tema 4 analisis integral

Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL

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Área de Mecánica de Fluidos

ANÁLISIS INTEGRAL 1. INTRODUCCIÓN

2. SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL

3. TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS

4. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA

5. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

6. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

7. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICO

8. BIBLIOGRAFÍA

9. PROBLEMAS RESUELTOS

Rafael Ballesteros Tajadura Curso 2004-2005


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1. INTRODUCCIÓN

La resolución de las ecuaciones diferenciales que gobiernan la dinámica de los fluidos (Ecuaciones de

Constitución) presenta enormes dificultades de origen matemático e incluso físico (el problema de la turbulencia, por

ejemplo). De una forma general, el movimiento de un fluido se determina resolviendo un sistema no lineal de cinco

ecuaciones en derivadas parciales, del tiempo y de las tres coordenadas espaciales, para el cálculo de las tres

componentes de la velocidad, temperatura y densidad, o de cualquier otra magnitud termodinámica que se exprese

mediante ellas. El sistema es de segundo orden en las derivadas espaciales de la velocidad y de la temperatura y de

primer orden en las restantes. Además, es necesario fijar las condiciones iniciales y de contorno que correspondan, las

cuales pueden adoptar formas muy variadas: fluidos en contacto con paredes u otros fluidos, superficies libres, etc. Las

ecuaciones citadas son las denominadas ecuaciones de Navier-Stokes, para las que se ha podido obtener soluciones

analíticas solo en algunos casos sencillos (alrededor de ochenta problemas) con hipótesis de flujo altamente

simplificadoras flujo estacionario flujo incompresible o flujo unidireccional.

Para evitar la dificultad que plantea una situación como la de las ecuaciones de Navier-Stokes, se siguen otras

alternativas. La primera consiste en el empleo de modelos simplificados, bien sea de las propiedades del fluido, bien

del tipo de movimiento considerado y hacer uso de técnicas analíticas y numéricas para la resolución de los problemas

planteados. La segunda consiste en el recurso a los métodos experimentales bajo la guía de la Semejanza Dinámica,

para reducir el número experimentos e interpretar debidamente los resultados.

Modelos simplificados: en los últimos años han adquirido un considerable auge las técnicas de

resolución numérica de las ecuaciones, gracias al extraordinario desarrollo de los métodos y equipos

informáticos, dando lugar a la Dinámica de Fluidos Computacional (técnicas CFD, “Computational Fluid

Dynamics”). Así, los métodos de volúmenes, elementos y diferencias finitas son progresivamente

incorporados por los equipos de investigación e instituciones dedicadas al análisis de flujos, e incluso en la

programación académica.

Sin embargo, debe considerarse que se trata de métodos complejos bajo el punto de vista

matemático, que requieren el conocimiento completo de las condiciones de contorno e iniciales, no siempre

determinables, que precisan de una capacidad de calculo muy grande, difícilmente disponible en general, y la

utilización de métodos informáticos cuyo estudio esta algo alejado de la formación de los usuarios. Por

último, señalar que con ellos se obtienen soluciones particulares a problemas concretos, por lo cual la

generalización de resultados resulta cuestionable. Una gran dificultad de estas técnicas aparece ligada a la

estabilidad dinámica de las ecuaciones, que da lugar a los fenómenos de turbulencia para valores del número

de Reynolds por encima de un valor crítico.

Métodos experimentales: Poseen larga tradición en el estudio de problemas de Mecánica de Fluidos

y constituyen uno de sus pilares básicos pues son el origen de la mayor parte de conocimientos. En una

disciplina tan compleja como la que nos ocupa toda la información de base empírica es necesaria para

intentar analizar y explicar fenómenos frente a los cuales las ecuaciones básicas son de escasa utilidad

practica.


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Podría pensarse que actualmente la mayor capacidad de cálculo de los ordenadores va a hacer

retroceder el empleo de técnicas experimentales, las cuales, por otra parte, resultan bastante caras. Tal forma

de pensar es completamente incorrecta, por varios motivos. En primer lugar, el ensayo de equipos y obras,

“in situ” o en modelo a escala reducida sigue siendo una garantía de primer orden. Por otra parte, los métodos

numéricos requieren de abundante información sobre la naturaleza del flujo y sobre las condiciones de

contorno lo cual implica necesidad de información experimental. Por último, el propio desarrollo de las

técnicas electrónicas e informáticas han potenciado extraordinariamente los métodos experimentales abriendo

nuevos campos de observación que anteriormente no podrían ser estudiados.

A pesar de lo anterior, la utilización de técnicas experimentales presenta unos inconvenientes obvios

de orden material, puesto que, en general, requieren medios importantes. Además junto a esta dificultad de

orden práctico, se presenta otra de orden metodológico que deriva de las propias limitaciones de la teoría de

modelos: imposibilidad de asegurar la semejanza perfecta cuando son variables los parámetros

adimensionales que gobiernan un fenómeno. Ello implica que la explotación de los resultados así obtenidos

deba hacerse teniendo en cuenta las particularidades del modelo estudiado, dificultando la generalización

inmediata a otros casos con variaciones geométricas o físicas.

Por otra parte, en ocasiones, en ingeniería no se está tan interesado en el conocimiento “exacto” de los campos

de velocidad, presión, temperatura, etc., como en las consecuencias macroscópicas de los mismos. Ello significa que

para el técnico las descripciones precisas de estas distribuciones no son un fin, sino un medio para determinar variables

de mayor interés practico: empujes, momentos, caudales, rendimientos, potencias, etc. En consecuencia, el estudio

profundo del flujo, ya sea por métodos analíticos o numéricos, sólo se efectúa para problemas muy complejos, para los

cuales se justifica el empleo de recursos importantes, en tiempo y dinero.

Por todo ello, resulta evidente la necesidad de disponer de un método alternativo que conjugue en la medida de

lo posible, simplicidad y rigor. Es por este motivo por el cual surgieron ya en el siglo pasado los llamados Métodos

Integrales, los cuales consisten en efectuar una aplicación de las ecuaciones básicas de la Mecánica y la

Termodinámica a unos determinados dominios del flujo, con características definidas, en los cuales tenga lugar el

fenómeno objeto de estudio.

En rigor, estos métodos no son exclusivos de la Mecánica de Fluidos, sino que son válidos en su formulación

general para todo sistema deformable. Sin embargo es evidente que es en el estudio de flujos de materia donde tienen el

mayor posibilidad de utilización, tanto por la necesidad que de ellos se tiene como por la relativa facilidad de su empleo

y grado de exactitud de las soluciones.

