UN NIVERSFRCENTRMAEMODoceAlIDADMRANCISCODEESTSTRA EODULO: ANente MScumnos:Ing.InMAYOR,COXAVVICERRTUDIOSDEN INGENLISIS Y MECc. ING. MO OMAR Og. GREGIng. SANLaPSeptie

REALYVIERDE RECTORAEPOSGRA NIERA ECNICA EST OISES ARO. SALAZORIO CONTOS TA

azBoliviaembre20YPONTICHUQUADOADOEINVESTRUCTTRUCTURAL ARTEAGA ZAR LARAORONEL AMBOa11IFICIADUISACAVESTIGACTURAL VAVANZADAMIRANDADESANCIN V.3 DA

CONTENIDO INTRODUCCION EL SISMO LOS SISMOS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA INGENIERA Y SU CARACTERIZACIN DIAGRAMA DE FLUJO PARA LA EVALUACIN DE LA VULNERABILIDAD ESTRUCTURALCONCEPTOS BASICOS DE DINAMICA ESTRUCTURAL DEFINICIN DE LA ACCIN DINMICA RESPUESTA DINMICA. ACCIONES Y FUERZAS DINMICAS IMPORTANCIA DE LA MASA EN EL PROBLEMA DINMICO VELOCIDAD DE REACCIN DE UNA ESTRUCTURA MODELOS DINMICOS CARACTERSTICOS OBJETIVOS DEL DISEO SSMICOMODELO MATEMTICO PARA DISEO DE EDIFICIOS SISMORESISTENTES ECUACIONES DE MOVIMIENTO PRINCIPIO DE HAMILTON PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES PRINCIPIO DE DALEMBERT FORMULACIN DE LA ECUACIN DE MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE 1 GLD RESOLUCIN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO MTODO DE SOLUCIN PASO A PASO MTODO DE SUPERPOSICIN MODAL ANLISIS MODAL ESPECTRAL ANLISIS EN EL DOMINIO DE FRECUENCIAS INTEGRACIN NUMRICA DE LA ECUACIN DE MOVIMIENTO DESARROLLO Y FORMA OPERATIVA RESPUESTA DINMICA DE UNA ESTRUCTURA CON MLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD VIBRACIONES LIBRES NORMALIZACIN DE LOS MODOS OBTENCIN DE LOS GRADOS DE LIBERTAD DINMICOSCONDENSACIN ESTTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO CONDICIONES DE ORTOGONALIDAD MATRICES DE AMORTIGUAMIENTO ORTOGONALES DETERMINACIN PRCTICA DE MODOS Y FRECUENCIAS MTODO DE STODOLA-VIANELLO OBTENCIN DE MODOS Y FRECUENCIAS SUPERIORES RESOLUCINDELASECUACIONESDEMOVIMIENTOENESTRUCTURASCONMLTIPLES GLD DESCOMPOSICIN Y SUPERPOSICIN MODAL INTEGRACIN DIRECTA DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO RESPUESTA MXIMA UTILIZANDO ESPECTROS DE RESPUESTA CONCLUSION BIBLIOGRAFA EJERCICIOS Pg. 2 2 3 4 5 5 6 6 6 8 8 8 9 9 10 10 11 12 13 13 14 14 15 15 17 19 19 21 21 22 25 25 26 27 27 28 30 30 32 33 34 35 36 INTROEnnuestrucmuchaAunntectnActualEL SISLostamplitLas caTerremlas misTerrempuedesuperfTerremlargo dTerremcapacmovimEngeocurriddenomdenomODUCCION estropasectural,yaquas fallas ssmosecuentaica en nueslmente contaSMO terremotos udes y frecuausas que lomotosdecosmas, son dmotos de orieproducirteficies limitadmotostectnde superficiemotoscausaesdegenemientos en laneral,elmodoauna minadofocomina epicentANeldiseossuecontamosmicas.aconestructro pas.amos con lapuedendeuencias depeos generan solapso:son de baja intenigen volcnierremotosqdas. nicos:estnes de fracturadosporexerarvibracioas estructuraovimientodeciertaprofuoohipocentro. NLISIS SSsmicohajugsconpoca turanecesa Norma Boliefinirsecomendientes deson variadaslosoriginadnsidad. co: la exploue,engenencausados ra (fallas), soxplosiones: onesdelteras. elacorteza undidadbajntro,asu Definiciones gSMICO DE Egadounpapexperienciaariaparallevviana de Dismomovimieel tiempo. s: osencavidsin de gaseral,tienen porlaroturon los ms flasexplosioreno,conuseproduceolasuperproyeccin geomtricas de uAnlisis y MeDoc. EDIFICIOSpelirrelevanassmicaavarunbuenseo Ssmicentosdelaadessubterses durante unaintensidrabruscadefuertes y monesproducunaintensidporunchorficieterrestsobrelasun sismoecnica estruMSc Ing. Mointeenloquepesardeeregistrodeco NBDS 20acortezatrrneaspor las erupciondadpequeelascapass frecuentescidasporeadtalque oqueomovitreenun superficiete ctural avanzaises Arteaga eeseldiseestarcerca lainteracci06. terrestre,celcolapso nes volcnicayafectansrocosasa s. elhombrespuedacausmientobruspuntoterierrestrese adaM.2 eo de n con de cas na lo son sar sco ico le Anlisis y Mecnica estructural avanzadaDoc. MSc Ing. Moises Arteaga M.3 LOSSISMOSDESDEELPUNTODEVISTADELAINGENIERAYSU CARACTERIZACIN Los terremotos ms importantes son los tectnicos, pues son los que traen consecuencias ms desastrosas en las estructuras que afectan, debido a esto, son los que se tienen en cuenta para la elaboracin de normas para la contraccin de estructuras sismoresistentes.La intensidad ssmica es una medida de los efectos de los terremotos en el entorno y en particular sobre las estructuras. Existen diferentes escalas de intensidades que describen, para cada valor