Análisis Vectorial

A. Zozaya S.

20 de noviembre de 2009

Índice

Índice 11. Sistemas de coordenadas 2

1.1. Transformación de coordenadas, 3 –1.1.1. Transformación de las variables., 4. –1.1.2. Transforma-ción de la base vectorial, 4. –1.1.3. De cilíndricas a Cartesianas, 5. –1.1.4. De Cartesianas a cilíndricas, 5.–1.1.5. De esféricas a Cartesianas, 5. –1.1.6. De Cartesianas a esféricas, 6 .

2. Gradiente de un campo escalar 63. Estructura espacial de los campos y su relación con las fuentes que los producen

74. Divergencia de un campo vectorial 8

4.1. Integral de flujo, 8. —4.2. Definición de la divergencia de un campo vectorial, 9. —4.3. Teoremade la divergencia, 10 –4.3.1. Comprobación del Teorema de la Divergencia en volúmenes que contienenpuntos singulares del campo, 12. –4.3.2. Utilización el Teorema de la Divergencia para la estimación de laDivergencia en puntos singulares del campo, 13 .

5. Rotacional de un campo vectorial 145.1. Integral de circulación, 14. —5.2. Definición de rotacional, 15. —5.3. Teorema de Stokes, 17.—5.4. Definición alternativa del rotacional de un campo vectorial, 19.

6. Identidades nulas 206.1. ∇× (∇V ) = 0, 20. —6.2. ∇ · (∇× J) = 0, 22.

7. Condiciones de borde 228. Teorema de Helmholtz 23

8.1. Dominios abiertos, 23 –8.1.1. Demostración, 24 . —8.2. Dominios cerrados, 28.9. Problemas propuestos 28

Referencias 29Índice alfabético 30

1

1. Sistemas de coordenadas

Figura 1: Versión grá�ca de lascurvas coordenadas x, y y z y u1,u2 y u3

Sean x, y y z una terna de variables que denotan distancia, ca-da una medida sobre uno de tres ejes mutuamente ortogonales, loscuales se interceptan en un origen O (ver Fig. 1). Estas distanciasrectangulares bien podrían expresarse en función de otras canti-dades geométricas como, por ejemplo, ángulos acimutales, ángulospolares, distancias axiales, distancias radiales, etc..

Desígnense con u1, u2 y u3 los miembros de cualesquiera delas ternas de parámetros geométricos que decidieran usarse y de-nomínense variables coordenadas. En general se podrá escribir:

x = x(u1, u2, u3) (1a)y = y(u1, u2, u3) (1b)z = z(u1, u2, u3) (1c)

Y , también, las variables u1, u2 y u3 podrán ser resueltas de las Ecs. (1) en función de x, yy z :

u1 = u1(x, y, z) (2a)u2 = u2(x, y, z) (2b)u3 = u3(x, y, z) (2c)

La igualación de la Ecuaciones (2) a sendas constantes, i.e. u1 = c1, u2 = c2 y u3 = c3,da lugar a tres superficies, denominadas superficies coordenadas, cuya intersección define unpunto en el espacio, y la tripleta de valores concretos (c1, c2, c3) constituyen las coordenadasde dicho punto. Para nosotros tienen interés solo las familias de superficies u1 = c1, u2 = c2y u3 = c3 mutuamente ortogonales en todos los puntos del espacio. La familia de variablescoordenadas {u1, u2, u3}, así definidas, forman el sistema de coordenadas curvilíneas ortogonalesgeneralizadas.

Cada coordenada curvilínea generalizada, u1,2,3, la cual, como se ha sugerido previamente,bien puede representar un ángulo, o bien una distancia, se ha de medir sobre una curva coorde-nada –ver Fig. 1–. La curva coordenada ui, que pasa por el punto (c1, c2, c3), se obtiene de laintersección de las superficies coordenadas uj = cj y uk = ck , con i 6= j 6= k ∈ {1, 2, 3}.

Figura 2: Detalle de la curva coor-denada u1

Sea r(u1) el vector de posición del punto (c1, c2, c3). Al mover-nos sobre la curva u1, hasta experimentar un incremento ∆u1 –verFig. 2–, el vector de posición del punto de llegada será r(u1+∆u1).El vector diferencia, a su vez, será: ∆r = r(u1 + ∆u1)− r(u1). Altomar el límite

lım∆u1→0

r(u1 + ∆u1)− r(u1)∆u1

= ∂r

∂u1

se obtiene un vector tangente a la curva coordenada u1, perpen-dicular a la superficie coordenada u1 = c1 y que apunta en la dirección de crecimiento de la

2

variable coordenada u1. Un vector más apropiado, el cual conserva toda la información anterior,se obtiene normalizando ∂r

∂u1respecto de su módulo

a1 =∂r∂u1∣∣∣ ∂r∂u1

∣∣∣siendo a1, evidentemente, unitario. De manera similar se pueden obtener los vectores a2 y a3:

a2 =∂r∂u2∣∣∣ ∂r∂u2

∣∣∣ a3 =∂r∂u3∣∣∣ ∂r∂u3

∣∣∣Los vectores unitarios {a1,a2,a3} constituyen una base vectorial. Se conviene en escribir:

∂r∂ui

= hiai, con i ∈ 1, 2, 3 y donde hi =∣∣∣ ∂r∂ui

∣∣∣ se conoce como factor de escala. Facilmente secomprueba que un desplazamiento diferencial dui, con i ∈ 1, 2, 3, a lo largo de la curva coor-denada ui , comporta un desplazamiento de longitud par a

∣∣∣ ∂r∂ui

∣∣∣dui, y de aquí la denominaciónde factor de escala de hi =

∣∣∣ ∂r∂ui

∣∣∣. De esta manera, un desplazamiento espacial, ejecutado apartir de un incremento infinitesimal de las variables coordenadas, e.g. yendo de P (u1, u2, u3) aP (u1 + du1, u2 + du2, u3 + du3) , define un diferencial de camino o elemento de camino:

d` =3∑i=1

∣∣∣ ∂r∂ui

∣∣∣duiai= h1du1a1 + h2du2a2 + h3du3a3

La unión de las seis superficies coordenadas que definen los puntos P (u1, u2, u3) y P (u1 +du1, u2 + du2, u3 + du3) conforman, debido al caracter infinetisimal de los incrementos de lasvariables coordenadas, un cubo, el cual ocupa un diferencial de volumen, o elemento de volumen,dν, par a dν = h1h2h3du1du2du3.

Las caras de este cubo infinitesimal, a su vez, constituyen diferenciales de superficie, oelementos de superficie, que si se asumen de caracter vectorial tendrían una de las seis formassiguientes: ds± h3h2du3du2a1, ds± h1h3du1du3a2 o ds± h1h2du1du2a3.

En este curso tendremos que ver, principalmente, con los sistemas de coordenadas Carte-sianas, cilíndricas y esféricas. Una revisión apropiada de estos sistemas de coordenadas se puederealizar con base en los conceptos desarrollados previamente relativos al sistema de coordenadascurvilíneas ortogonales generalizadas. En efecto, al identificar los parámetros geométricos quesirven de base para la definición de la tripleta de superficies coordenadas correspondientes, me-diante la particularización de la Ecs. (2), las definiciones de la base vectorial, los factores deescala, el elemento de longitud, los diferenciales de superficie y el diferencial de volumen, siguende manera natural.

En el Cuadro 1 se muestran los elementos de interés de los sistemas de coordenadas curvilíneasgeneralizadas, Cartesianas, cilíndricas y esféricas, respectivamente.

1.1. Transformación de coordenadasDado un vectorA, expresado en un sistema de coordenadas determinado (sistema de coorde-

nadas de origen –SCO–), su expresión en otro sistema de coordenadas (sistema de coordenadasde destino –SCD–) se puede hallar mediante una transformación que comprende dos proced-imientos: la transformación de las variables coordenadas y la transformación de la base vectorial.

