ANALISIS DE FOURIER: DE LO CLASICO ALO ABSTRACTO

JULIETH KATHERINE MOLINA MARTINEZ

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA D.C

2017

ANALISIS DE FOURIER: DE LO CLASICO ALO ABSTRACTO

JULIETH KATHERINE MOLINA MARTINEZ

Trabajo de grado para optar por el tıtulo de matematica

Presentado a:Samuel Barreto Melo

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA D.C

2017

Porque de el, y por el, y para el, son todas las cosas.Romanos 11:36

Agradecimientos

Es tiempo de agradecer por tantos favores recibidos. Doy gracias al Senor Jesucristopor su gracia, por su amor y por permitirme vivir una de las mejores etapas. El ha sidomi apoyo y fuerza. Sin El no hubiera podido terminar este proceso.

Agradezco a mis padres Luis Molina y Rocio Martınez por su ejemplo, sus esfuerzos,cuidados, por el amor al estudio y en especial, a las matematicas que me inculcarondesde muy pequena. A mi hermano Johan, por su amistad y confianza.

Agradezco especialmente al profesor Samuel Barreto por su ayuda, respaldo y pacienciaen este trabajo. A cada uno de los maestros que han hecho parte de mi vida academica.De cada uno aprendı y comprendı varias lecciones que me ayudaran en el futuro.

Aprovecho esta oportunidad para agradecer a la Universidad Distrital por permitir-me estar en sus aulas. A mis companeros, en especial a Miguel Abril y Javier Aldana,con los que pude charlar, debatir y reır un poco. A mis companeras de seminario, LauraGonzales y Sofia Puentes. A Cristhyan Naranjo y Ana Marıa Guauque por su amistady companerismo. A mis amigos de Mision Juvenil Bogota por su hermandad y alegrıa.

Indice general

1. Cronologıa 7

2. Preliminares 112.1. Teorıa de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Grupos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Algebras de Banach y transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . 15

3. Desarrollo clasico 173.1. (R/ ∼2π,+) es un grupo abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. T es un grupo abeliano compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3. R/ ∼2π es isomorfo a T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4. Teorema de representacion de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5. La medida de Lebesgue es la medida de Haar en Rn . . . . . . . . . . . 23

4. Primeros desarrollos abstractos 274.1. Existencia de la medida de Haar para todo grupo ALC . . . . . . . . . 274.2. Rudin:L1(R) ∗ L1(R) = L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3. L1(G) es un algebra de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Analisis de Fourier moderno: Del teorema de factorizacion de Cohenhasta la conjetura Lp 385.1. Representacion de funciones en L1(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2. Teorema de factorizacion de Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3. Otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3.1. Teorema de factorizacion de modulos de Banach . . . . . . . . . 395.3.2. La conjetura Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6. Conclusiones 41

4

Introduccion

Desde el trabajo pionero de Joseph Fourier, se plantearon preguntas que permitieronel avance de las matematicas en el siglo XIX y XX. La teorıa de la medida, la teorıade grupos topologicos y el analısis funcional se desarrollaron a partir de los intentosde varios matematicos para resolver varios interrogantes que dejaba el artıculo. De losavances y las definiciones se hablara en el capıtulo 2.

A partir de estas definiciones y de estructuras clasicas, se plantearon otras cuestio-nes, como si para R y T existıa una forma de descomposicion de funciones integralesen el sentido de Lebesgue con la operacion de convolucion, o aun mas alla, para gruposabelianos localmente compactos (o ALC); Tambien se preguntaba que medida regıapara estas y si tambien eran algebras de Banach. En esta discusion se incluyeron variosmatematicos del siglo anterior como Rudin, Dieudonne, Zygmund, Salem, entre otros,en los que se dieron resultados positivos para los teoremas de factorizacion para es-tructuras clasicas. Todo con el fin de construir estos objetos,a partir de componenteselementales. De esto se hablara en los capıtulos 3 y 4.

Cohen fue el responsable de llevar estos resultados a otros entornos por medio delteorema de factorizacion para grupos compactos y abrio el camino para muchos otrosresultados. En el capıtulo 5, se extendera lo anterior y se enuncia brevemente la conje-tura Lp, resuelta en la decada de los 90.

5

Objetivos

Objetivo General

Conocer el desarrollo del analisis de Fourier que permitio la generalizacion del camporeal a grupos abelianos localmente compactos.

Objetivos Especıficos

1. Reconstruir el artıculo A trip from Classical to Abstract Fourier Analysisdesarrollado por el matematico Kenneth Ross y publicado en el ano 2014 enNotices AMS, junto con el soporte de algunos artıculos allı mencionados.

2. Reconstruir el teorema de factorizacion en el algebra de grupo de la recta real, esdecir, L1(R) ∗ L1(R) = L1(R).

3. Establecer que la medida de Haar en R coincide con la medida de Lebesgue.

4. Elaborar una secuencia cronologica del analisis de Fourier clasico al moderno.

6

Capıtulo 1

Cronologıa

Ano Analisis de Fourier Desarrollo teori-co

Contexto ma-tematico

1822 Joseph Fourier, des-pues de su viaje aEgipto publica enParıs el artıculo Theo-rie Analytique duChaleur, tomando al-gunas ideas de DanielBernoulli.

En este artıculo sepresentan variosinterrogantes queayudaran al desa-rrollo de nuevasteorıas.

Cauchy unifica las no-taciones de Newton yLeibniz y basado enuna definicion de Bol-zano, introduce el con-cepto actual de deriva-da.

1829 Dirichlet publica unartıculo en el cual afir-ma que la condicion deconvergencia de las se-ries de Fourier es lacontinuidad.

Anos despues juntoa Lobachevskyi se-paran los conceptosde funcion y conti-nuidad

Fallece Niels HenrikAbel a la edad de27 anos. Se publi-ca postumamenteMemoire sur uneclase particuliered’equations resolublesalgebriquement

1868 Riemann establece co-mo condicion para en-contrar los coeficien-tes de Fourier que unafuncion sea acotada ycon un numero finitode discontinuidades

Riemann defineuna funcion in-tegrable con unconjunto infinito dediscontinuidades enla recta real

Muere el matematicoaleman August Mo-bius.

7

1870 Cantor, junto a Hei-ne prueban la unici-dad de la representa-cion de una funcion enseries de Fourier y fi-jan una pregunta so-bre la caracterıstica delos conjuntos de pun-tos sobre los cuales sepuede renunciar a laconvergencia.

Cantor construye lateorıa de conjun-tos. Un ano des-pues, introduce losconceptos de pun-to de acumulacion,conjunto derivado yconjunto cerrado.

Clifford publica sulibro On the space-theorie of the matter,en donde de maneraindependiente pro-pone una teora deespacio-tiempo conconceptos de geo-metrıa de Riemann.

1875 DuBois-Reymond danun ejemplo de unafuncion continua cu-ya serie de Fourier noconverge en un con-junto denso.

Weiestrass encuen-tra una funcion realcontinua en todopunto y no deriva-ble en ninguno.

Se publica Teoria delas funciones abelia-nas, un trabajo postu-mo de Riemann

1900-1903 Fejer demuestra quepueden utilizarseseries divergentes deFourier considerandoen vez de las sucesionde sumas parciales,la sucesion de mediasaritmeticas

Despues de variostrabajos previos deDuBois-Reymond,Cantor, Peano,Jordan y Borel,Lebesgue introduceen su tesis doctoralIntegrale, longueur,aire el concepto defuncion medible yla integral que llevasu nombre.

Se publica La scien-ce et l’hypothese, pri-mer escrito divulgati-vo de Poincare. Hil-bert propone como suquinto problema, ba-jo que condiciones ungrupo topologico pue-de convertirse en ungrupo de Lie.

1907 Riesz introduce lasfunciones cuadrado in-tegrables, muy utili-zadas en el analisisde Fourier, estudian-do ecuaciones integra-les de Fredholm.

Minkowski plantea apartir de la teorıa es-pecial de la relativi-dad de Einstein, que lacreacion de un espaciode cuatro dimensio-nes con geometrıa noeuclıdiana podrıa ex-plicar mejor la teorıa.Este espacio propues-to lleva su nombre.

8

1920’s Kolmogorov construyeuna serie de Fourierque diverge en casi to-das partes.

