ANALISIS MODERNO DE PRESIONES DE POZOS1000

P r =260 psi

t*P', psi

100

(t*P') r = 63.93 psi

P,

t i = 0.042 hrt r = 30 hr

10 0.01

0.1

1

10

100

1000

t, hr

Autor:

FREDDY HUMBERTO ESCOBAR M., Ph.D.

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ANALISIS MODERNO DE PRESIONES DE POZOSFreddy Humberto Escobar Macualo, Ph.D. Prohibida su reproduccin sin previa autorizacin del autor Neiva, Huila, Noviembre de 2003

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

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INTRODUCCIONEste texto contiene la programtica, objetivos y actividades a desarrollar en un curso de pregrado o posgrado de Anlisis de Presiones de Fondo, el cual sirve a los estudiantes como texto gua y herramienta bsica en el desarrollo de las clases. Este trabajo recopila informacin de varios libros y artculos tcnicos relacionados con el tema en cuestin existentes en la literatura desde 1960 hasta la actualidad. El texto rene algunas de las experiencias del autor en el rea de presiones de fondo, al igual que incluye aportes recientes que l ha hecho a esta rama de la ciencia. El programa a desarrollar consta de ocho captulos. El primero de ellos se orienta a la descripcin del flujo de fluidos en medios porosos. All se estudian los conceptos bsicos del anlisis de pruebas de presin y el principio de superposicin, as como la deduccin y solucin de la ecuacin de difusividad con sus limitaciones y aplicaciones. El captulo dos se centra en el estudio de pruebas de declinacin de presin, completamiento parcial y penetracin parcial, pruebas multirata y yacimientos lineales. En ste, tambin se presentan los fundamentos de almacenamiento y dao, al igual que una introduccin a los regimenes de flujo, incluyendo, en pozos horizontales. En este captulo se emplearn todas las tcnicas existente para interpretar pruebas de pozos incluyendo desde la tcnica de ajuste por curvas tipo (ms antigua) hasta el mtodo moderno llamado Tiabs Direct Synthesis Technique, ms nueva e introducida en 1993. En general, el texto se enfoca con especial atencin en esta tcnica toda vez que no solo es moderna sino tambin de uso muy prctico. El captulo tres estudia las pruebas de restauracin de presin y los mtodos para determinar la presin promedia del yacimiento. En el captulo cuatro se estudian las pruebas DST y los mtodos de interpretacin. Este captulo hace una breve introduccin a la determinacin de heterogeneidades en zonas aledaas al pozo. El captulo cinco considera las diferentes heterogeneidades que se presentan en los yacimientos y se presentan diversos mtodos para su determinacin. El captulo seis se centra en pruebas mltiples como las de interferencia y pulso. En principio, todos los yacimientos son naturalmente fracturados. Algunos de ellos, cuyas fracturas son demasiado pequeas (microfracturas) se clasifican en el grupo de los yacimientos homogneos. Por sto, el captulo 7 estudia los yacimientos naturalmente fracturados. El captulo 8 est dedicado a los pozos hidrulicamente fracturados. All se estudian los diferentes regimenes de flujo que se presentan en pozos artificialmente fracturados al igual que el concepto de conductividad de fractura y su efecto en los regimenes de flujo. Se hace nfasis especial en la tcnica que elimina el uso de las curvas tipo y se estudian las fracturas de flujo uniforme, conductividad finita e infinita.

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PROLOGO

Ing. Luis Elias Quiroga Arjona o Ing. MSc. Daniel Augusto Gutierrez Arciniegas

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TABLA DE CONTENIDOINTRODUCCION .................................................................................................... 3 TABLA DE CONTENIDO ........................................................................................ 9 1. FUNDAMENTOS GENERALES....................................................................... 10 1.1. CONCEPTOS BSICOS................................................................................ 10 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIN.................................. 17 1.3. ECUACIN DE DIFUSIVIDAD....................................................................... 18 1.3.1. MTODO I.................................................................................................. 18 1.3.2. MTODO II................................................................................................. 21 1.3.3. LIMITACIONES DE LA ECUACIN DE DIFUSIVIDAD ............................. 23 1.3.4. SOLUCIN DE LA LNEA FUENTE........................................................... 25 1.4. FACTORES ADIMENSIONALES ................................................................... 34 1.4.1. ECUACIN DE DIFUSIVIDAD EN FORMA ADIMENSIONAL ................... 34 1.4.2. SOLUCIN DE LA INTEGRAL EXPONENCIAL, EI................................... 40 1.5. APLICACIN DE LA SOLUCIN DE LA ECUACIN DE DIFUSIVIDAD ...... 41 1.6. DISTRIBUCION DE PRESION...................................................................... 47 1.7. DAO A LA FORMACIN (POZO) ................................................................ 48 1.8. FLUJO DE GAS ............................................................................................ 51 1.9. FUNCIN DE DERIVADA DE PRESIN....................................................... 60 1.9.1. DEDUCCIN DE LA DERIVADA DE LA PRESIN................................... 60 1.9.2. CONVERSIN DE LA ECUACIN DE DERIVADA DE PRESIN A UNIDADES DE CAMPO........................................................................................ 61 1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA .............................................. 65 1.10.1. DIFERENCIA FINITA CENTRAL.............................................................. 65 1.10.2. ECUACIN DE HORNE........................................................................... 66 1.10.3. ECUACIN DE BOURDET Y COLABORADORES ................................. 66 1.10.4. ECUACIN DE CLARK Y VAN GOLF-RACHT........................................ 67 1.10.5. ECUACIN DE SIMMONS ...................................................................... 67 1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN .............................................................. 69 1.11.1. SUPERPOSICIN EN ESPACIO............................................................. 69 1.11.2. SUPERPOSICIN EN TIEMPO............................................................... 71 1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO ........... 73 1.12.1. POZO UNICO CERCA A UNA FALLA SELLANTE .................................. 73 1.12.2. POZO CERCA A UNA BARRERA DE FLUJO O LNEA DE PRESIN CONSTANTE (EMPUJE DE AGUA) ..................................................................... 74 1.12.3. POZO EN MEDIO DE DOS FALLAS QUE SE INTERCEPTAN............... 75 2. PRUEBAS DE DECLINACIN DE PRESIN.................................................. 78 2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE).................................. 78 2.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE .......... 84 2.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY .................................. 86 2.3.1. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE RAMEY, PROCEDIMIENTO................. 90

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2.3.2. MTODO DE EARLOUGHER.................................................................... 91 2.3.3. MTODO SEMILOG ................................................................................... 92 2.4. PRUEBA LMITE DE UN YACIMIENTO (RLT)............................................. 100 2.5. CONTROL DE CALIDAD ............................................................................ 102 2.6. REGIMENES DE FLUJO............................................................................. 102 2.7. POZOS HORIZONTALES ........................................................................... 107 2.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET............... 110 2.9. MTODO DE TIABS DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE .......................... 113 2.9.1. LNEAS Y PUNTOS CARACTERSTICOS................................................ 114 2.9.2. ESTIMACIN DE DISTANCIA A LAS BARRERAS Y AREA ................... 122 EJEMPLO............................................................................................................ 123 2.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL ......................... 127 2.10.1. ANLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO ESFRICO ........................ 130 2.10.2. ANLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO HEMISFRICO.................. 132 2.10.3. TIABS DIRECT SNTESIS TECHNIQUE, TDST .................................... 134 2.10.4. TIABS DIRECT SNTESIS TECHNIQUE, TDST, PARA FLUJO HEMISFRICO ................................................................................................... 143 2.10.5. CONSIDERACIONES IMPORTANTES................................................... 144 2.10.5.1. EFECTO DE ALMACENAMIENTO ...................................................... 144 2.10.5.2. EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PENETRACIN PARCIAL ....... 144 2.11. PRUEBAS MULTI-FLUJO ......................................................................... 149 2.12. PRUEBAS BI-FLUJO ................................................................................ 152 2.13. METODO DE PINSON .............................................................................. 156 2.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTIRATAS .............................. 158 2.15. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST ................................... 158 2.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS METODO DE SLIDER ..................................................... 164 2.17. TDST PARA YACIMIENTOS LINEALES.................................................... 166 2.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS LINEALES................ 177 3. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION............................................ 185 3.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION .............................................................. 185 3.2. METODO DE HORNER ............................................................................... 187 3.2.1. POZO EN UN YACIMIENTO INFINITO.................................................... 187 3.2.2. RATA DE POSTFLUJO (AFTERFLOW, QAF)........................................... 189 3.2.3. PASOS PARA DETERMINAR EL ALMACENAMIENTO DE UNA PRUEBA DE RESTAURACIN .......................................................................................... 189 3.2.4. PREDICCIN DE LA DURACIN DEL POSTFLUJO (AFTERFLOW) .... 189 3.2.5. GRFICO DE HORNER PARA YACIMIENTOS CERRADOS ................. 190 3.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) .................................. 191 3.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT .......................................................... 194 3.5. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS ............................................................................................ 197 3.6 PRESIN PROMEDIA DEL YACIMIENTO ................................................... 199 3.6.1. MTODO DE MBH................................................................................... 199 3.6.2. MTODO DE DIETZ ................................................................................. 206 3.6.3. MTODO DE MDH.................................................................................... 206 3.6.4. MTODO DE RAMEY-COBB.................................................................... 207Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

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3.6.5. MTODO DIRECTO (AZARI 1987).......................................................... 207 3.6.6. TIAB'S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE DURANTE ESTADO PSEUDOESTABLE ............................................................................................. 208 3.6.6.1. YACIMIENTOS CIRCULARES CERRADOS ......................................... 208 3.5.6.2. SISTEMAS CERRADOS RECTANGULARES ....................................... 209 3.6.6.3. USO DEL PUNTO DE INTERSECCIN ................................................ 210 3.6.6.4. DETERMINACIN DE LA PRESIN PROMEDIA EN SISTEMAS CERRADOS DRENADOS POR UN POZO VERTICALMENTE FRACTURADO 210 3.6.6.5. POZOS FRACTURADOS EN REGIONES RECTANGULARES ............ 211 4. PRUEBAS DST .............................................................................................. 222 4.1. GENERALIDADES ....................................................................................... 222 4.1.1. PROPSITO ............................................................................................. 222 4.1.2. USOS DE LOS DATOS DST..................................................................... 222 4.1.3. INFORMACIN CALCULADA DE UN DST ............................................. 222 4.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA ................................................... 223 4.3. PROCESO DE PRUEBA............................................................................. 223 4.3.1. DST CONVENCIONAL............................................................................. 223 4.3.2. PRUEBA STRADDLE PACKER............................................................... 224 4.4. CARTAS DE PRESIN DST........................................................................ 224 4.4.1. DST CONVENCIONAL............................................................................. 224 4.4.2. DST SECO ................................................................................................ 225 4.4.4. MLTIPLE PRUEBAS DE FLUJO ........................................................... 225 4.4.5. DST CON DOBLE CIERRE...................................................................... 225 4.4.3. CONDICIONES POBRES EN EL POZO................................................... 225 4.5. METODO DE HORNER ............................................................................... 225 4.6. ESTIMACIN DE LA PRESIN PROMEDIO O INICIAL ............................ 228 4.6.1. MTODO DE DATOS LIMITADOS (MTODO EN EL SITIO DEL POZO) 228 4.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD...................................................... 231 4.7.1. MTODO DE HORNER ........................................................................... 231 4.7.2. MTODO DE DOLAN, EINARSEN Y HILL .............................................. 231 4.7.3. MTODO DE ISHTEIWY Y VAN POOLLEN............................................ 232 4.7.4. MTODO DE BIXEL Y OTROS ............................................................... 233 5. HETEROGENEIDADES ................................................................................. 236 5.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO ............................. 236 5.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA ..................................................... 237 5.2.1. PRUEBAS DE RESTAURACIN DE PRESIN....................................... 237 5.2.2. MTODOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA A LAS DISCONTINUIDADES LINEALES DE GRFICAS DE RESTAURACIN DE PRESIN ............................................................................................................ 239 5.2.2.1. MTODO DE HORNER ......................................................................... 239 5.2.2.2. MTODO DE DAVID Y HAWKINS......................................................... 242 5.2.2.3. MTODO DE EARLOUGHER............................................................... 245 5.2.2.4. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE........................................... 247 5.3. FRONTERAS MULTIPLES ......................................................................... 250 5.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA ....................................................... 250 5.4.1. FRONTERA CON ESCAPE ..................................................................... 250 5.4.2. FRONTERA DE NO FLUJO O SELLANTE ............................................... 250Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