3

Cuadro 1: Elementos de interés de los sistemas de coordenadas curvilíneas generalizadas, Cartesianas, cilíndricas yesféricas.

generalizadas Cartesianas cilíndricas esféricasvariables co-ordenadas u1, u2, u3 x, y, z ρ, ϕ, z r, θ, ϕ

base vectorial a1,a2,a3 ax,ay,az aρ,aϕ,az ar,aθ,aϕfactores deescala h1, h2, h3 1, 1, 1 1, ρ, 1 1, r, r sin θ

elemento delongitud

h1du1a1 +h2du2a2 +h3du3a3

dxax +dyay + dzaz

dρaρ +ρdϕaϕ+dzaz

drar +rdθaθ +

r sin θdϕaϕelementos desuperficie

h1h2du1du2,h1h3du1du3,h2h3du2du3

dxdy, dxdz,dydz

ρdρdϕ,ρdϕdz,dρdz

rdrdθ,r sin θdrdϕ,r2 sin θdθdϕ

elemento devolumen h1h2h3du1du2du3 dxdydz ρdρdϕdz r2 sin θdrdθdϕ

Cuadro 2: Transformación de coordenadas.

a Cartesianas desde Cartesianasρ =√x2 + y2 x = ρ cosϕ

Cilíndricas ϕ = arctan(yx

)y = ρ sinϕ

z = z z = zr =√x2 + y2 + z2 x = r sin θ cosϕ

Esféricas θ = arctan(√

x2+y2

z

)y = r sin θ sinϕ

ϕ = arctan(yx

)z = r cos θ

1.1.1. Transformación de las variables.

La transformación de las variables coordenadas se realiza a partir de las relaciones geométri-cas contenidas en las Ecs. (2) y (1), las cuales son, precisamente, ecuaciones de transformaciónde coordenadas. Estas relaciones, para el conjunto de coordenadas Cartesianas, cilíndricas yesféricas, se muestran en el Cuadro 2.

1.1.2. Transformación de la base vectorial

Para la transformación de la base vectorial es necesario hallar las proyecciones del vectordado en cada una de las direcciones de la base vectorial del SCD. En los cuadros 3 y 4 se resumenestas proyecciones.

La conversión del sistema de coordenadas en el que se expresa un vector dado se puederealizar mediante alguna de las siguientes operaciones expresadas matricialmente.

4

Cuadro 3: Proyecciones mutuas de las bases vectoriales de los sistemas de coordenadas Cartesianas y cilíndricas.

En coordenadas cilíndricas En coordenadas Cartesianasaρ aϕ az aρ aϕ az

ax cosϕ − sinϕ 0 x√x2+y2

− y√x2+y2

0ay sinϕ cosϕ 0 y√

x2+y2x√x2+y2

0az 0 0 1 0 0 1

Cuadro 4: Proyecciones mutuas de las bases vectoriales de los sistemas de coordenadas Cartesianas y esféricas.

En coordenadas esféricas En coordenadas Cartesianasar aθ aϕ ar aθ aϕ

ax sin θ cosϕ cos θ cosϕ − sinϕ x√x2+y2+z2

xz√x2+y2+z2

√x2+y2

− y√x2+y2

ay sin θ sinϕ cos θ sinϕ cosϕ y√x2+y2+z2

yz√x2+y2+z2

√x2+y2

x√x2+y2

az cos θ − sin θ 0 z√x2+y2+z2

−√x2+y2√

x2+y2+z20

1.1.3. De cilíndricas a Cartesianas

AxAyAz

=

x√x2+y2

− y√x2+y2

0y√x2+y2

x√x2+y2

00 0 1

Aρ(x, y, z)Aϕ(x, y, z)Az(x, y, z)

(3)

1.1.4. De Cartesianas a cilíndricas

AρAϕAz

=

cosϕ sinϕ 0− sinϕ cosϕ 0

0 0 1

Ax(ρ, ϕ, z)Ay(ρ, ϕ, z)Az(ρ, ϕ, z)

(4)

1.1.5. De esféricas a Cartesianas

AxAyAz

=

x√

x2+y2+z2xz√

x2+y2+z2√x2+y2

− y√x2+y2

y√x2+y2+z2

yz√x2+y2+z2

√x2+y2

x√x2+y2

z√x2+y2+z2

−√x2+y2√

x2+y2+z20

Ar(x, y, z)Aθ(x, y, z)Aϕ(x, y, z)

(5)

5

1.1.6. De Cartesianas a esféricas

ArAθAϕ

=

sin θ cosϕ sin θ sinϕ cos θcos θ cosϕ cos θ sinϕ − sin θ− sinϕ cosϕ 0

Ax(r, θ, ϕ)Ay(r, θ, ϕ)Az(r, θ, ϕ)

(6)

2. Gradiente de un campo escalarDada una función escalar f = f(u1, u2, u3) de buen comportamiento (continua y derivable),

la ecuación:f(u1, u2, u3) = V (7)

define en el espacio una superficie como se muestra en la Fig. 3. Ubicados en un punto p sobredicha superficie al realizar un desplazamiento diferencial –ver Fig. 3(a)–:

d` = h1du1a1 + h2du2a2 + h3du3a3 (8)

terminamos sobre una nueva superficie definida por:

f(u1, u2, u3) = V + df (9)

(a) (b)

Figura 3: Super�cies isoescalares del campo f = f(u1, u2, u3), utilizadas para la ilustración del concepto degradiente. a) Al desplazarnos un diferencial de camino fuera de la super�cie f = V terminamos sobre unanueva super�cie isoescalar f = V + df , en la cual la función escalar experimenta un incremento diferencialdf = ∂f

∂u1du1 + ∂f

∂u2du2 + ∂f

∂u3du3. b) Al desplazarnos un diferencial de camino dentro de la misma super�cie f = V

la función escalar experimenta un incremento diferencial nulo df = 0.

Se observa que al desplazarnos desde el punto p una distancia infinitesimal d`, la función fexperimenta un variación igualmente infinitesimal df , cuya expresión matemática viene dadapor:

df = ∂f

∂u1du1 + ∂f

∂u2du2 + ∂f

∂u3du3 (10)

Facilmente se comprueba que la variación df se puede factorizar de la forma:

df =(

∂

h1∂u1a1 + ∂

h2∂u2a2 + ∂

h3∂u3a3

)f︸ ︷︷ ︸

∇f

·h1du1a1 + h2du2a2 + h3du3a3︸ ︷︷ ︸d`

(11)

6

Cuadro 5: El gradiente ∇f expresado en diferentes sistemas de coordenadas.

Sist. de coordenadas ∇f

Cartesianas ∂f∂xax + ∂f

∂yay + ∂f

∂zaz

Cilíndricas ∂f∂ρaρ + 1

ρ∂f∂ϕaϕ + ∂f

∂zaz

Esféricas ∂f∂rar + 1

r∂f∂θaθ + 1

r sin θ∂f∂ϕaϕ

El campo vectorial:

∇f =(

∂

h1∂u1a1 + ∂

h2∂u2a2 + ∂

h3∂u3a3

)f (12)

se denomina gradiente de la función escalar f .Veamos que sentido físico tiene. Al poner:

df = ∇f · d` = |∇f | · |d`| cosα (13)

Reconocemos, en primer lugar, que df se maximiza para α = 0, por lo que:

|∇f | = dfMAX

|d`| (14)

y comprobamos que el módulo del gradiente de una función escalar es igual a la máximarazón de cambio espacial de dicha función en el punto donde se evalúa dicho gradiente.

Si ahora imponemos que el desplazamiento espacial d` nos conduzca a un punto en la mismasuperficie f = V –ver Fig. 3(b)–, será: df = 0. Ya que ∇f 6= 0 y d` 6= 0, sigue que cosα = 0,y por tanto α = 90◦. Se puede deducir entonces que la dirección del gradiente coincide conla del vector unitario an normal a la superficie f = V y apunta hacia la dirección en la que larazón de cambio de f por unidad de longitud es máxima.

