Estadstica II

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ContenidoContenidoANLISIS DE SERIES DE TIEMPO4COMPONENTES DE UNA SERIE TEMPORAL.5CLASIFICACIN DE SERIES TEMPORALES5DEFINICIN DE SERIE DE TIEMPO6MODELOS CLASICOS DE SERIES DE TIEMPO8MODELOS DE DESCOMPOSICIN8ANLISIS DE TENDENCIA9ESTIMACIN DE LA TENDENCIA11AJUSTE DE UNA FUNCIN12EJERCICIO:13TECNICAS DE SUAVIZAMIENTO15MTODO DE MEDIA MVIL15SUAVIZAMIENTO FILTROS LINEALES16GLOSARIO:18

ANLISIS DE SERIES DE TIEMPO

Toda institucin, ya sea la familia, la empresa o el gobierno, tiene que hacer planes para el futuro si ha de sobrevivir y progresar.Hoy en da diversas instituciones requieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenmenos con el fin de planificar, prever o prevenir.Son innumerables las aplicaciones que se pueden citar, en distintas reas del conocimiento, tales como, en economa, fsica, geofsica, qumica, electricidad, en demografa, en marketing, en telecomunicaciones, en transporte, etc.Podran ser Series De Tiempo las siguientes series:1) Series econmicas: Precios de un artculo Tasas de desempleo Tasa de inflacin ndice de precios, etc.

2) Series Fsicas: Meteorologa Cantidad de agua cada Temperatura mxima diaria Velocidad del viento (energa elica) Energa solar, etc.3) Geofsica: Series sismologas4) Series demogrficas: Tasas de crecimiento de la poblacin Tasa de natalidad, mortalidad Resultados de censos poblacionales

5) Series de marketing: Series de demanda, gastos, ofertas

6) Series de telecomunicacin: Anlisis de seales

7) Series de transporte: Series de trfico Uno de los problemas que intenta resolver las series de tiempo es el de prediccin.Esto es dado una serie {x(t1),...,x(tn)} nuestros objetivos de inters son describir el comportamiento de la serie, investigar el mecanismo generador de la serie temporal, buscar posibles patrones temporales que permitan sobrepasar la incertidumbre del futuro.En adelante se estudiar como construir un modelo para explicar la estructura y prever la evolucin de una variable que observamos a lo largo del tiempo.La variables de inters puede ser macroeconmica (ndice de precios al consumo, demanda de electricidad, series de exportaciones o importaciones, etc.), microeconmica (ventas de una empresa, existencias en un almacn, gastos en publicidad de un sector), fsica (velocidad del viento en una central elica, temperatura en un proceso, caudal de un ro, concentracin en la atmsfera de un agente contaminante), o social (nmero de nacimientos, matrimonios, defunciones, o votos a un partido poltico).COMPONENTES DE UNA SERIE TEMPORAL.El anlisis clsico de las series temporales se basa en la suposicin de que los valores que toma la variable de observacin es la consecuencia de tres componentes, cuya actuacin conjunta da como resultado los valores medidos, estos componentes son:a.- Componente tendencia.- Se puede definir como un cambio a largo plazo que se produce en la relacin al nivel medio, o el cambio a largo plazo de la media. La tendencia se identifica con un movimiento suave de la serie a largo plazo.b.- Componente estacional.- Muchas series temporales presentan cierta periodicidad o dicho de otro modo, variacin de cierto perodo (semestral, mensual, etc.). Por ejemplo las Ventas al Detalle en Puerto Rico aumentan por los meses de noviembre y diciembre por las festividades navideas. Estos efectos son fciles de entender y se pueden medir explcitamente o incluso se pueden eliminar de la serie de datos, a este proceso se le llama desestacionalizacin de la serie.c.- Componente aleatoria.- Esta componente no responde a ningn patrn de comportamiento, sino que es el resultado de factores fortuitos o aleatorios que inciden de forma aislada en una serie de tiempo.De estos tres componentes los dos primeros son componentes determinsticos, mientras que la ltima es aleatoria.CLASIFICACIN DE SERIES TEMPORALESa.- Estacionarias.- Una serie es estacionaria cuando es estable a lo largo del tiempo, es decir, cuando la media y varianza son constantes en el tiempo. Esto se refleja grficamente en que los valores de la serie tienden a oscilar alrededor de una media constante y la variabilidad con respecto a esa media tambin permanece constante en el tiempo.b.- No estacionarias.- Son series en las cuales la tendencia y/o variabilidad cambian en el tiempo. Los cambios en la media determinan una tendencia a crecer o decrecer a largo plazo, por lo que la serie no oscila alrededor de un valor constante.