que esta tome, los efectos que produce el terremoto. Una de las ms difundidas es la escala de Mercalli Modificada. Algunos de los efectos sobre las estructuras en orden creciente de intensidad son: fisuracin de las estructuras de madera agrietamiento de las estructuras dbiles de mampostera agrietamiento de las estructuras ordinarias de mampostera colapsoparcialdeestructurasordinariasdemampostera;daoenestructuras bien ejecutadas de mampostera no diseadas para resistir fuerzas ssmicas colapsodeestructurasordinariasdemampostera;lasestructurascondiseo antissmico sonseriamentedaadas;daosencimientos;grietasenelterrenola mayoradelasestructurassondestruidasjuntoconsuscimientos,daos importantesenpresasydiques,grandesdeslizamientosdelterrenodestruccin casi total, grandes masas de rocas desplazadas, etc. Unsismosecaracterizaporsuintensidad(parmetrosubjetivo)yporsumagnitud (parmetro objetivo). La escala objetiva ms popular es la de Ritcher, en la que la magnitud M mide la energa del terremoto en el foco y es el logaritmo decimal de la amplitud del movimiento ssmico, medidoenmicronesa100[km]delepicentro,porunsismgrafoWood-Anderson estndar. La magnitud M esta relaciona con la energa del terremoto en ergios Diagraedificaamadefaciones en flujopara zona ssmilaevaluaica. acinde Anlisis y MeDoc. lavulneraecnica estruMSc Ing. Moiabilidadesctural avanzaises Arteaga structural adaM.4 de CONCEnunvariacsistemLas vaDEFINUnaaorigenfuente LadedetermCEPTOS BAnsentidoaionesenel ma, podr pre.ariaciones enNICIN DE Laccintiene nafuerzasdes importantesismos viento olas y correxplosionecargas mefinicinde minista,staASICOS DE amplio,unstiempoy,sedecirse el cn el tiempo sLA ACCINcarcterdideinerciaces de vibracientes de ages e impactoviles (vehcuestascargaltimadeDINAMICA sistemadinsiseconocecomportamiesern vibracN DINMICAnmicocuaomparablesciones estrucgua s ulos, persongasexternaenominada ESTRUCTUmicoesaenlasinflueento de esteciones produA andosuvarenmagnitucturales sonas, etc.) aspuededtambinesAnlisis y MeDoc. URAL aquelcuyasenciasextere. ucidas por cariacincon udconlasf: istinguirse stocsticaoecnica estruMSc Ing. Moisvariables rnasqueacargas dinm eltiempoeuerzasestentre:deteoaleatoria. ctural avanzaises Arteaga experimentctansobre micas esrpiday ticas.Algunrministay determinisadaM.5 tan el da nas no sta: cuandotodocon caRESPCualqestrucUna caACCIOLasafuncioEste estrucevalua1986 (base aIMPORAunqusegnMASAEstruco su variaciossusparargas definidPUESTA DINuiermagnituctura arga definidDefinicin de la reONES Y FUaccionesdnes del tiemtipoderepctura A POSarelcompo(del que se a accionesRTANCIA Duelacarga lamasaquA y una CONctura sin masn temporametrosson das en formaNMICA. udquepuea determinsspuesta dinmica: ERZAS DINinmicasdmpo cuyo valpresentacinTERIORI dertamientodeposeen regiDE LA MASAvareconeuevibraconN MASA respsa (SIN INEl es perfectadefinidosea DETERMINedacaractersticamente dpara un punto conNMICAS definidasuor en cada inesapropel acontecimeunedificiostros). El disA EN EL PReltiempo,la nella. Anteuponden de laRCIA) amente conoestadsticamNISTA. rizarelefecda origen a usiderado se calculatilizandoreinstante ES iadopara miento que donuevoanteseo de unaROBLEMA Drespuestadunamisma a siguiente mAnlisis y MeDoc. ocida no detmenteEnnuctodeuna una respuesan: deformacionesepresentacioCONOCIDOevaluarel dio lugar a deelterremoa estructura DINMICOdeunaestrfuncinde cmanera: ecnica estruMSc Ing. Moiterminista: cuestrocursocargadinsta, tambin s, aceleraciones, teonesdetermO. comportamdicha accinotoocurrido NO PUEDEructuravaracarga,unaectural avanzaises Arteaga cuando alguotrabajaremmicasobre deterministansiones, etc. ministas,smientodeu. Por ejempenMxico E encararse aradicalmenestructura SadaM.6 no mos la a. son na plo, en en nte SIN EstrucLa maunamlinealemientrigualeM por En la qLacomasa dimenctura con maatriz de masamatrizdiagones y de torsirasquelos s a cero. Launidad de loque Io es el mbinacinaconsistentesiones: asa (CON INa concentradnal,enlacun son iguacoeficientesa matriz de ongitud puedmomento poapropiadadeparaunsNERCIA) da, para un ualloscoefiales a la mitascorresponmasaconcede convenieolar de inercelosefectosegmentodelemento deicientescorrad del total dndientesalaentrada paraentemente escia y A el reosaxiales,tdevigauniAnlisis y MeDoc. e un prtico respondientede la inerciaasrotacionea una viga dscribirse, coea de la sectorsinyfleformedeuecnica