analisis de presiones

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

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Autor:

FREDDY HUMBERTO ESCOBAR M., Ph.D.


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Freddy Humberto Escobar Macualo

de esta edicin

Editorial Universidad Surcolombiana

Segunda edicin:

Marzo de 2009

ISBN 958-8154-81-2

Todos los derechos reservados. Prohibida su reproduccin total o parcial Por cualquier medio sin permiso del autor

Diseo de Portada: Oscar Fernando Muoz Chavarro

Fotografa portada:

Oscar Fernando Muoz Chavarro

Diseo y diagramacin: Editorial Guadalupe

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Editorial Universidad Surcolombiana E-mail: [email protected]

Direccin: Avenida Pastrana Carrera 1. Telfono: 875 47 53 Ext. 358

Neiva - Huila - Colombia


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DEDICATORIAS

Con especial cario y aprecio dedico este libro a mi to Jos Demetrio Escobar y su descendencia, quienes estoy seguro estarn orgullosos por mis logros. Esta dedicatoria es tambin extensiva con mi mayor respeto, cario y gratitud a su esposa Gloria Celis Granados de Escobar, quien me ense mis primeras letras; a su hija Doris Elvira Escobar Celis junto con su esposo Carlos Julio Reyes Chacn e hijos Euder Fabin y Estefana; a su hija Zulmy Yazmn Escobar Celis, junto con su esposo Humberto Pipico Alvarez Walteros e hijos Sergio Leonardo y Zulmy Karime; a su hijo Demetrio Alfonso Jojo Escobar Celis (Q.E.P.D.) y a su hija Luz Marina Mazuera C.elisjunto con sus hijos y nietos.


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AGRADECIMIENTOS

Deseo expresar mi gratitud a mis estudiantes, colaboradores y amigos que han contribuido al desarrollo de mis investigaciones durante la vigencia del Grupo de Investigaciones en Pruebas de Pozos, GIPP y durante mis estudios doctorales. Entre ellos se destacan: Oscar Fernando Muoz Chavarro, Yuly Andrea Hernndez Corts, Claudia Marcela Hernndez Corts, Juan Miguel Navarrete Bonilla, Robin Fernando Aranda Aranda, John Fredy Herrera Rincn, Daniel Augusto Gutierrez Arciniegas, Walter Nuez Garca, Katherine Moncada Ceballos, y Miguel Danilo Molina Bohrquez. Mi gratitud es igualmente extendida al Ing. Oscar Fernando Muoz Chavarro por la colaboracin y dedicacin recibida en el diseo de la portada y a la Editorial Universidad Surcolombiana por permitirme la posibilidad de la publicacin del presente libro. En forma muy especial y con un profundo agradecimiento quiero extender una calurosa gratitud al Dr. Alhim Adonai Vera Silva por su valiosa colaboracin en escribir el prlogo de este libro en una forma tan potica, expresiva, humana, cariosa, desinteresada y espontnea, en el que resume la temtica de este libro para un pblico no tcnico. Tarea difcil, pero no imposible para un hombre del talento e inteligencia del Dr. Vera, ya que en otras cosas es un hombre de letras y desconoca el lenguaje tcnico petrolero y tuvo que tomarse la molestia de hacer un curso intensivo de Ingeniero de Petrleos. Dios bendiga al Dr. Vera Silva por su valioso aporte y por las dems obras maravillosas que el hace. Valga la pena mencionar, que es un gran talento que reside en nuestra Universidad Surcolombiana.

A mi adorada esposa Matilde Montealegre Madero por su compaa, ternura, ayuda y apoyo en el GIPP, al igual que a mis hijitos Jennifer Andrea y Freddy Alonso Escobar Montealegre quienes constituyen el regalo ms grande que Dios me ha dado. Finalmente, pero no significa que sea lo ltimo, mis eternos agradecimientos al Dios Padre Todopoderoso, a Jesucristo su hijo, al Espritu Santo y a Mara Santsima por todo lo maravilloso que han hecho y harn en mi vida desde el 3 de Junio de 1965.


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INTRODUCCION

Este texto contiene la programtica, objetivos y actividades a desarrollar en un curso de pregrado o posgrado de Anlisis de Presiones de Fondo, el cual sirve a los estudiantes como texto gua y herramienta fundamental en el desarrollo de sus actividades acadmicas. Este trabajo recopila informacin de varios libros y artculos tcnicos relacionados con el tema en cuestin existentes en la literatura desde 1960 hasta la actualidad, al igual que los resultados investigativos del autor en los ltimos 8 aos, toda vez que rene algunas de sus experiencias en el rea de presiones de fondo e incluye sus aportes recientes que l ha hecho a esta rama de la ciencia y algunos aportes logrados por el Grupo de Investigaciones en Pruebas de Pozos, GIPP, liderado por el autor. La introduccin del flujo parablico y dual lineal presente en yacimientos alongados es uno de los grandes aportes que se hace a la ciencia de la interpretacin de transientes de presin. Con el respeto que merecen muchos de los autores que han hecho sus contribuciones precediendo a este autor, con el firme convencimiento de enriquecer la Ingeniera de Yacimientos y particularmente el tema de las presiones de pozo, ste no es un libro ms de pruebas de pozos; este es un libro de anlisis moderno de presiones de fondo y por ello se hace nfasis en la aplicabilidad de una tcnica moderna y revolucionaria que permite la interpretacin prctica de los transientes de presin sin el empleo de las curvas tipo. El lector se preguntar que siendo la Ingeniera de Petrleos una ciencia con tan pocas herramientas, se estn eliminando las pocas que existen? La respuesta es un no rotundo!. Se presenta una nueva alternativa para evitar en lo posible el uso de curvas tipo, debido a lo engorroso y riesgoso de su uso. La nueva alternativa es mucho ms prctica y de fcil uso y actualmente todo su proceso investigativo se haya en la edad adulta y que prcticamente todos los casos posibles encontrados en la naturaleza, relacionados con presiones de pozos, son cubiertas por la metodologa que aqu se enfatiza. El lector podr definir bajo su propio criterio la decisin de su uso. Por ello, el libro presenta un compendio de las diferentes y principales tcnicas presentadas en la literatura para poder establecer comparaciones con la tcnica materia de este libro. Algunos aspectos como pozos de gas, pozos horizontales, anisotropa, entre otros, estn fuera del alcance de este libro y formarn parte de un futuro texto investigativo del autor. El contenido de este libro se enmarca en ocho captulos. El primero de ellos se orienta a la descripcin del flujo de fluidos en medios porosos. All se estudian los conceptos bsicos del anlisis de pruebas de presin y el principio de superposicin, as como la deduccin y solucin de la ecuacin de difusividad con sus limitaciones y aplicaciones. Este captulo es supremamente vital para entender los restantes 8 captulos. El captulo dos se centra en el estudio de pruebas de declinacin de presin, completamiento parcial y penetracin parcial, pruebas multirata y yacimientos


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lineales. En ste, tambin se presentan los fundamentos de almacenamiento y dao, al igual que una introduccin a los regimenes de flujo, incluyendo, en pozos horizontales. En este captulo se emplearn todas las tcnicas existentes para interpretar pruebas de pozos incluyendo desde la tcnica de ajuste por curvas tipo (ms antigua) hasta el mtodo moderno llamado Tiabs Direct Synthesis Technique, ms nueva e introducida en 1993. En general, el texto se enfoca con especial atencin en esta tcnica toda vez que no solo es moderna sino tambin de uso muy prctico. El captulo tres estudia las pruebas de restauracin de presin y las diferentes metodologas para su interpretacin. Se notar que una prueba de restauracin de presin, no es ms que un caso particular de una prueba biflujo. Este captulo incluye los mtodos para determinar la presin promedia del yacimiento incluyendo pruebas multitasas. Hasta aqu el autor considera que hay material suficiente para abarcar un curso de pregrado. En el captulo cuatro se estudian las pruebas DST, los mtodos de interpretacin y las tcnicas para determinar las distancias a posibles discontinuidades. El captulo cinco considera las diferentes heterogeneidades que se presentan en los yacimientos y se presentan diversos mtodos para su determinacin. Se hace especial nfasis en la deteccin de una barrera lineal en el radio de drene del pozo. El captulo seis se centra en pruebas mltiples como las de interferencia y pulso. En principio, todos los yacimientos son naturalmente fracturados. Algunos de ellos, cuyas fracturas son demasiado pequeas (microfracturas) se clasifican en el grupo de los yacimientos homogneos. Por sto, el captulo 7 estudia los yacimientos naturalmente fracturados. El captulo 8 est dedicado a los pozos hidrulicamente fracturados. All se estudian los diferentes regimenes de flujo que se presentan en pozos artificialmente fracturados al igual que el concepto de conductividad de fractura y su efecto en los regimenes de flujo. Se hace nfasis especial en la tcnica que elimina el uso de las curvas tipo (Tiabs Direct Synthesis Technique) y se estudian las fracturas de flujo uniforme, conductividad finita e infinita.