La naturaleza del medio material, las características del flujo y las propiedades asociadas al dominio merecen

una especial consideración, pues de las hipótesis que respecto a ellos se realicen, se derivará por una parte una mayor o

menor bondad de los resultados, y por otra, un distinto grado de complejidad del cálculo. La validez de los métodos

integrales viene condicionada por las hipótesis de cálculo adoptadas.


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En consecuencia, deberá elegirse adecuadamente el dominio en el cual se aplicarán los principios, de tal forma

que se puedan definir unas características de forma inequívoca, que sea posible definir su evolución temporal si

procede, que puedan formularse hipótesis razonables respecto a la dirección y distribución de la velocidad del fluido en

determinadas secciones, así como la distribución de presión y temperatura y que puedan efectuarse consideraciones

sobre la estacionariedad o variación cíclica del flujo.

Consideración aparte merece la naturaleza del fluido. Así, deberán efectuarse hipótesis respecto a la

compresibilidad o incompresibilidad del mismo, y en caso de ser precisa, utilizar una ecuación de estado. Además,

cuando no sea legítima la suposición de flujo ideal sin disipación viscosa, deberán efectuarse hipótesis para la

determinación de la misma. Por último, cuando exista transferencia de calor deberán efectuarse hipótesis respecto al

mecanismo de transmisión.

2. SISTEMA Y VOLÚMEN DE CONTROL

Los principios de conservación (de masa, energía, cantidad de movimiento) son aplicables a conjuntos

definidos de partículas dentro de un medio material. Es lo que se denomina habitualmente un sistema, y precisa para su

reconocimiento la previa determinación de la identidad y propiedades del conjunto de dichas partículas. Dado que se

usará la descripción Euleriana para la formulación del movimiento, es necesario obtener expresiones para las leyes de

variación de las variables fluidodinámicas ligadas a volúmenes de fluido o, en general, a volúmenes que pueden variar

con el tiempo de forma arbitraria, que desde ahora se denominarán volúmenes de control (espacio que limita el

dominio del flujo objeto de estudio), tal y como se muestra en la siguiente figura:

La dificultad de la aplicación de los principios de conservación en el volumen de control deriva del hecho de

que estos son válidos para los sistemas materiales, no para los espacios ocupados coyunturalmente por ellos. En

consecuencia, es preciso deducir un método que permita obtener la variación de una magnitud asociada a un sistema en

función de las propiedades del flujo en un determinado volumen de control ocupado, para un instante dado, por dicho


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sistema. El Teorema de Arrastre de Reynolds permite efectuar esta relación entre magnitudes, como se mostrará a

continuación. En la figura siguiente se muestran distintas posibilidades de volumen de control:

3. TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS

Asociadas a formulaciones diferenciales se tienen las magnitudes intensivas, que son aquéllas cuyo valor no

depende de la cantidad de materia que interviene en el fenómeno en cuestión. Ejemplos de tales magnitudes serían la

velocidad y la temperatura.

Las magnitudes extensivas están asociadas a formulaciones integrales y son aquéllas cuyo valor sí depende de

la cantidad de materia que interviene. Son ejemplos de tales magnitudes la masa, la cantidad de movimiento y la

entalpía.

Los ejemplos dados de magnitudes intensivas y extensivas sugieren una relación entre ambas. Si se denomina

t),xβ( una magnitud intensiva genérica, función de la posición y del tiempo, existe una magnitud extensiva )t,x(B

asociada a ella, función también del tiempo y de la posición del conjunto de partículas del sistema, estando relacionadas

ambas por la expresión:

dV)t,xβ(ρ)t,x(BVC∫=

La integral está definida en el volumen ocupado por el sistema. Las magnitudes t),xβ( y )t,x(B pueden

tener carácter escalar o vectorial. Es sabido que la magnitud t),xβ( , por ser intensiva, admite la operación derivada

material, en la forma:


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( )βvtβ

dtdβ

∇+∂∂

=

Sin embargo, la magnitud extensiva t),xB( no admite dicho operador, por lo cual hay que determinar las

variaciones por otro método, teniéndose como primera expresión:

dV)t,xβ(ρdtd

dtdB

VC∫=

En la expresión de la derivada material de una magnitud extensiva no es posible permutar el orden de los

operadores derivada e integral, puesto que el volumen de integración es dependiente de la variable temporal. Se tiene

pues, necesidad de hacer una transformación Lagrangiana, a fin de poder aplicar los principios de conservación, válidos

para sistemas de partículas en evolución y que ocupan posiciones cambiantes en el tiempo, al espacio definido por un

volumen de control que, en un instante, aloje al sistema.

El Teorema de Arrastre de Reynolds establece la relación existente entre la derivada material de una magnitud

extensiva de un sistema )t,x(B , con la derivada temporal de la integral de la magnitud intensiva asociada, en volumen

de integración definido, y el término de flujo de dicha magnitud intensiva a través de las superficies del volumen. Dicha

relación tiene la expresión:

)Adv(βρdVβρtdt

dBr

SCVC

⋅+∂∂

= ∫∫

en la que el primer término del segundo miembro representa la variación de la suma de la propiedad intensiva en el

interior del volumen de control, mientras que el segundo término es el flujo de dicha propiedad intensiva a través de la

superficie de control que encierra dicho volumen. VCr vvv −= es la velocidad relativa entre el fluido y el volumen de

control.


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4. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA

Recibe el nombre de ecuación de continuidad la expresión obtenida de la aplicación simultánea del Principio

de Conservación de la masa y del Teorema de Arrastre de Reynolds a un volumen de control. La magnitud extensiva es

la masa “m” mientras que la magnitud intensiva asociada sería “ 1β = ”.

Por el principio de conservación de masa, la masa de un sistema no varía, de tal manera que se puede escribir:

0dtdm

=

Por el Teorema de Arrastre se tendría:

)Adv(ρdVρtdt

dmr

SCVC

⋅+∂∂

= ∫∫

Igualando ambas expresiones, se deduce la llamada ecuación de continuidad o de conservación de la masa para

un volumen de control:

0)Adv(ρdVρt

r

SCVC

=⋅+∂∂

∫∫

Dicha expresión indica que la variación de masa (aumento o disminución) en el interior del volumen de control

se obtiene mediante el flujo de masa (hacia el interior o hacia el exterior) a través de las superficies del mismo.

5. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

De la aplicación simultánea del Primer Principio de la Termodinámica y del Teorema de Arrastre de Reynolds,

se deduce la ecuación de la energía para volúmenes de control. Aquí, la magnitud extensiva es la energía, “E”, mientras

que la magnitud intensiva asociada es la energía por unidad de masa, “e”.

El Primer Principio permite relacionar la energía, el calor y el trabajo, mediante la expresión:

dtdW

dtdQ

dtdE

−=

El convenio de signos utilizado establece que el calor (Q) absorbido por el sistema es positivo mientras que el

cedido se considera negativo. En cambio se considera positivo el trabajo (W) efectuado por el sistema y negativo el

efectuado sobre el mismo.


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En este caso, el Teorema de Arrastre establece que:

)Adv(eρdVeρtdt

dEr

SCVC

⋅+∂∂

= ∫∫

Igualando ambas expresiones resulta la ecuación de la energía en su forma más general:

)Adv(eρdVeρtdt

dWdtdQ

r

SCVC

⋅+∂∂

=− ∫∫

La energía por unidad de masa es:

otras

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otraspotencialcinéticaernaint ezg2vueeeee +++=+++=

donde otrase incluye los posibles cambios de composición química, reacciones nucleares, efectos electromagnéticos y

electrostáticos, entre otros.

El término de trabajo se puede dividir en los siguientes términos:

VPS.visc.esfpresiónmotor WWWWWWW•••••••

++=++=

El trabajo de las fuerzas gravitatorias está incluido como energía potencial en la energía e. El trabajo de

elementos móviles denominado motor ( SW•

) incluye el trabajo intercambiado entre el volumen de control y una

máquina cuyo eje atraviese la superficie de control. El trabajo realizado por la presión actuante sobre las superficies de

control ( PW•

) es igual a la fuerza sobre un elemento de área Ad por la componente normal de la velocidad hacia el

volumen de control:

)Adv(pWSC

P ⋅= ∫•

Para la determinación del trabajo debido a los esfuerzos viscosos ( VW•

) es suficiente considerar éstos sólo en

la superficie de control (pues los esfuerzos cortantes internos se cancelan), y se obtiene integrando el producto escalar

de cada esfuerzo viscoso (con una componente normal y dos tangenciales) por la componente respectiva de la

velocidad:

dA)v·(WSC

V ∫ τ−=•


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donde τ es el vector esfuerzo sobre el elemento de área “dA”. Este término puede ser nulo o despreciable en ciertos

tipos particulares de superficies de control, entre las que se tiene:

-Superficie sólida: v = 0, por la condición de no deslizamiento, y por tanto: VW•

= 0.

-Superficie de una máquina: el esfuerzo viscoso es una contribución de la máquina y se incluye en el término

SW•

.

-Entrada o salida: el flujo suele ser normal al elemento de área y la única contribución procede del esfuerzo

viscoso normal, que habitualmente es muy pequeño.

-Superficie de corriente: hay que tenerlo en cuenta.

Agrupando términos, el término del trabajo es:

dA)v·()Adv(pWW .Corr.SupSCSC

S ∫∫ τ−⋅+=••

A partir de ahora, se considerará que no hay movimiento del volumen de control, es decir: 0vVC = y

vvr = . En estas condiciones, el término de trabajo de las fuerza de presión se puede incorporar al término de flujo de

energía, con lo que se llega a:

)Adv(ρpeρdVeρ

tWWQ r

SCVC

.Corr.SupS ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

=−− ∫∫•••

Como dentro de “e” aparece la energía interna, “u”, en el término del flujo de energía aparece la entalpía,

ρpuh += , por lo que la ecuación queda:

)Adv(zg2vhρdVzg

2vuρ

tWWQ r

SC

2

VC

2

.Corr.SupS ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

=−− ∫∫•••

Particularizándose para el caso de un flujo estacionario en un volumen de control con una entrada y una salida,

se obtiene:

•••••

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=−− 22

22

211

21

1.Corr.SupS mzg2vhmzg

2vhWWQ

Por la ecuación de continuidad: •••

== .mmm 21 Si se divide la ecuación anterior por •

m :


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.Corr.SupS2

22

21

21

1 wwqzg2vhzg

2vh ++−++=++

Dividiendo por g:

vsq2

222

2

21

211

1

1 HHHzg2

vgu

gρpz

g2v

gu

gρp

++−+++=+++

Llamando zg2

vgρ

pH2

O ++= , la expresión anterior quedará:

gquuHHHH 12

VS2O1O−−

+++=

donde el términog

quu 12 −− representa las variaciones de energía (medida en metros) reversibles e irreversibles. Las

reversibles son debidas al intercambio entre energía mecánica e interna durante procesos de expansión o compresión.

Las irreversibles tienen lugar como resultado de la disipación viscosa que convierte energía mecánica en energía

interna, no recuperable, y calor.

6. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

El Segundo Principio de Newton establece la relación existente entre fuerzas exteriores aplicadas a un sistema

y la variación de la cantidad de movimiento del mismo. La magnitud extensiva a considerar es ahora dicha cantidad de

movimiento “ vm ” mientras que la magnitud intensiva asociada es la velocidad “ v ”. De esta manera, se tiene:

( ) )Adv(vρdVvρt

Fdt

vmdr

SCVC

⋅+∂∂

=Σ= ∫∫

-En esta expresión v es la velocidad del flujo respecto a un sistema de coordenadas inercial.

-El término FΣ es el vector suma de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el volumen de control

considerado. Incluye las fuerzas de superficie ejercidas sobre las superficies de control más las fuerzas de volumen

(gravitatorias, inerciales, electromagnéticas) que actúan sobre la masa incluida en el volumen de control.

Si el sistema de referencia es inercial (reposo o velocidad de traslación uniforme) la derivada de la velocidad es

la aceleración absoluta del sistema. Si el sistema es no inercial debe corregirse la anterior expresión a fin de poder

utilizar las facilidades que proporciona el referir el volumen de control al sistema más propio. Dicha corrección consiste


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en incluir las fuerzas de inercia en el primer miembro a fin de utilizar las velocidades relativas en los dos términos

anteriores.

