1 Rd 2

m2

degC

watt

..Resistencia térmica de la puerta

Rw 0.34m

2degC

watt

Resistencia de ventanas (con cristales dobles) ver la sección 6.3.1

h1

8.3watt

m2

degC

h2

h1

h3

h1

h4

h1

..Coeficientes de película

h5

9.0watt

m2

degC

h6

9.3watt

m2

degC

(Techo frío, piso caliente)

ach 0.5 ach = cambio de aire/hora Cálculos de la conductancia por infiltración:


188

cpair 1000joule

kg degC

air 1.2kg

m3

..Calor específico y densidad del aire

Uinfach Vol

3600secair cpair

Uinf 60

watt

degC

Resistencia térmica de las paredes (incluyendo las películas de aire): Paredes verticales 1. tablas con yeso colocado, en los lados

L1

0.013m

1

800kg

m3

Espesor y densidad

k1

0.16watt

m degC

c1

750joule

kg degC

Conductibilidad y calor específico

2. aislante Rins 3.1 m

2

degC

watt

3. desviación de aire + funda de protección Rsid 0.37m

2

degC

watt


ho 22watt

m2

degC

(sección 5.3)

15% de área de ensamble ff 0.15

fracción del área que se encuentra ensamblada

2 por 4 vigas de madera cuyo valor de - R es: Rf 0.77m

2

degC

watt

R1

1

1 ff

L1

k1

Rins Rsid1

ho

1

h1

ff

L1

k1

Rf Rsid1

ho

1

h1

R1

2.969degC m

2

watt

Cálculo de la conductancia de la pared excluyendo la capa y la película interna (que deben emplearse para los cálculos):

u1

1

R1

L1

k1

1

h1

Considere que todas las paredes externas son del mismo material de construcción:

ii 1 2 4 Li i L

1

Ri i R

1

ui i u

1

k i i k

1

i i

1

ci i c

1

Cálculo de la resistencia térmica en la azotea - techo (ver la sección 1.6: Techo

1. tablas con yeso L5

L1

k5

k1

c5

c1

5

1


2

degC

watt

3. película - aire (en el ático)


189

ha 12watt

m2

degC

Rc1

1 ff

L5

k5

Rinsc1

ha

1

h5

ff

L5

k5

Rf1

ha

1

h5

Rc 2.757

degC m2

watt

Ático

1. Película externa al aire

ho 20watt

m2

degC

2. Capa diseñada para paredes de madera Rb 0.19m

2

degC

watt

3. Capas de madera Rsh 0.17m

2

degC

watt

Rr1

1 ff

Rb Rsh1

ho

1

ha

ff

Rf Rb Rsh1

ho

1

ha

Rr 0.543m

2 degC

watt

Considere una pendiente de 30 grados en la azotea, se calculan las resistencias combinadas en la azotea - techo por unidad de área de techo (conside que no hay ventilación en el ático, ver la sección 1.6) como se presenta:

Ar

A5

cos 30 deg

R5

Rc

A5

Rr

Ar

A5

R

53.227m

2 degC

watt

u5

1

R5

L5

k5

1

h5

..cálculo de admitancia Piso 1. Bloques de concreto de 5cm de espesor (sobre paneles radiantes de baja resistencia térmica, R

L6

0.05m

k6

1.7watt

m degC

6

2200kg

m3

1. Aislante y triplay Rins 6.0 m

2

degC

watt

c6

800joule

kg degC

2. Película de aire (horizontal, con flujo de calor externo)

ho 9.3watt

m2

degC

R6

Rins

L6

k6

1

ho

1

h6


190

R6

6.244m2 degC

watt

u6

1

R6

L6

k6

1

h6

Cálculo de las admitancias en las paredes Este valor no se requiere para el calentamiento del piso, pero las admitancias dan una mejor idea sobre las propiedades dinámica térmica en el espacio. La admitancia media y transferida puede calcularse para cada pared, considerando la capacidad térmica de las capas del cuarto. Note que el valor en un régimen estacionario de la admitancia es igual a las conductancias de la pared. Se calcula la admitancia en la superficie interna, así como sobre un punto de aire dentro del cuarto. Los análisis que se desarrollan para obtener un término medio y las tres harmónicas del clima que entra y de las fuentes de calor. Admitancias:

Ys0 i

Ai

Ri

1

hi

Yt

0 iYs

0 i

La admitancia, en un régimen estacionario hacia el interior de una superficie es igual al valor de U - pared (excluyendo la película interna); el primer subíndice indica la frecuencia, el segundo indica el número de la superficie.

Y0 i

Ai

Ri

Yta

0 iY

0 i

..Admitancias del aire externo en el cuarto (en un régimen estacionario)

n 1 2 3 j 1

n i j2 n

k i

i ci86400 sec

Ui i Ai hi

Uoi ho Ai

..Conductancias interna y externa de las superficies

Uw iw

Aw iw

Rw

Ad iw

Rd

..Conductancia en cristales reflejates dobles en ventanas o puertas;

Ysn i Ai

ui k i n i tanh n i Li

ui

k i n itanh n i Li

1

Ytn i

Ai

cosh n i Li ui

sinh n i Li k i n i

Yn i

Ysn i Ui i

Ysn i Ui i

Ytan i Ytn i

Ui i

Ysn i Ui i

La admitancia de aire de la pared de fuera hacia dentro. Zona de admitancia Yz (desde las temperaturas nodales del cuarto

n 0 1 3

Yzn Uinf

iw

Uw iwi

Yn i


191

Yzn

watt

degC

234.289

31.006·10

31.42·10

31.618·10

Note que Yz0 es simplemente el valor de U total, de la casa.