estruMSc Ing. Moi espacial, esesalosdesa del segmeesdeflexide msunifoomo: cin. exinnosdaunprticoectural avanzaises Arteaga s simplemensplazamientnto de la vignsesuponorme repartialamatriz espacialenadaM.7 nte tos ga, en da de 3 O en nVELOAnteurespuecorresde libeGLD.LospmateriMODEDesdeestrucestrucvelocidSegnde clOBJEEl aninternopara luSedemoderexcedposibinotacin conOCIDAD DE unaaccin estaestspondientes ertad, este pperiodosyfiales (rigidezELOS DINMeelpuntodctura,esel cturayobtedades, acelenlacerteza culo duranteETIVOS DELlisis ssmicoos debidos auego procedebeevitarqradaquepuaelEstadolidad significndensadaREACCINexterior,disntimamentefrecuenciasperiodo propformasde z) y de la ineMICOS CARdevistaderesultado enerlasvareraciones, mconquefuee el anlisis,L DISEO So de la edifica la carga sder al diseoueseexceuedenpreseolmitede cativa de pre {PN DE UNA ESstintasestruerelacionadsoperiodosio se obtienevibrardepeercia que la eRACTERSTlclculonude"filtrar" riacionesdemomentos, teeronformula ser la precSMICOcacin tiene smica, en co. edaelEstadentarsevariaintegridadeesentarse enP}=[M]*{} STRUCTURucturasreacdaconlas propios.Ene fcilmenteendendelaestructura oTICOS umrico,obtlasealdeelasmagniensiones, etadoslosmocisin de la rcomo objetada uno de dolmitedeasvecesenestructuralpn la vida de lAnlisis y MeDoc. RA ccionarndeformaso nelcasodee. No as parascaracteropone al movtenerlareseexcitacinitudesdeatc.) respectoodelosyprorespuesta oivo encontralos elementeserviciopanlavidade parasismosla estructuraecnica estruMSc Ing. Moi eformasdimodosde eunosciladra estructurasticasgeomvimiento (maspuestadinnatravs anlisis(deso del tiempo.ocedimientosbtenida. ar las fuerzatos del sistearasismos laestructursseverosqua.ctural avanzaises Arteaga ferentes.Esvibrarysdorde1graas de mltiplmtricasy asa). micadeudelamismsplazamiento soalgoritmas y momentma estructudeintensidra.Queno uetienenuadaM.8 sta sus ado les de na ma os, mos tos ral ad se na NodextraoMODELasesLos anque esque seLarelaelaborLaobterrenola estrun moanalizdescriEstemtenemECUALas exlas coLafoposiblcomplposiblPrincipDAlemebeexcedordinarios quELO MATEMstructurassonlisis ssmis necesario ea capaz deacinentre racin de unbtencinde o (en caso sructura propodelo mecnadaypreteban un modmodelomatmos los mtoACIONES DExpresiones mnoce con el ormulacindementelafaetodeanlesmtodospiodeHambert. ersetambiue tengan unMTICO PAonsistemascos estn suintroducir pa dar resultadelsistemafn modelo malarespuesssmico) taniamente dicnico de la miendebrindadelo matemtemticopuedos numricE MOVIMIENmatemticasnombre de delasecuasemsimlisis.Acontsquecondumilton,prinnelEstana muy pequARA DISEOscontinuosyujetos a cierara reducir edos aceptabfsicoylapatemtico. tarequiere,nto como deha. El anlissma. La defrunaserie tico del probedeserrescos de anlisNTO s que gobierecuaciones uacionesdeportante,yatinuacinseucenalafncipiodeladolmite uea probabO DE EDIFICycomotalertas limitacioel problema bles. osiblesoluc,previamene las caractesis es practicfinicin del mderelacionblema. sueltomediasis. rnan la respdel movimieelmovimienamenudolaedetallanloformulacin osdesplazAnlisis y MeDoc. desupervbilidad de ocCIOS SISMOsposeeninones, simplify encontrarcinmatemnte,ladefinersticas estrcado, no a lmodelo depenesentreaantediversapuesta dinmento.ntoparauamscomposaspectos delasecuzamientosvecnica estruMSc Ing. Moivivenciani currencia. ORESISTENnfinitos gradoficaciones o r una soluciticaselogrnicindelmructurales dela propia estende del tipoaccionesyrastcnicas mica de las unsistema plicada,del msimportuacionesdevirtuales,y ctural avanzaises Arteaga parasismNTES osdelibertaidealizacionn matemtiramediantemovimientodel mismo y tructura sinoo de estructurespuestaq entrelosqestructuras dinmico procedimientantesdetrelmovimienprincipio adaM.9 mos ad. nes ica la del de o a ura ue ue se es nto res to: de Anlisis y Mecnica estructural avanzadaDoc. MSc Ing. Moises Arteaga M.10 Principio de Hamilton Laformadeabordarlosproblemasparaestablecerlasecuacionesvectorialesde equilibrio es hacer uso de la forma diferencial de las cantidades de energa escalares. El conceptodiferencialmsaplicadogeneralmenteeselprincipiodeHamiltonquese expresa como, _ ot2t1(I I)Jt +_ owncJtt2t1= u donde T = Energa cintica total del sistema V=Energapotencialdelsistema,incluyendoenergasdedeformacinopotencialde cualquier fuerza conservativa externa. Wnc=Trabajorealizadoporlasfuerzasnoconservativasqueactanenelsistema