PERMETROS Y REAS POLIGONALES

Problemas Resueltos de Anlisis Combinatorio

01De una ciudad A a otra B hay 6 caminos diferentes De cuntas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta, si en el regreso no puede tomar el camino de ida?

a) 12

b) 42

c) 25

d) 36

e) 30

RESOL:(Veamos el siguiente grafico:

(N de posibilidades de ida = 6 (Evento 1ero)

N de posibilidades de regreso = 5 (Evento 2do)(Como los eventos deben ocurrir a la vez, por el principio de la multiplicidad tenemos:

Total de maneras: 6 ( 5 = 30 CLAVE E 02Un grupo de 5 amigos se van de paseo; en un auto que tiene 2 asientos adelante y 3 atrs. De cuntas formas se podrn ubicar, si slo 2 de ellos saben manejar?

a) 10

b) 48

c) 16

d) 24

e) 120

RESOL:(Veamos el siguiente cuadro:

Para la posicin N 1 hay 2 posibilidades

Para la posicin N 2 hay 4 posibilidades

Para la posicin N 3 hay 3 posibilidades

Para la posicin N 4 hay 2 posibilidades

Para la posicin N 5 hay 1 posibilidad

(N de formas que se podrn ubicar es:2 ( 4 ( 3 ( 2 ( 1 = 48 CLAVE E 03Con cinco varones y nueve damas cuntas parejas diferentes de baile pueden formarse (cada pareja est conformada por un varn y una dama)?

a) 35b) 40

c)45

d) 50

e) N.A.

RESOL:(Consideremos los eventos A y B

Evento A: Elegir una mujer

Evento B: Ser pareja de un hombre

d1d2v1

d3v2

d4v3

d5v4

d6v5

d7d8d9

5 maneras ( 9 maneras= 45 maneras CLAVE C 04En una reunin cumbre entre los presidentes de 10 pases de Amrica del Sur, el da final de sesiones deciden retratarse para la posteridad. De cuntas maneras pueden disponerse los 10 mandatarios, si los presidentes de Per y Ecuador por voluntad propia no desean posar juntos?

a) 9!

b) 8!

c) 9! ( 8

d) 10!

e) 8 ( 9!RESOL.:

(Tenemos 10 presidentes; si estos pueden ubicarse indistintamente, el total de ubicaciones posibles para la foto se determinan como sigue:

P1P2 P3P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10

10 ( 9 ( 8 ( 7 ( 6 ( 5 ( 4 ( 3 ( 2 ( 1

El lugar P1, puede ser ocupado por cualquiera de los 10 presidentes; el P2 slo lo podrn ocupar los 9 restantes; para el P3 slo quedan 8 posibilidades y as hasta que luego que estn ya ubicados hasta el P9, para la posicin P10 quedar slo 1 presidente; el total de posibilidades ser: 10! (()

(Pero como sabemos, los presidentes de Per y Ecuador no desean aparecer juntos; Qu haremos?, calcularemos la cantidad de veces en las que podran aparecer juntos y luego restando este resultado de (() habremos determinado el total de posibilidades de no aparecer juntos en las fotos.

(Para esto consideraremos a ambos presidentes como una sla persona, de modo que no tendramos 10 sino 9 personas para ubicar: Aplicando el mismo procedimiento que nos llev a ((), obtenemos ahora: 9! , sin embargo, an cuando estn juntos los presidentes, estos pueden ubicarse de 2 maneras intercambiando sus posiciones, por lo que el total de posiciones en las que aparecern juntos es en realidad: 2 ( 9! (()

(Calculamos: (()(():

( 10! 2 ( 9! = 9! (10 2) = 8 ( 9! CLAVE E05Un coleccionista de artculos precolombinos ha sido invitado a exponer sus mejores cermicas Mochicas. Dicho coleccionista ha decidido presentar 8 ceramios de los 10 de su coleccin. De cuantas maneras puede seleccionarlos si 3 de ellos no pueden faltar en la exposicin?

a) 7

b) 3

c) 21

d) 8

e) 10RESOL.:(Representmoslos a las cermicas por las siguientes figuras

Supongamos que C1, C2 y C3 son los que no pueden faltar, con lo cual tengo 7 cermicas para seleccionar 5, esto me permite aplicar combinatoria ya que el evento es seleccionar 5 de 7 sin importar el orden.(Por lo tanto el N de maneras es

CLAVE C

06Un turista europeo desea realizar un tours en el Per. Para tal efecto ha contactado con una agencia de viajes; la cual le ofrece una estada en 8 ciudades 5 de la regin andina y 3 de la regin costea. Pero por el tiempo del que dispone dicho turista slo desea visitar 6 ciudades. De cuntas maneras puede seleccionar dichas ciudades a visitar, si 4 ciudades andinas son puntos obligatorios de visita?

a) 18

b) 4

c) 3

d) 2

e) 12RESOL.:

(Como 4 ciudades andinas son puntos obligatorios de visita, tenemos para escoger de las 4 esto es , por lo que me quedan 2 ciudades por escoger de las 3 de la regin costea, esto es . Entonces el total de maneras es :

x = 15Ahora si escogiera las 5 ciudades andinas tengo para escoger una mas de las de la regin costea esto es x = 3. Concluimos que el total de maneras es:15 + 3 que es 18 CLAVE A

