TRABAJO COLABORATIVO 2

ECUACIONES DIFERENCIALES

1000412

1. Resuelva el problema de valor inicial 2 x2 y ' '+3 x y '− y=0 si y (1 )=2 y ' (1 )=1

Para y=xm ; y '=mxm−1; y ' '=m(m−1) xm−2

Reemplazando en la ecuación

2 x2 [m(m−1)xm−2 ]+3 x [m xm−1 ]−xm=0

xm [2m (m−1 )+3m−1 ]=0

xm (2m2+m−1 )=0

a=2 ;b=1 ;c=−1

m=−b±√b2−4ac2a

m=−(1)±√¿¿¿

m1=−1+√94

=24=12

m2=−1−√94

=−44

=−1

Para las raíces reales y distintas ( 12 ,−1) la solución es:

y=C1 xm1+C2 x

x2

y=C1 x12+C2 x

−1

Para y(1)=2

y (1 )=C1(1)12+C2(1)

−1=2

y (1 )=C1+C2=2

Para y’(1)=1

y '=12C1 x

−12 −C2 x

−2=1

y ' (1 )=12C1(1)

−12 −C 2(1)

−2=1

y ' (1 )=12C1−C2=1

Resolviendo

C1+C2=2

12C1−C2=1

Tenemos

C1=2C2=0

La solución será

y=2x12

2. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:

A. Y 1=1eY 2=log x

Y 1'=0Y 2

' =1x

W [1. log x ]=|1 log x

0 1x |=( 1∗1x )−(0∗log x )=1

x

B. Y 1=eaxY 2=xe

ax

Y 1'=aeax Y 2

'=eax+axeax

W [eax , xeax ]=| eax x eax

aeax eax+ax eax|

¿ [eax (eax+ax eax) ]−[aeax∗xeax ]

¿e2ax+axe2ax−ax e2ax

¿e2ax

C. Y 1=e−xY 2=e

2 x

Y 1'=−e−xY 2 '=2 e

2 x

W [e−x , e2 x ]=| e− x e2x

−e−x 2e2 x| ¿ [e− x∗2e2 x ]−[−e−x∗e2 x ]

¿2ex+ex

¿3ex

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes

A. 4y’’-8y’+7y=0

4m2−8m+7=0

a=4 ;b=−8 ;c=7

m=−b±√b2−4ac2a

m=−(−8)±√¿¿¿

m1=8+4√−3

8=1+ i √3

2

m2=8−4√−3

8=1−i √3

2

y=C1 exx cosβx+C2 e

xx senβx

x=1 β=√32

y=C1ex (cos √32 x)+C2e x(sen √3

2x)

B. y’’+2y’+3y=0

m2+2m+3=0

a=1 ;b=2 ;c=3

m=−b±√b2−4ac2a

m=−(2)±√¿¿¿

m1=−1+2√−2

2=−1+i√2

m2=−1−2√−2

2=−1−i√2

y=C1 exx cosβx+C2 e

xx senβx

x=−1 β=√2

y=C1 e−x ( cos√2x )+C2e

− x ( sen√2x )

C. y’’+9y’+20y=0

m2+9m+20=0

(m+5 ) (m+4 )=0

m1=−5m2=−4

y=C1 em1 x+C2 e

m2 x

y=C1 e−5x+C2 e

−4 x