Pavel Urysohn de-muestra el lema quelleva su nombre.Schreirer y Leja, ensu artıculo Sur lanotion du groupeabstrait topologiqueestablece la defini-cion de grupo to-pologico tal como loconocemos hoy endıa.

Stefan Banach enun-cia el teorema del pun-to fijo que lleva sunombre.

1930’s Raphael Salem publi-ca el teorema de facto-rizacion de funcionesintegrables en T

Alfred Haar obtie-ne la existencia deuna medida inva-riante por transla-cion en un gru-po localmente com-pacto, metrizable yseparable, Weil ha-ce los mismo sin lasdos ultimas condi-ciones.

Kurt Godel prueba losteoremas de incomple-titud.

1950’s Rudin publica Facto-rizacion en el algebrade grupo de la rectareal Reto Rudin-Dieudonne. Rudinpublica el teoremade factorizacion pa-ra grupos abelianoslocalmente euclıdeos

Gleason Montgo-mery resuelve elquinto problema deHilbert.

Henri Cartan y Sa-muel Erlenberg publi-can Homological Alge-bra. Grothendick in-troduce la K-teorıa.

1959 PUNTO DE QUIE-BRE: TEOREMADE FACTORIZA-CION DE COHEN

Antoni Zygmund pu-blica un gran libro pio-nero de la teorıa: Tri-gonometrical Series.

9

1960’s Rajagolapan plan-tea la conjetura Lp.Curtis-Figa Tala-manca demuestranque

L1(G) ∗ L∞ = Cru(G)

Hewitt muestra el teo-rema de factorizacionen modulos de Banachy que

L1(G)∗Lp(G) = Lp(G)

Sobolev publicaOn a theorem offunctional analysis.Carleson muestraque la convergenciade una serie sepuede dar exceptoen conjunto demedida cero.

Cohen trabaja en laindecibilidad de lahipotesis del continuoy el axioma de elec-cion, por el metodo deforcing, lo que haceque gane la medallaFields.

1990 Sadahiro Saeki pruebala conjetura Lp.

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Capıtulo 2

Preliminares

El analisis de Fourier se ha fundamentado en diversos recursos teoricos de varias ramasde la matematica, como la teorıa de la medida, la topologıa, el algebra y el analisis. Acontinuacion enunciaremos las principales definiciones que le han dado un soporte a lateorıa de analisis de Fourier, tal como la conocemos hoy en dıa.

2.1. Teorıa de la medida

Definicion 1. Una coleccion X de subconjuntos de un conjunto X es un algebra si:

∅, X ∈ X

Si E ∈ X , entonces Ec ∈ X

Si E1, . . . , En ∈ X, entonces ∪nj=1Ej ∈ X

Definicion 2. Una coleccion X de subconjuntos de un conjunto X se dice que es unσ-algebra si cumple las siguientes condiciones:

∅, X ∈ X

Si A ∈ X , entonces Ac ∈ X

Si A1, . . . , An ∈ X, entonces ∪∞j=1Aj tambien esta en X

Un par (X,X), donde X es un conjunto y X un σ-algebra, forman un espacio medible.

Definicion 3. Una medida es una funcion de valor real extendida µ definida en un µdefinida en un σ-algebra X de subconjuntos de X tales que:

µ(∅) = 0

µ(E) ≥ 0 para todo E ∈ X

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µ es contablemente aditiva, es decir, si (Ej) es una sucesion disyunta deconjuntos en X, entonces

µ

(∞⋃j=1

)=∞∑j=1

µ(En)

A la tripla (X,X, µ) se le conoce como Espacio de medida.

Definicion 4. Una funcion f se dice que es medible o que f ∈ M(X,X), si para todonumero real α, el conjunto

x ∈: f(x) > α

pertenece a X.

Ejemplos. Sea E ∈ X. Definimos la funcion caracterıstica χE como

χE =

1, x ∈ E0, x 6∈ E

Esta funcion es medible ya que

x ∈ X : χE > α =

X, si E = X y α < 1

E, si E 6= X y α < 1

∅, si E 6= X y α ≥ 1 o si E = ∅

Si X = R y X = B, todas las funciones continuas f de R en R son medibles:Como f es continua, x ∈ R : f(x) > α es un intervalo abierto en R, por tanto,es union de intervalos abiertos, entonces en B.

Si f, g son funciones medibles de valor real y c ∈ R, entonces (a)cf , (b)f 2, (c)f+c,(d)f + g, (e)fg, (f)|f | son funciones medibles.

1. Se cumple trivialmente si c = 0. Si c > 0, entonces

x ∈ X : cf(x) > α =x ∈ X : f(x) >

α

c

∈ X

si c < 0,

x ∈ X : cf(x) > α =x ∈ X : f(x) > −α

c

∈ X

2. Si a < 0, entonces x ∈ X : (f(x))2 > α = X. Si a ≥ 0,

x ∈ X : (f(x))2 > α = x ∈ X : f(x) >√α∪x ∈ X : f(x) < −

√α ∈ X

12

3. Si f es una funcion medible, se tiene que x ∈ X : f(x) > α − c ∈ X. Portanto, x ∈ X : f(x) + c > α ∈ X

4. Sea r ∈ Q. Construimos los conjuntos

Sr = x ∈ X : f(x) > r ∩ x ∈ X : g(x) > α− r ∈ X

Luego, ⋃r∈Q

Sr =⋃r∈Q

(x ∈ X : f(x) > r ∩ x ∈ X : g(x) > α− r)

= x ∈ X : (f + g)(x) > α

Por lo que f + g es medible

5. fg es medible, ya que fg =1

4(f + g)2 − (f − g)2 utilizando ademas las

propiedades anteriores.

6. Si α < 0, x ∈ X : |f(x)| > α = X. Si α ≥ 0,

x ∈ X : |f(x)| > α = x ∈ X : f(x) > α ∪ x ∈ X : −f(x) > α= x ∈ X : f(x) > α ∪ x ∈ X : f(x) < −α ∈ X

Definicion 5 (Integracion). Sea φ un a funcion simple y medible positiva. La integralde φ con respecto a la medida de µ es

φ =n∑i=1

aiχEj

Sea φ una funcion simple y medible positiva. La integral de φ con respecto a la medidaµ es ∫

φdµ =n∑i=1

aiµ(Ei)

Sea f cualquier funcion medible positiva. Sea

Φ = φ| φ es simple y 0 ≤ φ ≤ f para todo x ∈ X

La integral de f con respecto a la medida µ, tomando todas las funciones φ ∈ Φ, estadefinida como ∫

fdµ = sup

∫φdµ

Decimos que una funcion f es integrable, si es medible de valor real bajo alguna σ-algebra X, tal que

∫|f |dµ (en el sentido de Lebesgue) es finita. La coleccion de estas

funciones se nota L(X,X, µ)

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Definicion 6. Dos funciones en L1 son µ-equivalentes y son iguales en casi toda parte.La clase de equivalencia determinada por f en L1 se denota [f ] y consiste en el conjuntode todas las funciones en L1 que son µ-equivalentes a f .

Definicion 7. Sea X un espacio topologico, el σ-algebra mas pequena B en X tal quecada abierto de X pertenece a B. Los miembros de B se denominan conjuntos deBorel de X.

Definicion 8. Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto y µ una medidadefinida sobre X y B. Un conjunto de Borel E es regular externo si

µ(E) = ınfµ(V ) : E ⊂ V, V es abierto

Es regular interno si

µ(E) = supµ(K) : K ⊂ E,K es compacto

Si cada conjunto de Borel en X es regular interno y regular externo, decimos que µ esregular.

A continuacion se enuncia uno de los teoremas mas importantes de teorıa de la medida,que se aplica en varios resultados aquı expuestos.

Teorema 1 (Teorema de Fubini). Sea (X,X, µ) y (Y,Y, ν) espacios σ-finitos y sea lamedida π en Z = X × Y el producto de µ y ν. Si la funcion F de Z = X × Y enR es integrable con respecto a π, entonces las funciones extendidas de valor real estandefinidas en casi toda parte por

f(x) =

∫Y

Fxdν, g(y) =

∫X

F ydµ

tiene integrales finitas y ∫X

fdµ =

∫Z

Fdπ =

∫Y

gdν.