incluyendo el amortiguamiento y cualquier fuerza exterior arbitraria. = Variacin tomada durante el intervalo de tiempo. El principio de Hamilton postula que la variacin de la energa cintica y potencial ms la variacindeltrabajorealizadoporlasfuerzasnoconservativasconsideradasduranteun intervalo (t1, t2) debe ser nulo. La aplicacin de este principio conduce directamente a las ecuacionesdelmovimientoparaunsistemaestructuraldado.Esteprocesodifieredel mtodo de los desplazamientos virtuales en que la inercia y las fuerzas elsticas no estn involucradas explcitamente; en cambio aparecen las variaciones de las energas cintica ypotencial.Aspues,estaformulacinpresentalaventajadetratarexclusivamente cantidades puramente escalares de energa, mientras que las fuerzas y desplazamientos queaparecenpararepresentarlosefectoscorrespondientesenelanlisismedianteel trabajovirtualsontodasdecarctervectorialaunquesustrminosdeltrabajoson escalares. CabedestacarquealPrincipiodeHamiltonpuedeaplicarseaproblemasestticos.En estecaso,eltrminodelaenergacinticaTseanula,ylostrminosrestantesdela integral no varan con el tiempo de modo que la ecuacin anterior se reduce a,(V - Wnc) = 0 queesunaexpresinconocidacomolamnimaenergapotencialusadaenlosanlisis estticos. Principio de los Desplazamientos Virtuales Sielsistemaestructuralquedeseamosanalizaresrelativamentecomplejoinvolucrando un nmero importante de puntos de masa o cuerpos de dimensin finita interconectados, Anlisis y Mecnica estructural avanzadaDoc. MSc Ing. Moises Arteaga M.11 las ecuaciones de equilibrio directas de todas las fuerzas que actan en el sistema puede resultardificultoso.Confrecuencia,lasdistintasfuerzasqueintervienenpuedenser expresadas en trminos de los desplazamientos (grados de libertad) pero sus relaciones de equilibrio pueden no ser evidentes. En estos casos, el principio de los desplazamientos virtualespermitelaformulacindelasecuacionesdelmovimientoensustitucindelas relaciones de equilibrio directo. El principio de los desplazamientos virtuales puede expresarse de la siguiente manera: si un sistema que se encuentra en equilibrio bajo la accin de un grupo de fuerzas o cargas determinadas,sesometeaundesplazamientovirtualcompatibleconlascondicionesde contorno del sistema, el trabajo total realizado por la totalidad de las fuerzas es nulo. Con esteprincipio,anulareltrabajototaldelasfuerzasduranteeldesplazamientovirtuales equivalenteaunestadodeequilibrio.Aspues,lasecuacionesderespuestadeun sistemadinmicopuedenestablecerseidentificandoenprimerlugar,todaslasfuerzas queactanenlasmasasqueformanelsistemaincluyendolasfuerzasinercialesde acuerdoconelPrincipiodeDAlembert.Entonces,lasecuacionesdelmovimientose obtienenseparadamenteintroduciendoundesplazamientovirtualtipocorrespondientea cadaunodelosdistintosgradosdelibertadeigualandoeltrabajorealizadoacero.La mayorventaja de este mtodo de aproximacin es que los trabajos virtuales son valores escalares y pueden ser sumados algebraicamente, mientras que las fuerzas actuantes en la estructura son vectoriales y slo pueden superponerse vectorialmente. Principio de DAlembert Lasecuacionesdelmovimientodecualquiersistemadinmicorepresentanexpresiones de la segunda ley de Newton segn la cual la velocidad de cambio del momento de una partculamesigualalafuerzaactuandosobreella.Estarelacinsepuedeexpresar matemticamente mediante la ecuacin diferencial, p(t) =JJt(mJ:Jt) donde p(t) es el vector de la fuerza aplicada y (t) es el vector posicin de la partcula de masa m. Para la mayora de problemas de anlisis estructural dinmico se puede asumir que la masa no vara con el tiempo con lo que la ecuacin se puede rescribir, p(t) = mJ2:Jt2 m: (t) dondelospuntosrepresentanderivacinrespectodeltiempo.Laecuacinanterior, indicandoquelafuerzaesigualalamasaporlaaceleracin,sepuederescribir nuevamente de la forma, p(t) m: (t) = u encuyocaso,elsegundotrminom: (t)seconocecomofuerzainercialresistenteala aceleracin de la masa m. Elconsu aceenprmovimrepresoponeexternacelertodas directaecuacParapenesdinmsimpleun grala masFORMEn el sPara eEquilibAl apliun cieInceptodequeleracin es roblemasdemientocomosentarmuchenalosdenas definidasraciones,la lasfuerzas ayadecuaiones de eqpoderestimastructurassicas se proces y ms emado de libertsa est concMULACIN Dsistema mosel modelo (abrio de fuerzicar una fuerrto instante I.de inerI.de amoueunamasconocido coedinmica