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PROLOGO

Para mi es noble el encargo de dedicar unas lneas a la obra prolfica del Dr. Freddy Humberto Escobar Macualo; es el pretexto perfecto para destacar un joven talento investigador colombiano, adscrito a la Facultad de Ingeniera de nuestra Universidad Surcolombiana. Sorprende su juventud, su mpetu y su audacia al explorar los conocimientos de frontera en la industria petrolera mundial que alcanza en la nueva sociedad del conocimientro las crestas ms altas en teorizaciones, tecnologizaciones, digitalizaciones e innovaciones petroleras que desde Newton permiten examinar la naturaleza viviente de los pozos y su caracterizacin. Hablar con el Dr. Freddy Humberto Escobar en el campo de su formacin ltima, Ph.D., es acercarse a la metfora de la vida. La naturaleza es una combinacion de energa y materia que se tranforma por explosiones e implosiones de violencia qumica, y alternancia climtica del universo, donde las solidez, la cristalizacin, la invernez, producen transformaciones en la materia y en la energa, preciosas piedras, y manantiales de petrleo vivo; vida que se mueve entre las arterias de su propio cuerpo, donde la metfora del colesterol obstruye la produccin y fragmenta la complejidad de la naturaleza, que ms alla de mutaciones mecnicas de energa y materia. El hombre como expresin de la evolucin compleja del universo, ha alcanzado la sntesis del universo; la capacidad de simbolizar la realidad de donde procede, a travs de la inteligencia socializada en cdigos de comunicacin, imgenes, alfabetos, hbitos, oralidad, escritura, dibujo, pintura, escultura, sonido, prototipo, mapa, teora, frmula, tecnologa, e innovacin, patente entre otros. El hombre se atreve a simbolizar la realidad, quiere explicarla, quiere poseerla, quiere transformarla. El hombre tiene la audacia de buscar la propia explicacion de la vida y de los factores asociados para su perpetuacin y uno de esos factores tiene que ver con el aceite de roca, mejor conocido como petrleo. El mbito de la ingenera le ha permitido al hombre examinar la naturaleza de las tecnologas, crear simbolizaciones, elaborar conceptualizaciones, confrontar teorizaciones, plantear hiptesis, desarrollar estrategias, matematizar relaciones, identificar variables, precisar indicadores, fijar normas, concertar estandares e instrumentos, desarrollar frmulas, plantear leyes y cumplir principios que rigen en forma relativa las ciencias fsicas. El Dr. Escobar indaga a Newton, uno de los iniciadores de la teoriazacin en el anlisis o interpretacin de pruebas de presin que forma parte de la evaluacin de formaciones, que a su vez se vuelca dentro de la ingeniera de yacimientos, que junto con la ingeniera de perforacin y la ingeniera de produccin, constituyen el cuerpo cientfico tecnolgico de la Ingeniera de Petrleos.


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El Dr. Freddy Humberto Escobar Macualo, no solo consulta la historia del conocimiento newtoniano, sino que la desborda con su rebelda y espritu inquisidor, pide explicaciones tericas al comportamiento de los pozos, actividad imprescindible en la industria petrolera. Estos comportamientos nos dice el Dr. Escobar, se fundamentan en la tercera ley de Newton (accin y respuesta) y consiste en crear una perturbacin (abrir o cerrar el pozo) en un pozo y medir su presin (normalmente en el fondo). Este registro de presin contra tiempo es interpretado por el ingeniero haciendo uso de grficos cartesianos, semilogartmicos, y otros, para determinar porciones que indican diferentes comportamientos del yacimiento y con ello comprobar diferentes caractersticas, que lo hacen atractivo o no para la industria petrolera que mueve millones de dolares por segundo en el mundo. No solo es destacable la inteligencia, la audacia y la juventud del Dr. Escobar, sino la capacidad de trabajo que le ha permitido ser uno de los discipulos del Dr. Djebbar Tiab de la Universidad de Oklahoma, quien a comienzos de la dcada de los 90s, introdujo la ltima tcnica para interpretar pruebas de presin. Esta tcnica revolucionaria usa puntos caractersticos (huellas dactilares) que se hallan en el grfico de la presin y la derivada de presin para obtener de forma directa (sin uso de costosos simuladores) los parmetros caractersticos del yacimiento. Este es el eje sobre la cual se levanta el libro Anlisis Moderno de Pruebas de Pozos del Dr. F.H. Escobar y sobre esa temtica es que se ha enfocado su mayor investigacin, a travs de la cual se han hecho grandes aportes a la ciencia de los hidrocarburos a nivel mundial, como es el caso de la mejor forma para caracterizar yacimientos alargados y la introduccin de un nuevo regimen de flujo bautizado como Parablico en virtud a su geometra, nombre salido del seno del grupo de investigaciones en pruebas de pozos, GIPP, liderado por el Dr. Escobar en la Universidad Surcolombiana. Las pruebas de presin que el Dr. Escobar desarrolla con el Grupo de Investigaciones en Pruebas de Pozos (GIPP), en la universidad Surcolombiana tienen mltiples aplicaciones. Entre otros se pueden mencionar: determinar los lmites del yacimiento (obviamente reservas de hidrocarburos), establecer la comercialidad de un pozo, determinar la capacidad productiva (permeabilidad) de la roca productora, hallar distancias a fallas y a otras barreras, determinar la presin promedia del yacimiento, un parmetro cuyo conocimiento es tan importante para el ingeniero como la presin arterial del paciente lo es al mdico) y cuantificar el dao. El dao es causado por muchos factores tales como la invasin del lodo de perforacin, crecimiento bacteriano, precipitacin de finos, precipitacin de compuestos orgnicos presentes en el crudo (colesterol de los crudos) ocasionando taponamientos de los poros de la roca y de la tubera, entre otros. Los campos de investigacion del GIPP se pueden sintetizar en: yacimientos naturalmente fracturados; yacimientos sensibles a los esfuerzos; anlisis de presiones de fondo; evaluacin de tcnicas de derivacin de datos de presin; interpretacin de


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pruebas de presin; pruebas de presin en yacimientos gasferos; optimizacin de produccin; redes neuronales; ingeniera de yacimientos y petrofsica. En escencia, el Dr. Escobar desarrolla investigacin para mejorar la productividad de los yacimientos de hidrocarburos por medio de la apropiacin, aplicacin, produccin del conocimiento en el rea del anlisis e interpretacin de presiones de pozos, yacimientos naturalmente fracturados y yacimientos sensibles a los esfuerzos que permiten una caracterizacin ms prctica y confiable de las formaciones de hidrocarburos, una de las prioridades de la investigacion tranversal en el campo petrolero. Para los acadmicos amantes de la investigacion de frontera, el libro del Dr. Freddy Humberto Escobar Macualo es un excelente texto de consulta producto de la investigacin, que enriquece la mirada en este mundo complejo de la industria petrolera mundial. ALHIM ADONAI VERA SILVA Profesor Universidad Surcolombiana desde 1983 Categora Titular Licenciado en Ciencias de la Educacin, Especialidad Pedagoga, Universidad de Pamplona Especializacin en Pedagoga, Universidad de Pamplona Magster en Investigacin y Tecnologa Educativas, Pontificia Universidad Javeriana Doctorado en educacin Lnea Educacin Superior Comparada, Universidad Autnoma de Morelos, Mxico


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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION....................................................................................................................... 5 1. FUNDAMENTOS GENERALES....................................................................................... 15 1.1. CONCEPTOS BSICOS................................................................................................... 15 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIN............................................... 21 1.3. ECUACIN DE DIFUSIVIDAD...................................................................................... 23 1.3.1. MTODO I ..................................................................................................................... 23 1.3.2. MTODO II.................................................................................................................... 27 1.3.3. LIMITACIONES DE LA ECUACIN DE DIFUSIVIDAD....................................... 28 1.3.4. SOLUCIN DE LA LNEA FUENTE ......................................................................... 35 1.4. FACTORES ADIMENSIONALES................................................................................... 41 1.4.1. ECUACIN DE DIFUSIVIDAD EN FORMA ADIMENSIONAL........................... 45 1.4.2. SOLUCIN DE LA INTEGRAL EXPONENCIAL, EI .............................................. 49 1.5. APLICACIN DE LA SOLUCIN DE LA ECUACIN DE DIFUSIVIDAD ............ 51 1.6. DISTRIBUCION DE PRESION ...................................................................................... 57 1.7. DAO A LA FORMACIN (POZO) .............................................................................. 58 1.8. FLUJO DE GAS................................................................................................................ 61 1.9. FUNCIN DE DERIVADA DE PRESIN ..................................................................... 72 1.9.1. DEDUCCIN DE LA DERIVADA DE LA PRESIN .............................................. 72 1.9.2. CONVERSIN DE LA ECUACIN DE DERIVADA DE PRESIN A UNIDADES DE CAMPO......................................................................................................... 73 1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA.......................................................... 77 1.10.1. DIFERENCIA FINITA CENTRAL............................................................................ 77 1.10.2. ECUACIN DE HORNE............................................................................................ 77 1.10.3. ECUACIN DE BOURDET Y COLABORADORES.............................................. 78 1.10.4. ECUACIN DE CLARK Y VAN GOLF-RACHT ................................................... 78 1.10.5. ECUACIN DE SIMMONS....................................................................................... 78 1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN................................................................................ 79 1.11.1. SUPERPOSICIN EN ESPACIO............................................................................... 81 1.11.2. SUPERPOSICIN EN TIEMPO ................................................................................ 83 1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO ....................... 85 1.12.1. POZO UNICO CERCA A UNA FALLA SELLANTE ............................................. 85 1.12.2. POZO CERCA A UNA BARRERA DE FLUJO O LNEA DE PRESIN CONSTANTE (EMPUJE DE AGUA)..................................................................................... 86 1.12.3. POZO EN MEDIO DE DOS FALLAS QUE SE INTERCEPTAN........................... 86 2. PRUEBAS DE DECLINACIN DE PRESIN ................................................................ 92 2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE) ............................................ 92 2.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE..................... 98 2.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY.............................................102 2.3.1. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE RAMEY, PROCEDIMIENTO ..........................104