Escrito de otra forma,∫X

[∫Y

Fdν

]dµ =

∫Z

Fdπ =

∫Y

[∫X

Fdµ

]dν

2.2. Grupos topologicos

Definicion 9. Sea f una funcion compleja de un espacio topologico.

sop(f) = x : f(x) 6= 0.

La coleccion de todas las funciones complejas continuas con soporte compacto se denotacomo Cc(X).

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Denotaremos como K ≺ f , donde K es un subconjunto compacto de X y f ∈ Cc(X) y0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ X, y f(x) = 1 para todo x ∈ K.Notamos como f ≺ V , donde V es abierto, f ∈ Cc(X), 0 ≤ f(x) ≤ 1 y sop(f) ⊆ V .Cuando ambas condiciones se cumple se notara

K ≺ f ≺ V

Definicion 10. Un grupo G se dice que es topologico si las operaciones de grupo soncontinuas. Es decir, si para x, y ∈ G, la funcion f que va de G a G tal que x 7→ x−1 yla funcion g que va de G × G a G tal que (x, y) 7→ x + y son continuos. Para x ∈ Gfijo, la aplicacion y 7→ x + y es un homeomorfismo de G en si mismo, el cual envıa 0a x.Un grupo abeliano localmente compacto (o ALC) es un grupo abeliano topologicoel cual es un espacio de Hausdorff localmente compacto.

Ejemplos.

Cualquier grupo abeliano G es un grupo ALC con la topologıa discreta.

Para mostrar que (G,P(G)) es localmente compacto, se toma x ∈ G, existe Vx =x, tal que Vx ∈ P que es compacto por ser finito.

Para ver que es de Hausdorff, se toma x, y ∈ G tal que x 6= y. Existen Vx =x, Vy = y ∈ P(G) tal que Vx ∪ Vy = ∅.

La funcion x 7→ x−1 es continua. En efecto, sea Vf(a) una vecindad de f(a), portanto existe A ∈ P tal que a−1 = f(a) ∈ A ⊂ Vf(a). Tomando Va = a tenemosque Va = f(a) = a−1 ⊆ A ⊆ Vf(a).

La funcion (x, y) 7→ x + y es continua. Sea Vf(x,y) una vecindad de f(x, y). Portanto, existe A = x+y ∈ P(G) tal que f(x, y) ∈ A ⊂ Vf(x,y). Se toma Vx = xy Vy = y. Luego, Vx × Vy = (x, y). Ası, f(Vx × Vy) = x+ y = A ⊂ Vf(x,y).

Definicion 11 (Medida de Haar). Sea X un grupo abeliano localmente compacto. Unamedida de Haar en X es una medida de Borel regular µ que tiene las siguientes propie-dades:

1. µ(E) <∞ si E es compacto (medida de Borel en grupos ALC);

2. µ(Ex) = µ(E) para todo conjunto medible E ⊂ X y todo x ∈ X (Invarianza portranslacion.)

2.3. Algebras de Banach y transformadas de Fou-

rier

Definicion 12. Un conjunto X es llamado una algebra normada sobre C, si

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1. X es un espacio vectorial normado sobre C,

2. X es un anillo con respecto a dos operaciones internas, donde la adicion es laadicion vectorial correspondiente al item anterior.

3. Si k ∈ C y x, y ∈ X, entonces

k(xy) = (kx)y = x(ky)

lo que establece una relacion entre el producto por escalar y el producto del anillo.

4. La norma cumple la siguiente propiedad.

‖xy‖ ≤ ‖x‖ · ‖y‖, x, y ∈ X

Si ademas X es completo, decimos que X es un algebra de Banach.

Definicion 13 (Convolucion). Sean f, g ∈ L1(G). Definimos la convolucion como

(f ∗ h)(x) =

∫G

f(x− y)g(y)dy

Definicion 14. La transformada de Fourier de una funcion f ∈ L1(R) se denota

por f y se define como

f(y) =1√2π

∫ ∞−∞

f(x)e−ixydx

Teorema 2 (Propiedades de la transformada de Fourier). Sea f ∈ L1 y α, λ ∈ R

Si g(x) = f(x)eiαx, entonces g(t) = f(t− α)

Si g(x) = f(x− α), entonces g(t) = f(t)e−iαt

si g ∈ L1 y h = f ∗ g, entonces h(t) = f(t)g(t).

si g(x) = −ixf(x) y g ∈ L1, entonces f es diferenciable y f ′ = g(t)

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Capıtulo 3

Desarrollo clasico

En el analisis de Fourier clasico utilizamos las series de Fourier para estudiar las funcio-nes periodicas en la recta real R. Nos enfocaremos en funciones 2π-periodicas (funcionesdeterminadas en [0, 2π) tal que f(x+ 2π) = f(x)). Mostraremos, que la recta real bajouna relacion de equivalencia que describiremos, forman un grupo con la adicion modulo2π.

Luego, mostraremos que este grupo conformado y el grupo T son isomorfos bajo laaplicacion t → eit, lo que nos permitira ver los resultados clasicos como resultados enel grupo abeliano compacto T, para ası, llevar el analisis de Fourier en Rn viendo comogrupo abeliano localmente compacto.

3.1. (R/ ∼2π,+) es un grupo abeliano

Definicion 15. Sean x, y ∈ R y r ∈ R fijo. x ∼r y si y solo si existe k ∈ Z tal quex− y = kr.

Proposicion 3.1.1. La relacion ∼r es de equivalencia

Demostracion. Veamos que ∼r es reflexiva, simetrica y transitiva.

∼r es reflexiva.Para todo x ∈ R, x ∼r x,ya que x− x = 0 = 0r

∼r es simetricaSi x ∼r y, existe k ∈ Z tal que x− y = kr. Luego,

y − x = −(x− y)

= −kx= (−k)x

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Ası, existe −k ∈ Z tal que y − x = (−k)r y se cumple que y ∼r x.

∼r es transitivaSi x ∼r y, existe k1 ∈ Z, tal que x− y = k1rSi y ∼r z, existe k2 ∈ Z, tal que y − z = k2rLuego,

x− z = (x− y) + (y − z)

= r(k1 + k2)

De este modo, x ∼r z.Por tanto, ∼r es una relacion de equivalencia.

En particular, si r = 2π, R/ ∼2π sera:

R/ ∼2π= [x] |0 ≤ x < 2π

Podemos definir la adicion modulo 2π como:

+ : (R/ ∼2π,R/ ∼2π) −→ R/ ∼2π

([a], [b]) 7−→ [a] + [b] = [a+ b]

Proposicion 3.1.2. (R/ ∼2π,+) es un grupo abeliano.

Demostracion. A ver que + es cerrada, asociativa, modulativa, invertiva y conmuta-tiva.

La operacion + es cerrada.Sean [a], [b] ∈ R/ ∼2π, para ver que [a] + [b] ∈ R/ ∼2π, basta ver que si x ∈ [a] yy ∈ [b], entonces, x+y ∈ [a+ b]. Como x ∈ [a], existe k1 ∈ Z tal que x−a = 2k1πy como y ∈ [b], existe k2 ∈ Z tal que y − b = 2k2π. Luego,

(x− a) + (y − b) = 2(k1 + k2)π

(x+ y)− (a+ b) = 2(k1 + k2)π

De este modo, existe k3 = k1 + k2 ∈ Z tal que (x+ y)− (a+ b) = 2(k1 + k2)π, Portanto, x+ y ∈ [a+ b] ∈ R/ ∼2π y la operacion + es cerrada.

La operacion + es asociativa.

([a] + [b]) + [c] = [a+ b] + [c] Por la definicion de +

= [(a+ b) + c] Por la definicion de +

= [a+ (b+ c)] Por la asociatividad de R= [a] + [b+ c] Por la definicion de +

= [a] + ([b] + [c]) Por la definicion de +

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La operacion + es modulativa.Para mostrar este hecho, hallaremos b ∈ [0, 2π) tal que [a] + [b] = [a]. En efecto,tomamos x ∈ R, tal que x ∈ [a + b] y x ∈ [a], luego, existe k1, k2 ∈ Z tal quex− (a+ b) = 2k1π y x− a = 2k2π. Ası,

x− a− b− (x− a) = 2(k1 − k2)π

−b = 2(k1 − k2)π

b = 2(k2 − k1)π

b = 2k3π

Luego, b ∈ [0]. Por tanto, existe [0] ∈ R/ ∼2π tal que [a] + [0] = [a].