oecuacionehostiposdeesplazamiens independieecuacindequeactandaparaforuilibrio direcarlarespueevalede cura sean lampleados patada. Este mcentrada en DE LA ECUstrado, pode), aplicando zas para 1 Grza exterior t; a causa rcia ortiguamientadesarrollaomo Principiestructural esdeequilfuerzasactos,fuerzasentemente. Aelmovimiennsobrelamrmularlasectas. estassmicaunmodeloas mismas qra estimar lamodelo se caun solo punUACIN DE emos distingel principio GLD F(t), se genede esto se pF(t)to Fu(t)aunafuerzaio de DAlemporquepeibriodinmctuandosobrsviscosas As, si se intntoesmerammasa.Enmuecuaciones adeunaestomatemticue posee laa respuesta aracteriza poto. MOVIMIENTuir dos casode DAlembera aceleracproducen fue= mx (t) = cx (t) Anlisis y MeDoc. ainercialprombert. Es unermiteexpreico.Lafuerelamasa: queresistetroduce una menteunaeuchosprobldelmovimietructura,elicocuyaspa estructura.ssmica deor ser un sisTO PARA Uos: bert, tendramcin, velociderzas: ecnica estruMSc Ing. Moioporcionalpn recurso muesarlasecerzadinmicapoyoselenvelocidadfuerza interexpresindelemassimplentoesmengenierocivropiedades Uno de losedificios, esstema dinmUN SISTEMAmos: dad y desplactural avanzaises Arteaga peroopuestauy conveniencuacionesdcap(t)puesticosque desyfuerzrna que resiseequilibrio leslavamediantedichvilespecialismecnicas modelos ms el sistema mico en el qA DE 1 GLDzamiento paadaM.12 aa nte del ede se zas ste de ms has sta y ms de ue D ara Anlisis y Mecnica estructural avanzadaDoc. MSc Ing. Moises Arteaga M.13 III.elsticasFc(t) = kx(t)equilibrio en el instante t F(t) F(t) Fu(t) Fc(t) = u F(t) + Fu(t) +Fc(t) = F(t) mx+ cx+kx = F La ecuacin final anterior es la de movimiento correspondiente a 1 GLD con carga exterior y amortiguamiento. Paraelmodelo(b)delafigura,elplanteoessimilar,soloquenotienefuerzaexterior aplicada y la fuerza de inercia se ve afectada por la aceleracin total de la masa: F = m|o + x ] entonces, la ecuacin de movimiento queda: m|o + x ] cxkx = u mx+ cx+kx = mo Laecuacinfinalanterioreslaecuacindemovimientopara1GLDconaceleracinde apoyo (ssmico) y amortiguamiento. Un caso general sera la inclusin de aceleracin de apoyo y fuerza exterior: mx+cx+ kx = F mo RESOLUCIN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO Existen diversos mtodos propuestos para ser empleados para la solucin de la ecuacin demovimiento.Cadamtodotieneventajasydesventajas,deacuerdoaltipode estructura y la carga. Los mtodos numricos de solucin pueden clasificarse del siguiente modo: Mtodo de Solucin paso a paso El mtodo de solucin ms completo para el anlisis dinmico en un mtodo incremental enelcuallasecuacionesvansiendoresueltasenlostiempost,2t,3t,etc.Hayun gran nmero de mtodos de solucin incremental. En general, estos mtodos involucran unasolucindetodoelconjuntodeecuacionesdemovimientoencadaincrementode tiempo.Enelcasodeunanlisisnolineal,puedesernecesarioreformularlamatrizde rigidez de todo el sistema estructural para cada paso. Adems, se efectuarn iteraciones dentro de cada incremento de tiempo, para satisfacer las condiciones de equilibrio. Como los requerimientos de cmputo son significativos, estos mtodos pueden emplearse para resolver sistemas estructurales con pocos cientos de grados de libertad. Anlisis y Mecnica estructural avanzadaDoc. MSc Ing. Moises Arteaga M.14 Adicionalmente,enestosmtodosdesolucin,elamortiguamientonumricooartificial debeserincluido,conelpropsitodeobtenersolucionesestables.Enciertoscasosde estructurasconcomportamientonolinealsujetasamovimientosenlabase,es indispensable el empleo de los mtodos de solucin incremental. Ensistemasestructuralesmuygrandes,sehaencontradoquelacombinacindelos mtodos incrementales y de superposicin modal ha sido eficiente para sistemas con un pequeo nmero de elementos no lineales. Mtodo de Superposicin Modal Eselmtodomscomnyefectivodelosprocedimientosparaelanlisisssmicode sistemasestructuraleslineales.Estemtodo,luegodeevaluarunconjuntodevectores ortogonales,reduceelgranconjuntodeecuacionesgeneralesdemovimientoaun pequeonmerodeecuacionesdiferencialesdesacopladasdesegundoorden.La solucinnumricadeestasecuacionesimplicaunagranreduccindeltiempode cmputo. Conestemtodoseobtienelarespuestacompleta,ensuvariacineneltiempo,delos desplazamientosdelosnudosyfuerzasenloselementosdebidosaunmovimiento determinado en la base. Se ha demostrado que los movimientos ssmicos excitan a la estructura principalmente en sus frecuencias