:v velocidad respecto al sistema no inercial :a i aceleración de la partícula respecto al sistema inercial, es decir:

arri adtvda +=

La segunda ley de Newton se aplica a :a i

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +==Σ arri adtvdmamF

)Adv(vρdVvρtdt

vdmdmaF r

SCVCVC

arr ⋅+∂∂

==−Σ ∫∫∫

siendo arra la aceleración del sistema no inercial respecto al inercial, es decir:

( )rv2rdtd

dtRda 2

2

arr ×Ω×Ω+×Ω+×Ω

+=

7. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICO

Si se consideran momentos en lugar de fuerzas tanto en la expresión del Segundo Principio de Newton, como

en la del Teorema de Arrastre de Reynolds se llega a la expresión:

)Adv()vr(ρdV)vr(ρt

)Fr(M r

SCVCO ⋅×+×

∂∂

=×Σ=Σ ∫∫


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en la que se debe añadir el momento de las fuerzas de inercia en el volumen de control en caso de tomar un sistema de

referencia no inercial, llegándose a la siguiente expresión:


dm)ar()Fr( r

SCVCVC

arr ⋅×+×∂∂

=×−×Σ ∫∫∫

8. REFERENCIAS

Fox, R.W.; McDonald, A.T. “Introducción a la mecánica de fluidos”. McGraw-Hill1, 1995.

Gerhart, P.; Gross, R.; Hochstein, J. “Fundamentos de Mecánica de Fluidos”, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

Santolaria, C.; Egusquiza, E.; Ballesteros, R.; Parrondo, J. “Dinámica de fluidos. Ecuaciones integrales”. Delegación de

alumnos de la ETSIIG, 1992.

Shames, I.H., “Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill1, 1995.

Streeter, V.L.; Wylie, E.D., “Mecánica de los Fluidos”, Mc. Graw-Hill, 1987.

White, F.M. “Mecánica de fluidos”. McGraw-Hill, 1983.


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9. PROBLEMAS RESUELTOS

1) Un recipiente de sección transversal constante ST está lleno de un líquido de densidad ρ hasta una altura h0. En la parte inferior, existe un orificio de sección SS por el que el líquido puede abandonar el recipiente. Calcúlese la velocidad de descenso de la superficie libre del líquido.

ST

SS

h0Vc

RESOLUCIÓN

Se aplica la ecuación de continuidad en forma integral al volumen de control indicado en la figura, que posee una superficie de control en el orificio de salida y que se adapta a la superficie libre, por lo que es deformable:

0)Adv(ρdVρt

r

SCVC

=⋅+∂∂

∫∫

>dtdhSρdhSρ

dtddVρ

t TVC

TVC

==∂∂

∫∫

> SSr

SCSalida

r

SC

vSρ)Adv(ρ)Adv(ρ =⋅=⋅ ∫∫

Agrupando: SST vSρdtdhS −=ρ . Aplicando la ecuación de

Bernoulli entre la superficie libre y la salida del orificio, se obtiene la siguiente expresión para la velocidad de salida: hg2vS = (válida si ST SS >> ), por lo que la velocidad de descenso de la superficie del líquido es:

hg2SS

dtdh

T

S−=

Como se puede apreciar, en este caso, la superficie libre desciende con una velocidad cuyo módulo disminuye a medida que el recipiente se va vaciando.

ST

SS

hVc


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2) Un recipiente de sección transversal circular está lleno de un líquido de densidad ρ hasta una altura h0. En la parte inferior, existe un orificio de sección SS por el que el líquido puede abandonar el recipiente. Calcúlese la variación del radio con la altura h de la superficie libre si se desea que la velocidad de descenso de la superficie libre del líquido sea constante e igual a Cv . RESOLUCIÓN

Se aplica la ecuación de continuidad en forma integral a un volumen de control que incluye el líquido contenido en el recipiente, que posee una superficie de control en el orificio de salida y que se adapta a la superficie libre, por lo que es deformable:

0)Adv(ρdVρt

r

SCVC

=⋅+∂∂

∫∫

>dtdhrπρdhSρ

dtddVρ

t2

VCT

VC

==∂∂

∫∫

> SSr

SCSalida

r

SC

vSρ)Adv(ρ)Adv(ρ =⋅=⋅ ∫∫

Agrupando: SS2 vSρ

dtdhr −=πρ . Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la superficie libre y la salida

del orificio, se obtiene la siguiente expresión para la velocidad de salida: hg2vS = (válida si ST SS >> ). Como se quiere que la velocidad de descenso de la superficie del líquido sea constante:

hg2rπ

Svdtdh

2S

C −=−=

Expresión de la que se puede obtener la relación entre r y h:

hg2v

SrC

S

π=

Si se quisiera calcular el volumen del recipiente para que se vaciase en “n” horas, la altura inicial del depósito sería: 3600nvh C0 = . El volumen se calcula integrando la sección desde el fondo hasta el nivel h0 mediante la expresión:

3/20

C

S

C

Sh

0

2h

0

hvSg2

32dhhg2

vπSπdhrπV

00

=== ∫∫

( )3/2C

C

S 3600nvvSg2

32V =


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3) La figura muestra una tobera situada al final de una manguera de riego por la que circula un caudal constante. Calcúlese la fuerza FT que soportan los tornillos que mantienen unida la tobera el resto de la manguera. Supóngase que el chorro es vertical descendente y que se conoce el volumen de la tobera.

Q

A2

A1

DATOS: Caudal: Q

Densidad del líquido: ρ Sección de entrada de la tobera: A1; Sección de salida de la tobera: A2, (A2<A1) Presión en la sección de entrada de la tobera: p1 Masa de la tobera: MT RESOLUCIÓN

Se va a resolver el problema con tres posibilidades en la elección del volumen de control: A) Como volumen de control, se elige el indicado en la figura, que incluye la tobera y el fluido contenido en la misma:

FT

z

SC2

FT

zVC

SC1FT

z

SC2

FT

zVC

SC1SC1

zzzz


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Con esta elección, el fluido sólo ejerce fuerzas de presión en las superficies de control 1 y 2. Los esfuerzos viscosos no actúan sobre las superficies de control, porque la superficie interior de la tobera (en la que está en contacto con el agua) no es un contorno del volumen de control; sólo la superficie exterior forma parte del mismo. Se va a suponer que la distribución de velocidades en cada sección es uniforme.

Se aplica la ecuación de conservación de cantidad de movimiento:

)Adv(vρdVvρt

F r

SCVC

⋅+∂∂

=Σ ∫∫

Se va a resolver en la dirección vertical, siendo el sentido positivo “hacia abajo”:

> T2211z FgMApApF ++−=Σ , siendo FT la fuerza ejercida por la conexión con la manguera sobre la tobera; como a priori se desconoce su sentido, se considerará que es positiva (hacia abajo); si al final del cálculo, sale negativa, su sentido será hacia arriba. La masa que aparece es la masa total incluida en el volumen de control, suma de la masa de la tobera, MT, y de la masa del agua, MA, contenida en la misma: M= MT + MA.

