ANLISIS SSMICO DE CIMENTACIONES

VIBRACIONES DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

Agustn Demneghi Colina* Margarita Puebla Cadena* Hctor Sangins Garca*

* Profesores del Departamento de Geotecnia. Divisin de Ingenieras Civil y Geomtica. Facultad de Ingeniera. UNAM

VIBRACIONES LIBRES Consideremos un sistema de un grado de libertad, como el mostrado en la fig 1. Se trata de un cuerpo de masa M unido a una base firme mediante una barra de cierta rigidez lateral. La rigidez K se define como el cociente de la fuerza horizontal aplicada en el centro de gravedad del cuerpo, dividida entre el despla-zamiento horizontal, u, que produce dicha fuerza, es decir K = P/u El amortiguamiento C toma en cuenta la disipacin de energa que se produce durante el movimiento (fundamentalmente por friccin interna en el sistema). Se ha observado que la disipacin de energa se puede representar mediante una fuerza que se opone al movimiento, la cual es proporcional a la velocidad del cuerpo; esta fuerza vale Cu. Por el principio de DAlembert, la fuerza de inercia es igual al producto M, pero tiene sentido contrario a la aceleracin. Esta fuerza de inercia se agrega al equilibrio dinmico del cuerpo. El fenmeno fsico que estamos estudiando consiste en dar inicialmente un desplazamiento horizontal o al cuerpo, para despus soltarlo y dejarlo vibrar libremente. La ecuacin de movimiento (equilibrio dinmico, fig 1b) da lugar a la siguiente expresin M + Cu + Ku = 0 (1) Supongamos inicialmente que no hubiera amortiguamiento, C = 0 en la ec 1 M + Ku = 0 (2)

La ec 2 es una ecuacin diferencial homognea de segundo orden. Su ecuacin caracterstica es M2 + K0 = 0, M2 + K = 0 (3) La solucin de la ecuacin caracterstica es 1 = - K/M = K/M i 2 = - - K/M = - K/M i Sea = K/M (4) = frecuencia circular natural del sistema Cuando las races de una ecuacin carac-terstica son complejas, la solucin de una ecuacin diferencial homognea de segundo orden est dada por u = C1 eat cos bt + C2 eat sen bt Donde a es la parte real y b la parte imaginaria del nmero complejo. Por lo tanto u = C1 cos t + C2 sen t (5) u = - C1 sen t + C2 cos t (6) De acuerdo con las condiciones iniciales, para t = 0, u = 0. Reemplazando en la ec 6, C2 = 0. Para t = 0, u = o. Sustituyendo en la ec 5, o = C1, y u = o cos t (7) En la fig 2 se muestra la variacin de u en funcin del tiempo t. Se define el perodo T como el tiempo en que la masa cumple un ciclo de movimiento, es decir, cuando la masa pasa por el mismo punto, con

2el mismo sentido del movimiento. En la fig 2 observamos que T = 2, y T = 2/ (8) T = 2 M/K (9) T es el perodo natural de vibracin del sistema de un grado de libertad. Se define la frecuencia natural del sistema como el inverso del perodo f = 1/T = /2 (10) f = K/M / 2 (11) La frecuencia mide el nmero de ciclos de movimiento por unidad de tiempo. La velocidad de la masa se halla derivando con respecto al tiempo la ec 7 u = - o sen t (12) La aceleracin se obtiene derivando la ec 12 con respecto al tiempo = - 2 o cos t = - 2 u (13) Vemos que la aceleracin es igual al desplazamiento multiplicado por el cuadrado de , con signo contrario. Ejemplo Una masa se mueve en vibracin libre, con una amplitud de 4 cm y un perodo de 0.75 s. Hallar la mxima velocidad y la mxima aceleracin, suponiendo un amortiguamiento nulo. Solucin T = 2/ = 2/T = 8.378 s-1 u = - 8.738(4) = -33.51 cm/s = -280.735 cm/s2 Ejemplo En un sistema de un grado de libertad se da un desplazamiento inicial o = 5.08 cm a una masa de 3.63 kg de peso (kg = kgf). La constante del resorte es K = 0.7143 kg/cm. Calcular la frecuencia del sistema en ciclos por segundo, considerando un amortiguamiento nulo. Solucin M = 3.63/9.81 = 0.37 kgs2/m K = 71.43 kg/m = (K/M)1/2 = 13.894 s-1

