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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Microeconomía Superior II:Optimización (2)

Rafael Salas

Empresa

Producción

Problemaprimal

Optimización Estáticacomparativa

Empresa y

mercado

Problema dual

Dos problemas equivalentes

Problema primal

Problema dual

Elegimos un nivel de productoY

Tomamos como dados los precios de los inputs w (y del output P)

Maximizamos beneficios...

...minimizando los costes

wi

zi

m

i=1

Problema dual (primera etapa)

Dado un vector de precios w...

éste es el conjunto de puntos z en el espacio de los inputs...

...que consiguen un nivel de costes de los factores C determinado.

Forman un hiperplano (línea recta)...

C=wizi

Definimos la isocoste

z2

z1

Coste creciente

w1z1 + w2z2 = c (constante)

w1z1 + w2z2 = c'

w1z1 + w2z2 = c"

Líneas isocostes

Usamos ésto para derivar el

óptimo

Usamos ésto para derivar el

óptimo

z2

z1

z*

Minimización de costes

Coste decreciente

¿Qué condiciones cumple z*?

¿Qué condiciones cumple z*?

_____ __ =Fi(z) wi

Fj(z) wj

Dados los inputs i y j ...

¿Qué sucede si alteramos la tecnología? En la práctica

¿Qué sucede si alteramos la tecnología? En la práctica

RMSTRMST

Obtenemos la misma CPO (condición de

tangencia) que con el problema primal

Obtenemos la misma CPO (condición de

tangencia) que con el problema primal

obtenemos los valores de los inputs que minimizan el coste para cada input...

...a través de los multiplicadores de Lagrange...

...y, por supuesto, el valor del coste mínimo.

Ambos valores pueden escribirse como funciones de los precios (w) y del output (Y).

La solución general...

Veamos...Veamos...

z1* = z1c (Y,w1 ,...,wm )

... ... ...

zm* = zmc (Y,w1 ,...,wm )

Las funciones de demanda de factores condicionada

vector deprecios de los inputs

vector deprecios de los inputs

Nivel de producto especificadoNivel de producto especificado

La f. de demanda condicionada de factores es no creciente en sus precios

Homogéneas de grado 0 en w

Las funciones de demanda condicionada de factores

Las funciones de costes

Si introducimos z1c (Y,w1 ,w2 ) y z2

c (Y,w1 ,w2 ) en la definición de los costes obtenemos la función de costes:

C(Y,w1 ,w2 ) = w1z1c (Y,w1 ,w2 ) + w2 z2

c (Y,w1 ,w2 )

Indica el mínimo coste obtenible, dados los precios de los factores y un nivel de producto (es análoga a la f. de gasto en el problema dual del consumidor)

C(w, Y) :=

vector deprecios de los inputs

vector deprecios de los inputs

Nivel de producto especificadoNivel de producto especificado

min wi zi{G(z) Y}

La función de costes

Dado que es una función de óptimo...

...tiene propiedades interesantes.

Lo cual es cierto para todas las funciones de producción F.

Como veremos en aplicaciones a lo largo del curso

La función de costes va a ser un concepto útil

Veamos...Veamos...

C(w, Y)

wi

C

La f. de costes es no decreciente en wi

C(w, Y+Y)

wi

C

C(w, Y)

La f. de costes es creciente en Y

w1

DA

B

Coste en D > 1/2 [Coste en A + Coste en B]

C

La f. de costes es cóncava en precios

z2

z1

z*

Mínimo coste dado w, y dado Y

Mínimo coste dado w, y dado Y

z*

Mínimo coste dado tw, y dados Y

Mínimo coste dado tw, y dados Y

C(tw,Y) = t iwi zi* = tC(w,Y) C(tw,Y) = t iwi zi

* = tC(w,Y)

La f. de costes es homogénea de grado 1 en

w

C(w, Y)

wi = zi*

_______

wi

C

Lema de Shephard Pendiente = z1* Pendiente = z1*

Práctica

Deriva la demanda condicionada de factores y la función de costes de:

Y= z1

z2

Y= (z1

+ z2

Y= L K

K=25

Comprueba el lema de Shephard

Deriva la demanda condicionada de factores dada la función de costes siguiente:

C= A w1 w2

Y.

Práctica

Calcule las funciones de costes

correspondientes a:

Y= z1 + z2

Y=min(z1/ , z2/)

Y= z1 2 + z2

2

donde y0¡Cuidado con los casos no difereciables y con el último caso!

·Indique los rendimientos a escala que poseen a partir de la función de costes.

.

Una vez resuelto el problema de minimización de costes

Tomamos el precio del output P como dado.

Usamos la función de costes C(w,Y) para plantear la maximización del beneficio.

Derivamos de esta forma Y que maximiza beneficios...

Derivamos de nuevo la oferta de producto y la demanda de factores

Problema dual (segunda etapa)

=PY- C(w,Y)=PY- C(w,Y)

Maximización de beneficios: oferta de producto

Solución:

/ Y = 0 P = C(w,Y)/Y

P =Cmg Y

Maximización de beneficios: demanda de factores

Solución:

/ z1 = 0 P Y/z1 = w1

/ z2 = 0 P Y/z2 = w2

P Pmg z1 = w1

P Pmg z2 = w2

Las funciones de oferta de producto y demanda de factores

P = C (w, Y)/Y “Precio igual al coste marginal”

Se deduce la oferta de producto Ys (w,P)

P Y/z1=w1 “Valor de la productividad igual al precio del factor”

Se deduce la demanda de factores z1

d (w,P)

Práctica

Deriva la oferta de producto y la demanda de factores, a partir de las funciones de costes, de:

Y= z1

z2

Y= (z1

+ z2

Y= L K

K=25

.

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