07Se han matriculado 5 hombres y 7 mujeres en el curso inicial de Qumica, en el cual las prcticas se dan en el laboratorio. En dicho laboratorio se deben formar grupos bipersonales, necesariamente formados por un hombre y una mujer De cuntas maneras pueden seleccionarse dichos grupos si un hombre decide no trabajar con 2 de sus compaeras?

a) 30

b) 16

c) 33

d) 32

e) 25

RESOL:

(Cada hombre tendr 7 posibilidades de formar grupo con una mujer excepto uno de ellos que solo tendr 5 (2 posibilidades menos). Total de maneras es 5 x 7 2 = 33 CLAVE C08Un agente vendedor de productos farmacuticos de primera calidadvisita diariamente 5 farmacias en el centro de Trujillo, para no tratar de dar preferencias a uno u otro establecimiento ha decidido alterar el orden de sus visitas De cuntas maneras puede hacerlo

a) 24

b) 60

c) 5

d) 120

e) 720

RESOL:

(Cada cuadro representa una farmacia

5 x 4 x 3 x 2 x 1

Para ubicar el nombre de la farmacia en A tengo 5 posibilidades, como ya escog una para B me queda 4 y as sucesivamente hasta que para E tenga solo una posibilidad.(Por lo tanto el n de maneras es 5!, esto es el caso de permutaciones . P5 = 5! = 120 CLAVE D09En un congreso de estudiantes de Matemticas de la UNT se esta realizando un taller en una sala de exposiciones, donde participan 10 estudiantes, los cuales deben agruparse en 3 grupos; 2 de 3 personas y el ltimo de 4 De cuntas formas se pueden agrupar los 10 estudiantes?

a) 10

b) 8

c) 36

d) 16

e) 4200

RESOL:

(Estamos en un caso de permutaciones con repeticin, para eso apoymonos en el grafico siguiente

(Por lo tanto el n de formas es: ,esto es 4200 formas de agrupar.

CLAVE E10En una reunin entre 5 compaeros de la universidad que se encuentran despus de 5 aos de haber egresado; ellos van acompaados de sus respectivas esposas. De cuantas maneras pueden disponerse en una mesa circular si siempre deben estar hombres y mujeres en forma alternada?

a) 1400

b) 2600

c) 2880

d) 4200

e) 5760

RESOL:

(Juntemos primero a las mujeres alrededor de la mesa, esto se puede hacer de 4! formas luego quedaran 5 lugares alternados para ubicar a los hombres y esto se puede hacer de 5! Formas.

Por lo tanto, el nmero total de formas diferentes ser igual a 4! 5! esto es 2880 formas CLAVE C11Seis alumnos del grupo de estudios Pierre Fermat se encuentran en un seminario. Determinar Cuntos saludos se intercambian como mnimo, si 2 de ellas estn reunidas?

a) 6

b) 30

c) 15

d) 12

e) 14RESOL:

(El nmero de saludos de los 6 alumnos si recin se renen es pero como ya hay 2 reunidas, significa que hay un saludo menos es decir 1 = 14 saludos CLAVE E

12En un simposio organizado por la Municipalidad de Lima participan 4 alcaldes del Cono Norte y 3 alcaldes del cono Sur, los cuales estn ubicados en una mesa rectangular dando de frente al pblico asistente. De cuntas maneras pueden disponerse los alcaldes, si los burgo maestres de un mismo cono no pueden estar separados?a) 12

b) 240

c) 144

d) 288

e) 270RESOL:

(Veamos el siguiente cuadro

(El nmero de maneras esta dado por 4! para los del cono norte 3! para los del cono sur y 2! para todo el grupo

Por lo tanto el numero total de maneras que se les puede disponer es 4! ( 3! ( 2! esto es 4! x 3! x 2! = 288 CLAVE D13Dado los dgitos 3,5 y 7 Cuntos nmeros distintos se puede formar con ellos sin que los nmeros formados presenten dgitos repetidos?

a) 10

b) 11

c) 12

d) 14

e) 15

RESOL:

(Tomando un digito se puede formar 3 nmeros distintos. Se puede obtener por la siguiente formula

(Tomando dos dgitos: tenemos

(Tomando 3 dgitos: tenemos

3 x 2 x 1 = 6

( El total de nmeros es 15 CLAVE E14La compaa de telfonos desea averiguar cuntas lneas adicionales puede instalar en la serie 531, si se sabe que hasta el momento no ha usado 2 cifras para las ltimas 3 casillas y 5 para la 4ta casilla. Observacin: El nmero telefnico dispone de 7 casillas.

a) 15

b) 24

c) 40

d) 28

e) 53RESOL:

(Veamos el siguiente grfico

Para estas 3 ltimas hay 2

posibilidades

para esta casilla hay 5 posibilidades

5 x 2 x 2 x 2= 40 lneas adicionales CLAVE C15En un circo, un payaso tiene a su disposicin 5 trajes multicolores diferentes, 6 gorras especiales diferentes y 3 triciclos De cuntas maneras puede seleccionar su equipo para salir a la funcin?

a) 45

b) 30

c) 18

d) 90

e) 40

RESOL:

Evento A ( Evento B (Evento C

Seleccionar trajes seleccionar gorras seleccionar triciclos

T1

G1

C1

T2

G2

C2

T3

G3

C3 T4

G4

T5

G5

G6

5 x 6 x 3

(Por lo tanto el total de maneras es 5 x 6 x 3 = 90 CLAVE D16En una reunin de 10 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse. De cuntas maneras pueden ordenarse?a) 9!

b) 8!

c) 2 ( 9!

d) 3 ( 8 !

e) 3 ( 9!

