“ANÁLISIS ESTRUCTURAL”ANÁLISIS MATRICIAL PARA EL CÁLCULO DE CERCHAS

Presentado por:Juan Carlos Nontoa

Andrés Ricardo RochaCarlos EduardoTorres

Presentado a:Ricardo Correa Uribe

UNIVERSIDAD SANTO TOMASBOGOTA D.C.

21 de Abril de 2010

INTRODUCCION

Las armaduras de acero o de distintos tipos de material, constituyen un elemento de gran utilidad dentro del campo de la ingeniería estructural. Su diseño permite distribuir las fuerzas producidas por diferentes cargas a lo largo de su estructura interna y así poder llevarlas a sus respectivos apoyos unas ves definidas. Las diferentes clases de armaduras tienen varios tipos de análisis dependiendo de su diseño y de su función a futuro, en este trabajo de investigación se busca analizar las armaduras por medio de el método matricial de rigidez y así comparar los resultados con otros métodos utilizados dentro del campo de la ingeniería.

OBJETIVOS

• Analizar el método matricial para solucionar armaduras.

• Desarrollar y explicar paso a paso el proceso de solución de armaduras con el método matricial de rigidez.

• Solucionar y mostrar diferentes problemas en donde se utiliza el método matricial para armaduras.

METODO MATRICIAL PARA CÁLCULO DE CERCHAS

Armaduras Estáticamente Determinadas:

Definición:Una armadura es una estructura consistente en un número finito de barras conectadas en uniones por pasadores sin fricción en los cuales pueden aplicarse las fuerzas externas. En la Figura 3.1 se muestra una unión de armadura típica en la situación ideal, donde un pasador se inserta en los extremos de barras de ojo. Las barras tienen libertad de girar sobre el pasador.

Como las fuerzas externas sólo se aplican en los nudos, cada barra en una armadura puede sujetarse solamente a un par de fuerzas axiales iguales y opuestas; de aquí el nombre de miembros de dos fuerzas. Este hecho puede confirmarse considerando las peculiaridades de las barras fuera de las

uniones, como se muestra en la Fig. 3.Ib. Así, las fuerzas internas desconocidas son las fuerzas axiales F¡, para ; = 1 a j = NF, donde NF es el número total de miembros.Para orientar una armadura bidimensional en su propio plano, debe haber al menos un soporte articulado fijo y un soporte de rodillos; o como una alternativa poco usual, tres soportes de rodillos que no tengan más de dos reacciones paralelas. En un soporte articulado fijo, hay dos componentes desconocidas de la reacción de la articulación, y para un soporte de rodillos, hay solamente una reacción desconocida. De aquí que el número total de componentes desconocidas de las reacciones Nfí debe ser igual o mayor que tres.Cualquier sistema de fuerza externa actuando sobre una armadura bidimensional puede describirse por las magnitudes numéricas en las dos direcciones de referencia en los nudos, excepto aquellas a lo largo de las cuales ya hay componentes desconocidas de las reacciones. Si NP es el número total de direcciones posibles en las cuales las fuerzas externas puedan actuar, y N/ el número total de uniones, entonces

(3.1.1) NP + NR = 2(NJ)

Como el número total disponible de ecuaciones de equilibrio estático para una armadura bidimensional es 2(NJ) y el número total de fuerzas des conocidas es (NF + Nñ), el requerimiento necesario para determina ción estática es(3.1.2) NF+NR = 2(NJ)Comparando las Ees. (3.1.1) y (3.1.2), se obtiene(3.1.3) NP = NF

La Ec. (3.1.3) prueba que, para armaduras estáticamente determinadas, el número de direcciones posibles en el cual pueden actuar las fuerzas externas es igual al número de barras.Como ilustraciones, las cuatro armaduras de la Fig. 3.2 satisfacen la condición NP = NF, aunque solamente las primeras tres son estática mente estables.

Método Matricial de Nudos

Se ha demostrado que, para una armadura estáticamente determinada, el número de direcciones posibles en las cuales pueden actuar las fuerzas externas, JVP, debe ser igual al número de fuerzas axiales, NF. Sean P( l ) a P(NP) las fuerzas externas conocidas en los nudos y F( l ) a F(NF) las fuerzas axiales internas desconocidas. Como conexión de estos dos grupos de variables tenemos a las NP ecuaciones de estática, una en cada dirección de P, como sigue:

La matriz [A] como se define en la Ec. (3.3.2) se denomina la matriz estática debido a que sus renglones son las ecuaciones de estática para los nudos.Como la matriz [A] es cuadrada, tal como debe ser para una arma dura estáticamente determinada, la Ec. (3.3.2) puede escribirse como

Esta última ecuación puede programarse en una computadora digital donde las matrices { P } y [ A ] , de fuerza externa j estática, respectivamente, fuesen los datos de entrada y la matriz de fuerzas internas {F} fuese la salida.El significado físico de la matriz [A- 1] consiste en que cada una de sus columnas dé las fuerzas axiales debidas a cada fuerza externa uni taria. Como ejercicio académico, la matriz [A-1] puede determinarse di rectamente del método convencional de nudos y secciones, y ser verificada confirmando que [A] [A-1] =[I].Si existe la inversa de la matriz estática [A], la armadura es estática mente estable, pero si la matriz estática [A] es singular, la armadura es estáticamente inestable.