La operacion + es invertiva.Para todo [a] ∈ R/ ∼2π, hallaremos [b] tal que [a] + [b] = [0]. Sea x ∈ R tal quex ∈ [a + b] y x ∈ [0]. Luego, existen k1, k2 ∈ Z tal que x − (a + b) = 2k1π yx = 2k2π. De este modo,

x− (x− (a+ b)) = 2(k2 − k1)π

a+ b = 2k3π

b− (−a) = 2k3π

Lo que indica que b ∈ [−a] = [2π− a]. Por tanto, existe [2π− a] ∈ R/ ∼2π tal que[a] + [2π − a] = [2π] = [0].

La operacion + es conmutativa.

[a] + [b] = [a+ b] Por la definicion de +

= [b+ a] Por la conmutatividad de R

= [a] + [b] Por la definicion de +

Por tanto, (R/ ∼2π) es un grupo abeliano, como queriamos probar.

3.2. T es un grupo abeliano compacto

SeaT := z ∈ C : |z| = 1

Proposicion 3.2.1. (T, ∗) es un grupo abeliano compacto, donde ∗ es el producto denumeros complejos.

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Demostracion. La operacion ∗ es clausurativa en T.Sean a, b ∈ T, a ver que a ∗ b ∈ T

|a ∗ b| =√

(ac− bd)2 + (ad+ bc)2

=√a2c2 − 2abcd+ b2d2 + a2d2 + b2c2

=√a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2

=√

(a2 + b2)(c2 + d2)

=√a2 + b2

√c2 + d2

= |a||b| = 1

De este modo, la operacion ∗ es cerrada en T

La operacion es asociativa en T, ya que desde la operacion definida en C, secumple esta propiedad.

La operacion ∗ tiene elemento neutro, ya que 1 + 0i ∈ C, como elemento inversode la operacion ∗ definida en C, pertenece a T, porque |1 + 0i| =

√1 + 0 = 1.

∗ es invertiva, debido a que para cada a+ bi ∈ T, existe aa2+b2

− ba2+b2

i ∈ C tal que

(a+ bi) ∗(

aa2+b2

− ba2+b2

i)

= 1. Ademas, aa2+b2

− ba2+b2

i ∈ T: debido a que:∣∣∣∣ a

a2 + b2− b

a2 + b2i

∣∣∣∣ =

√(

a

a2 + b2)2 + (

b

a2 + b2)2

=

√a2

(a2 + b2)2+

b2

(a2 + b2)2

=

√a2 + b2

(a2 + b2)2

=√a2 + b2 = |a+ bi| = 1

La operacion ∗ es conmutativa en T, por ser conmutativa desde C.

Las funcionesf : T −→ T

x 7−→ x−1

g : (T,T) −→ T

(x, y) 7−→ x+ y

20

Son continuas. En efecto, para la funcion f , sea ε > 0. Tomando δ = ε, tal que|x− a| < δ. Entonces, si x = (x1, x2) y a = (a1, a2)

∣∣x−1 − a−1∣∣ =

∣∣∣∣( x1

x21 + x2

2

,−x2

x21 + x2

2

)−(

a1

a21 + a2

2

,−a2

a21 + a2

2

)∣∣∣∣= |(x1 − a1, a2 − x2)| = |x− a| < ε

Para la funcion g, si ε > 0 y tomando δ =ε

2, tal que |x−a| < |(x, y)− (a, b)| < δ.

Entonces,

|(x− a) + (y − b)| ≤ |x− a|+ |y − b|

=ε

2+ε

2= ε

Para mostrar la compacidad, utilizamos el hecho de que C ∼ R2, en donde porteorema de Heine- Borel los conjuntos cerrados y acotados son los mismos con-juntos compactos. T es cerrado, ya que Tc es abierto, porque las bolas centradasen x ∈ Tc y de radio (|x|−1)/2, estan totalmente contenidas en Tc. T es acotado,ya que existe B2(0) tal que T ⊆ B2(0). Por tanto, T es compacto.

3.3. R/ ∼2π es isomorfo a TTeorema 3. La funcion t 7→ eit es un isomorfismo del eje real a la circunferenciaunitaria.

Demostracion. Mostraremos que es un homomorfismo, luego que es inyectiva y porultimo sobreyectiva.

Por las propiedades de ez con z ∈ C, se cumple que

g(z1 + z2) = ez1+z2

= ez1

ez2

= g(z1)g(z2)

Lo que muestra que es un homomorfismo.

Se toma t1, t2 ∈ R tal que 0 ≤ t1t2 < 2π. Ahora, como para t ∈ R, 0 < t < 2π secumple que eit 6= 1, entonces

eit2(eit1)−1 = e(it2−it1) 6= 1

Luego, t1 6= t2

21

Para ver la sobreyectividad, se fija w ∈ C tal que |w| = 1. Se mostrara que paratodo w ∈ C, existe un real t tal que w = eit. Sea w = u + iv y supongamos queu ≥ 0 y v ≥ 0. Como u ≤ 1 y como cos t es continua, existe t ∈ R tal que

0 ≤ t ≤ π

2tal que cos t = u. Lo que indica que sen2 t = 1 − u2 = v2 y como

sen t ≥ 0, si 0 ≤ t ≤ π

2, se tiene que sen t = v. Por tanto,

w = u+ iv = cos t+ i sen t = eit

Ahora, supongamos que u < 0 y v ≥ 0. Entonces,

−iw = −i(u+ iv) = −iu+ v = v − iu.

Luego, se cumplen las condiciones anteriores. Ası −iw = eit para algun t ∈ R.Por ultimo, si v < 0 entonces −w = −(u + iv) = −u − iv. Se cumplira que siu ≥ 0, se tiene el caso 1, mientras que si u < 0 se tiene el caso 2. Por tanto, paraalgun t, w = e(t+π)i, lo que prueba la sobreyectividad, y por ende se demuestra elteorema.

3.4. Teorema de representacion de Riesz

Este resultado nos permite definir para espacios de Hausdorff localmente compactos, unfuncional lineal que representa de manera unica, una medida regular de Borel completa.En particular, para R y T esta medida corresponde a la medida de Lebesgue.

Teorema 4 (Representacion de Riesz). Sea X un espacio de Hausdorff localmentecompacto y Λ un funcional lineal positivo sobre Cc(X). Existe una σ-algebra M en Xque contiene a todos los conjuntos de Borel de X y existe una unica medida postivasobre µ que representa a Λ en el sentido de que

Λf =

∫X

fdµ, para toda f en Cc(X)

y cumpliendo las siguientes condiciones.

(Medida finita en compactos) µ(k) <∞, para todo compacto K ⊂ X

(Medida regular exterior) Para todo E ∈M,

µ(E) = ınfµ(V ) : E ⊂ V, V abierto

(Medida regular interior) La relacion dada por

µ(E) = supµ(K) : K ⊂ E,K abierto

se verifica para todo abierto E ∈M con µ(E) <∞

22

(Medida completa) Si E ∈M, A ⊂ E y µ(E) = 0, entonces A ∈M

Idea de la demostracion. La construccion de esta medida se realiza a partir de losabiertos de X, sobre los cuales, se extiende la idea para subconjuntos arbitrarios. Enefecto, para todo abierto U de X, se define

µ(V ) = supλf : f ≺ U

Ahora, si E ⊂ X,µ(E) = ınfµ(U) : E ⊂ U,U abierto

La construccion de la σ-algebra M se realiza definiendo una coleccion previa MF ,condicionando las definiciones anteriores por medio de compactos, MF es la coleccionde todos los subconjuntos de X tales que

µ(E) <∞

µ(E) = supµ(K) : K ⊂ E,K compacto

SeaM la coleccion de todos los E ⊂ X tales que E∩K ∈MF para K compacto. Sobrela funcion µ y la coleccion M se demuestra la aditividad numerable, la medida sobrecompactos y algunos hechos importantes como que MF contiene a todos los abiertos demedida finita. A partir de esto se demuestra que µ es una medida unica completa y queM es una σ-algebra.Por ultimo se demuestra la representacion de cualquier funcional a partir de la integralrespecto a µ. Para mayor detalle, ver Rudin [8]

3.5. La medida de Lebesgue es la medida de Haar

en Rn

Se mostrara en esta seccion que la medida de Haar coincide con la medida de Lebesgueen Rn y Tn. Ademas, esta medida es unica salvo multiplicacion por escalares.