> 0dVvρt VC

=∂∂

∫ , pues el flujo es estacionario

> 1212

22r

SC

AvρAvρ)Adv(vρ −=⋅∫

Agrupando:

1212

22T2211 AvρAvρFgMApAp −=++−

Despejando FT: gMApApAvρAvρF 22111

212

22T −+−−=

Aplicamos la ecuación de conservación de masa:

)Adv(ρdVρt

0 r

SCVC

⋅+∂∂

= ∫∫

> 0dVρt VC

=∂∂


> 121122r

SC

mmAvρAvρ)Adv(ρ••

−=−=⋅∫

Agrupando: •••

== mmm 12 . Llevando este resultado a la ecuación para calcular FT:

( ) gMApAp)vv(mF 221112T −−−−=•

Como se comentó antes, FT es la fuerza ejercida por la conexión con la manguera sobre la tobera; posee tres

contribuciones: un término de cantidad de movimiento, que es positivo )v(v 12 > , un término de fuerza debida a la presión, que es negativo, y un término que incluye el peso de la tobera y del agua contenida en la misma, que es negativo.

Para el caso de que p2 sea la presión atmosférica (p2 = 0) y despreciando tanto la diferencia de cotas como

posibles pérdidas de carga entre 1 y 2, aplicando la ecuación de Bernoulli se puede mostrar que la suma de los dos

primeros términos del segundo miembro es equivalente a ( )1

212

221112 v2)vv(mApAp)vv(m −

−=−−−••

, que

es siempre negativo, por lo que la tobera soporta una fuerza FT siempre negativa (hacia abajo):


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gMv2

)vv(mF1

212

T −−

−=•

En la ecuación de cantidad de movimiento, se han utilizado presiones relativas. Se va a examinar con detalle qué presiones actúan sobre la tobera. En las secciones 1 y 2 actúan las fuerzas ( ) 1Atm1 App + y ( ) 2Atm2 App +− . Sobre la superficie exterior solo actúa la presión atmosférica, que da lugar a una resultante en la dirección vertical hacia arriba; esta resultante se calcula integrando la fuerza ejercida por esa presión sobre la superficie cónica:

drdLθ

drdLθ

pAtm

pAtm

)AA(p)RR(pdrr2psindLr2pF 21Atm22

21Atm

1

2Atm

1

2AtmAtm −=−π=π=θπ= ∫∫

Por tanto, la fuerza neta es: ( ) ( ) 221121Atm2Atm21Atm1 ApAp)AA(pAppApp −=−−+−+ , que coincide con el término que se utilizó en el balance de fuerzas planteado anteriormente. B) Como volumen de control, se elige únicamente el fluido contenido en la tobera:

VC

SC1

SC2

z

Se aplica la ecuación de conservación de cantidad de movimiento:

)Adv(vρdVvρt

F r

SCVC

⋅+∂∂

=Σ ∫∫

Se va a resolver en la dirección vertical, siendo el sentido positivo “hacia abajo”:

> ( ) ( ) AA2Atm21Atm1z FgMAppAppF +++−+=Σ , siendo FA la fuerza ejercida por la tobera sobre el fluido. En este caso la masa que aparece es la masa del agua contenida en la tobera.

> 0dVvρt VC

=∂∂


> 1212

22r

SC

AvρAvρ)Adv(vρ −=⋅∫

Agrupando: 1

212

22AA2211 AvρAvρFgMApAp −=++−


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( ) ( ) gMAppAppAvρAvρF A2Atm21Atm11212

22A −+++−−=

Como se ve, esta elección de volumen de control no es adecuada pues no pone de manifiesto la fuerza que se

está intentando calcular. C) Finalmente, como volumen de control, se elige únicamente la tobera:

FT

Sobre la tobera actúan, en la dirección vertical, el peso de la misma, la fuerza FT ejercida por la conexión con la manguera sobre la tobera, la acción del agua en la zona troncocónica y la presión atmosférica sobre la cara exterior:

0gM)AA(pFF T21AtmAT =+−−−

Como se ve, esta elección de volumen de control tampoco es adecuada pues aunque pone de manifiesto la fuerza que se está intentando calcular, depende de la interacción entre el agua y la tobera. Utilizando la expresión de FA obtenida en el apartado anterior, se obtiene:

( ) ( ) gM)AA(pgMAppAppAvρAvρF T21AtmA2Atm21Atm11212

22T −−+−+++−−=

Simplificando, se obtiene la misma expresión que en el apartado A):

( ) gMApAp)vv(mF 221112T −−−−=•


19

4) Como se aprecia en la figura, un chorro de agua de densidad ρA, con velocidad vA y sección transversal SA incide sobre un deflector montado sobre un carro de masa mC que, bajo la acción del chorro de agua, se mueve con una velocidad vC. Despreciando el rozamiento de las ruedas con el suelo, obténgase la evolución de la velocidad del carro, vC, con el tiempo. Supóngase que inicialmente el carro está en reposo, es decir, en t = 0, vC = 0.

vA

vCSA mC

θ

RESOLUCIÓN

Se va a resolver el problema considerando un sistema de referencia inercial y no inercial, y eligiendo diferentes posibilidades de volumen de control: Sistema de referencia inercial: con los ejes fijos en tierra. A) Se elige un volumen de control no deformable que, incluyendo el carro, se mueve con éste:

SCSalida

VCSCEntrada

xy

Aplicando la ecuación de continuidad:

0)Adv(ρdVρt

r

SCVC

=⋅+∂∂

∫∫

> 0dVρt VC

=∂∂

∫ , pues no cambian las dimensiones del volumen de control.

> rSSACAAAr

SCSalida

r

SCEntrada

r

SC

vSρ)v(vSρ)Adv(ρ)Adv(ρ)Adv(ρ +−−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫

Si se ignora la fricción entre el fluido y el deflector, las secciones de entrada y salida del volumen de control serán iguales( SA SS = ), por lo que, la ecuación de continuidad nos dice que el módulo de la velocidad relativa en la salida es

igual que en la entrada: CArS vvv −= .