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5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO ........ 252 5.5.1. CON FLUJO CRUZADO ........................................................................... 252 5.5.2. SIN FLUJO CRUZADO ............................................................................. 252 6. PRUEBAS MULTIPLES ................................................................................. 256 6.1. GENERALIDADES ....................................................................................... 256 6.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA ................................................................ 256 6.2.1. MTODO DE EARLOUGHER................................................................... 257 6.2.2. MTODO DE RAMEY ............................................................................... 259 6.2.3. MTODO DE TIAB Y KUMAR .................................................................. 260 6.3. PRUEBAS DE PULSO ................................................................................. 267 6.3.1. MTODO DE KAMAL BIRGHAM ........................................................... 268 7. YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS .................................... 277 7.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE .................................... 283 7.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAO.............................................. 285 7.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE POROSIDAD ............................................................................................................................ 289 7.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAO.............................................. 289 7.5. ANALISIS DE PRESION DE RESTAURACION........................................... 290 7.6. APLICACIN DE LA FUNCION PD A YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS ................................................................................................. 296 7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO .................................. 305 7.8. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOS FRACTURADOS NATURALMENTE................................................................... 308 7.8.1. ASPECTO TERICO ................................................................................ 309 7.8.2. PUNTOS Y LNEAS CARACTERSTICOS .............................................. 310 7.8.2. PUNTOS Y LNEAS CARACTERSTICOS .............................................. 310 7.8.3. RESPUESTA DE LA PRESIN CON EFECTOS DE ALMACENAMIENTO314 7.8.4. PROCEDIMIENTO PASO A PASO ........................................................... 317 8. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS............................................... 325 8.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES......................... 325 8.1.1. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE DECLINACIN ........................ 325 8.1.2. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE RESTAURACIN (FALLOFF) . 328 8.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES ............................................ 331 8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS........................................................... 341 8.4. GRAFICO DE FLUJO BILINEAL (P VS. ) .................................................. 342 8.5. GRAFICO DE FLUJO LINEAL (P VS. )...................................................... 342 8.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY) ............................................... 344 8.7. CURVA TIPO - ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS)........................... 346 8.8. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE .......................................................................................... 348 8.8. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE .......................................................................................... 348 8.8.1. SIMULACIN DE FRACTURAS .............................................................. 348 8.8.2. REGIMENES DE FLUJO EN FRACTURAS............................................. 351 8.8.3. ANLISIS DE FLUJO BILINEAL .............................................................. 352 8.8.5. ANLISIS DE FLUJO PSEUDORADIAL .................................................. 356

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8.9. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS VERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS ................................................. 359 8.9.1. INTRODUCCIN ...................................................................................... 359 8.9.2. CARACTERSTICAS DE UNA FRACTURA DE FLUJO UNIFORME ........ 361 8.9.3. CARACTERSTICAS DE UNA FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA ............................................................................................................................ 366 8.9.4. SISTEMAS RECTANGULARES ............................................................... 370 8.9.5. PROCEDIMIENTOS ................................................................................. 371 8.10. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CON FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA ...................................................... 377 8.10.1. CARACTERSTICAS DE FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA 378 8.10.2. RGIMEN DE FLUJO BILINEAL............................................................ 378 8.10.3. FLUJO BILINEAL Y ALMACENAMIENTO ............................................. 382 8.10.4. INTERRELACIONES ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y LINEAL ............. 383 8.10.5. INTERRELACIN ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y RADIAL.................. 385 8.10.6. RELACIONES ENTRE BIRADIAL Y BILINEAL...................................... 386 8.10.7. PROCEDIMIENTO SISTEMTICO ........................................................ 389 8.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA ................... 403 NOMENCLATURA .............................................................................................. 404 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 410

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1. FUNDAMENTOS GENERALES1.1. CONCEPTOS BSICOS

Las pruebas de presin pueden entenderse por aplicacin de la tercera ley de Newton, como se ilustra en la Fig. 1.1.

Perturbacin de entrada

Mecanismo del yacimiento

Salida de respuesta

Entrada al modelo

Modelo Matemtico

Salida del modelo

Fig. 1.1. Esquema de la representacin matemtica de una prueba de presin

Bsicamente los objetivos del anlisis de las pruebas de presin son: Evaluacion del Yacimiento: Entrega, propiedades, tamao, permeabilidad por espesor (til para Espaciamiento y estimulacin), presin inicial (energa y pronstico), lmites (tamao y determinacin de existencia de un acufero). Administracin del yacimiento Descripcin del yacimiento

Las pruebas DST y restauracin de presin. Se usan principalmente en produccin primaria y exploracin. Pruebas mltiples: Se usan ms a menudo durante proyectos de recuperacin secundaria. Pruebas multicapa y de permeabilidad vertical se usan en pozos productores/inyectores.

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GRAFICO HORNERALMACENAMIENTO

GRAFICO LOG-LOG

GRAFICO DERIVADA

Pendiente unitaria

PHASE REDISTRIBUTION

Protuberancia

Protuberancia

Derivada negativa

Reversamiento de presin en vez de pico. Se puede observar un mnimo. Puede confundirse con el comportamiento de un yacimiento naturalmente fracturado

Yac. Nat. Fracturado Fujo Pseudoestable

Sistema ms permeable

Flujo radial en sistema total Sistema total Flujo radial Flujo radial en fisuras0.5

TransicinYac. Nat. Fracturado Fujo Transitorio

Flujo radial en sistema total sistema totsl Sistema ms permeableUn grfico acrtesiano de P vs. la raiz de t la mayora de los casos da una recta0.5 m=

Flujo radial

0.5 0.25

FLUJO LINEAL EN CANALES

Fig. 1.2.a. Cartas de Identificacin de yacimientos

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MODELO

YACIMIENTO HOMOGENEOSISTEMAS INFINITOS SISTEMAS CERRADOS POZOS FRACTURADOS

YACIMIENTO CON DOBLE POROSIDADINTERPOROSITY FLOWESTADO PSEUDOESTABLE Flujo radial TRANSITORIO Flujo radial

GRAFICO LOG-LOGlog PD

1/21/4

GRAFICO SEMILOGPD

2m

m

F m

F m m

Cartesianot4

m T T

t

GRAFICO DE LA DERIVADA

log tD/CD*PD'

10.5 0.5

1

1/2

1/2 1/2TRANS

>1/4TRANS

1/2

1/4

m = Pendiente semilog. Representa flujo radial infinito

Infinito Hay un factor de 2 en Barrera de no flujo separacinentre PD y PD'Presin constantepara fracturas de conductividad infinita. El factor es 4 para fracturas de -conductividad finita

Conduct. infinita Flujo uniform Conduc. finita (flujo bilineal)

F = FISURA Se desarrollan 2 lineas paralelas La transicin inicia T =SISTEMA TOTAL antes que termine los efectos de WBS

Fig. 1.2.b. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos

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Frontera externa cerradaCartesiana

YACIMIENTO HOMOGENEO Barrera lineal impermeable

Barrera de presinconstante

(falla)Semilog

Presin

Presin

m

Presin

2m

m

2m

Tiempo

Tiempo

Tiempo

Log-LogP

Log-Logm 2m

Log-LogP

P y t*P'

P y t*P'

P y t*P'

P

t*P'

t*P'

t*P'1.0 0.5

Tiempo

TiempoEn el grfico semilog se observa una recta que dobla su pendiente. Una segunda regin plaa se observa en la derivada

TiempoUna regin plana normalmente se observa en la mayora de los grficos de f P vs t y una line que decrece conitnuamente se observa en el grfico de la derivada

Fig. 1.3. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos

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14

Tabla 1.1. Parmetros obtenidos de pruebas de pozo Tipo de Prueba DST Parmetro Obtenido Comportamiento del yacimiento Permeabilidad Dao Longitud de fractura Presin del yacimiento Lmites del yacimiento Fronteras Perfil de Presin Comportamiento del yacimiento Permeabilidad Dao Longitud de fractura Lmites del yacimiento Fronteras Comportamiento del yacimiento Permeabilidad Dao Longitud de fractura Presin del yacimiento Fronteras Presin de rotura de formacin Permeabilidad Dao Movilidad en varios bancos Dao Presin del yacimiento Longitud de fractura Ubicacin del frente Fronteras Comunicacin entre pozos Comportamiento del tipo de yacimiento Porosidad Permeabilidad interpozos Permeabilidad vertical Propiedades de capas individuales Permeabilidad horizontal Permeabilidad vertical Dao Presin de capa promedio Fronteras externas

Prueba de formacin mltiple repetida Prueba de declinacin de presin

Prueba de presin

restauracin

de

Prueba de paso de rata

Prueba Falloff

Prueba de pulso e interferencia

Pruebas de yacimientos con capas

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Tabla 1.2. Grficas y regimenes de flujo encontrados en pruebas de pozo Grficas Log-log tPendiente unitaria en p y p p y p coincide Pendiente=1/2 en P y P si s=0 Pendiente =1/2 en p y P si s=0 a medio nivel de P Pendiente = despus de almacenamiento indica un canal del yacimiento Pendiente=1/4 Pa de nivel de P P horizontal a PD=1/2

Rgimen de flujoAlmacenamiento

CartesianaLnea recta PendienteC Intercepto tc, Pc

t

4

Semilogs Positivo s Negativo

Flujo Lineal

Lnea recta Pendientexf Intercepto Dao de fractura

Flujo Bilineal

Lnea recta Pendiente Cfd Disminucin de pendiente Ms disminucin de pendiente

Primer IARF (alta-k capas, fracturas) Transicin

P = e2 s PD=1/4 (transicin) PD 0 r

f = 0, r , t > 0

Definiendo un grupo de variables como:s = ar b t c

(1.16)

Multiplicando la Ec. 1.15 por s/s:1s s f s f r = r sr s r s t

Intercambiando trminos:1s s f s f r = r r s r s t s

(1.17)

Las nuevas derivadas se obtienen a partir de la Ec. 1.16:

s = abr b 1t c r s = acr b t c1 tReemplazando en la Ec. 1.16 y rearreglando:

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1 b 1 c f b c 1 f abr b 1t c r abr t = acr t r s s s

1 2 2 r b 2c r b f b c 1 f ab t r = acr t s r s s r rb Puesto que r =

s entonces; at c

a 2b 2 b 2c s f b c 1 f r t c = acr t 2 s at s s r

ab 2 b c f b c 1 f r t s = acr t 2 s s s rf b2 f t s =c 2 s r s s

f r 2c f s = s s b 2t s f c 2 1 f s = r t s s s s b 2

Comparando el trmino encerrado en parntesis cuadraron con la Ec. 1.16 ( s = ar b t c ), se observa que b = 2, c = -1, luego s= ar2/t de modo que r2t-1=s/a, entonces:

f c f s = s s s b 2 a sEl trmino encerrado en parntesis cuadrados es una constante que se asume igual a 1 por conveniencia. En vista que c/(b2a) = 1, entonces a = -1/4. Luego:

f f s = s s s sEscribiendo como una ecuacin diferencial ordinaria:

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d df df (1.17.a) s = s ds ds ds Aplicando el mismo anlisis a las condiciones iniciales y de frontera para convertirlas en funcin de s:Condiciones iniciales:

f = 0, 0 r , t = 0puesto que s = ar2/t al tiempo t = 0, s Condicin de frontera 1:

(1.17.b)

Esta se deriva a partir de la Ley de Darcy.r

f = 1, r = 0, t > 0 r

Multiplicando la anterior ecuacin por s/s:

r

f s =1 s r f abr b 1 t c = 1 s

r

r

f rb ab t c = 1 r s

f s ab c t c = 1 s atPuesto que b = 2;

s

f 1 = s 2

(1.17.c)

Condicin de frontera 2:

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f = 0, r , t > 0

Si s = ar2/t cuando r , s = ar2/t

(1.17.d)

Lo anterior porque el tiempo se hace cada vez ms grande. Luego, la nueva ecuacin diferencial con sus condiciones iniciales y de frontera es:

d df df s = s ds ds dsCondiciones iniciales:

(1.17.a)

f = 0, s Condicin de frontera 1:

(1.17.b)

s

f 1 = cuando s=0 s 2

(1.17.c)

Condicin de frontera 2:

f = 0, s

(1.17.d)

Nota: Observe que la condicin inicial y la condicin de frontera 2 son lo mismo. Defina:

g=s

df ds

Entonces la Ec. 1.17.a se transforma en:

d g=g dsSeparando e integrando; ln g = s + c1

g = c1e s = s

df ds

(1.18)

Despejando df;

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c1 e s df = ds s es df = c1 s dsLa anterior es una ecuacin que no es analticamente integrable (se resuelve por series de potencia):

es s2 = 1 + s + + ...... 2! sSimplificando la solucin:

es f = c1 ds + c2 sAplicando la condicin de frontera 1, Ec. 1.17.c, a la Ec. 1.18:

c1 e s = s

df 1 = ds 2

Cuando s = 0, es = 0, entonces c1 = , luego;1 es f = ds + c2 20 ss

Aplicando la condicin de frontera 2, f = 0 cuando s

0=

1 es ds + c2 2 s 0

de donde;1 es c2 = ds 20 s entonces;

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31

f =

1 es 1 es ds ds 2 s 20 s 0s

s

1 es f = ds 2 s:

1 e s f = ds 2s s1 f = Ei ( s ) 21 r2 f ( r , t ) = Ei 2 4t

;1 r2 PD (rD , t D ) = Ei D 2 4t D

La ecuacin anterior es una muy buena aproximacin de la solucin analtica cuando se satisface (Mueller y Witherspoon) que rD 20 tD/rD2 0.5. La Fig. 1.10 es representada por el siguiente ajuste: y= a + cx 1 + bx + dx 2

donde:r2 = 0.99833613 a = 0.5366606870950616 b = -0.8502854912915072 c = 1.843195405855263 d = 0.119967622262022 x = log(PD) tD = 10 y 2 rD

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32

1.E+01

1.E+00

r D = 1.3 rD=1

1.E-01

PD

1.E-03

1.E-04

1.E-05

rD

=

2

1.E-02

r D = 20

1.E-06 0.01

0.1

1

10

100

t D / rD

2

Fig. 1.9. Presin adimensional para diferentes valores del radio adimensional32

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33

10

10

4

10

5

10

6

10

7

10

8

10

9

1

PD0.1 0.01 0.1 1 10

t D /r D2

100

1000

10000

Fig. 1.10. Presin adimensional para un pozo sin almacenamiento y dao en un yacimiento infinito33

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34

La funcin exponencial puede ser evaluada mediante:Ei ( x) = 0.57721557 + ln x + x x2 x3 x4 .... + 2 2! 3 3! 4 4!

1.4. FACTORES ADIMENSIONALES

Los parmetros adimensionales no proporcionan una visin fsica del parmetro que se mide, pero si una descripcin general o universal de stos. Por ejemplo, un tiempo real de 24 hrs corresponde a un tiempo adimensional de aproximadamente 300 hrs en formaciones de muy baja permeabilidad o ms de 107 en formaciones de muy permeables.1.4.1. Ecuacin de Difusividad en Forma Adimensional

2 P 1 P ct P + = r2 r r k tDefina:

(1.19)

rD =

r rw

Derivando;

r = rw rD2 dr 2 = rw 2 drD

(1.20) (1.21)

Reemplazando el valor de r y las Ecs. 1.20 y 1.21 en la Ec. 1.19:

ct P 2P 1 P + = 2 2 rw rD rw rD rw rD k t

2 P 1 P ct rw2 P + = 2 rD rD rD t kDefina el tiempo adimensional como;

(1.22)

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35

Ei(-x)0 10 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25

Fig. 1.11. Valores de la integral exponencial para 1 x 10Ei(-x)0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.01

x

0.001

0.0001

Fig. 1.12. Valores de la integral exponencial para 0.0001 x 1

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

x1

0.1

36

Tabla 1.3.a. Valores de la integral exponencial para 0.001 x 0.20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6.3315 5.6394 5.2349 4.9482 4.7261 4.5448 4.3916 4.2591 4.1423 0.01 4.0379 3.9436 3.8576 3.7785 3.7054 3.6374 3.5739 3.5143 3.4581 3.4050 0.00 0.02 3.3547 3.3069 3.2614 3.2179 3.1763 3.1365 3.0983 3.0615 3.0261 2.9920 0.03 2.9591 2.9273 2.8965 2.8668 2.8379 2.8099 2.7827 2.7563 2.7306 2.7056 0.04 2.6813 2.6576 2.6344 2.6119 2.5899 2.5684 2.5474 2.5268 2.5068 2.4871 0.05 2.4679 2.4491 2.4306 2.4126 2.3948 2.3775 2.3604 2.3437 2.3273 2.3111 0.06 2.2953 2.2797 2.2645 2.2494 2.2346 2.2201 2.2058 2.1917 2.1779 2.1643 0.07 2.1508 2.1376 2.1246 2.1118 2.0991 2.0867 2.0744 2.0623 2.0503 2.0386 0.08 2.0269 2.0155 2.0042 1.9930 1.9820 1.9711 1.9604 1.9498 1.9393 1.9290 0.09 1.9187 1.9087 1.8987 1.8888 1.8791 1.8695 1.8599 1.8505 1.8412 1.8320 0.10 1.8229 1.8139 1.8050 1.7962 1.7875 1.7789 1.7704 1.7619 1.7536 1.7453 0.11 1.7371 1.7290 1.7210 1.7130 1.7052 1.6974 1.6897 1.6820 1.6745 1.6670 0.12 1.6595 1.6522 1.6449 1.6377 1.6305 1.6234 1.6164 1.6094 1.6025 1.5957 0.13 1.5889 1.5822 1.5755 1.5689 1.5623 1.5558 1.5494 1.5430 1.5367 1.5304 0.14 1.5241 1.5180 1.5118 1.5057 1.4997 1.4937 1.4878 1.4819 1.4760 1.4702 0.15 1.4645 1.4587 1.4531 1.4474 1.4419 1.4363 1.4308 1.4253 1.4199 1.4145 0.16 1.4092 1.4039 1.3986 1.3934 1.3882 1.3830 1.3779 1.3728 1.3678 1.3628 0.17 1.3578 1.3528 1.3479 1.3430 1.3382 1.3334 1.3286 1.3239 1.3191 1.3145 0.18 1.3098 1.3052 1.3006 1.2960 1.2915 1.2870 1.2825 1.2780 1.2736 1.2692 0.19 1.2649 1.2605 1.2562 1.2519 1.2477 1.2434 1.2392 1.2350 1.2309 1.2268 0.20 1.2227 1.2186 1.2145 1.2105 1.2065 1.2025 1.1985 1.1946 1.1907 1.1868 x

Tabla 1.3.b. Valores de la integral exponencial para 4 x 18.9X 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.003779 0.003349 0.002969 0.002633 0.002336 0.002073 0.001841 0.001635 0.001453 0.001291 0.001148 0.001021 0.000909 0.000809 0.00036 0.00072 0.000641 0.000571 0.000509 0.000453 0.000404 0.000321 0.000286 0.000255 0.000228 0.000203 0.000182 0.000162 0.000145 0.000129

1.15E-04 1.03E-04 9.22E-05 8.24E-05 7.36E-05 6.58E-05 5.89E-05 5.26E-05 4.71E-05 4.21E-05 3.77E-05 3.37E-05 3.02E-05 2.70E-05 2.42E-05 2.16E-05 1.94E-05 1.73E-05 1.55E-05 1.39E-05 1.24E-05 1.12E-05 9.99E-06 8.95E-06 8.02E-06 7.19E-06 6.44E-06 5.77E-06 5.17E-06 4.64E-06

10 4.16E-06 3.73E-06 3.34E-06 3.00E-06 2.69E-06 2.41E-06 2.16E-06 1.94E-06 1.74E-06 1.56E-06 11 1.40E-06 1.26E-06 1.13E-06 1.01E-06 9.08E-07 8.15E-07 7.32E-07 6.57E-07 5.89E-07 5.29E-07 12 4.75E-07 4.27E-07 3.83E-07 3.44E-07 3.09E-07 2.77E-07 2.49E-07 2.24E-07 2.01E-07 1.81E-07 13 1.62E-07 1.46E-07 1.31E-07 1.18E-07 1.06E-07 9.50E-08 8.50E-08 7.70E-08 6.90E-08 6.20E-08 14 5.60E-08 5.00E-08 4.50E-08 4.00E-08 3.60E-08 3.30E-08 2.90E-08 2.60E-08 2.40E-08 2.10E-08 15 1.90E-08 1.70E-08 1.60E-08 1.40E-08 1.30E-08 1.10E-08 1.00E-08 9.00E-09 8.00E-09 7.00E-09 16 7.00E-09 6.00E-09 5.00E-09 5.00E-09 4.00E-09 4.00E-09 4.00E-09 3.00E-09 3.00E-09 3.00E-09 17 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 18 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 0 0 0 0 0