f = /2 = 2.211 ciclos/s = 2.211 Hz VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS Consideremos ahora que s hay disipacin de energa en el sistema (fig 1), es decir, existe amortiguamiento: C 0. El movimiento queda representado por la ec 1 M + Cu + Ku = 0 (ec 1) La ecuacin caracterstica es M2 + C1 + K0 = 0, M2 + C + K = 0 (14) Las races de la ec 14 son 1 = - C/2M + (C/2M)2 K/M 2 = - C/2M - (C/2M)2 K/M Las races 1 y 2 pueden ser reales o complejas, dependiendo del valor del radical (C/2M)2 K/M, es decir, es funcin del signo de la cantidad (C/2M)2 K/M. Distinguimos tres casos: I. Dos races reales diferentes Si las races son reales: (C/2M)2 K/M > 0. La solucin de la ec 1 est dada por u = C1 e1t + C2 e2t (15) En estas condiciones, el sistema no vibra, sino que la masa, despus de ser desplazada una distancia o regresa a su posicin inicial. Este fenmeno ocurre cuando el amortiguamiento C es alto. II. Una raz real Se presenta cuando (C/2M)2 K/M = 0. Slo existe una raz real que vale = - C/2M La solucin de la ec 1 es u = C1 et + C2 t et u = C1 et + C2 (t et + et)

3De acuerdo con las condiciones iniciales, para t = 0, u = o, por lo tanto C1 = o. Para t = 0, u = 0, y C2 = - o. En consecuencia, la solucin de la ec 1 es u = o et (1 - t) u = o e-(C/2M)t [1 + (C/2M)t] (16) En la fig 3 se muestra la variacin de u en funcin del tiempo. El amortiguamiento para esta condicin se denomina amortiguamiento crtico y vale (Ccrit/2M)2 K/M = 0 Ccrit = 2 MK (17) III. Dos races complejas Ahora (C/2M)2 K/M < 0, y 1 = - C/2M + K/M - (C/2M)2 i 2 = - C/2M - K/M - (C/2M)2 i i = - 1 Cuando las races de una ecuacin caracterstica son complejas, la solucin de una ecuacin diferencial homognea de segundo orden est dada por u = C1 eat cos bt + C2 eat sen bt (18) Donde a es la parte real y b la parte imaginaria del nmero complejo. Por lo tanto a = - C/2M (19) b = K/M - (C/2M)2 (20) Derivando la ec 18 u = eat (-C1 b sen bt + C2 b cos bt) + a eat (C1 cos bt + C2 sen bt) (21) Para t = 0, u = o; de la ec 18: C1 = o. Para t = 0, u = 0. Reemplazando en la ec 21: C2 = - a o / b Sustituyendo en la ec 18

u = o eat [cos bt (a/b) sen bt] (22) Derivando con respecto al tiempo se obtienen la velocidad y la aceleracin u = - [(a2 + b2)/b] o eat sen bt (23) = - [(a2 + b2)/b] o eat (a sen bt + b cos bt) (24) Sea = C/Ccrit = C/(2 MK) (25) A se denomina fraccin del amortiguamiento crtico. = K/M = C/2M Reemplazando en las ecs 19 y 20 a = - (26) b = K/M 1 [C/(2 MK)]2 b = 1 - 2 (27) Reemplazando en la ec 22 u = o e-t [cos 1 - 2 t + ( / 1 - 2 ) sen 1 - 2 t ] (28) Obtengamos el perodo en una vibracin libre amortiguada. Los mximos y mnimos de u se presentan cuando su derivada con respecto al tiempo vale cero, es decir, cuando la velocidad u es nula. De la ec 23, los valores extremos ocurren para bt = n, n = 0,1,2,... . Para conocer si se trata de un mximo o un mnimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: cuando sta es negativa se trata de un mximo y cuando sta es positiva se trata de un mnimo. En la ec 24 vemos que para bt = n, n = 0,2,4,..., es negativa, por lo tanto ocurren los mximos de u. Para n = 1,3,5,..., es positiva, y ocurren los mnimos. Tomando el primer ciclo: bt = 2, en consecuencia el perodo T de una vibracin libre amortiguada vale T = 2/b = 2/( 1 - 2 ) (29) T = 2 M/K / 1 - 2 (30) Pero T = 2 M/K (ec 9) Por lo tanto T = T / 1 - 2 (31)

4La frecuencia = 2/T = / 1 - 2 (32) Para valores pequeos de amortiguamiento, vemos que el perodo de una vibracin amortiguada es ligeramente mayor que el de una vibracin sin amortiguamiento, y que su frecuencia circular es ligeramente menor que la de una vibracin sin amortiguamiento. La fig 4 muestra la variacin de u en funcin del tiempo. Obtengamos otras expresiones para el clculo de u. El desplazamiento est dado por u = eat (C1 cos bt + C2 sen bt) = eat u u = C1 cos bt + C2 sen bt Sea (fig 5) u = um sen (bt + ) u = eat um sen (bt + ) (33) u = um eat [b cos (bt + ) + a sen (bt + )] (34) Condiciones iniciales: para t = 0: u = o y u = 0 Sustituyendo en las ecs 33 y 34 um = o / sen a sen = - b cos tan = - b/a (35) Por lo anterior u = (o / sen ) eat sen (bt + ) (36) u = (o / sen ) eat [b cos (bt + ) + a sen (bt + )] (37) = (o / sen ) eat [2ab cos (bt + ) + (a2 - b2) sen (bt + )] (38) Tambin (fig 6) sen = b / a2 + b2 (39) Sustituyendo las ecs 26 y 27 en la ec 39 a2 + b2 = y sen = 1 - 2

