ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias - 2011)

Trabajo Practico 6. Primera parte.

Repasar integrales de una variable:

metodos de integracion (sustitucion, partes y fracciones simples). integrales basicas trigonometricas y del tipo

sen nx dx n par o imparsen nx cosm x dx n,m par o impar 1a2 + (bx)2

dx 1

a2 (bx)2dx .

integrales del tipo

a2 + x2 dx

a2 x2 dx

x2 a2 dx .

Integrales dobles.

1. Graficar cada region para verificar si es de tipo I, tipo II, ambos o ninguno, y describirla.

(a) el triangulo de vertices (0,0), (1,0) y (1,3).

(b) la region que determinan x = y y x = y2.

(c) el crculo de radio 1 (centrado en el origen).

(d) el anillo determinado por los crculos concentrico de radio 1 y2 (centrados en el origen).

(e) el sector determinado en el primer cuadrante por los dos crculos anteriores y las rectasy = x y 2y = x.

(f) el triangulo de vertices (1,2), (2,4) y (5,1).

(g) el cuadrilatero de vertices (1,2), (1,6), (2,1) y (2,7).

2. Describir las regiones (c), (d) y (e) del ejercicio anterior mediante coordenadas polares.

3. Evaluar cada una de las integrales siguientes si R = [0, 1] [0, 1].(a)

R(x

3 + y2) dx dy

(b)R ye

xy dx dy

(c)R(xy)

2 cos(x3) dx dy .

4. Calcular las siguientes integrales iteradas y dibujar las regiones D determinadas por los lmitesde integracion:

(a) 10

x20

dy dx

(b) 21

3x+12x

dy dx

1

(c) 10

ex1

(x+ y) dy dx

(d) 11

|x|2|x|

ex+y dy dx

(e) pi

2

0

cosx0

ysen x dy dx

(f) 20

1( y2)2

0y dx dy

(g) 02

x+1x3

(y2 + 1) dy dx .

5. En las integrales siguientes, dibujar las regiones correspondientes, cambiar el orden de inte-gracion y evaluar la integral por los dos caminos.

(a) 10

1xxy dy dx

(b) 11

1|y|(x+ y)2 dx dy

(c) 33

(9y2) 12(9y2) 12

x2 dx dy .

6. (a) Sea D la region acotada por los ejes positivos x e y y la recta 3x + 4y = 10. CalcularD(x

2 + y2) dx dy .

(b) Sea D la region acotada por el eje y y la parabola x = 4y2 + 3. Calcular D xy dx dy .(c) Sea D = {(x, y) : 0 2x

pi y, y sen x}. Evaluar D y dx dy .

(d) Sea D = {(x, y) : x 0, x2 y 10 x2}. Evaluar Dx dx dy .7. Calcular

T e

xy dx dy donde T es el triangulo con vertices (0,0), (1,3) y (2,2).

8. Calcular el volumen del solido acotado por el plano xz, el plano yz, el plano xy, los planosx = 1 e y = 1, y la superficie z = x2 + y2.

9. Calcular el volumen del solido acotado por la superficie z = sen y, los planos x = 1, x = 0, y =0, y = pi

2y el plano xy.

Cambio de variables

10. Calcular el area de un crculo de radio r y el area de una elipse con semiejes de longitud a y bmediante integrales dobles. Luego calcularlas utilizando un cambio de variables adecuado.

11. Encontrar el area encerrada por la cardioide cuya ecuacion en coordenadas polares es r =1 + sen.

12. Sea D el disco unitario. Evaluar las siguientes integrales mediante un cambio de variables acoordenadas polares.

(a)D e

x2+y2 dx dy ,

(b)D(1 + x

2 + y2)32 dx dy .

2

13. Sea D := {(x, y) : |x| + |y| 1}. Evaluar D(x + y)2 dx dy mediante el cambio de variablesx = u+ v, y = u v.

14. (a) Sea S el paralelogramo acotado por las rectas y = 3x 4, y = 3x, y = 12x e y = 1

2(x+ 4).

Sea R := [0, 1] [0, 1]. Encontrar una transformacion afn T tal que S = T (R). Esunica? Calcular el area de S.

(b) Calcular

S

y 3x+ 1y 1

2x+ 1

dy dx .

15. Calcular el volumen de la region limitada por las superficies x2 + y2 + z2 25 y z 4.

16. Calcular el volumen que queda bajo la grafica de f(x, y) = 1 + sen (piy

2) + x cuando el dominio

de f es el paralelogramo de vertices (0,0), (1,2), (2,0) y (3,2).

17. Calcular

Ry sen(xy) dy dx donde R es la region comprendida entre las graficas xy = 1, xy =

4, y = 1, y = 4.

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