ms bajas. Por lo general, las aceleraciones del terreno son registradas, en los acelerogramas digitales, con intervalos a razn de 100 o 200 puntos por segundo. Demaneraquelainformacindelasaccionesssmicasnocontienefrecuenciaspor encimadelos50ciclosporsegundo.Enconsecuencia,sinoseconsideranlas frecuencias altas y las correspondientes formas de modo en la respuesta de un sistema, no se introducirn errores. Elmtodotienedosdesventajas.Enprimerlugar,seproduceunagrancantidadde informacin,lacualrequiereunenormeesfuerzocomputacional,dondeseconsideren todaslasposibilidadesdelaverificacindeldiseocomounafuncindetiempo.En segundolugar,elanlisisdeberepetirseparadiferentesregistrosssmicos- frecuentemente tres registros como mnimo - con el propsito de asegurar que todos los modos significativos sean excitados. Anlisis Modal Espectral El anlisis modal espectral (o mtodo de la respuesta espectral) es un mtodo ventajoso para estimar los desplazamientos y fuerzas en los elementos de un sistema estructural. El mtodo implica el clculo solamente de los valores mximos de los desplazamientos y las aceleraciones en cada modo usando un espectro de diseo, el mismo que representa el promedioolaenvolventedeespectrosderespuestaparadiversossismos,conalgunas consideracionesadicionalesexpuestasenloscdigosdediseo.Luegosecombinan estos valores mximos, por ejemplo mediante un promedio ponderado entre la media y la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de tales valores mximos; otro mtodo es el dela correlams pAnlisEste dominexpanennefectivacstiresolv puedepodra terrenocon alvolver IntegrSetramx+permitinstanmenciuno deMtodcombinaciacinentre probables desis en el Doprocedimieniodefrecusin de trmmeroscomvoparacaca, efectos der problemaPorlogene ser difcil da ser difcil. Lasacciono,elmovimgoritmos esr a ser transfPara accioEl mtodo racin numataderesolvcx+ kx = Ftan obtener tet.Existeonadas,pere los ms difdo de Newmncuadrticlosvalores e desplazamominio de Frntoesempuencias.Parminos de sermplejos,cubrrgasperidde las olas das de ingenieneral,elente entender pnesssmicasmientodela speciales y, formados paones ssmicaes aplicablerica de la everenformay mx+ cxx, xy xen unvariosmrosolonos fundidos en ark (1 GLD) cacompletamodalesmientos y fuerFrecuenciasleadopara raello,las ries de Fourriendoelesdicascomo de mar y de era ssmica tendimiento para los inges nosonpebase,puedluego de reaara obtener las, el mtodoe a sistemasecuacin deadiscretalax + kx = mun instante ttodosparadedicaremosoftware dea(mtodo mximos.Derzas. resolverlafuerzasexrier o integraspaciode-envibracviento. Sin tiene las sigdelasmatenieros. La vridicas.Sinensertransalizar los ana respuestao no es nums estructuralee movimienaecuacindmoutilizandt+t en funcaplantearlosenprofune anlisis dinAnlisis y MeDoc. CQC),queeestemodoasecuacionxternasF(t) ales de Four-a.Estindemaembargo, elguientes destemticasinverificacin n embargo, sformadosanlisis y las oa del sistemamricamente es lineales.nto demovimienoecuacioncin, nicamasecuacionndidadaldenmico mediecnica estruMSc Ing. Moieconsidera o,seobtieneesdemovsonexpresrier. La solucteprocedimquinarias,pl uso de estesventajas: nvolucradas de las soluclosregistrosaldominiodoperacionesa en el tiempeficiente. ntopara1Gnesendifmente, de losnesendifeeNewmark,iante FEM. ctural avanzaises Arteaga ademsuenlosvalorvimientoen sadasenucin est damientoesmproblemas e mtodo paenelmtociones tambisssmicosddefrecuencis involucradapo. GLDdadapferenciasqs valores enerenciasant,dadoque adaM.15 na res el na ada muy de ara odo n del ias as, porue el tes es HacienPuedecomo:IntegraLa expque pando el cambe suponerse ando x () =presinx ()ara t=t resubio de variab que el valo= x + ()(xx () = x + x +xulta xxtble = tor de la acelex () = x() =x+1 x) se ) = x + x g()yt+ (x+1 x)x () = x + xx+1 = x + xx+1 = x + |= t+1 tt t ; eracin de r+ ()(x+1= ] u, =1, =obtiene la e+ (x+1 x) = _()J:0= _()J:0) ]()J:0 qx + (x+1 xt + (x+1|(1 y)x +Anlisis y MeDoc. t respuesta en x) = ut expresin de) _()J:0 ueda: x)g() x)yt yx+1]t ecnica estruMSc Ing. Moin un instantee la velocidadctural avanzaises Arteaga e t se expred adaM.16 esa Para cobtienParticuSe obtLase[x+1[acelermagniLospainvestDesa La ecuReemyAgrupa7; se calcular los de ularizando ptiene la relacecuaciones [ t2 juntameraciones, vetudes en el armetrosigacin peroarrollo y fuacin de mplazando enando los valobtiene el adesplazamiex() =para