RESOL:

(Como de los 10 amigos hay una pareja que no desea separarse, tenemos un arreglo de 9 objetos, es decir 9! formas de ordenarse, pero como la pareja puede ubicarse de 2! formas.

Entonces como ambos eventos deben ocurrir a la vez tenemos 9! X 2! Formas de ordenarse esto es: 2 x 9! CLAVE C17Si se dispone de m objetos iguales, otros n objetos iguales y finalmente P objetos diferentes. De cuntas maneras puede Ud. seleccionar por lo menos a 1 de ellos?a) mnp

b) (m+1)(n+1) p 1

c) (m+1)(n+1)2P 1 d) mn2P

e) mn2P+11

RESOL:

(Veamos: Si tenemos m objetos iguales tenemos la opcin de seleccionar 1,2,3 , m objetos o no seleccionar ninguno, por lo cual tenemos para este evento (m+1) posibilidades, el mismo razonamiento tenemos para los n objetos iguales, con lo cual tenemos (n+1) posibilidades de seleccin.(Ahora del grupo de P elementos diferentes para cada uno tenemos 2 opciones; lo selecciono o no lo selecciono. Esto hace un total de 2P posibilidades.

(Por lo tanto tendremos un total de formas de seleccin (m+1)(n+1)2P, pero este numero incluye a una, aquella que no escoge a ningn objeto, la cual debemos eliminar. As tendremos en total (m+1)(n+1)2P1 CLAVE C18Si se dispone de (n+1) nmeros primos, Cuntos factores diferentes tiene el producto de dichos nmeros?

a) 2n

b) 2n+1

c) 2n11

d) 2n1

e) 2n+1 -1

RESOL:(Tenemos que cada uno de los (n+1) nmeros primos tiene 2 factores el mismo y la unidad, por lo tanto cada numero tiene 2 posibilidades, luego por el principio de la multiplicidad el numero de factores es 2n+1.

(En estos factores esta incluido el producto de puros unos, luego como los factores deben ser diferentes a 2n+1 le quitamos uno. El total de factores diferentes es: 2n+1 1 CLAVE E19Cuntas ordenaciones lineales distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra FERMAT de tal manera que comiencen y terminen en consonantes?

a) 240

b) 720

c) 288

d) 420

e) N.A.

RESOL:

(La palabra FERMAT tiene 6 letras diferentes tenemos entonces 6 elementos, veamos la grafica

1er 2do 3er 4to 5to 6to

(La consonante que ocupar el 1er lugar puede ser cualquiera de las 4 dadas, una vez escogida la primera quedan 3 consonantes y cualquiera de ellas puede ocupar el ltimo lugar de la ordenacin lineal.

(Ahora escogida ya las letras para el 1ero y 6to casillero quedan aun 4 letras disponibles para el resto de casilleros

4 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 (El total de ordenaciones es 4 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 = 288 CLAVE C20En una reunin de amigos, se encuentran 3 hombres y 3 mujeres De cuntas maneras pueden sentarse en forma lineal si se desea que queden alternados (un hombre una mujer o una mujer un hombre)?

a) 36

b) 24

c) 72

d) 108

e) 64

RESOL:

Ayudmonos del siguiente cuadro

(Caso I: Si en el 1er casillero va un hombre ordenamos dejando un casillero a los 3 hombres tendramos formas, luego en los otros 3 casilleros alternados colocamos a las mujeres tendramos formas por el principio de la multiplicidad tendramos para el caso I x formas, es decir 3! x 3! = 36(Caso II: Ahora si en el 1er casillero va una mujer entonces tendramos tambin la misma cantidad es decir 3! x 3! = 36

Como los casos I y II son excluyentes por el principio de la adicin tendramos 36 +36 = 72 formas distintas de ordenar a los hombres y mujeres en forma lineal alternadamente. CLAVE C21Rosa tiene 3 anillos distintos De cuantas maneras puede colocarlos en sus dedos de la mano izquierda, colocando solo un anillo por dedo, sin contar el pulgar? (considere una sola forma de colocacin en cada dedo)

a) 36

b) 48

c) 16

d) 24

e) 6RESOL:

(En el dedo d5 no esta contabilizado

(El 1er anillo tiene 4 opciones (d1,d2 ,d3, d4)

(El 2do anillo despus de colocar un anillo ya en un dedo le quedan 3 opciones.

(El 3er anillo tendra 2 opciones

(Luego por el principio de la multiplicidad Tenemos:

El nmero de maneras es: 4 x 3 x 2 = 24

CLAVE D22Un equipo de voley se sienta a dialogar en una mesa circular. De cuntas formas se puede sentar sus integrantes si 3 de ellos siempre deben estar juntos?

a) 22

b) 24

c) 12

d) 36

e) 6

RESOL:

(Como 3 jugadores siempre deben estar juntos tenemos una permutacin circular de 4 elementos es decir.