Armaduras Estáticamente Indeterminadas:

Grados de Libertad;

Típicamente, una estructura reticular consiste de miembros conectados en nudos o uniones. Una armadura es una estructura reticular en la cual las cargas se aplican solamente en uniones perfectamente lisas, con pasadores, de barras rectas de sección transversal uniforme. En el capí tulo previo el símbolo NP se ha utilizado para indicar el número de di recciones posibles en las cuales las fuerzas pueden ser aplicadas en los nudos. Se hace notar aquí que NP es también el número de desplazamien tos nodales desconocidos; de hecho, hay una correspondencia biunívoca entre fuerzas nodales y desplazamientos.

Como los desplazamientos nodales representan los modos en los cua les una estructura puede libremente responder a cualquier solicitación externa, el número de desplazamientos nodales desconocidos (o de di recciones posibles de fuerzas nodales) será llamado de aquí en adelante el grado de libertad NP.

El Método de la Matriz de Desplazamientos

En contraste con el método de la fuerza redundante, sólo relaciona do con estructuras estáticamente indeterminadas, el método de despla zamientos se aplica por igual a estructuras determinadas o indetermi nadas. La razón es que en este método, los desplazamientos nodales se toman como las incógnitas primarias, y hay siempre tantas ecuaciones de equilibrio en las direcciones de los grados de libertad como desplaza mientos nodales desconocidos, independientemente del grado de indeter minación de la estructura.

Es conveniente usar matrices para expresar las ecuaciones lineales involucradas en las aplicaciones del método de desplazamientos; de aquí el nombre de método de la matriz de desplazamientos. Se definirán dos matrices importantes: la matriz de fuerzas internas vs. la matriz de desplazamientos nodales [C] y la matriz de fuerza externa vs. la matriz de desplazamientos nodales [K],Considérese la armadura de la Fig. 4.9. Su grado de libertad ÍVP es cuatro, y las direcciones de fuerzas nodales posibles P1 a P t y los des plazamientos nodales correspondientes desconocidos X, a X4 se numeran en sucesión en la Fig. 4.9a. El número de fuerzas en barras NF es cinco• a estas fuerzas en barras y las elongaciones correspondientes se les lla ma FJ a F3 y e-¡, a e;, en la Fig. 4.9b.

La matriz de fuerzas internas vs. la matriz de desplazamientos nodales [C] expresa las fuerzas en las barras F( l ) a F(NF) en términos de los desplazamientos nodales X( l ) a X(NP). Para la armadura de la

Fig. 4.9, en la cual Si = EA1/Ll a S5 = EA5/L-, son las fuerzas que alargan las barras respectivas en una unidad y entonces representan la rigidez de la barra. La matriz [C] puede establecerse por columnas mediante las fuerzas en las barras de las Figs. 4.9c, d, e y f. Nótese que solamente la componente del desplazamiento del nudo en la dirección de la barra causa un cambio en la longitud de ésta.La matriz de fuerza externa vs. la matriz de desplazamientos nodales [K] expresa las fuerzas externas P( l - ) a P(NP) en términos de los desplazamientos nodales X ( l ) a X(JVP). Para la armadura de la Fig. 4.9,

EJERCICIOS

1. Resuelva la estructura mostrada. El material es de acero estructural con E = 2040 T/cm2

3 5 T Áreas: A1-3 = 100 cm2

A3-2 = 150 cm2

3 m A3-4 = 30 cm2

A1-4 = 40 cm2

1 2 A2-4 = 40 cm2

4 4 m 4 m

Luego de numerar los nudos, el siguiente paso es darle sentido alas barras.

3

1 2 4

ELEMENTO Ø COSØ SENØ

(COSØ)^2

(SENØ)^2

COSØSENØ

1 ------ 3 36,87 0,8 0,6 0,64 0,36 0,481 ------ 4 0 1 0 1 0 03 ------ 2 -36,87 0,8 -0,6 0,64 0,36 -0,484 ------ 2 0 1 0 1 0 04 ------ 3 90 0 1 0 1 0

Utilizando la ecuación matricial:

[ ]

−−−−

−−−−

=

22

22

22

22

scsscs

csccsc

scsscs

csccsc

L

AEK

u1 v1 u3 v3 u1 v1 u4 v4

−−−−

−−−−

=−

36.048.036.048.0

48.064.048.064.0

36.048.036.048.0

48.064.048.064.0

531

EK

−

−

=−

0000

0101

0000

0101

1041

EK

U3 v3 u2 v2 u4 v4 u2 v2

−−−−−−

−−

=−

36.048.036.048.0

48.064.048.064.0

36.048.036.048.0

48.064.048.064.0

10

323

EK

−

−

=−

0000

0101

0000

0101

1023

EK

u4 v4 u3 v3

−

−=−

1010

0000

1010

0000

1034

EK

Por superposición, la nueva matriz será:

10

EK =

La ecuación matricial quedara así:

=

==

−

−−−

−−−−−

−−−−

−−−−

−−−

−−

=

−==

==

=

4

4

3

3

2

2

1

1

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

0

1010

0200

1080.248.0

0048.020.3

0000

0101

08.144.172.096.0

44.192.196.028.1

0008.144.1

0144.192.1

0072.096.0

0196.028.1

08.144.100

44.192.200

0072.096.0

0096.028.2

10

20

0

3

4

0

v

u

v

u

v

u

v

u

E

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Ahora se reordena y se llega a la nueva matriz con las incógnitas dadas:T