DEFINICIN DE SERIE DE TIEMPOEn muchas reas del conocimiento las observaciones de inters son obtenidas en instantes sucesivos del tiempo, por ejemplo, a cada hora, durante 24 horas, mensuales, trimestrales, semestrales o bien registradas por algn equipo en forma continua.LlamamosSerie de Tiempoa un conjunto de mediciones de cierto fenmeno o experimento registradas secuencialmente en el tiempo.Estas observaciones sern denotadas por {x(t1), x(t2), ..., x(tn)} = {x(t):tTR} conx(ti)el valor de la variablexen el instanteti.Si T = Z se dece que la serie de tiempo es discreta y si T = R se dice que la serie de tiempo es continua.Cuandoti+1- ti= k para todoi= 1,...,n-1, se dice que la serie es equiespaciada, en caso contrario ser no equiespaciada.En adelante se trabajar con series de tiempo discreta, equiespaciadas en cuyo caso asumiremos y sin prdida de generalidad que: {x(t1), x(t2), ..., x(tn)}= {x(1), x(2),...,x(n)}.

PRIMER PASO AL ANALIZAR CUALQUIER SERIE DE TIEMPOEl primer paso en el anlisis de series de tiempo, consiste en graficar la serie. Esto nos permite detectar las componentes esenciales de la serie.El grfico de la serie permitir:a) Detectar Outlier: se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal.Un outliers es una observacin de la serie que corresponde a un comportamiento anormal del fenmeno (sin incidencias futuras) o a un error de medicin.Se debe determinar desde fuera si un punto dado es outlier o no.Si se concluye que lo es, se debe omitir o reemplazar por otro valor antes de analizar la serie.Por ejemplo, en un estudio de la produccin diaria en una fabrica se present la siguiente situacin ver figura 1.1:

Figura 1.1

Los dos puntos enmarcados en un crculo parecen corresponder a un comportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondan a dos das de paro, lo que naturalmente afect la produccin en esos das.El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando.b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento predominante de la serie.Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo (ver figura 1.2).

c) Variacin estacional: la variacin estacional representa un movimiento peridico de la serie de tiempo.La duracin de la unidad del periodo es generalmente menor que un ao.Puede ser un trimestre, un mes o un da, etc (ver figura 1.3).Matemticamente, podemos decir que la serie representa variacin estacional si existe un nmerostal quex(t)=x(t + ks).Las principales fuerzas que causan una variacin estacional son las condiciones del tiempo, como por ejemplo:1) en invierno las ventas de helado2) en verano la venta de lana3) exportacin de fruta en marzo.Todos estos fenmenos presentan un comportamiento estacional (anual, semanal, etc.)

Figura 1.3d) Variaciones irregulares (componente aleatoria):los movimientos irregulares (al azar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cclicas.

MODELOS CLASICOS DE SERIES DE TIEMPOMODELOS DE DESCOMPOSICINUn modelo clsico para una serie de tiempo, supone que una seriex(1), ..., x(n)puede ser expresada como suma o producto de tres componentes:tendencia,estacionalidady un trmino deerror aleatorio.Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados.Estos son:1) Aditivo:X(t) = T(t) + E(t) + A(t)2) Multiplicativo:X(t) = T(t) E(t) A(t)3) Mixto:X(t) = T(t) E(t) + A(t)Donde:X(t)serie observada en instantetT(t)componente de tendenciaE(t)componente estacionalA(t)componente aleatoria (accidental)Una suposicin usual es queA(t)sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante.Un modelo aditivo, es adecuado, por ejemplo, cuandoE(t)no depende de otras componentes, comoT(t), s por el contrario la estacionalidad vara con la tendencia, el modelo ms adecuado es un modelo multiplicativo.Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos.El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.La figura 2.1 ilustra posibles patrones que podran seguir series representadas por los modelos (1), (2) y (3).