P4 =(41)! = 3 x 2 x 1 = 6 = 3!

Pero las 3 jugadoras que siempre estn juntas se pueden ubicar de 3! formas.

(Luego por el principio de la multiplicidad ambos eventos deben ocurrir de 3! x 3! = 36 formas CLAVE D23Anita tiene 6 blusas de colores diferentes y 5 minifaldas tambin de colores distintos. De cuntas maneras diferentes puede lucir ambas prendas a la vez, si la blusa azul y la minifalda blanca las usa siempre juntas y la minifalda roja con la blusa negra nunca las usa juntas?

a) 25

b) 36

c) 100

d) 64

e) 45

RESOL:

(Consideremos las blusas: roja, azul, negro, amarilla, celeste y verde y las minifaldas roja, azul, blanca, negra y amarilla.Veamos el cuadro

Blusas

Minifaldas

(Calculemos 1ero el nmero de formas distintas en que puede usar una blusa con una minifalda.

Segn elcuadro para el primer cuadro hay 6 posibilidades y para el segundo hay 5, luego por el principio de la multiplicidad tenemos: N de formas = 6 x 5 = 30

Aqu incluimos las restricciones siguientes:

La blusa azul pierde 4 posibilidades

Y la blusa negra pierde una posibilidad

( El numero de formas es 30 (4+1) = 25Otra forma seriaBlusas

Minifaldas

BR

MR BA MA BN

MB BAM

MN BC

MAM

BVCada blusa tiene 5 posibilidades excepto BA (tiene una) y la BN (tiene 4), lo que implica 4 x 5 + 4 +1 posibilidades, es decir 25

CLAVE A24A un alumno que va a matricularse en el grupo de estudios Pierre Fermat le toman un test conteniendo 10 preguntas, de las cuales el alumno tendr que responder solo 6 cualesquiera De cuntas formas puede responder dicho test?

a) 120b) 310

c) 720

d) 210

e) N.A.

RESOL:

(Segn el problema el hecho que responda 6 preguntas de las 10 formuladas no interesa el orden en que las conteste (aqu interesa el puntaje). Por lo que nos lleva a un caso de combinatoria de 10 elementos tomados de 6 en 6Luego N de formas =

CLAVE D 25Se tiene un conjunto conformado por 3,5,9,12,13 y 15; se quiere sumar 3 elementos diferentes Cuntas sumas diferentes puedo obtener con los elementos de dicho conjunto?

a) 120b) 36

c) 15

d) 80

e) 20

RESOL:

(Vemos que si sumamos: 3 + 5 + 9, esto es lo mismo que sume 5 + 3 + 9; por lo que concluimos que el orden no interesa, estamos ante un caso de combinaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3.

Es decir: sumas diferentes CLAVE E26Mnica tiene 5 aretes diferentes y para usarlos todos se hace 2 perforaciones en la oreja derecha y 3 perforaciones en la de la izquierda De cuantas maneras diferentes puede lucir todos los aretes?

a) 1440b) 720

c) 120

d) 640

e) 210

RESOL:

Oreja izquierda

Oreja Derecha

(Segn el grafico tenemos 5 lugares diferentes para usar 5 aretes diferentes, estamos en un problema de permutacin de 5 elementos tomados de 5 en 5. P5 = 5! = 120 CLAVE C27Si un grupo de 20 alumnos son clasificados, segn sexo, colegio de procedencia (estatal o particular) y rea a la que postula (ciencias o letra) De cuantas maneras se puede hacer esta clasificacin?

a) 80

b) 8

c) 4

d) 160

e) 12

RESOL:

(Supongamos que tenemos que llenar el siguiente cuadro.

(3 espacios)

(El primer espacio puede llenarse de 2 formas (varn o mujer). El segundo espacio puede llenarse de 2 formas (estatal o particular) y el tercero de 2 formas (ciencias o letras). Luego concluimos por el principio de la multiplicidad que la manera de clasificarlos es: 2 x 2 x 2 = 8 maneras CLAVE B28De cuantas maneras puede el profesor Herrera ordenar en su biblioteca 5 libros de lgebra, 4 de aritmtica y 3 de Razonamiento Matemtico, si los libros de cada materia deben estar juntos?

a) 5 x 104

b) 5 x 84

c) 5 x 124

d) 3 x 124

e) 7 x 124RESOL:

5! x 4! x 3! x 3! nmeros de grupos(Como vemos el grafico:Los libros de lgebra puede ordenarse de P5 = 5!

Los libros de Aritmtica pueden ordenarse de P4 = 4!

Los libros de R.M. pueden ordenarse de P3 = 3!

Los 3 grupos de libros pueden ordenarse de P3 = 3!

(Por el principio de la multiplicidad tenemos N de maneras que se pueden ordenar es: 5! x 4! x 3! x 3! esto es 5 x 124 formas. CLAVE C29En el problema anterior Hallar el numero de maneras que puede el profesor Herrera ordenar sus libros si solo los de R.M. deben estar juntos?

a)

b)

c)

d)

e)

RESOL:

(Como los libros de R.M deben estar juntos se le considera a los 3 como 1 solo sin diferenciar las materias, lo que hara un total de 10 libros por ordenar, que puede hacerse de P10=10! Formas. Pero los libros de R.M. pueden ordenarse entre si de 3! formas diferentes. Por consiguiente por el principio de la multiplicidad esta operacin puede hacerse de 3! x 10! formas.