La magnitud |Yz1| para un ciclo del día permite tener indicadores de la dinámica diaria del espacio; los valores más altos así como los más bajos, dan como oscila la temperatura (ver la sección 4.2) Temperatura externa La temperatura externa para un día se modela por series de Fourier basadas en los valores de NTo+1 que hay en el interior en el arreglo presentado. Posteriormente, si se requerirán más detalles, NTo puede incrementarse. Entonces las series de Fourier se emplean para generar los valores intermedios, que se usan por las etapas en el tiempo en el modelo de diferencias finitas con etapas en el tiempo.

NTo 7 it 0 1 NTo ...índice en el tiempo

tit it 3 hr ..ti ventanas en cada lado de la casa que hay)

n 0 1 3 ...harmónicas

wn 2 n

24 hr

j 1

Toit

12

18

16

14

11

7

8

9

Tonn

it

Toit

exp j wn

tit

NT o 1

degC

...Coeficientes harmónicos de Fourier

Tonn

it

Toi t

exp j wn ti t

NTo 1

degC

...Coeficientes de las harmónicas de Fourier

Ton0

11.875 degC Temperatura media diaria

Radiación Solar (Modelo aproximado - para ver detalles ver el modelo de la sección 9.3) La radiación solar transmitida a través de las ventanas puede modelarse por una media onda senoidal, desde el tiempo del amanecer del sol, al tiempo del anochecer ts. Para un

análisis inicial de calentamiento radiante, la radiación solar puede un conjunto de valor bajo (50 vatios por metro cuadrado, por ventana).

Definiéndose a un arreglo en el tiempo: it 0 1 23 tit it hr


192

Cuando ts 5 hr

..(Tiempo del medio día solar al anochecer)

Smax 50watt

m2

..Radiación solar máximo (al medio día) (asumiendo un nivel mínimo para un día nublado)

fi t Smax cos ti t 12 hr

2 ts

Sit if fit 0.0watt

m2

fit 0.0watt

m2

S(t) puede modelarse con una serie discreta de Fourier como sigue: S(t) puede modelarse con una serie discreta de Fourier como sigue:

Snn

it

Si t

exp j wn ti t

24

iw

Aw iw

Se multiplica el área total de la ventana para determinar la radiación solar total.

Se considera una fracción de esta radiación que se absorbe por cada superficie interna y que es proporcional a sus áreas:

is 1 2 6

Atot

is

Ais

Qrn i Snn

Ai

Atot

Modelo de diferencias finitas La forma general de la formulación de la diferencia finita explicita, corresponde al nodo i y a los intervalos en el tiempo p, esto es:

T i p 1 t

Ci

qi

j

T j p( ) T i p( )

R i j( )

T i p( )=

donde C es la capacitancia, j representa todos los nodos conectados al nodo i y q es una fuente de calor como el calentamiento auxiliar o la radiación solar. Etapas críticas en el tiempo:

tcritical min

Ci

j

1

Ri j

=

Para todos los nodos i. (la etapa de tiempo seleccionada debe disminuirse para a obtener estabilidad numérica)

La red térmica se presenta como una red térmica posterior. El piso se señala en dos capas (una capacitancia térmica y dos resistencias para cada capa). Las superficies sin calentamiento, se representan por el nodo 6. S representa la radiación solar transmitida dentro del cuarto y absorbido por las superficies (se asume que es un valor bajo). La resistencia R1o representa las pérdidas de calor por infiltración y a través de las ventanas y puertas.

Tb

q salida

Ro R34 R23

R26 R56

R12 R16 R10

R50

To

ToC4 C3

C5

S2 S3

4 32

1

6

REFERENCIA

q salida = kp (Tsp – T1)S = radiación solar

NODOS: 1 – AIRE DEL CUARTO

2 – SUPERFICIE DEL SUELO

6 – SUPERFICIES SIN CALENTAMIENTO

5


193

Capacitancias térmicas y resistencias:

Cfloor c6

6 A

6 L

6

C4

Cfloor

2

C

3C

4

..Capacitancías térmicas

C5

se

Ase Lse cse se

..Capacitancia térmica de la capa interna de las superficies sin calentamiento

Ro

1

u6

A6

L6

4 k6

A6

R34

L6

2 k6

A6

R23

R34

2

R121

A6

h6

h6r 4watt

m2

degC

..Coeficiente de transferencia de calor por radiación entre el piso las superficies sin calentamiento

R261

h6r A6

R561

se

kse Ase 2

Lse

..Estas representan las resistencias térmicas de la mitad de muchas capas internas de las

superficies sin calentamiento

R161

se

Ase hse

R5o

R56

2

1

se

Ase

Rse

R1o

1

Uinf

i i

Aw i i

Rw

Ad i i

Rd

Prueba de estabilidad para seleccionar el paso del tiempo

TS

C3

1

R23

1

R34

C4

1

Ro

1

R34

C5

1

R56

1

R5o

El paso del tiempo Dt, debe ser suficientemente bajo para obtener, los tres valores del vector

TS

tcritical min TS( )

tcritical 215.686sec t 200 sec

La simulación puede realizarse (periódicamente) para cada dos días . Esta información, del clima se generada las NT veces necesarias, como se muestra:

NT 86400sec

t 2

NT 864 ...número de etapas en el tiempo, para dos días

p 0 1 NT tp p t

..los tiempos en estas simulaciones se deben realizar.