ANLISIS DE TENDENCIALa tendencia secular o tendencia a largo plazo de una serie es por lo comn el resultado de factores a largo plazo. En trminos intuitivos, la tendencia de una serie de tiempo caracteriza el patrn gradual y consistente de las variaciones de la propia serie, que se consideran consecuencias de fuerzas persistentes que afectan el crecimiento o la reduccin de la misma, tales como: cambios en la poblacin, en las caractersticas demogrficas de la misma, cambios en los ingresos, en la salud, en el nivel de educacin y tecnologa.

Un ejemplo de cmo se observan las tendencias se encuentra observando este Grfico donde se observa una tendencia en cuanto al crecimiento de usuarios de internet en Mxico que va de 2005 a 2010; ello nos da un patrn del comportamiento de esta serie de tiempo; ahora slo faltara analizar detalladamente con el mtodo de mnimos cuadrados. Para el caso de tendencias a largo plazo, su comportamiento se ajusta a una lnea recta, llamada por esta razn lnea de tendencia, es decir, se aproxima a una ecuacin de recta, que recibe el nombre de ecuacin de tendencia y que es de la forma:

Ejemplo: Clculo de la Tendencia a travs de Mnimos Cuadrados En la siguiente tabla se encuentran los datos de las ventas de los ltimos cinco aos de una empresa del ramo de alimentos:

a) Graficar los datos b) Determinar la ecuacin de tendencia e interpretarla c) Trazar la recta de tendencia d) Pronosticar las ventas para los siguientes dos aos e interpretar el resultado

Se sustituyen los valores en las frmulas respectivas:

y = 6.1 + 1.3tAhora se interpreta de la siguiente manera: Las ventas se expresan en millones de pesos, el origen o ao 0, es 2003 y t aumenta una unidad por ao. El valor 1.3 indica que las ventas aumentan a razn de 1.3 millones de pesos por ao. El valor 6.1 es el de las ventas estimadas cuando t = 0. Es decir, el monto de las ventas estimadas para el ao 2003 es igual a 6.1 millones de pesos. c) Para trazar la recta, se deben tener dos puntos, para el primero de ellos se puede utilizar el valor 6.1 de la ecuacin anterior y el segundo se puede obtener asignando un valor cualquiera a x, dentro del rango del intervalo del que se dispone, por ejemplo 4 (ao 2006) para obtener el valor de y, es decir: y = 6.1 + 1.3t = 6.1+ 1.3 (4) =11.3Con lo que ya se puede trazar la Recta de Tendencia.d) Los dos aos siguientes son 2008 y 2009, que en trminos de los clculos que estamos haciendo son 6 y 7, respectivamente. Pues bien, estos se sustituyen en la Ecuacin de Tendencia y se obtienen los pronsticos requeridos, es decir:y = 6.1 + 1.3t = 6.1+ 1.3 (6) = 13.9y = 6.1 + 1.3t = 6.1+ 1.3 (7) = 15.2Que se interpreta de la siguiente manera: Con base en las ventas anteriores, la estimacin o pronstico para los aos 2008 y 2009, es 13.9 y 15.2 millones de pesos, respectivamente.ESTIMACIN DE LA TENDENCIASupondremos aqu que la componente estacionalE(t)no est presente y que el modelo aditivo es adecuado, esto es:X(t) = T(t) + A(t),dondeA(t)es ruido blanco.Hay varios mtodos para estimarT(t).Los ms utilizados consisten en:1)Ajustar una funcin del tiempo, como un polinomio, una exponencial u otra funcin suave det.2)Suavizar (o filtrar) los valores de la serie.3)Utilizar diferencias.AJUSTE DE UNA FUNCINLos siguientes grficos ilustran algunas de las formas de estas curvas.

1.T(t)= a + bt(Lineal)

2.T(t)= a ebt(Exponencial)

3.T(t)= a + b ebt(Exponencial modificada)

4.T(t)=b0+b1t,...,+bmtm(Polinomial)5.T(t)= exp(a + b(rt))(Gompertz 0 < r < 1)

6.T(t)=(Logstica)

EJERCICIO: En la tabla 2.1 se presentan los datos trimestrales de unidades habitacionales iniciadas en los Estados Unidos desde el tercer trimestre de 2004 hasta el segundo trimestre de 2012.(Es necesario advertir que para el anlisis de tendencia el periodo que se considera debera ser ms largo. Sin embargo, ya que el propsito principal es el de ilustrar el mtodo de descomposicin y las tcnicas para inferir partiendo de los elementos as descompuestos, la insuficiencia de los datos no tiene por qu interesar.)Tabla 2.1: Nuevas unidades habitacionales comenzadas en los Estados Unidos del tercer trimestre de 2004 al segundo trimestre de 2012 (en miles de unidades).