La expresión

∇ ≡(

∂

h1∂u1a1 + ∂

h2∂u2a2 + ∂

h3∂u3a3

)(15)

es un operador diferencial vectorial (nabla) que nos permite definir en modo operativo el gradi-ente de un campo escalar para cualquier sistema de coordenadas.

3. Estructura espacial de los campos y su relación conlas fuentes que los producen

Los campos físicos son producidos, en general, por fuentes de naturaleza escalar o de natu-raleza vectorial. Algunos campos poseen ambos tipos de fuentes, en cuyo caso se les suele separaren dos partes, donde cada parte correponde al tipo de fuente que la produce.

7

Los campos que son producidos por fuentes escalares convergen hacia, o emergen desde,éstas, según la «polaridad» de las fuentes, por lo que sus líneas de fuerza son abiertas: nacenen fuentes escalares positivas y terminan en fuentes escalares negativas. Claro está que cuandose tienen fuentes de una sola polaridad, el inicio de las líneas de fuerza, o el final, se deberáubicar en el infinto. El caracter divergente (o convergente, como diría el propio Maxwell) deestos campos se evidencia analíticamente al presentar una derivada longitudinal no nula, e.g. elcampo Fi = xax es un campo divergente. Estos campos se denominan campos irrotacionales,porque no rotan.

Por otro lado, los campos que son producidos por fuentes vectoriales rotan, o circulan,transversalmente alrededor de las fuentes, por lo que sus líneas de fuerza son cerradas: no tienenni principio ni fin. El caracter circulante de estos campos se evidencia analíticamente al presentaral menos una derivada transversal no nula, e.g. el campo Fs = yax es un campo circulante.Estos campos se denominan campos solenoidales, porque rotan.

Ya que existe una estrecha relación entre la naturaleza de las fuentes y la estructura de loscampos, tiene sentido estudiar formalmente la relación espacial entre fuentes y campos, asuntoque abordaremos de seguido mediante la definición de la divergencia y el rotacional de un campovectorial. Más adelante, concluiremos nuestro repaso enunciando el teorema de Helmholtz,completando los principios formales que servirán de base para el estudio de los campos eléctrico,magnético y electromagnético.

4. Divergencia de un campo vectorialLa densidad de fuentes escalares de un campo vectorial se denomina divergencia del campo.

Como la cantidad de fuentes escalares de un campo contenidas en un volumen genérico se midemediante una integral de flujo, el flujo y la divergencia están estrechamente relacionados, siendola primera una cantidad global y la segunda una cantidad puntual. De seguido se desarrollanmás amplia y formalmente estos conceptos.

4.1. Integral de flujoSe conviene en admitir que el flujo de un campo a través de una superficie cerrada mide la

cantidad de fuentes escalares de este campo contenidas en el interior de tal superficie.Dado un campo vectorial A = A(r), se define:

ΦAS(∆V ) =

∮S(∆V )

A · ds ≡ fuentes escalares de Acontenidas en ∆V

donde la integral ΦAS =

∮SA · ds se lee como el flujo del campo A a través de S.

Si ΦAS(∆V ) > 0, entendemos que las líneas de fuerza de A atraviesan la superficie S en

promedio desde el interior hacia el exterior de ∆V , como divergiendo desde el interior de∆V , y decimos que en el volumen ∆V se localizan fuentes escalares positivas o manantiales delcampo A. Si ΦA

S(∆V ) < 0, las líneas de fuerza de A atraviesan en promedio la superficie S desdeel exterior hacia el interior de ∆V , como convergiendo hacia el interior de ∆V , y decimosque en el volumen ∆V se localizan fuentes escalares negativas o sumideros del campo A. Y siΦAS(∆V ) = 0 interpretaremos que las líneas de fuerza de A atraviesan la superficie S en ambos

8

sentidos en igual proporción (las líneas que salen de ∆V igualan a las que entran), y decimosque no se localizan fuentes escalares de A en el interior de ∆V .

Ejemplo Se desea calcular el flujo del campo Fi = aρρ

a través de las superficies S1 y S2 quese muestran en la Fig. 4.

(a) (b)

Figura 4: Super�cies para el cálculo del �ujo del campo Fi = aρρ .

Solución Facílmente se comprueba que∮S1Fi · ds = 2πh y

∮S1Fi · ds = 0, lo cual quiere

decir que la superficie S1 contiene en su interior 2πh fuentes escalares del campo Fi, mientrasque en el interior de S2 no se localizan fuentes escalares de dicho campo.

4.2. Definición de la divergencia de un campo vectorialDefinimos ahora la divergencia del campo vectorial A en un punto dado, la cual se escribe

abreviadamente ∇ ·A, como la densidad de fuentes escalares de A por unidad de volumen endicho punto:

∇ ·A = lım∆V→0

fuentes escalares de A∆V

O equivalentemente:∇ ·A = lım

∆V→0

1∆V

∮SA · ds (16)

donde la superficie S de integración es la superficie que encierra el volumen ∆V en cuyo interiorse encuentra el punto donde se desea calcular la divergencia de A.

La ecuación (16) se lee: la divergencia de un campo vectorial A en un punto dado se obtienetomando un pequeño volumen que contenga el punto, calculando el flujo de A a través de lasuperficie que encierra dicho volumen(1), y dividiendo el flujo entre el volumen en la medidaque este se reduce a dimensiones infinitesimales. La cantidad que se obtiene (la divergencia) esescalar y tiene dimensiones de una densidad volumétrica de flujo o de fuentes escalares.

1Tomando la normal en cada punto de la superficie que apunta hacia el exterior del volumen considerado

9

Figura 5: Volumen incremental que con-tiene el punto P donde se desea calcular∇ ·A.

Para calcular la divergencia de A en un punto genéricoP , de coordenadas u1, u2 y u3, se toma un pequeño volumencúbico incremental ∆V de aristas h1∆u1, h2∆u2 y h3∆u3,con uno de sus vértices apoyado sobre P –ver Fig. 5–, y secalcula el flujo de A a través de las seis caras del cubo [1].Tomaremos dos de estas caras, tales que estas sean opuestas,e.g. las caras abcd y mnop, y evaluaremos los respectivosflujos, y luego, por analogía, escribiremos los flujos a travésde las caras restantes. Asumiendo que los incrementos∆u2 y∆u3 son suficientemente pequeños, de tal suerte que A1, h2 yh3, cuyos valores se toman en p, se pueden asumir uniformesen toda la cara mnop se podrá escribir:∫

mnopA · ds ≈ A(en p) · (−a1)(área de la cara mnop)

≈ −A1h2h3∆u2∆u3 (17)

El flujo de A a través de la cara abcd, asumiendo que A sea continuo y posea derivadasde cualquier orden en el interior de ∆V y sobre S(∆V ), se puede aproximar a partir del valorde su flujo a través de la cara mnop mediante la expansión en serie de Taylor

∫abcdA · ds =∫

mnopA ·ds+ ∂∂u1

(∫mnopA ·ds)∆u1 +T.O.S., donde los términos de orden superior, que contienen

potencias del incremento ∆u1 (∆un1 ), con n ≥ 2, se pueden despreciar en virtud del proceso delímite. De esta forma:∫

abcdA · ds ≈ A1h2h3∆u2∆u3 + ∂

∂u1(A1h2h3∆u2∆u3)∆u1

≈ A1h2h3∆u2∆u3 + ∂

∂u1(A1h2h3)∆u1∆u2∆u3 (18)

Estos flujos parciales hacen una contribución al flujo total par a∫mnop

A · ds+∫abcd

A · ds ≈ ∂

∂u1(A1h2h3)∆u1∆u2∆u3

Calculando los flujos parciales a través de las caras restantes de manera análoga y sumán-dolos todos, se obtiene el flujo total. Al dividir éste entre el volumen incremental ∆V =h1h2h3∆u1∆u2∆u3, y ejecutar el límite para ∆V que tiende a cero se obtiene:

∇ ·A = 1h1, h2, h3

[∂

∂u1(A1h2h3) + ∂

∂u2(A2h1h3) + ∂

∂u3(A3h2h1)

](19)

Al especializar la ecuación (19) para cada sistema de coordenadas se obtienen las expresionesque se presentan en el cuadro 6.