Para tal fin, se toma E ⊆ Rny x ∈ Rn. La translacion de E por x, se define como

E + x = y + x : y ∈ E

Sea W = x : αi < xi < βi; 1 ≤ i ≤ n donde el signo < puede ser reemplazado por ≤.W se denominara una k-celda. Su volumen esta definido por

vol(W ) =∏i=i

(βi − αi)

Si a ∈ Rn y δ > 0, denominaremos al conjunto

Q(a; δ) = x : αi < xi < αi + δ, 1 ≤ i ≤ n

23

como la δ-caja con vertice en a. Sea

Pk = y ∈ Rn|yi =m

2k,m ∈ Z

donde n ∈ Z+ yΩk = Q(y, 2−k)|y ∈ Pk, k ∈ Z+

Ωk cumple las siguiente propiedades:

1. Si k es fijo y x ∈ Rn, x ∈ Q(y, 2−k) para un unico y ∈ Pk. Esto se tiene por la

densidad de los reales,m

2k< x <

m+ 1

2kpara algun m ∈ Z.

2. Si Q′ ∈ Ωt, Q′′ ∈ Ωr y t < r entonces Q′ ⊂ Q′′ o Q′ ∩ Q′′ = ∅. Sea x ∈ Q′ ∈ Ωt,

luegomt

2t< x <

mt + 1

2t, ası,

mt

2r<mt

2t< xi <

mt + 1

2t<mt + 1

2r

Ahora, si Q′ = Q(w, 2−t) y Q′′ = Q(p, 2−r) con w 6= t, Q′ ∩ Q′′ = ∅ por el itemanterior.

3. Si Q ∈ Ωr, entonces vol(Q) = 2−rn; y si m > r, el conjunto Pm tiene exactamente

2(m−r)n puntos en Q. Como Q ∈ Ωr, Q = Q(y, 2−r) = x|hi2r< xi <

hi + 1

2r. Por

tanto,

vol(Q) =n∏i=1

(hi + 1

2r− hi

2r

)=

n∏i=1

1

2r=

(1

2r

)n=

1

2rn= 2−rn

4. Cada abierto no vacıo en Rn es union numerable de cajas disjuntas en⋃∞Ωk.

Demostracion. Sea V abierto. Todo x ∈ V estara en una bola abierta que per-tenece a V . Por tanto existe Q ∈ Ωn tal que x ∈ Q ⊂ V . Ası V es union de todaslas cajas que estan en ella y que pertenecen a algun Ωn. Es decir, V =

⋃Q∈Ωn

Q.Sea Q0 = QQ⊂V,Q∈Ωn la coleccion de las cajas que estan en V y pertenecen a Ωn

para algun n. De la misma forma construimos Qk = QQ⊂V,Q∈Ωk,Q 6∈Ωn,n>k. Lue-go, V =

⋃∞k=1Xk donde xk ∈ Ωk. Por los items (a) y (b) se tiene que Xk∩Xl = ∅

para k 6= l

Teorema 5. Existe una medida completa m definida en M en Rn, con las siguientespropiedades:

1. m(W ) = vol(W ) para toda k-celda W

24

2. m es invariante por translacion, es decir, m(E + x) = m(E) para todo E ∈M yx ∈ Rk.

3. Si µ es cualquier medida de Borel positiva invariante por translacion en Rk talque µ(K) < ∞ para todo compacto K, entonces existe una constante c tal queµ(E) = cm(E) para todos los conjuntos de Borel E ⊂ Rk.

Demostracion. 1. Sea W una celda abierta y

Er = ∪Qr|Qr ∈ Ωr, Qr ∈ W

Sea f tal que Er ≺ f ≺ W . Por el teorema de representacion de Riesz, se tieneque

Λf = vol(Er) =k∏i=1

(βi − αi − 21−r)

Si r →∞ y hacemos m(W ) = supΛf : f ≺ W por la construccion del teoremade Riesz. Por tanto, m(W ) = vol(W ) para cada celda abierta W . Como cada celdaes la interseccion de una sucesion decreciente de celdas (Teorema de interseccionde Cantor), obtenemos (a).

2. Mostremos para cada celda. Sea W una celda, entonces

W + x = x ∈ Rn|αi + x < xi + x < βi + x

Luego,

vol(W + x) =n∏i=1

(βi + x− (αi + x))

=n∏i=1

(βi − αi)

= vol(W )

3. Supongamos que µ es una medida de Borel invariante por translacion. Sea c =µ(Q0), donde Q0 es una 1-caja. P0 tendra exactamente 2nk puntos en Q0. Luego,cada uno de estos puntos tendra una 2−n-caja que seran disyuntas. Es decir,debemos probar que

Q0 =2nk⋃i=1

Q(w, 2−n)

Q(wi; 2−n) ∩Q(wj; 2−n) = ∅, i 6= j

25

Supongamos que existe y0 ∈ Q(wi; 2−n) ∩Q(wj; 2−n). Luego,

wik ≤ yk < wik + 2−n

wjk ≤ yk < wjk + 2−n para wik 6= wjk

Supongamos wik > wjk, entonces wik = yk = wjk. Lo cual es una contradiccion.Por tanto, Q(wi; 2−n)∩Q(wj; 2−n) = ∅. Dado que estas son translaciones de otrasy dado que m(Q0) = 1.

m(Q0) = m

2nk⋃i=1

Q(wi, 2−n)

=

2nk∑i=1

m(Q(w, 2−n))

=2nk∑i=1

2−nk = 2nk2−nk = 1

m(Q) = 2−nk Q es una 2−n caja

= 2−nk · 1= 2−nk ·m(Q)

Por tanto, m(Q0) = 2nkm(Q), lo cual se aplica a cualquier medida invariante portranslacion, en particular, a µ

2nkµ(Q) = µ(Q0)

= c = cm(Q0)

= c(2nkm(Q))

Como cualquier abierto E puede escribirse como union de cajas disyuntas quepertenecen a

⋃i=1 Ωn y por la regularidad del teorema de representacion de Riesz,

se cumple, la unicidad, excepto por escalares.

26

Capıtulo 4

Primeros desarrollos abstractos

Los resultados en analisis de Fourier clasico permiten ver de forma clara, como se pue-de pasar de trabajar funciones periodicas en R a un grupo compacto como T; lo quehizo pensar en la necesidad de generalizar resultados en Rn o Tn a grupos abelianoslocalmente compactos, grupos abelianos compactos o simplemente grupos compactos.

Verificaremos lo resultados involucrados desde la teorıa de la medida y el analisis fun-cional para los grupos ALC y el espacio L1(G). En esta parte, corresponde demostrarque para cada grupo ALC, existe una medida regular de Borel invariante por trasla-ciones llamada medida de Haar, como se define la convolucion en los espacios L1(G),y efectivamente comprobar que con esta operacion, el espacio L1(G) es un algebra deBanach.

4.1. Existencia de la medida de Haar para todo gru-

po ALC

Definicion 16. Sea E un conjunto acotado y F un conjunto con interior no vacıo. Elradio E : F es el mınimo entero no negativo n tal que existe un conjunto x1, . . . , xn ∈ Gtal que E ⊂ ∪nn=1xiF .

Propiedad 1. E : F es finito Como E es acotado existe C tal que E ⊂ C. ComoF o 6= ∅, existe x−1 ∈ F . Consideremos el conjunto xF , el cual es una abierto quecontiene a e, el elemento neutro de X, ya que x−1 ∈ F . Sea h ∈ C. Dado que e ∈ xF ,h ∈ xF y se cumple que

E ⊆ C ⊆ ∪x∈XxF

Como C es compacto, existe un subrecubrimiento finito

E ⊆ C ⊆ ∪ni=1xiF → E ⊆ ∪ni=1xiF

Por lo tanto, el radio E : F es finito.

27

Propiedad 2. Si A es acotado y de interior no vacıo, entonces

E : F ≤ (E : A)(A : F )

Para probar este hecho, hacemos m = E : A y p = A : F , luego

E ⊆m⋃j=1

xjA ⊆m⋃j=1

(p⋃l=1

ylF

)

⊆m⋃j=1

p⋃l=1

xjylF

⊆mp⋃k=1

wkF donde wk = xjyl

luego, mp = (E : A)(A : F ) translaciones a izquierda de F tambien cubren a E, peropor definicion, E : F = n es el mınimo entero positivo tal que E es cubierto portranslaciones a izquierda de F . Ası E : F ≤ (E : A)(A : F ), que era lo que se querıaverificar.