−

−−

−−−−

−−

=

20

0

3

4

0

10100

02001

1080.248.044.1

0048.020.392.1

0144.192.192.2

10

4

4

3

3

2

E

v

u

v

u

u

U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4

1 0,96 -1,28 -0,96 -1 U1

1,28

0,96 0,72 -0,96 -0,72 V1

1-1,44

-1,92 1,44 -1 U2

1,92 -1,44 1,08 1,44 -1,08 V2-1,28 -0,96 -1,92 1,44 1,28 0,96 U3 1,92 -1,44 -0,96 -0,72 1,44

-1,08 0,96 1 -1 V3

-1,44 0,72

1,08 -1 -1 1 U4 1 -1 1 V4

−

−=

−

−−−−−

−−−−−−−

=

2317.0

0654.0

1337.0

0645.0

1307.0

20

0

3

4

0

468.2667.0468.1580.0333.1

667.01667.0500.01

468.1667.0468.1580.0333.1

580.0500.0580.0826.01

333.11333.112

10

E

cm.

Ahora se procede a calcular las reacciones.

TY

Y

X

−=

−

−

−−−−

−−−=

01.10

01.7

4

2317.0

0654.0

1337.0

0645.0

1307.0

0008.144.144.1

0072.096.00

0196.028.10

204

2

1

1

Para finalizar se calculan las fuerzas internas.

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] )(00.202317.01337.0

0654.00654.010204

)(32.132317.00

0645.01307.001204

)(68.161337.00

0645.01307.06.08.0612

(34.1302317.0

00654.001204

)(68.1101337.0

00645.06.08.0408

34

24

23

41

31

TTs

TTs

TTs

TTs

CTs

=

+−−

=

=

+−

=

−=

+−

=

=

−−−

=

−=

−−−

=

−

−

−

−

−

2. Resuelva completamente la estructura mostrada

3 Áreas: A1-2 = 20√2 cm2

A1-3 = 20 cm2

2 m A3-2 = 20 cm2

2 14 T

2 m 5 T

Y

3

2 1 x

Formula matricial:

[ ]

=

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u

K

Y

X

Y

X

Y

X

Cuadro para determinar las matrices de rigidez.

ELEMENTO Ø COS SEN (COS)^2 (SEN)^2 COSSEN

1 -------- 2 180 -1 0 1 0 01 -------- 3 135 √2/2 √2/2 0.5 0.5 -0.52 -------- 3 90 0 1 0 1 0

De la ecuación 2.0 se tiene:

u1 v1 u2 v2 u1 v1 u3 v3

[ ]

−

−

=−

0000

0101

0000

0101

1021

EK

[ ]

−−−−−−

−−

=−

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

1031

EK

u2 v2 u3 v3

[ ]

−

−=−

1010

0000

1010

0000

1032

EK

Ahora se ensambla la matriz por superposición.

10

EK =

Ahora efectuando las operaciones y reemplazando, la expresión resultante será:

−−−−−−

−−−

−−−

=

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

5.15.0105.05.0

5.05.0005.05.0

101000

000101

5.05.0005.05.0

5.05.0015.05.1

10

v

u

v

u

v

u

E

Y

X

Y

X

Y

X

u1 v1 u2 v2 u3 v3

1 + 0,5 -0,5 -1 -0,5 0,5 u1

-0,5 0,5 0,5 -0,5 v1

-1 1 u2

1 -1 v2

-0,5 0,5 0,5 -0,5 u3

0,5 -0,5 -1 -0,51 + 0,5 v3

===

−

−−+

−

−=

0

0

0

100

5.05.00

5.05.01

10100

05.05.0

05.05.1

103

3

2

2

1

1

2

1

1

v

u

uE

v

v

uE

Y

Y

X

=

−

=

−

−=

−

−−

00

5

4

100

031

01110

100

05.05.0

05.05.110

110

10

2

1

1

1

2

1

1

E

E

EY

Y

X

Ev

v

u

El siguiente paso es obtener las reacciones.

−=

−−−−

=

===

−−+

−−−−

=

−

−

T

T

TE

v

v

uE

v

v

uE

Y

X

X

E

E

5

5

1

015.05.0

05.05.0

001

10

0

0

0

5.15.00

5.05.00

001

1015.05.0

05.05.0

001

10

110

10

3

2

2

2

1

1

3

3

2

Las reacciones para la armadura son:

TX 12 =;

TX 53 −= TY 53 =

Y como paso final se calculan las fuerzas internas en las barras.

[ ]

[ ]

[ ] 000

0010

10

)(250

0

10

)(10

001

10

32

110

10

22

22

31

110

10

21

=

−−

=

=

++

=

−=

++

−=

−

−−

−

Es

TTE

s

CTE

s

E

E

E

E

3. Calcular los desplazamientos en los nudos y las fuerzas en las barras de esta cercha. E y A son constantes para todas.

