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1Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas
Tema: Razonamiento Matemático
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Problemas de razonamiento matemático
• Son problemas que estimulan la habilidad de aplicar las matemáticas para resolver problemas en situaciones de la vida diaria.
• Estimulan la habilidad para procesar, analizar y utilizar información en la Aritmética, el Álgebra y la Geometría en la solución de un problema.
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Problemas de razonamiento matemático
• Generalmente, un problema de este tipo plantea una pregunta y fija ciertas condiciones.
• Entonces, con base en esta información se debe hallar un número u otra clase de entidad matemática que cumpla con las condiciones fijadas y posibilite la resolución de la incógnita.
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Ejercicios
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Ejercicio 1: Construir una carretera
Un ingeniero civil es responsable de construir unaintersección de concreto donde una autopista nuevacruzará una existente. El concreto es hecho de cemento,arena y grava en una proporción 3:6:8. ¿cuánta grava esnecesaria si se quiere construir 850 metros cúbicos deconcreto?
🕑 5 minutos
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Ejercicio 1: SoluciónEL problema ofrece varios datos. De la especificaciónsabemos:
Un ingeniero civil es responsable de construir unaintersección de concreto donde una autopista nuevacruzará una existente. El concreto es hecho de cemento,arena y grava en una proporción 3:6:8 respectivamente,¿cuánta grava es necesaria si se quiere construir 850metros cúbicos de concreto?
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SoluciónSea x la cantidad de material que se usa (en metroscúbicos) para obtener T metros cúbicos de concreto.Entonces:
Cemento + Arena + Grava3x + 6x + 8x = T (1)
El interés es saber cuanto vale 8x cuando T = 850. De laexpresión (1) se sabe que x=850/17=50. Por tanto,
La cantidad de grava necesaria será8x= 8(50)= 400 metros cúbicos de grava.
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Ejercicio 2: Trabajando con plataUna aleación de cobre y plata que contiene 60% deplata pura es mezclada con otra aleación, también deplata y cobre, con un concentrado del 65% de platapura. ¿qué cantidad es requerida de cada tipo dealeación para producir 1.2 kg. de aleación conteniendo62% de plata pura?
🕑 10 minutos
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SoluciónNuevamente, revisemos los datos de los que disponemos:Una aleación de cobre y plata que contiene 60% deplata pura es mezclada con otra aleación, también deplata y cobre, con un concentrado del 65% de platapura. ¿qué cantidad es requerida de cada tipo dealeación para producir 1.2 kg. de aleación conteniendo62% de plata pura?
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SoluciónNuevamente, revisemos los datos de los que disponemos:Una aleación de cobre y plata que contiene 60% deplata pura es mezclada con otra aleación, también deplata y cobre, con un concentrado del 65% de platapura. ¿qué cantidad es requerida de cada tipo dealeación para producir 1.2 kg. de aleación conteniendo62% de plata pura?
W1= peso requerido de aleación al 60%W2 = peso requerido de aleación al 65%RestriccionesW1 + W2 = 1.2 à w2 = 1.2 - w1.6W1 + .65(1.2-W1) = .62(1.2)
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SoluciónNuevamente, revisemos los datos de los que disponemos:Una aleación de cobre y plata que contiene 60% deplata pura es mezclada con otra aleación, también deplata y cobre, con un concentrado del 65% de platapura. ¿qué cantidad es requerida de cada tipo dealeación para producir 1.2 kg. de aleación conteniendo62% de plata pura?
W1= peso requerido de aleación al 60%W2 = peso requerido de aleación al 65%RestriccionesW1 + W2 = 1.2 à w2 = 1.2 - w1.6W1 + .65(1.2-W1) = .62(1.2)
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SoluciónNuevamente, revisemos los datos de los que disponemos:Una aleación de cobre y plata que contiene 60% deplata pura es mezclada con otra aleación, también deplata y cobre, con un concentrado del 65% de platapura. ¿qué cantidad es requerida de cada tipo dealeación para producir 1.2 kg. de aleación conteniendo62% de plata pura?
W1= peso requerido de aleación al 60%W2 = peso requerido de aleación al 65%RestriccionesW1 + W2 = 1.2 à w2 = 1.2 - w1.6W1 + .65(1.2-W1) = .62(1.2)
Resolviendo ambas ecuacionestenemos que:
W1 = 0.72 kgW2 = 0.48 Kg.
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Ejercicio 3: PaqueteríaEn una empresa de paquetería deben diseñar unacaja con forma de prisma rectangular, basecuadrada y sin tapa. La caja debe tener lasdimensiones que garanticen la máxima capacidadde almacenamiento, utilizando 3 metros cuadradosde cartón. Encuentre esas dimensiones.