4.3. Teorema de la divergenciaDado el campo A y la superficie cerrada S, la cual define un volumen V —ver figura 6(a)—,

siendo el campo A de buen comportamiento tanto en S como en V , se puede demostrar que:∫V∇ ·A dν =

∮S(V )

A · ds (20)

10

Cuadro 6: La divergencia ∇ ·A expresada en diferentes sistemas de coordenadas.

Sistema de coordenadas ∇ ·A

Cartesianas ∂

∂xAx + ∂

∂yAy + ∂

∂zAz

Cilíndricas 1ρ

∂

∂ρ(ρAρ) + 1

ρ

∂

∂ϕAϕ + ∂

∂zAz

Esféricas 1r2

∂

∂r(r2Ar) + 1

r sin θ∂

∂θ(sin θAθ) + 1

r sin θ∂

∂ϕ(Aϕ)

Para ello dividimos el volumen V en N volúmenes incrementales ∆νi —ver figura 6(a)—.

(a) (b)

Figura 6: (a) Super�cie cerrada para la ilustración del Teorema de La Divergencia y (b) detalle de dos volúmenesincrementales contiguos.

En el punto central del volumen ∆νi tenemos:

∇ ·A|i = lım∆νi→0

1∆νi

∮Si(∆νi)

A · ds (21)

Si los volúmenes incrementales se toman lo suficientemente pequeños como para considerar ladivergencia del campo A aproximadamente constante en todo ∆νi, se podrá escribir:

∇ ·A|i ≈1

∆νi

∮SiA · ds

∇ ·A|i∆νi ≈∮SiA · ds

(22)

aproximación que mejora en la medida que ∆νi tiende a cero, en cuyo caso N tendería a infinito.Si los N términos de los tipos ∇ ·A|i∆νi y

∮SiA · ds que pueden ser definidos en el interior de

S se suman respectivamente, se obtiene:

11

N∑i=1∇ ·A|i∆νi ≈

N∑i=1

∮SiA · ds (23)

Al tomar el limite para ∆νi → 0 (N → ∞), la aproximación desaparece dando lugar a unaigualdad:

lım∆νi→0

N∑i=1∇ ·A|i∆νi = lım

∆νi→0

N∑i=1

∮SiA · ds (24)

En particular, para el término de la izquierda, tendremos:

lım∆νi→0N→∞

N∑i=1

=∫V

lım∆νi→0N→∞

∆νi = dν

y

lım∆νi→0

N∑i=1∇ ·A|i∆νi =

∫V∇ ·A dν (25)

Para resolver el límite del miembro de la derecha de la ecuación (24), nos basaremos enel hecho de que en el computo de flujo de A a través de dos superficies que encierran dosvolúmenes incrementales contiguos, dígase ∆νi y ∆νi+1 —ver figura 6(b)—, las aportaciones deflujo correspondientes a la cara común de ambas superficies contiguas, calculadas en un sentidoen un caso y en sentido opuesto en el otro, se anulan mutuamente. Por esta razón, la suma delos N flujos del tipo

∮SiA · ds convergirá, para N → ∞, a la suma de los flujos de A a través

de las caras no compartidas de las Si, la cual coincide con el flujo de A a través de la superficieexterior S. Esto es:

lım∆νi→0N→∞

N∑i=1

∮SiA · ds =

∮S(V )

A · ds (26)

Juntando los los resultados (25) y (26), obtenemos el denominado Teorema de la Divergencia:∫V∇ ·A dν =

∮S(V )

A · ds (27)

4.3.1. Comprobación del Teorema de la Divergencia en volúmenes que contienenpuntos singulares del campo

Al intentar comprobar, por ejemplo, el Teorema de la Divergencia para el campo A = ar/r2,

en un volumen esférico centrado en el origen, facilmente podemos incurrir en el error de escribir:∫SA · ds = 4π∫

V (S)∇ ·A dν = 0

y concluir que ∫V (S)∇ ·A dν 6=

∫SA · ds

12

ya que la aplicación (errónea) de la Ec. (19) especializada para el caso de coordenadas esféricas–ver Cuadro 6– arroja: ∇ · ar/r2 = 0. El error está en que este resultado solo es válido paratodos los puntos fuera del origen, donde el campo presenta una singularidad y la propia fórmulano tiene validez.

Figura 7: VolumenV con un puntode singularidad delcampo A.

En general, si en el volumen V dado para la comprobación del Teorema dela Divergencia se encuentran puntos singulares del campo –como rs en la Fig.7–, en tales puntos se deberá proceder a estimar la Divergencia utilizandosu definición dada mediante la Ec. (16). El cómputo de la Divergencia enlos puntos restantes, en cambio, se podrá realizar utilizando directamentela fórmula dada en la Ec. (19). Para ello se debe proceder a «aislar» lasingularidad, lo cual consiste en tomar un pequeño volumen Vσ, con centroen el punto singular, y dividir la integral

∫V ∇ ·A dν en dos partes:∫

V∇ ·A dν =

∫V−Vσ

∇ ·A dν +∫Vσ∇ ·A dν

donde la Divergencia del campo en la integral de volumen sobre V (s) − Vσ se puede calcularmediante la fórmula de la Ec. (19), mientras que la integral de volumen sobre Vσ se ha decalcular mediante la definición –Ec. (16)–:∫

V−Vσ∇ ·A dν =

∫V−Vσ

1h1h2h3

[∂(A1h2h3)

∂u1+ ∂(A2h1h3)

∂u2+ ∂(A3h1h2)

∂u3

]dν∫

Vσ∇ ·A dν =

∫Vσ

(lımVσ→0

1Vσ

∮SσA · ds

)dν

y si se conviene que la divergencia del campo A ha de converger en Vσ, se la puede factorizarde la integral de volumen, resultando:∫

Vσ

(lımVσ→0

1Vσ

∮SσA · ds

)dν = lım

Vσ→0

( 1Vσ

∮SσA · ds

) ∫Vσ

dν

=∮

lımVσ→0 SσA · ds (28)

Según la Ec. (28), para comprobar el Teorema de la Divergencia en un volumen en cuyointerior se localiza un punto singular del campo, una porción infinitamente pequeña de la integralde volumen es reconvertida en una integral de flujo. Dicha porción de volumen debe conteneren su interior el punto de singularidad del campo.

4.3.2. Utilización el Teorema de la Divergencia para la estimación de la Divergen-cia en puntos singulares del campo

Si en el interior de cierto volumen V , encerrado por una superficie S, se encuentra un puntosingular rs de cierto campo A, como se ilustra en la Fig. 7, y se comprueba que

∫SA · ds 6= 0

y que fuera del mencionado punto la Divergencia del campo es nula, entonces en el punto desingularidad estarán apiñadas todas las fuentes del campo atrapadas por S y la Divergencia delcampo valdrá:

∇ ·A|r′s =(∫

SA · ds

)δ(r − rs)

13

Ejemplo Dado el campoA = ar

r2

calcule la divergencia deA usando el teorema de la Divergencia y tomando en cuenta la definicióndel delta de Dirac:

δ(x)

6= 0, para x = 0;= 0, para x 6= 0.

y además: ∫ ∞−∞

δ(x) dx = 1

Solución Para r 6= 0 se puede aplicar la Fórmula (19) y se obtiene que ∇ · (ar/r2) = 0,lo cual implica que no existen fuentes escalares del campo fuera del origen. Para r = 0 ladivergencia del campo, en cambio, ya no se puede calcular mediante la misma fórmula. Tomando,sin embargo, una superficie cerrada cualquiera que contenga en su interior el punto singular delcampo (el origen), facilmente se comprueba que

∫SA · ds = 4π. Como ha quedado descartada

la existencia de fuentes escalares del campo fuera del origen, las fuentes que producen el campoestán todas acumuladas en el origen, y su densidad volumétrica allí debe ser, en virtud delTeorema de la Divergencia y de la definición de la distribución delta de Dirac, de la forma:∇ · (ar/r2) = 4πδ(x)δ(y)δ(z).