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

37

Tabla 1.3.c. Valores de la integral exponencial para 0.1 x 3.9x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 0 1.8229 1.2227 0.9057 0.7024 0.5598 0.4544 0.3738 0.3106 0.2602 0.2194 0.1860 0.1584 0.1355 0.1162 1 4.0379 1.7371 1.1829 0.8815 0.6859 0.5478 0.4454 0.3668 0.3050 0.2557 0.2157 0.1830 0.1559 0.1334 0.1145 2 3.3547 1.6595 1.1454 0.8583 0.6700 0.5362 0.4366 0.3599 0.2996 0.2513 0.2122 0.1801 0.1535 0.1313 0.1128 3 2.9591 1.5889 1.1099 0.8361 0.6546 0.5250 0.4280 0.3532 0.2943 0.2470 0.2087 0.1772 0.1511 0.1293 0.1111 4 2.6813 1.5241 1.0762 0.8147 0.6397 0.5140 0.4197 0.3467 0.2891 0.2429 0.2052 0.1743 0.1487 0.1274 0.1094 5 2.4679 1.4645 1.0443 0.7942 0.6253 0.5034 0.4115 0.3403 0.2840 0.2387 0.2019 0.1716 0.1464 0.1254 0.1078 6 2.2953 1.4092 1.0139 0.7745 0.6114 0.4930 0.4036 0.3341 0.2790 0.2347 0.1986 0.1688 0.1441 0.1235 0.1062 7 2.1508 1.3578 0.9849 0.7554 0.5979 0.4830 0.3959 0.3280 0.2742 0.2308 0.1953 0.1662 0.1419 0.1216 0.1046 8 2.0269 1.3098 0.9573 0.7371 0.5848 0.4732 0.3883 0.3221 0.2694 0.2269 0.1922 0.1635 0.1397 0.1198 0.1030 9 1.9187 1.2649 0.9309 0.7194 0.5721 0.4636 0.3810 0.3163 0.2647 0.2231 0.1890 0.1609 0.1376 0.1180 0.1015

1.5 0.100020 0.098544 0.097093 0.095666 0.094263 0.092882 0.091524 0.090188 0.088874 0.087580 1.6 0.086308 0.085057 0.083825 0.082613 0.081421 0.080248 0.079093 0.077957 0.076838 0.075738 1.7 0.074655 0.073589 0.072539 0.071506 0.070490 0.069489 0.068503 0.067534 0.066579 0.065639 1.8 0.064713 0.063802 0.062905 0.062021 0.061151 0.060295 0.059452 0.058621 0.057803 0.056998 1.9 0.056204 0.055423 0.054654 0.053896 0.053150 0.052414 0.051690 0.050977 0.050274 0.049582 2.0 0.048900 0.048229 0.047567 0.046915 0.046273 0.045641 0.045017 0.044403 0.043798 0.043202 2.1 0.042614 0.042035 0.041465 0.040903 0.040349 0.039803 0.039266 0.038736 0.038213 0.037698 2.2 0.037191 0.036691 0.036198 0.035713 0.035234 0.034762 0.034297 0.033839 0.033387 0.032941 2.3 0.032502 0.032069 0.031643 0.031222 0.030808 0.030399 0.029996 0.029599 0.029207 0.028821 2.4 0.028440 0.028065 0.027695 0.027330 0.026970 0.026616 0.026266 0.025921 0.025581 0.025246 2.5 0.024915 0.024589 0.024267 0.023950 0.023638 0.023329 0.023025 0.022725 0.022430 0.022138 2.6 0.021850 0.021566 0.021287 0.021011 0.020739 0.020470 0.020205 0.019944 0.019687 0.019432 2.7 0.019182 0.018935 0.018691 0.018450 0.018213 0.017979 0.017748 0.017520 0.017296 0.017074 2.8 0.016855 0.016640 0.016427 0.016217 0.016010 0.015805 0.015604 0.015405 0.015209 0.015015 2.9 0.014824 0.014636 0.014450 0.014266 0.014085 0.013906 0.013730 0.013556 0.013385 0.013215 3.0 0.013048 0.012883 0.012721 0.012560 0.012402 0.012246 0.012091 0.011939 0.011789 0.011641 3.1 0.011494 0.011350 0.011208 0.011067 0.010928 0.010791 0.010656 0.010523 0.010391 0.010261 3.2 0.010133 0.010006 0.009882 0.009758 0.009637 0.009516 0.009398 0.009281 0.009165 0.009052 3.3 0.008939 0.008828 0.008718 0.008610 0.008503 0.008398 0.008294 0.008191 0.008090 0.007990 3.4 0.007891 0.007793 0.007697 0.007602 0.007508 0.007416 0.007324 0.007234 0.007145 0.007057 3.5 0.006970 0.006884 0.006800 0.006716 0.006634 0.006552 0.006472 0.006392 0.006314 0.006237 3.6 0.006160 0.006085 0.006010 0.005937 0.005864 0.005793 0.005722 0.005652 0.005583 0.005515 3.7 0.005448 0.005381 0.005316 0.005251 0.005187 0.005124 0.005062 0.005000 0.004939 0.004879 3.8 0.004820 0.004762 0.004704 0.004647 0.004591 0.004535 0.004480 0.004426 0.004372 0.004319 3.9 0.004267 0.004215 0.004165 0.004114 0.004065 0.004016 0.003967 0.003919 0.003872 0.003825

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

38

Reemplazando la Ec. 1.23 en 1.22

tD =

t to

(1.23)

t = to t D 2 P 1 P ct rw2 P + = 2 rD rD rD kto t DPara definir to, asuma que2 ct rw

(1.24)

kto

= 1 , de donde;

to =

2 ct rw

k

(1.25)

Reemplazando la Ec. 1.25 en la definicin de tD:2 ct rw t = tD k

(1.26)

Despejando tD;

kt tD = c r 2 t w Reemplazando la Ec. 1.25 en la Ec. 1.23:

ct rw2 P 2P 1 P + = 2 2 rD rD rD ct rw t Dk k

2P 1 P P + = 2 rD rD rD t DSolucin para el caso de rata constante;q= khP B ln ( re / rw )

(1.27.a)

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

39

Ntese que la ecuacin anterior es la solucin de la ecuacin de difusividad para estado estable. Despejando P;

P =

qB re ln kh rw

Definiendo:

PD = lnP =

re rw

qB PD kh

Esto significa que la cada de presin fsica en estado estable para flujo radial es igual a la presin adimensional multiplicada por un factor escalable, que para este caso depende del caudal y de las propiedades del yacimiento. El mismo concepto se aplica a flujo transitorio y a situaciones ms complejas, pero en este caso la presin adimensional es diferente. Por ejemplo, para flujo transitorio la presin adimensional siempre es funcin del tiempo adimensional. En general, la presin a cualquier punto en un sistema con pozo nico que produce a rata constante, q, est dada por:

[ Pi P (r , t )] =

qB PD (t D , rD , CD , geometra,....) kh

La presin adimensional es tambin afectada por la geometra del sistema, otros sistemas de pozos, el coeficiente de almacenamiento, caractersticas anisotrpicas del yacimiento, fracturas, discontinuidades radiales, doble porosidad entre otras. Despejando PD;

PD ( rD , t D ) =

kh ( Pi P ) qB

(1.27.b)

Derivando dos veces; PD = kh P qB

(1.28)

2 PD =

kh 2 P qB

(1.29)

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

40

Reemplazando las Ecs. 1.28 y 1.29 en la Ec. 1.27:

qB 2 PD qB 1 PD qB PD = 2 kh rD kh rD rD kh t D

2 PD 1 PD PD + = 2 rD rD rD t DSolucin para el caso de presin constante:

PD =

P Pwf Pi Pwf

; 0 PD 1

El procedimiento es similar al caso de rata constante.

1.4.2. Solucin de la Integral Exponencial, EiAsuma a) un solo pozo produce a caudal constante, and b) el yacimiento es infinito con rw 0, r 0, P Pi. Defina;

rD =tD =

r rw0.0002637 kt 2 ct rw r2 0.0002637 kt = tD w A ct A

(1.30)

t DA =

(1.31)

PD = PD ( rD , t D )PD = kh ( Pi P ) 141.2q B

(1.32)

Ejercicio: Un yacimiento de forma cuadrada produce 300 BPD a travs de un pozo localizado en el centro de uno de sus cuadrantes. Ver Fig. 1.13. Estime la presin en el pozo despus de un mes de produccin: Pi = 3225 psia h = 42 pies

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

41

ko = 1 darcy o = 25 cp Bo = 1.32 bbl/BF A = 150 Acres

= 25 %ct = 6.1x10-6 /psi rw = 6 pulg q = 300 BPD

t DA =t DA =

0.0002637 kt ct A(0.02637)(1000)(720) = 0.76 (0.25)(25)(6.1 10 6 )(6534000)

De la Fig. 1.14.a se lee un valor de la presin adimensional de 12.

PD =

kh ( pi p ) 141.2q

12 =

(1000)(42) ( pi p ) (141.2)(300)(1.32)(25)

P = 2825 psi.

Fig. 1.13. Geometra del yacimiento

1.5. APLICACIN DIFUSIVIDAD

DE

LA

SOLUCIN

DE

LA

ECUACIN

DE

1 r2 PD (rD , t D ) = Ei D 2 4t D

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

42

14

131

121

11

10

1 1 1 1

PD

9

81

1

7

6

5

4 0.001

0.01

t DA

0.1

1

Fig. 1.14.a. Presin adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y dao, A0.5/rw = 2000

42

43

14

13

12

11

10

2 1

PD

91

2 1

2

8

71

2

6

5

4 0.001

0.01

t DA

0.1

1

Fig. 1.14.b. Presin adimensional para un un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y dao, A0.5/rw = 2000

43

44

14

13

12

112

10

1 2

PD

91 1

4

82 1

7

6

5

4 0.001

0.01

t DA

0.1

1

Fig. 1.14.c. Presin adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y dao, A0.5/rw = 2000

44

45

14

13

124

111

10

PD

4

9

1

84

75

1

61

5

4 0.001

0.01

t DA

0.1

1

Fig. 1.14.d. Presin adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y dao, A0.5/rw = 2000

45

46

2 948 ct r 2 rD = x= 4t D kt

(1.33)

1 Si PD = Ei ( x ) entonces, se cumple que cuando x < 0.0025 2

Ei (x ) = ln(1.781x )E i ( x ) = ln 1.781 + ln x

(1.34)

E i ( x ) = ln x + 0.5772Por definicin de PD;

(1.35)

1 PD = Ei ( x ) 2PD = 2 1 rD + 0.5772 ln 2 4t D

PD =

1 4t D ln 2 0.5772 2 rD

De la definicin de PD;

PD =

1 tD ln 2 + 0.80907 2 rD

(1.36)

Esta ecuacin es vlida para tD/rD2 50 100.

p = pi + 70.6

q 948 ct r 2 Ei kh kt

(1.37)

Ejercicio: Un pozo y yacimiento tienen las siguientes caractersticas: q = 20 BF/D = 23 % B = 1.475 bbl/BF

= 0.72 cpPi = 3000 psia k = 10 md

ct = 1.5x10-5 re = 3000 pies h = 150 pies

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

47

Calcule la presin del yacimiento a 1 pie, 10 pies y 100 pies despus de 0.3 hrs de produccin.

tD =

0.0002637 kt 31.82 = 2 2 ct rw rw

Los tiempos adimensionales son: Para 1 pie 31.85, para 10 pies 0.3185 para 100 pies 0.003185. Y el x es, respectivamente 0.0007849, 0.07849 y 7.849. Para el primer x, se usa la aproximacin logartmica, Ei = 6.572, para el segundo y tercero se debe usar tabla 1.3 y resulta un valor de la integral exponencial de 2.044 y para el tercer de cero.

qB 948 ct r 2 (20)(1.475)(0.72) Ei 6.572 = 3000 70.6 kh kt (10)(150) p = 2993.43 psi p = pi + 70.6

qB 948 ct r 2 (20)(1.475)(0.72) Ei 2.044 = 3000 70.6 kh kt (10)(150) p = 2997.96 psi p = pi + 70.61.6. DISTRIBUCION DE PRESIONEn el punto N, Fig. 1.15, la presin puede calcularse por medio de la Ec. 1.37. En la cara del pozo rD = r/rw=1 y P = Pwf. Note que para aplicar la solucin de la lnea fuente como tal, el yacimiento se asume infinito.