Teorema 6. Para cada conjunto abierto no vacıo fijo U y un conjunto compacto A coninterior no vacıo, la funcion λU , definida para todo conjunto compacto C como

λU(C) =C : U

A : U

Esta funcion es no negativa, finita, monotona, subaditiva e invariante por izquierda; Esaditiva si C y D son compactos para los cuales CU−1 ∩DU−1 = 0, entonces

λU(C ∪D) = λU(C) + λU(D)

Demostracion. Probaremos que λU cumple las anteriores condiciones. En efecto,

λU(C) ≥ 0, por definicion, C : U ≥ 0 y A : U ≥ 0, por ser enteros positivos.

λC <∞ ya que la propiedad 1, verifica la finitud de C : U y A : U es estrictamentepositiva.

Sean C,M compactos tal que C ⊆ M . Luego, C ⊆ M ⊆⋃mi=1 xiU . Dado que

C : U es el mınimo entero positivo que cumple C ⊂⋃ni=1 xiU . De esta forma,

C : U ≤M : U , que al dividir entre A : U , da como resultado

λU(C) =C : U

A : U≤ M : U

A : U= λU(M)

Sea C : U = m, D : U = n y C ∪D = p, entonces

C ⊆⋃

xiU,D ⊆n⋃j=1

yjU

28

Utilizando ambas contenencias obtenemos

C ∪D ⊆m⋃i=1

xiU ∪m⋃i=1

yjU

⊆m+n⋃k=1

zkU

Como p es el mınimo entero positivo, C ∪D : U ≤ C : U +D : U . Ası,

λU(C ∪D) ≤ λU(C) + λU(D)

Sea U−1 = u−1|uu−1 = e = u−1u, u ∈ U. Supongamos que x ∈ CU−1 ∩DU−1,ası que x = cu−1 y y = du−1. Luego, xu = c, xu = d para algun c ∈ C, d ∈ D.Por tanto, x ∈ (C ∩D) ∩ xU .

Teorema 7. Sea G un grupo abeliano localmente compacto. Entonces existe al menosuna medida regular de Haar.

Demostracion. Sea A un conjunto compacto fijo con interior no vacio y sea N la clasede todas las vecindades de la identidad. Para cada U ∈ N , construimos la funcion λU ,definida para todos los subconjuntos compactos C como

λU(C) =C : U

A : U;

Como (C : U) ≤ (C : A)(A : U), se sigue que 0 ≤ λU(C) ≤ C : A para cada C com-pacto. El teorema anterior nos muestra que λU esta casi contenida, solo falla que no esnecesariamente aditiva. Utilizaremos el teorema de Tychonoff para obtener un limite deλU que cumpla la aditividad.

Cada conjunto C ∈ C, donde C es la coleccion de todos los subconjuntos compactosde X, le corresponde un intervalo cerrado [0, C : A] y denotamos por Φ al productocartesiano de todos los intervalos. Luego, Φ es un espacio compacto de Hausdorff cu-yos puntos son funciones de valor real φ definidas en C, tal que, para cada C ∈ C,0 ≤ φ(C) ≤ C : A. Para cada U en N la funcion λU es un punto en el espacio Φ.

Para cada U ∈ N denotamos:

Λ(U) = λV : V ⊂ U ;V ∈ N

Si U1, . . . , Un es cualquier coleccion finita de vecindades de la identidad, entonces∩ni=1Ui es tambien una vecindad de la identidad y ademas, para j = 1, . . . , n

∩ni=1Uin ⊂ Uj

29

Se sigue queΛ (∩ni=1Ui) ⊂ ∩ni=1Λ(Ui)

y como ΛU siempre contiene a ΛU y es no vacıo, entonces la coleccion de conjuntos ΛU ,U ∈ N, tiene propiedad de interseccion finita. La compacidad de Φ implica que existeun punto λ tal que

λ ∈ ∩λ(U) : U ∈ N

Probaremos que λ es la funcion deseada, es decir, la medida de Haar para grupos ALC.

Se cumple que λ es no negativa y finita, ya que 0 ≤ λ(C) ≤ C : A <∞ para cadaC ∈ C.

Para ver que λ es monotona, definimos ξC(φ) = φ(C), la cual es una funcioncontinua en Φ y para dos compactos C y D cualesquiera el conjunto

∆ = φ : φ(C) ≤ φ(D) ⊂ Φ

es cerrado.Si C ⊂ D y U ∈ N , entonces λU ∈ ∆ y Λ(U) ⊂ ∆, luego λ esmonotona.

Sean C y D compactos tales que C ∩ D = 0. Existe una vecindad U ∈ N talque CU−1 ∩DU−1 = ∅. Si V ∈ N, V ⊂ U , entonces CV −1 ∩DV −1 = ∅ y por elteorema anterior

λV (C ∪D) = λV (C) + λV (D)

lo que indica que si V ⊂ U ,

λV ∈ ∆ = φ : φ(C ∪D) = φ(C) + φ(D)

y Λ(U) ⊂ ∆. Por lo tanto, λ ∈ Λ(U) ⊂ ∆ y λ serıa aditiva, lo que concluye laexistencia de la medida de Haar para los grupos ALC.

lo que prueba el teorema.

4.2. Rudin:L1(R) ∗ L1(R) = L1(R)Teorema 8. Sea f ∈ L(R). Existen funciones g, h ∈ L(R) tal que f = g ∗ h.

Demostracion. Para t > 0, sea Kt la funcion cuya transformada de Fourier es

Kt(y) =

1− |y|t, Si |y| < t

0, Si |y| ≥ t

Sea σt = f ∗Kt, y α(t) = ‖f − σt‖. Es bien sabido que α(t)→ 0 cuanto t→∞.Se elige una sucesion tn como sigue:

30

t1 = 0; y

Para n ≥ 2, tn > 2tn−1

α(t) < n−2 si t ≥ tn.

Sea una funcion φ, concava y con segunda derivada continua en [0,∞), tal que φ(tn) = n.La consideracion del grafico de φ muestra que tnφ

′(tn) < 2 para n ≥ 2. Como φ esconcava en [0,∞]. Veamos que se cumple por induccion. A tener en cuenta que sic ∈ (0,∞), φ(x) < φ(c) + φ′(c)(x− c) para todo x en un intervalo abierto que contienea c. Si n = 2, sea 0 < a < t2 < t3 < b, entonces

φ(t2) < φ(t3) + φ′(t3)(t2 − t3) Como 2t2 < t3 entonces t2 − t3 < −t22 < 3 + φ′(t3)(−t2)

−1 < −t2φ′(t3)

t2φ′(t3) < 1

Por ser concava en [0,∞), φ′ es decreciente en [0,∞), luego

φ′(t3) < φ′(t2)

t2φ′(t3) < t2φ′(t2)

0 < 1− t2φ′(t2)

t2φ′(t2) < 1 < 2

Supongamos que se cumple para n, es decir, tnφ′(tn) < 2. Sea 0 < a < tn < tn+1 < b.

Como φ′ es decreciente, se cumple que tnφ′(tn+1) < tnφ

′(tn) < 2, por hipotesis deinduccion. Luego,

φ(tn) < φ(tn+1) + φ′(tn+1)(tn − tn+1)

< φ(tn+1) + tnφ′(tn+1)− tn+1φ

′(tn+1)

n < n+ 1 + 1− tn+1φ′(tn+1)

0 < 2− tn+1φ′(tn+1)

Con lo que queda demostrado que para n ≥ 2, tnφ′(tn) < 2. Por tanto,∫ tn+1

tn

α(t)|φ′′(t)|dt < −n−2

∫ tn+1

tn

tφ′′(t)dt

= −n−2

[[tφ′(t)]

tn+1

tn−∫ tn+1

tn

]= −n−2tnφ′(tn)− tn+1φ

′(tn+1) + φ(tn+1)− φ(tn)< 3n−2.

