práctica 3. análisis de mallas de circuitos

Instituto Tecnológico de Morelia

José María Morelos y Pavón

Asesor: M.C. J. Luis Lemus D.

15/Octubre/2010

Equipo:09120782 Ramos Albarrán Fernando09120762 Estrada Calderón José Antonio08121071 Zúñiga Salinas David08121065 Fuentes Martínez Bonifacio Iván

[ ]División de Estudios Profesionales: Ingeniería EléctricaOBJETIVO:

Identificar la aplicación de la Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK) y la Ley de Ohm para el análisis de mallas, de manera que se obtenga un sistema de ecuaciones linealmente independientes, y que al resolver dicho sistema encontremos las corrientes de las mallas del circuito. Comprobar y dar conclusiones respecto al análisis teórico, práctico y el simulado por computadora con sus respectivos porcentajes de error.

INTRODUCCIÓN:

El análisis de mallas (algunas veces llamada como método de corrientes de malla), es una técnica

usada para determinar la tensión o la corriente de cualquier elemento de un circuito plano. Un

circuito plano es aquel que se puede dibujar en un plano de forma que ninguna rama quede por

debajo o por arriba de ninguna otra. Esta técnica está basada en la Ley de Voltajes de Kirchhoff

(LVK). La Ley de Voltajes de Kirchhoff establece que en toda malla la suma de todas las caídas de

tensión es igual a la suma de todas las elevaciones de tensión. De forma equivalente, en toda

malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico es igual a 0.

∑k=1

n

V k=V 1+V 2+V 3+…+V n=0

La ventaja de usar esta técnica es que crea un sistema de ecuaciones para resolver el

circuito, minimizando en algunos casos el proceso para hallar una tensión o una corriente de un

circuito.

Fig. 1. Análisis de Mallas

Para usar esta técnica se procede de la siguiente manera: se asigna a cada una de las

mallas del circuito una corriente imaginaria que circula en el sentido que nosotros elijamos; se

prefiere asignarle a todas las corrientes de malla el mismo sentido. Aplicando Ley de Ohm,

tenemos que en cada malla del circuito, se plantea una ecuación que estará en función de la

corriente que circula por cada elemento. En un circuito de varias mallas resolveríamos un sistema

lineal de ecuaciones para obtener las diferentes corrientes de malla.

Después de nombrar las corrientes de malla, se plantea una ecuación para cada malla, en

la cual se suman todas las tensiones de todos los componentes de una malla. Cuando un

componente se encuentra en una rama que pertenece a dos mallas, su corriente será resultado de

la resta de las corrientes de malla a las que pertenezca. Es importante tener esto en cuenta a la

hora de expresar la tensión en la rama en función de la intensidad corriente que circula por ella.

Si hay una fuente de tensión al analizar la malla, la tensión en la fuente es sumada o

sustraída dependiendo si es una caída o elevación de tensión en la dirección de la corriente de

malla. Para una fuente de corriente que no esté contenida en dos mallas, la corriente de malla

tomará el valor positivo o negativo de la fuente de corriente dependiendo si la corriente de malla

está en la misma dirección o en dirección opuesta a la fuente de corriente.

Por ejemplo, en el circuito de la figura 1, aplicando LVK en la malla I 2 se obtiene:

−V 1+(R1+R3 ) I 2−R3 I 1+V 2=0

Observemos que R3 tiene dos mallas en común, por consecuencia la corriente I 1circula a través de

ella y va en sentido contrario.

Fig. 2. Supermalla.

Existe una supermalla cuando una fuente de corriente está entre dos mallas esenciales. Para

tratar la supermalla, se trata el circuito como si la fuente de corriente no estuviera allí. Esto

produce una ecuación que incorpora las dos corrientes de malla. Una vez que se plantee esta

ecuación, se necesita una ecuación que relacione las dos corrientes de malla con la fuente de

corriente, esto será una ecuación donde la fuente de corriente sea igual a una de las corrientes de

malla que lleve su dirección menos la otra corriente de malla en sentido opuesto.

Una vez halladas las ecuaciones, el sistema puede resolverse usando alguna técnica que resuelva

sistema de ecuaciones lineales.

Observación: En circuitos resistivos (donde solo hallan resistencias), si al resolver el sistema una

corriente de malla es negativa significa que esa corriente circula en sentido contrario.