Yacimiento infinito, Pi

Punto N

Pozo

Fig. 1.15. Distribucin de presin

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

48

1.7. DAO A LA FORMACIN (POZO)Hay varias formas de cuantificar dao o estimulacin en un pozo en operacin (productor o inyector). El mtodo ms popular es el de representar una condicin del pozo mediante una cada de presin en estado estable que ocurre en la cara del pozo, adicional a la cada de presin transitoria en el yacimiento que ocurre normalmente. La cada de presin adicional, se llama efecto de dao y toma lugar en una zona infinitesimalmente delgada: zona de dao. P = P deplecin + P de dao Algunos factores causantes de dao son: 1. Invasin de los fluidos de perforacin 2. Penetracin parcial del pozo 1. Completamiento parcial 2. Taponamiento de las perforaciones 3. Precipitacin orgnico/Inorgnica 4. Densidad de perforacin inadecuada o perforacin limitada 5. Crecimiento bacteriano 6. Dispersin de arcillas 7. Presencia de torta y cemento 8. Presencia de alta saturacin de gas alrededor del pozo

Pi Pwf = 141.2Pi Pwf = 141.2

q B PD kh

sin dao

q B ( PD + s ) kh

(1.38)

Pi Pwf = 141.2 Ps = 141.2

q B q B PD + 141.2 s kh kh

(1.39)

q B s kh

Asumiendo estado estable cerca al pozo y que la zona de dao tiene un radio finito, rs, con una permeabilidad alterada, ks, la cada de presin debido al dao se expresa como la diferencia de presin existente entre la zona virgen y la zona alterada, es decir:

ps = Palterada en zona danada Pvirgen en zona danada

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49

2500

2000

S01000

500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Pozo

Radio, pies

Fig. 1.16. Influencia del dao

Ps = 141.2

q B rs q B rs ln 141.2 ln ks h rw kh rw rs q B k 1 ln k s h k s rw

Ps = 141.2Luego:

k rs s = k 1 ln r w s

(1.40)

rs, ks son difciles de obtener, luego de la Ec. 1.3

Ps = 141.2

q B s kh

rs = rw e sCombinando con la Ec. 1.40

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50

. p s = 1412

r q k 1 ln s kh k s rw2 q B 1 948 ct rw Ei s kh 2 kt

(1.41)

Pi = Pwf 141.2

(1.42)

Aplicando la aproximacin logartmica:

Pi = Pwf 141.2

q B 1 2 ln (1.781x ) s kh

2 948 ct rw q B 1 Pi = Pwf 141.2 ln 1.781 s kh 2 kt

;

Pi = Pwf 70.6

2 948 ct rw q B ln 1.781 2s kh kt 2 q B 1688.47 ct rw ln 2s kh kt 2 ct rw q B ln (1688.47 ) + ln 2s kh kt 2 ln10 ct rw q B 7.4315 + ln 2s kh kt ln10

Pi = Pwf 70.6

Pi = Pwf 70.6

Pi = Pwf 70.6

puesto que el ln 10 = 2.30252 q B 7.4315 ln[ ct rw /(kt )] 2 s + Pi = Pwf 162.6 ln10 ln10 kh 2.3025 2 ct rw q B Pi = Pwf 162.6 3.2275 + log 0.8686s kh kt

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51

m=

162 .6 q B kh

Pwf

m

Log t

Fig. 1.17. Grfico semilog Cambiando de signo:2 ct rw q B Pi = Pwf 162.6 3.2275 log + 0.8686s kh kt

Invirtiendo el logaritmo:

Pi = Pwf 162.6

q B kt 3.23 + 0.8686 s log 2 kh ct rw

(1.43)

pendiente semilog

1.8. FLUJO DE GASPara flujo de gas la presin de fondo puede expresarse como m(p), p2 p.

1637 g zTq kt 2 3.23 + 0.886s Pwf = Pi 2 log 2 kh ct rw -------------- x ------------q = Mpcn/D T = R

(1.44)

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

52

1637 g zTq 2 Pwf Pi 2 = (Pwf Pi )(Pwf + Pi ) = x kh

P=

Pwf + Pi 2

1637 g zTq x Pwf Pi = kh 2P

162.6 g q 10.09 zT Pwf Pi = x kh 2P El trmino entre corchetes corresponde al Bg (bbl/pcn). Cambiando unidades de pcn/D a Mpcn/D, puesto que normalmente Bg = 0.00504 zT / P en bbl/pcn. Resulta:

162.6 g qBg Pwf Pi = kh Incluyendo el dao:

x

kt Pwf = Pi 162.6 g q g log 3.23 + 0.8686s 2 ct rw La ecuacin es buena para yacimientos grandes o donde el comportamiento infinito est presente.

Sistemas Finitos cerradosEn sistemas cerrados, como el de la Figs. 1.18. o 1.19, el flujo radial es seguido por un periodo de transicin. Este a su vez es seguido por el estado pseudoestable, el cual es un rgimen de flujo transitorio donde el cambio de presin con el tiempo, dP/dt, es constante en todos los puntos del yacimiento:dP q = dt cV p

Luego la ecuacin de difusividad, Ec. 2.21, se convierte en:

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53

ito Fin

Area de drene

Fig. 1.18. Sistema cerradoD C D

B

APozo

D

D

Fig. 1.19. Pozo en el centro de un yacimiento cuadrado y de frontera cerradas

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54

1.E+04

A

B

C

D

1.E+03

a) Derivada1.E+02

P y t *P

D

D1.E+01 1.E+00 1.E-01 1.E+01

D

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

tD7.E+03

6.E+03

b) Semilog5.E+03

4.E+03

P

D3.E+03 2.E+03 1.E+03

0.E+00 1.E+01

A1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

B1.E+06

C1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11

tD5.E+01

c) Cartesiano4.E+01

D

C B3.E+01

P

D

2.E+01

1.E+01

0.E+00 0.E+00

A

1.E+07

2.E+07

3.E+07

4.E+07

5.E+07

6.E+07

7.E+07

8.E+07

D9.E+07

1.E+08

tD

Fig. 1.20. Comportamiento de la presin adimensional en un yacimiento cerrado

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

55

1.E+02

A1.E+01

B

C

D

1.E+00

P y t D*P D D

1.E-01

1.E-02

1.E-03

1.E-04 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

tD5.E+01

4.E+01

B4.E+01

C

D

3.E+01

3.E+01

P D2.E+01

2.E+01

1.E+01

5.E+00

0.E+00 1.E+01

1.E+02

1.E+03

B1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

tD5.E+01

4.E+01

B

D

D

3.E+01

P D2.E+01

1.E+01

0.E+00 0.E+00

A

5.E+06

1.E+07

2.E+07

2.E+07

3.E+07

3.E+07

4.E+07

4.E+07

5.E+07

5.E+07

tD

Fig. 1.21. Comportamiento de la presin adimensional en un yacimiento abierto

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56

1 P c q = cte r = r r r k cV pEl periodo de flujo pseudoestable ocasionalmente ha sido denominado en forma errnea como flujo estable, aunque el verdadero estado estable la presin es constante con el tiempo en cualquier punto del yacimiento. La Fig. 1.19 esquematiza un pozo productor en el centro de un yacimiento cuadrado con fronteras cerradas. La porcin marcada con A denota los efectos de almacenamiento y dao en el pozo. Debido a ellos el flujo radial ha sido enmascarado y se observa ms tarde como lo seala la zona demarcada como B. Esta zona se llama tambin zona de comportamiento infinito puesto que en ella el pozo se comporta como si estuviera en un sistema infinito. Obsrvese que pudiera existir una zona de transicin entre los periodos A y B pero aqu no se considera. Una vez terminado el flujo radial se desarrolla una zona de transicin demarcada como C para luego desarrollarse el flujo pseudoestable que corresponde a la demarcacin D, en donde la presin cambia linealmente con el tiempo. La representacin de dichos regimenes de flujo en trminos del comportamiento de la presin se presenta en la Fig. 1.20. Para estos yacimientos r no tiende a infinito. Para este tipo de yacimientos la solucin de la ecuacin exponencial es diferente de la solucin Ei. Si se asume que el pozo es una lnea fuente, entonces:PD (rD , t D ) = 2t D +2 2 J 0 ( r ) rD 3 ln rD 2 2 2 n D e n tD 2 4 n =1 n J 0 ( n )

reD =tD =

re rw

0.0002637 kt ct A

n es la raz de:J 12 ( n re ) = 0

n = n reLa solucin de la ecuacin de difusividad en forma adimensional est dada por:

1 A 1 2.5458 PD = 2 t DA + ln 2 + ln 2 rw 2 C A

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57

Ntese que si en la ecuacin anterior se reemplaza CA = 31.62, el valor del factor de forma para un yacimiento circular con un pozo en el centro, los dos ltimos trminos de la ecuacin se transforman en la solucin familiar ln(re/rw)-3/4. Una caracterstica importante de este periodo de flujo es que la rata de cambio de presin con respecto al tiempo es una constante, es decir, dPD/dtDA = 2 .

