analisis de circ electricos i funciones discontinuas

CIRCUITOS ELÉCTRICOS I Ing. Gustavo A. Nava Bustillo

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CAPITULO IV

FUNCIONES DE TIEMPO

4.1 Introducción 4.2 Función escalón 4.3 Función rampa 4.4 Función impulso 4.5 Funciones periódicas 4.6 Valor eficaz - Valor medio

4.1. INTRODUCCIÓN.

Ya se ha mencionado que las tensiones y las corrientes varían con el tiempo

tegráficamenenteanalíticam

)t(v

)t(i)t(f

La relación entre estos parámetros y el tiempo se puede especificar analíticamente, por medio de fórmulas, o bien gráficamente. Las funciones de tiempo que representan tensiones y corrientes se estudian por medio de oscilogramas que son las ondas de esas funciones.

Función f(t) = 6

0

1

2

3

4

5

6

7

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Funcion f(t) = 10 sen wt

-15

-10

-5

0

5

10

15

1

Corriente continua Corriente alterna

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0

1

2

3

4

5

6

7

1 3 5 7 9 11


63

Función f(t) =wt senwt

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

1

f(t) = 10 exp(wt)sen(wt)

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137

4.2. FUNCIÓN ESCALÓN.

Es la función que nos permite indicar la conexión o desconexión de un interruptor y además nos permite representar fuentes que tengan una duración finita.

Es una función igual a cero para tiempos t < 0, e igual a uno para tiempos t > 0, que cambia de cero a uno en t = 0

Esta notación puede extenderse para representar otras excitaciones (o funciones) que se establecen en t = 0


64

Muchas veces tas excitaciones se aplican en instantes de tiempo diferentes a t = 0

4.3. FUNCIÓN RAMPA.

Es una función cuya amplitud varía linealmente con el tiempo y se define:

Las funciones rampa cuyas pendientes son diferentes de uno y que se establecen en tiempos t = to se pueden expresar:


65

Ejemplo :

i(t)=3

El proceso de sumar funciones (ondas) es de utilidad en la construcción de ondas, así como en la descomposición de funciones complicadas en funciones componentes mucho más sencillas.

4.4. FUNCIÓN IMPULSO.

Si consideremos una función rampa modificada:

El área del impulso es a * K/a = K para cualquier valor de a

t 1 2 3

6

i(t)/(


66

Si a 0 entonces 1/a oo pero el área sigue siendo K

Cuando a 0 la función v(t) se convierte en un escalón, y dv/dt tiende a una altura infinita y con un ancho cero, mientras el área permanece constante e igual a K, llamándose esta FUNCION IMPULSO

La derivada de la función escalón unitario recibe el nombre de FUNCION IMPULSO UNITARIO

0

0

0

00 00

tttttt

tttt(

dtd

En general, la derivada de una onda en un punto de discontinuidad es un impulso. La fuerza del impulso, viene definido por el valor del salto en el punto de discontinuidad.

La relación entre funciones es la siguiente:


67

4.5.- FUNCIONES PERIÓDICAS.

Son aquellas funciones que satisfacen

f(t) =f(t + nT) donde n = 1, 2, 3,.

T es un lapso de tiempo llamado PERIODO

En el estudio de las funciones periódicas se usan los siguientes términos:

CICLO: Es la parte de la onda comprendida en el intervalo que hay de t a (t + T), por ejemplo la parte de la onda comprendida entre A y A'

FASE: Cada punto de un ciclo de una onda (función) periódica es una fase de dicha onda, por ejemplo A, B, etc.

DIFERENCIA DE FASE: Si f(t) es una función periódica, entonces f(t – t0) será también periódica, con t0 = constante

Cada fase de f(t) se sucederá en la función f(t – t0) en un instante posterior y la diferencia entre los instantes en que sucede cada fase será t0. A este intervalo se le denomina DIFERENCIA DE FASE entre ambas funciones.

Si t1 > O entonces f(t-t1) se dice que va en retraso respecto a f(t) en t1 ó f(t) va en adelanto respecto a f(t-t1) en t1


68

Si t2 < O entonces f(t-t2) se dice que va en adelanto respecto a f(t) en t2 ó f(t) va en atraso respecto de f(t-t2) en t2

FRECUENCIA: Es la inversa del periodo f = 1/T (Número de ciclos por unidad de tiempo) (ciclos/segundo) (Herzio) = (Hz)

Algunas funciones periódicas importantes son:

Onda senoidal Pulso Rectangular Onda Triangular Diente de Sierra 4.6. VALOR MEDÍO-VALOR EFICAZ.

El valor medio Fmed de una función periódica f(t) es por definición

T

med dt)t( fT

F0

1

El valor eficaz Fef de una función periódica f(t) en un periodo T es por definición

dt)t(fT

FT

ef 0

21

El factor de forma de una onda, es la relación entre los valores eficaz y elvalor medio de la misma

med

efFFformadeFactor

El valor medio también se lo llama Valor Promedio. Al valor eficaz recibe a veces el nombre de Raíz Media Cuadrática (rmc ó rms – Root Medium Square)

Al circular una corriente i(i) por una resistencia R, éste disipa una potencia p(t) con un valor medio P. Esta misma potencia P la puede disipar una corriente constante de intensidad I circulando por dicha resistencia. Entonces se puede decir que í(t) tiene un valor eficaz Ief equivalente a la corriente constante I.

La importancia del valor eficaz o rmc de una función periódica radica en que se construyen los voltímetros y amperímetros para tomar lecturas de estos valores. De la misma manera, al describirse la placa de un equipo eléctrico con: 220 Voltios, corriente alterna; significa que el valor eficaz de la función periódica senoidal es de 220 Voltios

Ejemplo 1: Hallar los valores medio y eficaz de la función v(t) = Vm sen ωt El periodo de la función es 2π/ω


69

0112

02222

12

0

2

0

mmmmmed

VcoscosVtcosVdttsenVV

2

0

2

2

0

2

2

0

2224

2224

2222

1

tsentVdttcosVdttsenVV mmmef

2m

efVV

Ejemplo 2: Un circuito de mando permite variar el ángulo de retraso de la forma de onda de intensidad de corriente de. manera que el valor eficaz tiene como límites inferior y superior 3,1265 y 6,9684 A respectivamente. Hallar los ángulos.

Solución

241

20

2100

41

21100

221

21100101

2

22

2

sentsentI

tdtcostdtsenI

ef

ef

1202

41

2210021653 2

oresolviendsen,eriorinfLímite

302

41

2210096846 2

oresolviendsen,eriorsupLímite

Ejemplo 3: Si el valor eficaz de media onda senoidal rectificada es 20 ¿Cuál es su valor medio?

222

2

222 mmef

VVV


70

tdtsenA

0

2222120

tsen)t(fLuegoA

AtsentA

4040420

2242

2220

2

2

0

22

Por otro lado

7312

404010

0

,F

tcostdtsenF

med

med

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