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2.3.2. MTODO DE EARLOUGHER..................................................................................107 2.3.3. MTODO SEMILOG ...................................................................................................107 2.4. PRUEBA LMITE DE UN YACIMIENTO (RLT)........................................................117 2.5. CONTROL DE CALIDAD.............................................................................................119 2.6. REGIMENES DE FLUJO...............................................................................................119 2.7. POZOS HORIZONTALES.............................................................................................125 2.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET........................127 2.9. MTODO DE TIABS DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE ............................................... 2.9.1. LNEAS Y PUNTOS CARACTERSTICOS.............................................................131 2.9.2. ESTIMACIN DE DISTANCIA A LAS BARRERAS Y AREA ............................138 2.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL.....................................144 2.10.1. ANLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO ESFRICO....................................147 2.10.2. ANLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO HEMISFRICO............................150 2.10.3. TIABS DIRECT SNTESIS TECHNIQUE, TDST .................................................151 2.10.4. TIABS DIRECT SNTESIS TECHNIQUE, TDST, PARA FLUJO HEMISFRICO.......................................................................................................................160 2.10.5. CONSIDERACIONES IMPORTANTES..................................................................161 2.10.5.1. EFECTO DE ALMACENAMIENTO.....................................................................161 2.10.5.2. EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PENETRACIN PARCIAL.................161 2.11. PRUEBAS MULTI-TASA ...........................................................................................166 2.12. PRUEBAS BI-FLUJO...................................................................................................170 2.13. METODO DE PINSON................................................................................................172 2.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTITASAS..........................................175 2.15. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST, PARA PRUEBAS MULTITASAS ........................................................................................................................175 2.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS...............................................................................................................181 2.17. YACIMIENTOS ALARGADOS ..................................................................................191 2.18. MTODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS ALARGADOS.202 3.3.2. POZO CERCA DE LA FRONTERA CERRADA ......................................................202 2.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS LINEALES........................202 3. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION...........................................................225 3.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION................................................................................225 3.2. METODO DE HORNER.................................................................................................227 3.2.1. POZO EN UN YACIMIENTO INFINITO.................................................................227 3.2.2. RATA DE POSTFLUJO (AFTERFLOW, QAF) .........................................................229 3.2.3. PASOS PARA DETERMINAR EL ALMACENAMIENTO DE UNA PRUEBA DE RESTAURACIN............................................................................................................229 3.2.4. PREDICCIN DE LA DURACIN DEL POSTFLUJO (AFTERFLOW)..............229 3.2.5. GRFICO DE HORNER PARA YACIMIENTOS CERRADOS ............................230 3.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) .............................................231 3.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT........................................................................234 3.5. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS...............................................................................................................238 3.6. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE LA DERIVADA....................................................242


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3.7. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE ..............................................................243 3.8. PRESIN PROMEDIA DEL YACIMIENTO ...............................................................243 3.8.1. MTODO DE MBH ....................................................................................................243 3.8.2. MTODO DE DIETZ...................................................................................................244 3.8.3. MTODO DE MDH .....................................................................................................250 3.8.4. MTODO DE RAMEY-COBB ...................................................................................251 3.8.5. MTODO DIRECTO....................................................................................................251 3.8.6. TIAB'S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE DURANTE ESTADO PSEUDOESTABLE ................................................................................................................252 3.8.6.1. YACIMIENTOS CIRCULARES CERRADOS.......................................................252 3.8.6.2. SISTEMAS CERRADOS RECTANGULARES......................................................254 3.8.6.3. USO DEL PUNTO DE INTERSECCIN................................................................255 3.8.6.4. DETERMINACIN DE LA PRESIN PROMEDIA EN SISTEMAS CERRADOS DRENADOS POR UN POZO VERTICALMENTE FRACTURADO.........255 3.8.6.5. POZOS FRACTURADOS EN REGIONES RECTANGULARES ........................256 3.8.9. OTROS METODOS PARA CALCULAR LA PRESION PROMEDIA .. 275 4. PRUEBAS DST..................................................................................................................279 4.1. GENERALIDADES.........................................................................................................279 4.1.1. PROPSITO..................................................................................................................279 4.1.2. USOS DE LOS DATOS DST.......................................................................................279 4.1.3. INFORMACIN CALCULADA DE UN DST .........................................................279 4.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA.................................................................280 4.3. PROCESO DE PRUEBA................................................................................................280 4.3.1. DST CONVENCIONAL .............................................................................................280 4.3.2. PRUEBA STRADDLE PACKER...............................................................................281 4.4. CARTAS DE PRESIN DST .........................................................................................281 4.4.1. DST CONVENCIONAL .............................................................................................281 4.4.2. DST SECO.....................................................................................................................282 4.4.2. DST SECO.....................................................................................................................282 4.4.3. CONDICIONES POBRES EN EL POZO281. 4.4.4. MLTIPLE PRUEBAS DE FLUJO ...........................................................................282 4.4.5. DST CON DOBLE CIERRE .......................................................................................282 4.5. METODO DE HORNER.................................................................................................282 4.6. ESTIMACIN DE LA PRESIN PROMEDIO O INICIAL.......................................285 4.6.1. MTODO DE DATOS LIMITADOS (MTODO EN EL SITIO DEL POZO) .......285 4.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD..................................................................289 4.7.1. MTODO DE HORNER.............................................................................................289 4.7.2. MTODO DE DOLAN, EINARSEN Y HILL...........................................................289 4.7.3. MTODO DE ISHTEIWY Y VAN POOLLEN ........................................................289 4.7.4. MTODO DE BIXEL Y OTROS ...............................................................................291 5. HETEROGENEIDADES...................................................................................................296 5.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO.........................................296 5.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA ....................................................................297 5.2.1. PRUEBAS DE RESTAURACIN DE PRESIN......................................................297


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5.2.2. MTODOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA A LAS DISCONTINUIDADES LINEALES DE GRFICAS DE RESTAURACIN DE PRESIN.................................................................................................................................299 5.2.2.1. MTODO DE HORNER...........................................................................................299 5.2.2.2. MTODO DE DAVID Y HAWKINS ......................................................................301 5.2.2.3. MTODO DE EARLOUGHER...............................................................................305 5.2.2.4. MTODO MDH .........................................................................................................307 5.2.2.5. MTODO DE SABET ................................................................................................308 5.2.2.6. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE ............................................................308 5.3. FRONTERAS MULTIPLES ..........................................................................................311 5.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA......................................................................311 5.4.1. FRONTERA CON ESCAPE .......................................................................................311 5.4.1. FRONTERA CON ESCAPE .......................................................................................311 5.4.2. FRONTERA DE NO FLUJO O SELLANTE.............................................................313 5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO.............. 313 5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO .................313 5.5.1. CON FLUJO CRUZADO.............................................................................................313 5.5.2. SIN FLUJO CRUZADO ...............................................................................................313 6. PRUEBAS MULTIPLES...................................................................................................322 6.1. GENERALIDADES.........................................................................................................322 6.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA.................................................................................322 6.2.1. MTODO DE EARLOUGHER...................................................................................323 6.2.2. MTODO DE RAMEY................................................................................................325 6.2.3. MTODO DE TIAB Y KUMAR.................................................................................326 6.3. PRUEBAS DE PULSO....................................................................................................337 6.3.1. MTODO DE KAMAL BIRGHAM ........................................................................338 7. YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS...............................................350 7.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE..................................................356 7.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAO .........................................................358 7.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE POROSIDAD...........................................................................................................................362 7.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAO .........................................................363 7.5. ANALISIS DE PRESION DE RESTAURACION ........................................................363 7.6. APLICACIN DE LA FUNCION PD A YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS.................................................................................................................... 370 7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO................................................379 7.8. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOS FRACTURADOS NATURALMENTE .................................................................................382 7.8.1. ASPECTO TERICO ..................................................................................................383 7.8.2. PUNTOS Y LNEAS CARACTERSTICOS.............................................................384 7.8.3. RESPUESTA DE LA PRESIN CON EFECTOS DE ALMACENAMIENTO ......388 7.8.4. PROCEDIMIENTO PASO A PASO...........................................................................392 8. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS............................................................403 8.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES ....................................403 8.1.1. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE DECLINACIN....................................403


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8.1.2. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE RESTAURACIN (FALLOFF) ..........406 8.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES...........................................................410 8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS.........................................................................419 8.4. GRAFICO DE FLUJO BILINEAL ................................................................................420 8.5. GRAFICO DE FLUJO LINEAL ....................................................................................421 8.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY)..............................................................422 8.7. CURVA TIPO - ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS).....................................424 8.8. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE ....................................... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED. 8.8.1. SIMULACIN DE FRACTURAS .......... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED. 8.8.2. REGIMENES DE FLUJO EN FRACTURAS............................................................429 8.8.3. ANLISIS DE FLUJO BILINEAL ............................................................................430 8.8.5. ANLISIS DE FLUJO PSEUDORRADIAL .............................................................435 8.9. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS VERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS .............................................................437 8.9.1. INTRODUCCIN........................................................................................................437 8.9.2. CARACTERSTICAS DE UNA FRACTURA DE FLUJO UNIFORME................439 8.9.3. CARACTERSTICAS DE UNA FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA ................................................................................................................................444 8.9.4. SISTEMAS RECTANGULARES...............................................................................448 8.9.5. PROCEDIMIENTOS ...................................................................................................449 8.10. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CON FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA .................................................................455 8.10.1. CARACTERSTICAS DE FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA .......456 8.10.2. RGIMEN DE FLUJO BILINEAL ..........................................................................456 8.10.3. FLUJO BILINEAL Y ALMACENAMIENTO ........................................................459 8.10.4. INTERRELACIONES ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y LINEAL......................461 8.10.5. INTERRELACIN ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y RADIAL..........................463 8.10.6. RELACIONES ENTRE BIRRADIAL Y BILINEAL..............................................464 8.10.7. PROCEDIMIENTO SISTEMTICO .......................................................................466 8.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA ...........................480 NOMENCLATURA................................................................................................................483


15

1. FUNDAMENTOS GENERALES

1.1. CONCEPTOS BSICOS Las pruebas de presin pueden entenderse por aplicacin de la tercera ley de Newton, como se ilustra en la Fig. 1.1.

Mecanismo delyacimiento

ModeloMatemtico

Perturbacin de entrada

Entrada al modelo

Salida derespuesta

Salida delmodelo

Fig. 1.1. Esquema de la representacin matemtica de una prueba de presin

Bsicamente los objetivos del anlisis de las pruebas de presin son: Evaluacion del Yacimiento: Entrega, propiedades, tamao, permeabilidad por

espesor (til para espaciamiento y estimulacin), presin inicial (energa y pronstico), lmites (tamao y determinacin de existencia de un acufero).

Administracin del yacimiento Descripcin del yacimiento Las pruebas DST y restauracin de presin se usan principalmente en produccin primaria y exploracin. Las pruebas mltiples se usan ms a menudo durante proyectos de recuperacin secundaria y las pruebas multicapa y de permeabilidad vertical se usan en pozos productores/inyectores. Las pruebas de declinacin, de restauracin de interferencia y de pulso se usan en todas las fases de produccin. Las pruebas multitasa, de inyeccin, de interferencia y pulso se usan en las etapas primaria y secundaria.