Top Ton0

2

n1

Re Tonn1 exp j wn1 tp

n1 1 2 3


194

Temperatura ambiente

0 20 4020

15

10

5

Ton0To

p

tp

hr

Stp Sn0

2

n1

Re Snn1 exp j wn1 tp

Radiación solar (en la zona completa)

0 10 20 30 40 50 60500

0

500

1000

1500

Stp

watt

tp

hr

Tb p 16 degC

..Temperatura de referencia

Las condiciones iniciales primero deben considerarse. También el tamaño del sistema de calentamiento qmax , tiene que seleccionarse entre una constante de control proporcional

Kp. U, es un buen estimado para qaux, el cual puede determinarse multiplicando la zona de

conductancia, Yz0 con la máxima diferencia de temperaturas interna - externa e incrementar el

resultado por un 50%. Por ejemplo:

qmax Yz0

30 degC 1.5

qmax 1.054 104

watt

Estimados iniciales de las temperaturas:

T1 0

T2 0

T3 0

T4 0

T5 0

T6 0

21

24

26

29

17

18

degC

qaux0

0 watt Tsp 22 degC ..Punto de referencia puede variar con el horario del día si se desea.

Kp 5000watt

degC

..Constante de control proporcional (un buen valor es qmax/2)


195

qauxp 1

T1 p 1

T2 p 1

T3 p 1

T4 p 1

T5 p 1

T6 p 1

if Kp Tsp T1 p

qmax qmax Kp Tsp T1 p

Tsp T1 p

1.0

T2 p

R12

Top

R1o

T6 p

R16

0.7 St p

1

R12

1

R1o

1

R16

T3 p

R23

T6 p

R26

T1 p

R12

1

R23

1

R26

1

R12

t

C3

T4 p

T3 p

R34

T2 p

T3 p

R23

T3 p

t

C4

Tb p T4 p

Ro

T3 p

T4 p

R34

qaux p

T4 p

t

C5

T6 p

T5 p

R56

Top T5 p

R5o

T5 p

T2 p

R26

T5 p

R56

T1 p

R16

0.3 St p

1

R56

1

R26

1

R16

Resultados para un segundo día (del primer día se ve afectado por las condiciones iniciales consideradas):

Temperaturas:

24 28 32 36 40 44 4818

12

6

0

6

12

18

24

30

36

T1 p

Top

T2 p

T4 p

T6 p

tp

hr

Nota: T1 es la temperatura del aire en el cuarto


196

Perfil de calentamiento

24 30 36 42 480

2000

4000

6000

8000

1 104

qauxp

watt

tp

hr

Consumo de la energía de calentamiento por la integración numérica para el segundo día:

vNT

2

NT

21 NT 1

Qh

v

qaux v qaux v qauxv 1 qaux

v 1

4tv 1

tv

Qh 5.801 108

joule Bibliografía

Athienitis, A.K., 1994, "Numerical model for a floor heating system", ASHRAE Transactions, Vol. 100, Pt. 1, pp. 1024-1030 .

ASHRAE, 1997, Handbook-Fundamentals, Atlanta, GA.

Sección 12.2 Análisis térmico del calentamiento en techos Esta sección presenta un modelo para un espacio (una zona) calentada, por un sistema de calentamiento del techo (paneles con bloques de yeso, con un sistema de calentamiento eléctrico incluido). Se considera que el calentamiento obtenido por el sistema es: qaux.

El calentamiento auxiliar, qaux es proporcional al error entre el punto de la temperatura

de referencia Tsp y la temperatura actual del aire en el cuarto T1:

qaux Kp Tsp T1

Kp ..Constante de control proporcional El método de diferencias finitas explicitas, (ver la sección 3.3) se empleo para modelar el sistema y para determinar la carga de calentamiento, así como para determinar la variaciones de las temperaturas en un cuarto. 1. Clima a su entrada (a) Temperatura externa. (b) Radiación solar (modelo aproximado, ver la sección 9.3 en un modelo más detallado). Note que cuando el equipo de calentamiento se diseña es en base a las condiciones del clima extremas, la radiación solar puede excluirse de este análisis. Sin embargo, si es un análisis solar pasivo, las ganancias solares, si deben ser consideradas. 2. Datos de construcción NS = número de superficies que contribuyen a la zona del balance de energía. NSe = " " superficies externas (paredes y techo).


197

Ai = área de la superficie externa i.

Nw: número de ventanas (normalmente = NSe ), Awi: área de la ventana i.

Tipo de ventana: El valor de U con la resistencia térmica y el valor kL (coeficiente de extinción con un espesor x), cristal simple o doble con reflejo. Adoor: área externa de la puerta Rdoor: valor de la resistencia térmica externa R

Construcción de paredes: Las propiedades de las capas una pared. Para un análisis oscilante en las capas internas, se requiere conocer ciertas propiedades. ach: infiltración - cambio de aire por hora hi: coeficiente de transferencia de (película) de calor interno para la superficie i

Ganancias internas: Qintr: ganancias internas radiantes

Qintc: ganancias internas convectivas

(En el modelo de diferencias finitas las entradas que son opcionales a las fuentes de calor deben agregarse). Ejemplo: Considere una casa, que tiene cimientos de cemento con arcilla a nivel del suelo. Las bases de la carga de calentamiento se determinan con las técnicas de la sección 3.2. Aquí se considera la zona al nivel del suelo, calentado por el calentamiento del techo.

