trabajo colaborativo 2
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TRABAJO COLABORATIVO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES
1000412
1. Resuelva el problema de valor inicial 2 x2 y ' '+3 x y '− y=0 si y (1 )=2 y ' (1 )=1
Para y=xm ; y '=mxm−1; y ' '=m(m−1) xm−2
Reemplazando en la ecuación
2 x2 [m(m−1)xm−2 ]+3 x [m xm−1 ]−xm=0
xm [2m (m−1 )+3m−1 ]=0
xm (2m2+m−1 )=0
a=2 ;b=1 ;c=−1
m=−b±√b2−4ac2a
m=−(1)±√¿¿¿
m1=−1+√94
=24=12
m2=−1−√94
=−44
=−1
Para las raíces reales y distintas ( 12 ,−1) la solución es:
y=C1 xm1+C2 x
x2
y=C1 x12+C2 x
−1
Para y(1)=2
y (1 )=C1(1)12+C2(1)
−1=2
y (1 )=C1+C2=2
Para y’(1)=1
y '=12C1 x
−12 −C2 x
−2=1
y ' (1 )=12C1(1)
−12 −C 2(1)
−2=1
y ' (1 )=12C1−C2=1
Resolviendo
C1+C2=2
12C1−C2=1
Tenemos
C1=2C2=0
La solución será
y=2x12
2. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:
A. Y 1=1eY 2=log x
Y 1'=0Y 2
' =1x
W [1. log x ]=|1 log x
0 1x |=( 1∗1x )−(0∗log x )=1
x
B. Y 1=eaxY 2=xe
ax
Y 1'=aeax Y 2
'=eax+axeax
W [eax , xeax ]=| eax x eax
aeax eax+ax eax|
¿ [eax (eax+ax eax) ]−[aeax∗xeax ]
¿e2ax+axe2ax−ax e2ax
¿e2ax
C. Y 1=e−xY 2=e
2 x
Y 1'=−e−xY 2 '=2 e
2 x
W [e−x , e2 x ]=| e− x e2x
−e−x 2e2 x| ¿ [e− x∗2e2 x ]−[−e−x∗e2 x ]
¿2ex+ex
¿3ex
3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes
A. 4y’’-8y’+7y=0
4m2−8m+7=0
a=4 ;b=−8 ;c=7
m=−b±√b2−4ac2a
m=−(−8)±√¿¿¿
m1=8+4√−3
8=1+ i √3
2
m2=8−4√−3
8=1−i √3
2
y=C1 exx cosβx+C2 e
xx senβx
x=1 β=√32
y=C1ex (cos √32 x)+C2e x(sen √3
2x)
B. y’’+2y’+3y=0
m2+2m+3=0
a=1 ;b=2 ;c=3
m=−b±√b2−4ac2a
m=−(2)±√¿¿¿
m1=−1+2√−2
2=−1+i√2
m2=−1−2√−2
2=−1−i√2
y=C1 exx cosβx+C2 e
xx senβx
x=−1 β=√2
y=C1 e−x ( cos√2x )+C2e
− x ( sen√2x )
C. y’’+9y’+20y=0
m2+9m+20=0
(m+5 ) (m+4 )=0
m1=−5m2=−4
y=C1 em1 x+C2 e
m2 x
y=C1 e−5x+C2 e
−4 x
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