Aplicaciones de la derivada de una función

“ Trazado

de curvas”

Trazado de curvasDeterminar: A partir de:

1. Dominio2. Continuidad3. Paridad (simetrías)4. Intersección con los ejes5. Límites a los costados del

dominio6. Asíntotas horizontales y

verticales

La función f

7. Intervalos de crecimiento8. Extremos absolutos y relativos

La derivada primera, f´

9. Intervalos de concavidad y puntos de inflexión

La derivada segunda, f´´

Ejercicio propuesto

Efectúa el estudio completo de f(x) = 36x

x2

2

1) Dominio

Dom(f) = - {-6;6}

2) Continuidad

Es continua en - {-6;6} por ser una función racional

3) Paridad

36(-x)

(-x)2

2

36x

x2

2

• Dominio simétrico respecto al origen

• f(-x)= = = f(x) f es par

4) Intersección con los ejes

• Intersección con el eje y

f(0) = 0 G(f) eje y = {(0;0)}

• Intersección con ele eje x

f(x) = 0 = 0 x2 = 0 x = 0

G(f) eje x = {(0;0)}

36x

x2

2

5) Límites a los costados del dominio

1 36x

xlím

2

2

x

y como f es par 1 36x

xlím

2

2

x

6) Asíntotas

• Asíntotas horizontales

y = 1 es asíntota horizontal en (+) y en (-) (por apartado 5)

• Asíntotas verticales

0

36

63x

xlím y

0

36

63x

xlím

2

2

6x2

2

6x

luego la recta x = 6 es asíntota vertical

y además por ser f par, resulta:

0

36

63x

xlím y

0

36

63x

xlím

2

2

6x2

2

6x

por lo tanto la recta x = -6 también es asíntota vertical

Volquemos en un gráfico la información

obtenida hasta el momento.

y

1

-6 0 6 x

7) Números críticos e intervalos de crecimiento

• Números críticos

f ’(x) = -72x = 0 x = 0 22 36)(x

72x

único

número crítico

• Intervalos de crecimiento

f’(x) > 0 > 0 -72x > 0 x < 022 36)(x

72x

luego, f(x) crece en (-;0) – {-6}

f’(x) < 0 < 0 -72x < 0 x > 022 36)(x

72x

luego, f(x) decrece en (0;+) – {6}

8) Extremos de la función

-6 0 6

f’(x) > 0 f’(x) < 0

f(x) crece f(x) decrece

(0;0) es máximo local

9) Intervalos de concavidad y puntos de inflexión

f’’(x) =

42

24

42

2424

42

2224

42

222

36)(x

)129672(-3x 72-

36)(x

144x4x- 129672xx 72-

36)(x

36)(x4x129672xx 72-

36)(x

36).2x(x (-72)x.2 36)(x 72

x

f’’(x) = 0 -3x4+72x2+1296 = 0 -x4 +24x2+432=0

Resolviendo la ecuación bicuadrada, resulta:

x2 = -12 x2 = 36

x = 6 x = -6

Obs:

Recuerda que no pertenecen al Dominio

Intervalo Número de prueba

Signo de f ” en el punto elegido

Signo de f ” en el intervalo

(-;-6) -7 f ”(-7) > 0 +

(-6;6) 0 f ”(0) < 0 -

(6;+) 7 f ”(7) > 0 +

-6 0 6

f’’(x) > 0 f’’(x) < 0

f(x) cónc. f(x) cónc.

f’’(x) > 0

f(x) cónc.

f(x) no posee puntos de inflexión