tan = 1 - 2 / (40) Ejemplo A una masa de 8 kg (kg = kgf) se da un desplazamiento inicial de 3 cm y se deja vibrar libremente. La rigidez de la barra es de 2 kg/cm. Considerando un porcentaje de amortigua-miento crtico = 5%, calcular el tiempo que tarda en alcanzar la posicin de desplazamiento nulo, as como la velocidad y la aceleracin para ese instante. Solucin M = 8/9.81 = 0.8155 kg.s2/m = C/(2 MK ) , C = 2 MK = 1.2771 kg.s/m Aplicando las ecs 19 y 20 a = -0.783020, b = 15.64082 Usando la ec 35 tan = -15.64082/(-0.78302) = 19.97499 = 1.5207755 rad Aplicando la ec 36, con u = 0 sen (15.64082t + 1.5207755) = 0 t = 0.103627 s Usando las ec 37 y 38 u = -0.4332 m/s = 0.67839 m/s2 VIBRACIN DE UN BLOQUE VERTICAL Debido a peso propio, la fuerza en el resorte vale (fig 7) W = K st Supongamos ahora que damos un desplazamiento vertical o y dejamos vibrar libremente el sistema (fig 7b). La ecuacin de movimiento es Mz +Cz + Kz + Kst - W = 0 Mz + Cz + Kz = 0 (41) Ejemplo Una masa de 3.63 kg de peso se apoya sobre un resorte de constante K = 0.3572 kg/cm. La masa se desplaza hacia abajo 5.08 cm y se permite vibrar libremente. Hallar: (a) el tiempo requerido por la masa para moverse 2.54 cm hacia arriba, despus de haberse soltado, y (b) la velocidad y aceleracin de la masa para esa posicin.

5Solucin (a) M = 0.37 kgs/m2 K = 35.72 kg/m = (K/M)1/2 = 9.826 s-1 z = o cos t = 5.08 cos 9.826t = 2.54 9.826t = ang cos 0.5, t = 0.1066 s (b) z = - o sen t = 43.23 cm/s z = - o 2 cos t = 245.13 cm/s2 VIBRACIONES ESTACIONARIAS Se denominan vibraciones estacionarias aque-llos movimientos en que la accin sobre el sistema es de tipo armnico. a) Vibraciones forzadas Consideremos un cuerpo como el de la fig 8, que se somete a una fuerza estacionaria dada por P = Po sen t. La ecuacin de movimiento es M + Cu + Ku = Po sen t (42) La respuesta de la masa despus de un lapso inicial cuando se disipa un movimiento por vibracin libre amortiguada-, est dada por (Newmark y Rosenblueth, 1976) Po sen (t - ) u = (43) K ( 1 - 2/2)2 + (2/)2 = tan-1 {(2/)/[1 (/)2]} (44) = frecuencia circular = K/M Ejemplo Un motor que pesa 160 kg est apoyado en cuatro resortes que tienen una rigidez de 133.9 kg/cm (cada uno). El motor tiene una masa desbalanceada que pesa 28.4 g, localizada a 15 cm de distancia del eje de rotacin. Sabiendo que el motor est restringido a moverse verticalmente, determinar (a) la velocidad en rpm a la cual ocurre la resonancia, y (b) la amplitud de la vibracin del motor para una velocidad de 1200 rpm. Solucin a) = K/M Velocidad de resonancia = 547 rpm b) = 1200 rpm = 125.6 rad/s La magnitud de la fuerza centrfuga es

Pm = Man = M r 2 = M(0.15)(125.6)2 = 6.94 kg u = 0.00343 cm b) Movimiento estacionario de la base Consideremos ahora un sistema de un grado de libertad como el mostrado en la fig 9, en el que la base se somete a un movimiento dado por ub = A sen t (45) La velocidad y la aceleracin de la base son ub = A cos t (46) b = - A 2 sen t (47) La ecuacin de movimiento est dada por Mg + Cu + Ku = 0 (48) Pero, de la fig 8 ug = ub + u (49) M (b + ) + Cu + Ku = 0 M + Cu + Ku = - Mb (50) M + Cu + Ku = A 2 M sen t (51) Vemos que la ec 51 es similar a la ec 42. En consecuencia, podemos emplear la misma solucin de esta ecuacin, con Po sen t = A 2 M sen t Con este cambio de variable, la respuesta de la masa est dada por los siguientes movimientos relativos u = A Bd sen (t - ) (52) u = A Bd cos (t - ) (53) = - A 2 Bd sen (t - ) (54) En las expresiones anteriores 1 Bd = (55) (1 - 2/2)2 + (2/)2 = tan-1 {(2/)/[1 (/)2]} (56) = frecuencia circular del sistema = K/M