Sistemas Finitos Abiertos o de presin constanteCuando en cualquier punto del yacimiento la presin no vara con el tiempo, se dice que el flujo es estable. En otras palabras, el lado derecho de la Ec. 1.19 se cero:

1 P r =0 r r r Las funciones adimensionales de presin para flujo lineal y radial son, respectivamente: ( PD ) ssL = 2 ( PD ) ssr = lnLh A

re rw

Y la solucin de la ecuacin de difusividad ser:q= 0.00708kh( Pe Pw ) B ln ( re / rw )

que es la forma radial de la ecuacin de Darcy. En los yacimientos, el estado estable puede ocurrir solamente cuando el yacimiento est completamente recargado por un acufero o cuando la inyeccin y la produccin se encuentran balanceadas. Sin embargo, un yacimiento que posee un acufero muy activo no siempre actuar bajo estado estable. Primero tiene que existir un periodo de estado inestable, que se seguir por el estado estable una vez la cada de presin haya tocado las fronteras del yacimiento. La representacin de los regimenes de flujo en trminos del comportamiento de la presin, para estado estable, se presenta en la Fig. 1.21. La extraccin de fluidos de un yacimiento presurizado con fluidos compresibles ocasiona una perturbacin de presin. Aunque se espera que dicha perturbacin viaje a la velocidad del sonido, sta se atena rpidamente de modo que para una duracin dada de tiempo de produccin existe una distancia, el radio de drenaje, ms all del cual no se observarn cambios sustanciales de presin. A medida que se extrae ms fluido (o se inyecta) la perturbacin se mueve ms dentro del yacimiento con continua declinacin de presin en todos los puntos que han experimentado declinacin de

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58

presin. Una vez se encuentra una frontera la presin en la frontera contina declinando pero a una rata ms rpida que cuando la frontera no se haba detectado. Por otro lado si el transiente de presin alcanza una frontera abierta (empuje de agua) la presin se mantiene constante en algn punto, las presiones ms cercanas al pozo declinarn ms despacio que si se hubiese encontrado una frontera cerrada. Cambios de caudal o pozos adicionales causan transientes de presin adicionales que afectan tanto la declinacin de presin como la distribucin de la misma. Cada pozo establecer un rea de drenaje que le suministra fluido. Cuando se encuentra una frontera de flujo o no, el gradiente de presin no el nivel de presin- tiende a estabilizarse despus de tiempo de produccin suficientemente largo. Para el caso de frontera cerrada, la presin alcanza el estado pseudoestable con un gradiente de presin constante y una declinacin de presin general en todo punto y que es lineal con el tiempo. Para yacimientos de presin constante, se obtiene el estado estable, tanto la presin como su gradiente permanecen constantes con el tiempo.

EJEMPLOUn pozo sencillo en un yacimiento est produciendo un caudal constante de petrleo de 110 STB/D. Algunos datos relevantes para este yacimiento son:

= 1.3 cpPi = 2800 psia B = 1.25 bbl/STB s =1.5

ct = 1.62x10-5 psi-1 re = 3500 ft h = 80 ft

= 18 %rw = 0.3 ft k = 75 md

a) Halle la presin del pozo fluyendo despus de un mes de produccin. b) Determien la presin del yacimiento a un radio de 1, 2, 5, 10, 20, 100 ft, 1000 ft para el mismo tiempo de produccin. Graficar el perfil de presin.

SOLUCIONa) El tiempo adimensional es obtenido mediante; tD = 0.0002637 kt 0.0002637(75)(720) = = 41737891.7 2 (0.18)(1.3)(1.62 105 )(0.3) 2 ct rw

Note que la relacin tD/rD2 es mucho mayor que 70, entonces la aproximacin logartmica de Ei puede ser usada:

t Ei[ x ] = ln D + 0.80907 = ln[41737891.7] + 0.80907 = 18.3559 2 rD

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59

Si se conoce el valor de x de la Ec. 1.8.b, la integral exponencial se puede evaluar de la tabla 1.3 de la Fig. 1.10. Estime el valor de x, mediante: x= 948 ct r 2 948(0.18)(1.3)(1.62 105 )(0.3) 2 = = 5.9895 109 kt 75(30)(24)

Entonces, Ei se evala usando la tabla 1.3 Ei = 18.356. Este valor anterior coincide muy bien con el obtenido de la Ec. 1.35. La presin de pozo fluyendo se estima usando la Ec. 1.43: Pwf = 2800 162.6(110)(1.3)(1.25) (75)(720) log (0.18)(1.3)(1.62 10 5 )(1) 2 3.23 + 0.8686(1.5) (75)(80)

Pwf = 2755.3 psi La Ec. 1.43 est limitada por el valor de tD/rD2. Si este fuera el caso, otra manera de representar la Ec. 1.34 es: P(r , t ) = Pi 70.6q B Ei ( x) kh (1.45)

Reemplazando los parmetros conocidos en la ecuacin anterior: P (r , t ) = 2800 70.6(110)(1.3)(1.25) 18.356 = 2755.1 psi (75)(80)

b) En un radio de 1 ft, el valor de x se calcula usando la Ec. 1.8.b; Tabla 1.4. Distribucin de presinRadio, ft 0.3 1 2 5 10 20 100 1000 x 5.99x10-9 6.66 x10-8 2.66 x10-7 1.66 x10-6 6.65 x10-6 2.66 x10-5 6.65 x10-4 6.65 x10-5 Ei(-x) p, psi 18.356 44.92 15.948 33.54 14.561 30.62 12.729 26.77 11.342 23.85 9.956 20.94 6.738 14.17 2.198 4.623 P, psia 2755.1 2766.5 2769.4 2773.2 2776.2 2779.1 2785.8 2795.4

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

60

2800

2790

Presin, psi

2780

2770

2760

2750 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Radio, pie

Fig. 1.22. Distribucin de presin en el yacimiento x= 948(0.18)(1.3)(1.62 105 )(1) 2 = 6.655 108 75 (30 24)

Ei se obtiene de la tabla 1.3, Ei = 5.948. La presin se estima con la Ec. 1.45: P (r , t ) = 2800 70.6(110)(1.3)(1.25) 15.948 = 2766.5 psi (75)(80)

Los valores de presin para los dems radios son reportados en la tabla 1.4 y graficados en la Fig. 1.22. Se observa en la grfica que las mayores cadas de presin tienen lugar en la regin cercana a la cara del pozo, como se esperaba.

1.9. FUNCIN DE DERIVADA DE PRESIN 1.9.1. Deduccin de la Derivada de la Presin1 r2 PD (rD , t D ) = Ei D 2 4t D Derivando respecto a tD:2 p D 1 rD Ei = 2 t D 4t D t D

(1.46)

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

61

Puesto que, Ei ( x ) =

x

e u du u

Aplicando este concepto: t D2 rD e u = u Ei rD 2 4t D t D 4tD u

t D

rD 2 Ei 4t D

e u u = u t D

2 rD 4tD

Tomando la derivada v/tD y remplazando v por rD2/4tD: t D2 rD e (rD / 4tD ) = Ei 2 rD 4t D 4t D2

2 rD 2 4t D

2 2 rD 1 (rD / 4tD ) Ei 4t = t e t D D D

(1.47)

Combinando (1.37) y (1.38)2 p D 1 1 (rD / 4t D ) = e t D 2 tD

(1.48)

Expresando la Ec. 1.48 en derivadas parciales, se tiene que: p D 1 1 4tD = e t D 2 tD El anterior concepto fue introducido por Tiab en 1975.1.9.2. Conversin de la Ecuacin de Derivada de Presin a Unidades de Campo2 rD

(1.49)

Tomando la Ec. 1.49

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

62

2 p D 1 rD / 4tD = e 2t D t D

Puesto que, tD = 0.000264kt 2 ct rw kh (Pi Pwf ) 141.2 q (1.50)

PD =

(1.51)

Las Ecs. 1.50 y 1.51 estn expresadas en unidades de campo. Tomando la derivada para las Ecs. 1.50 y 1.51 respecto a t. t D 0.000264k = 2 t ct rw p D kh = t 141.2 q Pwf t (1.52)

(1.53)

Puesto que se puede escribir:

p D PD / t = t D t D / tAplicando el concepto de la Ec. 1.542 Pwf khctrw PD = t D 141.2 q (0.000264k ) t

(1.54)

(1.55)

Remplazando la Ec. 1.55 en el lado izquierdo de la Ec. 1.49 y sustituyendo rD y tDt w 2 2 2 Pwf (r / 4 )(0.000264 kt ) khct rw ct rw = e 141.2 q (0.000264k ) t 2(0.000264kt )

r 2c r 2

kh 141.2 q

Pwf

1 = e t 2t

948ct r 2 kt

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

63

Simplificando

Pwf

70.6q e = kht t

948ct r 2 kt

(1.56)

La Ec. 1.56 expresada en unidades de campo

PD 1 4t = PD ' = e 2t D tD

2 rD D

(1.57)

En el pozo, rD = 1, luego:1 4tD PD ' = e 2t D1

(1.58)

Para tD > 250, e 1/ 4tD = 1 , entonces la Ec. 1.58 se convierte en:

PD '=

1 2t D

(1.59)

Tomando logaritmo a ambos lados:

log PD ' = log1 logt D log2log PD ' = logt D 0.301

(1.60)

Lo que indica que la grfica log-log de PD contra tD da una lnea recta de pendiente unitaria. Ver Figs. 1.23 y 1.24. En unidades reales de campo las Ecs. 1.59 y 1.60 se convierten:Pwf ' =

Pwf 1 70.6q B = t kh t

(1.61)

;

70.6q B log Pwf ' = log t + log kh

(1.62)

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64

P1hr

P hr = 1

70.6qB kh

log Pwf'

1 hr

Log tFig. 1.23. Grfico log-log de Pwf vs. t

m = -1 Falla simple

log PD'

m = -1

log t DFig. 1.24. Identificacin de fallas mediante grfico log-log de PD vs. tD

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

65

log PD

2m

m

Falla simple

log t DFig. 1.25. Identificacin de fallas mediante grfico de PD vs. log tD Con efectos de almacenamiento (WBS) y dao la lnea no da recta. Con P1hr se puede hallar k kh por medio de la Ec. 1.63.

P '1hr = 70.6

q kh

(1.63)

1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA 1.10.1. Diferencia Finita Central

Calcular la derivada de la Presin requiere de algn cuidado, debido a que el proceso de diferenciacin de datos puede amplificar cualquier ruido que pueda estar presente. Una diferenciacin numrica usando puntos adyacentes producir una derivada muy ruidosa. (ti ti 1 )Pi +1 (t 2ti + ti1 )Pi (ti+1 ti )Pi1 P t = ti + i +1 t i (ti +1 ti )(ti +1 ti 1 ) (ti +1 ti )(ti ti 1 ) (ti ti 1 )(ti +1 ti 1 )

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

66

P P t = t ln t t i i

ln(ti / ti 1 )Pi +1 ln ti +1ti 1 / ti2 Pi + ln (t / t ) ln (ti +1 / ti 1 ) ln(ti +1 / ti ) ln (ti / ti 1 ) = i +1 i ln(ti +1 / ti )Pi 1 ln (ti / ti 1 ) ln (ti +1 / ti 1 )

(

)

(1.64)

1.10.2. Ecuacin de HorneCuando los datos estn distribuidos en una progresin geomtrica (con la diferencia de tiempo de un punto al siguiente muchos ms grande a medida que pasa la prueba), entonces el ruido en la derivada puede reducirse usando una diferenciacin numrica con respecto al logaritmo del tiempo. El mejor mtodo para reducir el ruido es usar datos que estn separado por lo menos 0.2 de un ciclo logartmico, en vez de puntos que estn inmediatamente adyacentes. Por lo tanto:

P P t = t t i ln t i

ln (t i / t i k )Pi + j ln t i + j t i k / t i2 Pi + ln (t i + j / t i )ln (t i + j / t i k ) ln(t i +1 / t i )ln (t i / t i 1 ) = ln (t i + j / t i )Pi 1 ln(t / t )ln (t / t ) i+ j ik i i k

(

)

(1.65)

ln t i + j ln t i 0.2ln t i ln t i k 0.2

1.10.3. Ecuacin de Bourdet y colaboradoresEste algoritmo de diferenciacin reproduce la curva tipo de la prueba sobre el intervalo completo de tiempo. Este usa un punto antes y un punto despus del punto de inters, i, calcula la correspondiente derivada, y ubica su media ponderada para el punto considerado.