Solución de Sistemas de Ecuaciones

Hay varias formas de resolver el sistema de ecuaciones obtenidas mediante el análisis de mallas, el

que utilizaremos en la práctica será el llamado REGLA DE CRAMER O METODO DE CRAMER que

consiste en lo siguiente:a) Se arma una matriz con los coeficientes de las ecuaciones, de tal manera que la

primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna. Luego se tiene un vector o matriz columna, que estará constituida por las entradas de las constantes de las ecuaciones.

b) Se obtiene el determinante de esta matriz de coeficientes a la cual se le llama Δ (delta).

c) Se van sustituyendo los valores de la matriz columna, por la primera columna en la matriz de coeficientes, y así sucesivamente hasta la última columna, para armar una nueva matriz.

d) Se resuelven las matrices y se obtienen los determinantes Δ1 , Δ2 , Δ3.e) El sistema, regla o método de Cramer tiene una sola solución que viene

dada por las siguientes expresiones:

x1=Δ1Δ

x2=Δ2Δ

x3=Δ3Δ

… xn=ΔnΔ

f) Es decir que cada uno de los determinantes Δ1 , Δ2 , Δ3, se divide entre el determinante de la matriz de términos independientesΔ.

g) El resultado de estas divisiones es el resultado de las incógnitas de las ecuaciones.

DESARROLLO:

Se diseñó un circuito eléctrico el cual se analizó teóricamente por medio del método de análisis de mallas, el cual contiene fuentes de voltaje y resistencias conectadas entre sí, después se analizó el

circuito en el programa PSpice para determinar los valores simulados y compararlos posteriormente con los valores teóricos y los obtenidos en el laboratorio. Por último se evaluaron los respectivos porcentajes de error.

Material

a) 1 Tablilla de conexión.b) 1 Fuente de voltaje de C.D.c) 6 Resistores de 1K Ω y 2 resistores de 1.5K Ωd) 2 Multímetros digitalese) 10 Cables telefónicosf) Conectores banana – banana g) Conectores banana – telefónicoh) 1 Adaptador

Análisis Teórico

Determinar las corrientes de las mallas I 1, I 2 e I 3. Luego con ayuda de esos valores, comprobar

que las corrientes que circulan por las resistencias R1,R3 y R4 . (IR1, IR3 e IR 4 respectivamente) no son corrientes de las mallas.

Fig. 3. Circuito de Práctica.

Aplicando Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK) y Ley de Ohm en las mallas del circuito obtenemos un sistema de 3 ecuaciones linealmente independientes, que al resolverlo nos aloja los valores de las corrientes de las mallas I 1, I 2 e I 3.

Malla I 1:

Aplicando LVK en la malla I 1 del circuito, se obtiene la siguiente ecuación:

(R3+R1+R2) I 1−R1 I 2−R3 I 3=0

(2.958K+1.85K+0.9K ) I 1−1.85K I 2−2.958K I 3=0

( 1K ) [5.708K I 1−1.85K I 2−2.958K I 3=0 ]

5.708 I1−1.85 I 2−2.958 I 3=0 (1)

Malla I 2:

Aplicando LVK en la malla I 2 del circuito, obtenemos la segunda ecuación:

−V 1+(R1+R4 ) I 2−R4 I 3−R1 I 1+V 2=0

−15+(1.85K+1.987K ) I 2−1.987K I 3−1.85K I1+10=0

3.837KI2−1.987K I 3−1.85K I1−5=0

( 1K ) [3.837KI2−1.987K I 3−1.85K I 1=5 ]

−1.85 I1+3.837 I 2−1.987 I 3=5m (2)

Malla I 3:

Finalmente encontramos la tercera ecuación, aplicando LVK en la tercera malla del circuito.

(R4+R3+R5 ) I3−V 2−R4 I 2−R3 I1=0

(1.987K+2.958K+0.991K ) I 3−10−1.987K I2−2.958KI 1=0

( 1K ) [5.936K I 3−1.987K I 2−2.958KI1=10 ]

−2.958 I 1−1.987 I2+5.936 I 3=10m (3)

Solución del sistema de ecuaciones obtenido :

Aplicando la regla de Cramer para resolver el sistema de 3x3, hallamos primeramente el valor del determinante de la matriz principal (∆).

[ 5.708 −1.85 −2.958−1.85 3.837 −1.987−2.958 −1.987 5.936 ][ I1I2I3]=[ 05m10m ]∆=| 5.708 −1.85 −2.958

−1.85 3.837 −1.987−2.958 −1.987 5.936 |

¿5.708 (22.7764−3.9482 )+1.85 (−10.9816−5.8775 )−2.958 (3.676+11.3498 )

¿5.708 (18.8282 )+1.85 (−16.8591 )−2.958 (15.0258 )

¿107.4714−31.1893−44.4463=31.8358

Posteriormente resolvemos los determinantes ∆1 ,∆2 y ∆1. Reemplazando la matriz columna de constantes, por la columna 1, 2 y 3 de la matriz principal respectivamente.