31

Dado que ∫ ∞0

α(t)t|φ′′(t)|dt =∞∑n=1

∫ tn+1

tn

α(t)|φ′′(t)|dt

< 3∞∑n=1

n−2

= 3

(π2

6

)=π2

2

En consecuencia, ∫ ∞0

α(t)t|φ′′(t)|dt <∞ (4.1)

Ahora defina

g(x) = f(x)+

∫ ∞0

σt(x)−f(x)tφ′′(t)dt = f(x)+

∫ ∞0

(f∗Kt)(x)−f(x)tφ′′(t)dt (4.2)

Por la relacion (4.1) y el teorema de Fubini, la integral en la ecuacion (4.2) convergeabsolutamente para casi todo x, entonces g ∈ L. Tambien,

g(x) = f(x) +

∫ ∞0

σt(x)− f(x)tφ′′(t)dt

g(x) = f(x) +

∫ ∞0

f ∗Kt(x)− f(x)tφ′′(t)dt

g(y) = f(y) +

∫ ∞0

f(y)Kt(y)− y

tφ′′(t)dt

g(y) = f(y) + f(y)

∫ ∞0

Kt(y)− 1tφ′′(t)dt

Haciendo, m(y) =∫∞

0Kt(y)− 1tφ′′(t)dt, m es una funcion par de y. Para y > 0,∫ ∞

0

(K)t(y)− 1

tφ′′(t)dt = −

∫ y

0

tφ′′(t)dt−∫ ∞y

y

ttφ′′(t)dt

= −∫ y

0

tφ′′(t)dt− y∫ ∞y

φ′′(t)dt

= −yφ′(y) + φ(y)− φ(0) + yφ′(y)

= φ(y)− 1

32

Por tanto, si se define φ tal que φ(−t) = φ(t), se tiene para todo y > 0,

g(y) = f(y) + f(y)(φ(y)− 1)

g(y) = f(y)φ(y) (4.3)

Despues, ponemos λ(t) = 1/φ(t), y

h(x) =

∫ ∞0

Kt(x)tλ′′(t)dt. (4.4)

Note que λ es convexo en (0,∞), y que λ(t)→ 0 cuando t→∞, y que en consecuencia∫ ∞0

tλ′′(t)dt = lımb→∞

tλ′(t)|b0 −∫ ∞

0

λ′(t)dt

= −∫ ∞

0

λ′(t)dt

= − lımb→∞

λ(t)|b0

= λ(0) =1

φ(0)= 1 <∞

Lo que implica que ∫ ∞−∞|h(x)|dx =

∫ ∞−∞|∫ ∞

0

Kt(x)tλ′′(t)dt|dx

=

∫ ∞−∞|∫ ∞

0

tλ′′(t)dt|dx

=

∫ ∞−∞|kt(x)λ(0)|dx

= λ(0)

∫ ∞−∞|kt(x)|dx

<∞

33

h(y) =

∫ ∞0

kt(y)tλ′′(t)dt para y > 0

=

∫ ∞y

(1− y

t

)tλ′′(t)dt

=

∫ ∞y

tλ′′(t)dt− y∫ ∞y

λ′′(t)dt

= lımb→∞

tλ′(t)|by −∫ ∞y

λ′(t)dt

= −y(

lımb→∞

λ′(t)|by)

= lımb→∞

bλ′(b)− yλ′(y)− lımb→∞

λ(t)|by −(

lımb→∞

λ′(b)− λ′(y))

= −yλ′(y)− lımb→∞

λ(b) + λ(y) + yλ′(y)

= λ(y)

Por tanto h ∈ L, y

h(y) =

∫ ∞0

Kt(y)tλ′′(t)dt.

Para y > 0, como g(y) = f(y)φ(y),

f(y) =g(y)

φ(y)

= g(y)λ(y)

= g(y)h(y)

que era lo que querıamos probar.

4.3. L1(G) es un algebra de Banach

Para las estructuras clasicas se tiene que tanto L1(R) como L1(T) son algebras deBanach como veremos a continuacion.

Teorema 9. L1(R) es un algebra de Banach, donde el producto definido en el es laconvolucion, es decir, fg = f ∗ g.

Demostracion. Veamos que L1(R) = (L1(R),+, ∗) es un anillo. En efecto,(L1(R),+) es un grupo abeliano, porque es un espacio vectorial.

Veamos que se cumple la asociatividad del producto. Por la invarianza de trans-

34

lacion y aplicaciones sucesivas del Teorema de Fubini tenemos que

(f ∗ (g ∗ h)) =

∫ ∞0

f(x− v)(g ∗ h)(v)dv

=

∫ ∞0

∫ ∞0

f(x− v)g(v − t)dtdv

=

∫ ∞0

∫ ∞0

f(x− v − t)g(v)h(t)dtdv

=

∫ ∞0

∫ ∞0

(f ∗ g)(x− t)h(t)dt

= ((f ∗ g) ∗ h)

De forma similar, se cumple la distributividad de la suma con respecto al producto.Sea h ∈ L1(G)

(f ∗ (g + h))(x) =

∫ ∞0

f(x− t)(g + h)(t)dt

=

∫ ∞0

f(x− t)g(t)dt+

∫ ∞0

f(x− t)h(t)dt

= (f ∗ g)(x) + (f ∗ g)(t)

Veamos que si k ∈ C, entonces k((f ∗ g)(x)) = ((kf) ∗ g)(x) = (f ∗ kg)(x). Enefecto,

k((f ∗ g)(x)) = k

∫ ∞0

f(x− t)g(t)dt

=

∫ ∞0

(kf(x− t))g(t)dt = ((kf) ∗ g)(x)

k((f ∗ g)(x)) =

∫ ∞0

f(x− t)(kg(t))dt = (f ∗ kg)(x)

Veamos que ‖f ∗ g‖ = ‖f‖1‖g‖1. Despues de aplicaciones sucesivas del teoremade Fubini y de Tonelli.

‖f ∗ g‖1 =

∫ ∞0

∣∣∣∣∫ ∞0

f(x− t)g(t)dt

∣∣∣∣ dx≤∫ ∞

0

∫ ∞0

|f(x− t)g(t)| dtdx

=

∫ ∞0

(∫ ∞0

|f(x− t)g(t)| dx)dt =

∫ ∞0

g(t)

(∫ ∞0

|f(x− t)| dx)dt

=

∫ ∞0

|f(x− t)g(t)| dx∫ ∞

0

g(t)dt = ‖f‖1‖g‖1 <∞

Ası, L1(R) es un algebra de Banach. En sentido similar ocurre con L1(T).

35

Ahora, podremos ver la demostracion para un grupo abeliano localmente compacto.

Teorema 10. Sea G un grupo ALC. El algebra de grupo L1(G) es un algebra de Banach.

Demostracion. Sea G = x1, x2, . . . , xn un grupo ALC finito. Definimos la normade L1(G) como

‖f‖ =n∑i=1

|f(xi)|

Sean f, g ∈ L1(G). Se define la convolucion entre f y g como

(f ∗ g)(xk) =∑

xixj=xk

f(xi)g(xj)

(L1(G),+) es un grupo abeliano por ser un espacio normado. La operacion ∗ cumple laasociatividad y distributividad. Igualmente, se cumple la relacion entre la multiplicacionpor escalar y la convolucion. Ahora, se debe ver que se cumple ‖f ∗ g‖ ≤ ‖f‖‖g‖.Utilizaremos el hecho de que xi = xkx

−1j , con lo que se puede escribir.

(f ∗ g)(xk) =n∑i=1

f(xkx−1j )g(xj)

En efecto,

‖f ∗ g‖ =n∑k=1

|(f ∗ g)(xk)|

=n∑k=1

∣∣∣∣∣n∑i=1

f(xkx−1j )g(xj)

∣∣∣∣∣≤∑k

∑j

|f(xkxj−1)g(xj)|

=∑k

∑j

|f(xkxj−1)| |g(xj)|

=∑j

|g(xj)|∑k

|f(xkx−1j )|

= ‖f‖‖g‖

Lo que concluye la demostracion. Para ver, el caso general, ver [7].