Ecuación completa:

1 11 12 13 1

2 22 23 24 2

3 33 34 3

4 44 4

0P K K K

P K K K

P K K

P K

∆ ∆ = ∆ ∆

Condiciones de contorno:

1 0

1, 4i

∆ ==

Ecuación final:

2 22 23 2

3 32 33 3

P K K

P K K

∆ = ∆

Rigidez del sistema:

– Elemento 2,1

21

0 00

1515 0

115

0 0

0 115

l

m

EAK

−= =

−= =

= −

– Elemento 2,3

23

1

0

1 0

0 020

l

m

EAK

= −=

= −

– Elemento 2,4

[ ]

24

21 23 24 22

4

53

516 12

25 25925 12

25 25

0.0753 0.0192

0.0192 0.081

l

m

EAK

K K K K EA

= −

=

− = − −

− − + + = = −

– Elemento 3,2

32

1

0

1 0

0 020

l

m

EAK

==

= −

– Elemento 3,1

31

4

53

516 12

25 25925 12

25 25

l

m

EAK

=

=

= −

– Elemento 3,4

[ ]

34

32 31 34 33

0

1

0 0

0 115

0.0753 0.0192

0.0192 0.081

l

m

EAK

K K K K EA

==

= −

− + + = =

– Ecuación final:

2

2

3

3

8 0.0753 0.0192 0.05 0

0 0.0192 0.081 0 0

0 0.05 0 0.0753 0.0192

5 0 0 0.0192 0.081

X

Y

X

Y

EA

∆− − ∆− = ∆− ∆−

– Desplazamientos en los nudos:

2

2

3

3

246.3

58.41

190.0

106.8

X

Y

X

Y

EA

∆ ∆ = ∆ ∆ −

– Fuerzas en los elementos:

( )ij IJ i j

EAP R

L= ∆ − ∆

a. Tensión

[ ]12

246.3 10 1 3,89

58.415

EAP

EA

− = − = −

b. Compresión

[ ]23

246.3 190.0 11 0 2.82

58.4 106.820

EAP

EA

= − = −

– Análogamente

13

24

34

3.52

6.48

7.12

P

P

P

== −= −

– Cálculo de reacciones a partir de las fuerzas en los elementos:

1 12 13 13 12 13 13

40 ¨ 2.8450.389 3.52

31 6.025

kP P P R P R P

k

− − = = = + = + = −− −

4

40 5.1857.12 6.48

31 11.005

KP

K

− = − + − = −−

– Equilibrio de la estructura:

8 2.84 5.18 0

5 6.02 11.0 0X

Y

P

P

∑ = − − ≈∑ = − − + ≈

4. Calcular las fuerzas en todos los elementos de esta cercha debidas a la carga mostrada. E, A, son constantes en todas partes.

Las condiciones de contorno:

La ecuación final:

1 11 1P K= ∆

Donde

111

2

2

i j

ij

i j

ij

EAK B

L

mB

m m

X X

L

Y Ym

L

=

=

−

=

−=

∑l l

l

l

Rigideces de los elementos: Elemento 1,2:

14

3

54

59 12

12 16125

m

EAK

= −

= −

= −

l

15

3

54

59 12

12 16125

m

EAK

= −

=

− = − −

l

15

0

1

0 0

0 12.5125

m

EAK

==

= −

l

12

3 01

30 0

03

41.66 0

0 0125

m

EAK

−= =

−= =

= −

l

Elemento 1,3:

13

3

54

59 12

12 16125

m

EAK

=

= −

− = − −

l

Elemento 1,4:

Elemento 1,5: Elemento 1,6

:

Elemento 1,7:

[ ]

15

11 12 13 14 15 16 17

3

54

59 12

12 16125

77.66 0

0 76.5125

m

EAK

EAK K K K K K K

=

=

= −

= − + + + + + =

l

La ecuación matricial de rigidez final es:

1

1

100 77.66 0

200 0 76.5125x

y

EA ∆ = ∆

Los desplazamientos de los nudos libres son:

1

1

10

100 160.9125 177.661 200 326.8

076.5

x

y EA EA

∆

= = ∆

Las fuerzas en los elementos son:

( )

[ ] ( )

( )

12

13

160.9 11 0 53.6

326.83

160.93 4 133

326.85 5 5

ij ij i j

k

k

EAP R

L

EAP tensión

EA

EAP compresión

EA

= ∆ − ∆

= =

= − = −

Análogamente

( )( )

( )( )

14

15

16

17

71.6

33

32.7

71.6

k

k

k

k

P compresión

P tensión

P tensión

P tensión

= −

=

=

=

5. Una armadura tridimensional se define por los siguientes valores: índices de los elementos, coordenadas de los nudos y condiciones de contorno. La cercha está sometida a tres condiciones de carga diferentes. Determinar las fuerzas en los elementos para cada condición de carga y verificar que los resultados de la tercera condición de carga son iguales a la suma de los dos primeros. E e 1 son constantes para todos los elementos.

Después de que introducen las condiciones de contorno, la ecuación final toma la siguiente forma:

Donde

Elemento 1,2:

Elemento 1,3:

Elemento 1,4:

Elemento 1,5:

Elemento 1,6:

Los desplazamientos del nudo 1 (el único nudo libre en esta estructura)Son:

Como puede verse de los anteriores resultados,

Las fuerzas en los elementos son:

Elemento 1,2:

Todas las otras fuerzas en las barras pueden calcularse análogamente.

Se comprueba el equilibrio del nudo 1

Que es igual a las cargas aplicadas en el nudo 1.

6. Se pide resolver completamente la estructura mostrada en la figura para cualquier hipótesis de carga, y en particular para las cargas mostradas. Todos los elementos están hechos del mismo material.