Wh

Superficie 4Tb

Superficie 1

Superficie 2

Hh

Superficie 3

To

Cimiento

rl

Hh 3 m Lh 15 m Wh 10 m

Las superficies que contribuyen a realizar el balance de energía son: NS 6

i 1 2 NS 1-4 paredes, 5-techo, 6-piso se 1 5 Superficies externas

Nw 4 iw 1 2 Nw (Considere la suma de las áreas de las ventanas en cada lado de la casa)

Áreas de ventanas y de la puerta:

Aw1 8 m2

Aw2 4 m2

Aw3 4 m2

Aw4 4 m2

Ad1 1.8 m2

Ad2 1.8 m2

Ad3 1.8 m2

Ad4 1.8 m2

Áreas netas de paredes: A1 Lh Hh Aw1 Ad1

A2 Wh Hh Aw2 Ad2

A3 Lh Hh Aw3 Ad3

A4 Wh Hh Aw4 Ad4

A5 Wh Lh

A6 A5 Hi 2.4 m ..Altura interna

Vol A5 Hi

degC 1 Rd 2

m2

degC

watt

..Resistencia térmica de la puerta


198

Rw 0.34m

2degC

watt

Resistencia de ventanas (de doble - reflejo) Ver la sección 6.3.1

h1 8.3watt

m2

degC

h2 h1

h3 h1

h4 h1

..Coeficientes de película

h5 7watt

m2

degC

h6 9.3watt

m2

degC

(Techo caliente, piso caliente)

ach 0.5 ach = cambio de aire/hora Cálculo de la conductancia por infiltración:

cpair 1000joule

kg degC

air 1.2kg

m3

..Calor específico y densidad del aire

Uinfach Vol

3600secair cpair

Uinf 60

watt

degC

Resistencia térmica de las paredes (incluyendo sus películas de aire): Paredes Verticales 1. Bloque con recubrimiento de yeso

L1 0.013m

1 800kg

m3

Espesor y densidad.

k1 0.16watt

m degC

c1 750

joule

kg degC

Conductividad y calor específico

2. aislante Rins 3.1 m

2

degC

watt

3. tablas de forro + entarimado Rsid 0.37 m

2

degC

watt


ho 22watt

m2

degC

Ver sección 5.3

15% del área es de la estructura ff 0.15

..Fracción del área de la estructura

Tiene 2 por 4 travesaños de madera con un valor R: Rf 0.77 m

2

degC

watt

R11

1 ff

L1

k1Rins Rsid

1

ho

1

h1

ff

L1

k1Rf Rsid

1

ho

1

h1

R1 2.969degCm

2

watt

Cálculo de la conductancia de la pared excluyendo, la capa interna y la película (que se emplea en los cálculos para la admitancia):

u11

R1

L1

k1

1

h1


199

Considere que todas las paredes externas, son del mismo material de construcción

ii 1 2 4 Rii R1

uii u1

kii k1

ii 1

cii c1

Cálculo de la resistencia térmica del techo - suelo (ver la sección 1.6): Techo 1. Bloques de yeso recubierto embebidos por los cables de las resistencias eléctricas.

L5 .018 m

k5 k1

c5 c1

5 1


2

degC

watt

3. película de aire en el (ático)

ha 12watt

m2

degC

Rc1

1 ff

L5

k5Rinsc

1

ha

1

h5

ff

L5

k5Rf

1

ha

1

h5

Rc 3.712

degCm2

watt

Techo

1. Película externa al aire

ho 20watt

m2

degC

2. Capa posterior de tejas de madera Rb 0.19 m

2

degC

watt

3. Tejas de madera Rsh 0.17 m

2

degC

watt

Rr1

1 ff

Rb Rsh1

ho

1

ha

ff

Rf Rb Rsh1

ho

1

ha

Resistencia térmica del techo

Rr 0.543m2 degC

watt

Si el techo tiene una pendiente de 30º, se calcula la resistencia combinada de techo - techumbre por unidad de área de techo (considerando que no hay ventilación en el ático. Ver la sección 1.6 para áticos ventilados) como sigue:

Ar

A5

cos 30 deg( )

R5

Rc

A5

Rr

Ar

A5

R5 4.182m2 degC

watt

u51

R5

L5

k5

1

h5

..Cálculo para la admitancia Piso 1. Bloques de concreto de 5cm de espesor (sobre paneles radiantes de baja resistencia

térmica, R)

L6 0.05 m

k6 1.7watt

m degC

6 2200kg

m3


200

2. Aislante & triplay Rins 3.6 m

2

degC

watt

c6 800

joule

kg degC

3. Película de aire (flujo del calor ascendente)

ho 9.3watt

m2

degC

R6 Rins

L6

k6

1

ho

1

h6

R6 3.844m

2 degC

watt

u61

R6

L6

k6

1

h6

u6 0.27kg

s3

Cálculo de las admitancias de las paredes Este no se requiere para el calentamiento en techos, pero las admitancias nos dan una idea acerca de las propiedades dinámicas térmicas del espacio. La media admitancia y la admitancia transferida deben calcularse para cada pared, considerando la capacidad térmica de las capas internas del cuarto. Note que el valor en un régimen estacionario, la admitancia es igual a la conductancia de la pared. Se deben calcular las admitancias hacia la superficie interna y hacia un punto del aire en el cuarto. El análisis debe desarrollarse para el término medio y de tres harmónicas de las entradas del clima y de las fuentes de calor. Admitancias:

Ys0 i

Ai

Ri1

hi

Yt0 i Ys0 i

La admitancia en un régimen estacionario en una superficie interna es igual al valor de U de la pared (excluyendo la película interna); el primer subíndice indica la frecuencia, el segundo subíndice indica el número de la superficie.