5. Rotacional de un campo vectorialLa densidad de fuentes vectoriales por unidad de superficie transversal de un campo vecto-

rial se denomina rotacional del campo. Como la cantidad de fuentes vectoriales de un campoque atraviezan cierta superficie abierta se mide mediante una integral de circulación, la circu-lación y el rotacional están estrechamente relacionados, siendo la primera una cantidad globaly la segunda una cantidad puntual. De seguido se desarrollan más amplia y formalmente estosconceptos.

5.1. Integral de circulaciónSe conviene en admitir que la circulación de un campo a través de un camino cerrado mide la

cantidad de fuentes vectoriales de este campo, en la dirección transversal del camino, enlazadaspor el contorno.

Dado un campo vectorial A = A(r), se define:

CAΓ(∆S) =∮

Γ(∆S)A · d` ≡ fuentes vectoriales de Aenlazadas por Γ

donde la integral CAΓ =∮

ΓA · d` se lee como la circulación del campo A a lo largo de Γ.Establecido un sentido de recorrido para la curva cerrada Γ, si CAΓ(∆S) > 0, entendemos que

las líneas de fuerza de A se proyectan en promedio positivamente sobre la tangente de la curvaΓ, como circulando en el mismo sentido de recorrido prefijado de la curva Γ, y decimos que Γenlaza fuentes vectoriales del campo A, cuya orientación en el espacio forma un sistema derecho

14

con el sentido de recorrido de la curva Γ. Si CAΓ(∆S) < 0, las líneas de fuerza de A se proyectan enpromedio negativamente sobre la tangente de la curva Γ, como circulando en sentido contrarioal sentido de recorrido prefijado de la curva Γ, y decimos que Γ enlaza fuentes vectoriales delcampo A, cuya orientación en el espacio forma un sistema izquierdo con el sentido de recorridode la curva Γ. Y si CAΓ(∆S) = 0 interpretaremos que las líneas de fuerza de A no «circulan» a lolargo de Γ, y decimos que Γ no enlaza ninguna fuente vectorial de A.

Ejemplo Se desea calcular la circulación del campo Fs = aϕρ

a través de los caminos Γ1 y Γ2que se muestran en la Fig. 8.

(a) (b)

Figura 8: Caminos cerrados con sus sentidos de recorrido para el cálculo de la circulación del campo Fs = aϕρ .

Solución Facílmente se comprueba que∮

Γ1Fs · d` = 2π y

∮Γ1Fs · d` = 0, lo cual quiere

decir que el camino cerrado Γ1 enlaza 2π fuentes vectoriales en la dirección de az del campo Fs,mientras que el camino Γ2 no enlaza fuentes vectoriales de dicho campo en la dirección de ax.

5.2. Definición de rotacionalDefinimos ahora la componente n-ésima del rotacional del campo vectorial A en un punto

dado, en cierta dirección an arbitraria, la cual se escribe abreviadamente (∇ × A)n, como ladensidad de fuentes vectoriales de A en la dirección an por unidad de superficie transversal endicho punto:

(∇×A)n = lım∆S→0

(fuentes vectoriales de A)n∆S

O en modo equivalente:

(∇×A)n = lım∆S→0

1∆S

∮ΓA · d` (29)

donde el camino Γ de integración es el contorno de la superficie ∆S donde se encuentra elpunto donde se desea calcular el rotacional de A y cuya normal coincide con la dirección de lacomponente del rotacional. La ecuación (29) se lee: la componente del rotacional de un campo

15

vectorial A en un punto dado en una dirección arbitraria an se obtiene tomando una pequeñasuperficie que contenga el punto y ortogonal a dicha dirección, calculando la integral de linea deA a lo largo del contorno de dicha superficie (la circulación) (2), y dividiendo esta circulaciónentre la superficie en la medida que ésta se hace disminuir hasta dimensiones infinitesimales.La cantidad que se obtiene (la componente del rotacional en la dirección normal a la superficie)tiene dimensiones de una densidad superficial de circulación o de fuentes vectoriales.

Figura 9: Super�cie diferencial quecontiene el punto donde se deseacalcular el (∇×A)1 = ∇×A ·a1.

Para obtener el rotacional de A se deben calcular las compo-nentes de éste según las tres direcciones bases de un sistema decoordenadas dado. En coordenadas curvilíneas generalizadas será:

∇×A = (∇×A)1a1 + (∇×A)2a2 + (∇×A)3a3 (30)

Para calcular la componente (∇ × A)1 del rotacional en unpunto genérico p(u1, u2, u3) se toma una superficie incremental∆S1 con centro en el punto p, o con p como uno de sus vértices–ver Fig. 9–, y se calcula la circulación CAΓ1 del campo a lo largodel contorno Γ1 de dicha superficie.

Con relación a la Figura 9 se tiene:

(∇×A)1 ≈1

h2h3∆u2∆u3

(∫plA · d`+

∫lnA · d`+

∫nmA · d`+

∫mpA · d`

)(31)

donde ∫plA · d` ≈ A(en p) · a2(longitud del tramo pl)

≈ A2(h2∆u2) (32)

El cáculo de∫mnA·d` se puede calcular a partir del resultado dado por la Ec. (32), asumiendo

que el campo A sea de buen comportamiento (continuo y derivable), tanto en ∆S como en Γ,mediante el desarrollo en serie de Taylor

∫mnA · d` =

∫plA · d`+ ∂

∂u3(∫plA · d`)∆u3 + T.O.S.,

donde los términos de orden superior contienen potencias del incremento ∆u3 (∆un3 ), con n ≥ 2,los cuales se pueden despreciar en virtud del proceso de límite. De esta forma:

∫mnA · d` ≈ A2h2∆u2 + ∂

∂u3(A2h2∆u2)∆u3

y ∫nmA · d` ≈ −A2h2∆u2 −

∂

∂u3(A2h2)∆u2∆u3 (33)

Por otro lado: ∫mpA · d` ≈ A(en p) · (−a3)(longitud del tramo np)

≈ −A3h3∆u3 (34)2La dirección de circulación debe cumplir la regla de la mano derecho respecto a la normal a la superficie en

la dirección en la que se desea calcular la componente del rotacional

16

Finalmente, para el cálculo de∫nlA · d` se puede proceder de manera similar a como se

procedió con∫mnA · d`:∫

nlA · d` ≈ −A3h3∆u3 −

∂

∂u2(A3h3∆u3)∆u2

y ∫lnA · d` ≈ A3h3∆u3 + ∂

∂u2(A3h3)∆u3∆u2 (35)

Al sustituir las Ecs. (32), (33), (34) y (35) en la Ec. (31), efectuar la suma y resolver el límite,se obtiene:

(∇×A)1 = 1h2h3

[∂

∂u2(A3h3)− ∂

∂u3(A2h2)

]Las componentes restantes de ∇× A se pueden calcular de manera similar hasta obtener:

∇× A = a1

h2h3

[∂

∂u2(A3h3)− ∂

∂u3(A2h2)

]+ a2

h1h3

[∂

∂u3(A1h1)− ∂

∂u1(A3h3)

]

+ a3

h1h2

[∂

∂u1(A2h2)− ∂

∂u2(A1h1)

](36)

La Ecuación (36) se puede escribir de forma concisa mediante el determinante:

∇×A = 1h1h2h3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣h1a1 h2a2 h3a3∂

∂u1

∂

∂u2

∂

∂u3h1A1 h2A2 h3A3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (37)

Al especializar la ecuación (37) para cada sistema de coordenadas se obtienen las expresionesque se presentan en el cuadro 7.