20

Se va a aplicar la ecuación de cantidad de movimiento; antes se van a expresar las diferentes velocidades del fluido en las superficies de control: Velocidad absoluta de entrada: ivA

Velocidad relativa de entrada: i ) v-(v CA

Velocidad relativa de salida: j sen )v-(v + i cos ) v-(v CACA θθ

Velocidad absoluta de salida: i v + j sen ) v-(v + i cos ) v-(v CCACA θθ

)Adv(vρdVvρt

FΣ r

SCVC

⋅+∂∂

= ∫∫

Se va a resolver la componente horizontal de la ecuación: > 0Fx =Σ , pues no hay fuerzas exteriores

> ( )dt

dvmmdVvρdVvρt

dVvρt

CoFluidoCarrC

rroVCFluidoCaVCCarroVC

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=∂∂

∫∫∫

> =⋅+⋅=⋅ ∫∫∫ )Adv(vρ)Adv(vρ)Adv(vρ r

SCSalida

r

SCEntrada

r

SC

[ ] 1)θ (cos) v-(vSρS) v-(vvθ cos ) v-(vρS) v-(vv-ρ 2CAAAACACCAAACAAA −=++=

Agrupando:

( ) θ) cos-(1 ) v-(vSρdt

dvmm 2CAAA

CoFluidoCarrC =+

B) Se elige un volumen de control no deformable que se mueve con el carro, pero sin incluir el carro:

SCSalida

VCSCEntrada

xy

Aplicando la ecuación de continuidad, se obtiene el mismo resultado que en el caso anterior. Se va a aplicar la ecuación de cantidad de movimiento. Las diferentes velocidades del fluido en las superficies de control son también las mismas que en el caso anterior:

)Adv(vρdVvρt

FΣ r

SCVC

⋅+∂∂

= ∫∫


21

Se va a resolver la componente horizontal de la ecuación:

>dt

dvmF CCx −=Σ (inercia del carro)

>dt

dvmdVvρt

dVvρt

CoFluidoCarr

rroVCFluidoCaVC

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=∂∂

∫∫

> 1)θ (cos ) v-(vSρ)Adv(vρ)Adv(vρ)Adv(vρ 2CAAAr

SCSalida

r

SCEntrada

r

SC

−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫

Agrupando se obtiene la misma expresión que antes:


dvmm 2CAAA

CoFluidoCarrC =+

C) Se elige un volumen de control deformable que incluye el carro; la Superficie de Control de Entrada permanece inmóvil:

xC

SCSalida

VCSCEntrada

xy

Se va a aplicar la ecuación de continuidad; hay que tener en cuenta que, como la Superficie de Control de Entrada no se mueve, coincidirán los valores de la velocidad relativa y la absoluta: Velocidad absoluta de entrada: ivA

Velocidad relativa de entrada: ivA Aplicando la ecuación de continuidad:

0)Adv(ρdVρt

r

SCVC

=⋅+∂∂

∫∫

> CAAC

AACAVCVC

vSρdt

dxSρdxSρt

dVρt

==∂∂

=∂∂

∫∫ ; ahora va aumentando la masa de agua dentro del

volumen de control. > rSSAAAAr

SCSalida

r

SCEntrada

r

SC

vSρSvρ)Adv(ρ)Adv(ρ)Adv(ρ +−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫

Si se ignora la fricción entre el fluido y el deflector, las secciones de entrada y salida del volumen de control serán

iguales( SA SS = ), por lo que agrupando: 0vSρSvρSvρ rSSAAAAACA =+− , la ecuación de continuidad nos

dice que el módulo de la velocidad relativa en la salida es, como en el caso anterior, igual a: CArS vvv −= . Vectorialmente, en la salida las velocidades son: Velocidad relativa de salida: j sen )v-(v + i cos ) v-(v CACA θθ

Velocidad absoluta de salida: i v + j sen ) v-(v + i cos ) v-(v CCACA θθ


22

Se va a aplicar la ecuación de cantidad de movimiento:

)Adv(vρdVvρt

FΣ r

SCVC

⋅+∂∂

= ∫∫


> =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

=∂∂

∫∫∫∫ dVvρdVvρdVvρt

dVvρt orroVCFluidoChrroVCFluidoCaVCcarroVC

( ) ( ) CAAAC

fluidoCC

AAAC

fluidoC vSvρdt

dvmmdt

dxSvρdt

dvmm ++=++=


SCSalida

r

SCEntrada

r

SC

[ ] ACACCAAAAAA S) v-(vvθ cos ) v-(vρSvv-ρ ++= Agrupando, se acaba obteniendo la misma expresión que en los casos anteriores:


dvmm 2CAAA

CoFluidoCarrC =+

Sistema de referencia no inercial: con los ejes fijos en el carro. A) Se elige un volumen de control no deformable que se mueve con el carro e incluye el carro:

SCSalida

VCSCEntrada

xy


0)Adv(ρdVρt

r

SCVC

=⋅+∂∂

∫∫

> 0dVρt VC

=∂∂

∫ , pues no cambian las dimensiones del volumen de control.

> rSSACAAAr

SCSalida

r

SCEntrada

r

SC

vSρ)v(vSρ)Adv(ρ)Adv(ρ)Adv(ρ +−−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫


23

Si se ignora la fricción entre el fluido y el deflector, las secciones de entrada y salida del volumen de control serán iguales( SA SS = ), por lo que, la ecuación de continuidad nos dice que el módulo de la velocidad relativa en la salida es

igual que en la entrada: CArS vvv −= . Se va a aplicar la ecuación de cantidad de movimiento en un sistema de referencia no inercial; antes se van a

expresar las diferentes velocidades del fluido en las superficies de control: Velocidad absoluta y relativa de entrada: i ) v-(v CA

Velocidad absoluta y relativa de salida: j sen )v-(v + i cos ) v-(v CACA θθ

)Adv(vρdVvρt

dmaFΣ r

SCVCVC

arr ⋅+∂∂

=− ∫∫∫


> 0dVvρt VC

=∂∂

∫ , pues según esta referencia el flujo es estacionario

> ( )oFluidoCarrCC

VC

arr mmdt

dvdma +−=− ∫


SCSalida

r

SCEntrada

r

SC

[ ] 1)θ (cos) v-(vSρS) v-(vθ cos ) v-(vρS) v-(v) v-(v-ρ 2CAAAACACAAACACAA −=+=

Agrupando:


dvmm 2CAAA

CoFluidoCarrC =+

B) Se elige un volumen de control no deformable que se mueve con el carro, pero sin incluir el carro:

SCSalida

VCSCEntrada

xy

Aplicando la ecuación de continuidad, se obtiene el mismo resultado que en el caso anterior. Se va a aplicar la

ecuación de cantidad de movimiento; las diferentes velocidades del fluido en las superficies de control son también las mismas que en el caso anterior:

)Adv(vρdVvρt

FΣ r

SCVC

⋅+∂∂

= ∫∫


24

Se va a resolver la componente horizontal de la ecuación:

>dt

dvmF CCx −=Σ (inercia del carro)

> oFluidoCarrC

VC

arr mdt

dvdma −=− ∫

> 0dVvρt VC

=∂∂

∫ , pues según esta referencia el flujo es estacionario

> 1)θ (cos ) v-(vSρ)Adv(vρ)Adv(vρ)Adv(vρ 2CAAAr

SCSalida

r

SCEntrada

r

SC

−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫

Agrupando se obtiene la misma expresión que antes:


dvmm 2CAAA

CoFluidoCarrC =+

A continuación se va a obtener la evolución de la velocidad del carro en función del tiempo, integrando la

ecuación diferencial obtenida, que se va a rescribir de la siguiente manera:

( ) dt;K dtmm

θ) cos-(1Sρ ) v-(v

dv

oFluidoCarrC

AA2

CA

C =+

= ( )oFluidoCarrC

AA

mmθ) cos-(1SρKiendos

+=

Integrando:

K tv1

) v-(v1;dt K

) v-(vdv

ACA

t

0

v

02

CA

CC

=−= ∫∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=K tv1

11vvA

AC

Esta expresión se representa gráficamente a continuación (para dos valores diferentes del parámetro K). Se aprecia como el carro se va acelerando hasta alcanzar asintóticamente la velocidad del chorro Av .

0

10

0 50t0

K2

VA

K1

K2 < K1

VC(t)


25

5) La figura muestra un esquema de un cohete desplazándose verticalmente en la atmósfera terrestre. La masa inicial

del cohete es M y el motor genera un flujo másico de gases ( me

•

) a alta velocidad, ve, respecto al cohete. Si el flujo dentro del cohete es estacionario, obténgase la evolución temporal de la velocidad del satélite. Téngase en cuenta el arrastre D del aire sobre el cohete.

RESOLUCIÓN

Se aplica la ecuación de conservación de cantidad de movimiento a un volumen de control que incluye el cohete y tiene una única superficie de control, que es la salida de gases del motor. Se adopta un sistema de referencia inercial con los ejes fijos en tierra:

)Adv(vρdVvρt

F r

SCVC

⋅+∂∂

=Σ ∫∫

Esta ecuación se va a resolver en la dirección vertical, siendo el sentido positivo “hacia abajo”:

> Dgt)m-(MzΣF e +=•

; se tiene en cuenta el arrastre D ejercido por el aire y el peso del cohete, que

disminuye a medida que se van quemando los gases.

> vmt)m-(Mdtdvt)m-(M v-

tdVvρ eee

VC

•••+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=∂∂

∫t

> ( ) ( )v-vmAvv-vρ)Adv(vρ eeeeerSC

•==⋅∫

Agrupando términos, obtenemos el valor del empuje suministrado por el motor:

( )v-vmvmt)m-(MdtdvDgt)m-(M eeeee

••••++−=+

Simplificando:

eee vmDdtdvgt)m-(M

••=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Se ha obtenido una ecuación diferencial, que permite obtener la evolución con el tiempo de la velocidad del cohete. Se va a resolver suponiendo que la fuerza de arrastre es constante (que no es cierto, pues depende de la

velocidad del cohete al cuadrado mediante la relación: F2

D Avρ21CD = ).

tgt)m-(M

Mln m

Dvmvee

ee −−

= ••

•

ve

Aeme

v

.


26

A continuación se representa esta relación para los valores siguientes: kg/s, 170 me =•

m/s, 2300 ve = kg, 30000 M = y se va a prescindir de la fuerza de arrastre:

02500

50007500

1000012500

15000

0 50 100 150 200t [s]

v [m/s]

Se aprecia cómo la velocidad aumenta progresivamente, tendiendo a infinito (pues con los datos del problema,

la masa llega a anularse). En la realidad, la dependencia de la fuerza de arrastre con el cuadrado de la velocidad, impide esa tendencia.

La ecuación de la velocidad del cohete puede ser integrada de nuevo para obtener la distancia recorrida, obteniéndose la expresión siguiente:

2tg

Mt)m-(Mln

m

M

t)m-(M

Mln t tm

Dvmx2

e

eee

ee −⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++

−=

•

•••

•

Esta expresión es representada a continuación para los mismos valores del ejemplo anterior:

050

100150

200250300

0 50 100 150 200

x [km]

t [s]


27

6) La figura muestra una vista en planta de un aspersor de riego de un solo brazo de radio R. Bajo la acción del chorro de líquido (de densidad ρ), el aspersor gira a velocidad angular constante ω alrededor de la parte vertical del aspersor, que soporta un par resistente de valor T0. El caudal que circula por el aspersor es Q y la sección interior de los dos tramos del aspersor es A. Calcúlese la velocidad de giro en función de la geometría y de las propiedades del flujo.

k nr

θnω

TO

R

A

RESOLUCIÓN

Se va a resolver el problema en el volumen de control indicado en la figura, tanto desde un sistema de referencia inercial como no inercial:

k nr

θnω

AVC

k nr

θnω

VC

Sistema de referencia inercial: con los ejes fijos en tierra.


0)Adv(ρdVρt

r

SCVC

=⋅+∂∂

∫∫

> 0dVρt VC

=∂∂

∫ , pues la masa de fluido dentro del volumen de control no varía

> 21r

SC2

r

SC1

r

SC

vAρvAρ)Adv(ρ)Adv(ρ)Adv(ρ +−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫ ; es decir: Qmm 12 ρ==••

Se va a aplicar la ecuación de conservación del momento cinético:


M r

SCVCO ⋅×+×

∂∂

=Σ ∫∫


28

Se va a resolver la componente de la ecuación en la dirección k , que es perpendicular a la vista representada, y cuyo sentido positivo es saliente de la figura:

> kTM 0O −=Σ

> 0dV)vr(ρt VC

=×∂∂

∫ , pues aunque la velocidad varía dentro del volumen de control (el módulo no, pero sí

la dirección), el producto vectorial )vr( × es nulo en el tramo vertical y en la parte radial del brazo, mientras que en la

zona de salida da lugar a un vector en la dirección k , de módulo constante

> 1122r

2SC

r

1SC

r

SC

m)vr(m)vr()Adv()vr(ρ)Adv()vr(ρ)Adv()vr(ρ••

×−×=⋅×+⋅×=⋅× ∫∫∫

kVRnVnR)vr( θr2 −=×=× , siendo V la velocidad absoluta del fluido en la sección de salida, que

es igual a la composición de la velocidad relativa ( ) θA nQ/AV = y la de arrastre θnRω− :

( ) ( )[ ] θθθθ nRωQ/AnRωnQ/AnVV −=−==

( ) k0kQ/An0)vr( r1 =×=× Por tanto, la componente en la dirección k del término de superficie de control es:

RVQmVR)Adv()vr(ρ 2r

SC

ρ−==⋅×•

∫ , y agrupando todos términos en la ecuación de conservación del

momento cinético, se obtiene: RVQT0 ρ−=− . Sustituyendo el valor de la velocidad

absoluta: ( )[ ]RωQ/ARQT0 −ρ−=− . Despejando la velocidad de giro:

( )2

0

RQρT

RQ/Aω −=

Sistema de referencia no inercial: con los ejes girando con el aspersor.

