Análisis de nodosVéase también: Análisis de mallas

Figura 1: La ley de corrientes de Kirchhoff es la base del análisis de nodos.

En análisis de circuitos eléctricos, el análisis de nodos, o método de tensiones nodales es un método para determinar la tensión (diferencia de potencial) de uno o más nodos.

Cuando se analiza un circuito por las leyes de Kirchhoff, se podrían usar análisis de nodos (tensiones nodales) por la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) o análisis de malla (corrientes de malla) usando la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK). En el análisis de nodos se escribe una ecuación para cada nodo, con condición que la suma de esas corrientes sea igual a cero en cualquier instante, por lo que una carga nunca puede acumularse en un nodo. Estas corrientes se escriben en términos de las tensiones de cada nodo del circuito. Así, en cada relación se debe dar la corriente en función de la tensión que es nuestra incógnita, por la conductancia. Por ejemplo, para un resistor, Irama = Vrama * G, donde G es la Conductancia del resistor.

El análisis de nodos es posible cuando todos los nodos tienen conductancia. Este método produce un sistema de ecuaciones, que puede resolverse a mano si es pequeño, o también puede resolverse rápidamente usando álgebra lineal en un computador. Por el hecho de que forme ecuaciones muy sencillas, este método es una base para muchos programas de simulación de circuitos (Por ejemplo, SPICE). Cuando los elementos del circuito no tienen conductancia, se puede usar una extensión más general del análisis de nodos, El análisis de nodos modificado.

Los ejemplos simples de análisis de nodos se enfocan en elementos lineales. Las redes no lineales(que son más complejas) también se pueden resolver por el análisis de nodos al usar el método de Newton para convertir el problema no lineal en una secuencia de problemas lineales.

Contenido

 [ocultar]  1 Procedimiento 2 Ejemplos

o 2.1 Ejemplo 1: Caso básico o 2.2 Ejemplo 2

3 Supernodos o 3.1 Ejemplo de resolución por supernodos

4 Enlaces externos 5 Referencias

6 Enlaces externos

[editar] Procedimiento

Figura 2: Se elige el nodo con más conexiones como nodo de referencia (cuya tensión es 0) y se asignan 3 variables Va, Vb y Vc

1. Localice los segmentos de cable conectados al circuito. Estos serán los nodos que se usarán para el método.

2. Seleccione un nodo de referencia (polo a tierra). Se puede elegir cualquier nodo ya que esto no afecta para nada los cálculos; pero elegir el nodo con más conexiones podría simplificar el análisis.

3. Identifique los nodos que están conectados a fuentes de voltaje que tengan una terminal en el nodo de referencia. En estos nodos la fuente define la tensión del nodo. Si la fuente es independiente, la tensión del nodo es conocida. En estos nodos no se aplica la LCK.

4. Asigne una variable para los nodos que tengan tensiones desconocidas. Si la tensión del nodo ya se conoce, no es necesario asignarle una variable. (Véase Figura 2)

5. Para cada uno de los nodos, se plantean las ecuaciones de acuerdo con las Leyes de Kirchhoff. Básicamente, sume todas las corrientes que pasan por el nodo e igualelas a 0. Si el número de nodos es n, el número de ecuaciones será por lo menos n − 1 porque siempre se escoge un nodo de referencia el cual no se le elabora ecuación.

6. Si hay fuentes de tensión entre dos tensiones desconocidas, una esos dos nodos como un supernodo. Las corrientes de los dos nodos se combinan en una nueva ecuación muy sencilla.

7. Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas para cada tensión desconocida.

[editar] Ejemplos

[editar] Ejemplo 1: Caso básico

Figura 3: Circuito sencillo con una tensión desconocida V1.

La única tensión desconocida en este circuito es V1. Hay tres conexiones en este nodo y por esta razón, 3 corrientes a considerar. Ahora se analiza todas las corrientes que pasan por el nodo, así:

Con ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), tenemos:

Se resuelve con respecto a V1:

Finalmente, la tensión desconocida se resuelve sustituyendo valores numéricos para cada variable. Después de haber obtenido estas ecuaciones y conocer cada tensión, es fácil calcular cualquier corriente desconocida.