6Los movimientos absolutos (movimientos gene-rales) estn dados por (fig 8) Desplazamiento: ug = ub + u (57) Velocidad: ug = ub + u (58) Aceleracin: g = b + (59) Definamos el factor de amplificacin de la aceleracin como el cociente del valor absoluto de la mxima aceleracin general entre el valor absoluto de la mxima aceleracin de la base fa = max g/ max b (60) fa = max sen t + Bd sen (t - ) (61) En la fig 10 se exhibe la variacin de fa con el cociente T1/T, para amortiguamientos de 2 y 10% del amortiguamiento crtico, siendo T1 = 2/ (masa que vibra) y T = 2/ (base). Se observa en la fig 10 que la amplificacin de la aceleracin depende del cociente T1/T y del amortiguamiento. La mxima amplificacin ocurre cuando T1/T = 1; al aumentar el amortiguamiento decrece el factor fa. Para T1/T la amplificacin de la aceleracin es nula. Ejemplo Hallar el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin (movimientos relativos) de la masa de la fig E-1, para t = 25 s. Movimiento de la base ub = 5 sen 3t (ub en cm, t en s). Solucin = 3 s-1, M = 10/981 = 0.010194 k.s2/cm = 5/0.010194 = 22.174 s-1 Sustituyendo valores en la ecs 55 y 56: Bd = 0.01869, = 0.01380 Reemplazando en las ecs 52 a 54 u = 5(0.01869) sen (3t 0.0138) u = 0.09345 sen (3t 0.0138) u = 0.2804 cos (3t 0.0138) = -0.8410 sen (3t 0.0138) Para t = 25 s: u = -0.03742 cm u = 0.2569 cm/s, = 0.3368 cm/s2 VIBRACIN DEBIDA A ROTACIN Consideremos una masa como la indicada en la fig 11, vibrando libremente. La fuerza de inercia vale F = Mu. De la figura u = H, u = H. Por lo tanto F = M H.

El momento de volteo al nivel de cimentacin, debido a la inercia de la masa es (Zeevaert, 1980) OT = F H = M H2 = M H2 Supongamos ahora que la cimentacin est sometida a un momento estacionario dado por OT = OTo sen t. En el diagrama de cuerpo libre de la cimentacin (fig 12) se muestran los momentos que acta sobre ella. El equilibrio de momentos conduce a M H2 + Cr + Kr = OTo sen t (62) Para un sistema de un grado de libertad sujeto a una fuerza vertical estacionaria, habamos obtenido la siguiente ecuacin de equilibrio dinmico (ec 42) M + Cu + Ku = Po sen t (42) Las ecuaciones 62 y 42 son similares, por lo que para hallar la solucin de la ec 62 podemos emplear la de la ec 42, cambiando M por MH2 y Po por OTo. Por lo tanto, la solucin de la ec 62 es OTo sen (t - ) = (63) Kr ( 1 - 2/2)2 + (2/)2 = tan-1 [(2)/(2 - 2)] (64) = Kr / MH2 = Kr / M / H (65) = Cr / Ccrit = Cr / (2 Kr M H2 ) = Cr / ( 2H Kr M ) (66) Por lo anterior, el perodo natural de vibracin por rotacin de una masa est dado por Tr = 2 M H2 / Kr = 2 H M / Kr (67) Tr = 2 W H2 / g Kr (68) siendo W = peso de la masa y g = aceleracin de la gravedad

7 REFERENCIAS Newmark, N M y Rosenblueth, E, Fundamentos de Ingeniera Ssmica, Diana, 1976

Zeevaert, L, Interaccin Suelo-Estructura de Cimentacin, Limusa, 1980

8

9

10

11

bt

O C1C2

u'um = C1 + C2u' = C1 sen bt + C2 cos btu' = um sen (bt + o)

um

bt

u'

DESPLAZAMIENTO EN FUNCIN DEL NGULO DE FASEFIGURA 5

a + b

bO

-a

DETERMINACIN DEL NGULO DE FASEFIGURA 6

12

W CG

W z CG

zK

M z z

K (z + )