Solución

Se comienza por numerar los nudos y asignar a los elementos un sentido positivo arbitrario, pero sobre teniendo que el sentido positivo va del nudo i al nudo j, esto se ha hecho en la figura:

. Obsérvese que el nudo libre se ha dejado de primero, seguido del apoyo inferior que ofrece una restricción y de último se ha dejado el apoyo superior que esta restringido en ambos sentidos La formulación matricial del problema será así

x1 = k * u1

y1 v1x2 u2y2 v2x3 u3y3 v3

Para determinar fácilmente las matrices de rigidez de los elementos, conviene elaborar el siguiente cuadro

elemento ө cos ө sen ө cos² ө sen² ө cos ө sen ө1-2 180º -1 0 1 0 01-3 135º -√2/2 √2/2 ½ ½ - ½2-3 90º 0 1 0 1 0

Y de ahí:

K(1-2) = E/10

U1 V1 U2 V21 0 -1 0 U10 0 0 0 V1-1 0 1 0 U20 0 0 0 V2

K(1-3) = E/10

U1 V1 U3 V31/2 -1/2 -1/2 1/2 U1-1/2 1/2 1/2 -1/2 V1-1/2 1/2 1/2 -1/2 U31/2 -1/2 -1/2 1/2 V3

K(2-3) = E/10

U2 V2 U3 V30 0 0 0 U10 1 0 -1 V10 0 0 0 U30 -1 0 1 V3

Ensamblando ahora la matriz por superposición

K = K(1-2) + K(1-3) + K(2-3)Se expande cada una de las matrices y luego se suman o simplemente se van sumando los términos respectivos en las casillas correspondientes

Nótese que en este caso particular, AE/L resulta constante para todos los elementos lo cual facilita la superposición. Efectuando las operaciones indiciadas y reemplazando la expresión resultante queda:

= E/10 U1 V1 U2 V2 U3 V3X1 3/2 - 1/2 -1 0 - 1/2 ½ U1Y1 -1/2 ½ 0 0 ½ -1/2 V1X2 -1 0 1 0 0 0 U2Y2 0 0 0 1 0 -1 V2

X3 -1/2 ½ 0 0 ½ -1/2 U3Y3 1/2 - 1/2 0 -1 -1/2 3/2 V3

Considerando ahora las condiciones de los apoyos, se procede a reordenar la expresión anterior intercambiando la tercera fila con las cuarta y por consiguiente las columnas respectivas, resulta entonces

= E/10

U1 V1 U2 V2 U3 V3X1 3/2 - 1/2 -1 0 - 1/2 1/2 U1Y1 -1/2 1/2 0 0 ½ -1/2 V1Y2 0 0 1 0 0 0 V2X2 -1 0 0 1 0 0 U2X3 -1/2 ½ 0 0 ½ -1/2 U3Y3 1/2 - 1/2 0 -1 -1/2 3/2 V3

La ecuación anterior sirve de base para resolver el caso general. Para el caso particular en consideración procediendo directamente:

X1= E/10

3/2 -1/2 0 U1+ E/10

-1 -1/2 1/2 U2=0Y1 -1/2 1/2 0 V1 0 1/2 -1/2 U3=0Y2 0 0 1 V2 0 0 1 V3=0

U1= 10/E

-1 1 0 4=

-10/EV1 1 3 0 -5 -110/EV2 0 0 1 0 0

Para obtener las reacciones a partir de la primera ecuación

X1= E/10

-1 0 0 U1+ E/10

-1 0 0 U2=0X3 -1/2 1/2 0 V1 0 1/2 -1/2 V2=0Y3 1/2 -1/2 -1 V2 0 -1/2 3/2 V3=0

= 10/E-1 10 0 -10/E

=1T→

-1/2 1/2 0 -110/E -5T←1/2 -1/2 -1 0 5T↑

Colocando estos valores en un diagrama de cuerpo libre de la estructura total se comprueba que la estructura esta en equilibrio.

7. Resuelva completamente la estructura mostrada. El material es acero estructural con E= 2040 T/cm². Las áreas están dadas entre paréntesis en cm².

Solución

Se empieza por numerar los nudos y asignarle un sentido a las barras (figura superior derecha). Obsérvese que se han numerado de últimos los nudos libres para minimizar el reordenamiento de la matriz de rigidez. A continuación se elabora el cuadro de funciones trigonométricas

elemento ө cos ө sen ө cos² ө sen² ө cos ө sen ө1-3 69.87º 0.8 0.6 0.64 0.36 0.481-4 0º 1 0 1 0 03-2 -36.87º 0.8 -0.6 0.64 0.36 -0.484-2 0 º 1 0 1 0 04-3 90 º 0 1 0 1 0

Utilizando este cuadro y las ecuaciones:

K(1-3) = E/5

U1 V1 U3 V30.64 0.48 -0.64 -0.48 U10.48 0.36 -0.48 -0.36 V1-0.64 -0.48 0.64 0.48 U3-0.48 -0.36 0.48 0.36 V3

K(1-4) = E/10

U1 V1 U4 V41 0 -1 0 U10 0 0 0 V1-1 0 1 0 U40 0 0 0 V4

K(3-2) = 3E/10

U3 V3 U2 V20.64 -0.48 -0.64 0.48 U3-0.48 0.36 0.48 -0.36 V3-0.64 0.48 0.34 -0.48 U20.48 -0.36 -0.48 0.36 V2

K(4-2) = E/100 U4 V4 U2 V2

1 0 -1 0 U40 0 0 0 V4-4 0 1 0 U20 0 0 0 V2

K(4-3) = E/10

U4 V4 U3 V30 0 0 0 U40 1 0 -1 V40 0 0 0 U30 -1 0 1 V3

Ensamblando por superposición, la ecuación matricial queda de esta manera

X1

=E/10

2.28 0.96 0 0 -1.28 -0.96 -1 0 U1=0Y1 0.96 0.72 0 0 -0.96 -0.72 0 0 V1=0Y2 0 0 1.08 -1.44 1.44 -1.08 0 0 V2=0X2=0 0 0 -1.44 2.92 -1.92 1.44 -1 0 U2X3=4 -1.28 -0.96 1.44 -1.92 3.20 -0.48 0 0 U3Y3=3 -0.96 -0.72 -1.08 1.44 -0.48 2.80 0 -1 V3X4=0 -1 0 0 -1 0 0 2 0 U4Y4=-20 0 0 0 0 0 -1 0 1 V4

Efectuando la partición en la forma establecida e invirtiendo

=10/E

2 1 -1.333 1 -1.333 0

=

0.13071 0.826 -0.580 0.500 -0.580 4 0.0645

-1.333 -0.580 1.468 -0.667 1.468 3 -0.13371 0.500 -0.667 1 -0.667 0 0.654

-1.333 -0.580 1.468 -0.667 2.468 -20 -0.2317

Ahora se pueden calcular las reacciones

= 204

0.1307

=X1 0 -1.28 -0.96 -1 0 0.0645 -4Y1 0 -0.96 -0.72 0 0 -0.1337 7.01Y2 -1.44 1.44 -1.08 0 0 0.0654 10.01

-0.2317

Finalmente se calculan las fuerzas internas

S(1-3) = 4080.0645 -0

=-

11.68T0.8 0.6-0.1337 -0

S(1-4) = 204 0.0654 -0 = 13.34T1 0

-0.2317 -0

S(3-2) 0 6120.1307 -0.0645

=-

16.68T0.8 -0.60 0.1337

S(4-2) = 2040.1307 -0.0654

= 13.32T1 00 0.2317

S(4-3) = 2040.0645 -0.0654

= 20.00T0 1-0.1337 0.2317

Los siguientes diagramas prueban la bondad de estas respuestas:

8. Resuelva la estructura que se muestra a continuación

Cuadro de áreas

Barra Área cm²1-2 201-3 201-4 401-6 502-3 202-4 502-5 403-5 503-6 404-5 104-6 105-6 10

Cargas aplicadas en toneladas

nudo Fx Fy Fz1 10.00 15.00 -12.002 5.00 -3.00 -10.003 -4.00 -2.00 -6.00

Coordenadas de los nudos

nudo x y Z1 2250 6000 48002 3750 6000 24003 5250 6000 48004 0 0 60005 3750 0 06 7500 0 6000

Se evalúan las matrices de rigidez de todos los miembros, referidas a coordenadas generales, cuidando de calcular únicamente los términos de las columnas indispensables, es decir, las que corresponden a los nudos libres

K(1-2)=

U1 V1 W1 U2 V2 W21.169 0 -6.671 -4.169 0 6.671 U1

0 0 0 0 0 0 V1-6.671 0 10.674 6.671 0 -10.674 W1-4.169 0 6.671 4.169 0 -6.671 U2

0 0 0 0 0 0 V26.671 0 -10.674 -6.671 0 10.674 W2

K(1-3)=

U1 V1 W1 U3 V3 W314.000 0 0 -14.000 0 0 U1

0 0 0 0 0 0 V10 0 0 0 0 0 W1

-14.000 0 0 14.000 0 0 U30 0 0 0 0 0 V30 0 0 0 0 0 W3

K(2-3)=

U2 V2 W12 U3 V3 W34.169 0 6.671 -4.169 0 -6.671 U2

0 0 0 0 0 0 V26.671 0 10.674 -6.674 0 -10.674 W2-4.169 0 -6.671 4.169 0 6.671 U3

0 0 0 0 0 0 V3-6.671 0 -10.674 6.671 0 10.674 W3

K(1-6)

U1 V1 W15.523 -6.312 1.262 U1-6.312 7.214 -1.443 V11.262 -1.443 0.288 W1-5.523 6.312 -1.262 U66.312 -1.214 1.443 V6-1.262 1.443 -0.288 W6

K(2-4)

U2 V2 W22.951 4.721 -2.833 U24.721 7.554 -4.533 V2-2.833 -4.533 2.720 W2-2.951 -4.721 2.830 U4-4.721 -7.554 4.533 V42.833 4.533 -2.720 W4

K(3-5)

U3 V3 W30.492 1.969 1.575 U31.969 7.877 6.302 V31.575 -6.302 -1.575 W3-0.492 -1.969 -1.262 U5-1.969 -7.877 -6.302 V5-1.575 -6.302 -5.041 W5

K(1-4) U1 V1 W11.535 4.093 -0.819 U14.093 10.915 -2.183 V1

-0.819 -2.183 0.437 W1-1.535 -4.093 0.819 U4-4.093 -10.915 2.183 V40.819 2.183 -0.437 W4

K(3-6)