Pi Pi 1 ( X i+1 X i ) + Pi+1 Pi ( X i X 1i ) X X i 1 X i +1 X i dP = i X i +1 X i 1 dx iSiendo X el logaritmo natural de la funcin de tiempo .

(1.66)

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67

L

L

(t 2 , X 2 )

(t 1 , X 1 )

Fig. 1.26. Ilustracin del suavizamiento

1.10.4. Ecuacin de Clark y Van Golf-RachtClark y van Golf-Racht utilizan el mtodo de Bourdet y escriben ste en trminos de P y t, generando una funcin que utiliza una sola diferencia progresiva.

X1 X2 t2 + t1 dX t1 t2 = dt t1 + t2

(1.67)

Siendo L el valor de suavizamiento, 0.1 < L < 1/10 de la escala logartmica aplicada.

1.10.5. Ecuacin de SimmonsLa rata de flujo se calcula por diferenciacin numrica de la longitud de la columna de un fluido con respecto al tiempo. Para suavizar los datos e incrementar la precisin de los clculos, se utilizan diferencias finitas de segundo orden. Las expresiones de diferencias finitas han sido derivadas de la expansin de las series de Taylor sin el requerimiento de igual lapso de tiempo para facilitar infrecuentes muestras de datos a tiempos tardos cuando la presin es relativamente constante. Para el clculo del caudal inicial una diferencia finita progresiva es requerida. Defina: ti = ti+1 ti. La diferencia finita central:

dX ti21 X i +1 + (ti2 ti21 ) X i ti2 X i 1 = dt (ti21ti + ti2 ti 1 )Para el primer punto, la diferencia finita progresiva es:

(1.68)

Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

68

(ti + ti +1 ) 2 (t + t ) 2 1 X i + i 2 i +1 X i +1 + X i + 2 ti2 ti dX = 2 dt (ti + ti +1 ) / ti (ti + ti +1 )

(1.69)

La diferencia finita de segundo orden incrementa la precisin del clculo de la derivada. Se ganan beneficios adicionales con la inclusin de ms puntos de datos en la aproximacin. Para el ltimo punto, la diferencia finita regresiva es:

(ti 1 + ti 2 ) 2 (t + t ) 2 1 X i + i 1 2 i 2 X i 1 + X i 2 ti21 ti 1 dX = 2 dt (ti 1 + ti 2 ) (ti 1 + ti 2 ) / ti 1

(1.70)

El algoritmo de Spline es el mejor procedimiento para derivar datos de presin vs. tiempo por ser ms efectivo y con mnimos errores promedios. Es el nico algoritmo de carcter polinomial que por ser continuo puede ser suavizado durante cualquier proceso de derivacin y la forma de la curva obtenida es acorde al modelo trabajado. El algoritmo de Simons es de carcter polinomial de segundo grado. Pero escrito en trminos de Presin y Tiempo, por lo que resulta imprctico el suavizamiento al tiempo que se realizan los clculos de la derivada. Los algoritmos polinomiales como el de Simons, el de 2 grado, el de 3er grado regresivo o el de 3er grado progresivo por ser de carcter discreto, no deben ser suavizados despus de un proceso de derivacin. Los algoritmos de Horne cuando L = 0.2 y L = 0.4 y Bourdet cuando L = 0.2 y L = 0.4 son buenas opciones para procesos de derivacin. El mejor procedimiento para anlisis de datos de presin vs. tiempo, es el de derivar y luego suavizar los datos.100

PD t D*PD'

10

PD, t D D *P '1 0.1 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

tD

Fig. 1.27. La funcin derivada de presin analtica para un yacimiento homogneo e infinito

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69

100

10

PD, t D D *P '

1

0.1

0.01 1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

tD

Fig. 1.28. La funcin derivada de presin para un yacimiento homogneo e infinito mediante los algoritmos de Horne, Clark y Van Golf-Racht, Spline, Simmons, Bourdet y polinomiales con ruido aleatorio

1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICINAdicionando soluciones a la ecuacin diferencial lineal resultar en una nueva solucin de esa ecuacin diferencial pero para diferentes condiciones de frontera.

= 1 f 1 + 2 f 2 + 3 f 311.11.1. Superposicin en EspacioDe acuerdo con la Fig. 1.29, la cada de presin en el punto N, ser:PN = PN ,1 + PN ,2

(1.71)

Se sabe que;

PD =

kh ( Pi P ) 141.2q

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70

Yacimiento infinito, Pi

Pozo 2 q2

r2 r1

Punto N

Pozo 1 q1

Fig. 1.29. Presin en el punto N

Pi P = P =

141.2q B PD ( rD , t D ) kh

(1.72)

P se aplica en cualquier punto. Combinando las Ecs. 1.71 y 1.72 se tiene:

PN =rD1 =rD 2 =

141.2 ( qBo )1 PD ( rD1 , t D ) + ( qBo )2 PD ( rD 2 , t D ) kh

(1.73)

r1 rwr2 rw

Extendido a n nmero de pozos:

PN =

141.2 ( qBo )1 PD ( rD1 , t D ) + ( qBo )2 PD ( rD 2 , t D ) kh 141.2q B [ PD (rDi , tD ) ] kh i =1n

(1.74)

PN =

Si N es un pozo de observacin (activo), entonces, en el pozo:

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71

Pw =

141.2q B [ PD + s ] kh

(1.75)

Luego finalmente resulta;

PN =

141.2q B 141.2q B s [ PD (rDNi , tD )] + kh kh i =1n

N

(1.76)

Incluye N

rDNi =

r1 rw

Note que en la Ecs. 1.71 y 1.76, se adicionan cambios de presiones o presiones adimensionales y no presiones. Si el punto de inters es un pozo en operacin, el factor de dao debe adicionarse a la presin adimensional de ese pozo nicamente.

1.11.2. Superposicin en TiempoAlgunas veces hay cambios de caudal cuando un pozo produce. Ver. Fig. 1.30 y Fig. 1.31. Luego, debe aplicarse el concepto de superposicin. Para ello, un nico pozo se visualiza como si hubiera dos pozos en el mismo punto, uno con q1 para un tiempo de t = 0 a t = t1 y otro (imaginario) produciendo a una rata q2 - q1 por un perodo de tiempo t - t2. El cambio en la presin en el pozo debido al cambio de rata es:

P =

141.2 B [ q1PD (rD , tD1 ) + (q2 q1 ) PD (rD , tD 2 + s)] kh

(1.77)

Donde tD2 = (t-t1)D. Si existen ms variaciones en caudal:

P =

141.2 n ( qB )i ( qB )i1 ( PD (rD , (t ti ) D + s) ) kh i =1

(1.78)

Ejercicio: Los siguientes son los datos de dos pozos en produccin.k = 76 md pi = 2200 psi h = 20 pies

= 20 % = 1 cp

B = 1.08 bbl/BF ct = 10x10-6/psi

Calcule la presin en el pozo 1 despus de 7 hrs de produccin y en el pozo 2 despus de 11 hrs de produccin. Asuma comportamiento infinito.

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72

q2

Caudal

q1

t1 Tiempo

t2

Fig. 1.30. Superposicin en tiempoPozo 1100 pies

Pozo 2

100 Caudal, BPD

100

Caudal, BPD

50

25

10 Tiempo, hrs s=5 rw = 1 pie

8 s=1.7 rw = 1 pie

Tiempo, hrs

Fig. 1.31. Superposicin en tiempo

P(7 hr)= P causado por el flujo del pozo 1

+ P causado por el flujo del pozo 2

P7 hr ,rD =1 =tD =

141.2 q1 B 141.2 q2 B 1002 , tD ) PD (rD = 1, tD + s) ) + PD (rD = ( 1 kh kh

0.0002637 kt 0.0002637(76)t = = 10020t (0.2)(10 10 6 )12 ct rw2

En el pozo 1, tD = 10020*7 = 70140, x = 70140 > 100, luego:

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73

PD =

1 tD ln 2 + 0.80907 =5.98 2 rD

En el pozo 2, tD = 10020t/1002 = 7.014. De la 1.9.a 1.9.b (referencia 6) PD = 1.4. Calculando P en el pozo 1, resulta:P7 hr , rD =1 = 141.2(100)(1.08)(1) 141.2(100)(1.08)(1) ( 5.98 + 5) + (1.4 ) = 113.7 (76)(20) (76)(20)

Pw = 2200-113.7 = 2086.4 psiPARTE 2. A las 11 hrs, se desea estimar la presin en el pozo 2. Se deben considerar dos ratas en cada pozo:P(11hr ,rD =1) = 0.1(100) PD ( pozo 1 , t = 11 hr , rD = 100) + 0.1(50 100) PD ( pozo 1 , t = 11 10 hr , rD = 100) +0.1(25) PD ( pozo 2 , t = 11 hr , rD = 1 + s) + 0.1(100 25) PD ( pozo 2 , t = 11 8 hr , rD = 1 + s)

Para el pozo 1

tD = (10020/1002)(11) = 11 PD (rD = 100, tD = 11) = 1.61 de la Fig. 1.10 tD = (10020/1002)(1) = 1 PD (rD = 100, tD = 1) = 0.522 de la Fig. 1.10 (referencia 6)Para el pozo 2 tD = (10020)(11) = 110220 > 100, luego aplicando la frmula da PD = 6.21 tD = (10020)(3) = 30060 > 100, luego aplicando la frmula PD = 5.56. Colocando P en el pozo 2 se tiene:

P(11hr ,rD =1) = 0.1(100)(1.61) + 0.1(50)(0.522) + 0.1(25)(6.21 + 1.7) + 0.1(75)(5.56 + 1.7) = 87.72Pw = 2200 - 87.72 = 2112.28 psi

1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO 1.12.1. Pozo Unico Cerca a una Falla SellanteDe acuerdo con la Fig. 1.32, la cada de presin en el pozo activo es;

PDW = PDR + PDI

(1.79)

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74

SISTEMA REALFalla sellante

SISTEMA MODELADO

Pozo Productor

Pozo Productor

d

=

Pozo Productor (Imagen)

2d

Fig. 1.32. Pozo nico cerca a una falla sellante

PDR =

1 1 Ei 2 4t D

(1.80)

PDI

2 1 rD = Ei 2 4t D

(1.81)

rDI =

2d rw

Se asume s = 0, WBS = 0.

1.12.2. Pozo Cerca a una Barrera de Flujo o Lnea de Presin Constante (empuje de agua)SISTEMA MODELADOPresin constante

SISTEMA REAL

Pozo Productor

Pozo Productor

Pozo Inyector (Imagen)

d

=

2d

Fig. 1.33. Pozo cerca a una barrera de flujo Este sistema, matemticamente se expresa de acuerdo a la Fig. 1.33. No puede haber ms de un pozo por cuadrante.

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75

n pozos =

360

1.12.3. Pozo en Medio de dos Fallas que se InterceptanyD = by/bxEste sistema se representa de acuerdo con la Fig. 1.34.

EJEMPLOEl pozo A en la Fig. 1.35 ha producido a una rata constante de 380 BPD. Se desea estimar su presin fluyendo despus de una semana de produccin. Las propiedades del yacimiento, pozo y fluido son las siguientes:

s = -5 = 0.87 cp = 18 %

Pi = 2500 psi h = 40 ft rw = 6 in

B = 1.3 bbl/STB ct = 15x10-6 /psi k = 220 md

Cual ser la presin fluyendo del pozo despus de una semana de produccin? Cual sera la presin fluyendo del pozo despus de una semana de produccin si el pozo estuviera en un yacimiento infinito?