C z

a) Bloque apoyado sobre un resorte b) Diagrama de cuerpo libre

VIBRACIN DE UN BLOQUE VERTICALFIGURA 7

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14

15

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MECNICA DEL MEDIO CONTINUO VISCOELASTICIDAD

Agustn Demneghi Colina1

Margarita Puebla Cadena1 Hctor Sangins Garca1

La viscoelasticidad es el estudio de las relaciones esfuerzo-deformacin-tiempo que existen en el comportamiento mecnico de los materiales. Conocer tales relaciones es importante en el diseo de obras construidas con materiales cuyas propiedades cambien con el tiempo y en las cuales la variacin de la magnitud de las cargas influye en forma significativa. Este comportamiento difiere notablemente del que exhiben materiales que se puede modelar aceptablemente mediante los cuerpos idealmente elstico o idealmente viscoso, ya que so materiales que se comportan como distintas combinaciones de ambos (Demneghi, Magaa y Sangins, 1986). COMPORTAMIENTO VISCOELSTICO Como se vio en el captulo de modelos de comportamiento de los materiales, los cuerpos que mejor representan el comportamiento viscoelstico son los modelos de Kelvin-Voigt, de Maxwell o de Burgers. El cuerpo de Kelvin-Voigt consiste en un resorte y un amortiguador colocados en paralelo (fig 1). Por equilibrio de fuerzas P = PH + PN Dividiendo entre el rea A del modelo P/A = PH/A + PN/A = H + N Sean = P/A, H = PH/A, N = PN/A = H + N (1) 1 Profesores del Departamento de Geotecnia. Divisin de Ingenieras Civil y Geomtica. Facultad de Ingeniera, UNAM

Por compatibilidad de deformaciones = H = N En el resorte se cumple la ley de Hooke H = H/E donde E = mdulo de elasticidad del mate-rial. En el amortiguador se cumple la ley de Newton N = N/ donde = coeficiente de viscosidad del material. Reemplazando valores en la ec 1 = E + (d/dt) + E = (2) La ec 2 es la ecuacin diferencial del cuerpo de Kelvin-Voigt. El uso de cuerpos de comportamiento viscoelstico tiene aplicacin en el anlisis y diseo de estructuras de concreto (fenmeno de flujo viscoelstico o creep), en mecnica de rocas (conducta viscoelstica de las rocas, sobre todo a largo plazo), etctera. En mecnica de suelos se utiliza el modelo de Kelvin-Voigt para el estudio del fenmeno de consolidacin en suelos finos totalmente saturados. La analoga mecnica de Terzaghi (Jurez Badillo y Rico, 1976) se muestra en la fig 2, donde apreciamos que est formada por cuerpos de Kelvin-Voigt en serie. La estructura slida del suelo se representa por resortes y la resistencia al flujo del agua del suelo se representa por un amortiguador. Otro campo donde se usa el comportamiento viscoelstico de los materiales es el que comprende fenmenos en que se tiene que tomar en cuenta la disipacin de energa. En stos la disipacin de energa se considera proporciona a la velocidad de deformacin del material. Una aplicacin de lo anterior lo constituye el anlisis de cuerpos sometidos a vibracin.

17Consideremos un sistema de un grado de libertad sometido a una fuerza Q(t), como se indica en la fig 3. La disipacin de energa se considera proporcional a la velocidad de la masa. La ecuacin de movimiento es Q(t) K u C u = 0 C (du/dt) + K u = Q(t) (3) Vase la similitud entre las ecuaciones 2 y 3. Observamos entonces que la disipacin de energa se puede tomar en cuenta empleando el modelo de Kelvin-Voigt. En ingeniera ssmica interesa el movimiento de la base de un sistema estructural. Consideremos un sistema de un grado de libertad sujeto a las condiciones de movimiento de la fig 4. (El fenmeno fsico consiste en una masa que se est desplazando hacia la derecha, pero con una aceleracin ug hacia la izquierda; aun cuando ug tiene signo positivo en la fig 4, el fenmeno que ocurre en la masa es una desaceleracin de izquierda a derecha; la aceleracin u, la velocidad u y el desplazamiento u se ponen con signo positivo para que haya consistencia algebraica en sus signos). ub representa el desplazamiento de la base y ug el desplazamiento general de la masa. u es a su vez el desplazamiento relativo entre la masa y la base, como se indica en la fig 4a. El diagrama de cuerpo libre de fuerzas horizontales se muestra en la fig 4b; estableciendo la ecuacin de movimiento, y utilizando el principio de DAlembert, obtenemos K u + C u + M ug = P Pero ug = ub + u, u = ug ub, ug = ub + u (4) Es decir M (ub + u) + C u + K u = P M u + C u + K u = - M ub + P (5) Resulta interesante notar en la ec 5 que el efecto de la aceleracin de la base ub es equivalente a aplicar una fuerza dinmica de magnitud igual a M ub y sentido contrario a ub (Clough y Penzien, 1975).