16

A

LMAC

ENA

MIE

NTO

0.5

0.5

0.25

GRAFICO HORNER GRAFICO LOG-LOG GRAFICO DERIVADA

Protuberancia Protuberancia Derivadanegativa

Reversamiento de presin en vez de pico. Se puede observar un mnimo.Puede confundirse con el comporta-miento de un yacimiento naturalmentefracturado

Sistematotal

Sistema ms permeable

Flujo radial

Flujo radial ensistema total

Flujo radialen fisuras

Sistema ms permeable

Transicin

sistematotsl

Flujo radial

Flujo radial ensistema total

PH

ASE

RE

DIS

TRIB

UTI

ON

Yac.

Nat

. Fra

ctur

ado

Fuj

o Ps

eudo

esta

ble

Yac.

Nat

. Fra

ctur

ado

Fuj

o Tr

ansi

torio

Pendienteunitaria

m=0.5

FLU

JO L

INEA

L EN

CAN

ALE

S

Un grfico acrtesiano de P vs. la raiz de tla mayora de los casos da una recta

Fig. 1.2.a. Cartas de Identificacin de yacimientos5

17

MODELOYACIMIENTO HOMOGENEO YACIMIENTO CON DOBLE POROSIDAD

SISTEMAS INFINITOS

SISTEMASCERRADOS

POZOSFRACTURADOS

INTERPOROSITY FLOW ESTADOPSEUDOESTABLE

TRANSITORIO

GRAFICOLOG-LOG

GRAFICOSEMILOG

GRAFICO DELA DERIVADA

l

o

g

t

D

/

C

D

*

P

D

'

P

D

l

o

g

P

D

m

2m

1 1

1/2

1/4

t

Cartesiano

1/2 1/2 1/2

TRANS

1/2

TRANS

>1/4

m = Pendiente semilog. Representaflujo radial infinito

InfinitoBarrera de no flujoPresin constante

Conduct. infinita Flujo uniformConduc. finita(flujo bilineal)

1/4

Hay un factor de 2 enseparacinentre PD y PD'para fracturas de conduc-tividad infinita. El factor es4 para fracturas de -con-ductividad finita

Se desarrollan 2 lineas paralelasLa transicin inicia antes que terminelos efectos de WBS

F = FISURA

T =SISTEMA TOTAL

4 t

0.50.5

Flujoradial

Flujoradial

mm

T

F

m

m

T

F

Fig. 1.2.b. Resumen de reacciones de modelos de pozos yacimientos5

18

YACIMIENTO HOMOGENEOFrontera externa cerrada Barrera lineal impermeable

(falla)Barrera de presin

constante

CartesianaP

r

e

s

i

n

Tiempo

Log-Log

t*P'

P

Semilog

Tiempo

P

y

t

*

P

'

P

r

e

s

i

n

Tiempo

Log-Log

t*P'

P

Tiempo

P

y

t

*

P

'

m 2m

m2m

En el grfico semilog se observa una recta que doblasu pendiente. Una segunda regin plaa se observaen la derivada

P

r

e

s

i

n

Tiempo

Log-Log

t*P'

P

Tiempo

P

y

t

*

P

'

m2m

Una regin plana normalmente se observaen la mayora de los grficos de f P vs t y una line que decrece conitnuamente seobserva en el grfico de la derivada

0.5

1.0

Fig. 1.3. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos9


19

Tabla 1.1. Parmetros obtenidos de pruebas de pozo

Tipo de Prueba Parmetro Obtenido DST Comportamiento del yacimiento

Permeabilidad Dao

Longitud de fractura Presin del yacimiento Lmites del yacimiento

Fronteras Prueba de formacin mltiple repetida

Perfil de Presin

Prueba de declinacin de presin

Comportamiento del yacimiento Permeabilidad

Dao Longitud de fractura

Lmites del yacimiento Fronteras

Prueba de restauracin de presin

Comportamiento del yacimiento Permeabilidad

Dao Longitud de fractura

Presin del yacimiento Fronteras

Prueba de paso de rata Presin de rotura de formacin Permeabilidad

Dao Prueba Falloff Movilidad en varios bancos

Dao Presin del yacimiento

Longitud de fractura Ubicacin del frente

Fronteras Prueba de pulso e interferencia Comunicacin entre pozos

Comportamiento del tipo de yacimiento Porosidad

Permeabilidad interpozos Permeabilidad vertical

Pruebas de yacimientos con capas

Propiedades de capas individuales Permeabilidad horizontal

Permeabilidad vertical Dao

Presin de capa promedio Fronteras externas


20

Tabla 1.2. Grficas y regimenes de flujo encontrados en pruebas de pozo

Grficas Rgimen de flujo

Cartesiana t 4 t Log-log Semilog Almacenamiento Lnea recta

PendienteC Intercepto tc, Pc

Pendiente unitaria en p y p p y p coincide

s Positivo s Negativo

Flujo Lineal Lnea recta Pendientexf Intercepto Dao de fractura

Pendiente=1/2 en P y P si s=0 Pendiente =1/2 en p y P si s=0 a medio nivel de P Pendiente = despus de almacenamiento indica un canal del yacimiento

Flujo Bilineal Lnea recta Pendiente Cfd

Pendiente=1/4 Pa de nivel de P

Primer IARF (alta-k capas, fracturas)

Disminucin de pendiente

P horizontal a PD=1/2 Lnea recta Pendientekh P1hrs

Transicin Ms disminucin de pendiente

seP 2= PD=1/4 (transicin) PD


21

Una vez los datos han sido obtenidos y revisados, el anlisis de presiones comprende dos pasos: (1) El modelo del yacimiento e identificacin de los diferentes regimenes de flujo encontrados durante la prueba, y (2) la estimacin de parmetros. Entre ellos tenemos: grficos log-log de presin y derivada de presin vs. tiempo de transiente (herramienta de diagnstico), grfico semilog de presin vs. tiempo, grfico Cartesiano de los mismos parmetros, etc. La tabla 2 proporciona diferentes grficos y regimenes de flujo que normalmente se encuentran en cada prueba y las Figs. 1.2 a 1.3 ilustran diferentes condiciones de yacimiento y caractersticas de flujo encontrados en una prueba de presin. En general, el anlisis de presiones es una herramienta excelente para describir y definir el modelo de un yacimiento cuando se maneja un campo hidrocarburfero. Los regmenes de flujo son una funcin directa de las caractersticas del sistema pozo/yacimiento, i.e., una fractura sencilla que intercepta el pozo puede identificarse mediante la deteccin de un flujo lineal. Sin embargo, siempre que exista flujo lineal, no necesariamente implica la presencia de una fractura. La interpretacin de pruebas de presin es el mtodo primario para determinar permeabilidad, factor de dao, presin de yacimiento, longitud y conductividad de fractura y heterogeneidad del yacimiento. Adems, es el nico mtodo ms rpido y ms barato para estimar variable dependientes del tiempo como el factor de dao y la permeabilidad en yacimientos sensibles al esfuerzo. El perodo de comportamiento infinito ocurre despus del fin del almacenamiento y antes de la influencia de los lmites del yacimiento. Puesto que los lmites no afectan los datos durante este perodo, el comportamiento de presin es idntico al comportamiento de un yacimiento infinito. El flujo radial puede reconocerse por una estabilizacin aparente del valor de la derivada. El anlisis de presiones puede utilizarse para determinar permeabilidad, dao, presin promedia, longitud media de una fractura hidrulica, direccin de una fracturas, conductividad de la fractura, entre otros. Obtenidos los datos siguen dos pasos (1) Definir el modelo del yacimiento e identificacin de los regmenes de flujo y (2) Estimacin de parmetros. 1.2 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIN Declinacin de presin (ver. Fig. 1.4). Se le conoce como prueba de flujo. Luego de que el pozo ha sido cerrado por un tiempo suficientemente largo para alcanzar estabilizacin, el pozo se coloca en produccin, a caudal constante, mientras se registra la presin de fondo contra el tiempo. Su principal desventaja es que es diffil mantener el caudal constante. Restauracin de presin (ver. Fig. 1.4). Se le conoce como prueba de cierre. En esta prueba el pozo se cierra mientras se registra la presin esttica del fondo del pozo en


22

funcin del tiempo. Esta prueba se cataloga como una prueba multirata con dos caudales (cero y otro diferente de cero) y permite obtener la presin promedia del yacimiento. Su principal desventaja es econmica ya que el cierre ocasiona prdida de produccin.

Tiempo

Tiempo

Pres

in

Cau

dal

0

q

tp

tp

Pre

sin

Cau

dal

Tiempo

Tiempo

0

Fig. 1.4. Representacin esquemtica de pruebas de restauracin (abajo) y declinacin o cada de presin (arriba)

Pre

sin

Cau

dal

Tiempo

Tiempo

0

Pres

in

Cau

dal

Tiempo

Tiempo

0

Fig. 1.5. Prueba de inyeccin (izquierda) y prueba Falloff (derecha)


23

Inyeccin. Ver (Fig. 1.5). Es una prueba similar a la prueba de declinacin de presin, pero en lugar de producir fluidos se inyectan fluidos, normalmente agua. Falloff. (Ver Fig. 1.5). Considera una declinacin de presin inmediatamente despus de la inyeccin. Idntico a una prueba de restauracin. Otras pruebas: Interferencia y/o Mltiples. Involcucran ms de un pozo y su propsito es definir conectividad y hallar permebilidades direccionales. DST. Esta prueba se usa durante o inmediatamente despus de la perforacin del pozo y consiste de pruebas de cierre o flujo cortas y seguidas. Su propsito es establecer el potencial del pozo, aunque el factor de dao estimado no es muy representativo porque puede ocurrir una limpieza del mismo pozo durante la primera etapa productiva del mismo. 1.3. ECUACIN DE DIFUSIVIDAD Al inicio de la produccin, la presin en el pozo cae abruptamente y los fluidos cerca al pozo se expanden y se mueven hacia el rea de menor presin. Dicho movimiento es retardado por la friccin contra las paredes del pozo y la propia inercia y viscosidad del fludo. A media quen el fluido se mueve se crea un desbalance de presin que induce a los fludos aledaos a moverse hacia el pozo. El proceso contina hasta que la cada de presin creada por la puesta en produccin se disipa a lo largo del yacimiento. El proceso fsico que toma lugar en el yacimiento puede describirse mediante la ecuacin de difusividad cuya deduccin se muestra a continuacin. 1.3.1. Mtodo I (Masa que entra) - (Masa que sale) = Tasa de acumulacin del sistema

k dPv

ds=

kA dPqds=

Para flujo radial 2A rh=

Masa que entra = 3

3

L MqT L

=


24

r r+r

r

Fig. 1.6. Elemento de volumen radial

2k Pq rhr

=

( ) ( ) ( )2 2 2r r dr

k P k Prh rh rh drr r t

+ + =

( ) ( ) ( )2 2 2r r dr

k P k Ph r h r rh drr r t

+ + =

( )1

r dr rk P k Pr r

r r rdr t

+ =

( )1 k Prr r r t

=

(1.1)