∆1=| 0 −1.85 −2.9585m 3.837 −1.98710m −1.987 5.936 |

¿1.85 (29.68m+19.87m )−2.958 (−9.935m−38.37m )

¿1.85 (49.55m )+2.958 (48.3050m )=91.6675m+142.8862m=234.5537m

∆2=| 5.708 0 −2.958−1.85 5m −1.987−2.958 10m 5.936 |

¿5.708 (29.68m+19.87m )−2.958 (−18.5m+14.79m )

¿5.708 (49.55m )+2.958 (3.71m )=282.8314m+10.9742m=293.8056m

∆3=| 5.708 −1.85 0−1.85 3.837 5m−2.958 −1.987 10m|

¿5.708 (38.37m+9.935m )+1.85 (−18.5m+14.79m )

¿5.708 (48.305m )+1.85 (−3.71m )=275.7249m−6.835m=268.8899m

Por último, la solución del sistema de ecuaciones por la regla de Cramer, nos da las corrientes de las mallas.

I 1=∆1∆

=234.5537m31.8358

=7.3676mA

I 2=∆2∆

=293.8056m31.8358

=9.2288mA

I 3=∆3∆

=268.8899m31.8358

=8.4461mA

Corrientes IR1, IR3 e I 4:

De manera de comprobación, se observa en el circuito, que las corrientes que pasan por la resistencia R1son; la corriente de malla I 1 y la corriente de malla I 2. La corriente de malla I 2 lleva

el sentido de la corriente en la resistencia R1 y la corriente de malla I 1 es opuesta. Por lo tanto se tiene que

IR1=I 2−I 1=9.2288mA−7.3676mA=1.8612mA

De manera similar, encontramos la corriente que pasa por la resistencia R3 y la resistencia R4.

IR3=I 3−I 1=8.4461mA−7.3676mA=1.0785mA

IR 4=I 2−I 3=9.2288mA−8.4461mA=0.7827mA

Los valores medidos en el laboratorio de estas corrientes, fueron:

IR1=1.90mA

IR3=1.17mA

IR 4=0.78mA

Por lo cual podemos concluir que las corrientes de las ramas del circuito, son diferentes a las corrientes de las mallas. La finalidad de esta práctica es conocer las corrientes de las mallas, por lo tanto no incluiremos las corrientes de las ramas en el cálculo de error relativo.

Análisis Práctico

Los valores del análisis práctico son los valores experimentales (analizados en el laboratorio), para ello, se conectó un circuito como lo muestra la figura 4, con sus respectivos amperímetros (en

serie) para medir la corriente que circulaba por las mallas. Los valores obtenidos fueron los siguientes:

I 1=7.42mA

I 2=9.37mA

I 3=8.59mA

Análisis con PSpice

Fig. 4. Análisis por computadora con PSpice

**** 10/14/10 03:23:07 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** *C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 2\practica 3.sch

**** CIRCUIT DESCRIPTION *********************************************************************************** Schematics Version 9.1 - Web Update 1* Thu Oct 14 03:22:55 2010** Analysis setup **.OP .OP* From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini:.lib "nom.lib".INC "practica 3.net"

**** INCLUDING "practica 3.net" ***** Schematics Netlist *

R_R2 N1 N5 0.9k R_R3 N4 N6 2.958kR_R5 N6 N7 0.991k V_V2 N3 0 10VR_R4 N4 N3 1.987k v_I1 N5 N6 0V_V1 N1 N2 15V v_I3 N7 0 0R_R1 N1 N4 1.85k v_I2 0 N2 0**** RESUMING "practica 3.cir" ****.INC "practica 3.als"**** INCLUDING "practica 3.als" ***** Schematics Aliases *.ALIASES

R_R2 R2(1=N1 2=N5 ) R_R3 R3(1=N4 2=N6 )R_R5 R5(1=N6 2=N7 ) V_V2 V2(+=N3 -=0 )R_R4 R4(1=N4 2=N3 ) v_I1 I1(+=N5 -=N6 )V_V1 V1(+=N1 -=N2 ) v_I3 I3(+=N7 -=0 )R_R1 R1(1=N1 2=N4 ) v_I2 I2(+=0 -=N2 )