Cuadro 7: Rotacional ∇×A expresado en diferentes sistemas de coordenadas

Cartesianas Cilíndricas Esféricas

∇×A

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ax ay az∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zAx Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1ρ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣aρ ρaϕ az∂

∂ρ

∂

∂ϕ

∂

∂zAρ ρAϕ Az

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1

r2 sin θ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ar raθ r sin θaϕ∂

∂r

∂

∂θ

∂

∂ϕAr rAθ r sin θAϕ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5.3. Teorema de StokesDado el campo A y la superficie abierta S de perímetro Γ —ver figura 10(a)—, siendo A

de buen comportamiento tanto en S como en Γ, se puede demostrar que:∫S∇×A · ds =

∮ΓA · d` (38)

17

Para ello dividimos la superficie S en N superficies incrementales ∆Sn. Para el punto centralde la superficie incremental ∆Sn, a la cual asociamos un vector an normal que satisface la reglade la mano derecha con el sentido de recorrido establecido para el perímetro Γn de ∆Sn, vale:

(∇×A)n = lım∆Sn→0

1∆Sn

∮ΓnA · d` (39)

Si las ∆Sn se toman lo suficientemente pequeñas como para considerar que el rotacional delcampo A sea constante sobre ellas, se podrá escribir:

(∇×A)n ≈1

∆Sn

∮ΓnA · d`

(∇×A)n∆Sn ≈∮

ΓnA · d`

∇×A ·∆Snan ≈∮

ΓnA · d`

(40)

aproximación que mejora en la medida que los ∆Sn se hacen cada vez más pequeños, en cuyolímite: N →∞.

(a) (b)

Figura 10: (a) Super�cie abierta para la ilustración del Teorema de Stokes y (b) detalle de un par de super�ciesincrementales contiguas.

Siendo la Ecuación (40) cierta para cada elemento incremental de superficie, también lo serápara la suma:

N∑n=1∇×A ·∆Sn ≈

N∑n=1

∮ΓnA · d` (41)

donde ∆Sn = ∆Snan. En el proceso de limite, la aproximación se convierte en una igualdad:

lım∆Sn→0N→∞

N∑n=1∇×A ·∆Sn = lım

∆Sn→0N→∞

N∑n=1

∮ΓnA · d` (42)

18

Para el miembro de la derecha de la ecuación (42), en particular, se tiene:

lım∆Sn→0N→∞

N∑n=1

=∫S

(43)

lım∆Sn→0N→∞

∆Sn = ds (44)

y

lım∆Sn→0N→∞

N∑n=1∇×A ·∆Sn =

∫S∇×A · ds (45)

Para resolver el límite del miembro de la derecha de la Ecuación (42), nos basaremos en elhecho de que en el cómputo de la circulación de A a lo largo del contorno Γn, en el tramo comúna dos superficies incrementales contiguas —ver figura 10(b)—, la integral de contorno se debeevaluar, para una superficie dada, dígase ∆Sn, en un sentido, mientras que para la superficiecontigua, dígase ∆Sn+1, en sentido contrario.

Esta situación reduce la suma de las integrales de contorno sobre los perímetros Γn, conn = 1, 2, . . . , N , a la suma de las integrales de línea sobre aquellos tramos que yacen sobre lacurva exterior Γ, siendo Γ, como sabemos, el contorno que define la superficie abierta S. Estoes:

lım∆Sn→0N→∞

N∑n=1

∮ΓnA · d` =

∮ΓA · d` (46)

Juntando ambos resultados, ecuaciones (45) y (46), obtenemos el denominado Teorema deStokes: ∫

S∇×A · ds =

∮ΓA · d` (47)

5.4. Definición alternativa del rotacional de un campo vectorialUna definición alternativa del rotacional de un campo vectorial es [8]:

∇×A = lım∆ν→0

1∆ν

∮S(∆ν)

an ×A ds (48)

A partir de la definición alternativa del rotacional de un campo vectorial expresada por laecuación (48), es posible establecer la siguiente ecuación:

lım∆νi→0

(∇×A)i∆νi =∮Si(∆νi)

ani ×Ai dsiN∑i=1

lım∆νi→0

(∇×A)i∆νi =N∑i=1

∮Si(∆νi)

ani ×Ai dsi

lım∆νi→0

N∑i=1

(∇×A)i∆νi =N∑i=1

∮Si(∆νi)

ani ×Ai dsi∫V∇×A dν =

∮S(V )

an ×A ds

(49)

19

Problema

Dado el campoA = ap ×

arr2

donde ap es un vector unitario arbitrariamente orientado en el espacio puesto en el origen,calcule ∇×A apoyándose en la ecuación (49).

6. Identidades nulas

6.1. ∇× (∇V ) = 0Todo campo vectorial derivado del gradiente de un campo escalar es irrotacional. Esta iden-

tidad nula se puede interpretar físicamente teniendo presente que un campo de gradiente es uncampo de lineas abiertas y por tanto no circula alrededor de ningún punto.

Figura 11: Super�cie abier-ta S arbitraria y su con-torno Γ para la compro-bación de la identidad nula∇×∇V = 0.

La lectura en sentido inverso de esta identidad dice que todo campoFi irrotacional, ∇ × Fi = 0, se puede expresar como el gradiente decierto campo escalar : Fi = −∇V .

Comprobación Dado un contorno cerrado Γ arbitrario y unacualquiera de las superficies tendidas por él, dígase S, como se ilustraen la Fig. 11, al calcular el flujo de ∇×Fi a través de S,

∫S∇×Fi ·ds,

y al aplicar el Teorema de Stokes se obtiene:∫S∇× Fi · ds =

∮Γ(S)−∇V · d`

=∮

ΓdV

= V (pf )− V (pi)= 0

donde pi,f son los puntos inicial y final, los cuales coinciden.

Problema

Dado un campo F , si la integral de línea∫ P2P1F · d` es independiente del camino Γ de

integración, entonces el mencionado campo se denomina campo conservativo. Demuestre que siF = ∇Φ, entonces F es conservativo.

Problema

Dado un campo F conservativo, obtenga Φ a partir de F tomando en cuenta que ∂Φ∂x

= Fx,∂Φ∂y

= Fy∂Φ∂z

= Fz.Resp.: En la página 92 de [1] se ilustra la aplicación de tres métodos para resolver este

problema. El más elegante consiste en seleccionar una poligonal entre los puntos P0(x0, y0, z0) y

20

P (x, y, z) e integrar a F a lo largo de los tramos paralelos a los ejes coordenados para obtener

Φ(x, y, z)− Φ0 =∫ r

r0F · d`

=∫ x

x0Fx dx+

∫ y

y0Fy dy +

∫ z

z0Fz dz

Ejemplo1. Dado el campo F = ax + 2yay

a) calcule∮Γ1F · d` (Fig. 12),

b) si F fuera de la forma F = ∇Φ, calcule Φ(x, y, z), a menos de una constante.

Figura 12: Contorno Γ1 para el cáculo de∮

Γ1F · d` .

Solución1. Antes de embarcarnos en el cálculo de la integral de línea verificaremos que el campo no

circule. Para ello tomaremos el rotacional del campo

∇× F =(∂

∂xax + ∂

∂yay + ∂

∂zaz

)× (ax + 2yay)

= 0

lo cual comprueba que el campo no rota.

a) Empleando el Teorema de Stokes se obtiene que∮

Γ F · d` = 0, sin necesidad deintegrar propiamente.

b) Efectivamente, como ∇× F = 0, se podrá escribir F = ∇Φ

F = ∂Φ∂xax + ∂Φ

∂yay + ∂Φ

∂zaz

de modo que, por comparación, se deduce que: ∂Φ∂x

= 1 y ∂Φ∂y

= 2y. De esta forma∫ (x,y,z)

(0,0,0)F · d` =

∫ x

0

∂Φ∂x

dx+∫ y

0

∂Φ∂y

dy

= x+ y2

y por tantoΦ(x, y) = x+ y2 + C

21

6.2. ∇ · (∇× J) = 0Todo campo vectorial derivado del rotacional de otro campo vectorial es solenoidal. Esta

identidad nula se puede interpretar físicamente teniendo presente que un campo de rotacional3es un campo de lineas cerradas y por tanto no diverge de ningún punto.