AoIIIIIIIVTotal Anual

2004398352

20052834543923451,474

20062743922902101,166

20072183823823401,322

20082984524233721,545

20093364683873091,500

20102643994083961,467

20113896045795132,085

2012510661

Fuente: U.S. Department of Comerse, Survey of Current Bussiness.Seatcada uno de los 32 trimestres que van de 2004 a 2012, o sea quet= 1 para el tercer trimestre de 2004,t= 2 para el cuarto trimestre, y as sucesivamente.As que el dominio de definicin detes el conjunto de los enteros de 1 a 32 inclusive.SeaT(t)las iniciaciones de viviendas trimestralmente.Los valores detyT(t)se dan en la tabla 2.2.Para calcular los valores deay deben la recta de tendenciaT(t) = a + btSe obtienen las siguientes cifras a partir de los datos de la tabla 2.1.Tabla 2.2: Clculo de la tendencia de las viviendas comenzadas en los Estados Unidos del tercer trimestre de 2004 al segundo trimestre de 2012AotrimestretT(t)Tendencia

2004: 31398291,73

42352298,07

2005: 13283304,41

24454310,75

35392317,09

46345323,43

2006: 17274329,77

28392336,11

39290342,45

410210348,79

2007: 111218355,13

212382361,47

313382367,81

414340374,15

2008: 115298380,49

216452386,83

317423393,17

418372399,51

2009: 119336405,85

220468412,19

321387418,53

422309424,87

2010: 123264431,21

224399437,55

325408443,89

426396450,23

2011: 127389456,57

228604462,91

329579469,25

430513475,59

2012: 131510481,93

232661488,27

Entonces, la recta de tendencia esT (t) = 285,39 + 6,34t

La figura 2.3 muestra grficamentela recta de tendencia ajustada a los datos trimestrales de la tabla 2.2.La recta de trazos despus de 2012 representa proyecciones (ver seccin 3 Predicciones).

Figura 2.3TECNICAS DE SUAVIZAMIENTOLas tcnicas de suavizacin se derivan en varios mtodos que son: Mtodo de Media Mvil Mtodo de Suavizacin Exponencial Simple Mtodo de Suavizacin Exponencial Doble Mtodo de Suavizacin con tendencia y estacionalidadMTODO DE MEDIA MVILIntroduccinEl objetivo de los mtodos a usarse en esta unidad es suavizar a las fluctuaciones aleatorias causadas por el comportamiento irregular de la serie. Estos mtodos resultan apropiados para series estables, es decir, aquellas que no exhiban ningn comportamiento de tendencia, ni variaciones cclicas ni estacionales, adems es conveniente suavizar cuando existen cambios bruscos o movimientos irregulares en la serie.Son relativamente simples y generalmente alcanzan un buen nivel de prediccin en periodos de tiempos cortos.SUAVIZAMIENTO FILTROS LINEALESUna forma de visualizar la tendencia, es mediante el suavizamiento de la serie. La idea central es definir a partir de la serie observada una nueva serie que suavice los efectos ajenos a la tendencia (estacionalidad, efectos aleatorios), de manera que se pueda determinar la direccin de la tendencia. Como se puede observar en la siguiente figura:Un promedio mvil se construye sustituyendo cada valor de una serie por la media obtenida con esa observacin y algunos de los valores inmediatamente anteriores y posteriores.Formula del mtodo de la Media Movil

Ejemplo Con los siguientes datos acerca de lasventasen dlares dela EmpresaMarineritos S.A. durante los ltimos 3 aos tomados en perodos de trimestres:

TrimestreVentas

112

216

320

434

523

619

720

835

911

1019

1124

1236

1) Suavizar los datos empleando el mtodo de los promedios mviles de orden 3 (longitud de 3 perodos).

2) Pronosticar las ventas para el trimestre nmero 13.