Y0 i

Ai

Ri

Yta0 i Y0 i

..Admitancias desde fuera del aire hacia dentro del cuarto (en un régimen estacionario)

n 1 2 3 j 1

n i j2 n

ki

i ci86400 sec

Uii Ai hi

Uoi ho Ai

..Conductancias en las superficies interna y externa

Uwiw

Awiw

Rw

Adiw

Rd

..Conductancia en ventanas de doble cristal reflejante y en puertas;

Ysn i Ai


ui

ki n itanh n i Li

1

Ytn i

Ai

cosh n i Li ui

sinh n i Li ki n i

Admitancias en la pared por el aire externo hacia el interior de la pared Zona de admitancia Yz (desde el nodo de temperatura al cuarto):


201

n 0 1 3

Yzn Uinf

iw

Uwiwi

Yn i

Yzn

watt

degC

238.665

31.02·10

31.461·10

31.688·10

Note que Yz1, es simplemente el valor de U total de la casa.

La magnitud |Yz1|, para una frecuencia de un ciclo de un día nos da una indicación de la dinámica diaria del espacio, sus valores más elevados y más bajos del cuarto dan las temperaturas medias oscilantes (ver la sección 4.2). Temperatura externa La temperatura externa para un día se modela por una serie de Fourier basada en los valores de NTo+1 que son salidas en un arreglo de abajo. Si se requieren más detalles, NTo puede incrementarse. Entonces las series de Fourier pueden emplearse para generar valores intermedios como los requeridos por un paso en el tiempo en el modelo de diferencias finitas.

NTo 7 it 0 1 NTo ...índice en el tiempo tit it 3 hr

..Tiempo

n 0 1 3 ...harmónicas wn 2

n

24 hr

j 1

Toit

12

18

16

14

11

7

8

9

Tonn

it

Toit

exp j wn

tit

NT o 1

degC

...Coeficientes harmónicos de Fourier

Ton0 11.875 degC Temperatura media diaria Radiación solar (modelo aproximado - ver el modelo detallado de la sección 9.3) La radiación solar transmitida a través de las ventanas puede modelarse para una onda media senoidal desde el amanecer al anochecer en el tiempo ts. Para un análisis inicial de

calentamiento radiante, la radiación solar puede ser un conjunto a valores mínimos de (50 watts por metro cuadrado por ventana).

Redefiniéndose a un arreglo en el tiempo: it 0 1 23 tit it hr

Cuando ts 5 hr

..(Tiempo del medio día solar al anochecer)

Smax 50watt

m2

..Radiación solar máximo (al medio día) asumiendo un nivel mínimo en un día nublado

fi t Smax cos ti t 12 hr

2 ts

Sit if fit 0.0watt

m2

fit 0.0watt

m2


202

S(t) puede modelarse con una serie discreta de Fourier como sigue:

Snn

it

Si t

exp j wn ti t

24

iw

Aw iw

Se multiplica el área total de la ventana para determinar la radiación solar total.

Se considera una fracción de esta radiación que se absorbe por cada superficie interna y que es proporcional a sus áreas:

is 1 2 6

Atot

is

Ais

Qrn i Snn

Ai

Atot

Modelo de diferencias finitas La forma general de la formulación de la diferencia finita explicita, corresponde al nodo i y a los intervalos en el tiempo p, esto es:

T i p 1 t

Ci

qi

j

T j p( ) T i p( )

R i j( )

T i p( )=

Donde C es la capacitancia, j representa todos los nodos conectados al nodo i y q es una fuente de calor como el calentamiento auxiliar o la radiación solar.

Etapas críticas en el tiempo:

tcritical min

Ci

j

1

Ri j

=

Para todos los nodos i. (la etapa de tiempo seleccionada debe reducirse para obtener una estabilidad numérica)

La siguiente red térmica se presenta en la red térmica. El piso se individualiza en dos capas (una capacitancia térmica y dos resistencias para cada capa). Las superficies sin calentamiento, se representan por el nodo 6. S representa la radiación solar transmitida dentro del cuarto y absorbido por las superficies (se asume un valor bajo). La resistencia R1o representa las pérdidas de calor por infiltración a través de las ventanas y puertas. (Su capacidad térmica es considerablemente despreciable comparado al piso).

Tb

q salida

Ro R34 R23

R26 R56

R12 R16 R10

R50

To

ToC4 C3

C5

S2 S3

4 32

1

6

REFERENCIA

q salida = kp (Tsp – T1)S = radiación solar

NODOS: 1 – AIRE DEL CUARTO

2 – SUPERFICIE DEL SUELO

6 – SUPERFICIES SIN CALENTAMIENTO

5

Capacitancías térmicas y resistencias:

Cfloor c6

6 A

6 L

6

C4

Cfloor

2

C

3C

4

..Capacitancías térmicas


203

C5

se

Ase Lse cse se

..Capacitancia térmica de la capa interna de las superficies sin calentamiento

Ro

1

u6

A6

L6

4 k6

A6

R34

L6

2 k6

A6

R23

R34

2

R121

A6

h6

h6r 4watt

m2

degC

..Coeficiente de transferencia de calor por radiación entre el piso las superficies sin calentamiento

R261

h6r A6

R561

se

kse Ase 2

Lse

..Estas representan las resistencias térmicas de la mitad de muchas capas internas de las superficies sin calentamiento

R161

se

Ase hse

R5o

R56

2

1

se

Ase

Rse

R1o

1

Uinf

i i

Aw i i

Rw

Ad i i

Rd

Prueba de estabilidad para seleccionar el paso del tiempo

TS

C3

1

R23

1

R34

C4

1

Ro

1

R34

C5

1

R56

1

R5o

El paso del tiempo Dt, debe ser suficientemente bajo para obtener, los tres valores del vector TS

tcritical min TS( )

tcritical 215.686sec t 200 sec

La simulación puede realizarse (periódicamente) para cada dos días. Esta información, del clima se generada las NT veces necesarias, como se muestra:

NT 86400sec

t 2

NT 864 ...número de etapas en el tiempo, para dos días

p 0 1 NT tp p t

..el tiempo de estas simulaciones se deben realizar.