🕑 15 minutos
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SoluciónLa base es cuadrada, definamos X como cada ladode este cuadrado y sea Y la altura de la caja.Entonces, cada lado de la caja tiene dimensiones Xpor Y.Como la caja tiene cuatro lados y una base, el áreadel material (en m2) es:
Y el volumen de la caja es descrito por
despejando Y en la ecuación del área:
y sustituyendo Y en V da:
V = X2Y
Y =�1
4X +
3
4X
A = 4XY + X2 = 3
V = X2(�1
4X +
3
4X)
V =�1
4X3 +
3
4X
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Solución, continuaciónSabemos que si resolvemos dV/dX e igualamos a 0,obtenemos los máximos y mínimos de la ecuación,entonces.
Sustituyendo X en la ecuación del área,
Por tanto, las dimensiones de la caja con mayorvolumen son: 1mts. x 1mts. x 0.5 mts.
dV
dX=
�3
4X2 +
3
4= 0
X2 = 1
Y =�1
4+
3
4=
1
2mts.
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Ejercicio 4: Cubriendo un terrenoSe desea conocer cual es el terreno rectangular de mayor área que se puede rodear con 100 metros de alambre.
🕑 5 minutos
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Ejercicio 4: SoluciónSe desea conocer cual es el terreno rectangular de mayor área que se puede rodear con 100 metros de alambre.
Solución:Sean A y B las longitudes del rectángulo que representa al terreno, el área será X=AB, el perímetro del terreno está dado por Y=2A+2B
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ContinuaciónComo el perímetro posible de cubrir por el alambre es igual a 100 mts.:
100=2A+2B, despejando para A,A=50-B, sustituyendo A en la ecuación del área
haciendo dX/dB=0
entonces B=25 metros,Si el perímetro es 100=2A+2B, entonces A=25 mts.Finalmente, el área máxima será
X = (50�B)B = 50B �B2
AB = 252 = 625mts.2.
dX
dB= 50� 2B = 0
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Ejercicio 5: Mira telescópicaUna mira telescópica instalada en un rifle de largoalcance tiene la capacidad de ajustar el punto deimpacto de la bala en incrementos (clicks) de 0.25 MOAsen la horizontal y en la vertical; la mira tiene una perillapara cada dirección. 1 MOA (minute of arc) es unamedida angular equivalente a 1/60 grados ó pi/10800radianes. Determine la expresión matemática quecalcula el número de clicks necesarios para ajustar unamira en función de la distancia de tiro (en metros) y ladesviación del impacto con respecto al blanco (encentímetros).
🕑 10 minutos
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SoluciónConsidere una distancia de tiro d (mts.) y una desviación del proyectil f (mts.). Desde el sitio del disparo se formará un triángulo rectángulo de la siguiente forma: d
f
El ángulo θ formado debido a la desviación de la bala tiene la tangente igual a:
tan(θ)= f/d
θ
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Continuación
✓ = arctanf
drad
d
f
θ en términos de MOA (1 MOA = pi/10800 radianes)
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Continuación
θ en términos de MOA (1 MOA = pi/10800 radianes)
✓ = arctanf
drad
d
f
Ajuste = 4(arctanf
d)/(
pi
10800),
Pero el ajuste es de 0.25 MOA, si expresamos elángulo en clicks tenemos que multiplicar por 4:
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Continuación
θ en términos de MOA (1 MOA = pi/10800 radianes)
✓ = arctanf
drad
d
f
Ajuste = 4(arctanf
d)/(
pi
10800),
Pero el ajuste es de 0.25 MOA, si expresamos elángulo en clicks tenemos que multiplicar por 4:
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Continuación
Pero sabemos que arctan(f/d)=(f/d) para d muy grande con respecto a f. En estecaso es posible aplicar la igualdad porque las distancias de tiro son muchomayores a las desviaciones típicas en un disparo.
Ajuste = 4(arctanf
d)/(
pi
10800),
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Continuación
Pero sabemos que arctan(f/d)=(f/d) para d muy grande con respecto a f. En estecaso es posible aplicar la igualdad porque las distancias de tiro son muchomayores a las desviaciones típicas en un disparo.
Ajuste = 4(arctanf
d)/(
pi
10800),
Ajuste = 4(f
d)/(
⇡
10800)
Ajuste = 410800f
⇡d
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Continuación
Pero sabemos que arctan(f/d)=(f/d) para d muy grande con respecto a f. En estecaso es posible aplicar la igualdad porque las distancias de tiro son muchomayores a las desviaciones típicas en un disparo.