1 1VcV P P

= =

De donde;

( )oc P Poe = (1.2)


25

1fc P

=

Colocando la Ec. 1.1 en trminos de :

( ) ( ) ( )

ttt+=

( ) Pt t P t

= +

( )

+=+=c

cttc

ctt

ff 1

( ) [ ]t

ccct f

+=

La parte derecha de la ecuacin de difusividad se ha simplificado completamente. Ahora continuando con el trmino de la izquierda:

1P Pr r c r

= = Reemplazando este resultado en la Ec. 1.1, se tiene:

[ ]t

cccrc

rkrr f

+=

1 (1.3)

Con el objeto de disponer la Ec. 1.1 en trminos de p, se deriva la Ec. 1.2 con respecto a r y t, as:

( )oc P Po

Pe cr r

=

( )oc P P

oPe c

t t

= Reemplazando el resultado de la derivada en la Ec. 1.3:


26

( ) ( )1 o oc P P C P Po f o

k r P Pe c c c e cr r c r c t

= +

Extrayendo los trminos constantes de la derivada:

tP Pr c

kr r r t

= (1.4)

Defina la constante de difusividad, , como kct

=1

, luego:

1 1P Prr r r t

=

Derivando;

2

2

1 1P P Prr r r t

+ =

2

2

1 1P P Pr r r t

+ = (1.5)

En coordenadas cilndricas15-16:

2 2 2

2 2 2 2

1 1 tzr r r

k ckP P P P Pr r r k r k z k t

+ + + = (1.6.)

cos , sin ,x r y r z z= = =

En coordenadas esfricas15:

sen cos , sen , cos , sen sen , cosx r y r x r y r z r = = = = =

22

2 2

1 1 1sinsin sin

p P p c prr r r k t

+ + =

En coordenadas elpticas16:

cosh cos , sinh sin ,x a y a z z= = =


27

( )2 2 22 2 1 cosh 2 cos 22p p c pa

k t + = 1.3.2. Mtodo II Para la mayora de los fluidos hidrocarburos, el esfuerzo de corte y la rata de corte pueden describirse mediante la ley de friccin de Newton la cual combinada con la ecuacin de movimiento resulta en la conocida ecuacin de Navier-Stokes. La solucin de dicha ecuacin para las condiciones de frontera apropiadas da lugar a la distribucin de velocidad del problema dado. Sin embargo, la geometra de los poros, no permite la formulacin adecuada de las condiciones de frontera a travs del medio poroso. Luego, una aproximacin diferente se debe tomar. Darcy descubri una relacin simple entre el gradiente de presin y el vector velocidad para una sola fase. El volumen de fluido contenido en el anillo de la Fig. 1.7 es15:

)2( rhdrV = (1.7)

Puesto que dPdV

Vc 1= entonces;

cVdPdV =

De la Ec. 1.7, se tiene:

dPrhdrcdV )2(=

Si tVdq

= entonces reemplazando la relacin anterior en esta se tiene:

tPrhdrcdq

= )2( , ;

tPrhc

rq

=

)2( (1.8) De la ley de Darcy, se sabe que:

rPkrhq

= )2( (1.9) Derivando la Ec. 1.9 con respecto a r, se obtiene:


28

PP+dP r

r+dr

h

Pozo

Fig. 1.7. Elemento de volumen y presin

+

=

2

2

)2(rPr

rPkh

rq

(1.10) Igualando las Ecs. 1.8 y 1.10, se obtiene:

2

2(2 ) (2 )P k P Pc rh h rt r r

= +

, ;

+

=

2

2

rPr

rPk

tPrc

Rearreglando,

tP

kc

rP

rrP

=

+ 1

2

2

(1.11)

La Ec. 1.11 es la ecuacin de difusividad. 1.3.3. Limitaciones de la Ecuacin de Difusividad a) Medio poroso isotrpico, horizontal, homogneo, permeabilidad y porosidad

constantes b) Un solo fluido satura el medio poroso c) Viscosidad constante, fluido incompresible o ligeramente compresible


29

d) El pozo penetra completamente la formacin. Fuerzas gravitacional despreciables, e) La densidad del fluido es gobernada por la Ec. 1.2. = o c p pe o( ) (1.2) A) Flujo radial

2

2

10.0002637

tcP P Pr r r k t

+ = (1.12)

Donde; P = psi = cp t = hr r = ft ct = 1/psi = fraccin k = md B) Flujo Multifsico Al igual que el anlisis de pruebas en pozos de gas como se ver ms adelante, las pruebas multifsicas se pueden interpretar mediante el mtodo de la aproximacin de presin (mtodo de Perrine)3,16-17, la aproximacin de pseudopresin y la aproximacin de P2. El mtodo de Perrine permite transformar la ecuacin de difusividad a:

2

2

10.0002637

t

t

cP P Pr r r t

+ = (1.13.a)

fwwggoot cScScScc +++=

to

o

g

g

w

w

k k k= + + El mtodo asume gradientes de presin y de saturacin despreciables. Martin2 demostr que (a) El mtodo pierde exactitud a medida que la saturacin de gas se incrementa, (b) La estimacin de la movilidad es buena, (c) El clculo individual de las movilidades es sensible a los gradientes de saturacin. Se logran mejor estimativos cuando la distribucin de saturacin es uniforme y (d) El mtodo subestima la permeabilidad efectiva de la fase y sobrestima el factor de dao. Cuando hay flujo de gas libre:

+=

mhBRqRqqk gswwsog

g

)(0001.0(162600


30

Siendo m la pendiente del grfico semilog. La interpretacin de los datos de presin puede requerir del clculo de la rata total de flujo, qt:

( )t o o g o s g w wq q B q q R B q B= + + siendo qg la rata total de flujo de gas y qoRs representa la rata de gas en solucin. En general las ecuaciones que rigen el comportamiento de la presin en pruebas multifsicas para pruebas de declinacin y restauracin de presin, respectivamente, son:

2

162.6 log 0.8691688

t twf i

t t w

q tP P sh c r

= +

162.6 log ptws i

t

t tqP Ph t

+ = Donde, qt, qo y qw estn dados en bbl/da y qg en pcn/da. Ntese que normalmente qg se da en Mscf/da. La movilidad total, las permeabilidades de cada fase y el dao mecnico se pueden estimar de:

162.6 tt

Qmh

=

162.6 ;L L LLq Bk L agua o aceitemh

= = ( )162.6 /1000g o s g g

g

q q R Bk

mh=

1

21.1513 log 3.23wf hr t

t w

P Ps

m c r

= +

C) Flujo de Gas Partiendo de la ecuacin de continuidad y la ecuacin de Darcy:

( ) ( )1 rrr r t =

rk Pu

r=


31

La ecuacin de estado para lquidos ligeramente compresibles no modela flujo de gas, por lo tanto se usa la ley de los gases reales11:

PMzRT

= Combinando la ecuacin de continiudad y de Darcy resulta:

( )1 k Prr r r t

=

( )1 k Prr r r t

= Susbtituyendo la ley de los gases reales: 1 kPM p PMrr r zRT t t zRT

= Como M, R y T son constants y asumiendo que la permeabilidad es constante: 1 1P P Prr r z r k t z

= USando la regal de la cadena en el miembro derecho de la anterior igualdad: 1 1P P P Prr r z r k z t t z

= + 1 1P p P P P Prr r z r k z p t p z t

= +

1 1P P P P z Prr r z r zk t P P P z

= + Usando la definicin de compresibilidad:

1gc P

=


32

gzRT PM z PcPM P zRT P P z

= =

1fc P

= Sustituyendo las anteriores definiciones en la ecuacin de difusividad:

( )1 f gP P P Pr c cr r z r zk t = + , si t g fc c c= + entonces; 1 tP cP P Prr r z r zk t

= (1.13.b) La anterior es una ecuacin diferencial parcial no lineal y no peude resolverse directamente. En general, se consideran tres suposiciones limitantes para su solucin, a saber: (a) P/z es constante, (b) ct es constante y (c) la transformacin de peudopresin para un gas real. a) La ecuacin de difusividad en trminos de presin Si en la Ec. 1.13.b asumimos que el trmino P/z permanece constante con respecto a la presin, sta se transforma en10,14: 1 tP cP P Prr z r r zk t

= 1 tcP Prr r r k t

= La cual es lo mismo que la Ec. 1.11 para fluidos ligeramente compresibles y pueden resolverse si el trmino ct permanece constante. b) La ecuacin de difusividad en trminos de la presin al cuadrado La Ec. 1.13.b puede escribirse en trminos de la presin al cuadrado, P2, partiendo del hecho que10-14:

212

P PPr r

=


33

212

P PPt t

= y;

2 21 tcr P Pr r z r kz t

=

Si partimos del hecho que el trmino z permanece constante con respecto a la presin, y por supuesto, el radio, entonces la anterior ecuacin puede escribirse como:

2 21 1 tcP Prr z r r kz t

=

Multiplicando por los trminos z:

2 21 tcP Prr r r k t

=

Esta expresin es similar a la Ec. 1.11, pero la variable dependiente es P2. Por lo tanto, su solucin es similar a la de la Ec. 1.11, excepto que su solucin est en trminos de P2. Esta ecuacin tambin requiere que ct permanezca constante. c) Ecuacin de difusividad de gases en trminos de pseudopresin, m(P) La ecuacin de difuvidad en trminos de P2 puede aplicarse a bajas presiones y la Ec. 1.13.b puede ser aplicada a presiones elevadas sin incurrir en errores. Por ende, se requiere una solucin que se aplique a todos los rangos. Al-Hussainy2 introdujo un mtodo de linealizacin ms riguroso llamado pseudopresin la cual permite que la ecuacin general de difusividad se solucione sin suposiciones limitantes que restringen ciertas propiedades de gases a permanecer constantes con la presin2,11-17:

0

( ) 2p

p

P dPzm P = Usando la regla de Liebnitz de derivacin de una integral:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

h x

f x

h x f xg h x g f x

x x xg u du

= La derivada de la pseudopresin con respecto al radio y el tiempo:


34

0 2000 4000 6000 8000 10000

Z, cp

Presin

Cua

drt

ico

Lineal

Pseu

dopr

esi

n

Pseudopresin

Fig. 1.8. Pseudopresin

( ) 2m P P Pr z r

=

( ) 2m P P Pt z t

= Recordando la ecuacin de difusividad: 1 tP cP P Prr z r r zk t

= Reemplazando las pseudopresiones en esta ecuacin: 1 ( ) ( )

2 2tP cP z m P z m Pr

r r z P r zk P t =

Simplificando: 1 ( ) ( )tcm P m Prr r r k t

= Expandiendo la anterior ecuacin y expresndola en unidades de campo:


35

2

2

( ) 1 ( ) ( )0.0002637

gi t

gi

cm P m P m Pr r r k t

+ = (1.14)

Para una linealizacin ms efectiva de la Ec. 1.14, Agarwal16 introdujo el pseudotiempo, ta, en virtud a que el producto gct en la Ec. 1.14 no es constante:

0

2t

at

dtc

= Con base en eso la ecuacin de difusividad para gases queda:

2 ( )1 ( ) ( )f gg a

c cm P m Prr r r k c t

+ = La linealizacin incompleta de la anterior expresin conduce a obtener pendientes semilog algo ms largas comparadas con lquidos. Algunas veces se recomienda utilizar variables normalizadas con el fin de retener las unidades de tiempo y presin16. Las pseudovariables normalizadas son:

0

( )( )( )

Pi

n ii P

m P P d = +

0 ( ) ( )

t

an i tidt c

Z = +

1.3.4. Solucin de la Lnea Fuente La Ref. 12 presenta la solucin de la lnea fuente usando la transformada de Boltzman, la trasnformada de Laplace y funciones Bessel. A continuacin se presenta el mtodo de Combinacin de variables independientes, el cual es basado en el anlisis dimensional de Buckingham. Este toma una funcin f = f(x, y, z, t), esta se debe transformar a un grupo o funcin que contenga menos variables, f = f(s1,s2...). Se propone un grupo de variables cuya forma general es:

1 2( , , , ) ( , ,...)f f x y z t f f s s= = s ax y z tb c d e= La ecuacin de difusividad es:


36

1r r

r fr

ft

= (1.15)

Donde f es:

wf

i wf

P Pf

P P=

Sujeto a las siguientes condiciones iniciales y de frontera:

0, 0 , 0f r t= =

1, 0, 0fr r tr

= = >

0, , 0f r t= >

Definiendo un grupo de variables como s ar tb c= (1.16) Multiplicando la Ec. 1.15 por s/s: 1r

ss r

rss

fr

ss

ft

=

Intercambiando trminos: 1r

sr s

r sr

fs

st

fs

= (1.17)

Las nuevas derivadas se obtienen a partir de la Ec. 1.16:

sr

abr tb c= 1 y st

acr tb c= 1 Reemplazando en la Ec. 1.16 y rearreglando:

1 1 11 b c b c b cf fabr t r abr t acr tr s s s

=


37

2 2 2 11 b bc b cr r f fa b t r acr tr r s r s s

=

Puesto que rs

atb

c= entonces; a b

rr t

ss

atfs

acr t fs

b cc

b c2 2

22 1

=

abr

r ts

s fs

acr t fs

b c b c2

21

=

br

ts

s fs

c fs

2

2

=

2

2

f r c fss s b t s

=

2 1

2

f c fs r t ss s b s

= Comparando el trmino encerrado en parntesis cuadraron con la Ec. 1.16 (s = arbtc), se observa que b = 2, c = -1, luego s= ar2/t de modo que r2t-1=s/a, entonces:

2

f c fs ss s b a s

= El trmino encerrado en parntesis cuadrados es una constante que se asume igual a 1 por conveniencia. En vista que c/(b2a) = 1, entonces a = -1/4. Luego:

f fs ss s s

= Escribiendo como una ecuacin diferencial ordinaria: dds

s dfds

s dfds

= (1.17.a)

Aplicando el mismo anlisis a las condiciones iniciales y de frontera para convertirlas en funcin de s:


38

Condiciones iniciales:

0, 0 , 0f r t= = puesto que s = ar2/t al tiempo t = 0, s (1.17.b) Condicin de frontera 1: Esta se deriva a partir de la Ley de Darcy.

r fr

r t = = >1 0 0, , Multiplicando la anterior ecuacin por s/s:

r fs

sr

= 1

rfs

abr tb c

=1 1

rfs

ab rr

tb

c = 1

fs

ab sat

tcc = 1, puesto que b = 2, entonces, s f

s =

12

(1.17.c)

Condicin de frontera 2: f r t= >0 0, ,

Si s = ar2/t cuando r , s = ar2/t (1.17.d) Lo anterior porque el tiempo se hace cada vez ms grande. Luego, la nueva ecuacin diferencial con sus condiciones iniciales y de frontera es: dds

s dfds

s dfds

= (1.17.a)

Condiciones iniciales:

0, f s= (1.17.b)


39

Condicin de frontera 1:

sfs

=

12

cuando s=0 (1.17.c)

Condicin de frontera 2:

0, f s= (1.17.d) Nota: Observe que la condicin inicial y la condicin de frontera 2 son iguales. Si definimos:

dfg sds

= , entonces la Ec. 1.17.a se transforma en d g gds

= Separando e integrando;

1ln g s c= + , de donde,

g c e s dfds

s= =1 (1.18) Despejando df;

dfc e

sds

s

= 1

1

sedf c dss

= , la cual es una ecuacin que no es analticamente integrable (se resuelve por series de potencia):

2

1 ......2!

se sss

= + + + Simplificando la solucin:

f c es

ds cs

= +1 2 Aplicando la condicin de frontera 1, Ec. 1.17.c, a la Ec. 1.18:


40

c e s dfds

s1

12

= = Cuando s = 0, es = 0, luego c1 = , luego;

f es

ds css

= +12 0 2 Aplicando la condicin de frontera 2, f = 0 cuando s

20

102

se ds cs

= + , de donde;

20

12

sec dss

= , entonces

0 0

1 12 2

s s se ef ds dss s

= , luego:

12

s sef dss

= , 12s

s

ef dss

= , que es igual a )(21 sEf i =

=

trEtrf i 42

1),(2

,

=

D

DiDDD t

rEtrP42

1),(2

La ecuacin anterior es una muy buena aproximacin de la solucin analtica cuando se satisface (Mueller y Witherspoon2,3,4,7,8) que rD 20 tD/rD2 0.5, ver Fig. 1.9. Si tD/rD2 5 se incurre en un error inferior al 2 % y si tD/rD2 25 el error es inferior al 2 %. La Fig. 1.10 es representada por el siguiente ajuste con coeficiente de correlacin, r2, de 0.99833613.

21 dxbxcxay ++

+= y yD

D

rt 102 = , donde:

a = 0.5366606870950616 b = -0.8502854912915072 c = 1.843195405855263 d = 0.119967622262022 x = log(PD) La funcin exponencial puede evaluarse mediante la siguiente frmula14 para x 25:

2 3 4

( ) 0.57721557 ln ....2 2! 3 3! 4 4!x x xEi x x x= + + +


41

A continuacin se presenta un listado de un cdigo de programa en VisualBasic, que el lector podr adicionar fcilmente como funcin en su Microsoft Excel para acondicionarlo a que ste calcule la funcin exponencial: ' Estimation of Ei function Function ei(x) Dim dexp As Double, ARG As Double, dlog As Double Dim Res1 As Double, Res2 As Double, Res3 As Double, Res4 As Double, Res5 As Double, Res As Double If x = 0 Then Exit Function dexp = Exp(-x) dlog = Log(x) If x > 60 Then ei = 0# Exit Function End If If x > 4# Then ARG = 4# / x Res = 0.011723273 + ARG * (-0.0049362007 + ARG * (0.00094427614)) Res = -0.022951979 + ARG * (0.020412099 + ARG * (-0.017555779 + ARG * Res)) Res = (0.24999999 + ARG * (-0.062498588 + ARG * (0.031208561 + ARG * Res))) Res = dexp * ARG * Res ei = Abs(Res) Else If x < 0 Then ei = 0# Exit Function End If If x = 0 Then ei = 1E+75 Exit Function End If Res1 = -1.6826592E-10 + x * (1.5798675E-11 + x * (-1.0317602E-12)) Res2 = 0.00000030726221 + x * (-0.00000002763583 + x * (2.1915699E-09 + x * Res1)) Res4 = -0.00023148392 + x * (0.00002833759 + x * (-0.000003099604 + x * Res2)) Res3 = -0.010416662 + x * (0.0016666906 + x * Res4) Res5 = x * (-0.25 + x * (0.05555552 + x * Res3)) Res = -dlog - 0.57721566 + x * (1# + Res5) ei = Abs(Res) End If End Function Las Figs. 1.11 y 1.12 y las tablas 1.3.a, 1.3.b y 1.3.c presentan soluciones de la funcin exponencial. 1.4. FACTORES ADIMENSIONALES Los parmetros adimensionales no proporcionan una visin fsica del parmetro que se mide, pero si una descripcin general o universal de stos. Por ejemplo, un tiempo real de 24 hrs corresponde a un tiempo adimensional de aproximadamente 300 hrs en formaciones de muy baja permeabilidad o ms de 107 en formaciones de muy permeables4,11-12.