[editar] Ejemplo 2

Figura 4: Gráfico del Ejemplo 2

Ejemplo: Del circuito de la figura 4 debemos hallar los voltajes en sus diferentes nodos'

Solución:

1. Se localizan todos los nodos del circuito.2. Se busca el nodo con más conexiones y se le llama nodo de referencia Vd

(Figura 5).3. No hay fuentes de tensión.4. Se le asignan variables a los nodos Va, Vb y Vc

5. Se plantean las ecuaciones según las leyes de Kirchhoff, así: o Para calcular el voltaje en el nodo Va, decimos que la resistencia de 2Ω

tiene la polaridad de la Figura 5. Así

Figura 5

simplificando:

Para calcular el voltaje en el segundo nodo (Vb) las resistencias que van a dicho nodo tendrán la polaridad de la Figura 6:

Figura 6

factorizando obtenemos

Para la polaridad del nodo Vc asumimos así:

Figura 7

factorizando obtenemos:

Sistema de ecuaciones: Obtenemos un sistema de ecuaciones del cual podemos determinar los valores del los voltajes en los nodos.

Solucionando el sistema lineal, nos da como resultado los voltajes: Va = 42.5V, Vb = 22.5V y Vc = 12.5V

[editar] Supernodos

Figura 8: En este circuito, VA está en medio de dos tensiones desconocidas, y además es un supernodo.

En este circuito, inicialmente tenemos dos tensiones desconocidas, V1 y V2. La tensión en la terminal positiva de VB ya se conoce porque la otra terminal se encuentra en el nodo de referencia. La corriente que pasa por la fuente de voltaje VA no puede ser calculada directamente. Además no podemos escribir las ecuaciones de corriente para V1 y 2. Incluso si los nodos no pueden resolverse individualmente, sabemos que la combinación de estos nodos es cero. Esta combinación de los dos nodos es llamada el método de supernodo, y requiere una ecuación adicional, que involucre las tensiones que afectan a la fuente, V1 = V2 + VA.

El sistema de ecuaciones para este circuito es:

Al sustituir V1 en la primera ecuación y resolviendo con respecto a V2, tenemos:

[editar] Ejemplo de resolución por supernodos

Figura 9: Ejemplo de supernodo

Para calcular la tensión entre las terminales de la fuente de tensión, sumamos las tensiones de las resistencias que están unidas a estos nodos, y además consideramos los dos nodos de la fuente de tensión como uno solo, así:

Tensión en la resistencia de 4Ω:

factorizando

Observamos el supernodo en los nodos Vb y Vc, tomamos estos dos nodos como uno solo, por lo tanto sumamos las corrientes de las resistencias que hay conectadas a

Vb y Vc:

factorizando

Finalmente, planteamos una ecuación para la fuente de voltaje la cual es la caída de voltaje en los nodos así:

Vb − Vc = 10

Observación:Debemos tener en cuenta la polaridad de la fuente para plantear esta última ecuación, y así obtener el sistema de ecuaciones para determinar los valores de los voltajes.

Sistema de ecuaciones:

Resolviendo Va= 62,5 V, Vb= 22,5 V y Vc= 12,5 V

La suma algebraica  de las corrientes quesalen y entran de un nodo es igual a cero.

Donde un nodo se define como el lugar en el circuito donde se unen de dos o más ramas.

Pasos a seguir son:1 - Convertir todas las fuentes de tensión en fuentes de corriente (ver Teorema de Norton)2 - Escoger un nodo para que sea el nodo de referencia (usualmente se escoge tierra).3 - Etiquetar todos los otros nodos con V1, V2, V3, V4, etc.4 - Armar una tabla para formar las ecuaciones de nodos. Hay 3 columnas y el número de filas depende del número de nodos (no se cuenta el nodo de referencia)

5 - El término de la columna A es la suma de las conductancias que se conectan con en nodo N multiplicado por VN

6 - los términos de la columna son las conductancias que se conectan al nodo N y a otro nodo X por VX (El nodo de referencia no se incluye como nodo X). Pueden haber varios términos en la columna B. Cada uno de ellos se resta del término de la columna A.