Top Ton0

2

n1

Re Tonn1 exp j wn1 tp

n1 1 2 3 Temperatura Ambiente

Stp Sn0

2

n1

Re Snn1 exp j wn1 tp


204

0 20 4020

15

10

5

Ton0To

p

tp

hr

Radiación solar (en la zona completa)

Top

Ton0

2

n1

Re Tonn1 exp j w

n1 t

p

0 10 20 30 40 50 60500

0

500

1000

1500

Stp

watt

tp

hr

n1 1 2 3

Tb p 16 degC ..Temperatura del cimiento

Las condiciones iniciales primero deben asumirse. También el tamaño del sistema de calentamiento qmax, tiene que ser seleccionado con la constante de control proporcional Kp.

Un buen estimado para qaux puede determinarse multiplicando la zona de conductancia, Yz0

con el máximo diferencial de temperaturas interna - externa e incrementar el resultado por un 50%. Por ejemplo:

qmax Yz0

30 degC 1.5

qmax 1.054 104

watt

Temperaturas estimadas iniciales: T

1 0

T2 0

T3 0

T4 0

T5 0

T6 0

21

24

26

29

17

18

degC

qaux0

0 watt Tsp 22 degC ..Si se desea la temperatura de

referencia puede variar con el horario del día.

Kp 5000watt

degC

..Constante de control proporcional (un buen valor es qmax/2)


205

qauxp 1

T1 p 1

T2 p 1

T3 p 1

T4 p 1

T5 p 1

T6 p 1

if Kp Tsp T1 p

qmax qmax Kp Tsp T1 p

Tsp T1 p

1.0

T2 p

R12

Top

R1o

T6 p

R16

0.7 St p

1

R12

1

R1o

1

R16

T3 p

R23

T6 p

R26

T1 p

R12

1

R23

1

R26

1

R12

t

C3

T4 p

T3 p

R34

T2 p

T3 p

R23

T3 p

t

C4

Tb p T4 p

Ro

T3 p

T4 p

R34

qaux p

T4 p

t

C5

T6 p

T5 p

R56

Top T5 p

R5o

T5 p

T2 p

R26

T5 p

R56

T1 p

R16

0.3 St p

1

R56

1

R26

1

R16

Los resultados para un segundo día (del primer día se ven afectados por las condiciones iniciales consideradas): Perfil del calentamiento

24 30 36 42 480

2000

4000

6000

8000

1 104

qauxp

watt

t p

hr


206

Temperaturas:

24 28 32 36 40 44 4818

12

6

0

6

12

18

24

30

36

T1 p

Top

T2 p

T4 p

T6 p

tp

hr

Nota: T1 es la temperatura del aire en el cuarto El consumo de la energía de calentamiento por la integración numérica para el segundo día es:

vNT

2

NT

21 NT 1

Qh

v

qaux v qaux v qauxv 1 qaux

v 1

4tv 1

tv

Qh 5.801 108

joule

Un resultado más aproximado puede obtenerse si otra capacitancia se agrega a las paredes y los intercambiadores de calor radiantes se modelan con más exactitud (basados en el factor vista y radiante). Bibliografía

Athienitis, A.K., 1994, "Numerical model for a floor heating system", ASHRAE Transactions, Vol. 100, Pt. 1, pp. 1024-1030 .

ASHRAE, 1997, Handbook-Fundamentals, Atlanta, GA.

Apéndice

207

Propiedades térmicas de algunos materiales de construcción

Apéndice

Tabla de propiedades térmicas de algunos materiales

c Calor Especifico U Conductancia Térmica

k Conductividad Térmica Emisividad

Densidad

Material c

kJ/kg·ºC

k

Watt/m·ºC

kg/m3

U

Watt/m2·ºC

Aluminio

Puro 0.895376 203.967 2709.672 0.039 0.057

Al -Cu (Dura

aluminio)

0.882824 163.99016 2790.317

Al -Si (con soporte

de cobre)

0.840984 136.97448 2661.285

Al -Si (Aluminio -

silicio)

0.853536 160.99034 2629.027

A l - Mg - Si 0.891192 176.9963 2709.672

Asbestos

Empaques

cementados

0.8368 0.14878 467 564

Asbestos

cementados en

tablas

0.8368 0.692 1935.48

Asbestos en lamina

cementado

0.16608

Asbestos

cementados, con

pliegues de 40

pliegues/in.

0.0692

Asbestos

cementados, con

pliegues de 20

0.09515

Apéndice

208


pliegues/in.

Asbestos,

corrugados, con 4

pliegues/in.

