análisis matemático del problema de objeto
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Revista 360 / No 4/ 2009
Análisis matemático del problema de un objeto fijo, sobre una
escalera que se desliza, desde un contexto físico por Prof. Carlos Oliveras Martínez
Introducción
Este trabajo de investigación surgió de una investigación similar sobre modelación,
visualización y aprendizaje que el Dr. Orlando Planchart Márquez estuvo realizando con sus
estudiantes del curso de maestría de Geometría Analítica utilizando el programa Cabri II. En
dicha investigación se consideraba un gato situado en una posición fija sobre una escalera, la
escalera caía mientras se mantenía en contacto con una pared y todo esto ocurría sin fricción
entre la escalera y la pared y entre la escalera y el suelo.
Como resultado de este trabajo en Cabri II, se concluye que la trayectoria seguida por el
gato en su caída era una elipse si el gato se encontraba en una posición distinta del centro de la
escalera o un círculo si el gato se encontraba localizado en el centro de la escalera.
El programa Cabri II consideró que la escalera se mantenía todo el tiempo en contacto
con la pared mientras la escalera caía. El trabajo que estamos presentando muestra que en algún
momento la escalera se despega de la pared provocando así que la trayectoria sea una parábola
sin importar la localización del gato en ella. El desarrollo teórico del problema presentado se
acompaña con una verificación experimental del mismo.
Para el análisis del problema hemos sustituido al gato por una marca sobre una regla y
hemos seguido la trayectoria (lugar geométrico) de dicha marca. Primeramente hemos
determinado el ángulo al cual la regla (escalera) se despega de la pared y luego hemos
demostrado que la trayectoria seguida por la marca (el gato) es una parábola. En ambos casos
utilizamos las ecuaciones de LaGrange que se prestan para un desarrollo elegante y simple del
problema planteado. Luego, continuamos nuestra investigación analizando la situación real
grabada con una cámara digital. La grabación se analizó utilizando el programa Logger Pro 3.
Se tomaron sólo algunos puntos de la trayectoria seguida por la marca, ya que la inclusión de
todos los puntos impedía su mejor visualización. Con el Logger Pro 3 se realizó una regresión
cuadrática de los puntos que luego se comparó con los resultados teóricos evidenciándose una
concordancia aceptable entre ambos métodos.
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Problema de un objeto fijo, sobre una escalera que se está deslizando
Consideremos
• una escalera de masa uniforme (m) y de largo OP = = 2b que se desliza sin fricción
por la pared y el suelo,
• un objeto de masa insignificante que se encuentra localizado sobre la escalera a una
distancia fija (b) desde el punto O
1. Demuestre que la escalera se separa de la pared y encuentre el ángulo (Ѳ) al cual se separa
usando la ecuación de LaGrange.
2. Encuentre la trayectoria del objeto.
Solución al problema 1
La energía cinética total (T) de la masa (m) tiene dos partes: una lineal y otra rotacional
alrededor del punto (O) y se expresa en coordenadas polares como
Donde
,
Porque la posición de la masa (m) en la escalera es constante y no cambia con el tiempo. I
es el momento de inercia de la escalera con respecto al punto (O) para el largo b
Esto hace que la forma final de T sea
La energía potencial (V) de la masa (m) medida con respecto al suelo es
V = mgh = mgbsinθ
Por lo tanto el Lagrangiano (L) puede escribirse como
Figura 1
P
m
O
b
x
θ
h
b
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L = T – V
L = – mgbsinθ
Si ahora substituimos L en la ecuación de LaGrange
Vamos a obtener
Vamos a considerar ahora la energía total del sistema
ET = T + V
mgb = + mgbsinθ
Donde mgb es la energía inicial del sistema, ie, cuando la escalera está completamente
vertical y pegada a la pared. Esto lo podemos hacer debido a que no estamos considerando la
fricción y por lo tanto la energía total del sistema se conserva. Con un poco de álgebra
obtenemos de la ecuación anterior
Ecuación que se pudo haber encontrado de la integración de que obtuvimos anteriormente.
En coordenadas polares,
x = b cosθ
Si buscamos la segunda derivada de la x con respecto al tiempo vamos a obtener
La condición para que la escalera se despegue de la pared es que , lo que implicaría que
Ya tenemos expresiones para y para que podemos sustituir en la ecuación anterior para
obtener
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De esta ecuación podemos obtener el ángulo al cual la escalera se aparta de la pared.
Solución al problema 2
Para determinar la trayectoria de la masa (m) vamos a utilizar coordenadas cartesianas (x,y).