t=t y llcin final enx+1x+1 = x +ente con la locidades y instante t. ysurgeno pueden tomforma opovimiento n sta los va xx+1lores que pealgoritmo de entos, se inte= x + x + xamando [t2 diferencias= x + x +|(1 y)x +ecuacin dedesplazamindeunanmarse: y = uperativa alores en difex+1 = x + |= x + x +ermanecen cintegracin egrax () =x 22+ (x+12 = _g()J:0, propuesta + __12 [] x+ yx+1]te movimiententos en unlisisdeestau,S ;[ = u,2valuaderencias dad|(1 y)x ++ __12 [] xconstantes epaso a pasoAnlisis y MeDoc. = x + x + ( x) _g():0 por Newma+ [x+1_ tyx+1to mx+ cx+n instante t+abilidadnumS da en t=ti+1 t dos poryx+1]t + [x+1_ ten cantidadeo. ecnica estruMSc Ing. Moi(x+1 x)g()J rk 2 1 = x + x ++ kx = F pert con solo mricaqueetoma la form2 es denominactural avanzaises Arteaga () y se + j[12 [ xrmiten obtenconocer estescapaaesma: adas por a0,adaM.17 +ner tas sta , A) Cl 1- Det2- Inic3- Sele4- Cal5- ForB) Par 1- For2- Res3- Cal lculos inicialterminar las cializarx0, xeccionar el pcular las conrmar la rigidra cada pasormar el trmisolver el descular aceleres propiedadesx0 y x0 utilizapaso de tiemnstantes> dez efectiva o de integracino de cargasplazamientoaciones y ves de la estruando, de sermpo y los pacin a efectiva eo en t+t elocidades e uctura: m, c, r necesario, rmetros yen t+t en t+t Anlisis y MeDoc. k la ecuacin y . ecnica estruMSc Ing. Moi ctural avanzaises Arteaga adaM.18 RESPLIBERUn mo- - En geEn paRecorde apoVibracCaracEl sistComoamortiseguirUna A: vec: ngreemParaPUESTA DINRTAD odelo estructdiscretizacdiscretizacneral, el sistrticular, parardar que J eoyo a(t). ciones librectersticas dtema que goyasevioiguamiento, remos el ansolucin actor que contgulo de fasemplazada e que hayaNMICA DE tural dinmiccin espaciacin temporatema de ecua el caso sss un vector es dinmicas obierna las vo,elcambnoesrelisis con el a este sistiene las ame en a vibracioUNA ESTRco est dadol (por ej. maal (por ej. Neuaciones difesmico: con 1 en la ibraciones libiodefrecelevantepasistema simtema puemplitudes de quenes, 0,RUCTURA Co por asas concentewmark) erenciales esposicin debres en un scuenciaproraestructumplificado: ede ser delas vibracioneda: , por lo quAnlisis y MeDoc. CON MLTIPtradas) s del tipo el GLD en esistema de m opiadebidourasciviles e la forma nes ue ecnica estruMSc Ing. MoiPLES GRADl que acta mltiples GLoaconsidecorrientes, ctural avanzaises Arteaga DOS DE la aceleraciLD es erarono porloqadaM.19 n el ue y elimNos (su autovEste obten CuancivilepositGLD Losvla esSiendmenoReemse deEste vibraminando, interesanresolucivalores, edeterminnindose ndoKy es),delativas i 2 yde la estvalorestructura ydoT1el orvalor, mplazandenomina vvector macin.Paqueda nlassolun)4.8ren donde: ante puedla ecuaciMsondaecuaciy en conseructura. isedenoy los n peperodo stese o cada ivector de modo conaracada cionesderepresentde desarron caractdefinidas ncaracecuencia ominanfreriodos pcorrespodenominai en la (4.8forma mntiene la fofrecuenceAdistinaunprollarse enerstica. positivas cterstica n valorerecuenciasropios se ndienteaperiod8) se obtiemodal o siorma queciavibratAnlisis y MeDoc. ntasdelaroblema n la forma(casouseobtiees i, sienspropiascalculan 1,queedofundamene el cormplemen tomara latoria,la ecnica estruMSc Ing. Moiatrivial.Ldeautov polinmic sualen enenn ndo n el opulsaeslafrecmentalderrespondinte modoa estructuformamctural avanzaises Arteaga aecuacivectores ca: estructurasolucionenmero dacionesdcuenciadelsistemente Ai qu. ura en cadmodalseadaM.20 n y as es de de de ma. ue da r diferemltidelaesto Norm1. 2. Con Esta nExpresObtenNosieestrucPor ejeente.Es plo de Ai,ascompoes convemalizaciPor la mSegn lanormalizacisin que serncin de losempretodosctura tienen aemplo los pimportan por lo tanonentesdniente non de los mxima coa matriz dn permite asr de suma s grados deslosgradosasociada mrticos de lantenotar nto inferimeAisinoormalizarmodos mponentee masassegurar la coimportancia e libertad disdelibertadmasa, es decs siguientesque(4.8mos que nlarelaci los distine ondicin ms adelannmicosdestticosqcir que no sos figurasAnlisis y MeDoc. 