3! x 10!

CLAVE E30Un sistema tiene 5 mecanismos, cada uno de ellos puede colocarse en 4 posiciones para que funcionen, digamos A B C y D De cuantas formas puede instalarse el sistema, si los mecanismos pueden estar en la misma posicin?

a) 29 1

b) 28 1

c) 83 1

d) 210

e) 210 1

RESOL:

(Supongamos que cada mecanismo representa un espacio por llenar.

Pero cada mecanismo puede colocarse en 4 posiciones diferentes, adems pueden colocarse en la misma posicin, esto implica que cada espacio puede llenarse de 4 formas.(Por lo tanto hay 4x4x4x4x4 = 45 = 210 formas de instalar el sistema.

CLAVE D31Un mozo debe servir 10 vasos diferentes de cerveza y gaseosa en una mesa donde hay 6 caballeros y 4 damas, sabiendo que los vasos de cerveza son para los caballeros y los de gaseosa, para las damas. Calcule la cantidad de maneras diferentes en que el mozo puede realizar la distribucin?

a) 205b) 450

c) 210

d) 120

e) 135

RESOL:

(Tenemos una permutacin con repeticin:

CLAVE D 32Un usuario de hotmail. com olvido su contrasea, pero recuerda que son 6 numerales y adems que las 3 primeras cifras son 5+2 y las 3 cifras siguientes son diferentes Cuntas posibilidades tiene el usuario para dar con su clave?

a) 720b) 640

c) 510

d) 120

e) 900RESOL:

(El orden de los elementos interesa, por lo que estamos en una permutacin de 10 elementos tomados de 3 en 3. Es decir

posibilidades CLAVE A33La junta directiva de una empresa consta de 10 miembros De cuantas maneras se puede elegir un presidente, un vicepresidente y un secretario?

a) 620

b) 360

c) 480

d) 520

e) 720

RESOL:

(Como el orden en que salgan elegidos determina el cargo que ocupan y solo se va a elegir a 3 cada vez de un total de 10 miembros, estamos ante una permutacin de 10 elementos tomados de 3 en 3

CLAVE E34De cuantas maneras pueden destacarse a 4 empleados de una empresa a 3 diferentes lugares. Para hacer una campaa publicitaria

a) 12

b) 24

c) 48

d) 36

e) 8

RESOL:

(Consideremos los tres lugares como tres casilleros

Cada casillero ser ocupado por empleados diferentes el 1er casillero puede ser ocupado por los 4 empleados disponibles, el 2do por 3 restantes y el 3ero por los 2 restantes. Luego por el principio de la multiplicidad tenemos

N de maneras es: 4x3x2 =

CLAVE B

35En el grupo de estudios Pierre Fermat hay 15 profesores de los cuales 10 son varones y 5 mujeres, se necesitan 4 profesores para llevar a cabo un proyecto especial que fomente la cultura De cuantas maneras se puede elegir 2 varones y 2 mujeres?

a) 350

b) 250

c) 650

d) 450

e) 900

RESOL:

(Vemos que en la eleccin no nos interesa el orden.

Se va a elegir grupos de 4 en 4 de un total de 15. Por lo tanto es un caso de combinatoria. Primero elegiremos 2 varones de los 10 presentes y 2 mujeres de las 5 presentes es decir:

y

(Por el principio de la multiplicidad tenemos. El nmero de maneras que ocurran ambos eventos es:

CLAVE D36En el problema anterior De cuantas maneras se podr elegir 5 varones?

a) 1232

b) 256

c) 120

d) 720

e) 252

RESOL:

(Estamos en el caso de combinatorio de10 hombres, tomados de 5 en 5, esto es:

CLAVE E37Si en el problema 35 nos piden calcular el nmero de maneras que se puede elegir 3 varones y 3 mujeres.

a) 900

b) 1200

c) 850

d) 600

e) 72RESOL:

(Utilizando combinatoria tenemos:

CLAVE B38Juan dispone para estudiar de 20 folletos de los cuales 6 no son de matemticas. De cuantas maneras se puede elegir 2 folletos que no son de matemticas?

a) 12

b) 18

c) 15

d) 25

e) 36

RESOL:

(Vemos que el orden de la eleccin no interesa solo interesa el nmero de folletos que no son de matemticas que pueden ser cero o uno o dos.Esto es

CLAVE C39Los asegurados de una compaa se clasifican segn edad, sexo y estado civil de la siguiente forma:

Edad (en aos)Sexo

Estado Civil

De 20 30varn

Soltero

De 30 50mujer

Casado

De 50 60

Viudo

De cuntas maneras se puede clasificar las plizas de seguros?

a) 36

b) 9

c) 54

d) 72

e) 18

RESOL:

(La clasificacin se dar de tres formas

Edad

sexo

Estado civil

(evento A) (evento B)

(evento C)

para el 1er casillero tenemos 3 posibilidades

para el 2do casillero tenemos 2 posibilidades

para el 3er casillero tenemos 3 posibilidades(Como debe ocurrir los 3 eventos a la vez por el principio de la multiplicidad tenemos.

