Análisis de Fourier: Un enfoque real.

María Ilse Dovale PérezDivisión de Ingeniería Electrónica

Universidad del NorteBarranquilla

Miércoles 09 de Abril de 2008

El tiempo ha sido para el hombre un arma de doble �lo, ha sido el causante de muchas desgracias,pero de igual forma ha permitido al hombre encontrar sentido no sólo a su vida misma si no tambiéna la naturaleza que lo rodea, pero como nos dijo el gran Galilei para comprender lo que nos quieredecir la naturaleza debemos tratar de comprenderla, y ésto sólo es posible si entendemos su lenguaje,lleno de círculos, cuadrados y otras �guras geométricas.Hoy han pasado un poco más de 500 años después que se lanzaron dichas sabias palabras, lo

cual fue de mucha ayuda para que cientí�cos en todo el mundo dieran paso al resplandecer de laciencia después de haber estado opacada durante muchísimos años, y así fue como pasó.Jean Baptiste Joseph Fourier fue un matemático y físico francés conocido por su gran labor y sus

trabajos acerca de la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes,lo cual conocemos ahora como "Series de Fourier". El análisis de fourier es usado en varias áreas pararesolver problemas reales e importantes, su descubrimiento fue una ayuda enorme para entender lanaturaleza y sus ciclos; como lo es el ciclo anual de las estaciones, el ciclo mensual de los eventoslunares, ciclos diarios del dia y la noche, y otros eventos periódicos en la escala del tiempo de lashoras, minutos o segundos como un péndulo oscilante, cuerdas vibrantes, u osciladores eléctricos[1]:

Obviamente todo no fue de un momento a otro, como se menciona anteriormente, han pasadocerca de 500 años desde que comenzó nuevamente el resplandecer cientí�co en la Tierra después deestar opaco, Galileo y Fourier no se encontraron con un mundo sin matemáticas ni cálculo, antigu-os Griegos, Babilonios y Egipcios habían desarrollado un pensamiento matemático, relativamenteavanzado, se preocuparon por entender el idioma en que está escrito el universo a través de lainvestigación y el desarrollo de nuevas técnicas de conteo, lo cual los llevó a ser civilizaciones muyrespetables en aquellos tiempos.El análisis desarrollado por Fourier permite desarrollar un entendimiento intuitivo de los con-

ceptos abstractos ya que puede ser visto desde dos diferentes puntos de vista uno geométrico y otroanalítico, y realmente es muy útil tener una misma idea expresada desde diferentes puntos de vista.Volviendo al presente, el análisis de Fourier es una herramienta que facilita mucho los cálculos,

lo que es, lo que hace y por qué es útil debe ser el motivo que mueve a estudiar este análisis, yaunque actualmente existen muchísimos programas computarizados que pueden hacer los cálculospor el ser humano con sólo apretar una tecla, es importantísimo como estudiantes de ingenieríacomprender el funcionamiento de algo tan fundamental como es el Análisis de Fourier. Por otraparte, tomar una actitud como esa no es tolerable en la ciencia, como ingenieros, es imprescindible

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comprender los los principios de funcionamiento de cualquier herramienta utilizada para recoger,procesar y analizar datos.El analisis de Fourier es tan importante y útil porque nos permite cambiarle a un problema

su dominio por uno en el cual se trabaje de una forma más sencilla, en este nuevo contexto, unaidea fresca puede ser adquirida; ésta es una de las mayores atracciones de análisis de fourier paraingeniería.Sus aplicaciones son muchas, la estrategia puede ser utilizada en muchas ramas de la ciencia, ya

que incluso aunque esta herramienta es utilizada para describir eventos periódicos puede incluso serusada para describir eventos no periódicos. Esta noción fue una fuente de gran debate en el tiempode Fourier, pero hoy es aceptada como una razón principal para una gran cantidad de aplicacionesdel análisis de Fourier en la ciencia moderna.Algunas de sus aplicaciones son: .E l problema isoperimétrico", "Temperatura de la Tierra",

.E valuación de series no triviales", "Desigualdad de Wintinger", "Solución de ecuaciones diferen-ciales", "Flujo de calor", .E cuación de Ondas", "Fórmula de Poisson", "Identidad de Jacobi", entremuchos otros, en esta oportunidad explicare de forma breve la forma en que puede ser calculada latemperatura de la Tierra a una profundidad x a partir de la temperatura de la super�cie[2].Describamos la temperatura de la super�cie terrestre como una función f periódica en el tiempo

t y de período 1 año. La temperatura u(t; x) en el tiempo t � 0 y profundidad x � 0, es tambiénperiódica en t y es natural asumir que juj � jjf jj1:Bajo estas circunstancias u(t; x) puede serexpandida mediante una serie de Fourier para cada 0 � x <1 �jo como sigue:

u(t; x) =Pn2N

cn(x)e2�int;

con coe�cientes de Fourier

cn(x) =R 10u(t; x)e�2�intdt

Sabemos que la función u satisface la ecuación diferencial parcial denominada (Ecuación de calor):

@u@t =

12

�@2udx2

�Por lo tanto,

c00n =R 10

�@2udx2

�e�2�intdt = 2

R 10

�@u@t

�e�2�intdt = 4�incn:

Entonces los coe�cientes cn satisfacen la ecuación:

c00n = [(2�jnj)1=2(1� i)]2cn

tomando el signo positivo o negativo de acuerdo a si n > 0 ó n < 0: En otro lugar, se sabe quec(0) =

R 10f(t)e�2�intdt = f̂(n): Resolviendo la ecuación, se tiene:

2

cn(x) = f̂(n) exp[�(2�jnj)1=2(1� i)x]

Por lo tanto resulta �nalmente:

u(t; x) =Pn2N

f̂(n) exp[�(2�jnj)1=2x] exp[2�int� (2�jnj)1=2ix]

Entonces supongamos que la temperatura de la super�cie terrestre viene dada por una funciónsinusoidal simple f(t) = sin(2�t);lo cual signi�ca que la temperatura media f̂(0) =

R 10f , es cero.

En este caso la función u vendría dada por:

u(t; x) = exp(�p2�x) sin(2�t� 2�x)

Esto nos dice que la temperatura a la profundidad x =p

�2 queda afectada por el factor e

�� yestá completamente fuera de fase con respecto a las estaciones como indica la sgte �gura:

BIBLIOGRAFIA:[1]. Lectura: "Fourier Analysis for Beginners"[2].Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones, Fuente de Internethttp://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf

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