vectores en el plano nivel 4º e.s.o.. el concepto de vector está motivado por la idea de...
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VECTORES EN EL PLANOVECTORES EN EL PLANO
Nivel 4º E.S.O.Nivel 4º E.S.O.
El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio
P Q
Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q
PQ
R SP Q
S
R
La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por
PQ
Vectores de la misma magnitud
RSPQ
Un vector es un segmento orientado
La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido
SRRS
Vectores de la misma
dirección
S
R Q
P
S
R
S
R
Vectores en direcciones
distintas
P
Q
Vectores Equivalentes
Q
P
RSPQ
Tienen la misma magnitud y dirección
S
R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos
equivalentes
OEje x
Eje y
Representante del vector por el origen de coordenadas
(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P
u
a
b
A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:
P(a,b))b,a(OPu
Eje Y
OEje X
10c10cmm
6cm6cm
31º31º
15c15cmm ¿b?¿b?
11º11º
¿a?¿a?
Magnitud o módulo de un
vector u
El vector nulo (0,0) no tiene
dirección
Dirección de u
Angulo positivo que forma con el eje X
22 bau a
btag
u
a
b(a,b)
Eje Y
OEje X
Un vector de módulo uno se llama unitario
Halla el módulo del vector u(4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X
Eje Y
O Eje X
22 bau a
btag
Halla el módulo del vector u(1,4) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(2,2) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,5) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,-3) y el ángulo θ que forma con el eje X
Halla el módulo del vector u(3,-2) y el ángulo θ que forma con el eje X
Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los
ejes coordenados
Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los
vectores i,j
Eje Y
O Eje X
u
x
y
i
j xi
yj
Halla el módulo del vector u(1,1) = i + j y el ángulo θ que forma con el eje X
Eje Y
O Eje X
22 bau a
btag
Halla el módulo del vector u(1,3) = i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-2,3) =-2i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X
Operaciones con vectores
Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y un número real. Se define el vector:
suma u+v como
u+v= (x+a, y+b)
producto por un escalar u como
u=(x, y).
Operaciones con vectores
Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente u+v=(6,4) es la diagonal mayor del paralelogramo
Eje Y
OEje X
u+ v u
v
Operaciones con vectores
Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente v-u=(2,-2) es la diagonal menor del paralelogramo
Eje Y
OEje X
u- v u
v u- v
Operaciones con vectores
Si u=(x,y), v=(a,b), gráficamente u+v=(x+a,y+b) es la diagonal mayor del
paralelogramo
Eje Y
OEje X
u+ v u
v
Operaciones con vectores
Si u=(x,y), u=(x, y)
Eje Y
OEje X
u
u
>0
u <0
0<<1
Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=│u││v│cos
: Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
El producto escalar de los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) será i.i=j.j=1 i.j=j.i=0
Nueva definición de Producto escalar:
ybxav.u
j.ybji.yajj.xbii.xaiv.u
bjaiv
yjxiu
Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=ax+by
Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .
Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2
Producto escalar
Eje X
Eje Y
/2
Propiedades del producto escalar
u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) Si u.v =0 y ninguno de ellos es nulo entonces los vectores son perpendiculares.
Interpretación geométrica:
Teorema:
Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces si calculamos el producto escalar podremos hallar el ángulo entre ellos:
cosvuv.u
v
u
ucos
cos/. vuvu
Ejemplo: Sean los vectores A = 4i y B = i + 2 j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.
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