Ing. Petrolera Terrazas Ismael Narda Jazmin

ANALISIS NUMÉRICOS

El Análisis Numérico es una rama de las matemáticas que, mediante el uso de algoritmos iterativos, obtiene soluciones numéricas a problemas en los cuales la matemática simbólica (o analítica) resulta poco eficiente y en consecuencia no puede ofrecer una solución. En particular, a estos algoritmos se les denomina métodos numéricos. Por lo general los métodos numéricos se componen de un número de pasos finitos que se ejecutan de manera lógica, mejorando aproximaciones iniciales a cierta cantidad, tal como la raíz de una ecuación, hasta que se cumple con cierta cota de error. A esta operación cíclica de mejora del valor se le conoce como iteración.

Ejemplo. Uno de los ejercicios más comunes en los cursos básicos de Algebra universitaria consiste en encontrar las raíces de un polinomio. El estudiante conoce principios tales como que el polinomio posee n raíces, donde n es el grado del polinomio. Conoce también que es posible que existan exclusivamente raíces reales o bien, una combinación entre raíces reales y raíces complejas, existiendo estas ´ultimas en parejas conjugadas. El método de solución comúnmente utilizado es la división sintética (que es un método numérico). El estudiante aplica el método tantas veces como sea necesario para lograr que el residuo de la división sea cero, o muy cercano a cero. No obstante, este procedimiento podría dejar insatisfecho a un estudiante acucioso pues aun cuando existen mecanismos para elegir un valor inicial de una raíz, se invierte mucho tiempo mejorando este valor inicial; adicionalmente es complicado obtener las raíces complejas, cosa que usualmente debe lograrse a través de un cambio de variable y del uso de la formula general para ecuaciones de segundo grado. Finalmente, este proceso solo es aplicable en polinomios; no es posible su aplicación en ecuaciones trascendentes. *Profesores de tiempo completo del Departamento de Matemáticas Aplicadas de la División de Ciencias Básicas 1 Análisis numérico 2 El análisis numérico es una alternativa muy eficiente para la resolución de ecuaciones, tanto algebraicas (polinomios) como trascendentes teniendo una ventaja muy importante respecto a otro tipo de métodos: La repetición de instrucciones lógicas (iteraciones), proceso que permite mejorar los valores inicialmente considerados como solución. Dado que se trata siempre de la misma operación lógica, resulta muy pertinente el uso de recursos de cómputo para realizar esta tarea.

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=24464

1.1 Problemas matemáticos y sus soluciones.

Un modelo matemático puede definirse como una formulación o una ecuación que expresa las características, esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos.

Vd = f (vi, p , f ) (1)

Vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.

Vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el comportamiento del sistema será determinado.

P = parámetros , son reflejos de las propiedades o la composición del sistema.

f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.

De la segunda Ley de Newton:

F = ma ; reordenando

f

a = ______ ( 2 )

m

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Características de este modelo matemático.

1.- Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.

2.- Representa una simplificación de la realidad.

3.- Conduce a resultados predecibles.

Otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos.

De nuevo si usamos la segunda Ley de Newton para determinar la velocidad final o terminal de un cuerpo, tenemos un expresión de aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo:

f

dv = _____ ( 3 )

dt m

Para un cuerpo que cae, la fuerza total es:

F = FD + Fu ( 4 )

FD = La atracción hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad.

Fu = Fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire,

En donde:

FD = mg

Fu = -cu

c = coeficiente de resistencia o arrastre

Como la fuerza total , es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba, tenemos:

dv = mg - cu ( 7 )

dt m

dv = g - c/m (v) ( 8 )

dt

Esta ecuación es un modelo matemático que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él.

Se trata de una ecuación diferencial o ecuaciones diferenciales.

Si las ecuaciones son más complejas, se requiere de técnicas avanzadas para obtener una solución analítica exacta o aproximada.

Si el objeto está en reposo, v = o y t = 0 , y usando las teorías de cálculo, obtenemos:

v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t ) ( 9 )

Que es la solución analítica o exacta,

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v(t) = variable dependiente

t = es la variable independiente

c,m = parámetros

g = función de la fuerza

Ej. 1.1

Un paracaidista , con una masa de 68.1 kgs salta de un globo aerostático fijo. Con la ayuda de la ecuación ( 9 ), calcule la velocidad antes de abrir el paracaídas, coeficiente de resistencia = 12 kg/seg.

Datos:

m = 68.1

c = 12.5

g = 9.8 m/s

v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t )

t,s v, m/s

0 0

2 16.42

4 27.76

6 35.63

8 41.05

10 44.87

12 47.48

53.39

53.39 1 - e -(0.1835)t

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Cuando los métodos numéricos - modelos matemáticos - no pueden resolverse con exactitud, se requiere de una solución numérica que se aproxima a la solución exacta.

Los métodos numéricos son aquellos en los que se formula el problema matemático para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas.

Para la segunda Ley de Newton, al aproximar a la razón del cambio de la velocidad con respecto al tiempo , tenemos:

dv = v = v ( ti + 1 ) - v ( ti ) ( 10 )

dt t ti + 1 - ti

Diferencias finitas divididas

v ( ti ) = es la velocidad en el tiempo inicial ti

v ( ti + 1 ) = es la velocidad después de un tiempo mas tarde:

ti + 1

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sustituyendo la ec. ( 10 ) en la ec. ( 8 ):

v ( ti + 1 ) - v ( ti ) = g - c/m v ( ti )

ti + 1 - ti

Reordenando:

V ( ti + 1 ) = v ( ti ) + g - c/m v( ti ) ( ti + 1 - ti ) ( 11 )

A cualquier tiempo

Nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamaño del paso.