8)secumno interesnexistentos Ai. nte. quedefinenon necesarioecnica estruMSc Ing. Moimpleparaa la magnenteentreelcomportos en el anctural avanzaises Arteaga acualquinitud eellas.P tamientode lisis dinmicadaM.21 er or la co. que so(GLE)La formediaCondeDada como asociaon analizado. Lo mismo ma ms simante la: ensacin esunaestructelvectordada masa (Gos con modese ve en la fmple de redusttica de laturaysumdesplazamieGLD) y las quelos dinmicfigura ucir en nmea matriz de modeloesttentos)demue no la tien cos de menoero de gradorigidez ticopuedesmanerade en (GLE). Anlisis y MeDoc. or orden queos de libertasubdividirse separarlasecnica estruMSc Ing. Moie los respec. ad sin perdelamatrizdsecuacione ctural avanzaises Arteaga ctivos estticer precisin derigidez(aesquetienadaM.22 cos es as en ParaeestticdeseaEl sistComo La ecu de don Desar reorddonde elejemplodcos Ds podeamos consertema de ecu Fe represenuacin (vectnde rrollando ahodenando e K es la matdelafiguramos determrvar como Gaciones estnta las fuerzaorial) ora la primertriz de rigidea4-1,teneminar que parLD. tico puede as en los grara ecuacin ez condensamosque,obrte queremoescribirse ados de libe pued de ada y vale Anlisis y MeDoc. bservandoeos eliminar y ertad a eliminde, entonce ecnica estruMSc Ing. Moielvectordesy cuales grad nar s, expresarstendremctural avanzaises Arteaga splazamientdos de libertse como mos adaM.23 tos tad FinalmmatemOtra foflexibilEste proced menteel mticamenteorma de obtlidad de los mtodo,si dimientos msistemade por tener la matGLE que tiebienmenanuales. Painmicodriz de rigideenen asociadnosformal, ara nuestro eObtenci elafigu z del modelda masa. puedeserejemplo: n de K mediante Anlisis y MeDoc. ra.Anterioo dinmico rdems e F-1 ecnica estruMSc Ing. Moiorestar es invirtiendsencillaap ctural avanzaises Arteaga representado la matriz plicacinpaadaM.24 ado de ara MATRDado solo nanteriodiscreConvieprimerCondiLas frey mod PuedeEsta c Silos norma RIZ DE AMOel sistema os resta conorse mostrato de masasenedefinir ro incursionaiciones de oecuencias y ales, que soe demostrarscondicin pavectoresalizacin pueORTIGUAMInocer (para arondosmas concentradmatricesdear un poco eortogonalidmodos propon, respectivse que ra los modoifueronnoreden expresENTO encarar la reanerasdeodas) que: eamortiguaen las condicdad pios pueden vamente: s puede extrmalizadossarse como uesolucin) labtener Kysamientoortociones de ortordenarse eenderse a segn(4.13una nica coAnlisis y MeDoc. a matriz C, psabemos(pogonales,prtogonalidad en matrices )lascondicondicin de oecnica estruMSc Ing. Moipuesto que eorqueusam peroparae de los moddenominadacionesdeorortonormalidctural avanzaises Arteaga en el apartamosun modeestodebemoos propios.as espectralrtogonalidaddad adaM.25 ado elo os, les dy dondeMatricUna destrucenergEntacondicEl amlas maLa con Losco Recore I es la matrces de amoe las hiptescturaestdaa. alcasopueciones de ortmortiguamienasas, a la dendicin de ooeficientes rdarquesil el riz identidadrtiguamientsis para logradaporsupededesarrotogonalidad nto proporcioe rigidez o a rtogonalidad1y2secanormalizaproducto y K* es unato ortogonarar una repreponerqueeollarseunarespecto a onal permitambas. d: calculanapcindelos matriz diagales esentacin nexisteunmmatrizdela matriz moe definir unapartirdelasautovectore Anlisis y MeDoc. onal numrica deecanismodeamortiguaodal. a matriz que secuaciones esifuehececnica estruMSc Ing. Moi el amortiguadedisipacinamientoquee sea proposanterioreschasegn ctural avanzaises Arteaga miento de ununiforme ecumplalrcional a la s adaM.26 na de las de yy Esto premuDetermEsteeGenerquespues nCuandoobtenicon mq paEnlasmtodMtodPartiemltipSuponque lleNota: Procedcomo sedebeaultiplicarse pminacin pes,porsmralmenteno olointeresanecesitan mdo el problemndose las muchos GLD res de (i; sreferenciasdos. Nosotrodo de Stodondodelaelo del autoveniendo un veeva a la frmunadescripduresK. prueba de laaquelaeor iT rctica de mmismo,unodesnecesaranlasprimeenos energma es de pon i y luegse utilizan ti). En la masbibliogrfics desarrollaola-Vianelloecuacin ector A podeector inicial Amula de recupcindetallaJ.Bathe,Pa convergenecuacionmodos y fredelosproblerialaresolucerasqquea de excitacocos GLD esgo los n i, tcnicas numayora de loscaspuedenremos solo emos escribA0 conocido rrencia adadeestePrentice-Halncia del mtoecuencias emasmsccindetodaerepresentacin. s posible resdonde n emricas (aprs casos prcencontrarsuno que es yrecordair (cercano a A emtodopl,1996.parodo. Anlisis y MeDoc. puedeexp complejosdaslasfrecuanlasposibolver el dete es el nmeroroximadas) cticos de ingeedescripciorelativamentandoquesA) puedeenconrte11.2Vecnica estruMSc Ing. Moiresarsepadeladinmienciasysubilidadescieerminante de o de GLD. Papara obteneeniera q