0.10034

Pared de asbesto en

milésimas

0.8368 0.1384 0.96

Asfalto 1.6736 0.75947

Cera de abeja 3.43088

Aislantes de manta o

de lona

0.03979 48.387

Ladrillos

Ladrillo de

construcción

0.820064 0.69027 1596.771

Ladrillo de

carborundo

18.49889

Ladrillo, cromado 0.840984 2.47044 2999.994

Ladrillo común 0.92048 0.7266 1935.48

Ladrillo de tierra de

diatomáceas,

moldeado y

horneado

1.79747

Material c

kJ/kg·ºC

k

Watt/m·degC

kg/m3 U

Watt/m2·ºC

Ladrillo con una cara

esmaltada

1.2975 2096.77

Ladrillo refractario

para alto horno

0.958136 1.06914 1999.996 0.75

Ladrillo de Missouri

refractario

0.958136 1.4705 2596.769

Ladrillo duro 1.00416 1.2975

Ladrillo de 1.12968 2.76973

Apéndice

209


magnesita

Ladrillo aislante con

chapa de madera,

con recubrimiento de

capas delgadas

1.193

Ladrillo de pared

sólida de 8-in. de

tierra comprimida

2.556

Ladrillo de pared de

8-in., de concreto y

listón de yeso y

huecos ligeros

1.533

Cartón corrugado 0.06401

Cartón de celotex

Mortero de cemento 0.7266 1870.964

Mortero de cemento,

pulverizado

0.29064 1499.997

Yeso 0.89956 0.8304

Carbón de madera 1.00416 0.0865

Pared de arcilla con

azulejo, 8-in. De

profundidad y listón

de yeso, ligero

1.306

Carbón de antracita 1.2552

Carbón bituminoso 1.38072

Concretos y

agregados

Con 1% de CaCl2,

resistente a la

escarcha

1.73 2258.06

Con entradas de aire

porosas, resistente

al 6% de escarcha

1.4705 2096.77

Hormigón liviano con

pizarra o arcilla

0.4325 1209.675

0.04844

Apéndice

210


expandida

Hormigón liviano con

espuma de escoria

0.346 1209.675

Concreto

pulverizado,

presentado como

concreto, fino o

grueso

0.4325 1290.32

Material c

kJ/kg·ºC

k

Watt/m·degC

kg/m3 U

Watt/m2·ºC

Concreto con ceniza

de combustible

0.4325 1370.965

Concreto ligero

refractario, con

aluminio

0.346 1048.385

Concreto con perlita

como aislante ligero

0.2595 564.515

Concreto aislante

con cera de abeja

expandida

0.173 483.87

Concretos

Concreto y escoria 0.75947

Concreto, con

mezcla de piedra 1-

2-4

0.87864 1.37016 1903 2306

Concreto con fibra

de yeso

0.2422 822.579

Concreto, ligero 0.96232 0.4325

Concreto, de peso

ligero

0.173 645.16

Piedra de concreto 0.75312 1.73

Metales como

Cobre

Apéndice

211


Puro 385.97684 8951.595 0.023

Cobre, aluminio y

bronce

0.410032 82.99502 8661.273

Bronce 0.384928 25.99844 8661.273

Latón rojo 0.384928 60.99634 8709.66

Latón 0.384928 110.99334 8516.112 0.028 0.031

Plata alemana 0.393296 24.89816 8612.886

Constatan 0.410032 22.69933 8919.337

Tierras y material

diverso

Corcho, granulado 1.8828 0.04498 45 121

Corcho de tierra 0.04325

Concho en tierra 1.8828 0.04325 112.903

Tierra seca 1.2552 1.4705

Tierra de

diatomácea (Sil-o-

cel)

0.06055 322.58

Fieltro de pelo 0.03633 129 200

Fieltro 0.0519 330.6445

Suelo aislado con

fibras

0.04844 240.3221

Suelo con fibras

ligeras

2.5104 0.06055

Suelo con fibra

gruesa

2.092 0.2076

Ladrillo para fuego 1.046 1.384

Armazón de pared:

con forro de listones

en madera y yeso

con arena

1.477

Material c

kJ/kg·ºC

k

Watt/m·degC

kg/m3 U

Watt/m2·ºC

0.384928

Apéndice

212


Armazón de pared:

con forro aislante,

con listones de yeso

y hormigón ligero

1.079

Armazón de pared

con: aislante lleno

de fibra entre

travesaños

0.396

Vidrio de boro

silicato

1.0899 2193.544

Aislante en cristales

dobles en aislantes

de ½ pulgada de

espacio de aire en

ventana o en contra

tormentas

3.18

Una sola ventana de

cristal

0.8368 0.9515 6.247

Fibra de vidrio 0.698728 0.03806 8.519

Suelo de yeso 1.08784 0.173

Fieltro de pelo 2.092 0.0519

Suelo duro de fibra

de madera

0.2076 1048.385

Hielo 2.092 2.1625

Cuero seco 0.06401

Hierro, Puro 0.451872 72.99562 7903.21 0.14 0.38

Hierro rugoso 0.46024 58.99646 7854.823

Kapok 0.0346

Plomo 0.129704 102.306 11370.945 0.057 0.075

Cuero húmedo 1.50624 0.1557

Piedra de cal 0.907928 1.903

Magnesio al (85%) 0.8368 0.0692

Magnesio 1.012528 170.98974 1741.932 0.55 0.20

Mg - Al (electrolítico) 0.999976 65.99604 1806.448

Apéndice

213


Mampostería con

cavidades en pared

0.738

Mármol 0.87864 2.595

Mica 0.50208 0.692

Minerales de fibra en

el suelo

0.0519 0.692

Mineral en colcha de

fieltro

0.8368 0.04325

Mineral de relleno

de fieltro

0.03979 48.387

Molibdeno 0.25104 122.99262 10225.786 0.071 0.202

Níquel

Puro 0.447688 89.9946 8903.208

Ni -Cr,

90% Níquel, 10%

Cromo

0.443504 16.99898 8661.273

Ni-Cr,

80% Níquel, 20%

Cromo

0.443504 12.59959 8314.4995

Material

c

kJ/kg·ºC

k

Watt/m·degC

kg/m3 U

Watt/m2·ºC

Papel 1.38072 0.1211

Cera de

parafina

2.88696 0.2595

Acabados

con yeso

Yeso con

arena

cementado

0.7266 1870.964

Acabados de

yeso

0.47921 1435.481

Yeso y perlita

para

acabados

0.2076 725.805

Apéndice

214


Yeso ligero

para

acabados

1.00416 0.2595

Yeso en

listones de

metal para

acabados

0.47056

Yeso en

listones de

madera para

acabados

0.28026

Yeso de

acabado con

arena

0.92048 0.7266

Yeso y

vermiculita

para

acabados

0.2422 725.805

Yeso con

acabado

rugoso

1.2552 0.0346

Yeso con

acabado de

plástico

sólido

1.6736 0.1903

Triplay 0.11591 548.386

Porcelana 0.92048 1.557

Relleno de

corteza de

pino tipo

Secoya

0.03979 64.516

Fieltro de

roca

0.03979 159.6771

Fieltro

empacado de

manera

suelta

0.06747 64.516

Apéndice

215


Material c

kJ/kg·ºC

k

Watt/m·degC

kg/m3 U

Watt/m2·ºC

Techos

Con brea

para tejas

sobre el

techo, sin

ventilación,

con listones

en pares y

recubrimiento

de yeso

1.704

Con brea y

asbesto

cementado, o

con capas de

azulejo sobre

capas de

yeso o

madera, con

aislante de,

3-in. entre

juntas

0.398

Lámina de

metal en la

cubierta del

techo, con

recubrimiento

de yeso en el

techo en la

parte inferior

1.874

Lamina de

metal en la

cubierta del

techo, con

aislante de 2-

in. Para evitar

ruidos

acústicos

sobre el

acabado de

0.738

Apéndice

216


yeso

Piedra de

arena

0.92048 1.73

Aserrín 0.87864 0.0692

Fibra de

algodón

comprimido

0.05882 354.838

Fibra de

algodón

cementado

0.0865 354.838

Aerogel de

silica

0.8368 0.06055

Plata 0.234304 418.97486 10524.1725 0.020 0.032

Material c

kJ/kg·ºC

k

Watt/m·degC

kg/m3 U

Watt/m2·ºC

Acero al

carbón

0.5% Carbón 0.464424 53.99676 7838.694

1.0% Carbón 0.472792 42.99742 7806.436

1.5% Carbón 0.485344 35.99784 7758.049

Níquel

0% Níquel 0.451872 72.99562 7903.21

20% Níquel 0.46024 18.99886 7935.468

40% Níquel 0.46024 9.9994 8169.3385

80% Níquel 0.46024 34.9979 8612.886

Aleación

36% Níquel

0.46024 10.70005 8137.0805

Apéndice

217


Cromo

0% Cromo 0.451872 72.99562 7903.21

1% Cromo 0.46024 60.99634 7870.952

5% Cromo 0.46024 39.9976 7838.694

20% Cromo 0.46024 21.99868 7693.533

Cromo-

Níquel

15% Cromo,

10% Níquel

0.46024 18.99886 7870.952

18% Cromo,

8% Níquel

0.46024 16.29833 7822.565

20% Cromo,

15% Níquel

0.46024 15.09944 7838.694

25% Cromo,

20% Níquel

0.46024 12.79854 7983.855

Tungsteno

0%

Tungsteno

0.451872 72.99562 7983.855

1%

Tungsteno

0.447688 65.99604 7919.339

5%

Tungsteno

0.435136 53.99676 8072.5645

10%

Tungsteno

0.4184 47.99712 8314.4995

Piedra

Granito 0.820064 3.979 2645.156

Piedra de

Yeso

0.89956 1.33037 2499.995

Mármol 0.799144 2.93927 2500..2694

Piedra de

arena

0.71128 1.83034 2161..2306

Estaño 0.225936 63.99616 7306.437 0.043 0.064

Tungsteno 0.133888 159.53022 19354.8

Apéndice

218


Vermiculita 0.8368 0.06055 129.032

Maderas

Balsa 2.9288 0.0519 140.3223

Ciprés 0.09688 459.6765

Abeto 2.7196 0.11072 419.354

Roble 2.092 0.1557 725.805

Maple 2.401616 0.1557 725.805

Pino blanco 2.5104 0.1211 435.483

Pino amarillo 2.799096 0.14705 645.16

Material c

kJ/kg·ºC

k

Watt/m·degC

kg/m3 U

Watt/m2·ºC

Madera

común o fibra

de caña

0.0519 241.935

Virutas de

madera

0.05882

Fieltro de

madera

1.38072 0.0692

Pérdidas de

madera

1.2552 0.0346

Zinc 0.384928 112.19396 7145.147 0.23

Bibliografía

Holman J. P. 1990. Heat transfer, Mc Graw-Hill

Boltz, Roy E. and George L. Tuve 1987, CRC Handdook of Tables for Applied Engineering

Scince, 2nd

Edition, CRC Press.

analisis termico en construcciones

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