anlisis matemtico iv

Teorema de valores extremosToda funcin continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mnimo absoluto y mximo absoluto).

El teorema garantiza la existencia de extremos absolutos para una funcin continua en un intervalo cerrado, pero no dice cmo determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultneamente extremo relativo, se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo.

Una regla prctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una funcin continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:

1. Se determinan los puntos crticos c1, c2, c3,..., cn (resolviendo, o donde no existe).2. 2. Se calcula f ( a ) y f ( b ) .3. 3. Mximo absoluto de f = mx {f ( a ), f (b ), f ( c 1 ), f ( c 2 ),..., f ( c n )} Mnimo absoluto de f = mn {f ( a ), f (b ), f ( c 1 ), f ( c 2 ),..., f ( c n )}

Integral de ReimannLa integral de Riemann es una operacin sobre una funcin continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de la integracin. La operacin consiste en hallar el lmite de la suma de productos entre el valor de la funcin en un punto xi* y el ancho x del subintervalo conteniendo al punto.

Donde n es la cantidad de subintervalos.Normalmente se nota como:

La integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una funcin sobre un intervalo como el rea bajo la curva de la funcin.

Sea f una funcin con valores reales definida sobre el intervalo [a, b], tal que para todo x, f(x) 0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S = Sf = {(x, y)|0yf(x)} la regin del plano delimitada por la curva correspondiente a la funcin f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el rea del dominio S, si es que se puede medir.

La idea fundamental de la teora de la integracin de Riemann es la de utilizar aproximaciones del rea del dominio S. Determinaremos un rea aproximada de la que estamos seguros de que son inferiores al rea del dominio S, y buscaremos un rea aproximada que sepamos que es mayor al rea de S. Si estas aproximaciones pueden hacerse de forma que la diferencia entre ambas puede hacerse arbitrariamente pequea, entonces podemos obtener el rea del dominio S. Por lo tanto, el lmite del rea para infinitos rectngulos es el rea comprendida debajo de la curva.Ejemplo:

Teorema del valor medio para integralesSi una funcin es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

Al valor de f (c) se le denomina valor medio de la funcin f(x) en el intervalo [a,b].

EjemploHallar el valor de c, del teorema de la media, de la funcin f(x) = 3x2 en el intervalo [4, 1].Como la funcin es continua en el intervalo [4, 1], se puede aplicar el teorema de la media.

La solucin positiva no es vlida porque no pertenece al intervalo.CUESTIN:Es aplicable el teorema del valor medio del clculo integral a la siguiente funcin en el intervalo [0, 1]? En caso afirmativo aplicalo.

Teorema de RolleSi una funcin es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a y b para el cual f'(c)=0.

f es continua en [a,b]f es derivable en (a,b)f(a)=f(b)Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0

Ejemplo:Comprobar que la funcin f(x) = x2 4x + 11 verifica las hiptesis del teorema de Rolle en el intervalo [1, 3]

- Es continua en [1, 3] por ser polinmica.- Es derivable en (1, 3) por ser polinmica.- f(1) = 8; f(3) = 8

Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto.

Veamos:f(x) = 2x 4 f(c) = 0 2c 4 = 0 2c = 4 c = 2

El punto c = 2 est en el interior del intervalo [1, 3]

Teorema del valor intermedio

En anlisis real el teorema del valor intermedio es una propiedad de las funciones continuas reales en un intervalo. El teorema establece que si una funcin es contina en un intervalo, la funcin toma todos los valores intermedios comprendidos entre los valores de la funcin en los extremos del intervalo.Como consecuencia del teorema de Weierstrass se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo, siendo los subconjuntos conexos de los nmeros reales.Seauna funcin contina en un intervaloy supongamos que. Entonces para cadatal que), existe undentro de ) tal que. La misma conclusin se obtiene para el caso que .

Ejemplo Dado que f (x) = x 5 + 2x 7. Demuestre que hay un nmero c, tal que f (c) = 50. Observe que la funcin f es continua en todo su dominio, ya que, f es una funcin polinmica. Consideremos el intervalo [2, 3], como f (2) = (2)5 + 2 (2) 7 = 29, y f (3) = (3)5 + 2 (3) 7 = 242 y se cumple que: f (2) = 29 < 50 < 242 = f (3), por el teorema del valor intermedio, existe un valor c en el intervalo [2, 3], por lo tanto, en todo R, tal que,f (c) = 50.