ECUACIONES CONSTITUTIVAS DE UN MATERIAL VISCOELSTICO Voigt consider que las componentes de esfuerzo en un slido son la suma de dos trminos: el primero proporcional a la deformacin unitaria y el segundo proporcional a la velocidad de deformacin unitaria (este ltimo para tomar en cuenta la disipacin de energa). Las expresiones de la ley de Hooke generalizada quedan (Kolsky, 1963) x = v + (v/t) + 2 Gx + 2(x/t) (6) y = v + (v/t) + 2 Gy + 2(y/t) (7) z = v + (v/t) + 2 Gz + 2(z/t) (8) xy = Gxy + (xy/t) (9) xz = Gxz + (xz/t) (10) yz = Gyz + (yz/t) (11) v = x + y + z (12) Los trminos que contienen a la velocidad de deformacin en las ecs 6 a 11 toman en cuenta la disipacin de energa. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Consideremos el elemento de la fig 1. La sumatoria de fuerzas en la direccin x vale Fx = [zx+(zx/z)dz]dxdy + [yx+(yx/dy)dy]dxdz + [x + (x/x)dx]dydz - zxdxdy - zxdxdz - xdydz Fx = (x/x + yx/y+ zx/dz) dxdydz Utilizando la segunda ley de Newton, despreciando las fuerzas de masa Fx = (dxdydz) (2u/t2) es decir (2u/t2) = (x/x + yx/y+ zx/dz) Procediendo en forma similar (2u/t2) = x/x + yx/y+ zx/z (13) (2v/t2) = xy/x + y/y + zy/z (14) (2w/t2) = xz/x + yz/y + z/z (15)

18Las ecs 13 a 15 son ecuaciones de movimiento que se deben cumplir para cualquier clase de material. Obtengamos a continuacin las ecuaciones de movimiento para un slido que cumple las leyes de comportamiento de Voigt Reemplazando las ecs 29 y 32 en la ec 13 (2u/t2) = (/x) {[+(/t)]v+2[G + (/t)] x} + (/y) [G + (/t)] yx + (/z) [G + (/t)] zx Pero x = u/x, yx = v/x + u/y, zx = w/x + u/z (2u/t2) = {[+(/t)] (x/x+y/x+ z/x) + 2[G + (/t)] (x/x) + [G + (/t)] (/y) (v/x+u/y) + [G + (/t)] (/z) (w/x+u/z) (2u/t2) = [G + (/t)] (2u/x2 +2u/y2 + 2u/z2) + [+(/t)] (2u/x2 + 2v/xy + 2w/xz) + [G + (/t)] (2u/x2 + 2v/xy + 2w/xz) (2u/t2) = {[+(/t)] + [G + (/t)]} (/x) (u/x + v/y + w/z) + [G + (/t)] 2u (2u/t2) = {[+(/t)] + [G + (/t)]} (v /x) + [G + (/t)] 2u Anlogamente (2u/t2) = {[+(/t)] + [G + (/t)]} (v /x) + [G + (/t)] 2u (16) (2v/t2) = {[+(/t)] + [G + (/t)]} (v /x) + [G + (/t)] 2v (17) (2w/t2) = {[+(/t)] + [G + (/t)]} (v /x) + [G + (/t)] 2w (18) Consideremos un movimiento en el que no se presenta rotacin wx = wy = wz = 0 Por lo tanto u/y = v/x, u/z = w/x, v/x = w/y v /x = (/x) (u/x +v/y + w/z) = 2u Reemplazando en la ec 16 (2u/t2) = {[+(/t)] + [G + (/t)]} 2u + [G + (/t)] 2u (2u/t2) = {[+(/t2[G+(/t)]}2u

Procediendo en forma anloga (2u/t2) = {[+(/t2[G+(/t)]}2u (19) (2v/t2) = {[+(/t2[G+(/t)]}2v (20) (2w/t2) = {[+(/t2[G+(/t)]}2w (21) Las ecs 19 a 21 representan un movimiento consistente en ondas irrotacionales (Kolsky, 1963). Se conocen tambin como ondas longitudinales de dilatacin o de compresin, ondas primarias u ondas P. Consideremos ahora un movimiento en el que no se produce cambio de volumen v = x + y + z = 0 Sustituyendo en las ecs (2u/t2) = [G + (/t)] 2u (22) (2v/t2) = [G + (/t)] 2v (23) (2w/t2) = [G + (/t)] 2w (24) Las ecs 22 a 24 corresponden al movimiento de ondas de cortante que se propagan en el medio continuo. A estas ondas se les denomina tambin ondas secundarias u ondas S. Velocidad de las ondas ssmicas Consideremos una onda de compresin (ec 19) en la que slo se tiene desplazamiento en la direccin del eje x; despreciemos adems el amortiguamiento; la ec 19 queda 2u/t2 = [(+ 2G)/] (2u/x2 ) (25) Por otra parte, dada una ecuacin diferencial del tipo 2u/t2 = c2 (2u/x2) (26) su solucin est dada por u = f1(x-ct) + f2(x+ct) En efecto u/t = - c f1(x-ct) + c f2(x+ct) 2u/t2 = c2 f1(x-ct) + c2 f2(x+ct) u/x = f1(x-ct) + f2(x+ct) 2u/x2 = f1(x-ct) + f2(x+ct)