Ajuste = 4(arctanf
d)/(
pi
10800),
Ajuste = 4(f
d)/(
⇡
10800)
Ajuste = 410800f
⇡d
con d en metros y f en centímetros, entonces escalamos en 100 a dquedando:
Ajuste =432f
⇡d
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Ejercicio 6: Número de mujeresEn un grupo hay 54 estudiantes, entre hombres y mujeres.A 1/4 de los varones les gusta Historia. También se hasabido que a los 4/7 de los varones les encantaRazonamiento Matemático. ¿Cuántas mujeres estudianen el aula?
🕑 10 minutos
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SoluciónDe la descripción se sabe que:
El número de varones tiene cuarta parte (el númerode varones es divisible entre 4)
El número de varones tiene séptima parte (el númerode varones es divisible entre 7)
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SoluciónDe la descripción se sabe que:
X = número de hombresY = número de mujeresX + Y = 54
X es divisible por 4 y por 7. Es decir el máximo cómundivisor de X es 4*7 = 28. De aquí se desprende que Xdebe ser múltiplo de 28.X no puede ser 56 (2*28) ya que no cumple el númerode estudiantes es 54.Por lo tanto = 28 y Y = 54 – 28 = 26
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31Proceso de Admisión 2019
Ejercicio 7: ManzanasSi en medio kilogramo de manzanas se puede tenerde 4 a 6 manzanas, ¿cuál es el menor peso quepuede obtenerse con 9 docenas de ellas?
🕑 10 minutos
32Proceso de Admisión 2019
SoluciónSi en medio kilogramo de manzanas se puede tenerde 4 a 6 manzanas, ¿cuál es el menor peso quepuede obtenerse con 9 docenas de ellas?
SoluciónEl menor peso se tendrá cuando se utilice el mayornúmero de manzanas por unidad de peso, en estecaso 6 por 0.5 kg. ó 12 por 1 kg.Si 9 docenas es igual a 108 manzanas, entonces,usando la mayor cantidad de manzanas por,digamos, kilogramo:108/12= 9 kg.
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Ejercicio 8: PolíticosCierta convención reunía a cien políticos. Cada políticoera o bien deshonesto o bien honesto. Se dan los datos:• a) Al menos uno de los políticos era honesto.• b) Dado cualquier par de políticos, al menos uno de
los dos era deshonesto. ¿Puede determinarsepartiendo de estos dos datos cuántos políticos eranhonestos y cuántos deshonestos?
🕑 10 minutos
34Proceso de Admisión 2019
SoluciónLa condición b), implica que cualquier combinación detodas las posibles siempre tendrá AL MENOS undeshonesto, esto es, algunas veces serán los dosdeshonestos y nunca 2 honestos, entonces la respuestaes que uno es honesto y 99 deshonestos.
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Ejercicio 9: CiclistasDos ciclistas avanzan uno hacia otro por una mismacarretera. Sus velocidades son 20 km/h y 15 km/h. Si losseparan 78 km. ¿Cuánto tardarán para encontrarse?Solución
🕑 10 minutos
36Proceso de Admisión 2019
Ejercicio 9: CiclistasDos ciclistas avanzan uno hacia otro por una mismacarretera. Sus velocidades son 20 km/h y 15 km/h. Si losseparan 78 km. ¿Cuánto tardarán para encontrarse?SoluciónSi cada hora avanzan 20 y 15 km cada uno, se plantea laecuación que suma los recorridos para obtener 78 km:20X+15X=78, entonces X=78/35, les tomará 2 horas, 13minutos y 42 segundos aproximadamente.
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Ejercicio 10: PersecuciónUn auto sale de una ciudad a una velocidad de 100km/h a las 12:00 hrs., otro auto sale en su persecuciónacelerando a razón de 100 km/h2 a las 14:00 hrs. ¿A quehora aproximada el segundo auto alcanzará al primero?
🕑 15 minutos
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SoluciónSabemos que la distancia de un cuerpo en movimientoes igual a la integral de su velocidad. Entonces para elprimer auto que viaja a 100 km/h, la ecuación quemodela la distancia recorrida es:
D1 =
Z100dx = 100x
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39Proceso de Admisión 2019
ContinuaciónSabemos también que la velocidad es la integral de laaceleración, entonces, para el caso del segundo auto ladistancia recorrida está dada por:
Para el caso que nos ocupa, a D1 se debe sumar 2, dadoque el primer auto salió 2 horas antes que el segundo.
D2 =
Z Z100dxdx = 50x2
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ContinuaciónConsiderando que el punto donde el segundo autoalcanza al primero es cuando ambos han recorrido lamisma distancia, se igualan las dos expresiones y seresuelve el polinomio:
Las raíces son x1=2.0198 y x2=-0.0198, dado que aúnno podemos viajar en el tiempo hacia el pasado, elsegundo auto alcanzará al primero a las 16:00 hrs.aproximadamente.
50x2 = 100x+ 2,
50x2 � 100x� 2 = 0
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Fin de la sesión del día de hoy