3) Suponga que para elGerentede Ventas la ltimaventarealizada es el doble de importante que la penltima, y la antepenltima venta tiene la mitad de importancia que la penltima. Realizar el pronstico de ventas para el trimestre nmero 13 empleando el mtodo de los promedios mviles ponderados de orden 3.

4) Elaborar un grfico en el que consten las ventas y los promedios mviles (ventas suavizadas).

Solucin:1) Elclculode los promedios mviles de orden 3 se presentan en la siguiente tabla:

TrimestreVentasPronstico (Promedios mviles)

112

216(12+16+20)/3 = 16,00

320(16+20+34)/3 = 23,33

434(20+34+23)/3 = 25,67

523(34+23+19)/3 = 25,33

619(23+19+20)/3 = 20,67

720(19+20+35)/3 = 24,67

835(20+35+11)/3 = 22,00

911(35+11+19)/3 = 21,67

1019(11+19+24)/3 = 18,00

1124(19+24+36)/3 = 26,33

1236

2) El ltimovalordel promedio mvil, que en este ejemplo es 26,33, representa el pronstico de las ventas para el trimestre nmero 13, y tericamente para todo trimestre futuro.

3) Reemplazando valores en la frmula de la media aritmtica ponderada se obtiene:

El valor 30,14 es el pronstico de ventas para el trimestre nmero 13.

4) El grfico en el que constan las ventas y los promedios mviles se muestra en la siguiente figura elaborado empleando Excel:

GLOSARIO:FLUCTUACIN.- Acciny elefectode fluctuar; y fluctuar puede definirse como la experimentacin de una variacin de una medida ovalor.TENDENCIA.- Es extender, estirar, tender, tensar, dirigirse a.

VARIACIN ESTACIONAL, ESTACIONARIA O CCLICA.- Permite hallar el valor esperado o pronstico cundo existen fluctuaciones (movimientos ascendentes y descendentes de la variable) peridicas de la serie de tiempo, esto generalmente como resultante de la influencia de fenmenos de naturaleza econmica.

1. Asistente GerenciaRecursos Humanos. Carnisariato solicita ingenieros, CPA, dinmicos, manejo de personal. Currculum: Pedro Pablo Gmez y Los Ros. (El Rancho).1. AsistentePreferible mujer de 25- 35 aos, conocimientos de Word, excel, redes sociales y atencin al cliente, se ofrece estabilidad laboral, todos los beneficios de ley. Enviar hoja de vida: Av. San Jorge #516 y Plaza Dain, Florera Detalles en Flores.1. SecretariaConocimientos de cartera y Contabilidad. Mensajero, bodeguero. Correo: rnimportgye@hotmail.com; 2-515102.1. PersonalCalificado en todas las reas, Cia. Constructora requiere. Enviar documentacin al correo: contactenos@greenbuilder.com.ec o entregar en Alborada 13ava Mz 28 Solar 1 esquina planta alta, frente a C.C. Albo13 hasta el mircoles 22 de julio 2015.1. Auxiliar ContableRequiere empresa alimenticia ubicada en Durn. nicamente con estudios de CPA, disponible para trabajo a tiempo completo. Enviar currculum, con foto color: accounting@ecofrut.com.1. Secretara ContableSe solicita. Informes a los telfono: 2-132974, 2-132947, 0999-050225.1. SecretariaRecepcionista, polifuncional, con conocimientos contables. enviar Currculum a : Victor Emilio Estrada # 1124 y Laureles. 2-887451; 0994-891091.1. Asistente / OficinaSe solicita para trmites aduaneros. Enviar currculum a: info@hyperbolizeec.com; 0979-366590.1. SeoritasPara turnos rotativos, empresa de transporte, conocimientos bsicos utilitarios de windows. dpto.rrhh@translointeg.com.1. Asistente ContableCon experiencia en declaracin de impuestos, IESS, recursos humanos, disponibilidad tiempo completo. Enviar currculum a: kumix.rrhh@gmail.com.1. SeoritasPromotoras actividades julianas centro comerciales, ferias. Curriculum: modelosa_vc@hotmail.com 0987-842236, (04)6038980.1. Asistente Contabley Auxiliar de Secretara solicito, Garca Moreno 1418 y Clemente Balln.

Universidad de Guayaquil Contadura Pblica Autorizada. Pgina 15