Comenzamos por expresar la energía cinética (T),
Substituyendo la expresión encontrada anteriormente para y haciendo uso del hecho de que
el según la figura 2 se obtiene que
La energía potencial (V) para la masa (m) medida con respecto al suelo es V = mgy. Esto hace
que el lagrangiano se vea de la siguiente forma,
Luego de expandir y simplificar el segundo paréntesis se obtiene la forma final del lagrangiano,
Al considerar un lagrangiano de la forma L(y, ) las ecuaciones de LaGrange a resolver son
dos:
, de la cual se obtiene y cuya solución es
Figura 2
P
m
O
b
x
θ
y
b
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x = x0 + v0x(t – t0) (*)
, de la cual se obtiene y cuya solución es
(**)
Si ahora despejamos la expresión de x (*) para la variable (t – t0) y sustituimos el resultado en
la expresión para la solución en y (**) obtendremos
Si ahora usamos las siguientes sustituciones
Y = y – y0
X = x – x0
C1 =
C2 =
obtenemos la ecuación de una parábola para la trayectoria de un objeto fijo sobre una escalera de
masa (m) que se está deslizando sin fricción,
Y = C1 X – C2 X2.
Verificación experimental
Se realizó un análisis, utilizando Logger Pro 3.4.1, de la grabación de una regla de un
metro deslizándose de la misma manera que lo haría la escalera de nuestro problema y mostró los
siguientes resultados.
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1. La línea azul en la gráfica anterior muestra la trayectoria vertical de un punto sobre la regla el
cual se mueve en una trayectoria parabólica. Note que el coeficiente numérico del término
con t2 es igual a – 4.003 m/s
2 según la gráfica y que en la ecuación para la trayectoria
vertical,
este coeficiente es m/s2 con aproximadamente un 35% de error. Este
porciento de error no es tan grande si consideramos que había algo de fricción entre la regla y
la mesa en nuestro experimento y que no tomamos en cuenta todos los puntos de la
trayectoria por encontrarse éstos muy cercanos unos con otros, lo cual hacía difícil su
visualización.
2. La trayectoria horizontal del mismo punto, representada en la gráfica por los puntos en rojo,
es lineal como se esperaba,
x = x0 + v0x(t – t0)
y contiene un componente horizontal de la velocidad inicial hacia la izquierda, cuyo valor
según la gráfica es de – 0.1975 m/s. Esto hace que la regla se despegue de la pared en algún
momento y que eventualmente se separe de ella como se muestra en la foto anterior.
3. En cuanto al ángulo al cual la regla se separa de la pared, la teoría desarrollada indica un
ángulo de
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Mientras que del experimento se obtiene que este ángulo es de 40° ± 1° según muestra la
siguiente figura y resulta en un porciento de error de 4.33%.
Conclusión
Demostramos utilizando las ecuaciones de LaGrange que un objeto localizado sobre una
escalera que se desliza sin fricción mientras está en contacto con una pared se despega de la
pared a un ángulo de . También demostramos que la trayectoria seguida por cualquier
punto (objeto) sobre la escalera es una parábola. Verificamos experimentalmente estos
resultados obteniendo una concordancia aceptable entre la teoría y la situación real.
En cuanto al análisis del mismo problema realizado con sus estudiantes por el Dr.
Orlando Planchart, la simulación hecha en Cabri II no contempla el detalle de que al
desprenderse la escalera de la pared la elipse se abre convirtiéndose en una parábola. Sin
embargo, dicha modelación hecha en Cabri II ilustra muy bien lo que sucedería en el caso en el
cual la escalera se mantiene en contacto todo el tiempo con la pared. Además, es curioso que
uno de los estudiantes entrevistados en la investigación del Dr. Planchart con respecto a la
trayectoria que nos ocupa describiera correctamente que en algún momento la escalera estaría en
caída libre y que la trayectoria general sería la de una parábola. El Dr. Planchart realizó un
excelente trabajo de investigación, ya que más allá de sus propósitos originales, permitió
evidenciar que los procesos cognitivos de los estudiantes se basan en alguna medida en los
conocimientos y experiencias previas que éstos poseen.
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Referencias
Planchart Márquez, O. (2009). Estudio de un problema: El gato y la escalera. El lugar
geométrico. Revista 360ο (4).
Carlos Oliveras Martínez, [email protected]. Catedrático Asociado, Universidad Interamericana de
Puerto Rico – Recinto de Ponce.