La lectura en sentido inverso de esta identidad dice que todo campo Fs solenoidal,∇·Fs = 0,se puede expresar como el rotacional de cierto campo vectorial : Fs = ∇× J .

ComprobaciónPara comprobar esta indentidad podemos postular que Fs = ∇× J y tomar la integral de

volumen de la divergencia de Fs, en el volumen encerrado por la superficie arbitraria S que semuestra en la Fig. 13(a).

(a) Super�cie cerrada S ar-bitraria.

(b) División de S en dos su-per�cies abiertas S = S1 +S2.

Figura 13: Super�cie S cerrada arbitraria para la comprobación de la identidad ∇ · ∇ ×A = 0.

Aplicando el Teorema de la Divergencia, esta integral se la puede convertir en una integralde superficie:

∫V ∇ · Fs dν =

∮S(V ) Fs · ds. Como la superficie cerrada S puede ser dividida en

dos superficies abiertas S1 y S2, de respectivos contornos Γ1 y Γ2, tal que S = S1 + S2 como semuestra en la Fig. 13(b), de la misma manera, la integral de flujo se puede expandir en la sumade los flujos parciales a través de tales superficies S1 y S2:

∮S(V ) Fs ·ds =

∫S1Fs ·ds+

∫S2Fs ·ds.

Aplicando el Terorema de Stokes a cada una de estas integrales se obtiene∫V∇ · Fs dν =

∮Γ1J · d`+

∮Γ2J · d`

donde, tomando en cuenta el sentido en que deben ser recorridos los caminos Γ1 y Γ2 -ver Fig.13(b)–, se comprueba que

∮Γ1J · d` = −

∮Γ2J · d`. Por lo anterior sigue que

∫V ∇ · Fs dν = 0.

Y como esto es cierto para cualquier volumen, sigue que ∇ · (∇× J) = 0.

7. Condiciones de bordeEn la superficie de separación de dos regiones en las que, por razones vinculadas a las

distintas propiedades físicas de los medios que llenan tales regiones, cierto campo manifiesta uncambio discreto, el campo está obligado a cumplir ciertas condiciones, las cuales se derivan desu estructura (especificada mediante su ∇· y su ∇×), denominadas condiciones de borde.

3Esto es: que se obtiene como rotacional de otro campo vectorial.

22

Sea A tal campo, y sea h el espesor alrededor de la superficie de contacto entre las dosregiones en el que las propiedades físicas de los dos medios cambian de un valor dado en laregión 1, a otro valor en la región 2. Las mencionadas condiciones de borde se expresan de laforma:

an × (A2 −A1) = lımh→0

(h∇×A)

an · (A2 −A1) = lımh→0

(h∇ ·A)

donde an va del medio 1 al medio 2.Ya que ∇×A y ∇ ·A representan las densidades en un volumen de las fuentes vectoriales

y escalares de A, respectivamente, los límites lımh→0(h∇ × A) y lımh→0(h∇ · A), los cualesimplican la contracción del volumen a una superficie, vienen a representar las densidades sobreesta superficie de tales fuentes.

8. Teorema de HelmholtzEl Teorema de Helmholtz establece que el conocimiento de las fuentes del campo implica

el conocimiento del campo y se le suele enunciar, en general, de dos formas: para problemasde dominio abierto y para problemas de dominio cerrado. Los problemas de dominio abierto–ver Fig. 14(a)– involucran todo el espacio y presuponen la inexistencia de fuentes del campoen el infinito. En los problemas de dominio cerrado –ver Fig. 14(b)– nos interesa conocer elcampo en una región determinada delimitada por una superficie exterior, existiendo un granespacio entre esta superficie y el infinito de la que no se posee información. En esta clase deproblemas, además de las fuentes primarias del campo en la región de interés, se requiere delas componentes tangencial y normal del campo sobre la superficie que delimita la región deestudio. Estás componentes del campo se comportan como unas fuentes distribuidas superficialesequivalentes, las cuales modelan las fuentes reales del campo que quedan fuera de la región deestudio. En la Figura 14 se ilustran ambos escenarios.

8.1. Dominios abiertosUn campo vectorial F descrito por su divergencia ∇ · F y su rotacional ∇ × F , como se

ilustra en la Fig. 14(a), tal que no posea fuentes en el infinito, esto es:[∇ · F ]∞ = 0 (50)[∇× F ]∞ = 0 (51)

se lo puede expresar como la suma de una componente irrotacional y una componente solenoidal(4):F = −∇φ+∇×A (52)

donde:φ =

∫V ′

14π∇ · FR

dν ′ (53)

A =∫V ′

14π∇× FR

dν ′ (54)

4Las condiciones (50) y (51) implican la suposición de no existencia de fuentes del campo en el infinito.

23

(a) Problema de domino abierto (b) Problema de dominio cerrado.

Figura 14: Escenarios para el enunciado del Teorema de Helmholtz. En ambos escenarios supondremos que lasfuentes primarias del campo se distribuyen en un volumen V ′ en los �predios� del observador. 14(a): La región deinterés es todo el espacio y se presupone que no existan fuentes del campo en el in�nito. 14(b): La región de interésllena un volumen V1 delimitado por la super�cie S1,2, la cual hace de frontera con el espacio exterior (volumen V2).

8.1.1. Demostración

Para comprobar el Teorema de Helmholtz ponemos:

F = Fi + Fs (55)

tal que:

∇ · Fi = ρν (56)∇× Fi = 0 (57)

∇ · Fs = 0 (58)∇× Fs = J (59)

donde J = ∇× F y ρν = ∇ · F .

Estudio de la componente irrotacional Fi del campo. De acuerdo a la Ec. (57), se puedeescribir:

Fi = −∇φ (60)que al sustituir en la Ec. (56) se obtiene:

∇ · (∇φ) = −ρν (61)

ó∇2φ = −ρν (62)

24

La solución de la Ec. (62), conocida como ecuación de Poisson, se puede hallar determinandola forma del operador inverso de ∇2: φ = −(∇2)−1ρν , o sea:

(−ρν)−− > (∇2)−1 −− > φ

donde hemos puesto como entrada del sistema o excitación, la función densidad volumétrica defuentes escalares ρν , y como salida la función potencial escalar φ. El operador (∇2)−1 tendrá laforma de una integral de convolución:

φ(r) =∫V ′G(r, r′)[−ρν(r′)] dν ′ (63)

y su núcleo G(r, r′), denominado función de Green, será la respuesta impulsiva del sistema:

δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′)−− > (∇2)−1 −− > G(r, r′)

Esto es: la función G(r, r′) en el integral de la Ec. (63) es a su vez la solución de espaciolibre de la ecuación:

∇2G(r, r′) = δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′) (64)donde δ(x − x′)δ(y − y′)δ(z − z′) es una excitación espacial impulsiva(5) localizada en r′ =x′ax + y′ay + z′az, la cual se define de la manera siguiente:

δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′) = 0, ∀(x, y, z) 6= (x′, y′, z′) (65)

tal que: ∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

φ(x, y, z)δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′) = φ(x′, y′, z′) (66)

Mientras δ(x−x′)δ(y−y′)δ(z−z′) representa, como se ha dicho, una fuente puntual colocadaen r′, G(r, r′) representa el potencial producido por dicha fuente en el punto r, con r 6= r′.

La Ecuación (64) se puede resolver teniendo presente que, al tratarse de una fuente puntual,el problema tiene simetría esférica, y la Ec. (64) asume la forma:

1R2

∂

∂R

[R2∂G(r, r′)

∂R

]= f(R) (67)

donde R = r − r′, y f(R) es la función impulsiva en el sistema de coordenadas esféricas, estoes:

f(R) = 14π

δ(r − r′)R2 (68)

En efecto, al integrar en todo el espacio, definiendo las variables θ y ϕ a partir del «origenexcéntrico» r′ será: ∫ R=∞

R=0

∫ 2π

0

∫ π

0φ(r) 1

4πδ(r − r′)

R2 R2 sin θdθdϕdR = φ(r′) (69)

5δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′) corresponde a una fuente escalar puntual del campo.