7 - El término de la columna C, al lado derecho del signo de igual, es la suma algebraica de todas las fuentes de corriente conectadas al nodo N. La fuente es considerada positiva si suministra corriente hacia el nodo (al nodo) y negativa si la corriente sale del nodo

8 - Una vez elaborada la tabla, se resuelve el sistema de ecuaciones para cada VN. Se puede hacer por el método de sustitución o por el método de determinante. Al final si un valor de V tiene un valor negativo significa que la tensión original supuesto para el era el opuesto

Ejemplo de análisis de nodos:

Obtener los valores de las tensiones V1 y V2 en al gráfico siguiente:

Figura # 1

Primero se transforman todas las fuentes de tensión en fuentes de corriente (Teorema de Norton) y se obtiene el primer circuito (Figura # 2). Después se calculan las resistencias equivalentes de las resistencias en paralelo (2 y 4 ohmios en V1 ) y (2 y 4 ohmios en V2). (Figura # 3).

Figura # 2 Figura # 3

En el análisis de nodos, es más cómodo utilizar conductancias en vez de resistencias. Se transforma cada una de ellas en su valor de conductancia correspondiente y se obtiene el circuito que sigue:

Se escoge el nodo inferior (unión de todas las resistencias menos la de 5 ohmios) como nodo de referencia y se etiquetan los otros nodos V1 y V2, como se ve en al figura.

Se implementa la tabla de dos filas (2 ecuaciones) pues hay dos nodos sin tomar en cuenta el nodo de referencia.

Con la tabla generada se procede a la solución de las variables V1 y V2, ya sea por el método de sustitución o con ayuda de determinantes. Los resultados son:V1 = 9.15 voltios, V2 = - 6.5 voltios

La suma de las caídas de tensiones en todas lasresistencias es igual a la suma de todas las fuentesde tensión en un camino cerrado en un circuito.

Los pasos a seguir son:

1. Graficar el circuito a analizar de manera que no exista ningún conductor (de ser posible) que cruce sobre otro.

2. Convertir las fuentes de corriente en fuentes de tensión

3. Dibujar las corrientes que circulan por el circuitos con las puntas de las flechas indicando que van en el sentido de las agujas del reloj. Las corrientes se denominan I1, I2, I3,....etc. Ver ejemplo al final.

4. Formar una tabla con las ecuaciones obtenidas del circuito (con ayuda de la ley de Kirchoff). El número de filas de la tabla es el mismo que el número de corrientes establecidas en el paso 3.

Hay 3 columnas: Las columnas A y B se ponen al lado izquierdo del signo igual y la columna C al lado derecho del mismo signo.

5. Para cada ecuación, el termino correspondiente en la columna A es: la corriente IN multiplicada por la suma de las resistencias por donde IN circula. (donde N es: 1, 2, 3, ..., etc.)

6. Los términos de la columna B se restan de los términos de la columna A. Para cada ecuación N, este término consiste de resistencia o resistencias que son atravesadas por corrientes que no es IN y se multiplican por esta otra corriente IX.

Es posible que por esta o estas resistencias (mutuas) pase más de una corriente aparte de la corriente IN. En este caso la columna B tendrá términos con la forma: –R5 (I4+I5).

También es posible que en una malla N halla 2 o más resistores (mutuos) que sean atravesados por corrientes diferentes a IN (son corrientes de otras mallas). En este caso la columna B estará compuesta de 2 o más términos (ejemplo: – R1I3 – R6I7.)

7. La columna C está compuesta de términos, que son la suma algebraica de las fuentes de tensión por donde pasa IN. La fuente se pone positiva si tiene el mismo sentido de la corriente y negativo si tiene sentido opuesto.

8. Una vez elaborada la tabla, se resuelve el sistema de ecuaciones para cada IN. Se puede hacer por el método de sustitución o por el método de determinante. Al final si un valor de I tiene un valor negativo significa que el sentido original supuesto para ella era el opuesto

Ejemplo: Para obtener los valores de las corrientes en el siguiente circuito, se siguen los pasos antes descritos y se obtiene la tabla.

Como hay tres corrientes incógnitas, hay tres filas en la tabla.

Utilizando el método de sustitución o con ayuda de la determinantes se obtienen los siguientes valores:I1 = 0.348 amperiosI2 = 0.006285 amperiosI3 = -1.768 amperios. (el signo menos indica que el sentido supuesto de la corriente I3 no era el correcto).