_ _(N5=N5) _ _(N3=N3)_ _(N1=N1) _ _(N4=N4)_ _(N7=N7) _ _(N2=N2)_ _(N6=N6)

.ENDALIASES**** RESUMING "practica 3.cir" ****.probe.END

**** 10/14/10 03:23:07 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 2\practica 3.sch

**** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C ********************************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE( N1) 15.0000 ( N2) 0.0000 ( N3) 10.0000 ( N4) 11.5570

( N5) 8.3692 ( N6) 8.3692 ( N7) 0.0000

VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V1 -9.229E-03 V_V2 7.835E-04 v_I1 7.368E-03 v_I3 8.445E-03 v_I2 9.229E-03

TOTAL POWER DISSIPATION 1.31E-01 WATTS

**** 10/14/10 03:23:07 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 2\practica 3.sch

**** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C ********************************************************************************** JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME .03

CONCLUSIONES:

Error absoluto: Es la diferencia entre el valor experimental y el valor exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor experimental o inferior (la resta sale positiva o negativa). Las unidades del error absoluto son del mismo orden que los valores que intervienen en su cálculo.

Error Absoluto=Valor Experimental−Valor Exacto

Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Pude ser positivo o negativo, esto lo determina el signo del error absoluto. No tiene unidades.

Error Relativo= Error AbsolutoValor Exacto

(100)

Porcentajes de error PSpice – Prácticos.

Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos con PSpice, estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentales corresponden a los valores obtenidos mediante la medición (prácticos).

I1 I2Error Absoluto=7.42mA –7.368mA Error Absoluto=9.37mA −9.229mAError Absoluto=0.052mA Error Absoluto=0.145mA

Error Relativo= 0.052mA7.368m A

(100 )=0.7057% Error Relativo=0.145mA9.229mA

(100 )=1.5277%

I3Error Absoluto=8.59mA−8.445mAError Absoluto=0.145mA

Error Relativo=0.145mA8.445mA

(100 )=1.7169%

Porcentajes de error de Análisis Teórico – Prácticos.

Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos en el análisis teórico, estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentales corresponden a los valores obtenidos mediante la medición (prácticos).

I1 I2Error Absoluto=7.42mA –7.3676mA Error Absoluto=9.37mA – 9.2288mAError Absoluto=0.0524mA Error Absoluto=0.1412mA



(100 )=1.5299%

I3Error Absoluto=8.59mA−8.4461mAError Absoluto=0.1439mA

Error Relativo= 01439mA8.4461mA

(100 )=1.703%

Porcentajes de error de Análisis Teórico - PSpice.

Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos en el análisis teórico, estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentales corresponden a los valores obtenidos mediante el análisis de PSpice.

I1 I2Error Absoluto=7.368mA –7.3676mA Error Absoluto=9.229mA – 9.2288mAError Absoluto=0.0004mA Error Absoluto=0.0002mA



(100 )=0.0000216%

I3Error Absoluto=8.445mA−8.4461mAError Absoluto=−0.0011mA

Error Relativo=−0.0011mA8.4461mA

(100 )=−0.00013%

1) El porcentaje de error entre el análisis teórico y el analisis en PSpice es muy bajo, ya que ambos valores son aproximadamente iguales. En cambio los valores del análisis práctico con los de PSpice o con los del análisis teórico tienen un poco más de error porcentual, debido a que los del análisis práctico son menos exactos, y esto puede ser debido a algún instrumento de medición o al que el valor nominal de las resistencias no es el valor real, ya que al medirlas con el ohmetro da valores distintos.

2) En ocasiones, hay circuitos que se pueden analizar más fácilmente por el método de análisis de mallas que por el método de análisis de nodos; por ejemplo, cuando se ocupa conocer las corrientes de las mallas, precisamente. O en dado caso las corrientes de las

ramas del circuito. En el analisis de nodos se tendría que encontrar el voltaje de los nodos y luego aplicar ley de ohm para encontrar la corriente, en el caso de análisis de mallas estos valores se obtienen directamente al resolver el sistema de ecuaciones.

3) Mediante las corriente de las mallas es posible conocer la corriente de las ramas del circuito. A las corrientes de malla que lleven la dirección de las corrientes de las ramas se les restan las que van en sentido opuesto a dichas corrientes de ramas.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

I. Manual de Prácticas de Laboratorio de Circuitos Eléctricos I; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M.

II. Circuitos Eléctricos de CD; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M.

III. Fundamentos De Circuitos Eléctricos; Charles K. Alexander & Matthew N. O. Sadiku; 3ra. Edición; McGraw Hill