19Reemplazando en la ec 26 apreciamos que sta se satisface idnticamente (Levi, 1980). Veamos a continuacin que la ec representa dos ondas que se transmiten a lo largo de los sentidos positivo y negativo del eje x. Tomemos la funcin f1(x-ct); para t = to la funcin tendr una cierta configuracin (fig #, curva de trazo continuo; Levi, 1980), y valdr f1(x-cto). Para el tiempo t = to+t, la funcin valdr f1(x-cto-ct); pero esta funcin es iguala la correspondiente a t = to, si agregamos a x la distancia ct. En efecto, el nuevo argumento de la funcin vale (x+ct- cto-ct) = (x-cto) y la funcin es f1(x-cto), que es igual a la correspondiente a t = to. Por lo tanto, la funcin f1(x-ct) representa una onda que avanza a lo largo del eje x, con un velocidad constante c (celeridad de la onda). De manera anloga, se comprueba que f2(x+ct) representa una onda que retrocede a lo largo del eje x, con la misma velocidad c (Levi, 1980). Por lo anterior, la velocidad de una onda de compresin, de acuerdo con las ecs 25 y 26, vale Cp = (+ 2G)/ (27) De la ec 22, considerando nicamente desplazamiento en la direccin del eje x, y despreciando el amortiguamiento 2u/t2 = (G/) (2u/x2) De acuerdo con la ec 26, la velocidad de la onda de cortante es Cs = G/ (28) Si consideramos ahora una onda de cortante que se propaga en direccin vertical, con desplazamiento de partculas slo en la direccin del eje x, la ecuacin de movimiento es (2u/t2) = [G + (/t)] (2u/z2) es decir (2u/t2) = G (2u/z2) + (3u/tz2) (29)

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Hagamos F(t) = P M ub en la ec 5. sta queda Mu + Cu + Ku = F(t) (30) Consideremos que el movimiento F(t) es estacionario F(t) = F = Df sen t (31) donde Df = amplitud de la excitacin. En teora de vibraciones se demuestra que la respuesta del sistema es igual a u = (Df/K) sen(t - )/K[(1-2/2)2+(2 /)2]1/2 (32) siendo = K/M, = C / Ccrit = C / 2 M K, C = 2 M K Sea u = Dy sen (t - ) (33) donde Dy = (Df/K) / [ (1 - 2/2)2 + (2 /)2 ]1/2

(34) La relacin de amplitudes Dy/Df vale Dy/Df = 1 / K [ (1 - 2/2)2 + (2 /)2 ]1/2

(35) En la ec 32, es el ngulo de fase, dado por tan = 2 (/)/[1 (/)2] (36) Resolvamos la ec 30 mediante la funcin de transferencia. Sea F(t) = Df eit (37) La respuesta del sistema estar dada por u(t) = Dy eit (38) Sea

20u(t) = Hd() F(t) (39) donde Hd() = funcin de transferencia. Sustituyendo la ec 37 en la ec 39 u(t) = u = Df Hd eit u = Hd Df i eit u = - Hd Df 2 eit Reemplazando en la ec 30 y despejando Hd Hd = Hd() = 1/[ (K - M2) + C (40) El mdulo de la funcin de transferencia vale Hd()=1/[ (K - M2)2 + (C)2 ]1/2 Hd()= 1 / K [(1 - 2/2)2 + (2 /)2 ]1/2 (41) Apreciamos que el mdulo de la funcin de transferencia es igual a la relacin de amplitudes Dy/Df dada por la ec 35. Sea Hd() = A() i B() (42) Demostremos a continuacin que el ngulo de fase est dado por tan = B/A (43) En efecto, de la ec 40

[(K - M2) - C i] Hd = [(K - M2) + C i ] [(K - M2) - C i]

K - M2 C i Hd = - (K - M2)2 + (C)2 (K - M2)2 + (C)2 (44) tan = B/A = C / (K - M2) = 2 M K / K (1 - 2 M/K) = (2 M / K ) / (1 - 2/2) tan = 2 (/)/[1 (/)2] que coincide con la ec 36.

En la ec 37 el fenmeno real est representado por la parte imaginaria de su segundo miembro F(t) = Im [Df eit] = Df sen t (45) La respuesta del sistema estar dada por la parte imaginaria de la ec 38 u(t) = Im [Dy eit] (46) Pero (ec 39) u(t) = Hd() F(t) (47) donde Hd() = funcin de transferencia. Sustituyendo la ec 37 en la ec 47 u(t) = u = Hd() Df eit (48) En la ec 48 el fenmeno real est representado por la parte imaginaria del segundo miembro u = Im [Hd()Df eit] (49) Sustituyendo la ec 42 en la ec 49 u = Df Im {[A() i B()] [cos t + i sen t]} = Df [A() sen t - B() cos t] De la fig 5 u = Df [ (A2 + B2) sen ( t ang tan B/A)] u = Df (A2 + B2) sen ( t - ) (50) Pero, por la ec 42 Hd()= (A2 + B2) (51) Sustituyendo las ecs 41 y 51 en la ec 50 u = (Df/K) sen(t-)/K[(1-2/2)2 + (2 /)2]1/2 (52) que coincide con la ec 32. Por lo tanto, las partes imaginarias de F(t) = Df eit y u(t) = Dy eit (ecs 37 y 38) representan el fenmeno de vibracin dado por las cantidades F(t) = Df sen t y u(t) = Dy sen (t - ), ecs 31 y 33.