25

De este modo la Ec. (67) se puede escribir:

1R2

∂

∂R

[R2∂G(r, r′)

∂R

]= 1

4πδ(r − r′)

R2 (70)

que para r 6= r′, da lugar a la ecuación:1R2

∂

∂R

[R2∂G(r, r′)

∂R

]= 0 (71)

La solución de la Ec. (71) es:G(r, r′) = −A

R+B (72)

Los valores de las constantes A y B se pueden determinar:(i) Dado que

lımR→∞

G(r, r′) = 0 (73)

sigue que B = 0.

(ii) Dado que: ∫V∇G(r, r′) dν = 1 (74)

sigue que− A

∫V∇2

( 1R

)dν = 1 (75)

y tomando en cuenta que ∇2(

1R

)= ∇ ·

[∇(

1R

)]y que ∇

(1R

)= −aR

R2 , sigue que

− A∫V∇ ·

[∇( 1R

) ]dν = 1 (76)

A∫V∇ ·

(aRR2

)dν = 1 (77)

Al tomar una superficie esférica con centro en r′ y al aplicar el Teorema de la divergenciase obtiene:

A∫ 2π

0

∫ π

0

aRR2 ·R

2 sin θ dθdϕaR = 1 (78)

A∫ 2π

0

∫ π

0sin θ dθdϕ︸ ︷︷ ︸4π

= 1 (79)

yA = 1

4π (80)

De este modo obtenemos:G(r, r′) = − 1

4π1R

(81)

y finalmente la solución para φ(r), al sustituir la Ec. (81) en la Ec. (63), es:

φ(r) = 14π

∫V

ρν(r′)R

dν ′ (82)

26

Estudio de la componente solenoidal Fs del campo. De acuerdo a la Ec. (58), se puedeescribir:

Fs = ∇×A (83)que al sustituir en la Ec. (59), se obtiene

∇× (∇×A) = J (84)

ó∇(∇ ·A)−∇2A = J (85)

Si asumimos que ∇ ·A = 0(6), la Ec. (85) asume la forma:

∇2A = −J (86)

que en coordenadas Cartesianas da lugar a tres ecuaciones escalares:

∇2Ax = −Jx∇2Ay = −Jy (87)∇2Az = −Jz

Ya que las Ecs (87) tienen la misma forma de la Ec. (62), las soluciones de las primerastendrán igualmente la misma forma de la solución de la segunda:

Ax = 14π

∫V

Jx(r′)R

dν ′ (88)

Ay = 14π

∫V

Jy(r′)R

dν ′ (89)

Az = 14π

∫V

Jz(r′)R

dν ′ (90)

De este modo la solución de la Ec. (86) es:

A = 14π

∫V

J(r′)R

dν ′ (91)

En particular, sustituyendo las expresiones de las Ecs. (82) y (91) en la Ec. (52) se obtiene7:

F = −∇[

14π

∫V

ρν(r′)R

dν ′]

︸ ︷︷ ︸φ

+∇×[

14π

∫V

J(r′)R

dν ′]

︸ ︷︷ ︸A

(92)

si se sustituyen en esta ecuación, las expresiones dadas en las Ecs. (56) y (59), se obtiene lasiguiente ecuación equivalente:

F = −∇[

14π

∫V

∇ · FR

dν ′]

︸ ︷︷ ︸φ

+∇×[

14π

∫V

∇× FR

dν ′]

︸ ︷︷ ︸A

(93)

6Luego se comprobará que la solución para A que se obtiene efectivamente satisface ∇ ·A = 07Utilizando las identidades vectoriales: ∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ y ∇× (φA) = φ∇×A+∇φ×A

27

Otra forma equivalente de la Ec. (92) se obtiene de la siguiente manera:

F = −∇[

14π

∫V

ρν(r′)R

dν ′]

︸ ︷︷ ︸φ

+∇×[

14π

∫V

J(r′)R

dν ′]

︸ ︷︷ ︸A

= − 14π

∫V∇[ρν(r′)R

]dν ′ + 1

4π

∫V∇×

[J(r′)R

]dν ′

= 14π

∫V

ρν(r′)R2 aR dν ′︸ ︷︷ ︸Fi

+ 14π

∫VJ(r′)× aR

R2 dν ′︸ ︷︷ ︸Fs

(94)

8.2. Dominios cerradosEn los problemas de dominio cerrado, como el que se muestra en la Fig. 14(b) en la pág.

24, el campo F aun se podrá descomponer en la suma de una componente irrotacional y unacomponente solenoidal según la Ec. (52), solo que la funciones potenciales se han de modificarpara tener en cuenta las densidades de fuentes superficiales equivalentes sobre la superficieexterior S1,2 de la región de estudio:

φ = 14π

∫V ′

∇ · FR

dν ′ − 14π

∮S1,2

F · anR

ds′ (95)

A =∫V ′

14π∇× FR

dν ′ + 14π

∮S1,2

F × anR

ds′ (96)

9. Problemas propuestos

(a) Curva Γ (b) Super�cie S cerrada

Figura 15: Figuras de interés del Problema 1.

1. Dado el campo A = 1ρ(aρ + aϕ), calcule

a) Las fuentes vectoriales enlazadas por Γ –Fig. 15(a)–.b) Las fuentes escalares contenidas en S –Fig. 15(b)–.

28

2. Dado el campo F definido por ∇× F = J y ∇ · F = 0, y dada la superficie S1 + S2 quese ilustra en la Fig. 3(a), compruebe que |

∫S1F · ds| − |

∫S2F · ds| = 0.

3. Dado el campo F definido por ∇× F = 0 y ∇ · F = ρν , y dado el contorno Γ = Γ1 + Γ2que se ilustra en la Fig 16(a), compruebe que |

∫Γ1F · d`| − |

∫Γ2F · d`| = 0.

(a) Curva Γ = Γ1 + Γ2. (b) Super�cie cerrada S1 +S2

Figura 16: Figuras de interés de los Problemas 2 y 3.

4.

Referencias[1] Murray R. Spiegel. Vector Analysis and an introduction to tensor analysis. Schaum’s Out-

lines, 1959.

[2] Roger F. Harrington. TIME-HARMONIC ELECTROMAGNETICS FIELDS. McGraw-Hill,U.S.A., 1961.

[3] Syed A. Nasar. 2000 solved problems in electromegnetism. McGraw Hill, USA, 1992.

[4] William H. Hayt. Teoría electromagnetica. McGraw-Hill, Mexico, 1991.

[5] V. V. Nikolski. Electrodinámica y propagación de ondas de radio. Mir, 1985.

[6] Reitz/Milford/Christy. Fundamentos de la teoría electromagnética. Addison-WesleyIberoamericana, USA, 1984.

[7] David Cheng. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Addison-WesleyIberoamericana, USA, 1997.

[8] Richmond B. McQuistan. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES. Interpretación físi-ca. Limusa-Wiley, México, 1969.

29

Índice alfabéticobase vectorial, 3

campo conservativo, 20campos irrotacionales, 8campos solenoidales, 8circulación, 14componente irrotacional, 23, 24componente solenoidal, 23, 27coordenadas curvilíneas ortogonales generalizadas,

2curva coordenada, 2

delta de Dirac, 14diferencial de camino, 3diferencial de volumen, 3diferenciales de superficie, 3dirección del gradiente, 7Divergencia de un campo vectorial, 8

ecuación de Poisson, 25elemento de camino, 3elemento de volumen, 3elementos de superficie, 3

factor de escala, 3flujo, 8fuente puntual, 25fuentes escalares, 8fuentes vectoriales, 14función de Green, 25

Gradiente de un campo escalar, 6

módulo del gradiente, 7

respuesta impulsiva, 25Rotacional de un campo vectorial, 14

superficies coordenadas, 2

Teorema de Helmholtz, 23Teorema de la Divergencia, 12Teorema de la divergencia, 10Teorema de Stokes, 19transformación de coordenadas, 4Transformación de la base vectorial, 4

variables coordenadas, 2

30