Ejemplo 1.2

Resolver el ejemplo anterior mediante una solución numérica para calcular la velocidad. Emplear un tamaño del paso de 2 segundos.

Datos:

m = 68.1 kg

c = 12.5 kg/s

g = 9.8 m/s

V ( ti + 1 ) = v ( ti ) + g - c/m v( ti ) ( ti + 1 - ti )

V1 = V0 + g - c/m V0 ( ti + 1 - ti ) ; t1 = 2 seg

V1 = 0 + 9.8 - 12.5/68.1 (0) (2-0) = 19.6 m/s

t2 = 4s, v2 = ?

V2 = 19.6 + 9.8 - 12.5/68.1 (19.6) (4-2) = 32 m/s

Sustituyendo:

V3 = V2 + g - c/m V2 (t3 - t2)

V3= 32 + 9 .8 - 12.5/68.1 (32) (2) = 39.85 m/s

Entonces V3= 39.85 m/s

Sustituyendo:

V4 = 39.85 + 9 .8 - 12.5/68.1 (39.85) (2) = 44.82 m/s

V5 = 44.82 + 9 .8 - 12.5/68.1 (44.82) (2) = 47.96 m/s

V6 = 47.96 + 9 .8 - 12.5/68.1 (47.96) (2) = 49.95 m/s

t,s SN SA

0 0 0

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2 19.6 16.42

4 32 27.76

6 39.85 35.63

8 44.82 41.05

10 48.01 44.87

12 49.05 47.48

53.39 53.39

http://html.rincondelvago.com/metodos-numericos_4.html

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1.2 Importancia de los métodos numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

• Cálculo de derivadas• Integrales• Ecuaciones diferenciales• Operaciones con matrices• Interpolaciones• Ajuste de curvas• Polinomios

Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.

1.3. DEFINICIÓN Y TIPOS DE ERRORES.

Una actividad frecuente del profesional de la Ingeniería consiste en trabajar con modelos matemáticos representativos de un fenómeno físico. Estos modelos son abstracciones matemáticas que distan mucho de representar exactamente al fenómeno bajo estudio debido principalmente a las carencias y dificultades que aún posee el humano de la comprensión total de la naturaleza. Como consecuencia de esto existen diferencias entre los resultados obtenidos experimentalmente y los emanados propiamente del modelo matemático. A las diferencias cuantitativas entre los dos modelos se les denomina Errores.

Ejemplo. Sea h la altura a la que se encuentra un cuerpo, g la constante de la aceleración de la gravedad y t el tiempo que dura la caída, se define al modelo matemático como:

Resulta lógico pensar que al realizar los cálculos utilizando el anterior modelo se obtendrán resultados que diferirán de las mediciones que pudieran obtenerse en el desarrollo del experimento.

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Clasificación de errores.

1  Errores de redondeo.Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito decifras significativas durante un calculo. Las computadoras realizan esta función de manerasdiferentes; esta técnica de retener solo los primeros siete términosse llamó “truncamiento”

2 en el ambiente de computación. De preferencia se llamara de corte, para distinguirlo de loserrores de truncamiento. Un corte ignora los términos restantes de la representacióndecimal completa.La mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores deredondeo parecerían no ser muy importantes.Sin embargo, hay dos razones del por qué pueden resultar críticos en algunos métodosnuméricos:1) Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener unarespuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si, es decir, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En Consecuencia, aunque un error deredondeo individual puede ser muy Pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso dela gran cantidadde cálculos puede ser significativo.2) El efecto de redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operacionesalgebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya queeste caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar demucha importancia.2.2.2 Errores de propagación.Medidas indirectas.- Magnitudes que se calculan a partir de los valores encontrados en lasmedidas de otras magnitudes.• Conocemos x ± δx , y ± δy ,... • Calculamos z = f (x, y,...) • ¿Cuál es el error de z?Propagación de errores.- Conjunto de reglas que permiten asignar un error a z, conocidaslas incertidumbres de x e y, ...• Permiten asignar un error al resultado final.• Indica la importancia relativa de las diferentes medidas directas. • Planificación del experimento.Hipótesis de partida• Medidas dependientes.- Hipótesis pesimista. Siempre en la situación más desfavorable.Conjunto de reglas prácticas.• Medidas independientes.- Errores cuadráticos medios.Fórmula general de propagación de errores. Técnicas experimentales de Física General3/14Propagación de errores en sumas y diferenciasDatos iníciales: x ± δx y ± δy Sea su suma q x = + y y su diferencia q x y = − El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o mas magnitudes es la suma de loserrores absolutos de dichas magnitudes:q x = ±⇒ ≈ + y δ q x δ δ y 2.2.3 Error numérico total. El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo ytruncamientointroducidos en el cálculo.Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tegan que realizarpara obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero porotro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos enla ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número decálculos y seguramente mayor error de redondeo).Entonces, ¿qué criterio utilizamos? ...lo ideal sería determinar el punto en que loserrores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error detruncamiento.Pero como dije, es lo ideal; en la práctica debemos considerar que hoy por hoy loscomputadores tienen un manejo de cifras significativas mucho

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mayor que antespor lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debedejar olvidar su aporte al error total.

2.4 APLICACIONES.Estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos deintegración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos eingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalosque engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.