3 x 2 x 3 maneras de clasificar las plizas

esto es 18 maneras CLAVE E40Un examen esta constituido por 4 grupos de preguntas: I,II,III, y IV cada grupo contiene 5,3,2 y 2 preguntas respectivamente. Si el estudiante debe contestar una pregunta de cada grupo De cuantos modos diferentes puede elegir sus preguntas?

a)30

b) 60

c) 90

d) 45

e) 25

RESOL:

(Como el estudiante debe contestar una pregunta de cada grupo, entonces tiene para escoger 4 de un total de 12 de la siguiente forma:

CLAVE B41En una granja experimental se tienen ratas de la misma edad, 6 de la raza A y 7 de la raza B. Si se desea formar parejas para realizar un experimento. Cuntas parejas se pueden formar, si deben ser:

a)Los dos de raza A

b)Los dos de raza B

c)Una de la raza A y una de la raza B

Dar como respuesta la suma de a), b) y c)

a) 78

b) 88

c) 87

d) 92

e) 38RESOL:

a)Para escoger los dos de la raza A tenemos 6 posibilidades esto es:

b)Para escoger los dos de la raza B tenemos 7 posibilidades, esto es:

c)Para escoger los dos, uno de A y uno de B tenemos

( a) + b) + c) = 15+21+42 = 78 CLAVE A42De cuntas maneras se pueden colocar 12 alumnos en una fila, de manera que dos de ellos, en particular, no queden juntos?

a) 9 !

b) 10 ! c) 9 ( 10 !

d) 9! ( 8 e) 9 ( 9 !

RESOL:

(Separemos del grupo a uno de los alumnos (cualesquiera), nos quedaran 9 para ordenar: esto es de

9! formas

(Ahora si elegimos (o fijamos) a uno de los 9 (cualesquiera) que no podr estar junto al separado nos quedara.

8 espacios para ubicar al separado veamos el grafico.

(Para ubicar al alumno que habamos separado tenemos 8 espacios. Por el principio de la multiplicidad tenemos.

9! ( 8 formas de ordenar CLAVE D43Una carpeta tiene espacio para 8 personas De cuntas maneras se pueden sentar 4 hombres y 4 mujeres, de modo que queden alternados (un hombre una mujer una mujer un hombre)?

a) 2 ( 4!

b) 2 ( 42!

c) 2 ( (4!)2

d) (4!)2

e) (2 ( 4!)2RESOL:

(En este problema se presentan dos casos:

1er caso: cuando el ordenamiento empieza con una mujer.Hay 4 espacio disponibles para ubicar a las mujeres y se puede hacer de P4 maneras.

Veamos el grfico:

Los espacios vacos (4), sern ocupados por los hombres, y se podrn sentar de P4 maneras.

( Por el principio de la multiplicidad

El nmero de maneras que se podrn sentar 4 hombres y 4 mujeres en forma alternada es:P4 ( P42do Caso: cuando el ordenamiento empieza con un hombre.

Los clculos son los mismos del caso 1 es decir.

N de maneras es P4 ( P4Luego: como deben ocurrir o el caso I o el caso II

4 mujeres y 4 hombres se pueden sentar alternadamente de P4 ( P4 + P4 ( P4 formas distintas es decir de:

2 P4 ( P4 = 2 ( 4! ( 4! = 2(4!)2 CLAVE C44De cuntas maneras distintas 3 varones y 3 mujeres pueden sentarse en 3 bancas (c/u con capacidad para 2 de ellos), de modo que en cada banca se siente un varn y una mujer?

a) 120

b) 240

c) 360

d) 288

e) 346RESOL:

(Veamos el siguiente grfico carpetas

Segn el grfico si escogen primero los hombres o las mujeres tendr el 1er varn o 1era mujer 6 espacios para escoger.

Supongamos que primero escogen los varones como habamos dicho el 1er varn tendr 6 lugares para escoger.

Luego el 2do varn, no puede sentarse junto a su compaero, por lo que tiene 4 opciones y el 3er varn le queda 2 opciones.

Luego por el principio de la multiplicidad los varones se sientan de 6(4(2 formas distintas.

Ahora en cada carpeta ya esta ubicado un varn.

(Y queda tres espacios para las damas, la que podrn sentarse de 3! Formas (esto es, porque en cada carpeta tiene que estar un hombre y una mujer)Concluimos que el nmero de formas distintas que se podrn sentar las 6 personas es: 6(4(2(3! = 288 CLAVE D

45De cuntas maneras distintas n varones y n damas pueden sentarse en n bancas (c/u con capacidad para dos de ellos) de modo que cada banca se sienten un varn y una dama?a) 2n1(n!)2

b)2n [(n1)!]2c)2n1 [(n1)!]2d) 2n n!

e) 2n (n!)2RESOL:

(Del problema anterior vamos a generalizar para el caso de n varones y n damas.

Supongamos que se sientan primero las damas; la primera dama tendr para escoger 2n asientos, la segunda de (2n2), la tercera (2n4), y as sucesivamente hasta que la ltima dama tiene para escoger un asiento de 2 que quedan.