42

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

0.01 0.1 1 10 100

r D = 20

r D =

2

r D = 1.3r D = 1

P

D

t / r 2D D

Fig. 1.9. Presin adimensional para diferentes valores del radio adimensional4,12

43

0.01

0.1

1

10

0.1 1 10 100 1000 10000

10 10 10 10 10 104 5 6 7 8 9

t D /r D

P

D

2

Fig. 1.10. Presin adimensional para un pozo sin almacenamiento y dao en un yacimiento infinito4,12

44

1

100 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25

Ei(-x)

x

Fig. 1.11. Valores de la integral exponencial para 1 x 10

0.0001

0.001

0.01

0.1

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ei(-x)

x

Fig. 1.12. Valores de la integral exponencial para 0.0001 x 1

45

Tabla 1.3.a. Valores de la integral exponencial para 0.0001 x 0.209

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0000 8.63322 7.94018 7.53481 7.24723 7.02419 6.84197 6.68791 6.55448 6.436800.0010 6.33154 6.23633 6.14942 6.06948 5.99547 5.92657 5.86214 5.80161 5.74455 5.690580.0020 5.63939 5.59070 5.54428 5.49993 5.45747 5.41675 5.37763 5.33999 5.30372 5.268730.0030 5.23493 5.20224 5.17059 5.13991 5.11016 5.08127 5.05320 5.02590 4.99934 4.973460.0040 4.94824 4.92365 4.89965 4.87622 4.85333 4.83096 4.80908 4.78767 4.76672 4.746200.0050 4.72610 4.70639 4.68707 4.66813 4.64953 4.63128 4.61337 4.59577 4.57847 4.561480.0060 4.54477 4.52834 4.51218 4.49628 4.48063 4.46523 4.45006 4.43512 4.42041 4.405910.0070 4.39162 4.37753 4.36365 4.34995 4.33645 4.32312 4.30998 4.29700 4.28420 4.271560.0080 4.25908 4.24676 4.23459 4.22257 4.21069 4.19896 4.18736 4.17590 4.16457 4.153370.0090 4.14229 4.13134 4.12052 4.10980 4.09921 4.08873 4.07835 4.06809 4.05793 4.047880.010 4.03793 3.94361 3.85760 3.77855 3.70543 3.63743 3.57389 3.51425 3.45809 3.405010.020 3.35471 3.30691 3.26138 3.21791 3.17634 3.13651 3.09828 3.06152 3.02614 2.992030.030 2.95912 2.92731 2.89655 2.86676 2.83789 2.80989 2.78270 2.75628 2.73060 2.705600.040 2.68126 2.65755 2.63443 2.61188 2.58987 2.56838 2.54737 2.52685 2.50677 2.487130.050 2.46790 2.44907 2.43063 2.41255 2.39484 2.37746 2.36041 2.34369 2.32727 2.311140.060 2.29531 2.27975 2.26446 2.24943 2.23465 2.22011 2.20581 2.19174 2.17789 2.164260.070 2.15084 2.13762 2.12460 2.11177 2.09913 2.08667 2.07439 2.06228 2.05034 2.038560.080 2.02694 2.01548 2.00417 1.99301 1.98199 1.97112 1.96038 1.94978 1.93930 1.928960.090 1.91874 1.90865 1.89868 1.88882 1.87908 1.86945 1.85994 1.85053 1.84122 1.832020.100 1.82292 1.81393 1.80502 1.79622 1.78751 1.77889 1.77036 1.76192 1.75356 1.745290.110 1.73711 1.72900 1.72098 1.71304 1.70517 1.69738 1.68967 1.68203 1.67446 1.666970.120 1.65954 1.65219 1.64490 1.63767 1.63052 1.62343 1.61640 1.60943 1.60253 1.595680.130 1.58890 1.58217 1.57551 1.56890 1.56234 1.55584 1.54940 1.54301 1.53667 1.530380.140 1.52415 1.51796 1.51183 1.50574 1.49970 1.49371 1.48777 1.48188 1.47603 1.470220.150 1.46446 1.45875 1.45307 1.44744 1.44186 1.43631 1.43080 1.42534 1.41992 1.414530.160 1.40919 1.40388 1.39861 1.39338 1.38819 1.38303 1.37791 1.37282 1.36778 1.362760.170 1.35778 1.35284 1.34792 1.34304 1.33820 1.33339 1.32860 1.32386 1.31914 1.314450.180 1.30980 1.30517 1.30058 1.29601 1.29147 1.28697 1.28249 1.27804 1.27362 1.269220.190 1.26486 1.26052 1.25621 1.25192 1.24766 1.24343 1.23922 1.23504 1.23089 1.226760.200 1.22265 1.21857 1.21451 1.21048 1.20647 1.20248 1.19852 1.19458 1.19067 1.18677

1.4.1. Ecuacin de Difusividad en Forma Adimensional

2

2

1 tcP P Pr r r k t

+ = (1.19)

Defina /D wr r r= . Derivando; r r rw D= (1.20)

46

Tabla 1.3.b. Valores de la integral exponencial, 4( ) 10Ei x , para 4 x 25.9

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.0 37.7944731 33.4897554 29.6885708 26.3300686 23.3610494 20.7349566 18.4110072 16.3534439 14.5308884 12.91578265.0 11.4839049 10.2139501 9.0871651 8.0870324 7.1989935 6.4102095 5.7093507 5.0864138 4.5325619 4.03998416.0 3.6017735 3.2118193 2.8647125 2.5556633 2.2804286 2.0352477 1.8167864 1.6220875 1.4485269 1.29377597.0 1.1557663 1.0326617 0.9228302 0.8248215 0.7373462 0.6592579 0.5895367 0.5272751 0.4716656 0.42198908.0 0.3776052 0.3379441 0.3024976 0.2708131 0.2424872 0.2171602 0.1945115 0.1742550 0.1561356 0.13992599.0 0.1254226 0.1124444 0.1008297 0.0904339 0.0811280 0.0727968 0.0653373 0.0586577 0.0526757 0.0473179

10.0 0.0425187 0.0382194 0.0343676 0.0309164 0.0278237 0.0250521 0.0225681 0.0203416 0.0183456 0.016556311.0 0.0149520 0.0135135 0.0122236 0.0110669 0.0100294 0.0090988 0.0082641 0.0075154 0.0068436 0.006240912.0 0.0057001 0.0052148 0.0047794 0.0043886 0.0040378 0.0037230 0.0034404 0.0031867 0.0029589 0.002754513.0 0.0025709 0.0024061 0.0022580 0.0021251 0.0020057 0.0018985 0.0018022 0.0017157 0.0016381 0.001568314.0 0.0015056 0.0014492 0.0013986 0.0013532 0.0013123 0.0012756 0.0012426 0.0012129 0.0011863 0.001162415.0 0.0011409 0.0011216 0.0011041 0.0010885 0.0010745 0.0010620 0.0010504 0.0010403 0.0010310 0.001022816.0 0.0010155 0.0010088 0.0010026 0.0009971 0.0009925 0.0009879 0.0009843 0.0009804 0.0009777 0.000974617.0 0.0009725 0.0009699 0.0009673 0.0009657 0.0009644 0.0009624 0.0009618 0.0009597 0.0009587 0.000957518.0 0.0009563 0.0009573 0.0009561 0.0009553 0.0009543 0.0009549 0.0009534 0.0009535 0.0009526 0.000953419.0 0.0009511 0.0009503 0.0009479 0.0009497 0.0009496 0.0009488 0.0009517 0.0009495 0.0009448 0.000948020.0 0.0009526 0.0009507 0.0009534 0.0009422 0.0009365 0.0009574 0.0009370 0.0009575 0.0009491 0.000955321.0 0.0009248 0.0009537 0.0009454 0.0009384 0.0009370 0.0009223 0.0009627 0.0009158 0.0009742 0.000953222.0 0.0009183 0.0009230 0.0008344 0.0009125 0.0009568 0.0008906 0.0008732 0.0008799 0.0009004 0.000978023.0 0.0009464 0.0009149 0.0007237 0.0009555 0.0007416 0.0008180 0.0007813 0.0007484 0.0007145 0.000794124.0 0.0009316 0.0005388 0.0006837 0.0003851 0.0007086 0.0007141 0.0006669 0.0011186 0.0010050 0.000525525.0 0.0000779 0.0003408 0.0001132 0.0000237 0.0016636 0.0000553 0.0011594 0.0002998 0.0010992 0.0007856

Defina el tiempo adimensional como;

t ttD o

= (1.23) t t to D= Reemplazando la Ec. 1.23 en 1.22

22

2

1 t wD D D o D

c rP P Pr r r kt t

+ = (1.24)

Para definir to, asuma que 12

=o

wt

ktrc , de donde;