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Capıtulo 5

Analisis de Fourier moderno: Delteorema de factorizacion de Cohenhasta la conjetura Lp

Segun Ross [5], el teorema de factorizacion de Cohen, publicado en 1957, fue la rupturao el punto de quiebre de la teorıa. A partir de ahı , todos los resultados aparecieron deforma natural para estructuras cada vez mas generales, como modulos y algebras.Se obtuvieron teoremas de representacion de funciones integrables en grupos compactos,teoremas de tasas de decrecimiento de coeficientes de Fourier para grupos ALC, entreotros. Resultados que permitieron un avance vertiginoso de la teorıa en los anos restantesdel siglo XX hasta la conjetura Lp.

5.1. Representacion de funciones en L1(G)

En 1957, se conocio el teorema de Rudin, que permite encontrar una representacionde la funciones integrables en R, como convolucion de dos funciones integrables enRn, un resultado que J. Dieudonne habıa considerado falso, por la construccion de uncontraejemplo, al que Rudin pudo refutar por medio de esta demostracion . Esto trajoun reto de Dieudonne que consistıa en la generalizacion del resultado anterior a gruposALC, a lo que Rudin pudo llegar en 1958, cuando demostro que una funcion integrableen G, un grupo ALC, se puede escribir como convolucion de dos funciones integrablesen G [9].

Teorema 11. Sea G abeliano y localmente euclıdeo entonces L1(G) ∗ L1(G) = L1(G).

Idea de la demostracion. Para mostrar este teorema se utiliza el hecho de que sif, g ∈ L1(R), f ∗ g ∈ L1(R) y el teorema de representacion de funciones integrablespor convolucion. El argumento principal utiliza la generalizacion para L1(Rn) y paraL1(Tn). Como G = Tn ⊕ Rn ⊕D donde D es discreto, se obtiene el resultado.

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5.2. Teorema de factorizacion de Cohen

Paul Cohen (1934-2004) fue un matematico, ganador de la medalla Fields en 1966 y elprimero en resolver uno de los problemas de Hilbert. En analisis de Fourier, demostroun resultado que por su simpleza y elegancia llevo a desarrollar la teora en ambitos masgenerales. Paul Cohen se doctoro en 1957 bajo la tutorıa de Antoni Zygmund. Luegode ver el teorema demostrado por Rudin para grupos ALC, se fijo que implicitamentellevaban unidades aproximadas y en 1959 demostro el teorema que lleva su nombre.

Definicion 17. Un algebra de Banach B se dice que tiene una unidad aproximada aizquierda, si existe una constante M , tal que para todo ε > 0 y xi, para 1 ≤ i ≤ n,elementos de B, entonces existe e ∈ B, que satisface

‖e‖ < M, ‖exi − xi < ε‖ (5.1)

Analogamente se define una unidad aproximada a derecha.

Teorema 12 (Teorema de factorizacion de Cohen). Si B es un algebra de Banach conuna unidad aproximada acotada, entonces AA = A

Como L1(G) es un algebra de Banach con unidad aproximada acotada, entonces quecumple

Teorema 13. L1(G) ∗ L1(G) = L1(G) para todos los grupos localmente compactos G.Incluso los no abelianos.

5.3. Otros resultados

Estos resultados comprenden teorema de representacion en modulos de Banach, enespacios de funciones y por ultimo la conjetura Lp.

5.3.1. Teorema de factorizacion de modulos de Banach

Dado un algebra de Banach B, un B-modulo de Banach a izquierda es un espacio deBanach L, en el que el algebra actua. Notaremos (b, χ) → b • χ a la accion de B enL.Ademas se cumple para tdo (b, χ) ∈ B × L

‖b • χ‖L ≤ ‖b‖B‖χ‖L

Teorema 14 (Factorizacion de modulos de Banach). Si B es un algebra de Banachcon una unidad aproximada acotada, y si L es un B-modulo de Banach a izquierda,entonces A • L es un subespacio vectorial cerrado. En particular, si A • L es denso enL, entonces A • L = L.

Que tiene como consecuencias los siguientes resultados:

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Teorema 15 (Hewitt-Ross). Para 1 ≤ p < ∞, se tiene que L1(G) ∗ Lp(G) = Lp(G)donde G es un grupo localmente compacto.

Teorema 16 (Curtis-Figa Talamanca). Sea Cru(G) el espacio de las funciones en Guniformemente continuas acotadas a izquierda, donde G es localmente compacto. En-tonces

L1(G) ∗ L∞(G) = Cru(G) = L1(G) ∗ Cru(G)

5.3.2. La conjetura Lp

Esta conjetura fue propuesta en 1963, por M. Rajagolapan en su tesis de doctorado,pensando que ya se habıa resuelto para el caso abeliano. Varios autores durante lassiguientes decadas se empenaron en su resolucion sin lograr obtener una prueba. Estaconjetura fue dejada de lado en la decada de los 80. Hasta que en 1990, Sadahiro Saekipudo demostrarla en su artıculo “La conjetura Lp y la desigualdad de Young”, publicadaen la revista de la Universidad de Illinois. Este teorema nos muestra como a partir dela representacion en espacios funcionales podemos verificar la compacidad del grupo G.

Teorema 17. Suponga que existe p ∈ (1,∞) tal que f ∗ g ∈ Lp(G) para todas lasfunciones simetricas f, g ∈ Lp(G). Entonces G es compacto.

Idea de la demostracion. Para demostrar este teorema se utilizan tres lemas:

Sea A un subconjunto simetrico de un grupo localmente compacto. Entonces tene-mos

|A|2|Am+n| ≤ |A4| · |Am| · |An|para m,n ≥ 1

Sea p, q, r ∈ (1,∞) tal que1

p+

1

q− 1

r6= 1. Suponga que Lps ∗ Lqs ⊂ Lr. Entonces

G es unimodular, Lp ∗ Lq ⊂ Lr y existe una constante positiva C0 tal que

‖f ∗ g‖r ≤ C0‖f‖p‖g‖1 para f ∈ Lp y g ∈ Lq

Sea p, q, r ∈ [1,∞] y C0 como en el lema anterior, entonces se tiene que

(|A| · |B|)1/p′+1/q′ ≤ C0|AB|2/r′

para todos los subconjuntos compactos A,B de G.

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Capıtulo 6

Conclusiones

El desarrollo del analisis de Fourier incluyo desde sus principios la creacion denuevas formas, estructuras y teorıas, como puede verse en la secuencia cronologica.Durante el siglo XIX y XX, se lograron muchos resultados importantes que leabrieron el camino a las preguntas y a los retos que varios matematicos enfrentarony resolvieron de manera brillante.

Las estructuras clasicas se empezaron a ver desde un enfoque general. Ya no seveıa a T simplemente como un subconjunto particular de los complejos, sino quevisto como un grupo topologico compacto y aprovechando la isomorfıa con elgrupo de las funciones 2π- periodicas, se preguntaban que propiedades se tenıany si se podıan generalizar.

Los teoremas de factorizacion en estructuras clasicas, le dieron la idea a PaulCohen para demostrar el teorema de factorizacion que marco un antes y despuesen la teorıa. A partir de aquı, y de forma natural se fueron formulando resultadoscada vez mas sorprendentes e importantes, como la conjetura Lp.

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Bibliografıa

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[2] Bartle, Robert, The elements of integration. John Wiley Sons, Inc. New York. 1966.

[3] Canadas, Antonio. Una perspectiva historica de las series de Fourier. Universidadde Granada. Granada. 1991

[4] Halmos, Paul, Measure Theory. Springer- Verlag, Inc. New York. 1974.

[5] Ross, Kenneth. A trip from Classical to Abstract Fourier Analysis. En: Notices ofthe AMS, Volumen 61 N. 9 (Octubre 2014), paginas 1032-1038.

[6] Rudin, Walter, Factorization in the group algebra of the real line, En: Proc. Nat.Acad Sci.USA N. 43(1953),paginas 339-340

[7] Rudin, Walter, Fourier Analysis on Groups. 1 Edicion. Groningen, Paises Bajos,Interscience publishers, 1962

[8] Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw Hill, Tercera edicion. 1966

[9] Rudin, Walter, The Way I Remember It, American Mathematical Society, LondonMathematical Society. 1996

[10] Salem, Raphael, Sur les tranformations des series de Fourier. Fund. Math. N. 33(1939),108-114

[11] Saeki, Sadahiro, The Lp-conjecture and Young’s Inequality, Illinois J. Math. N. 34(1990),614-627

[12] Szekelyhidi, Laszlo, Harmonic and Spectral analysis. Singapur, World scientificpublishing co., 2014

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