(Esto se simboliza as:

N de formas distintas de sentarse las damas es:

2n (2n2) ( (2n4) ( (2n6) ( 6(4(2

En segundo lugar tendramos n espacios (asientos) vacos para que se puedan sentar n varones.N de formas distintas de sentarse los varones es: n !

( El nmero de formas distintas que pueden sentarse las n damas y los n varones es:

2n(2n2)(2n4)(2n6) ( . ( 6 ( 4 ( 2 ( n!

En cada factor menos el ltimo sacamos mitad

2(n(2(n1) (2(n2) (2(n3) (. . . (2(3(2(2(2(1(n!

2n(n((n1) ((n2)(n3) ( . . . 3(2(1(n!

2n n! ( n! = 2n(n!)2 CLAVE E46Una familia de 6 integrantes salen a almorzar y cuando ingresan al restaurante encuentran que todas las mesas son circulares, el papa le dice a la madre que se siente a su lado De cuntas maneras se podrn sentar en la mesa circular?

a) 24

b) 48

c) 36

d) 72

e) 28

RESOL:

(Veamos el siguiente grfico

Vemos 5 elementos para el ordenamiento circular, que se puede hacer de 4! = PC(5). Luego: N de arreglos circulares es = 2! ( 4! = 48Nota:N de arreglos circulares =

Permutacin interna(Permutacin externade los elementos juntos de los elementos

Para el problema: NAC = 2! ( 4! = 48 CLAVE B

47De cuntas maneras diferentes 8 amigos se sientan alrededor de una mesa circular a estudiar, si 4 de ellos siempre estn juntos?

a) 144

b) 288

c) 576

d) 120

e) 720

RESOL:

(Aplicando la nota del ejercicio anterior tenemos

Permutacin de los elementos juntos

N de arreglos circulares = P4 ( Pc(5)

Permutacin circular

= 4! ( 4!

N de Arreglos circulares = (4!)2 = 576 formas CLAVE C48Se desea colocar 11 fichas en un tablero circular, disponindose para tal efecto, 2 verdes, 2 azules, 4 blancas, 1 amarilla, 1 roja, 1 negra De cuntas maneras diferentes se podr lograr, si se quiere que las 2 verdes estn siempre juntas, adems la ficha roja debe estar siempre en medio de la amarilla y la negra?

a) 210

b) 120

c) 360

d) 144

e) 510

RESOL:

(Indiquemos en el grfico los 11 elementos segn las condiciones

Tenemos 8 elementos para permutar circularmente es decir Pc(8)= 7!

Las fichas verdes siempre juntas = 1!

La roja en de medio de A y N = 2!

( El nmero de arreglos circulares es:

Ac =

Nota:

N de arreglos circulares =

CLAVE A49Cuntas seales diferentes puede emitirse con tres focos rojos, cuatro amarillos y tres azules en una serie navidea que contiene diez porta focos?

a) 8400

b) 4200

c) 1316

d) 2632

e)2100

RESOL:

(Tenemos un grupo de 10 focos para permutar, pero de los cuales hay 3 sub grupos con elementos iguales, esto hace que apliquemos permutaciones con elementos repetidos, es decir.

N de seales diferentes =

N de seales diferentes = 4200 CLAVE B50Calcule el nmero total de segmentos que se puede formar en el siguiente grafico al unir los puntos de una regin con los de otra.

a) mnp

b) mn+np+mp

c) mn+p

d) m+n+p

e)

RESOL:

(Para formar un segmento necesitamos unir dos puntos de diferentes regiones veamos el grfico.

1Agrupemos puntos de la regin A y de la regin B. Luego el n de segmentos es mn

2Agrupemos puntos de la regin A y C luego el n de segmentos es mp

3Agrupemos puntos de las regiones B y C, luego el nmero de segmentos es np

(Luego como los tres cuentos son excluyentes tenemos que el total de segmentos que se pueden formar es:

mn + mp + np CLAVE B51Cuntos ordenamientos diferentes puede obtenerse con las letras de la palabra blanquiazol?

a)

b)

c)

d)

e)

RESOL:

(Tenemos un caso de permutacin con repeticin:

El nmero de letras de la palabra blanquiazul es 11 teniendo repetidas 2 letras a; 2 letras l, z letras u

( El nmero de ordenamientos es

CLAVE A52Calcule el nmero total de ordenaciones diferentes que se puede formar con todas las letras, a la vez, de la palabra KATTII, de manera que las vocales iguales estn juntas

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

e) 60

RESOL:

(En la palabra hay 8 letras de las cuales 2 estaremos tomando como si fueran una sola. Entonces existe una permutacin con repeticin.

( El nmero total de ordenaciones diferentes es:

CLAVE E53Cul ser el numero de letras, de una palabra sabiendo que el numero de combinaciones tomadas de 2 a 2 es igual al de combinaciones tomadas de 3 a 3, como 3 es a 5?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10RESOL:

( Luego n = 7 CLAVE B54De Cuntas maneras se pueden ubicar 4 parejas de esposos en una mesa circular para jugar casino, si estas parejas juegan siempre juntos?

a) 364b) 50

c) 24

d) 124

e) 96

RESOL:

(Veamos el siguiente grafico:

Punto de referencia

1Segn el grafico: cuando la pareja de referencia se ubica con E1M1, existen entonces 3 elementos para una permutacin circular, es decir 3 ! pero cada elemento se puede permutar 2 ! formas.