U3 V3 W31.535 -4.093 0.819 U3-4.093 10.915 -2.183 V30.819 -2.183 0.437 W3-1.535 4.093 -0.819 U64.093 -10.915 2.183 V6-0.819 2.183 -0.437 W6

K(2-5)

U2 V2 W20 0 0 U20 11.206 4.482 V20 4.482 1.793 W20 0 0 U50 -11.206 -4.482 V50 -4.482 -1.793 W5

El siguiente paso es el ensamble de la matriz de rigidez de la estructura

Como los tres apoyos 4,5 y 6 son de segundo genero, no tienen ningún desplazamiento y basta ensamblar las porciones [Knn] y [Kan] de la matriz de rigidez total. Para luego aplicar las ecuaciones simplificadas

Y resolviendo para los desplazamientos desconocidos mediante la inversión de [Knn]

Conociendo los desplazamientos, de la ecuación anterior se pueden averiguar las reacciones

Conviene ahora verificar el equilibrio de la estructura, conociendo el cuerpo libre total, se obtiene

Cuya magnitud es

Mo =√ (18²+0+33²)=37.6 T-mm < 0.04 T-mmComprobándose así que helero de cierre en la estructura total es insignificante.

Luego se calculan las fuerzas internas que debe soportar cada barra.

S12=2.2263 -0.8043

=-10.609T14.841 0.5300 0 -0.8481 -0.7276 -0.0331-2.7318 4.4634

S13=0.7508 -0.8043

=-0.750T14.000 1.000 0 0 0.3669 -0.0331-1.7722 4.4634

S23=0.7508 -2.2263

=0.471T14.841 0.5300 0 0.8481 0.3669 0.7276-1.7722 2.7318

S45=0

=0T2.968 0.5300 0 -0.8481 00

S46= 0 =0T2.800 1.000 0 0 0

0

S16=

0 -0.8043

=2.152T13.204 0.6512-

0.7442

0.1488 0 -0.0331

0 4.4634

S24=

0 -2.2263

=23.019T13.226 -0.4724-

0.7558

0.4534 0 0.7276

0 2.7318

S35=

0 -0.7508

=-8.872T13.412 -0.1916-

0.7664

-0.6131 0 -0.3669

0 1.7722

S14= 0 -0.8043 =14.557T12.885 -0.3451 -

0.9204

0.1841 0 -0.0331

S56=0

=0T2.968 0.5300 0 0.8481 00

0 4.4634

S36=

0 -0.7508

=5.216T12.885 0.3451-

0.9204

0.1841 0 -0.3669

0 1.7722

S25=

0 -2.2263

=-21.970T12.999 0-

0.9285

-0.3714 0 0.7276

0 2.7318

Finalmente se verifica el equilibrio de cada nudo.

miembro Sx Sy Sz esf1-2 -5.623* 0 8.997 C**1-3 -0.750 0 0 C1-4 -5.024 -13.398 2.680 T1-6 1.401 -1.602 0.320 T2-3 0.250 0 0.400 T2-4 -10.874 -17.398 10.437 T2-5 0 20.399 8.160 C3-5 1.700 6.800 5.439 CV3-6 1.800 -4.801 0.960 T4-5 0 0 04-6 0 0 05-6 0 0 0

*nudo inicial , **C= compresión , T= tensión

Con estos valores y los de las cargas aplicadas se comprobó el equilibrio de los nudos superiores, obteniéndose:nudo ∑Fx ∑Fy ∑Fz1 0.004 0.000 -0.0032 -0.001 0.001 0.0003 0.000 -0.001 -0.001

9.

Como los desplazamientos en los apoyos son nulos, basta con considerar la porción siguiente

X1

=E/10

-1.28 -0.96 -1 0 U3Y2 -0.96 -0.72 0 0 V3X2 -1.92 1.44 -1 0 U4Y2 1.44 -1.08 0 0 V4

X3=4 3.20 -0.48 0 0Y3=3 -0.48 2.80 0 -1X4=0 0 0 2 0

Y4=-20 0 -1 0 1

Tomando la parte inferior y reordenado para invertir por partes

X3 = 4

=E/10

3.20 -0.48 0 0 U3Y3 = 3 -0.48 2.80 -1 0 V3Y4 = -20 0 -1 1 0 V4X4 = 0 0 0 0 2 U4

[0] = E/10 [ 0 0 0 ] + 2E/10 [U4] ; U4 = 0

Por consiguiente:

4=E/10

3.20 -0.48 0 U33 -0.48 2.80 -1 V3

-20 0 -1 1 V4

Y despejando:U3

=10/E0.3266 0.0868 0.0868 4

V3 0.0868 0.5788 0.5788 3V4 0.0868 0.5788 1.5788 -20

=-8.49 x 10 ^-4

-0.0465-0.1446

U3V3V4

Reemplazando estos valores

X1

=204

-1.28 -0.96 -1 0 -0.0008

=

9.33Y1 -0.96 -0.72 0 0 -0.0465 7.00X2 -1.92 1.44 -1 0 0 -13.34Y2 1.44 -1.08 0 0 -0.1446 10.00

Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la estructura total:

En cuanto a fuerzas interna

S(1-3) =-0.0008 -0

408 0.8 0.6 = -11.64T-0.0465 -0

S(1-4) =0 -0

204 1 0 = 0-0.1446 -0

S(3-2) =0 0.0008

612 0.8 -0.6 = -16.68T0 0.0465

S(4-2) =0 -0

204 1 0 = 00 0.1446

-3) =-0.0008 -0

204 0 1 = 20.01T-0.0465 0.1446

Verificándose el equilibrio de todos los nudos con un error de cierre máximo de 0.03T

10. Una armadura de dos elementos

Parámetros: Número de Nodes N = 3, Número de Elementos M = 2, propiedades de los elementos: EA = L =1 para ambos elementos

Elemento numero e1:

Cartografía de Matrix: nodo local de un nodo = global (2), el nodo local b = nodo global (1). Por lo tanto,

Rigidez Ampliado elemento de la matriz:

Elemento numero e2:

Cartografía de Matrix: nodo local de un nodo = global (3), nodo local b = nodo global (1). Por lo tanto,

Rigidez Ampliado elemento de la matriz:

Rigidez total matriz:

Tenga en cuenta las condiciones de carga: PX1 = 0 y AP1 = -30. Mundial de nodos (2) y (3) son fijos. La ecuación de equilibrio por lo tanto:

Desde UX1 y Uy1 son los desplazamientos única incógnita, la ecuación matricial anterior se puede simplificar, descartando los elementos de matriz que se multiplican por el desplazamiento cero en los nudos fijos, es decir,

Resolver la ecuación ahora la parte superior de la matriz particionada de la siguiente manera:

a continuación, calcular la reacción de las fuerzas de la partición utilizando como fondo

Una nota interesante que resulte de este sencillo ejemplo numérico es que la matriz que se utilizará para la determinación de los desplazamientos desconocidos se puede obtener mediante la eliminación de todas las columnas y filas asignado a la fija grados nodales de libertad, desde el mundial de la matriz.

Inestabilidad de las condiciones de Fronteras.

Consideremos un caso similar ahora con la idéntica condición de carga, pero nodo global (3) está en un rodillo en la dirección x, por lo tanto, UX2 = Uy2 Uy3 = = 0, pero Ux3 se deja como un desconocida. Sabemos que esto es físicamente un sistema inestable, pero permite comprobar numéricamente. Al eliminar las filas y columnas asociadas con grados de libertad UX2, Uy2 y Uy3, la ecuación de equilibrio rendimientos

Se puede demostrar fácilmente que la ecuación matriz anterior es singular, calculando el valor de ∆ como factor determinante.

11. 1) La cercha simple tiene m= 9 barras, se desea calcular los desplazamientos verticales de los nudos del cordón superior a y b, bajo la acción de dos condiciones de carga dependientes, la numeración de las barras y las dimensiones están a continuación:

Cada una de las barras tiene una sección transversal Ai= 1 cm2 y un modulo de elasticidad E= 30000 Kg/cm2. Se comienza con un cálculo de los esfuerzos axiles Si en las nueve barras bajo las dos condiciones de carga. Este conjunto de esfuerzos axiales constituirá la matriz S para el problema. Igualmente se calculan los esfuerzos axiales en todas las barras para cada una de las cargas unidad que actúan en los nudos a y b. Este conjunto de esfuerzos axiales constituirá la matriz s para el problema en cuestión. Finalmente, se calculan los coeficientes de flexibilidad para cada elemento y se escribe la matriz de flexibilidad diagonal. Estas tres matrices básicas para el caso que nos ocupa son las siguientes:

Sij Pi =10E Si

Ahora se halla los desplazamientos requeridos Δj por multiplicación matricial del siguiente modo:

Efectuando en dos pasos las multiplicaciones indicadas, se obtiene:

Así con E= 30000 Kg/cm2, los desplazamientos debidos a la carga P= 9Kg que actúa según se indico:Δ´a= 0,0318 cm Δ´b= 0,0525 cmMientras que las debidas a la carga Q=10 kg son:Δ´´a= 0,0237 cm Δ´´b= 0,0296 cm

12. Considerando la cercha estáticamente indeterminada. Esta estructura plana tiene siete barras, de las que tres son superabundantes. Se elige como tales las barras 5, 6 y 7, de modo que el sistema principal sea:

Como primer paso se hace un análisis estático de este sistema principal bajo la acción de las cargas P dadas y, asimismo, bajo la acción de un par de fuerzas unidad en lugar de cada una de las barras superabundantes. Después, con las secciones transversales A1=A4=A5= 5 cm2, A2=A3=8,66 cm2 y A6 = A7=2,89cm2, la matriz geométrica, la matriz de flexibilidad y la matriz de carga serán:

Donde, por conveniencia se ha tomado E= 1 Kg/cm2Transponiendo ahora s y s´ y postmultiplicándola por f y después por s, se obtiene:

Como este resultado es una matriz diagonal, se convierte fácilmente y se tiene:

Premultiplicando ésta por la matriz s, se obtiene:

La postmultiplicación de ésta por s’f da:

Finalmente, restando ésta de la matriz unidad I y completando las operaciones indicadas:

Así, los valores finales, en unidades kilogramos, de las fuerzas axiales en las barras son:

13.

Las fuerzas de as reacciones se pueden calcular desde esta nueva solución:

14) Determine el desplazamiento horizontal y vertical en la junta (3) de el ensamble.

Use la rigidez hallada en la matriz del ensamble anterior y deje Q=KD

Solucionando

15) Determine la fuerza guiándose por el problema 1