21VIBRACIN DE UN ESTRATO DE SUELO BLANDO Sea un estrato de suelo blando de espesor H como el indicado en la fig 8. Para hallar el movimiento de este estrato se tiene que resolver la ec 29. Supongamos que el desplazamiento de la base rgida est dado por xb = C eit = C (cos t + i sen t) (53) Lo que implica que la base tiene un movimiento armnico de frecuencia . Definamos la funcin de amplificacin fa como el valor absoluto del cociente de la mxima aceleracin en la superficie del estrato entre la mxima aceleracin de la base rgida; obtenemos (Roesset, 1969) fa = 1 / cosh2 cos2 + senh2 sen2 (54) donde

1 + (/G)2 - 1 = (H/2 Cs (55)

1 + (/G)2

1 + (/G)2 + 1 = (H/2 Cs) (56)

1 + (/G)2 donde = amortiguamiento del suelo blando = frecuencia circular natural de la base rgida H = espesor del suelo blando G = mdulo de rigidez al cortante dinmico del suelo blando La respuesta depende de la hiptesis que se haga respecto al amortiguamiento. Se puede considerar que la viscosidad es inversamente proporcional a la frecuencia, de tal modo que /G = 2 sea una constante. Aplicando las ecs 54, 55 y 56 se obtiene la respuesta del estrato. Las frecuencias correspondientes a los modos naturales de vibrar del estrato se hallan con las siguiente expresiones:

n = frecuencia circular del modo n de vibrar n = [(2n-1)/2H] G/ (57) Para pequeos valores de (/G) la funcin de amplificacin, para los modos naturales de vibrar, vale aproximadamente (Roesset, 1969) fa = 4/[(2n-1)(2)] (58) Donde = fraccin del amortiguamiento crtico En la fig 3 se muestra la variacin de la funcin de amplificacin de la aceleracin con la frecuencia de vibracin de la base firme, para un estrato blando de espesor H = 30.5 m, con una velocidad de la onda de cortante de Cs = 229 m/s y un peso volumtrico = 2 t/m3. La funcin de amplificacin se obtiene empleando las ecs 54 a 56, considerando que /G = 2. Vemos que la mxima respuesta se presenta cuando el terreno firme vibra con una frecuencia igual a la frecuencia correspondiente al primer modo de vibrar del estrato blando. Esto significa que si la frecuencia dominante de las ondas ssmicas que arriban a un sitio coincide o est cercana a la frecuencia del primer modo de vibrar de un estrato de suelo blando, la aceleracin en la superficie de ste puede ser varias veces superior a la aceleracin en el terreno firme. En este ejemplo, la amplificacin de la aceleracin es de 3.18, para un amortiguamiento del suelo blando de 20% del crtico. En forma aproximada, se pueden calcular las frecuencias de vibracin correspondientes a los mximos relativos de la funcin de amplificacin (fig 3), empleando las ecs 57 y 58. En la tabla 1 se presentan los resultados para los primeros cinco modos de vibrar, considerando un amortiguamiento del 20% del amortiguamiento crtico. Desafortunadamente, no se puede controlar la frecuencia dominante de vibracin de las ondas ssmicas que llegan a un sitio; en todo caso, es conveniente observar las frecuencias dominantes de los temblores que llegan a una localidad, para reconocer los estratos en los que se puede presentar el fenmeno de amplificacin de aceleracin que hemos comentado en prrafos anteriores.

22El razonamiento anterior es vlido tambin en trminos del perodo de vibracin de ondas que arriban a un lugar y del perodo de vibracin del suelo blando. As, la mxima respuesta de aceleracin que se presenta cuando el perodo de vibracin de la base firme coincide con el perodo natural del primer modo de vibrar, siendo esta respuesta de 3.18 en nuestro ejemplo (fig 4). Es decir, la aceleracin en la superficie del terreno blando ser 3.18 veces mayor que la aceleracin de la base, si el amortiguamiento del suelo blando es de 20%. Vemos entonces que la aceleracin en la superficie del suelo blando depende fundamentalmente del cociente Ts1/T, donde Ts1 es el perodo natural de vibracin del estrato blando, y T es el perodo dominante de vibracin de las ondas ssmicas. Los perodos de vibracin de un estrato de suelo blando estn dados por Tsn = 2/n = [4H/(2n-1)] /G (59) n = 1, 2, ... El primero modo de vibrar, o modo fundamental, se obtiene para n = 1: Ts1 = 4H / /G (60)

VIGA DE CORTANTE. MTODO DE NEWMARK Consideremos una viga prismtica vertical de rea A (A es el rea de una seccin horizontal), y tomemos un tramo entre las coordenadas zi y zj (fig 6). Consideremos que el desplazamiento u es proporcional a la distancia vertical z u = z (61) donde = constante

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