Entonces la 4 parejas se podrn ubicar de 3! x 2! x 2! x 2! Formas

2Si en el grafico la pareja de referencia se ubica como M1E1 tendramos

Tambin: 3! x 2! x 2! x 2! Formas

( El total de formas es:2 ( 3! x 2! x 2! x 2!) = 96 CLAVE E55Un club tiene 15 miembros (10 hombres y 5 mujeres ) Cuntos comits de 8 miembros se pueden formar, si cada comit debe tener 3 mujeres?

a) 2520

b) 2585

c) 1348

d) 2250

e) 5258

RESOL:

(N de comits es una combinatoria de 15 tomados de 8 en 8

N de comits =

N de comits = 2520 CLAVE A56Alrededor de una mesa circular de 6 asientos se ubican 2 mujeres y 3 hombres. De cuantas formas podrn ubicarse, si el asiento vaco debe quedar entre las dos mujeres?

a) 6

b) 12

c) 32

d) 24

e) 48RESOL:

(Veamos el siguiente grafico

Tenemos 4 elementos en la permutacin circular, esto es P4 = 3! = 6

Pero la mujeres se podrn ubicar de 2 ! maneras

( El total de formas que podrn ubicarse es:

3 ! ( 2! = 6 x 2 = 12 CLAVE B57 Hay dos obras de 3 volmenes cada una y otras dos de 2 volmenes cada una. De cuantas maneras puede colocarse los 10 libros en un estante, si deben quedar de tal manera que no se separen los volmenes de la misma obra?

a) 5634

b) 1465

c) 6345

d) 3456

e) 4616

RESOL:

(De los datos nos damos cuenta que estamos en un caso de permutacin de 10 elementos.

Como los 3 volmenes de las 2 primeras obras no se deben separar y 2 volmenes de las obras 2 obras siguientes tampoco, entonces permutaremos solo 4 elementos (Grupos)

Veamos el grafico

(Segn el grafico las obras se permutan de 4! Formas y cada obra se permuta de 3!, 3!, 2! Y 2! formas

Luego el nmero de maneras que se pueden colocar los 10 libros en un estante es: 4! x 3! x 3! x 2! x 2! = 3456 CLAVE D58De cuantas maneras pueden sentarse correctamente 2n personas alrededor de una mesa circular de modo que n de ellas siempre queden juntas?

a) n2

b) 2n!

c) (n2)!

d) 2(n!)

e) (n!)2RESOL:

(Veamos el grafico:

N de maneras = Pc(n+1) n! = n! x n! = (n!)2

CLAVE E59En una tienda hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones, de cuantas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan?

a) 100

b) 120

c) 200

d) 240

e) 480RESOL

(Tengo que escoger de 11 elementos 5 esto es:

Las camisas de maneras

Los pantalones de maneras

Luego el total de maneras es

CLAVE E60Cuntas comisiones integradas por un chico y una chica puede formarse de cinco chicos y ocho chicas, si cierto chico rehsa trabajar con dos chicas en particular?

a) 38

b) 40

c) 42

d) 44

e) 46

RESOL:

(Calculamos la cantidad de comisiones que se pueden formar con 5 chicos y 8 chicas, esto es: 5 x 8 = 40

Pero como uno de ellos se rehsa trabajar con dos chicas, quedan 2 posibilidades menos

Es decir:

N de comisiones es 402 = 38 CLAVE AA

B

1 2

3 4 5

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7

C8

C9

C10

Fijos

Disponibles

A B C D E

E1 E1 E1 E2 E2 E2 E3 E3 E3 E3

I Grupo de 3

III Grupo de 4

II Grupo de 3

CN CN CN CN CS CS CS

5 3 1

5 3 1

1er 2do 3ero 4to 5to 6to

H1 M1 H2 M2 H3 M3

(

d1

d2

d3

d4

d5

J2

J1

J3

J4 J5 J6

C

D

E

A

B

perforaciones

1 2 3er

Raz. matemtico

lgebra

Aritmtica

6 vasos de cerveza

4 vasos de gaseosa

caballeros

damas

Tenemos 10 personas de los cuales son 6 hombres y 4 mujeres

A

B

C

D

E

F

G

H

I

A

B

C

D

F

G

H

I

Espacios disponibles

Espacios no disponibles

Uno de los 9 que fijamos

E

mujeres

varones

mujeres

PM

h1

h2

h3

h4

se pueden ordenar de 2!

azules

A

R

N

4 blancas

XXXX

Verdes siempre juntas

Roja en medio de la amarilla y negra

m puntos

n puntos

p puntos

m puntos

n puntos

p puntos

Regin A

Regin B

Regin C

E2

M2

E1M1

M4

E4

M3 E3

H1

H3

H2

M2

M1

Asiento vaco

Por dato estos 3 asientos son un solo elemento en la permutacin circular

Punto de referencia

Obra 1

Obra 2

Obra 3

Obra 4

3 libros

3 libros

2 libros

2 libros

3 !

3 !

3 !

3 !

P1

P2

P3

Pn

Elemento fijo de referencia

(n+1) elementos que se permutan circularmente

n personas juntas que se permutan de n! formas

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