47

Tabla 1.3.c. Valores de la integral exponencial para 0.1 x 4.09

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.20 1.222651 1.182902 1.145380 1.109883 1.076236 1.044283 1.013889 0.984933 0.957308 0.9309180.30 0.905677 0.881506 0.858335 0.836101 0.814746 0.794216 0.774462 0.755442 0.737112 0.7194370.40 0.702380 0.685910 0.669997 0.654614 0.639733 0.625331 0.611387 0.597878 0.584784 0.5720890.50 0.559774 0.547822 0.536220 0.524952 0.514004 0.503364 0.493020 0.482960 0.473174 0.4636500.60 0.454380 0.445353 0.436562 0.427997 0.419652 0.411517 0.403586 0.395853 0.388309 0.3809500.70 0.373769 0.366760 0.359918 0.353237 0.346713 0.340341 0.334115 0.328032 0.322088 0.3162770.80 0.310597 0.305043 0.299611 0.294299 0.289103 0.284019 0.279045 0.274177 0.269413 0.2647500.90 0.260184 0.255714 0.251337 0.247050 0.242851 0.238738 0.234708 0.230760 0.226891 0.2231001.00 0.2193840 0.2157417 0.2121712 0.2086707 0.2052384 0.2018729 0.1985724 0.1953355 0.1921606 0.18904621.10 0.1859910 0.1829936 0.1800526 0.1771667 0.1743347 0.1715554 0.1688276 0.1661501 0.1635218 0.16094171.20 0.1584085 0.1559214 0.1534793 0.1510813 0.1487263 0.1464135 0.1441419 0.1419107 0.1397191 0.13756611.30 0.1354511 0.1333731 0.1313314 0.1293253 0.1273541 0.1254169 0.1235132 0.1216423 0.1198034 0.11799601.40 0.1162194 0.1144730 0.1127562 0.1110684 0.1094090 0.1077775 0.1061734 0.1045960 0.1030450 0.10151971.50 0.1000197 0.0985445 0.0970936 0.0956665 0.0942629 0.0928822 0.0915241 0.0901880 0.0888737 0.08758061.60 0.0863084 0.0850568 0.0838252 0.0826134 0.0814211 0.0802477 0.0790931 0.0779568 0.0768385 0.07573791.70 0.0746547 0.0735886 0.0725392 0.0715063 0.0704896 0.0694888 0.0685035 0.0675336 0.0665788 0.06563871.80 0.0647132 0.0638020 0.0629048 0.0620214 0.0611516 0.0602951 0.0594516 0.0586211 0.0578032 0.05699771.90 0.0562045 0.0554232 0.0546538 0.0538960 0.0531496 0.0524145 0.0516904 0.0509771 0.0502745 0.04958242.00 0.0489006 0.0482290 0.0475673 0.0469155 0.0462733 0.0456407 0.0450173 0.0444032 0.0437981 0.04320192.10 0.0426144 0.0420356 0.0414652 0.0409032 0.0403493 0.0398036 0.0392657 0.0387357 0.0382133 0.03769862.20 0.0371912 0.0366912 0.0361984 0.0357127 0.0352340 0.0347622 0.0342971 0.0338387 0.0333868 0.03294142.30 0.0325024 0.0320696 0.0316429 0.0312223 0.0308077 0.0303990 0.0299961 0.0295988 0.0292072 0.02882102.40 0.0284404 0.0280650 0.0276950 0.0273301 0.0269704 0.0266157 0.0262659 0.0259210 0.0255810 0.02524572.50 0.0249150 0.0245890 0.0242674 0.0239504 0.0236377 0.0233294 0.0230253 0.0227254 0.0224296 0.02213802.60 0.0218503 0.0215666 0.0212868 0.0210109 0.0207387 0.0204702 0.0202054 0.0199443 0.0196867 0.01943262.70 0.0191820 0.0189348 0.0186909 0.0184504 0.0182131 0.0179790 0.0177481 0.0175204 0.0172957 0.01707402.80 0.0168554 0.0166397 0.0164269 0.0162169 0.0160098 0.0158055 0.0156039 0.0154050 0.0152087 0.01501512.90 0.0148241 0.0146356 0.0144497 0.0142662 0.0140852 0.0139066 0.0137303 0.0135564 0.0133849 0.01321553.00 0.0130485 0.0128836 0.0127209 0.0125604 0.0124020 0.0122457 0.0120915 0.0119392 0.0117890 0.01164083.10 0.0114945 0.0113502 0.0112077 0.0110671 0.0109283 0.0107914 0.0106562 0.0105229 0.0103912 0.01026133.20 0.0101331 0.0100065 0.0098816 0.0097584 0.0096367 0.0095166 0.0093981 0.0092811 0.0091656 0.00905163.30 0.0089391 0.0088281 0.0087185 0.0086103 0.0085035 0.0083981 0.0082940 0.0081913 0.0080899 0.00798993.40 0.0078911 0.0077935 0.0076973 0.0076022 0.0075084 0.0074158 0.0073244 0.0072341 0.0071450 0.00705713.50 0.0069702 0.0068845 0.0067999 0.0067163 0.0066338 0.0065524 0.0064720 0.0063926 0.0063143 0.00623693.60 0.0061605 0.0060851 0.0060106 0.0059371 0.0058645 0.0057929 0.0057221 0.0056523 0.0055833 0.00551523.70 0.0054479 0.0053815 0.0053160 0.0052512 0.0051873 0.0051242 0.0050619 0.0050003 0.0049396 0.00487963.80 0.0048203 0.0047618 0.0047041 0.0046470 0.0045907 0.0045351 0.0044802 0.0044259 0.0043724 0.00431953.90 0.0042672 0.0042157 0.0041647 0.0041144 0.0040648 0.0040157 0.0039673 0.0039194 0.0038722 0.00382554.00 0.0037794 0.0037339 0.0036890 0.0036446 0.0036008 0.0035575 0.0035148 0.0034725 0.0034308 0.0033896

krct wto

2= (1.25)

48

Reemplazando la Ec. 1.25 en la definicin de tD:

=

krctt wtD

2 (1.26)

Despejando tD se tiene

= 2

wtD rc

ktt Reemplazando la Ec. 1.25 en la Ec. 1.23:

( )22

2 2

1/

t w

D D D Dt w

c rP P Pr r r tk c r k

+ =

2

2

1

D D D D

P P Pr r r t

+ = (1.27.a) Solucin para el caso de rata constante;

( )ln /e wkh Pq

B r r=

Ntese que la ecuacin anterior es la solucin de la ecuacin de difusividad para estado estable. Despejando P;

ln ew

rqBPkh r

= Definiendo:

P rrD

e

w

= ln y DqBP Pkh =

Esto significa que la cada de presin fsica en estado estable para flujo radial es igual a la presin adimensional multiplicada por un factor escalable, que para este caso depende del caudal y de las propiedades del yacimiento8-17. El mismo concepto se aplica a flujo transitorio y a situaciones ms complejas, pero en este caso la presin adimensional es diferente. Por ejemplo, para flujo transitorio la presin adimensional siempre es funcin del tiempo adimensional. En general, la presin a cualquier punto en un sistema con pozo nico que produce a rata constante, q, est dada por:

49

[ ( , )] ( , , , geometra,....)i D D D DqBP P r t P t r C

kh =

La presin adimensional es tambin afectada por la geometra del sistema, otros sistemas de pozos, el coeficiente de almacenamiento, caractersticas anisotrpicas del yacimiento, fracturas, discontinuidades radiales, doble porosidad entre otras. Despejando PD;

( , ) ( )D D D ikhP r t P P

qB= (1.27.b) Derivando dos veces;

DkhP P

qB = (1.28)

2 2D

khP PqB

= (1.29) Reemplazando las Ecs. 1.28 y 1.29 en la Ec. 1.27:

2

2

1D D DD D D D

P P PqB qB qBkh r kh r r kh t

=

2

2

1D D DD D D D

P P Pr r r t

+ =

Solucin para el caso de presin constante:

; 0 1wfD Di wf

P PP P

P P=

El procedimiento es similar al caso de rata constante. 1.4.2. Solucin de la Integral Exponencial, Ei Asuma a) un solo pozo produce a caudal constante, and b) el yacimiento es infinito con rw 0, r 0, P Pi. Defina2,11-17;

/D wr r r=

50

Fig. 1.13. Geometra del yacimiento para el ejemplo

2

0002637.0

wtD rc

ktt = (1.30)

==

Art

Acktt wD

tDA

20002637.0 (1.31)

),( DDDD trPP =

( )141.2D i

khP P Pq B= (1.32)

EJEMPLO Un yacimiento de forma cuadrada produce 300 BPD a travs de un pozo localizado en el centro de uno de sus cuadrantes. Ver Fig. 1.13. Estime la presin en el pozo despus de un mes de produccin: Pi = 3225 psia h = 42 pies ko = 1 darcy = 25 % o = 25 cp ct = 6.1x10-6 /psi Bo = 1.32 bbl/BF rw = 6 pulg A = 150 Acres q = 300 BPD SOLUCION

Acktt

tDA

0002637.0=

51

76.0)6534000)(101.6)(25)(25.0(

)720)(1000)(02637.0(6 == DAt

De la Fig. 1.14.a se lee un valor de la presin adimensional de 12.

( )ppq

khP iD = 2.141

(1000)(42)12 ( )(141.2)(300)(1.32)(25) i

P P= P = 2825 psi.

1.5. APLICACIN DE LA SOLUCIN DE LA ECUACIN DE DIFUSIVIDAD

=

D

DiDDD t

rEtrP42

1),(2

ktrc

trx t

D

D22 948

4== (1.33)

Si P E xD i= 12 ( ) entonces, se cumple que cuando x < 0.00252,11-16:

( ) ln(1.781 )iE x x = (1.34)

( ) ln1.781 lniE x x = +

( ) ln 0.5772iE x x = + (1.35)

Por definicin P E xD i= 12 ( ) , luego

PrtDD

D

= +

12 4

0 57722

ln . Pt

rDD

D

=

12

40 57722ln .

De la definicin de PD;

52

PtrD

D

D

= +

12

0 809072ln . (1.36)

Esta ecuacin es vlida para tD/rD2 50 100.

294870.6 ti ic rqBP P E

kh kt = + (1.37)

EJEMPLO Un pozo y yacimiento tienen las siguientes caractersticas: q = 20 BF/D = 0.72 cp ct = 1.5x10-5 = 23 % Pi = 3000 psia re = 3000 pies B = 1.475 bbl/BF k = 10 md h = 150 pies Calcule la presin del yacimiento a 1 pie, 10 pies y 100 pies despus de 0.3 hrs de produccin. SOLUCION Por medio de la siguiente expresin

22

82.310002637.0

wwtD rrc

ktt == Los tiempos adimensionales son: para 1 pie 31.85, para 10 pies 0.3185 para 100 pies 0.003185. Y el x es, respectivamente 0.0007849, 0.07849 y 7.849. Para el primer x, se usa la aproximacin logartmica, Ei = 6.572, para el segundo y tercero se debe usar tabla 1.3 y resulta un valor de la integral exponencial de 2.044 y para el tercer de cero.

2948 (20)(1.475)(0.72)70.6 3000 70.6 6.572 2993.43(10)(150)

ti i

c rqBP P E psikh kt

= + = =

(20)(1.475)(0.72)3000 70.6 2.044 2997.96(10)(150)

P psi= =

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0.001 0.01 0.1 1

P

D

t DA

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1

1

1

1

1

1

1

Fig. 1.14.a. Presin adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y dao, A0.5/rw = 20004,8,11-12

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P

D

t DA

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2

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Fig. 1.14.b. Presin adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y dao, A0.5/rw = 20004,8,11-12

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P

D

t DA

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1

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4

Fig. 1.14.c. Presin adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y dao, A0.5/rw = 20004,8,11-12

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0.001 0.01 0.1 1

P

D

t DA

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Fig. 1.14.

analisis de presiones

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