Se va a aplicar la ecuación de conservación del momento cinético para un volumen de control no inercial , que tiene en cuenta el momento de las fuerzas de inercia:


dm)ar(M r

SCVCVC

arrO ⋅×+×∂∂

=×−Σ ∫∫∫

> kTM 0O −=Σ

> 0dV)vr(ρt VC

=×∂∂

∫ , pues en este caso el flujo es estacionario dentro del volumen de control

> 1122r

2SC

r

1SC

r

SC

m)vr(m)vr()Adv()vr(ρ)Adv()vr(ρ)Adv()vr(ρ••

×−×=⋅×+⋅×=⋅× ∫∫∫

kVRnVnR)vr( AθAr2 −=×=×

( ) k0kQ/An0)vr( r1 =×=×


29

Por tanto, la componente en la dirección k del término de superficie de control es:

A2Ar

SC

RVQmVR)Adv()vr(ρ ρ−==⋅×•

∫ ,

Para el cálculo del término que incluye la aceleración de arrastre: dm)ar(VC

arr∫ × , se va a calcular por

separado en el tramo radial del brazo y en el tramo tangencial de salida. Teniendo en cuenta que la velocidad de giro es constante y que el sistemas de referencia inercial no tiene aceleración lineal, la aceleración de arrastre es:

( ) ( )rωωvω2rωωvω2rdtωd

dtRda 2

S2

arr ××+×=××+×+×+=

Tramo radial: kωω;nVv;nrr rAr ===

( ) r2

θAarr nrωnVω2rωωvω2a −−=××+×= , por tanto: kVω2rar Aarr =× Tramo tangencial: kωω;nVv;nRr θAr ===

( ) r2

rAarr nRωnVω2rωωvω2a −=××+×= , por tanto: 0ar arr =×

Por tanto: kRQωkdrAVω2rdm)ar( 2R

0A

VC

arr ρ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ=× ∫∫

Agrupando todos los términos:

A2

0 RVQRQωT ρ−=ρ−−

Despejando la velocidad de giro, se obtiene la misma expresión que antes:

( )2

0

RQρT

RQ/Aω −=


30

7) La figura representa una pequeña turbina hidráulica de geometría axial, que permite transformar la energía hidráulica del agua que pasa a su través en energía mecánica en su eje de giro. Con los datos suministrados, suponiendo que el eje de giro es horizontal, que el flujo es isotermo, obténgase la reacción horizontal conjunta que deben soportar los tornillos de las bridas B1 y B2.

Turbina B1

B2

DATOS: Potencia absorbida por la turbina: SW•

Caudal: Q Densidad del líquido: ρ

Sección de la tubería en la brida B1: A1 Sección de la tubería en la brida B2: A2 Sección de la tubería en la turbina: AT

Presión en la sección de la brida B1: p1 RESOLUCIÓN

Se elige el volumen de control indicado en la figura que corta las bridas en las que se quiere obtener la reacción:

QQ

VC

SC1SC2

x

Se aplica la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección x:

)Adv(vρdVvρt

FΣ r

SCVC

⋅+∂∂

= ∫∫

> 2211xx ApApRF −+=Σ , siendo Rx la reacción conjunta en las bridas


31

> 0dVvρt VC

=∂∂


> )v-v(QρAvvρAvv-ρ)Adv(vρ)Adv(vρ)Adv(vρ 12222111r

SC2

r

SC1

r

SC

=+=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫

Agrupando: )v-v(QρApApR 121122x +−= En esta expresión se desconoce el valor de P2, puesto que los valores de las velocidades se obtienen a partir de la

ecuación de continuidad: 22112211 A/QvA/Qv;AvAvQ ==== . Para obtener el valor de P2, se aplica la ecuación de la energía:

)Adv(eρdVeρtdt

dWdtdQ

r

SCVC

⋅+∂∂

=− ∫∫

> 0dtdQ

= , pues no hay transferencia de calor

> 222111S

SC

SPS AvpAvpW)Adv(pWWWdt

dW+−=⋅+=+=

••••

∫

> 0dVeρt VC

=∂∂


> ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=⋅∫ 2

v-2vQρAveρAve-ρ)Adv(eρ

21

22

222111r

SC

, pues ni la energía potencial ni la energía

interna varían entre entrada y salida. Agrupándolo todo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−+−

•

2v-

2vQρAvpAvpW

21

22

222111S

Expresión de la que se puede despejar 22 AP , que es lo que nos hace falta en la expresión de Rx:

2

21

22

S111

22 v2v-

2vQρWAvp

Ap⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

•

)v-v(QρApv

2v-

2vQρWAvp

R 12112

21

22

S111

x +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

•


32

Aplicación numérica:

Potencia absorbida por la turbina: SW•

= 7350 W Caudal: Q =1.26 m3/s Densidad del líquido: ρ = 1000 kg/m3 Sección de la tubería en la brida B1: A1 = 0.28 m2 Sección de la tubería en la brida B2: A2 = 0.16 m2 Sección de la tubería en la turbina: AT = 0.08 m2 Presión en la sección de la brida B1: p1 = 103.6 kPa

Se calculan en primer lugar los valores de la velocidad en las secciones de entrada y salida:

s/m88.7A/Qvs/m46.4A/Qv 2211 ====

)46.4-88.7(26.1100028.01036007.88

24.46-

27.8826.10001735028.046.4103600

R

22

x +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

kN59.12R x −=

Sale con signo negativo, luego la fuerza que se ejerce sobre el volumen de control va de derecha a izquierda, y

por tanto, la fuerza que soportan los tornillos de las bridas es de 12.59 kN.

tema 4 analisis integral

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