SOLUCIONLa cada de presin en el pozo A est afectada por su propia cada de presin y la cada de presin causada por sus pozos imgenes. La distancia del pozo A a sus pozos imaginarios se muestran en la Fig. 1.36. La cada de presin total para el pozo A es:PA = PA, r = rw + Pimage 1, r = 500 ft + Pimage 2, r =866 ft + Pimage 3, r =1000 ft + Pimage 4, r =866 ft + Pimage 5, r = 500 ft

Por simetra la expresin anterior se convierte en:PA = PA,r =rw + 2Pimage 1,r =500 ft + 2Pimage 2,r =866 ft + Pimage 3,r =1000 ft

El parmetro x de la Ec. 1.8.b y la integral exponencial usando la tabla 1.3.

xwell A =

948(0.18)(0.87)(1.5 10 5 )(0.5) 2 = 1.5 x10 8 , Ei = 17.433 (220)(168) 948(0.18)(0.87)(1.5 105 )(500) 2 = 0.015, Ei = 3.633 (220)(168)

ximage well 1 or 5 =

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76

Pozo imagen

Pozo imagen

2by by bx

=Pozo real Pozo imagen

2bx

Fig. 1.34. Pozo en medio de dos fallas que se interceptan500 ft

YD=1 Pozo At 0f 50

60

Fig. 1.35. Localizacin del pozo A (mtodo de las imgenes)Imagen Pozo 2

Imagen Pozo 1

Imagen Pozo 3

ft

866

100

0 ft

500 ftPozo A

500 ft

866 ft50 0f

Imagen Pozo 4

t

Imagen Pozo 5

Figure 1.36. Efectos de los pozos imaginarios para un pozo cerrado por dos fallas de interseccin las cuales forman un ngulo de 60

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77

ximage well 2 or 4 =

948(0.18)(0.87)(1.5 105 )(866 2 ) = 0.0452, Ei = 2.564 (220)(168)

ximage well 3 =

948(0.18)(0.87)(1.5 10 5 )(1000 2 ) = 0.06, Ei = 2.291 (220)(168)

Entonces, la cada de presin en A resultar:p A = 70.6PA = 70.6

q B Ei A,r =rw 2s + 2 Ei image 1,r =500 ft + 2 Ei image 2,r =866 ft + Ei image 3,r =1000 ft kh

[

]

(380)(0.87)(1.3) [17.433 10 + 2(3.633) + 2(2.564) + 2.291] = 76.3 psi (220)(40)

La presin fluyendo en el pozo A es:

Pwf = 2500-76.3 = 2423.7 psiSi el pozo estuviera ubicado en un yacimiento infinito, la contribucin de la no cada de presin sera obtenida de los pozos imaginarios, entonces:PA = 70.6PA = 70.6

q B Ei A,r = rw + 2 s kh (380)(0.87)(1.3) [17.434 10] = 25.63 psi (220)(40)

La presin fluyendo del pozo entonces sera de 2474.4 psi. Se observ que las fronteras de no flujo contribuyen con el 66.4 % de cada de presin total en el pozo A.

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2. PRUEBAS DE DECLINACIN DE PRESINEstas pruebas se efectuan con el fin de obtener: Permeabilidad promedia en el rea de drene del pozo Volumen poroso del yacimiento Determinar heterogeneidades (en el rea de drene) Lo que directamente se obtiene es: Transmisibilidad Volumen poroso por compresibilidad total

Como se hace una prueba de declinacin de presin Se cierra el pozo por un periodo de tiempo suficiente para alcanzar la estabilizacin en todo el yacimiento (sino hay estabilizacin probablemente se requiera una prueba multitasa). Se baja la herramienta a un nivel inmediatamente encima de las perforaciones (Mnimo la herramienta debe tener dos sensores para efectos de control de calidad de los datos). Abrir el pozo para producir a rata constante y registrar continuamente la Pwf.

La duracin de una prueba de declinacin puede ser unas pocas horas o varios das, dependiendo de los objetivos de la prueba y las caractersticas de la formacin. Pruebas de declinacin extensas o pruebas lmite (reservoir limit tests, RLT) se corren para delimitar el yacimiento o estimar el volumen de drene del pozo. Otros objetivos son: Hallar k, s, WBS, , forma del yacimiento y tamao del yacimiento. Idealmente, el pozo se cierra hasta que alcance la presin esttica del yacimiento antes de la prueba. Este requisito se consigue en yacimientos nuevos, pero a menudo es difcil o imprctico de lograr en yacimientos viejos o desarrollados. Este tipo de pruebas se analizan mediante pruebas multitasa.

2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE)Es el flujo continuado de la formacin hacia el pozo despus de que el pozo ha sido cerrado para estabilizacin. Se le denomina tambin postflujo, postproduccin, postinyeccin, carga o descarga. En pruebas de declinacin ocurre descarga (unloading). El flujo ocurre por la expansin de fluidos en el pozo. En pruebas de restauracin de presin ocurre postflujo (afterflow). La Fig. 2.1 ilustra lo anterior.

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RESTAURACION

DECLINACION

q

qCaudal en cabeza

Caudal en cabeza

flujo en la cara del pozo

flujo en la cara del pozo

t

t

Fig. 2.1. Efectos del almacenamiento en restauracin y cada de presin1

C1 C2 C3

q sf /q0

tD

Fig. 2.2. Efecto del almacenamiento en la rata de flujo en la cara del pozo, C3>C2>C1 Las pruebas tradicionales de presin tuvieron que ser lo suficientemente largas para sobrellevar tanto los efectos de almacenamiento y dao de modo que se pudiera obtner una lnea recta indicando el comportamiento del flujo radial. Incluso esta aproximacin presenta desventajas ya que ms de una lnea aparente puede aparecer y los analistas tienen problemas decidiendo cual lnea usar. Aunado a ello, la escala del grfico podra evidenciar ciertas respuestas de presin como rectas cuando en realidad son curvas. Para sobrellevar este problema los analistas desarrollaron el mtodo de las curvas tipo. Existe flujo en la cara el pozo despus del cierre en superficie. El almacenamiento afecta el comportamiento del transiente de presin a tiempos tempranos. Matemticamente, el coeficiente de almacenamiento se define como el volumen total de los fluidos del pozo por unidad de cambio de presin de fondo:

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80

C=

V P

El almacenamiento causa que la rata de flujo en la cara del pozo cambie ms despacio que la rata de flujo en superficie. La Fig. 2.2 esquematiza la relacin qsf/q cuando se cambia la rata en superficie de 0 a q, cuando C = 0, qsf/q = 1, mientras que para C > 0 la relacin qsf/q cambia gradualmente de 0 a 1. Entre mayor es el valor de C, mayor ser la transicin. A medida que los efectos de almacenamiento se vuelven menos severos, la formacin empieza a influenciar ms y ms la presin de fondo hasta que se desarrolla completamente el comportamiento infinito, ver Fig. 2.10. Los datos de presin que se encuentran influenciados por almacenamiento pueden usarse para estimar las propiedades del yacimiento, sin embargo, este anlisis es tedioso, a no ser que se utilice la tcnica denominada Tiabs Direct Sntesis Technique que se presentar ms adelante en esta unidad. Normalmente, q es controlada en superficie (a menos que haya cierre en fondo), los fluidos en el pozo no permiten una inmediata transmisin de la perturbacin desde el subsuelo a la superficie, lo que acarrea una desigualdad de caudales en superficie y en la cara del pozo.JUSTO DESPUES DEL CIERRE, P > 0 MUCHO DESPUES DEL CIERRE, P < 0

C = CwbVwb

144 C = Vu

Fig. 2.2. Incremento del almacenamiento para un pozo inyector cerrado

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10

Ci = 0.01 bbl/psi Ci = 0.05 bbl/psi s=01

P D y t D*P D'

0.1

0.01 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD

Fig. 2.3. Presin y derivada de presin para un pozo con incremento del almacenamiento10

8

Ci = 0.01 bbl/psi Ci = 0.05 bbl/psi s=0

6

PD4 2 0 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD

Fig. 2.4. Grfico semilo para un pozo con almacenamiento incremental El almacenamiento puede cambiar durante una prueba de presin tanto en pozos inyectores como productores. Varias circustancias causan cambios en el almacenamiento, tales como redistribucin de fases e incremento o decremento del almacenamiento asociado con pruebas de presin en pozos inyectores. En pozos inyectores, una vez se cierra el pozo, la presin en superficie es alta pero podra decrecer a la presin atmosfrica e ir al vaco si la presin esttica es inferior a la presin hidrosttica. Esto causa incremento del almacenamiento (hasta 100 veces) de un sistema incompresible a uno de un sistema donde el nivel de lquido cae. Ver Fig. 2.2. El comportamiento de la presin y la derivada se muestran en las Figs. 2.3 y 2.4. La situacin inversa ocurre en pozos inyectores con un alto nivel de aumento del nivel de almacenamiento en el lquido y en productores con alto GOR o por

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redisolucin del gas libre. La Fig. 2.5 muestra un pozo produciendo bajo bombeo con empaque. Mientras se bombea el nivel del pozo se mantiene por debajo del empaque, pero se incrementa cuando se cierra el pozo debido a que el gas en el pozo se redisuelve o se comprime. Cuando el nivel de lquido alcanza el empaque (existir una pequea cantidad de gas), el almacenamiento caer de un valor relativamente alto para aquel de un nivel de lquido incremental a un valor relativamente pequeo para la situacin de compresin controlada. Puede verse en las Figs. 2.6 a 2.8 anteriores que tanto para aumento o decremento del almacenamiento, el segundo coeficiente de almacenamiento determina el comienzo de la lnea recta semilogartmica. Ver los comportamientos de presin en las Figs. 2.6, 2.7 y 2.8. Si existe gas por encima del nivel de lquido, su compresibilidad debe considerarse para estimar el almacenamiento. Para estos casos es mejor utilizar la ecuacin de la definicin. Cuando la relacin entre V y P no cambia durante la prueba, el coeficiente de almacenamiento es constante y puede estimarse de datos de Completamiento. Para un nivel de fluido variable:JUSTO DESPUES DEL CIERRE, P > 0 MUCHO DESPUES DEL CIERRE, P < 0

144 C = Vu

C = CwbVwb

Fig. 2.5. Decremento del coeficiente de almacenamiento para un pozo bajo bombeo con empaque100

Ci = 0.08 bbl/psi Ci = 0.032 bbl/psi

P D y t D*P D'

10

1

0.1 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD

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Fig. 2.6. Presin y derivada de presin para un pozo con decremento del almacenamiento20

16

Ci = 0.08 bbl/psi Ci = 0.032 bbl/psi

12

PD8 4 0 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD

Fig. 2.7. Grfico semilog para un pozo con almacenamiento decremental100

Ci = 0.08 bbl/psi Ci = 0.008 bbl/psi

P D y t D*P D'

10

1

0.1 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD

Fig. 2.8. Grfico semilog para un pozo con almacenamiento decr